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INTERACCIÓN MAI-MAI en el átomo de hidrógeno 2005-2 hgv

(Referencia: Cap. 12 de Lectures on Physics, Feynman-Leighton-Sands)

01) Primeramente teníamos el átomo de hidrógeno sin el mai. Allí obtuvimos un estado

fundamental, que era la energía más baja, con momento angular nulo. Los otros niveles

de energía poseían más de un valor propio para el momento angular y para la tercera

componente de dicho momento angular.

02) Posteriormente consideramos al átomo (en realidad, al electrón en el movimiento

relativo) sometido a un campo magnético constante en el tiempo y apareció el efecto

Zeeman (que no afecta al estado fundamental) y el mai, momento angular intrínseco. La

tercera componente del mai separó el nivel de energía fundamental en dos niveles,

vecinos entre sí. Es decir, ahora aparecen dos niveles „fundamentales‟.

02.1) Tenemos la función de onda de dos componentes:

ˆ (x,t) 2

1 =

0

1 +

2

0 = 1

0

1 + 2

1

0

de manera que un operador matricial (de 2 por 2), 2221

1211ˆQQ

QQQ dará

Q̂ ˆ = (Q11 1 + Q12 2 ) 1 + (Q21 1 + Q22 2) 2 , donde 1 0

1 , 2

1

0

con ˆ (x, t) = 1(x, t) 1 + 2(x, t) 2

03) En todo lo anterior sólo hemos considerado la interacción eléctrica del electrón con

el protón. Pero el protón es también un fermión con s = h/2 , de manera que la tercera

componente, s3 del mai del protón también puede tomar dos valores, h/2 y – h/2.

Ahora tenemos que la interacción magnética de los mais (el del electrón y el del protón)

producen cuatro estados posibles, que podríamos caracterizarlos por

e p , e p , e p y e p

donde la “e” se refiere al electrón, la “p” al protón. Dichas funciones podrían ser

descritas por los cuatro pares (j, k = 1, 2)

( elec, j , prot, k) | j k j1 k1

j2 k2

La función de onda (x , t , m1 , m2) del „movimiento relativo‟ entre el electrón y

el protón, cuando se considera la interacción de los mais entre dichos cuerpos.

La separación de variables, = (x) (t , m1 , m2) . La ecuación dinámica para

los estados de los mais , (E + W) + h/i (t , m1 , m2) = 0 , y el operador de

interacción W( e , p) = elec prot + b El operador de intercambio, = (1 +

e p )/2. simplifica los cálculos. Las cuatro ecuaciones diferenciales para los

coeficientes de (t) = a11(t) 11 + a12(t) 12 + a21(t) 21 + a22(t) 22 . Las cuatro

soluciones estacionarias y los nuevos niveles de energía.

Para el caso del átomo de hidrógeno en un campo magnético, W( e , p , B) =

E + e p e e B p p B , pero el sistema de ecuaciones y sus soluciones

son similares al caso cuando B = 0. Las energías de los estados estacionarios en

función de la magnitud del campo B.

2

donde, como está indicado, la primera componente del par se refiere al electrón,

mientras que la segunda se refiere al protón. [Nótese que se está suponiendo que los

mais, si interactúan lo hacen paralela o antiparalelamente; no angularmente, debido a su

gran sensibilidad]

03.1) Algunos operadores, Gelec G°, actuarán sobre la primera componente del par,

otros, Kprot K°°, actuarán sobre la segunda componente, mientras que otros, Gelec Kprot

G°K°°, actuarán sobre las dos componentes:

Gelec |u v = |Gu v , Kprot|u v = |u Kv , Gelec Kprot |u v = |Gu Kv ,

debiendo tenerse presente que los operadores de mai que actúan sobre el electrón son

del mismo tipo de los que actúan sobre el protón, debido a que ambos son fermiones.

04) Para el caso del átomo de hidrógeno, como problema de dos cuerpos, la función de

onda toma la forma (x1 , x2 , t , m1 , m2) donde mk se refiere a la variable de mai,

podemos separar el movimiento del centro de masa, descrito por xG , y el movimiento

relativo, descrito por x.

