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MATEMÁTICA

Curso de nivelación en matemática destinado a alumnos ingresantes al

IFDC -cede San Luis-, mayores de 25 años y sin el nivel secundario

completo.

Profesoras: G. Lorena Kasián – Inés Abdala

AÑO: 2017

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INDICE

Página

Anexo Teórico

- Conjuntos Numéricos. Definición 3

− Los números naturales y enteros 3

− Los números racionales 10

− Propiedades de los conjuntos numéricos 14

Anexo Práctico

− Número naturales y enteros. Operaciones 15

− Múltiplos y Divisores 19

− Números racionales. Operaciones 20

− Bibliografia 24

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ANEXO TEORICO

Conjuntos Numéricos

La noción de número es tan antigua como el hombre. Los distintos tipos de

números han ido apareciendo por necesidades diferentes a lo largo de la historia, incluso

se han usado sin tener una fundamentación para ese uso. Es, de alguna manera, lo que

hacemos muchos cuando, al tratar de calcular la longitud de una circunferencia por

ejemplo, nos encontramos con el número y lo remplazamos por 3,14. En realidad no

vale 3,14; pero esta es una buena aproximación.

Los Conjuntos Numéricos son colecciones, agrupaciones o grupos de números

con características comunes que los definen como una clase, entre los más comunes

están: el conjunto de los números naturales, el conjunto de los enteros, el conjunto de

los números racionales y el conjunto de los números reales.

Números naturales y números enteros

Los números naturales son los que nos permiten contar cuántos elementos hay

en una colección, determinar qué posición ocupa un elemento en una lista e identificar

qué elemento es uno entre otros.

El símbolo que se utiliza para referirnos a este conjunto es N, también suele

escribirse: N = {1, 2, 3, ……..}

El primer número natural es el 1 y cada número natural tiene un sucesor o

siguiente, que se obtiene sumando uno. Por ejemplo, el siguiente de 4 es 5, y lo

obtenemos sumando 1 a 4: 4 + 1 = 5.

Entre dos números naturales consecutivos, no existe ningún número natural. Es

decir, entre 2 y 3 no hay otro número natural.

Cada cultura, desde la antigüedad hasta hoy, asocia un nombre y uno o más

símbolos a cada número. A través de la historia de la humanidad, las formas de

representar fueron variando según las necesidades y conocimientos numéricos de cada

época.

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Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que indican de

qué manera se combinan para representar cantidades.

Es necesario poder comparar diferentes escrituras ya que esto contribuye, como

ocurre con todos los objetos matemáticos, a diferenciar determinado número natural y

sus representaciones, y también a reconocer la idea de que un sistema de numeración

implica la elección de una forma particular de representación con símbolos y reglas que

le son propias.

Por esa razón, suele incluirse el estudio en el nivel primario, de otros sistemas de

numeración, con otros símbolos y otras reglas, como por ejemplo el sistema romano de

numeración, cuya enseñanza es parte de la tradición escolar y que tiene como interés

particular que su presencia aún persiste en el uso para numerar siglos, relojes y

volúmenes de colecciones de libros; o en la enseñanza de la Historia misma, al

mencionar décadas o siglos.

Hay dos tipos de sistemas de numeración escrita: aditivos y los posicionales. Los

sistemas egipcio y romano son aditivos porque un número se escribe con una sucesión

finita de símbolos y para conocer su valor es necesario sumar (a veces restar en el

sistema romano) los valores de cada símbolo, que no cambian y son independientes de

su posición.

En los sistemas posicionales, como el babilonio, maya y el decimal, que es el

sistema numérico que nosotros utilizamos, cada cifra tiene un valor en si misma, a su

vez, tiene un valor relativo puesto que depende de la posición que ocupa en el número.

Veamos un ejemplo de nuestro sistema: 3485

3485 = 3 x 1000 + 4 x 100 + 8 x 10 + 5, la cifra 8 vale 8 veces 10; en cambio en

el número 2823, la cifra 8 vale 8 veces 100.

En el sistema decimal, cada unidad de un orden se forma agrupando diez

unidades; 10 unidades forman una decena; 10 decenas forman una centena; 10 centenas

forman una unidad de mil; etc.

