I TRIM 5°
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80
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
ÍNDICE
PAG
SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR 7
SECTOR CIRCULAR 18
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS 28
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 42
ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES 56
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE
CUALQUIER MAGNITUD (R.T.C.M.) 67
Trigonometría 1
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
TEMA: SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR
ANGULO TRIGONOMÉTRICOEs aquel que se genera por la rotación de un rayo (en un
mismo plano), alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final.
Consideramos un ángulo positivo cuando la rotación sea contraria al movimiento de las manecillas del reloj, cuando la rotación sea en el mismo sentido de movimiento el ángulo se considera negativo.
Donde: 0: Vértice de los ángulos generados.
: Ángulo trigonométrico positivo.
: Ángulo trigonométrico negativo.
OBSERVACIÓN CUANDO UN ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE LE INVIERTE SU
SENTIDO SU SIGNO CAMBIA. PARA SUMAR ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS EN UN GRÁFICO
ESTOS DEBEN TENER EL MISMO SENTIDO.
MEDICIÓN DE UN ÁNGULOCuando medimos un ángulo, tratamos de asignarle un número
que indique la magnitud de este.Se debe tener presente para un ángulo positivo, que cuando
sea mayor la rotación, mayor será el ángulo.Angulo de una Vuelta
Es aquel generado, cuando el lado inicial y el lado final coinciden por primera vez luego de cierta rotación.
Podríamos asignarle a este ángulo el número 1 y decir que: ángulo de una vuelta: 1v.
La forma más lógica para medir un ángulo es el número de vueltas o llamado también número de revoluciones, así podemos
Trigonometría 2
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
obtener de manera natural los ángulos y sus asignaciones numéricas, como se muestra en la figura.
Sin embargo, estos no son los números que la mayoría de nosotros estamos acostumbrados a utilizar, cuando medimos los ángulos.
Medida en Grados SexagesimalesEl sistema más utilizado en las aplicaciones de ingeniería,
topografía, navegación, es el sistema sexagesimal.En este sistema definimos el ángulo de una vuelta como aquel
ángulo cuya medida es 360º (1º; grado sexagesimal)Ejemplo:
Dibujemos un ángulo de de una vuelta y calculemos su medida.
La medida en grados de este
Trigonometría 3
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
ángulo es ; como
se observa en el gráfico.
Debido a esto podemos concluir
. .
Tenemos también:
. 1v=360º . . 1º = 60’ . . 1’ = 60” .
Donde:1’: Minuto sexagesimal1”: Segundo sexagesimal
Medida en Grados CentesimalesDebido a que este sistema no es muy utilizado y carece de
aplicaciones prácticas, solo nos limitaremos a mencionar algunas equivalencias. En este sistema definimos el ángulo de una vuelta como aquel cuya medida es 400g (1g: grado centesimal).También tenemos:
. 1v=400g . . 1g = 100m . . 1m = 100s .
Donde:1m: Minuto centesimal1s: Segundo centesimal
Conforme avancemos en nuestro estudio de la trigonometría veremos que aunque la medida en grados sexagesimales ofrece algunas ventajas, el sistema más utilizado en matemáticas superiores es el sistema circular o radial (internacional) en el cual la medida se expresa en radianes.
Medida en RadianesConsideremos un ángulo y
dibujemos una circunferencia de radio r y el vértice del ángulo en su centro “0”;
Trigonometría 4
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
sea además l la longitud del arco de la circunferencia que se genera.Entonces se define:
. La medida en radianes de un ∢ como: .
Ejemplos:De la definición:
=
El número 2 no tiene unidades, así un ángulo de 2 (radianes) significa un ángulo que subtiende un arco cuya longitud es dos veces la longitud del radio (l = 2r).
Ahora si consideramos l = r, entonces según la definición tenemos:
=
Es decir, podemos definir un ángulo de un radián (1 rad) como el ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio.
Relación Importante: Si el ángulo es una vuelta completa se cumple:
360º 400g 2rad
Simplificando...180º 200g rad .
Además si a 180º 200g le simplificamos...9º 10g .
Relación entre los Números que Representan la Medida de un Ángulo
Consideremos ahora un ángulo trigonométrico positivo como se muestra en la figura.
Trigonometría 5
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
Siendo:S: Número de grados sexagesimales del
ángulo C:Número de grados centesimales del
ángulo .R: Número de radianes del ángulo .
Se cumple:
. .
También:
. .
. .
. .
OBSERVACIÓN
Relación de Minutos:
. .M: # MINUTOS SEXAGESIMALES
m: # MINUTOS CENTESIMALES
Relación de Segundos:
. .a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES
b: # SEGUNDOS CENTESIMALES
Trigonometría 6
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
ISAAC NEWTON (1642 – 1727)
El físico y matemático inglés Isaac Newton fue uno de los científicos más importantes de todos los tiempos. Sus teorías revolucionaron el pensamiento científico e influyeron en la astronomía práctica y teórica. Su libro Principia Mathematica (1687) es uno de los trabajos más importantes en la historia de la ciencia moderna.Newton descubrió la gravedad y las tres leyes de movimiento todavía utilizadas hoy en día. Fue la primera persona en dividir la luz blanca en los colores del espectro y su investigación de la luz le condujo a diseñar un telescopio reflector. Fue también uno de los pioneros de una nueva rama de las matemáticas llamada cálculo.
Trigonometría 7
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Convertir:108º a centesimales y radianes1000g a radianes y sexagesimales45º a centesimales y radianes150g a sexagesimales y radianes
a sexagesimales y
centesimales
rad a sexagesimales y
centesimales
2. Si: (7x + 17)º.
Hallar “x”
Rpta.
3. Si: = aºb’.
Calcular: E = b – a
Rpta.
4. Si: 120º .
Hallar
P
Rpta.
Si: 9º 27’ m. Calcular: a + b
Rpta.
5. Reducir
Rpta.
6. Reducir
Rpta.
7. Simplificar:
Rpta.
Trigonometría 8
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
8. La diferencia de las medidas de 2 ángulos complementarios es 60g. Hallar el número de radianes de cada uno de ellos
Rpta.
