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El Spirit of Akron es una aeronave que mide más de 60 m de largo. Cuando está estacionada en el aeropuerto, una persona puede sostenerlo fácilmente sobre su cabeza con sólo una mano. No obstante, resulta imposible, incluso para un adulto muy fuerte, mover la nave de manera repentina. ¿Qué propiedad de esta curiosa nave hace tan difícil provocar un cambio súbito en su movimiento? (Cortesía de Edward E Ogden)

web Para mayor información sobre la aeronave, visite httP://www.goodyear.com/about/blimp

'erutes del capítulo

cap í t ato

Las leyes del movimiento

5.1 El concepto de fuerza

5.2 Primera ley de Newton y marcos inerciales

5.3 Masa

5.4 Segunda ley de Newton

5.5 La fuerza de gravedad y el peso

5.6 Tercera ley de Newton

5.7 Algunas aplicaciones de las leyes de Newton

5.8 Fuerzas de fricción

110

Un cuerpo acelera debido a una fuerza externa

Definición de equilibrio

5.1 El concepto de fuerza

En los capítulos 2 y 4 se describió el movimiento en términos de desplazamiento, velocidad y aceleración sin considerar qué puede causarlo. ¿Qué puede provo-car que una partícula permanezca en reposo y otra acelere? En este capítulo

se investigarán las causas de los cambios en el movimiento. Los dos factores princi-pales que es necesario considerar son las fuerzas que actúan sobre un objeto y sobre la masa de éste. Se analizarán las tres leyes básicas del movimiento, formuladas hace más de tres siglos por Isaac Newton, que tienen relación con las fuerzas y las masas. Una vez comprendidas dichas leyes podrán resolverse preguntas tales como, "¿qué mecanismo cambia el movimiento?" y "¿por qué algunos objetos aceleran más que

otros?".

Mb> EL CONCEPTO DE FUERZA

A partir de las experiencias cotidianas todos comprenden, así sea de manera simple, el concepto de fuerza. Cuando usted empuja su plato de comida vacío aplica una fuerza sobre él. También, se aplica una fuerza cuando se lanza o patea una pelota. En estos ejemplos la palabra fuerza se asocia con el resultado de la actividad muscu-lar y con cierto cambio en la velocidad de un objeto. Sin embargo, las fuerzas no siempre producen movimiento. Por ejemplo, si está usted sentado leyendo este li-bro, la fuerza de gravedad actúa sobre su cuerpo y usted permanece estacionario, o bien, usted puede empujar (en otras palabras, ejercer una fuerza) un gran bloque de piedra y no ser capaz de moverlo.

¿Qué fuerza (si hay alguna) hace que la Luna orbite a la Tierra? Newton res-pondió preguntas de este tipo estableciendo que el cambio en la velocidad de un objeto es causado por las fuerzas. En consecuencia, si un objeto se mueve con movimiento uniforme (velocidad constante) no es necesaria ninguna fuerza para mantener el movimiento. La velocidad de la Luna no es constante debido a que se mueve casi en una órbita circular alrededor de la Tierra. Ahora se sabe que este cam-bio en la velocidad es provocado por la fuerza ejercida por la Tierra sobre la Luna. Puesto que sólo una fuerza puede producir un cambio en la velocidad, considere la fuerza como aquello que ocasiona que un cuerpo se acelere. Este capítulo se refiere a la relación entre la fuerza ejercida sobre un objeto y la aceleración del mismo.

¿Qué ocurre cuando varias fuerzas actúan de manera simultánea sobre un ob-jeto? En este caso el objeto acelera sólo si la fuerza neta que actúa sobre él es dife-rente de cero. La fuerza neta ejercida sobre un objeto está definida como el vector suma de todas las fuerzas que actúan sobre él. (En ocasiones se hace referencia a la fuerza neta como fuerza total, fuerza resultante o fuerza desequilibrada.) Si la fuerza neta ejercida sobre un objeto es cero, entonces la aceleración del objeto es cero y su ve-locidad permanece constante. Es decir, si la fuerza neta que actúa sobre el objeto es cero, éste permanece en reposo o continúa moviéndose a velocidad constante. Cuando la velocidad de un cuerpo es constante (incluso cuando está en reposo) se dice que está en equilibrio.