Una manera de representar los números naturales es mediante la recta numérica,

en la cual se marca el 0, que es el origen desde donde se empieza a contar; la unidad es

la distancia uniforme que separa dos números naturales consecutivos.

5

Cuando sumamos números naturales entre sí, siempre obtenemos un número

natural. En el caso de la resta, para que m – n dé como resultado otro número natural, m

debe ser mayor que n.

Al efectuar sumas, el cero tiene una característica importante: sumar cero a un

número natural, obtenemos el mismo número natural, por ejemplo: 7 + 0 = 7.

Los números naturales permiten resolver muchos problemas, pero hay ocasiones

que se nos presentan operaciones que no se pueden resolver en el campo de los N,

como por ejemplo: 3 – 9; para ello los matemáticos necesitaron definir nuevos números,

así es que crearon los números enteros negativos.

Muchos problemas de la vida cotidiana necesitan de números para ser resueltos.

La utilidad de los signos + y – no sólo para representar las operaciones de suma y resta,

sino que también son útiles para indicar relaciones de cantidades, o de orden respecto a

una referencia como el cero.

Por ejemplo, si tomamos un termómetro ambiental, podemos observar las

temperaturas inferiores a cero en rojo, las superiores en negro. Usualmente, en invierno

solemos decir u observar en noticieros: “Hacen 3º bajo cero” y se representa con el

número entero negativo -3. O en pleno verano: “Qué calor!!!!! La temperatura actual es

de 28º” y se representa mediante el número +28, que por ser natural o entero positivo se

suele omitir el signo +.

6

Los signos en este conjunto de números, también se utilizan para indicar

transformaciones en la cantidad de elementos de una colección, para comparar

cantidades. Por ejemplo, +3 puede interpretarse como avanzar 3 unidades, agregar 3, y

tener -6 sería retrocedes 6, quitar 6.

Todas las sumas entre números naturales dan como resultado otro número

natural, no así sucede con las restas; por ejemplo si necesitamos resolver esta cuenta: 5

– 8 no lo podríamos hacer en el campo de los naturales, por ello surge la necesidad de

definir la resta entre dos números naturales cualesquiera, sin aclarar que el minuendo es

mayor que el sustraendo, lo que lleva a definir los números enteros negativos, como el –

20; -15; -6; etc.

Los números naturales, o enteros positivos, el cero y los números enteros

negativos forman el conjunto de los enteros. La simbología que se utiliza para referirnos

al conjunto de los números enteros es Z.

Si extendemos la semirrecta utilizada para representar los números naturales, en

sentido contrario, podemos representar los números enteros.

7

Dos números enteros que están a la misma distancia del cero, y tienen signo

distinto, se llaman números opuestos. Si los sumamos nos dan como resultado cero;

quien es el elemento neutro de la suma en el campo de los Z.

Todo número entero negativo es menor que cero, y que todo entero positivo.

Dados dos números enteros negativos, será mayor el que se encuentre a menor distancia

del cero.

En el campo de los enteros, como hemos visto, tenemos signos positivos y

signos negativos. Para poder interpretar la suma y la resta, con estos números, suele

pensarse en agregar o quitar, en debo y tengo. Por ejemplo, -6 + 13, podría pensarse

como: Si debo -6 y tengo 13, ¿ cuánto me queda?. O si tenemos -3 – 4, es decir debo 3 y

debo 4, en total debo 7, es decir: -3 -4 = -7.

Si los sumandos tienen distinto signo, el módulo (o valor absoluto) del resultado

es la diferencia entre los módulos de los números y el signo del resultado es el signo del

número que tiene mayor módulo. Si los sumandos tienen igual signo, éste se mantiene y

el módulo del resultado es la suma de los módulos de los números.

Por ejemplo: a) (-5) + 3 = -2

b) (-4) + (-3) = -7

c) 7+ 2 = 9

La diferencia (resta) entre dos números entero m y n, es r, m – n = r, si y sólo si r

+ m = n. De manera análoga, m – r = n.