9. Un alumno al querer copiar 30º se equivoca y copia 30g ¿Cuál fue el error cometido en radianes?
Rpta.
10. Hallar “” de la figura
Rpta.
11. Si el número de grados sexagesimales y centesimales de la medida de un ángulo están representados por dos números enteros y consecutivos, indicar su medida en el sistema radial.
Rpta.
12. Las medidas sexagesimal, centesimal y radial de un ángulo verifica:
Calcular la medida radial de dicho ángulo
Rpta.
13. Si, S, C Y R es lo convencional para un mismo ángulo, reducir:
Rpta.
14. Reducir la Expresión
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Calcular:
Trigonometría 9
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A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 1/3
2. Sumar
A) 166º B) 158º C) 176ºD) 186º E) 196º
3. Hallar “P”
A) 6 B) 2 C) 16D) 36 E) 7
4. Convertir 8000m a sexagesimales.
A) 45º B) 55º C) 68ºD) 72º E) 75º
5. Simplificar:
A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50
6. Calcular
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
7. Hallar “x”
A) B) C)
D) E)
8. La diferencia de la medida de 2 ángulos complementarios es 80g. Hallar la medida del mayor ángulo en radianes
A) /20B) 3/20C) 9/20D) 22/45E) /3
9. Siendo xºy'.
Hallar
Trigonometría 10
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
10. Un alumno, al querer copiar 60º se equivoca y copia 60g ¿Cuál fue el error cometido en radianes?
A) B)
C) D)
E)
Trigonometría 11
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
“TE SORPRENDERÁ TENER LA OPORTUNIDAD DE AYUDAR A UN SEMEJANTE CON SÓLO ESCUCHAR LO QUE TIENE PARA DECIRTE, AUNQUE NO ESTÉS DE ACUERDO. SABER ESCUCHAR ES UNA DE LAS MANERAS MÁS GRATIFICANTES DE SER GENEROSO”
MÓNICA BUONFIGLIO
CLAVES
1. C
2. C
3. A
4. D
5. A
6. A
7. A
8. C
9. B
10. C
TEMA: SECTOR CIRCULAR
Es aquella porción de círculo limitado por dos radios y un arco de circunferencia
Trigonometría 12
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
De la figura se obtiene:
A0B Sector Circular
LONGITUD DE ARCO (l)Es aquella en unidades de longitud de un arco de
circunferencia, se calcula mediante el producto del número de radianes del ángulo central y el radio de la circunferencia.
Deducción.– Sea la circunferencia con centro en “0” y radio “r” comparando la longitud de arco y el ángulo central como se muestra en la figura siguiente:
Teniendo en cuenta el significado geométrico de 1rad. se tiene:
Longitud de Arco
Ángulo Central
l rad.r 1 rad.
De donde se obtiene . l = . r .
Donde:l : longitud de arco : número de radianes del ángulo centralr : radio de la circunferencia
Ejemplo:Del gráfico mostrado, calcular la longitud de
arco (l), siendo 0: centro.Solución:l = . r = 30º
Convirtiendo =30ºen rad
l = . 18
l = 3 cm
Trigonometría 13
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ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR (S)El área de un Sector Circular se calcula mediante el producto
del número de radianes del ángulo con el radio de la circunferencia elevado al cuadrado dividido entre dos.
Deducción.–
Comparando (por regla de tres simple)
Área de un Sector Circular
Ángulo Central
r2 2 rad.S rad.
Resolviendo se obtiene: también:
Ejemplo:Del gráfico mostrado, calcular el área del sector A0B. 0: centro.Solución:
= 60º .
rad
S = 6 cm2
NUMERO DE VUELTAS (nv)El número de vueltas que da una rueda de radio “r” al
desplazarse (sin resbalar) se calcula mediante el cociente de la longitud que describe el centro de la rueda dividido entre 2r. (perímetro de la rueda).
Trigonometría 14
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
En esta figura el número de vueltas que da la rueda de radio (r) al desplazarse desde “A” hasta “B” se calcula:
(lc : longitud descrita por el centro de la rueda).(perímetro de la rueda).
Ejemplo:¿Cuántas vueltas da la rueda de 4cm de diámetro?
Solución:r = 2cmlC = 80 . 100cm nV =
nV = 2000 vueltas
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. En un sector circular la longitud de su arco es 1m. Si su ángulo central se aumenta en 10% y su radio se disminuye en 10%, se determina un nuevo sector circular cuya
longitud de arco, en cm, es:
Rpta. 99.
2. Un péndulo oscila describiendo un ángulo
Trigonometría 15
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cuya medida es 28º y un arco de longitud de 66cm. Encontrar la longitud del péndulo, en m. (considerar =22/7)
Rpta. 1,35
3. En un sector circular, el quíntuplo de la longitud de su radio es igual al cuádruplo de su longitud del arco respectivo; luego la medida de su ángulo central es:
Rpta. 1,25rad
4. Se tiene un sector circular de 6cm de radio y 12cm de longitud de arco. Si el radio aumenta 2cm sin que el ángulo varíe ¿Cuál será la nueva longitud de arco?
Rpta. 16 cm
5. En un sector circular se conoce que su radio mide(x + 1)cm, su longitud de arco 9(x – 1)cm, y la medida de su ángulo central correspondiente (x2
– 1)rad. Hallar el valor de “x”
Rpta. 2
6. Determinar la longitud de una circunferencia, sabiendo que en ella un ángulo central que mide 20g determina una longitud de arco igual a u.
Rpta. 20u
7. Las medidas de dos ángulos en el centro de una circunferencia son complementarias y las longitudes de los arcos que subtienden suman 4m, luego la longitud de radio de la circunferencia es:
Rpta. 8m.
8. Calcular el perímetro de la región sombreada.
Trigonometría 16
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Rpta. R
9. En el gráfico mostrado a continuación, calcule la longitud total de la trayectoria descrita por la bola ubicada en “P, desde la posición mostrada hasta llegar a la pared AB. (BC = 8m)
Rpta. 8m.
