IES Juan García Valdemora TEMA 1. HOJA 4.Números … · ... Clasificación y representación de...
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IES Juan García Valdemora TEMA 1. HOJA 4.Números decimales. Departamento de Matemáticas Clasificación y representación de números reales. Intervalos.
3º ESO
1
1. Escribe en forma de fracción irreducible los siguientes números decimales: a) 1,43 b) – 9,636363… c) 1,010010001…
d) 9,2777… e) 14,3717171… f) 3,24000…
g) 1,123333… h) 3,262626… i) 1,12541254…
a) 1,43 Decimal exacto
1) 43,1=N
2) 143100 =N
3) 100
143=N
Por tanto, 100
14343,1 =
b) – 9,636363… Periódico puro
1) 63,9=N
2) 63,963100 =N
3) Restando los dos resultados anteriores: 95499 =N
4) 11
106
99
954)9 (:
==N
Por tanto, 11
10663,9 −=−
c) 1,010010001… es un número irracional y, por tanto, no se puede expresar como una fracción
d) 9,2777… Periódico mixto
1) 72,9)
=N
2) 7,9210)
=N
3) 7,927100)
=N
4) Restando los dos resultados anteriores: 83590 =N
5) 18167
90835
5) (:==N
Por tanto, 18
16772,9 =)
e) 14,3717171… Periódico mixto
1) 713,14=N
2) 71,14310 =N
3) 71,143711000 =N
4) Restando los dos resultados anteriores: 14228990 =N
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5) 495
7114
990
142282) (:==N
Por tanto, 495
7114713,14 =
f) 3,24000… Decimal exacto
1) 24,3=N
2) 324100 =N
3) 25
81
100
3244) (:==N
Por tanto, 25
8124,3 =
g) 1,123333… Periódico mixto
1) 312,1)
=N
2) 3,112100)
=N
3) 3,11231000)
=N
4) Restando los dos resultados anteriores: 1011900 =N
5) 300
337
900
10113) (:==N
Por tanto, 300337
312,1 =)
h) 3,262626… Periódico puro
1) 26,3=N
2) 26,326100 =N
3) Restando los dos resultados anteriores: 32399 =N
4) 99
323=N
Por tanto, 99323
26,3 =
i) 1,12541254… Periódico puro
1) 1254,1=N
2) 1254,1125410000 =N
3) Restando los dos resultados anteriores: 112539999 =N
4) 303
341
3333
3751
9999
11253)11 (:)3 (:
===N
Por tanto, 303341
1254,1 =
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3
2. Realiza las siguientes operaciones, pasando previamente las expresiones decimales a fracción:
a) =+05,0
3,254,0))
b) =⋅−+ 38,02
15,0
3
2 )
c) ( ) =+−⋅− 30,0200,01,0212,0))
d) =
+⋅−
+⋅ 31,05
19,0
9
180.038,0
)))
e) ( ) =−
−+⋅
⋅− 641,0:6
11
8
34,072.0
2
1 ))
a) 9
502
9
2251
90
20251
20
1:
90
251
20
190
251
20
190
21041
20
13
7
90
41
05,0
3,254,0 =⋅=⋅===
+
=+
=+))
90
4154,0 =•)
1) 54,0)
=N
2) 5,410)
=N
3) 5,45100)
=N
4) Restando los dos resultados anteriores: 4190 =N
5) 90
41=N
Por tanto, 90
4154,0 =)
3
73,2 =•)
1) 3,2)
=N
2) 3,2310)
=N
3) Restando los dos resultados anteriores: 219 =N
4) 3
7
9
213) (:==N
Por tanto, 3
73,2 =)
20
105,0 =•
1) 05,0=N
2) 5100 =N
3) 20
1
100
5)5(:
==N
Por tanto, 20
105,0 =
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4
b) 4
3
12
9
12
568
12
5
2
1
3
2
6
5
2
1
2
1
3
238,0
2
15,0
3
2 ==−+=−+=⋅−+=⋅−+)
2
1
10
55,0 ==•