Veamos ejemplos de la resta:

a) 8 – 3 = 5

b) 7 + (-4) = 3; lo que equivale decir que a 7 debemos restarle el opuesto de (-

4), es decir, 7 – 4 = 3.

c) (-9) + 5 = - 4; tomando el análisis anterior, a -9 debemos restarle el opuesto

de 5, es decir. (-9) - (- 5) = -4.

La suma entre números enteros es asociativa y conmutativa, pero no es posible

asociar y conmutar en la resta. Por ejemplo:

a) 4 +6 + 2 = 12 y 6 + 2 + 4 = 12 Propiedad conmutativa

b) ( 3 + 5) + 2 = 10 y 3 + (5+ 2) = 10 Propiedad asociativa

La multiplicación se puede definir a partir de la suma, y la división a partir de la

multiplicación.

8

Como hemos visto, los números enteros tienen signo positivo y negativo. Ya

vimos como sumar y restar enteros con distinto signo, ahora veremos cómo multiplicar

y dividir.

La multiplicación de dos números enteros n y m, puede definirse como la suma

de n veces m; es decir: m + m + m + …........ + m = n . m. Si llamamos b, otro número

entero al resultado de multiplicar n x m; n x m = b; b es el producto: y n; m son los

factores.

Si los signos de los factores de una multiplicación entre dos o más números

enteros son distintos, el signo del producto se puede determinar de la siguiente manera;

por ejemplo, 3 x ( - 2) = (-2) + (-2) + (-2) = -6; el mismo resultado se obiente si

efectuamos (-2) x 3 ya que se cumple la propiedad conmutativa.

Se define a el 1 como elemento neutro en la multiplicación ya que 1 x n = n, por

ejemplo 5.1= 5; y al número cero como el elemento absorbente, puesto que 0. n = 0 por

ejemplo 3.0 = 0, -5. 0 = 0.

Observación: Muchas veces, y en muchos libros de textos matemáticos, se

utiliza el punto como símbolo de la multiplicación en vez de utilizar el símbolo x.

A partir de esta definición, y de manera equivalente, podemos afirmar que b es

múltiplo de n; o que m es divisor de b dado que b : m = n. También puede derivarse que

b : m = n y b : m= n. Teniendo un cuidado particular que m y n, al ser tomados como

divisores sean distintos de cero, puesto que la división por cero no está definida, porque,

por ejemplo, (-4) . 0 = 0 y 7 . 0= 0, entonces se podría concluir que -4 = 7, lo que no es

cierto!!

La división exacta entre números enteros, con divisor distinto de cero, es la

operación inversa de la multiplicación.

Para la división entre dos números naturales D y d es encontrar dos únicos

números naturales c y r; con r < c, que cumplen d.c + r = D. Por ejemplo, 140 dividido

40, da como cociente 30 y resto 20. En la relación mencionada: 140 = 40. 3 + 20, donde

el resto no puede superar al cociente, ya que se podría dividir una vez más!

Ahora, si los números a dividir son enteros, siempre considerando el divisor

distinto de cero, debemos modificar la definición anterior, ya que podríamos tener más

de un resultado:

140 = 40. 4 + (-20) y -20 < 40!!

9

140 = 40. 5 + (-60) y – 60 < 40!!

Para que el resultado de dividir dos números enteros sea único, se debe poner

como condición que el divisor sea mayor que ceros y que el resto sean mayor o igual a

cero.

Si el dividendo y divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo y, si tienen

el mismo signo, el cociente es positivo.

Hay reglas nemotecnicas para trabajar la multiplicación y división de números

enteros, que detallamos a continuación:

MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN

+ . + = + + : + = +

- . - = - - : - = -

+ . - = - + : - = -

- . + = - - : + = -

La multiplicación suele utilizarse para resolver problemas como el que sigue

“En una fábrica de bombones, se hacen bombones rellenos de dulce de leche y otros

rellenos de dulce de fruta; en moldes con forma de corazón, flor, cara de oso y

rectángulo. ¿Cuántos moldes distintos se fabrican?

Corazón Flor Oso Rectángulo

Dulce de Leche DLC DLF DLO DLR

Dulce de frutas DFC DFF DFO DFR

A través de este cuadro de doble entrada puede observarse la cantidad de moldes a

realizar: 4. 2 = 8.

Otras operaciones que se definen en el campo de los enteros son la potenciación

y radicación.