10. En la figura, el perímetro del sector circular A0B es igual al del trapecio circular ABCD. Encontrar “
Rpta. 2/3rad
11. Hallar a partir del
gráfico
W =
Rpta. 5/4
12. Calcular el área del
círculo sombreado
Trigonometría 17
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
Rpta. 2m2
13. El área de un sector circular de radio “R” es 4u2. ¿Cuál será el área de otro sector circular cuyo radio es “2R” y cuyo ángulo central es la mitad del anterior?
Rpta. 8u2
14. El ángulo central de un sector circular mide 36º y
su radio es “R”, si se disminuye en 11º el ángulo central. ¿Cuánto hay que aumentar el radio para que el área no varíe?
Rpta. R/5
15. Hallar de la figura:
Rpta. 2
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. En un sector circular la longitud de su arco es 1m. Si su ángulo central se aumenta en 20% y su radio se disminuye en 30%, se determina un nuevo sector circular cuya longitud de arco, en cm, es:
A) 0,2B) 83C) 0,16D) 1,82E) 84
2. Un péndulo oscila describiendo un ángulo cuya medida es 36º y un arco de longitud de 88cm. Encontrar la longitud del péndulo, en m. (considerar =22/7)
A) 0,14B) 0,4C) 1,4D) 1,41E) 14
Trigonometría 18
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3. En un sector circular, el héptuplo de la longitud de su radio es igual al doble de su longitud de arco respectivo; luego la medida de su ángulo central es:
A) 3radB) 3,5radC) 1,5radD) 0,3radE) 2,5rad
4. Se tiene un sector circular de 7 cm de radio y 21 cm de longitud de arco. Si el radio aumenta 3 cm sin que el ángulo varíe, ¿Cuál será la nueva longitud de arco?
A) 30cmB) 40cmC) 50cmD) 20cmE) 10cm
5. En el gráfico mostrado a continuación, calcule la longitud total de la trayectoria descrita por la bola ubicada en “P, desde la posición mostrada hasta llegar a la pared AB. (BC = 6m)
A) 7mB) 6mC) 8mD) 12mE) 10m
6. Calcular el área del círculo sombreado
A) 1m2B) 2m2C) 3m2
D) 4m2E) 5m2
7. El área de un sector circular de radio “R” es 4u2. ¿Cuál será el área de otro sector circular cuyo radio es “2R” y cuyo ángulo central es la mitad del anterior?
A)B) 20u2C) 5u2
Trigonometría 19
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
D) 10u2E) 12u2
8. El ángulo central de un sector circular mide 20g y su radio es “R”, si se disminuye en 15g el ángulo central. ¿Cuánto hay que aumentar el radio para que el área no varíe?
A) RB) R/5C) 3RD) 4RE) R/2
9. Hallar de la figura:
A) 3/4B) 1/3C) 1/4D) 4/3E) 4
10. Hallar
A) 1B) 6C) 8D) 9E) 10
“EL MAYOR PELIGRO EN LA VIDA ES NO ARRIESGAR NADA. Y EL HOMBRE Y LA MUJER QUE NO ARRIESGAN, NO HACEN NADA, NO TIENEN NADA Y NO SON NADA”
BACH
CLAVES
Trigonometría 20
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1. E
2. C
3. B
4. A
5. A
6. C
7. B
8. A
9. D
10. C
Trigonometría 21
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
¿SABÍAS QUÉ...
MARSUPIALES
CANGUROLas crías de canguro pasan unos 10 meses
en la bolsa de su madre.
Los marsupiales difieren de otros mamíferos en que dan a luz crías inmaduras que viajan en la bolsa de su madre, donde se amamantan. De esta forma, se mantienen calientes y protegidos mientras se desarrollan. Algunos no tienen una bolsa propiamente dicha y las crías se agarran al pelaje de sus madres. Los marsupiales sólo se encuentran en Australia y en América. Los canguros y los koalas son marsupiales australianos, mientras que las zarigüeyas viven en América. Existen alrededor de 250 especies de marsupiales en el mundo, que van desde pequeños animales del tamaño de las musarañas hasta carnívoros del tamaño de un lobo.
TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS AGUDOS
Trigonometría 22
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TRIÁNGULO RECTÁNGULOSe llama triángulo rectángulo al triángulo donde uno de sus
ángulos es recto (90º), además recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos.
En la figura mostrada:
c : hipotenusaa b : catetos : son ángulos agudos
Además en el triángulo rectángulo se cumple: Los ángulos agudos suman 90º
. + = 90º .
Teorema de Pitágoras
. a2 + b2 = c2 .
La hipotenusa siempre es mayor que los catetos
. c > a b .RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto del ángulo agudo.
Trigonometría 23
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
Si el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b) cateto adyacente (a). Podemos definir las razones trigonométricas de del modo siguiente:
Ejemplo:Calcule los valores de las seis razones trigonométricas del menor ángulo agudo en un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 unidades.
ResoluciónAplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:(8)2 + (15)2 = x2
Trigonometría 24
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
289 = x2
x = 17
Luego
Razones Trigonométricas de los Ángulos Agudos: 30º, 60º, 45º, 37º Y 53ºLas razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.
De los triángulos anteriores se obtiene:
ÁnguloR.T.
30º 37º 45º 53º 60º
sen
cos
tg 1
Trigonometría 25
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
ctg 1
sec 2
csc 2
OBSERVACIÓN:LOS VALORES DE LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
Lo anterior lo podemos describir a continuación, en la siguiente figura.
Del Triángulo Rectángulo ACB tenemos que:
Por otra pare, del triángulo rectángulo AC’B’ tenemos que:
Luego:
Así encontramos el mismo valor para sen sin importar cual sea el triángulo rectángulo que utilicemos para calcularlo, una idea similar podría servir para las otras razones trigonométricas.
Trigonometría 26
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCASSiendo un ángulo agudo se cumple:
Ejemplo:
Si
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su sima es un ángulo recto.