Para el movimiento relativo tendremos la función (x , t , m1 , m2), que da lugar

a cuatro funciones de onda:

11(x , t) (x , t , 1, 1) , 12(x , t) (x , t , 1, 2) ,

21(x , t) (x , t , 2 , 1) , 22(x , t) (x , t , 2 , 2 )

05) Suponiendo que el potencial que actúa sobre el átomo de hidrógeno es de la forma

V(x , m1, m2) = Vo(x) + W(t, m1 , m2)

Entonces, para el „movimiento relativo‟ podemos ensayar la separación de variables

(x , t , m1 , m2) = (x) (t , m1 , m2)

lo que introducido en la ecuación de Schroedinger da las ecuaciones

Ho = E (x) (E + W) + h/i (t , m1 , m2) = 0

donde E es la constante de separación, por lo cual debe tenerse presente que las dos

funciones dependen del valor de dicha constante, E , E .

05.1) ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación Ho = E (x) para el átomo de

hidrógeno?

05.2) Para la ecuación (E + W) + h/i (t , m1 , m2) = 0 vamos a expresar la función

como combinación lineal de los cuatro estados de base (para los mais)

(t , , ) = a11(t) | 1 1 + a12(t) | 1 2 + a21(t) | 2 1 + a22(t) | 2 2

entonces podemos escribir,

j k ajk · (W + E) | j k + h/i j k (dajk/dt) | j k = 0 [01]

donde, en las sumatorias, j , k {1 , 2}

06) Sabemos que en el operador W, de interacción de los mais, deben aparecer las

componentes de los operadores de mai , Selec y Sprot , o más cómodamente, las

componentes de los operadores elec y prot . Dichas componentes están expresadas en

función del sistema de coordenadas empleado; pero la representación de una interacción

física debe ser independiente del sistema de coordenadas. Es decir, el operador W

deberá ser expresado de manera que se mantenga invariante frente al cambio del sistema

de coordenadas, entonces debe ser de la forma,

W( e , p) = elec prot + b

3

donde y b son ciertas constantes. Nos conviene elegir b = – E (corrimiento del nivel

de energía), es decir, la ecuación para la interacción mai tiene la forma

06.1) Verifique que

elec prot | j k = | 1 j 1 k + | 2 j 2 k + | 3 j 3 k

¿Por qué dentro del corchete no se han colocado los subíndices referentes al electrón o

al protón?

06.2) Calcular los 3 4 + 3 4 + 9 4 = 60 vectores, e j pq , p k pq , e j p k pq , para

p, q = 1, 2. , siendo pq | p q

06.3) Definamos un operador de intercambio (de los estados) de los mais ,

= (1 + e p )/2 . Verifique que | p q = | q p ó p q = q p

07) Verifique que la ecuación [02] se puede escribir de la siguiente forma:

j k ajk · (2 – 1) | j k + h/i j k (dajk/dt) | j k = 0

o también

2 j k a k j | j k – j k ajk | j k + h/i j k (dajk/dt) | j k = 0

o también

j k [ (2 a k j – ajk) + h/i dajk/dt ] | j k = 0 [03]

08) Verifique que la ecuación [03] da lugar a las cuatro ecuaciones diferenciales:

a 11 + h/i da11/dt = 0 [04] (2 a21 – a12) + h/i da12/dt = 0 [05]

(2 a12 – a21) + h/i da21/dt = 0 [06] a22 + h/i da22/dt = 0 [07]

09) Verifique que a11(t) = C11 e – i t /h

a22(t) = C22 e – i t / h

[08]

que representan dos estados con la misma energía .

10) Verifique que de [05] y [06] se obtiene:

[(2 a21 – a12) + K(2 a12 – a21)] + h/i d/dt (a12 + K a 21) = 0

donde K es una constante arbitraria.

