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1 GUÍA PARA EL EXAMEN A TÍTULO DE SUFICIENCIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES MAYO 2010, ACADEMIA DE MATEMÁTICAS IE, ICA, ISISA I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN VARIABLES SEPARABLES Para esta sección se proporciona la solución completa de las ecuaciones para que puedas repasar las técnicas de integración, ya que muchas veces el problema no son los procedimientos sino las integrales que resultan: 3

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GUÍA PARA EL EXAMEN A TÍTULO DE SUFICIENCIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

MAYO 2010, ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

IE, ICA, ISISA

I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

VARIABLES SEPARABLES

Para esta sección se proporciona la solución completa de las ecuaciones para que puedas repasar las

técnicas de integración, ya que muchas veces el problema no son los procedimientos sino las

integrales que resultan:

3

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

ECUACIONES HOMOGÉNEAS. Resolver las siguientes E.D. empleando el método de sustitución:

1. 0)( xdydxyx

cxxxy ln

2. 0)2( dyxyxdx

)(ln)( yxcxyxyx

3. dyyxydx )(2

cy

xy

2

2

4. 0)( xdydxyx

xcxy 1

2

1

5. 0)( 22 dyxdxyxy

cx

xy

ln

6. 0)( 22 dyxdxyxy

2)(2

cxy

yx

7. xy

xy

dx

dy

cy

xyx 122 tan2)ln(

8. 0)( dyxyxydx

cy

xy 2ln

ECUACIONES EXACTAS. Verifique si la E.D. es exacta y resuélvala:

1. 0)73()12( dyydxx

cyyxx 72

3 22

2. 0)6()2( dyyxdxyx

No es exacta

3. 0)84()45( 3 dyyxdxyx

cyxyx 42 242

5

4. 0)cos(cos)( dyyyxxdxysenxseny

cyxyxseny 2

2

1cos

5. 0)42()32( 22 dyyxdxxy

cyxyx 4322

6. 0334)3cos1

2( 3

2 xysenx

x

y

dx

dyx

xy

No es exacta

7. 0)12()( 22 dyxxydxyx ,

1)1( y

4333 223 yxyyxx

8. 0)2()( dyyexdxye yx. 1)0( y

22 yyx eyeyxye

13

ECUACIONES LINEALES. Resuelva las siguientes E.D. por el método de factor integrante.

xx cexy 32

9

1

3

1

xx ceexy 223

3

1

xx ceexy 12

1 2

xcexxxseny 2cos4

32

2

3 1

xx cexey 2

221 cos cxsenxxxxy

222 xx ceexy

22

1

)1(

tan

x

cxy

ECUACIONES DE BERNOULLI. Resuelva las siguientes E.D. empleando la sustitución apropiada:

1. 32 52´ yxyyx

5

2

2 cx

xy

2. xxyyy 62´ 32

233 3 xcey

3. 3´ yyy

12

2

xce

xy

4. 42 52´ yxyyx

715

7

cx

xy

5. 02´ 33 yxyyx 0x

552

5

cx

xy

6. 34

36´ xyyxy

32 )( cxxy

MISCELÁNEOS E.D. ORDEN 1: Resolver los siguientes problemas por el método que le sea posible:

cxxy 22

2)ln(cxy

14

13 3 cxy

12 2 xy

5. )1()1( 2 yxdx

dyx

cxxy )1ln(1tan

6. )50( TKdt

dT K Constante, T(0)=200

ktetT 15050)(

II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

COEFICIENTES INDETERMINADOS. Resuelva las E.D. siguientes por el método de coeficientes indeterminados.

1. 62´3´´ yyy

32

21 xx ececy

2. 33025´10´´ xyyy

5

3

5

65

2

5

1 xxececy xx

3. xxyyy 2´´´4

1 2

2

7422

2

2

1 xxxececy xx

4. xexyy 32483´´

xexxxsencxcy 32

21 )3

444(33cos

5. 234

1´´´

x

eyyy

2/22/

2

2/

12

112 xxx exxececy

6. xsenyy 234´´

xxxsencxcy 2cos4

322cos 21

7. xeyyy x 2cos5´2´´

xsenxexsenecxecy xxx 24

122cos 21

8. xsenxyyy 2cos3´2´´

xxsenxxececy xx 2cos25

92

25

12cos

2

121

15

VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Resuelva las siguientes E.D. por el método de variación de parámetros.