En la figura se muestra: y : Son ángulos complementarios ( + = 90º)
Trigonometría 27
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como y al ángulo opuesto al cateto a como en consecuencia:
;
;
;
Debido a estas relaciones las razones: seno y coseno tangente y cotangente secante y cosecante
Se llaman co–razones trigonométricas una de la otraEjemplos:sen40º = cos50º sec20º = csc70ºtg80º = ctg10º ctg3º = tg87ºcos62º = sen28º csc24º = sec66º
Ejercicio:si: sen(40º + ) = cos(10º + ); 12º < < 24º, halle
ResoluciónPor lo anterior se tiene:(40º + ) + (10º + ) = 90º 2 = 40º
= 20º
OBSERVACIÓN:RECORDEMOS QUE EN LOS VÉRTICES DE LOS TRIÁNGULOS SIEMPRE SE COLOCAN LETRAS MAYÚSCULAS Y A LOS LADOS QUE SE OPONEN SE COLOCAN SUS RESPECTIVAS LETRAS MINÚSCULAS POR DECIR: SI EN UNO DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO COLOCAMOS LA LETRA “A”, EN SU LADO OPUESTO COLOCAREMOS SU MINÚSCULA “A”.
Trigonometría 28
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Del gráfico hallar “tg . tg”
Rpta.
2. En un triángulo rectángulo el coseno de uno de sus
ángulos agudos es , si
el menor de sus lados es 20m. determine el mayor de los lados
Rpta. 52m
3. Del gráfico calcular “tg” si:
Rpta.
Trigonometría 29
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
4. Del gráfico calcular:
Rpta. 4
5. Del gráfico calcular “tg”
Rpta.
6. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, si
. Calcular:
Rpta. 87. Si ABCD es un cuadrado.
Calcular:
Rpta. 5
8. En un triángulo rectángulo el coseno de uno de sus ángulos agudos es 0,96. Si su hipotenusa mide 50m. Hallar el perímetro de dicho triángulo
Rpta. 112m
9. En un triángulo rectángulo ABC recto en C, se cumple: tgA + tgB = 3
Rpta.
10.Calcular:
E=sen25º.sec65º+tg40º.tg50º
Rpta. 2
Trigonometría 30
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
11.Calcular x:Si: tg(3x – 10º) . tg70º = 1
Rpta. 10º
12.Calcular:
Rpta. 1
13.Calcular “x” si:Tg(3x–15º)=tg10º.tg20º.tg30º ......tg70º.tg80º
Rpta. 20º
14.Calcular “x”E = (2sen20º + 3cos70º) . (5csc20º . 3sec70º)
Rpta. 10
15.Calcular “x” e “y” si:tg(x + 10º) . ctg(30º + y) = 1
sen(x + 5º) = cos(y + 5º)
Rpta. 50º y 30º
16.Calcular “E”
Rpta. 10
“ALCANZARÁS BUENA REPUTACIÓN ESFORZÁNDOTE POR SER LO QUE DESEAS”
SÓCRATES
Trigonometría 31
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. De la figura, calcular:
sen + cos
A) 1B) 2C)
D) 4E) 5
2. De la figura, calcular:
tg
A) 1B) 2C)
D) 4E) 5
3. Si “” es un ángulo agudo y sec = 13/12. calcular:
P = csc – ctg
A) 1/5B) 1/4C) 1/3D) 1/2E) 2/3
4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), AB = 3 y
BC = 7. Si se prolonga
hasta el punto D y tgD = 1/4, calcular la longitud de
.
A) 3B) 4C) 5D) 6E) 7
5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C)si:secA + ctgB = 7; hallarE = cscB - tgA
A) 1/7B) C)
D) E)
6. En un triángulo rectángulo ABC. TgA = 2,4, determine el perímetro del triángulo si además el lado mayor mide 39 cm.
Trigonometría 32
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A) 30cmB) 60cmC) 90cmD) 120cmE) 150cm
7. Calcular de la figura:Q = sec – tg
A) 1/10B) 1/20C) 1/30D) 1/40E) 1/50
8. De la figura, calcular el valor de: csc + 2csc
A) 3B) 4C)D) 6E) 7
9. Indicar la diferencia de
las raíces de la ecuación
xsec60º = x.sen30º + 3
A) 2,5B) 3,5C) 4
D) 4,5E) 3
10. De la figura, hallar tg
A) 1/4B) C)
D) E) 1/8
11. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “C, se sabe que:
Calcular: E = tgA + tgB
A) 1B) 2C) 3D) 4E) 9
CLAVES
Trigonometría 33
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
1. A
2. B
3. A
4. C
5. A
6. C
7. A
8. C
9. B
10. B
11. D
12. E
Trigonometría 34
42
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
¿SABÍAS QUÉ...
MAMÍFEROS ACUÁTICOS
GRANDES NADADORESLos delfines y las ballenas nadan moviendo la cola arriba y abajo y no hacia los lados como lo hacen
los peces.
Los delfines, las ballenas, las focas y las morsas son mamíferos, pero se han adaptado a la vida acuática. Su cuerpo tiene forma hidrodinámica, las extremidades anteriores presentan forma de aleta y la cola es plana. Las ballenas y las focas poseen una capa de grasa bajo la piel para protegerse del frío. Los delfines y las ballenas nunca salen del agua, incluso se aparean y dan a luz en ella. Cuando nacen las crías, sus padres las empujan hasta la superficie para que respiren por primera vez. Las focas y las morsas se aparean y dan a luz en tierra.
TEMA: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Trigonometría 35
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
Las aplicaciones de la trigonometría en campos como topografía y navegación requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión “Resolver un triángulo” significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo.
En esta sección veremos que podemos resolver cualquier triángulo rectángulo si se nos da:I. Las longitudes de dos lados.II. La longitud de un lado y la medida de un ángulo
agudo.
1. Conociendo las longitudes de los lados:Ejemplo:Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2 respectivamente.
Resolución Para calcular x, aplicamos el teorema de Pitágoras:
(1)2 + (2)2 = x2 x2 = 5 x =
Para determinar la medida del ángulo , calculemos una razón trigonométrica con los catetos de longitudes 1 y 2.
Por decir: tg = = 26º30’ (aproximadamente)
como: + = 90º = 63º30’Con la cual el triángulo rectángulo queda resuelto.
2.A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un
ángulo agudoincógnitas x, y
Trigonometría 36
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
Cálculo de x:
= cos x = a cos
Cálculo de y:
= sen y = a sen
En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – .
Conclusión:
B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ánguloincógnitas x, y
Cálculo de x:
= ctg x = a ctg
Cálculo de y:
= csc y = a csc
En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – .
CONCLUSIÓN:
Trigonometría 37
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ánguloAnálogamente a los triángulos rectángulos anteriores
Ejemplos:
Aplicaciones
Trigonometría 38
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
1. Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazando su tránsito en un punto C en un borde del río y visualizando un punto A situado en el otro borde. Después de girar un ángulo de 90º en C, se desplaza 200 m hacia el punto B, aquí mide el ángulo y encuentra que es de 20º. ¿Cuál es el ancho del río?
Resolución
Buscamos la longitud del lado b, conocemos a y , por lo que
usamos la relación tg =
Reemplazando:
b = 200tg20º el ancho del río es (200 tg20º) m
2. Una cometa se queda atascada en la rama más alta de un árbol, si la cuerda de la cometa mide 12 m y forma un ángulo de 22º con el suelo, estime la altura del árbol encontrando la distancia que hay entre la cometa y el suelo (sen22º = 0,374)ResoluciónGraficando, tenemos por condición al problema
Trigonometría 39
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
Sea h la altura a la cual se encuentra la cometa, a partir de la figura vemos que:
= sen22º
h = 12 sen 22º h = 12(0,374) = 4,488 h = 4,488 m
ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR (S)El área de cualquier región triangular está dado por el semi
producto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados.Así tenemos:
Del gráfico:
Demostración:Por geometría S, se calcula así
(h: altura relativa del lado b
En el triángulo rectángulo sombreado se tiene por resolución de triángulo que:h = a sen
Luego:
; (ba = ab) ab sen
Ejemplo:
Trigonometría 40
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
Calcular el área de la región triangular ABC, sabiendo que AB = 5 cm; Ac = 6 cm y el ángulo comprendido entre dichos lados es igual a 37º
Resolución
Graficando tenemos
Nos piden: S
De la figura: (5cm) (6cm) sen 37º
(5cm) (6cm)
S = 9 cm2
OBSERVACIÓN:A) EN TRIGONOMETRÍA, LOS
OPERADORES NO TIENEN SIGNIFICADO POR SÍ SOLO, NI TAMPOCO PUEDE REALIZAR OPERACIONES ALGEBRAICAS CON ELLAS, DE MANERA QUE, ES ABSURDO, CONSIDERAR LAS OPERACIONES
(ABSURDO) ;
B) SE HA DEMOSTRADO QUE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SON NÚMEROS, LUEGO CON ELLOS SE PUEDE OPERAR ASÍ:
I) 5 SEC – 2 SEC + 2 SEC = 4 SEC
II)
Trigonometría 41
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
= 3 COS + 2
C) TENGA CUIDADO CON LA EQUIVALENCIA SENNX = (SENX)N; LA PRIMERA SE UTILIZA CONTINUAMENTE PERO LA SEGUNDA NO; PORQUE CORRE EL RIESGO DE CONCLUIR QUE:
(SENX)N = SENNXN Y ESTO ES INCORRECTO
EN LA ANTENA SE PUEDE OBSERVAR LA APLICACIÓN DE ÁNGULOS VERTICALES
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Calcular “x” en:
Trigonometría 42
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
Rpta.
2. Calcular “tg” en:
Rpta.
3. Calcular “x” en:
Rpta.
4. Calcular “ctg ”:
Rpta.
5. Calcular “ctg”
Rpta.
6. Hallar “x”
Trigonometría 43
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
Rpta.
7. Calcular: sensec
Rpta.
8. Hallar: tg
Rpta.9. Hallar x en términos
de m, y
Rpta.
10. Hallar “x” en términos de H, y
Rpta.
11. Hallar AB en términos de R y
Rpta.
12. De la figura, hallar: tg
Trigonometría 44
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
Rpta.
13. Calcular: cos
Rpta.
14. Hallar el perímetro del triángulo rectángulo sabiendo que uno de sus ángulos agudos mide “” y su cateto opuesto mide “a
Rpta.
15. Calcular:
Rpta.
16. Calcular: tg si ABCD es un cuadrado
Rpta.
17. Hallar el área de la
región sombreada
Rpta.
Trigonometría 45
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
18. Hallar “h”, si: sen =
Rpta.
Trigonometría 46
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Calcular “x” en:
A) 8B) 9C) 10
D) 14E) 20
2. Calcular tg en la
figura si ABCD es un
cuadrado.
A) 2B) 1/2C) 3/4
D) 5/3E) 1/4
3. Calcular “x” en:
A) B) C)
D) E)
4. Calcular “tg”
A) 2B) 1/2C) 1/3
D) 1/5E) 2/3
5. Calcular “tg” del
gráfico
Trigonometría 47
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
A) 1/2B) 2/3C) 3/4
D) 4/5E) 5/6
6. De la figura calcular
“x” en términos de “”,
“” y “d”
A) d
(ctg +ctg)
B) d
ctg.ctg
C) D)
E) (ctg – ctg) . d
7. Hallar “x” en términos de “d” y “” siendo y
A) d sen . cosB) d sen2 .
cos2C) 2d sen2 .
cosD) d sen .
cos2E) 2d cos2 .
sen
8. Del gráfico mostrado. Hallar en términos de “”, “” y “d”
A) d sen senB) d cos cosC) d tg tgD) d sen cosE) d cos sen
Trigonometría 48
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9. Hallar si la región sombrada es un cuadrado de lado “n”
A) n (1 + sec + cos)
B) n (1 + sec + csc)
C) n (1 + tg + ctg)
D) n (1 + tg + sec)
E) n (1 + ctg + csc)
10. De la figura, hallar “x” en términos de “m” y “”
A) m sen + tgB) m sen cosC) 2m senD) 2m cosE) m tg
CLAVES
1. C
2. E
3. A
4. B
5. B
6. E
7. D
8. A
9. C
10. D
TEMA: ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES
Trigonometría 49
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
INTRODUCCIÓNDebido a que en nuestra vida cotidiana indicamos la posición
de los objetos dando referencias que nos permitan la mayor precisión para ubicarlos, en el presente tema definiremos en un mismo plano al observador y al objeto en observación. Así como también ángulos que nos permitan visualizar determinado punto del objeto en consideración.