1) 5,0=N
2) 510 =N
3) 2
1
10
5)5(:
==N
Por tanto, 2
15,0 =
6
538,0 =•)
1) 38,0)
=N
2) 3,810)
=N
3) 3,83100)
=N
4) Restando los dos resultados anteriores: 7590 =N
5) 6
5
90
75)15(:
==N
Por tanto, 6
538,0 =)
c) ( ) =+
⋅−=+
−⋅−=+
−⋅−=+−⋅−30
1
99
92
33
4
30
1
99
2112
33
4
30
1
99
2
9
12
33
430,0200,01,0212,0))
110
3
330
9
330
116040
30
1
11
2
33
4
30
1
11
12
33
4 −=−=+−=+−=+
⋅−=
33
412,0 =•
1) 12,0=N
2) 12,12100 =N
3) Restando los dos resultados anteriores: 1299 =N
4) 33
4
99
12)3 (:
==N
Por tanto, 33
412,0 =
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5
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11,0 =•)
1) 1,0)
=N
2) 1,110v
=N
3) Restando los dos resultados anteriores: 19 =N
4) 9
1=N
Por tanto, 9
11,0 =)
99
2200,0 =•
1) 200,0=N
2) 20,010 =N
3) 20,201000 =N
4) Restando los dos resultados anteriores: 20990 =N
5) 99
2
990
20)10 (:
==N
Por tanto, 99
2200,0 =
30
130,0 =•)
1) 30,0)
=N
2) 3,010)
=N
3) 3,3100)
=N
4) Restando los dos resultados anteriores: 390 =N
5) 30
1
90
3)3 (:
==N
Por tanto, 30
130,0 =)
d) =
+⋅−
+⋅=
+⋅−
+⋅=
+⋅−
+⋅15
23
10
9
45
54
6
5
15
2
5
1
10
9
9
1
45
4
6
531,0
5
19,0
9
180.038,0
)))
15
2
30
4
30
95
10
3
6
1
310
33
6
1
310
9
56
5
3
1
10
9
5
1
6
5
15
5
10
9
45
9
6
5 −=−=−=−=⋅⋅−=
⋅−
⋅=
⋅−
⋅=
⋅−
⋅=
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6
6
538,0 =•)
1) 38,0)
=N
2) 3,810)
=N
3) 3,83100)
=N
4) Restando los dos resultados anteriores: 7590 =N
5) 6
5
90
75)15(:
==N
Por tanto, 6
538,0 =)
45
480,0 =•)
1) 80,0)
=N
2) 8,010)
=N
3) 8,8100)
=N
4) Restando los dos resultados anteriores: 890 =N
5) 45
4
90
8)2 (:
==N
Por tanto, 45
480,0 =)
10
99,0 =•
1) 9,0=N
2) 910 =N
3) 10
9=N
Por tanto, 10
99,0 =
15
231,0 =•)
1) 31,0)
=N
2) 3,110)
=N
3) 3,13100)
=N
4) Restando los dos resultados anteriores: 1290 =N
5) 152
9012
)6(:==N
Por tanto, 15
231,0 =)
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7
e) ( ) =
−
−+⋅
⋅−=−
−+⋅
⋅−12
5:
6
11
8
3
5
2
18
5
2
1641,0:
6
11
8
34,072.0
2
1 ))
=−⋅=⋅⋅−⋅
−=
−
+⋅
−=
−
−+⋅
−=6
12
8
3
18
7
56
125
8
3
18
29
12
5:
6
5
8
3
9
1
2
1
12
5:
6
16
8
3
18
2
2
1
48
89
48
9672
48
72
836
37 −=−=−=−⋅⋅
⋅=
18
572,0 =•)
1) 72,0)
=N
2) 7,210)
=N
3) 7,27100)
=N
4) Restando los dos resultados anteriores: 2590 =N
5) 18
5
90
25)5(:
==N
Por tanto, 18
572,0 =)
5
2
10
44,0 ==•
1) 4,0=N
2) 410 =N
3) 5
2
10
4)2(:
==N
Por tanto, 5
24,0 =
12
5641,0 −=−•)
1) 641,0)
=N
2) 6,41100)
=N
3) 6,4161000)
=N
4) Restando los dos resultados anteriores: 375900 =N
5) 125
900375
)75(:==N
Por tanto, 12
5641,0 =)
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8
3. Indica todos los conjuntos numéricos a los que pertenecen los siguientes números:
7 35
3
12− 15,2− ...323323332'5 3 8− 5 ( )42−
17− π2
3 5 ...3636,2− 230́ 3
17− 9
� NATURALES (Ν )�7; ( )42− ; 9
� ENTEROS (Ζ ) �7; ( )42− ; 9 ; 3
12− ; 3 8− ; 17−
