Identidades trigonometricas
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Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.
Galileo Galilei
Definición:
Las identidades trigonométricas son las relaciones de igualdad entre las funciones trigonométricas que se cerifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica esté definida en dicho valor angular.
Demostración de una identidad:
Teniendo que Tgx + Ctg x = Sec x . Cosec x
Comprobamos que:
Si x=45º Tg 45º + ctg 45º = sec 45º . Cosec 45º
1 + 1 = √2 . √2
Recíprocas:
Sen x = 1 . Cosec x = 1 .
Cosec x Sen x
Cos x = 1 . Sec x = 1 .
Sec x Cos x
Tg x = 1 . Ctg x = 1 .
Ctg x Tg x
sen x tan x = -------- csc x
cos xctg x = -------
sen x
cos x sen x = -------- ctg x
sen x cos x = ------ tan x
Pitagóricas
• sen² x + cos² x = 1
sec² x - tan² x = 1
csc² x - ctg² x = 1
Demostración: Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y
coseno tenemos:Cosec x – Cotg x . Cos x = Sen X
1 . – Cos x . Cos x = Sen xSen x Sen x
1 . – Cos² x = Sen xSen x Sen x
1 – Cos ² x = Sen x Sen xPero 1- Cos² x = Sen ² x ; luego Sen² x = Sen x Sen x
L.q.q.d Sen x = Sen x
Simplificación• Se buscará una expresión reducida de la planteada con
ayuda de las identidades fundamentales y7o auxiliares con transformaciones algebraicas.
Cos x (Tg x + 1) = Sen x + Cos x Cos x . Sen x + 1 Cos x Cos x . Sen x + Cos x Cos x
Sen x + Cos x = Sen x + Cos x
Tipo Condicional• Si la condición es complicada debemos simplificarlo y así a
una expresión que puede ser la perdida o que nos permita hallar fácilmente la que nos piden. Si la condición es simple inmediatamente se procede a encontrar la expresión perdida.
Si Tg x + Ctg x = 4 ¿Tg² x + Ctg² x ?
Solución:(Tg x + Ctg x) ² = (4) ²
Tg² x + 2Tg x . Ctg x + Ctg² x = 16
Tg² x + Ctg² x = 16 – 2
Tg² x + Ctg² x = 14
Eliminación Angular• Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas
relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo.
ß de:x = 4 Senß y = 5 Cosß x = 4Cosß x/4 = Senß x²/16 = Sen²ßy= 5Cosß y/5 = Cscß y²/25 = Cos²ß
X²/16 + y²/25 = Sen²ß + Cos²ß
X²/16 + y²/25 = 1
Definición:
- Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre ecuaciones trigonométricas de una misma variable angular o variables angulares diferentes, la cual se verifica para un conjunto de valores que asumen dichas variables angulares, que constituyen el conjunto solución de la ecuación trigonométrica.
- Para que una igualdad sea una ecuación trigonométrica, las variables angulares deben estar afectadas por funciones trigonométricas (directas o inversas), de lo contrario no son consideradas ecuaciones trigonométricas.
• Ejemplo:
Sen 2x + Cos x = 0 sí es E.T.
2x + 3 Tan x = √2 no es E.T.
Sen x + Sen 2x + Sen 3x = 1 sí es
E.T.
Soluciones Generales:
• Para Sen y Cosc:
n Л + (-1) V.P.
k
• Para Cos y Sec:
2n Л + - V.P
k
• Para Tag y Cotg:
m Л + V.P.
k
• Son aquellas igualdades de 2 expresiones trigonométricas en donde no se utilizaran identidades trigonométricas.
• Son aquellas que presentan la siguiente forma:
• Donde: K Є R – {0} ; a Є R
F.T. (Kx) = a
Ejemplo:
– Hallar las tres primeras soluciones positivas de: Cotg 3x – 1 = 0
– Resolución: • Resolviendo la ecuación tenemos:
Cotg 3 X -1 = 0 Cotg 3x = 1• Hallando la soluciones generales para la cotangente:
x = n Л + arc Cotg (1)3
x = n Л + Л; o también; 3 12
x = 60° n + 15° Solución General
• Luego (n Є Z)n = 0 x = 60° (0) + 15° = 15°
n = 1 x = 60° (1) + 15° = 75°
n = 2 x = 60° (2) + 15° = 135°
C.S = { 15° ; 75° ; 135°}
• Son aquellas ecuaciones que para ser resueltas se aplicarán propiedades algebraicas y propiedades trigonométricas que nos permitan su resolución.
Ejemplo:
– Hallar el menor valor positivo de “x” en:
4 Sen x Cos x – 1 = 0
– Resolución:• Recordemos que:
Sen 2 x = 2 Sen x Cos x
En la ecuación tenemos:2 · 2 Sen x Cos x – 1 = 0
2 Sen 2x – 1 = 0
Sen 2x = 1 2
2x = {30º ; 150º ; 390º ; …}
x = {15º ; 75º ; 195º ; …}
Solución principal
x = 15º
Recomendaciones Generales para resolver una E.T.
1. Toda ecuación debe tratar de expresarse en términos de una sola función y de un solo ángulo, de manera que dicha función se calcule mediante un proceso algebraico.
2. Si la ecuación es homogénea en Sen y Cos se debe dividir entre el Cos elevado al grado de homogeneidad, lo cual conduce a una ecuación en la función Tag únicamente.
“La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles”
Integrantes:
Ana María GuerreroDiana Rodríguez
Vannia RiveraEstefanía RengifoSolandge FantonSandra Saavedra