A continuación enunciaremos algunos puntos que consideramos importantes para el desarrollo del tema:
Línea Vertical: Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada.
Línea Horizontal: Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical.
Plano Vertical: es el que contiene a toda la línea vertical.
Línea Visual: Llamada también línea de mira, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse.
ÁNGULOS VERTICALESSon aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados
por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal. Que parten de la vista del observador.
Los ángulos verticales pueden ser:
Ángulos de ElevaciónEs el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira
cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.
Trigonometría 50
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: Ángulo de observación
Ángulos de DepresiónEs aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de
mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.
: Ángulo de depresión
OBSERVACIÓN:AL ÁNGULO FORMADO POR DOS LÍNEAS DE MIRA SE DENOMINA ÁNGULO DE OBSERVACIÓN O DE VISIBILIDAD.
: ÁNGULO DE OBSERVACIÓN
ÁNGULOS HORIZONTALES
Trigonometría 51
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Son aquellos ángulos que se encuentran sobre un mismo plano (plano horizontal). Normalmente estos ángulos se ven en la navegación y la aviación. Éstos ángulos los constituyen los llamados puntos cardinales (este, oste, norte y sur).
DirecciónLa dirección es la inclinación o ángulo que forma una línea con
respecto a otra tomada como referencia. Así:
Respecto a “M”“P” se encuentra en la dirección EºS“Q” se encuentra en la dirección OºN
Debemos tener en cuenta que cuando se toma como referencia la línea norte siguiendo en sentido horario, a esa dirección se le denomina rumbo.La Rosa Marina o Rosa Náutica
Es un indicador de las direcciones, funciona a base del campo magnético de la tierra, éste instrumento lo utilizan los navegantes y aviadores, y está constituido por 32 direcciones
Trigonometría 52
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Trigonometría 53
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Un observador se encuentra a 40m. de la base de un edificio, se acerca hacia el edificio en línea recta hasta un punto que se encuentra a 10m. del mismo. Si en su posición inicial observó a un punto del edificio con un ángulo de elevación de 37º y en la segunda observación lo hizo al mismo punto con ””
¿Cuánto vale ?
Rpta.
2. Desde un acantilado se observan dos bolicheras en línea recta con ángulos de depresiones y ( < ) respectivamente, si ese instante la separación de las bolicheras es 120m ¿Qué altura a nivel del mar tiene el observador?
Rpta.
3. La antena de una radio emisora se encuentra sobre un morro, si su base es vista desde un punto
sobre el plano horizontal con un ángulo de elevación de 37º. Si la altura de la antena es la tercera parte la del morro. ¿Cuánto medirá el ángulo de observación correspondiente a la antena desde el mismo punto de observación?
Rpta.
4. Dos edificios de diferentes alturas se encuentran uno al frente del otro. Desde la parte superior e inferior del edificio de menor altura se observan con ángulos de elevaciones y un punto del extremo superior del otro edificio respectivamente ¿En qué relación se encuentran sus alturas (menor/mayor)?
Rpta.
5. Un barco navega a
20km/h hacia el Este,
en un instante desde el
barco es visto un faro
en el rumo N53ºE, al
cabo de dos horas, es
visto el faro desde el
Trigonometría 54
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
barco en la dirección
O37ºN ¿Cuál es la
distancia del faro a la
1ra y 2da observación?
Rpta .
6. Un navío parte de un
puerto en la dirección
NE. Luego de una hora
de camino desvía y, se
dirige en la dirección
S15ºE. ¿En qué
dirección respecto al
puerto se encontrará el
navío, de tal manera
que desde éste
equidiste al puerto y al
punto de desvío?
Rpta .
7. Una persona sube una cuesta y cuando llega al punto máximo, ve que la altura de ésta es la mitad, del camino recorrido, hallar el ángulo que hace la horizontal con la cuesta
Rpta .
8. Desde la base de un edificio Juan ve un
halcón con un ángulo de elevación de 37º a una distancia de 12 pies y desde la parte superior del mismo edificio se ve la misma ave con un ángulo de depresión de 53º. Calcular la altura del edificio.
Rpta .
9. Calcular la altura de un árbol si el ángulo de elevación de su extremo superior aumenta desde 30º hasta 60º cuando el observador avanza 80m. hacia el árbol
Rpta .
10.De un edificio de 24m. de altura se divisa una torre con un ángulo de elevación de 30º y la base de la torre con un ángulo de depresión de 60º. Encontrar la altura de la torre.
Rpta.
11.En un ángulo de elevación de un edificio de 22º30’, nos acercamos a una distancia “m” y el nuevo ángulo es 45º. Hallar ”m” si la altura del edificio es 10m.
Trigonometría 55
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
Rpta.
12.Cierto día Luis ve a Luisa en la parte más alta de un edificio de 16m. de altura con un ángulo de elevación de 53º. Si él se acerca al edificio y ella baja 10m. para luego ver Luis con un ángulo de elevación de 37º a Luisa. Calcular la relación de velocidades de Luis y Luisa, si todo es al mismo tiempo.
Rpta.13. Emilio desde el suelo
apunta hacia una paloma con un ángulo de elevación de 45º separados por una distancia de 14,142m. si mientras Emilio se pone de pie, la paloma se aleja 14m. por la horizontal. Calcular la altura de Emilio, si el nuevo ángulo con que ve a la paloma es de 16º.
Rpta .
14. Un marciano se encuentra colocado sobre el edificio de 9u de altura. Una persona impresionada observa con un ángulo de elevación de 53º a la parte superior del marciano; luego se aleja 2u, luego observa con un ángulo de elevación de 37º a lo alto del edificio. Calcular la altura del marciano.Rpta .
15.Un avión se encuentra a una altura de 150m de un objetivo y se encuentra descendiendo con un ángulo de depresión “”. Luego de recorrer 150m es observado desde el objetivo con un ángulo de elevación de 26º30’, calcular a que la altura se encuentra el avión en dicha observación.