Si tenemos (-3) . (-3). (-3) = ( -3)3 = -27, es decir que la potenciación es

multiplicar tantas veces la base, en este caso (-3), como lo indica el exponente, 3.

Podemos definir formalmente que, para cualquier a entero y n natural, si se

10

multiplica a por si mismo n veces, se obtiene b, lo que se escribe: an = b. Si a es entero

negativo y b es natural par, an será positivo y si n es impar será negativo.

Obtener la raíz cuadrada de un número entero, es determinar si existe algún

número entero elevado al cuadrado que dé como resultado ese entero. En el caso de la

raíz cuadrada y de los índices pares, sólo está definida la operación si el número entero

es positivo, por ejemplo √16 = 4, ya que 4. 4 = 16; en cambio √ 16 no tiene solución

puesto que (-4).(-4) = 16 y no -16!!!!!!

Formalmente, si n es un número natural, se dice que el número entero a es la raíz

enésima del número b, si b es la potencia enésima de a.

Es decir,

n√b = a si y solo si an = b.

Números racionales

Del mismo modo que sucedía en los naturales, pasa en los enteros, pues hay

operaciones en las que no podemos resolver solo con enteros, por ejemplo no hay entero

que resuelva (-10) : 4 o que 4. n = -10 con n entero. Por lo cual, se necesitó ampliar en

campo de los números y es así como surgen los números racionales, cuyos números se

definen como el cociente de dos enteros, cuyo divisor sea distinto de cero. Su símbolo

es Q.

Al igual que los números naturales, enteros, la forma de anotar los números

racionales ha ido cambiando a los largo del tiempo.

Desde los tiempos egipcios, se usaron las expresiones fraccionarias para indicar

cocientes en situaciones de reparto y medición. En esas épocas, las fracciones tenían

como numerador a 1:

12

; 14 etc. En general, el numerador era 1 y el denominador

cualquier número natural. Actualmente, contamos con esas expresiones pero no sólo

para números menores que uno, sino también para los mayores que la unidad. Por

ejemplo

52 .

Los babilonios, en cambio utilizaban expresiones decimales puesto que tenían un

sistema posicional, sistema sexagesimal, y anotaban las cantidades menores a uno

colocando símbolos a la derecha de aquellos que indicaban la parte entera.

11

Los números racionales se escriben respetando la misma regla de agrupamiento

que se usa para los números enteros: cada unidad de un orden se forma agrupando de

diez unidades del orden anterior. La coma separa la parte entera de las subunidades que

surgen de dividir la unidad en diez partes iguales (décimos), en cien partes iguales

(centésimos), etc.

Las expresiones fraccionarias pueden transformarse en expresiones decimales

mediante la división del numerador con el denominador. Si la división es exacta, la

expresión decimal es exacta y se puede expresar mediante una fracción decimal, por

ejemplo:

52 = 5 : 2 = 2, 5. Ahora si no se obtiene resto cero, la expresión decimal se

llama periódica; se observa que a partir de un momento dado comienzan a repetirse los

restos, por lo cual también comenzarán a repetirse los cocientes. Por ejemplo,

13 = 3,

33333....... = 3 3 .

Una forma de representar en la recta numérica un número racional

ab es

dividiendo cada segmento unidad en b partes iguales y tomando a partes a partir del

punto que representa el origen, es decir del cero.

Un mismo número racional puede resultar de la división entre pares de números

enteros diferentes:

13

= − 246

= 4

El signo del número estará dado por aplicar la regla de los signos al cociente

entre ellos.

Para efectuar sumas y restas entre racionales, se puede proceder mediante la

suma de expresiones fraccionarias o expresiones decimales:

12

FRACCIONES DECIMALES

Si las fracciones a sumar y/o restar tienen

igual denominador, se coloca el mismo

denominador y se suman o restan los

numeradores:

*

73

+ 43

= 113 *

14

− 94

= 64

= 32

Se deben sumar o restar las unidades del

mismo orden, realizando las conversiones

correspondientes y teniendo en cuenta que

una unidad es igual a diez decimos, que un

décimo es igual a diez centésimos, etc.