10.1) Verifique que la ecuación anterior puede ser escrita como:

(2K – 1) [a12 + (2 – K)/(2K –1) a21] + h/i d/dt (a12 + K a 21) = 0

10.2) Verifique que eligiendo K tal que K = (2 – K)/(2K – 1) , es decir, K2 = 1, la

ecuación diferencial tiene la(s) solución(es)

(a12 + Ka21) = CK e i (1 – 2 K ) / h

[09]

10.3) Verifique que:

a12(t) = C2 e – i t / h

+ C3 e – i (– 3 ) t / h

, a21(t) = C2 e – i t / h

– C3 e – i (– 3 ) t / h

[10]

11) Verifique que la solución general de [02] tiene la forma

(t , , ) = [C11 11 + C2( 12 + 21) + C22 22] e – i t / h

+ C3 ( 12 – 21) e – i (– 3 ) t / h

[11]

donde puede apreciarse que se trata de tres estados (que no son los estados elegidos

como base) con energía (triple degeneración), más otro con energía –3· .

j k ajk · elec prot | j k + h/i j k (dajk/dt) | j k = 0 [02]

4

12) La parte de la interacción del electrón con el núcleo es

descrita entonces por cuatro estados de energias E + ,

E + , E + y E 3 , cuyo valor promedio es

precisamente igual a E. Por ello, cuando los aparatos de

medición no podían separar los niveles de energía,

entonces la energía que se medía era la energía promedio

de los cuatro estados.

Si bien la separación se puede producir para cualquier

nivel de la energía, Ek , en la práctica sólo es detectable

para los niveles más bajos, en particular para el nivel

fundamental.

Cuando el átomo de hidrógeno es excitado y decae del nivel Eo + al nivel Eo – 3 ,

entonces emite radiación de frecuencia w = 4 /h , en el rango de las microondas,

correspondiente a la longitud de donda de 21 cm (1420 MH). Esta radiación, detectada

en los trabajos de radioastronomía, ha permitido obtener una serie de datos sobre las

características del hidrógeno en las galaxias (por ejemplo, debido al efecto Doppler se

puede determinar la velocidad con la que se desplazan las diferentes galaxias).

12.1) Los estados 11 , 12 + 21 y 22 son estacionarios, correspondientes al nivel de

energía (degenerado) , mientras que 12 – 21 , también estacionario, corresponde al

nivel de energía – 3 . El átomo aislado puede „pasearse‟ entre los 3 estados de la misma

energía. Para pasar del estado 12 – 21 a uno de los otros estados (en particular, al

12 + 21) se requiere el aporte de energía igual a 4 , o que este salto de energía no

viole el Principio de Incertidumbre.

12.2) Verifique que la probabilidad de encontrar al átomo en el estado 11 o en el estado

22 es independiente del tiempo (determinadas por las condiciones iniciales), en

cambio, las probabilidades de encontrarlo en el estado 12 o en el 21 dependen del

instante considerado (además de las condiciones iniciales):

13) Verifique que la condición de normalización de la solución general exige que

|C11|2 + 2 |C2|

2 + 2 |C3|

2 + |C22|

2 = 1

13.1) Verifique que los coeficientes normalizados pueden ser descritos por medio de

siete parámetros: k , con k = 1, 2,.., 7; ¿Por qué 7 ?

C11 = e i 4

sen 1 sen 2 C2 = 21/2

e i 5

sen 3 cos 1 ,

C3 = 21/2

e i 6

cos 3 cos 1 C22 = e i 7

sen 1 cos 2 [12]

14) Consideremos ahora el caso del átomo de hidrógeno en un campo magnético. Debo

adelantar que las ecuaciones que obtendremos serán las mismas que las obtenidas en el

caso anterior, pero con coeficientes diferentes.