� RACIONALES (Q)� 7; ( )42− ; 9 ; 3
12− ; 3 8− ; 17− 17− ; 3
5; 15,2− ; ...3636,2− ; 230́ ;
3
17−
� IRRACIONALES ( I )� ...323323332'5 ; 5 ; π2
; 3 5
� REALES (ℜ )�TODOS
4. Indica todos los conjuntos numéricos a los que pertenecen los siguientes números:
03,2− 3
15− 3
2− 65 ...2345678910'1 5 1− 9− ( )03−
17− π3 11 ...105105,2− 030́ 3
8 9
� NATURALES (Ν )�65; ( )03− ; 9
� ENTEROS (Ζ ) �65; ( )03− ; 9 ; 3
15− ; 5 1− ; 9− ; 17−
� RACIONALES (Q)� 65; ( )03− ; 9 ; 3
15− ; 5 1− ; 9− ; 17− ; 03,2− ; 3
2− ; ...105105,2− ; 030́ ; 3
8
� IRRACIONALES ( I )� ...2345678910'1 ; π3 ; 11
� REALES (ℜ )�TODOS
5. Ordena de menor a mayor:
a) 3,2)
; 3,2 ; 31,2 ; 13,2)
b) π− ; 14,3− ; 1416,3− ; 142,3− ; 41,3)
− ; 14,3−
a) 3,2)
; 3,2 ; 31,2 ; 13,2)
...3333,23,2 =)
....30000,23,2 =
...31313131,231,2 =
...31111,213,2 =)
Por tanto, 3,231,213,23,2))
<<<
9
b) π− ; 14,3− ; 1416,3− ; 142,3− ; 41,3)
− ; 14,3−
...141592,3−=− π
14,3−
1416,3−
142,3−
...14444,341,3 −=−)
...141414,314,3 −=−
Por tanto, 14,314,31416,3142,341,3 −<−<−<−<−<− π)
6. Representa los siguientes números racionales utilizando el Teorema de Tales:
a) 7
5 b)
4
9 c)
8
5− d) 3
11−
a) 7
5
b) 4
12
4
9 +=
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3º ESO
10
c) 8
5−
d) 3
23
3
11 −−=−
7. Representa en la recta real los siguientes números irracionales:
a) 5
b) 40
c) 10
d) 13
e) 20
f) 102 +
g) 52 −
a) 5
1º) 22 125 +=
Construimos un triángulo rectángulo de catetos 2 y 1.
Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos que la hipotenusa de ese triángulo mide 5 .
2º) Con ayuda de un compás llevamos 5 sobre la recta real.
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3º ESO
11
b) 40
1º) 22 2640 +=
Construimos un triángulo rectángulo de catetos 6 y 2.
Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos que la hipotenusa de ese triángulo mide 40 .
2º) Con ayuda de un compás llevamos 40 sobre la recta real.
c) 10
1º) 22 1310 +=
Construimos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 1.
Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos que la hipotenusa de ese triángulo mide 10 .
2º) Con ayuda de un compás llevamos 10 sobre la recta real.
d) 13 22 2313 +=
1º) Construimos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 2.
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3º ESO
12
Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos que la hipotenusa de ese triángulo mide 13.
2º) Con ayuda de un compás llevamos 13 sobre la recta real.
e) 20
1º) 22 2420 +=
Construimos un triángulo rectángulo de catetos 4 y 2.
Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos que la hipotenusa de ese triángulo mide 20 .
2º) Con ayuda de un compás llevamos 20 sobre la recta real.
f) 102 +
Representamos 10 a partir de 2.
1º) 22 1310 +=
Construimos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 1.
Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos que la hipotenusa de ese triángulo mide 10 .
2º) Con ayuda de un compás llevamos 10 sobre la recta real.
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3º ESO
13
g) 52 −
Representamos 5 a partir de 2 (pero en sentido negativo)
1º) 22 125 +=
Construimos un triángulo rectángulo de catetos 2 y 1.
Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos que la hipotenusa de ese triángulo mide 5 .
2º) Con ayuda de un compás llevamos 5 sobre la recta real.
8. Expresa en forma algebraica, en forma de intervalo y representa en la recta real los siguientes conjuntos numéricos: a) Números reales menores que 5− . b) Números reales mayores o iguales que 3. c) Números reales comprendidos entre 5− y 1 ambos incluidos. d) Números reales mayores que 2− y menores o iguales que 7. e) Números reales comprendidos entre 10− y 1− .
a) Números reales menores que 5− )5,(}5/{ −−∞=−<ℜ∈= xx
b) Números reales mayores o iguales que 3 ),3[}3/{ +∞=≥ℜ∈= xx
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3º ESO
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c) Números reales comprendidos entre 5− y 1 ambos incluidos ]1,5[}15/{ −=≤≤−ℜ∈= xx
d) Números reales mayores que 2− y menores o iguales que 7. ]7,2(}72/{ −=≤<−ℜ∈= xx
e) Números reales comprendidos entre 10− y 1− )1,10(}110/{ −−=−<<−ℜ∈= xx
9. Representa gráficamente y expresa como intervalo: a) { }23/ ≤≤−ℜ∈= xxA
b) { }xxB <ℜ∈= 5/
c) { }2/ −≥ℜ∈= xxC
d) { }2,32/ <≤−ℜ∈= xxD
e) { }1,54/ <<ℜ∈= xxE
f) { }xxF ≤−ℜ∈= 3/
a) { } ]2,3[23/ −=≤≤−ℜ∈= xxA
b) { } ),5(5/ +∞=<ℜ∈= xxB
c) { } ),2[2/ +∞−=−≥ℜ∈= xxC
d) { } 3´2) ,2[2,32/ −=<≤−ℜ∈= xxD
e) { } 5´1) ,4(1,54/ =<<ℜ∈= xxE
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3º ESO
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f) { } ),3[3/ +∞−=≤−ℜ∈= xxF
10. Expresa en forma algebraica y representa gráficamente los siguientes intervalos:
a) [ ]7,2−
b) ( )0,∞− c)
∞−3
1,
d) [ )+∞,13
e) ( ]0,3−
f)
6,
2
3
a) [ ] }72/{7,2 ≤≤−ℜ∈=− xx
b) ( ) }0/{0, <ℜ∈=∞− xx
c)
≤ℜ∈=
∞−3
1/
3
1, xx
d) [ ) }13/{,13 ≥ℜ∈=+∞ xx
e) ( ] }03/{0,3 ≤<−ℜ∈=− xx
f)
<≤ℜ∈=
6
2
3/6,
2
3xx
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11. Calcula BA ∪ y BA ∩ siendo: a) ( )4,1−=A y [ ]5,0=B
b) ( )+∞= ,2A y ( ]3,∞−=B
c) [ ]2,3−=A y ( )9,0=B
d) [ )+∞= ,3A y ( )5,∞−=B
e) ( ]3,2−=A y [ )9,3=B
f) ( )9,5−=A y ( )+∞= ,9B
a) ( )4,1−=A y [ ]5,0=B
]5,1(−=∪ BA )4,0[=∩ BA
b) ( )+∞= ,2A y ( ]3,∞−=B
ℜ=∪ BA ]3,2(=∩ BA
c) [ ]2,3−=A y ( )9,0=B
)9,3[−=∪ BA ]2,0(=∩ BA
d) [ )+∞= ,3A y ( )5,∞−=B
ℜ=∪ BA )5,3[=∩ BA
e) ( ]3,2−=A y [ )9,3=B
)9,2(−=∪ BA }3{=∩ BA
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3º ESO
17
f) ( )9,5−=A y ( )+∞= ,9B
),9()9,5( +∞∪−=∪ BA ∅=∩ BA
12. Dados los conjuntos [ )+∞−= ,1A , ( )0,∞−=B y [ ]1,1−=C calcula:
a) BA ∪ b) CBA ∪∪
c) CBA ∩∩
d) ( )CBA ∩∪
a) ℜ=∪ BA b) ℜ=∪∪ CBA c) )0,1[−=∩∩ CBA
d) ( ) ),1[)0,1[),1[ +∞−=−∪+∞−=∩∪ CBA
13. En una prueba de maratón se inscriben 9000 personas. Indica cuál de los siguientes resultados expresa el número de atletas que llegó a meta. a) 0,2365781… b) 0,243243243… c) 0,2436666… d)1,9823658… Solución Las respuestas a) y d) no pueden ser ya que son números irracionales y no pueden escribirse en forma de fracción. Las soluciones b) y c) son números decimales periódicos que si pueden representarse en forma de fracción, de modo que hay que elegir de estos dos el que tenga por denominador 9000.