* 1,3 + 0, 68 = 1, 98

* 0, 75 – 1, 30 = - 0, 55

Si las fracciones tienen distinto

denominador, debemos transformarlas en

fracciones equivalentes del mismo

denominador, y luego procedemos como

suma o resta de fracciones de igual

denominador.

34

+ 53

= 912

+ 2012

= 2912

Veamos como multiplicar y dividir fracciones:

¿Cuál es el área del rectángulo menor si se considera como unidad de medida el área del

rectángulo grande?

El rectángulo grande= R se encuentra compuesto por 20 cuadraditos, el área del

rectángulo menor = r está compuesto por 6 cuadraditos verdes. Podemos concluir que el

área r =

62

13

El área del rectángulo está dada por el producto del ancho por el alto, podemos

interpretar que el área r =

34

. 25

= 620

MULTIPLICACION DE FRACCIONES MULTIPLICACION DE DECIMALES

La multiplicación de dos fracciones es el

resultado de multiplicar los numeradores y

los denominadores entre si. Aplicando la

regla de los signos entre los factores

intervinientes.

*

45

. − 23

= − 815

La multiplicación entre números

decimales, se efectúa mediante la

multiplicación de las fracciones decimales

correspondientes y luego se consideran

tantas cifras decimales como resulten de

sumar las partes decimales de ambos

factores.

* 0,32 . 1,24 = 0, 3968

Otra situación a resolver: Si de 1 kg de naranjas se obtienen

34 litros de jugo,

¿Cuántos kg se necesitan para obtener 3 1

2 litros de jugo?

Una forma de resolverlo es pensar cuanto jugo se va obteniendo por cada kilo de

naranjas:

kilos 1 2 4 =

13

13

23

13

litros 34

64

14

14

24

14

Para obtener 3 litros de jugo necesitamos 4 kilos de naranjas, para obtener medio litro

más de jugo, necesitamos

23 de kg más de naranjas; es decir que se necesitan

4 23 kilos

de naranjas para poder hacer

3 12 litros de jugo.

Otra manera de calcularlo es:

14 :

34 =

13 =

4 23 Quiere decir que para obtener

3 12 litros de jugo debemos tener

4 23 kilos de naranjas.

14

DIVIDIR FRACCIONES DIVIDIR DECIMALES

La división entre dos fracciones se puede

calcular mediante la multiplicación del

primer numerados con el segundo

denominador, que forman el numerador

resultante, y el denominador resultante

viene dado por el producto entre el primer

denominador con el segundo denominador.

*

35

: 47

= 2120

La división de números decimales se

puede transformar en una división de

números enteros entre sí.

* 1,25 : 0, 25 = 125 : 25 = 5

Las propiedades que cumplen estos conjuntos numéricos.

Propiedades del Conjunto de los Números Naturales

El conjunto de los números naturales incluido el cero se representa: N0y cumple

las siguientes propiedades:

Tiene primer elemento y no tiene último elemento.

Es un conjunto infinito.

Es un conjunto ordenado, es decir que, dados dos números naturales a y

b se puede establecer exactamente si a=b ó a<b ó a>b.

Todo número natural tiene un sucesor.

El conjunto de los números naturales es un conjunto discreto pues entre

dos números naturales siempre hay un número finito de números

naturales.

Propiedades del Conjunto de los Números Enteros

El conjunto de los números enteros, como vimos, lo simbolizamos con la letra Z

y cumple las siguientes propiedades:

No tiene primer ni último elemento.

Es un conjunto infinito.

Es un conjunto ordenado.

Todo número entero tiene un sucesor y un antecesor.

El conjunto de los números enteros es un conjunto discreto.

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Propiedades del Conjunto de los Números Racionales

El conjunto de los números racionales, que simbolizamos con la letra Q, cumple

las siguientes propiedades:

No tiene primer ni último elemento.

Es un conjunto infinito.

Es un conjunto ordenado.

El conjunto de los números racionales es un conjunto denso, porque entre

dos números racionales existen infinitos números racionales.

Propiedades del Conjunto de los Números Reales

Los reales cumplen las siguientes propiedades:

No tiene primer ni último elemento.

Es un conjunto infinito.

Es un conjunto ordenado.

El conjunto de los números reales es denso.