En el caso del átomo en un campo B existirán, además de la energía de interacción de

los mais entre sí, las energías de interacción de los mais con el campo exterior:

W( e , p , B) = E + e p e e B p p B [13]

con = qh/2mc , p > 0 , e < 0

14.1) La ecuación diferencial para el estado del sistema,

Ek +

Ek

Ek–3

5

(E + W) + h/i (t , m1 , m2) = 0 , con = jk ajk(t) | j k

tomará la forma

j k ajk {( e p e e B p p B) | j k + h/i j k (dajk/dt) | j k = 0

Eligiendo un sistema de coordenadas con el eje Z paralelo a B, es decir, B = B e3 ,

j k ajk {( e p e e3 B p p3 B) | j k + h/i j k (dajk/dt) | j k = 0

[14]

14.2) Verifique que, con k = [ 1k 2k] , se cumple

1 k = k+1 , 2 k = ( 1)k+1

i k+1 , 3 k = ( 1)k+1

k , donde k+1 es mód(2)

e p | j k = | 1 j 1 k + | 2 j 2 k + | 3 j 3 k

= | j+1 k+1 + ( 1)j+k

i2 | j+1 k+1 + ( 1)

j+k | j k

Es decir,

e p | j k = {1 ( 1)j+k

} | j+1 k+1 + ( 1)j+k

| j k [15]

Por otra parte,

( e e3 + p p3 ) | j k = e | 3 j k + p | j 3 k = ( 1)j+1

e | j k +

( 1)k+1

p | j k } . Es decir,

( e e3 + p p3 ) | j k = {( 1)j e + ( 1)

ke} | j k [16]

14.3) Verifique que:

e p | 1 1 = | 1 1

e p | 1 2 = 2 | 2 1 | 1 2

e p | 2 1 = 2 | 1 2 | 2 1

e p | 2 2 = | 2 2

( e e3 + p p3 ) | 1 1 = ( e + p) | 1 1

( e e3 + p p3 ) | 1 2 = ( e p) | 1 2

( e e3 + p p3 ) | 2 1 = ( e p) | 2 1

( e e3 + p p3 ) | 2 2 = ( e + p) | 2 2

14.4) Verifique que la ecuación diferencial [14] toma la forma:

{ a11 | 1 1 + a12 (2 | 2 1 | 1 2 ) + a21 (2 | 1 2 | 2 1 ) + a22 | 2

2 } B{ a11 ( e + p) | 1 1 + a12 ( e p) | 1 2 a21 ( e p) | 2 1 a22

( e + p) | 2 2 } + + h/i j k ajk | j k = 0

14.5) Verifique que la ecuación anterior da lugar a 4 ecuaciones:

a11 | 1 1 B a11 ( e + p) | 1 1 + h/i a11 | 1 1 = 0

{ a12 ( | 1 2 ) + a21 (2 | 1 2 )} B{ a12 ( e p) | 1 2 } + h/i a12 | 1 2 =

0

{ a12 (2 | 2 1 ) + a21 ( | 2 1 )} B{ a21 ( e p) | 2 1 } + h/i a21 | 2 1

= 0

{a22 | 2 2 } B{ a22 ( e + p) | 2 2 } + h/i a22 | 2 2 = 0

es decir,

[ B ( e + p)] a11 + h/i a11 = 0 [04.1]

( a12 + 2 a21) B a12 ( e p) + h/i a12 = 0 [05.1]

(2 a12 a21) + B a21 ( e p) + h/i a21 = 0 [06.1]

[ + B ( e + p)] a22 + h/i a22 = 0 [07.1]

o también,

[ + B ( e p)]a12 + 2 a21 + h/i a12 = 0 [05.2]

2 a12 [ B ( e p)]a21 + h/i a21 = 0 [06.2]

6

que son las mismas ecuaciones que en [04]...[07], pero con diferentes coeficientes.

14.6) Verifique que , con

EI = B ( e + p) , EII = + B ( e + p) [17]

las ecuaciones [04.1] y [07.1] , tienen las soluciones

a11(t) = C11 e – i EI t /h

a22(t) = C22 e – i EII t / h

[18]

14.7) Verifique que, con [05.2] + K[06.2] , donde K es una constante a ser determinada,

se obtiene la ecuación:

{2K [ + B ( e p)]} a12 + {2 K[ B ( e p)]}a21 + h/i [a12 + Ka21] = 0

14.8) Verifique que si se exige que la constante K satisfaga la relación,

K {2K [ + B ( e p)]} = {2 K[ B ( e p)]} , entonces la ecuación toma

la forma:

{2K [ + B ( e p)]} [a12 + K a21] + h/i [a12 + Ka21] = 0 , cuya solución es:

a12 + Ka21 = C exp{(h/i)[2 K B ( e p)] t} [19]

14.9) Verifique que los siguientes pasos para calcular K, son correctos:

2K2 [B ( e p)]K + KB ( e p)] = 2

K2 2KB ( e p)/2 = 1 [K B( e p)/2 ]

2 = 1 + [B( e p)/2 ]

2

Son dos valores: K = B ( e p)/2 + {1 + [B( e p)/2 ]2}

1/2 o también

2 K = B ( e p) + [42 + B

2( e p)

2]1/2

[20]

14.10) Si se definen las energías,

EIII = 2 K+ B ( e p) = + [42 + B

2( e p)

2]

1/2

EIV = 2 K B ( e p) = [42 + B

2( e p)

2]

1/2 [21]

verifique que se obtienen las dos ecuaciones que permiten calcular las amplitudes a12 y

a21

a12 + K+ a21 = C3 exp[(h/i)EIII t] [18.1]

a12 + K a21 = C4 exp[(h/i)EIV t] [18.2]

14.11) Halle las expresiones finales para las amplitudes de probabilidad a12 y a21 .

14.12) Verifique los respectivos valores de las energías EI , EII , EIII y EIV , son:

, , y 3 para B = 0 ;

( e p)B , + ( e p)B , + ( e p)B y B ( e p) , cundo B es

muy grande. Grafique dichas cuatro energías en función de la intensidad del campo B.

15) Para el caso en el que se descarta la interacción de los mais entre sí.

14) Consideremos ahora el caso del átomo de hidrógeno en un campo magnético.

En el caso del átomo en un campo B existirán, descartando la energía de interacción de

los mais entre sí, las energías de interacción de los mais con el campo exterior:

W( e , p , B) = E e e B p p B [13]

con = qh/2mc , p > 0 , e < 0

14.1) La ecuación diferencial para el estado del sistema,

7

(E + W) + h/i (t , m1 , m2) = 0 , con = jk ajk(t) | j k

tomará la forma

j k ajk { e e B + p p B) | j k + h/i j k (dajk/dt) | j k = 0

Eligiendo un sistema de coordenadas con el eje Z paralelo a B, es decir, B = B e3 ,

j k ajk {( e e3 B + p p3 B) | j k + h/i j k (dajk/dt) | j k = 0

[14]

14.2) Verifique que, con k = [ 1k 2k] , se cumple

3 k = ( 1)k+1

k , donde k+1 es mód(2)

Es decir,

( e e3 + p p3 ) | j k = e | 3 j k + p | j 3 k = ( 1)j+1

e | j k +

( 1)k+1

p | j k } = {( 1)j e + ( 1)

ke} | j k [16]

14.3) Verifique que:

( e e3 + p p3 ) | 1 1 = ( e + p) | 1 1

( e e3 + p p3 ) | 1 2 = ( e p) | 1 2

( e e3 + p p3 ) | 2 1 = ( e p) | 2 1

( e e3 + p p3 ) | 2 2 = ( e + p) | 2 2

14.4) Verifique que la ecuación diferencial [14] toma la forma:

B{ a11 ( e + p) | 1 1 + a12 ( e p) | 1 2 a21 ( e p) | 2 1 a22 ( e +

p) | 2 2 } + + h/i j k ajk | j k = 0

14.5) Verifique que la ecuación anterior da lugar a 4 ecuaciones:

B a11 ( e + p) | 1 1 + h/i a11 | 1 1 = 0

B{ a12 ( e p) | 1 2 } + h/i a12 | 1 2 = 0

B{ a21 ( e p) | 2 1 } + h/i a21 | 2 1 = 0

B{ a22 ( e + p) | 2 2 } + h/i a22 | 2 2 = 0

es decir,

B ( e + p) a11 + h/i a11 = 0 [04.1]

B a12 ( e p) + h/i a12 = 0 [05.1]

B a21 ( e p) + h/i a21 = 0 [06.1]