Rpta.
MEDICINA VETERINARIA
Trigonometría 56
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Facultad de Medicina Veterinaria
Descripción Ocupacional:El médico veterinario estudia y aplica procedimientos científicos y tecnológicos para la preservación y proyección de la salud animal, la crianza, producción, reproducción y mejoramiento genético de los animales. Examina, diagnostica y prescribe tratamiento médico y/o quirúrgico. Maneja los componentes en los sistemas de producción animal protegiendo el medio ambiente. Preserva la salud pública protegiendo la salud ambiental, mediante el control de las zoonosis, el saneamiento ambiental y la evaluación de la calidad de los alimentos y otros productos y subproductos de origen animal. Administra programas de salud animal y desarrollo pecuario.
Trigonometría 57
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PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Desde lo alto de un faro de 45m. de alto los ángulos de depresión de 2 delfines que se hallan en el mar y en una misma dirección del observador miden 45º y 37º. Hallar la distancia entre los delfines
A) 13B) 15C) 17D) 19E) 20
2. Una persona observa un objeto que está en caída con un ángulo de elevación de 60º luego de un momento lo vuelve a observar con un ángulo de elevación de 30º, si en la primera observación se encontraba a 60m de altura. En la segunda observación estará a la altura de:
A) 10mB) 20mC) 30mD) 40mE) 50m
3. Un niño escala una
montaña que tiene un
ángulo de elevación de
37º, cuando llega a la
cumbre a escalado
150m. hallar la altura
de la montaña.
A) 100mB) 90mC) 80mD) 70mE) 60m
4. Desde la parte más
alta de un edificio se
observa con un ángulo
de depresión de 64º la
parte más alta de un
poste de 5m de altura.
Calcular a que distancia
se encuentra el poste
del edificio (altura del
edificio 45 m)
Nota: considerar:
sen64º = 80/89
A) 19,5mB) 20mC) 25mD) 30mE) 39m
5. Desde la cúspide de
un monumento de 30m.
de altura los ángulos de
depresión de dos
piedras, que están
sobre el terreno en la
Trigonometría 58
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
misma dirección
respecto del
monumento, son de 45º
y 37º ¿Qué distancia los
separa?
A) 30B) 20C) 50
D) 10E) 40
6. Desde lo alto de un
edificio de 24m. de
altura se divisa una
torre con un ángulo de
elevación de 30º y la
base de la torre con un
ángulo de depresión de
60º. Encontrar la altura
de la torre.
A) 32mB) 18mC) 40m
D) 16mE) 12m
7. Un barco navega directamente hacia el Norte, en un momento observa dos botes anclados y alineaos en la dirección Este, luego de recorrer 36 m observa los mismos botes en las
direcciones, 60º al Sur del Este y 60º al Este del Sur. Hallar la distancia que separa a los botes.
A) 40B) 50C) 72D) 37E) 28
8. Dos barcos A y B parten simultáneamente en las direcciones E10ºS y E20ºN respectivamente, si antes de partir A es visto desde B en la distancia O70ºN. Determinar la distancia que recorre el barco A para encontrarse con B. si inicialmente estaban separados 10 millas.
A) 20B) 10C) 30D) 40E) 50
9. Una persona observa un poste con un ángulo de elevación ; cuando la distancia que los separa se ha reducido a la tercer parte la medida del ángulo se ha duplicado. Hallar .
A) 15ºB) 30ºC) 45ºD) 53ºE) 60º
Trigonometría 59
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
10. Desde un punto de tierra se divisa lo alto de una torre de 24m de altura con un ángulo de elevación de 37º. ¿Qué distancia habría que
acercase para que el ángulo de elevación tenga como tangente 2?
A) 10mB) 12mC) 20mD) 18mE) 16m
CLAVES
1. B
2. B
3. B
4. E
5. D
6. B
7. C
8. A
9. B
10. CTEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE
CUALQUIER MAGNITUD (R.T.C.M.)
ANGULO EN POSICIÓN NORMALUn ángulo trigonométrico está en POSICIÓN NORMAL, si su
vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X.
Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina ÁNGULO DEL SEGUNDO CUADRANTE y análogamente para los otros cuadrantes.
Si el lado final coincide con un eje se dice que el ÁNGULO NO PERTENECE A NINGÚN CUADRANTE.
Ejemplos:
Trigonometría 60
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
I II III
90º a ningún cuadrante no está en posición normal
ÁNGULO CUADRANTALUn ángulo en posición normal se llamará CUADRANTAL cuando
su lado final coincide con un eje. En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante.
Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 270º y 360º, que por “comodidad gráfica” se escribirán en los extremos de los ejes.
1. PropiedadSi es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple:
Trigonometría 61
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
Si I 0 < < 90º
Si II 90º < < 180º
Si III 180º < < 270º
Si IV 270º < < 360º
Ejemplos:1. Si III ¿En qué cuadrante está 2/3?
ResoluciónSi III 180º < < 270º
60º < < 90º
120º < < 270º
Como .2/3. está entre 120º y 180º, entonces pertenece al: .II Cuadrante.
2. Si II ¿A qué cuadrante pertenece ?
Resolución
Si II 90º < < 180º
45º < < 90º
115º < < 160º
Como /2 + 70º está entre 115º y 160º, entonces
pertenece al:
.II Cuadrante.
Trigonometría 62
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
ÁNGULO COTERMINALES
Dos ángulos en posición normal se llamarán COTERMINALES o
COFINALES si tienen el mismo lado final y el mismo lado inicial (así
sea en sentido contrario).
Ejemplos:
SON COTERMINALES NO SON COTERMINALES
410º y 50º SON COTERMINALES –240º 30º NO SON COTERMINALES
1. PropiedadLa diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado un número positivo entero de vueltas.Si son coterminales tal que > entonces se cumple:
. – = k(360º). K Z+
Ejemplos:1. 750º y 30º coterminales porque 750º – 30º = 720º (2
vueltas)2. 330º y –30º coterminales porque 330º –(–30º) = 360º (1
vueltas)
Trigonometría 63
70
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3. 7 y 3 coterminales porque 7 – 3 = 4 (2 vueltas)4. 450º y –90º coterminales porque 450º –(–90º) = 540º (no
tiene vueltas exactas)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Si es un ángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue:
OBSERVACIONES:1. EN VERDAD “r” ES LA LONGITUD DE RADIO VECTOR OP. POR
CUESTIONES PRÁCTICAS VAMOS A DENOMINAR A “r” COMO VECTOR.