El conjunto de los reales es continuo, ya que a cada número real le

corresponde un único punto en la recta numérica y viceversa, a cada

punto de la recta numérica le corresponde un único número real.

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ANEXO PRACTICO

NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS. SUS OPERACIONES

1) Después de transitar la escuela primaria, donde resolvieron muchos problemas de

matemática; ¿Podrían escribir tres enunciados de problemas que se resuelvan con

sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones?

2) Completar con “mayor” o “menor” y explica porque.

a) Todo número positivo es…………………..que 0 (cero).

b) Todo número negativo es………………….que cualquier número positivo.

c) El cero es…………………que cualquier número negativo.

3) Determinar.

a) Qué número hay que sumarle a -5 para obtener 2.

b) Qué número hay que restarle a 5 para obtener -4.

c) Qué número hay que sumarle a 3 para obtener 0.

4) Completar con “positivo” o “negativo” y explica porque.

a) Si se multiplican tres números negativos el producto es…………………..

b) Si se multiplican dos números negativos y uno positivo el producto es……………………..

c) Si multiplicamos cinco números negativos y dos positivos el producto es…………………….. d) ¿Cuántos números enteros hay entre el -2 y el 2, incluyendo ambos números?¿y

cuántos números enteros hay entre 4 y el 5 sin incluirlos a ambos? Explica tu respuesta

5) Lean los siguientes enunciados:

a) Para terminar de pagar un auto que cuesta $ 136000, se pagaron $125120. ¿Cuánto

falta pagar?

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b) Martín tiene 5 años más que su prima y 6 menos que su hermano. Si la prima tiene 6

años, ¿Cuántos años tiene el hermano de Martín?

c) El mes pasado Ana le debía $120 a su mamá. Este mes compró 4 libros y le pidió

dinero nuevamente. Ahora le debe más de $350. ¿Cuánto gastó Ana en libros?

d) Se desea alfombrar un dormitorio que tiene 12 m2 y colocar el zócalo. ¿Cuántos

metros de alfombra de 2m de ancho se necesitan? ¿Cuántos metros de zócalo se deben

comprar?

e) ¿Es posible dividir un número por 25 y obtener cociente 8 y resto 24? ¿Y dividir 25

por un número de modo que el cociente sea 8?

6) Comparen los enunciados que se escribieron en el ejercicio 1 con los que leyeron en

2. Para ello, tengan en cuenta, por ejemplo, cuales son las situaciones o los temas a los

que se refieren los problemas, si la respuesta es un único número, si para resolverlos se

usan todos los números que aparecen en el enunciado, si no se puede dar una respuesta

con los datos que se tienen, si se usan palabras clave para indicar la operación, como

total, cuando se usa la suma, o repartir si se usa la división. Luego completen el cuadro

con las comparaciones que establecieron.

Problema Tema ¿La respuesta es

un único número?

¿Se usan todos

los números?

¿Se puede dar

una respuesta

con los datos

que se tienen?

¿Se usan

palabras

claves?

a

b

c

d

e

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7) Una empresa que atiende varios comedores escolares tenía organizado este menú

para el mes de Noviembre:

Cuando se envió el menú a las escuelas, muchos alumnos y padres se quejaron porque

los chicos siempre comían lo mismo. El dueño de la empresa pensó, entonces, que con

esos platos y esos postres se podían armar menús distintos para más de dos meses.

¿Piensan que el dueño de la empresa estaba exagerando o que tenía razón? ¿Porqué?

a) Comparen el procedimiento que usaron para responder a la pregunta, con la manera

que aparece en el apartado teórico. ¿Cuáles son las diferencias? ¿Cuál es el más

ventajoso? ¿Porqué?

b) Dibujen un diagrama de árbol y escriban un cálculo para resolver el problema

anterior.

8) El dueño de la misma empresa de comedores escolares quiere aumentar la cantidad

de menús posibles incorporando algunos platos nuevos.

a) ¿Se obtiene la misma cantidad de menús distintos si se incluyen dos postres nuevos

que si se incluyen dos platos de carne o pastas? Registren cómo piensan

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b) ¿Se modifica mucho la cantidad de menús posibles si se combinan cuatro platos,

cuatro guarniciones y cuatro postres o cinco platos, cinco guarniciones y cinco postres?