B ( e + p)] a22 + h/i a22 = 0 [07.1]

14.6) Verifique que , con

E11 = B ( e + p) , E12 = B( e p) , E21 = B( e p) , E22 = B ( e + p) [17]

las ecuaciones [04.1] y [07.1] , tienen las soluciones

a11(t) = C11 e – i (E11/h) t

, a12(t) = C12 e

– i (E12/h) t ,

a21(t) = C21 e – i (E21/h) t

, a22(t) = C22 e – i (E22/h) t

[18]

14.12) Halle los estados del sistema y los valores de las energías cuando B = 0.

8

16) i) Grafique correctamente las energías de los estados estacionarios correspondientes

al átomo de hidrógeno en un campo magnético B , ii) Explique, usando tal gráfico,

cómo se podría determinar la intensidad del campo magnético existente en cierta estrella

lejana si desde ella se ha recibido una señal luminosa de frecuencia f.

EI = B ( e + p) , EII = + B ( e + p) [17]

y los estados estacionarios: a11(t) = C11 e – i EI t /h

, a22(t) = C22 e – i EII t / h

EIII = + [42 + B

2( e p)

2]

1/2 B( e p)

EIV = [42 + B

2( e p)

2]1/2

B( e p)

y los correspondientes estados estacionarios:

a12 + K+ a21 = C3 exp[(h/i)EIII t] , a12 + K a21 = C4 exp[(h/i)EIV t]

donde 2 K = B ( e p) + [42 + B

2( e p)

2]1/2

Note que:

dEIII/dB = B( e p)2 / [4

2 + B

2( e p)

2]

1/2 > 0 B( e p)

dEIV/dB = B( e p)2 / [4

2 + B

2( e p)

2]

1/2 < 0 B( e p)

Dada la señal de energía hf , habría que ver dónde dicha barra de energía “calza” como

diferencia de energías.

EL MOMENTO MAGNÉTICO Y EL MOMENTO ANGULAR hgv

01: En electromagnetismo vimos que la fuerza que aparece sobre un pequeño dipolo

magnético, M , colocado en un campo magnético exterior B es

F = M B(Po)

02: Si Uinterac es la energía de interacción entre el dipolo y el campo B, entonces

podemos escribir F = – Uinterac , con lo cual dicha energía de interacción resulta ser:

Uinterac(entre el pequeño dipolo M y el campo externo B) = – M B

I

III

II B hf

3

IV

9

donde se puede apreciar que la energía de interacción es mínima cuando el dipolo es

equiparalelo al campo.

03: Ahora consideraremos que si e es la carga del electrón, podemos definir una

densidad de carga, que producirá una densidad de corriente según:

e = e· = e·| |2 , e = e· .

[Nótese que esta definición es, en realidad, una interpretación de los cálculos que vamos

a realizar, pues dichos cálculos se realizarán dentro de las propiedades que ya

conocemos para la función de onda y para los operadores]

04: Teniendo presente que P = h/i[er Dr + (1/r) e D + (1/r.sen )e D ] , la corriente

de probabilidad = (1/2 )[ *(P ) + (P )*] = (1/ )Real[ *P ] , para la función de

estado (r, , ) se cumple D = im , y que los productos *Dr y

*D son

reales, mientras que *D = i·m·

* es imaginario puro, obtenemos .

= [h·m/( r sen )] | |2 e

05: Junto a la ficticia densidad de carga q = q | |2 obtenemos así la ficticia densidad de

corriente q = e = [qh·m/( r sen )] | |2 e (alrededor del arbitrario tercer eje).