1. xyy sec´´

xxxsenxsenxcxcy coslncoscos 21 ; )2/,2/(

2. xyy 2cos´´

xsenxcxcy 2cos6

1

2

1cos 21

3. xe

yyy

1

12´3´´

)1ln()( 22

21

xxxxx eeeececy

4. xseneyyy 2´3´´

xxxx seneeececy 2

2

2

1

5. 21

´2´´x

eyyy

x

xxexexececy xxxx 12

21 tan)1ln(2

1

6. xeyyy x ln´2´´

xexxececy xxx ln2

1 2

21

7. xeyyy x 3tan30´6´´3

xxxexsenecxecy xxx 3tan3secln3cos27

133cos 21

8. xyy tan´´´´

xxsenxxsenxcxccy tanseclncoslncos 321

ECUACIONES DE CAUCHY EULER. Resuelva las siguientes E.D. de Cauchy-Euler. Para las ecuaciones no

homogéneas aplique variación de parámetros.

1. 04´´´2 yxyyx

)ln2()ln2cos( 21 xsencxcy

2. 02´3´´2 yxyyx

62

2

62

1

xcxcy

3. 04´5´´2 yxyyx

xxcxcy ln2

2

2

1

4. 0´6´´3 2 yxyyx

xsencxcxy ln

6

3ln

6

3cos 21

2/1

5. 06´´´3 yyx

)ln2()ln2cos( 32

3

1 xsencxcxcy

6. 08´2´´2´´´ 23 yxyyxyx

4

3

2

2

1

1 xcxcxcy

16

7. 0´3´´2 xyyx , 0)1( y , 4)1´( y

222 xy

8. xyxy ´´´

4ln

2

21

xxccy

9. xxyxyyx 22 ´5´´2

xxxcxcy6

1

15

1 21

2

2/1

1

III. TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. Determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a) L f t( ) para 1) f (t) = 0 0 2

4 2

t

t se

ssF 24)(

2) f (t) = 2 0 5

1 5

t t

t

2

5

2

5 229)(

se

se

ssF ss

b) L e t e e tt t t 4 2 2 3 2sen 4)1(

6

)2(

2

4

1)(

23

ssssF

c) L t e t tt4 23 4 2 cos senh 4

8

1)2(

324)(

225

ssssF

d) L e tt sen2

4)1(

1

1

1

2

1)(

2s

s

ssF

e) L t t2 sen 32

2

)1(

26)(

s

ssF

f) L t u t2 2( )

sssesF s 442

)(23

2

g) L ( )t 1 sesF )(

17

2. Determine la Transformada de Laplace Inversa de las siguientes funciones:

a) L-1 3 12

82

s

s

tsenttf 8

8

128cos3)(

b) L-1 1

2 5s

t

etf 2

5

2

1)(

c) L-1 2 1

1

s

s s

( )

tt eetf 12)(

d) L-1 s

s( )

15

tt etettf 34

6

1

24

1)(

e) L-1 se

s s

S

2

2 3 2 )2(2)( )2()2(2 tueetf tt

f) L-1

122

3

ss

e s

)3()3()( 3 tuettf t

g) L-1 s s

s s

3

4 2

16 24

20 64

tsenttsentf 22cos4

2

1)(

h) L-1 s

s s

1

6 7 22 tt eetf )3/2()2/1(

3

1

2

1)(

i) L-1 s

s s s s

2

2

3

2 3 2 5

( )( )( ) tetseneeetf tttt 2cos

50

12

25

9

50

3

25

1)( 32

j) L -11 1

2

2

23 2s s s

tsenettf t 22

2

1)( 22

k) L -11

2

1

1 4

3

13 2 2( ) ( )s

s

s s

senhtteettf tt 32cos

2

1)( 22

18

3. Determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones periódicas:

a)

s

s

es

esF

2

2

1

1)(

b)

s

ss

es

seesF

1

1)(

2

4. Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes mediante Transformada de Laplace

a) 0)0(' ,0)0( , cos''' yyteyy t

sentetety tt

2

1cos

2

1

2

1)(

b) 0)0(' ,0)0( , )2(5'4'' yytyyy

)2()2()( )2(2 tutsenety t

c) y y y et' ' ' 3 2 4 y(0) = 1, y’(0) = -1

ttt eeety3

2

3

4)( 2

0 1 2 3 4 t

-1

1

f(t)

0 1 2 3 t

1

f(t)

19

d) tetyyy 329'6''

y(0) =2, y’(0) =6

tt etety 343

12

12)(

e) teyyy 16'4''

y(0) =0, y’(0) =0

)2(3

2)2cos(

2

1

3

1

6

1)( 22 tseneteety ttt

f) tyy 4cos16'' y(0) =0, y’(0) =1

)4( 8

1)4(

6

1)( tsenttsenty

g) tyyy 9'6'' y(0) =0, y’(0) =1

tt teetty 33

9

10

27

2

27

2

9

1)(

h) tetyyy 234'4'' y(0) =0, y’(0) =0

tetty 25

20

1)(

IV. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales mediante eliminación o

determinantes:

a)

xdt

dy

yxdt

dx

2

tt

tt

tececcy

tececx

221

21

)(

b)

txdt

dy

tydt

dx

1cos

1cos

21

21

ttcsentcy

tsentctcx

20

c)

t

t

exdt

yd

eydt

xd

4

4

2

2

2

2

t

t

etcsentccy

esentctccx

3

321

3

321

15

4cos

15

17cos

2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales mediante Transformada de