¿Porqué?

c) Si se desea mantener la misma cantidad de platos que de guarniciones y de postres,

¿cuántas variedades tendría que haber de cada uno para tener un menú diferente cada

día de año escolar?

9) El lunes Ana ahorró $1, el martes $2 y el miércoles $4. Pensó que si seguía así, y

cada día podía ahorrar el doble que el día anterior, podría llegar a tener $256 en cierto

tiempo. ¿Cuántos días tiene que ahorrar para lograrlo?

10) a) Pedro dice que en una caja entran 27 cubos en el largo, 25 en el ancho y 40 en la

altura, y quiere saber cuántos cubos entran en total.

Ricardo dice que primero hay que calcular la superficie de la base con la fórmula sup.

de la base = largo x ancho y hacer la cuenta 27 x 25. Enseguida, Esteban dice que entran

27.000 cubos. ¿Qué cuenta habrá hecho Esteban para terminar tan rápido?

b) Si se quieren ubicar los cubos en cajas del mismo largo y ancho, pero de menor

altura, ¿cuáles podrían ser las alturas si se reemplaza cada caja por dos sin utilizar cajas

de menos de 10 cubitos de altura?

11) Una pileta de natación rectangular tiene 8m de largo y 4 m de ancho. Para seguridad

de los niños, se quiere colocar una reja alrededor de la pileta a 1 m del borde, dejando

dos aberturas de 1 m cada una para colocar puertas. En un catálogo del local Todocantri,

se lee:

a) Sabiendo que no se quieren subdividir los módulos, ¿Cuáles conviene comprar?

b) ¿Qué tuvieron en cuenta para decidirse?

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c) ¿Creen que alguien podría tomar otra decisión? ¿Porqué?

d) Al ser consultado sobre este caso, un vendedor del local afirmó rápidamente:

!Quedesé tranquilo, que con $320 le sobra". ¿Cómo obtuvo ese valor?

12) Investiga

En 1858, el egiptólogo escocés A. Henry Rhind visitó Egipto y en Luxor compró un

papiro que había sido encontrado en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas.

Actualmente este papiro se conoce como papiro Rhind o papiro de Ahmes.

Investiga en Internet o en otras fuentes qué tipo de problemas había en el papiro de

Rhind. a) ¿Cómo era su sistema de numeración? ¿Cómo representaban las fracciones los

egipcios?

MULTIPLOS Y DIVISORES

13) Para armar ofertas de golosinas, Don Héctor cuenta con 60 chupetines, 75 galletitas

con chocolate y 120 caramelos. Quiere armar bolsitas iguales que contengan el mayor

número posible de cada cosa. ¿Cómo pueden averiguar las cantidades? ¿Cuántas

bolsitas pueden armar?

14) Además don Héctor tiene una caja de bolitas que quiere colocar en bolsas que

contengan la misma cantidad.

Si coloca 2 en cada una de las bolsas, le queda una suelta. Pero si coloca 3 en cada una,

le sobran 2. En cambio, al colocar 4, le sobran 3.

Finalmente, logra armar bolsas con 5 bolitas cada una, sin que queden sueltas. ¿Con

cuántas bolitas contaba Don Héctor si en caja habían más de 70 y menos de 100?

¿Cómo lo averiguaron?

15) En un control policial, se decidió examinar los frenos cada 6 automóviles; la

documentación, cada 10 y las luces reglamentarias, cada 15. Si a un vehículo se le

realizó una revisión completa, ¿Cuántos serán examinados después de éste para que

nuevamente se realice una revisión completa?

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16) a) Dado un número natural cualquiera, ¿Cuál es su divisor más pequeño? ¿Y el

mayor? ¿Se cumple para cualquier número natural? ¿Porqué?

b) Si un número es divisor de otro, ¿también lo es de los múltiplos de éste? ¿Porqué?

c) Dado un número natural cualquiera, ¿Cuál es su múltiplo menor? ¿ Y el mayor?

d) La suma de varios múltiplos de un número, ¿también es múltiplo de dicho número?

Expliquen su respuesta.