06: Esta corriente alrededor el eje Z produce un dipolo magnético (orbital) de momento

Mdip mag orb = mh (q/2 c) e3 [para electrón |q|h/2 c = 9 10 – 21

cgs]

Debe tenerse en cuenta lo siguiente:

i) m·h es “la componente” del momento angular en la dirección del eje Z, donde, como

hemos visto, L3 = mh ,

ii) El sistema de coordenadas elegido es completamente arbitrario; es decir, el eje Z es

arbitrario. Es decir, la relación de más arriba vale en cualquier dirección. Esto nos

permite definir un operador mmdo, de momento magnético dipolar orbital

Mdip mag orb = (q/2 c) L

07: En la interacción del átomo de hidrógeno con un campo magnético exterior se

obtuvo

HB = H – q/2 c B (L + 2 S) (con q <0 para el electrón)

donde el segundo sumando debe representar la energía de interacción del campo dipolar

magnético del átomo, con dicho campo exterior. Recordemos que la energía de

interacción dipolo-campo magnético es W = – M B . Entonces el momento magnético

total del átomo será

Mtotal = q/2 c ( L + 2 S) = Morb + Mintrínseco

es decir, así como hemos definido el operador de mmdo podemos definir el operador de

momento magnético intrínseco, mmdi, del electrón o de otra partícula,

Mmagn orb = q/2 c L Mmagn intríns = q/ c S (qelec < 0 )

08: Asumiendo que el electrón, el protón, el neutrón (y otros) poseen el mismo operador

de mai , que eventualmente los distinguimos por medio de un subíndice, tendremos que

Mmmin elec = qe/ ec S Mmmin prot = qp/ pc S

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donde podemos apreciar que: i) En el caso del protón, el mmdi y el mai son

equiparalelos, mientras que en el caso del electrón ellos son antiparalelos, ii) El mmdi

del protón es casi 2000 veces más pequeño que el del electrón.

09: Si se colocase el átomo de hidrógeno en un campo magnético B, entonces la energía

de interacción de los mmdis con dicho campo será igual a – (qe/ ec) Se B – (qp/ pc)

Sp B o, más cómodamente,

– (qeh/2 ec) e B – (qph/2 pc) p B (qe < 0 , qp > 0 )

10: La energía total de interacción magnética en el átomo de hidrógeno en un campo

magnético exterior B, será:

W = e p – (qeh/2 ec) e B – (qph/2 pc) p B

donde es una cierta constante a ser determinada por la ecuación de estado. Por

comodidad escribiremos W = e p – Ae e B – Ap p B

o también W = (2 – 1) – Ae e B – Ap p B

11: Verifique que

W | j k = (2 | k j – | j k ) – Ae | B j k – Ap | j B k

12: Verifique que: B k = ( 1k B3 + 2k B ) 1 + (– 2k B3 + 1k B ) 2

13: Verifique que:

W | j k = (2 | k j – | j k ) +

– Ae [( 1j B3 + 2j B ) 1k + (– 2j B3 + 1j B ) 2k] +

– Ap [( 1k B3 + 2k B ) j1 + (– 2k B3 + 1k B ) j2]

13: Verifique que:

W j k ajk | j k = (2 akj – ajk ) jk +

– k Ae [(a1k B3 + a2k B ) 1k + (– a2k B3 + a1k B ) 2k] +

Ap [(ak1 B3 + ak2 B ) k1 + (– ak2 B3 + ak1 B ) k2]

14: Verifique que las ecuaciones diferenciales para los coeficientes ajk son:

( AeB3 ApB3) a11 – ApB a12 – AeB a21 + h/i da11/dt = 0

ApB+ a11 + ( AeB3 + ApB3) a12 + 2 a21 – AeB a22 + h/i da12/dt = 0

AeB+ a11 + 2 a12 + (– + AeB3 ApB3) a21 – ApB a22 + h/i da21/dt = 0

AeB+ a12 – ApB+ a21 + ( + AeB3 + ApB3) a22 + h/i da22/dt = 0

15: Elija los ejes coordenados adecuadamente

( AeB3 ApB3) a11 – ApB a12 – AeB a21 + h/i da11/dt = 0

ApB+ a11 + ( AeB3 + ApB3) a12 + 2 a21 – AeB a22 + h/i da12/dt = 0

AeB+ a11 + 2 a12 + (– + AeB3 ApB3) a21 – ApB a22 + h/i da21/dt = 0

AeB+ a12 – ApB+ a21 + ( + AeB3 + ApB3) a22 + h/i da22/dt = 0