2. PARA RECORDAR LAS DEFINICIONES ANTERIORES, UTILICE EL SIGUIENTE CAMBIO:
CATETO OPUESTO = ORDENADACATETO ADYACENTE = ABSCISARADIO VECTOR = HIPOTENUSA
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CADA CUADRANTE
Trigonometría 64
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
1. Primer CuadranteEn el primer cuadrante TODAS las razones trigonométricas son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) la ordenada (y) y el radio vector (r) son positivas.
2. Segundo CuadranteEn el segundo cuadrante el SENO y la COSECANTE son POSITIVAS porque la ORDENADA (y) y el RADIO vector (r) son positivas.Las demás razones trigonométricas son negativas.
3. Tercer CuadranteEn el tercer cuadrante la TANGENTE y la COTANGENTE son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) y la ordenada (y) son negativas.Las demás razones trigonométricas son negativas.
4. Cuarto CuadranteEn el cuarto cuadrante el COSENO y la SECANTE son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) y el radio vector (r) son positivos.Las demás razones trigonométricas son negativas.
5. Regla PrácticaSon Positivos
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALESComo ejemplo modelo vamos a calcular las razones
trigonométricas de 90º, análogamente se van a calcular las otras razones trigonométricas de 0º, 180º, 270º y 360º.
Del gráfico observamos que x = 0
Trigonometría 65
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
r = y, por tanto:
sen 90º = = = . 1 .
cos 90º = = = . 0 .
tg 90º = = = . No defnido (N.D.)
.
ctg 90º = = = . 0 .
sec 90º = = = . No
defnido (N.D.) .
csc 90º = = = . 1 .
Aplicando las razones trigonométricas de ángulos en posición normal, tenemos:
∢R.T.
0º 90º 180º 270º 360º
Sen 0 1 0 –1 0Cos 1 0 –1 0 1Tg 0 ND 0 ND 0Ctg ND 0 ND 0 NDSec 1 ND –1 ND 1Csc ND 1 ND –1 ND
Trigonometría 66
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Trigonometría 67
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Si el punto (6; – 8) pertenece al lado final del ángulo en posición normal, calcular: 5cos + 6tg
Rpta.
2. Calcular: csc + cos
Rpta.
3. Si sen>0 cos<0, hallar el signo de la expresión: (tg+ctg) sen
Rpta.
4. Si sen < 0, halla el signo de la expresión:
Rpta.
5. Si: IIIC además tg =
1,5; calcular (sen –
cos)
Rpta.
6. Si IIC, además:
sec = tg245º – sec260º,
calcular: 3 sen + tg
Rpta.
7. Calcular:
2sen90º + 3cos180º +
4tg360º + 5ctg270º
Rpta.
8. Reducir:
Rpta.
9. Del la figura hallar:
Trigonometría 68
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
Rpta.
10.De la figura,
Hallar “sen”, sabiendo
que tg + tg = –6
Rpta.
11.Del gráfico, calcular:2tg + 3tg
Rpta.
12.De la figura hallar: a – 8ctg
Rpta.
13.Si:tg>0 sen = tg230 – tg245ºCalcular: cos
Rpta.
14.Si: 8tg+1 = 4, además: cos>0, calcular sen
Rpta.
Trigonometría 69
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “San Antonio” QUINTO AÑO
15.Si: ,
calcular: , sabiendo que IIIC
Rpta.
16.Si: sen(5+10º)=cos(2 + 10º), Calcular:cos . cos2......,cos10.
Rpta.
17.Reducir:
Rpta.
18.Si: 2tg+2 = 3ctg+3
Además: IIQ IVQ
Calcular: . cos . cos
Rpta.
19.Si ABCD es un cuadrado, hallar tg
Rpta.
20.Si tg = 1 +
. Además
IIIC, calcular:
Rpta.
Trigonometría 70
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PROBLEMAS PARA LA CASA
1. En el esquema
mostrado, calcular
“sec”
A)B) C)
D) E)
2. El punto (3; –4)
pertenece al lado final
del ángulo en posición
normal; calcule:
M = 5 cos + 6 tg
A) –3B) –4C) –5
D) –10E) –11
3. Del gráfico
mostrado, calcule el
valor de:
E = 4tg + 3
A) –3B) –1C) –5
D) 9E) –6
4. Siendo “” un ángulo
en posición normal del
segundo cuadrante, donde
tg = –3/2; calcule el valor
del
A) 1B) 2C) 3
D) 4E) 5
5. Si se tiene que cos > 0 y además: 8tg+1 = 4; calcule el valor de “sen ”
Trigonometría 71
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A) B) C)
D) E)
6. Siendo “” un ángulo en posición estándar del tercer cuadrante, para lo cual se tiene que ctg = 2,4, calcule el valor de:
E = tg – sec
A) 0B) 1C) 1,5D) 2,5E) 1,25
7. Del gráfico mostrado calcule el valor de:M = csc + cos
A) 1B) 2C)D) 4E) 5
8. A partir del gráfico, hallar:
cos – cos
A) 1B) 0C) –1D) 2E) ½
9. Indicar el signo de la expresión:
A) +B) –C) + ó –D) – y +E) F.D.
10. Si el punto (–1; 3) pertenece al lado final de un ángulo en posición canónica ””, calcular:R = sen . ctg
A) B)
C) D)
E)
CLAVES
Trigonometría 72
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1. B
2. C
3. E
4. D
5. A
6. C
7. B
8. B
9. A
10. A
Trigonometría 73
80
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ÍNDICE
PÁG.
SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR 7
SECTOR CIRCULAR 18
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS 28
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 42
ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES 56
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE
CUALQUIER MAGNITUD (R.T.C.M.) 67
Trigonometría 74