17) a) ¿Cuáles son los números que tienen sólo dos divisores distintos? ¿Cómo lo

averiguaron?

b) La suma de dos números primos, ¿es un número primo? ¿Siempre? ¿Porqué?

c) El producto de números primos, ¿es un número primo? Justifiquen su respuesta.

NUMEROS RACIONALES Y SUS OPERACIONES

18) Alejandro compró un lavarropas que costaba $6900. Le ofrecieron pagarlo sin

recargo haciendo una entrega de $5000 y el resto en cuotas iguales. ¿Cuánto tendrá que

pagar por cuota?

19) Martina quiere preparar una torta para 6 personas. Si la receta para 4 personas es la

que aparece a continuación: "Para 4 personas: 150 gr de manteca; 1 taza de harina; 4

huevos; 1 cucharadita de ralladura de limón; 3/4 taza de azúcar" ¿Cuánto necesita de

cada ingrediente?

20) Dibujen la unidad si el siguiente segmento mide:

a)

14 de la unidad

b)

23 de la unidad

c)

54 de la unidad

21) Representen, en las rectas numéricas, los siguientes números:

22

a)

− 16

;− 1 y 73 0

b) − 1,3 ;− 0,2 y 25

22) Ubiquen el 0 y 1 en las siguientes rectas numéricas:

9)

23) Escriban el número racional que representa cada uno de los puntos P, Q y R.

24) El mecánico le dijo a Ramiro que, si el motor de su auto funciona bien, no puede

gastar más de 12 litros de nafta cada 100 km recorridos en la ciudad. Ramiro cargó 39

litros y anduvo 300 km con esa cantidad de combustible. ¿Funciona bien el auto de

Ramiro? ¿Porqué?

25) Resuelva la siguiente actividad que se presenta en un pizarrón escolar:

"Colocar >, < ó =

a) 2,432 .................. 2, 54 b) 0,36..................... 0,360 c) 5,01 ..................... 5, 12

23

26) Berta dice que 2, 432 es mayor que 2, 54 por que los dos números tienen un 2 antes

de la coma y 432 es mayor que 54. ¿Estás de acuerdo con lo que expresa Berta?

¿Porqué?

27) a) Juan dice que el siguiente de 0, 235 es 0,236. ¿Tiene razón? ¿Porqué?

b) ¿Se puede determinar el siguiente de un número racional cualquiera? Explique

porqué.

28) a) Propongan sumas de números racionales que den como resultado:

i)

74 ii) 2, 35 iii) 0,72

b) Propongan restas de números racionales que den como resultados los mismos

números que figuran en el item a).

c) En los casos anteriores, cuántas cuentas pueden plantearse para las distintas

situaciones?

29) Completar las operaciones que aparecen en el siguiente cuadro. Escriba la cuenta

que realizó en cada caso.

74 - ..........................=

14

2,38 + ......................... = 2, 49

..................... +

56 =

95

1, 02 - .................. = 0, 25

1 - ..................... =

17

3, 25 - ( 1, 15 + ...............) =1

24

30) Se compraron 7 botellas de gaseosa de 2

14 litros, ¿Cuántos litros se compraron en

total?

31) ¿Cuáles pueden ser las dimensiones de un rectángulo si su área es de 5m2? ¿La

respuesta es única o habrían distintas medidas?

32) ¿Cuál es el número racional tal que si se le resta su mitad da por resultado 0?

Explica cómo razonas tu respuesta.

Bibliografía

− Enseñar matemática en la escuela primaria. Adriana Diaz, Adriana Castro y

otros. Serie respuestas. Tinta fresca

− Material Ingreso IFDC mayores de 25 años sin secundario completo, Paculnis,

Claudia. 2014.

− Matemática 7: Anexo teórico + trabajos prácticos/ Adriana Diaz; Ana Lía

Crippa; Mónica Agrasar; Graciela Chemello. Longseller, 2011.

− Matemática 8: Anexo teórico + trabajos prácticos/ Adriana Diaz; Ana Lía

Crippa; Mónica Agrasar; Graciela Chemello. Longseller, 2011.

− Matemática. Bachillerato 1. Miguel de Guzmán. Jose Colera. Adela Salvador.

Grupo Anaya. 1991

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