Laplace

a)

xdt

dy

yxdt

dx

2

1)0(

0)0(

y

x

tt

tt

eey

eex

3

2

3

1

3

1

3

1

2

2

b)

yxdt

dy

yxdt

dx

5

2

2)0(

1)0(

y

x

tsenty

tsentx

33

73cos2

33

53cos

c)

233

122

yxdt

dy

dt

dx

xdt

dy

dt

dx

0)0(

0)0(

y

x

6

1

2

5

13

8

2

1

2

52

23

23

tt

tt

eey

eex

d)

tteydt

xd

ydt

dy

dt

xd

3

033

2

2

2

2

0)0(

2)0´(

,0)0(

y

x

x

tt

t

teey

ettx

3

1

3

1

3

1

12

1 2

b)

txdt

dy

tydt

dx

1cos

1cos

21

21

ttcsentcy

tsentctcx

c)

t

t

exdt

yd

eydt

xd

4

4

2

2

2

2

t

t

etcsentccy

esentctccx

3

321

3

321

15

4cos

15

17cos

21

EJERCICIOS DE CONCEPTOS Y PROBLEMAS

1. (a) Diga con sus propias palabras que entiende por soluciones linealmente independientes de

una ecuación diferencial.

(b) Enuncie el principio de la superposición.

(c) Defina el conjunto fundamental de soluciones

(d) Demuestra que xey 3

1

y e xey 4

1 es un conjunto fundamental de la ecuación

012''' yyy

2. Una masa que pesa 20 libras alarga a un resorte 6 pulgadas. La masa se libera al inicio desde el reposo

de un punto 6 pulgadas abajo debajo de la posición de equilibrio.

(a) encuentre la posición de la masa en los tiempos t = π/12, π/8, π/6, π/4, Y 9π/32s. (b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando t = 3 π/16 s? ¿en que dirección se dirige la masa en este

instante? (c) ¿en que tiempo la masa pasa por la posición de equilibrio?

3. Una masa que pesa 64 libras alarga un resorte 0.32 pies. Al inicio la masa se libera desde un punto que

esta 8 pulgadas arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s

(a) encuentre la ecuación de movimiento (b) ¿Cuáles son amplitud y periodo del movimiento? (c) ¿Cuántos ciclos completos habrá completado la masa al final de 3π segundos? (d) ¿en que momento la masa pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia abajo por

segunda vez? (e) ¿en que instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos en cualquier lado de la posición

de equilibrio? (f) ¿cual es la posición de la masa en t = 3s? (g) ¿cual es la velocidad instantánea en t = 3 s? (h) ¿Cuál es la aceleración en t = 3s? (i) ¿Cuál es la velocidad instantánea en los instantes cuando la masa pasa por la posición de

equilibrio? (j) ¿en que instante la masa esta 5 pulgadas abajo de la posición de equilibrio apuntando en

dirección hacia arriba?

4. Calcule la carga del capacitor en un circuito en un circuito LRC en serie cuando L = ¼ h, R = 20 Ω, C =

1/300 f, E (t) = 0 V, q (0) = 4 C e i(0) = 0 A. ¿alguna vez la carga en el capacitor es igual a cero?

5. Encuentre la corriente de estado estable en un circuito LRC cuando L = 1/2h, R = 10Ω, C = 0.001 f y E (t)

= 100 sen 60t + 200 cos 40t V.

22

6. (a) Definir la Transformada de Laplace.

(b) Explique las condiciones que debe cumplir f(t) para que exista su Transformada de Laplace

(c) Emplee la definición de transformada para demostrar que:

L sen5t 5/(s2 + 25)

L e-5t s/(s - 5 )

7. Dada

10 0

105

52

20 1

)(2

t

tt

tt

t

tf

(a) Grafique la función.

(b) Exprese la función en términos de la función del escalón unitario.

(c) Calcule la transformada de f aplicando la definición.

8. Usando convolución, demuestre que:

ttss

sen1

11L

22

1

9. Resuelva la ecuación integral dada usando la transformada de Laplace.

tsenetxsolución

sentdxttx

t

t

2

3

3

2:

cos)(

2

0

10. Usando Transformada de Laplace, determina la carga q(t) y la corriente i(t) en un circuito en serie en

el cual L = 1h, R = 20 , C = .01 F, E(t) = 120 sen(10t) V, q(0) = 0,e i(0) = 0, ¿cuál es la corriente de estado

estable?.