999
243243,0...243243,0 ==•
1) 243,0=N
2) 243,2431000 =N
3) Restando los dos resultados anteriores: 243999 =N
4) 999
243=N
Por tanto, 99
2200,0 =
IES Juan García Valdemora TEMA 1. HOJA 4.Números decimales. Departamento de Matemáticas Clasificación y representación de números reales. Intervalos.
3º ESO
18
9000
21936243,0...243666,0 ==•)
1) 6243,0)
=N
2) 6,2431000)
=N
3) 6,243610000)
=N
4) Restando los dos resultados anteriores: 21939000 =N
5) 9000
2193=N
Por tanto, 9000
21936243,0 =)
Por tanto, el resultado correcto es el c) y el nº de atletas es 2193.
14. Balbina hace encuestas por la calle y le piden que pregunte a 100 asistentes del hogar acerca del precio de los productos de limpieza. El resultado que obtiene es que 0,65656… piensan que son demasiado caros. En su empresa se dan cuenta que ha tenido que hacer trampas al realizar la encuesta, ¿por qué? Solución Si entrevista a 100 personas y de ellas N responden que los productos son demasiado caros entonces la
fracción que representa este resultado sería 100
N y al pasar a número decimal obtendríamos un nº decimal
exacto y 0,6565… es periódico puro.
99
6565,0...6565,0 ==•
1) 65,0=N
2) 65,65100 =N
3) Restando los dos resultados anteriores: 6599 =N
4) 99
65=N
Por tanto, 99
6565,0 =
⇒==99
6565,0...6565,0 Realmente entrevistó a 99 personas
IES Juan García Valdemora TEMA 1. HOJA 4.Números decimales. Departamento de Matemáticas Clasificación y representación de números reales. Intervalos.
3º ESO
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15. La corporación municipal de un ayuntamiento cuyo municipio cuenta con 600 habitantes de edades comprendidas entre 16 y 20 años, ha realizado una encuesta sobre las actividades culturales que interesan a dicho segmento de población. Sabiendo que el 81,8181…% contestó que le interesaba el cine y que el 14,58333…% contestó que no le interesaban las conferencias de divulgación científica, calcula el número de personas que contestaron la encuesta. Solución
11
981,0
100
81,81%81,81 ===
1) 81,0=N
2) 81,81100 =N
3) Restando los dos resultados anteriores: 8199 =N
4) 11
9
99
81)9(:
==N
Por tanto, 11
981,0 =
48
731458,0
100
358,14%358,14 ===
))
)
1) 31458,0)
=N
2) 3,145810000)
=N
3) 3,14583100000)
=N
4) Restando los dos resultados anteriores: 13125100000 =N
5) 48
7
720
105
90000
13125)15(:)125(:
===N
Por tanto, 48
731458,0 =)
A 11
9 partes de los encuestados no les interesa el cine y a
48
7no les interesan las conferencias de
divulgación científica; por tanto, el número de encuestados debe ser múltiplo de 11 y 48 y, además, menor de 600 (= nº de habitantes). m.c.m. (11, 48) = 528 ⇒el número de personas que contestaron la encuesta fue de 528.