Si se jala un resorte, como en la figura 5.1a, éste se alarga. Si un carro se jala lo suficientemente fuerte para superar la fricción, como en la figura 5.1b, el carro se mueve. Cuando se patea un balón de futbol americano, como en la figura 5.1c, el balón se deforma y se pone en movimiento. Todos éstos son ejemplos de un tipo de fuerzas llamadas fuerzas de contacto. Es decir, representan el resultado del contacto físico entre dos objetos. Otros ejemplos de fuerzas de contacto incluyen la fuerza ejercida por las moléculas de gas sobre las paredes de un recipiente y la fuerza ejer-cida por los pies sobre el suelo.

Otro tipo de fuerzas, que no implican contacto físico entre dos objetos sino que actúan a través del espacio vacío, se conocen como fuerzas de campo. La fuerza de la atracción gravitacional entre dos objetos, ilustrada en la figura 5.1d, es un ejemplo de esta clase de fuerza, la cual mantiene los objetos pegados a la Tierra. Los plane-

112 CAPÍTULO 5 Las leyes del movimiento

Fuerza de contacto

—s.

I

,,

Campos de fuerza

, ,

d) a)

I I

L'

1

i i i

b)

r 1 i t

i1

i

e)

r-- —1

, 1

e)

r 1

, ,

f)

Figura 5.1 Algunos ejemplos de fuerzas aplicadas. En cada caso una fuerza es ejercida sobre el ob-jeto con el rectángulo punteado. Algunos agentes en el ambiente externo al área referida ejercen una fuerza sobre el objeto.

tas de nuestro sistema solar están unidos al Sol por la acción de fuerzas gravita- , cionales. Otro ejemplo común de una fuerza de campo es la fuerza eléctrica que una carga eléctrica ejerce sobre otra, como se muestra en la figura 5.1e. Estas cargas po-drían ser un electrón y un protón formando un átomo de hidrógeno. Un tercer ejemplo de una fuerza de campo es la que un imán de barra ejerce sobre un pedazo de hierro, como se ilustra en la figura 5.1f. Las fuerzas que mantienen unido un nú-cleo atómico son también fuerzas de campo, aunque suelen ser de muy corto al-cance. Ellas son la interacción dominante para la separación de partículas del orden de 10'5 m.

Los primeros científicos, incluido Newton, se preocuparon por el concepto de una fuerza que actuaba entre dos objetos desconectados. Para superar este problema, conceptual Michael Faraday (1791-1867) introdujo el concepto de campo. Según este enfoque, cuando un objeto 1 se sitúa en algún punto P cerca de un objeto 2, se puede decir que el objeto 1 interactúa con el objeto 2 mediante el campo gravita-cional que existe en P. El campo gravitacional en P es generado por el objeto 2. Del mismo modo, hay un campo gravitacional creado por el objeto 1 en la posición del objeto 2. De hecho, todos los objetos crean un campo gravitacional en el espa-cio alrededor de ellos.

La distinción entre fuerzas de contacto y fuerzas de campo no es tan tajante como la exposición anterior haría pensar. Cuando se hurga en el nivel atómico, to-das las fuerzas clasificadas como de contacto se transforman como consecuencia de las fuerzas (de campo) eléctricas del tipo ilustrado en la figura 5.1e. A pesar de ello,

5.1 El concepto de fuerza 113

al desarrollar modelos para fenómenos macroscópicos es conveniente utilizar ambas clasificaciones de fuerzas. Las únicas fuerzas fundamentales conocidas en la naturaleza son, en todos los casos, fuerzas de campo: (1) la atracción gravitacional entre obje-tos, (2) las fuerzas electromagnéticas entre cargas eléctricas, (3) las fuerzas nucleares fuertes entre partículas subatómicas, y (4) las fuerzas nucleares débiles que surgen en ciertos procesos de decaimiento radiactivo. En la física clásica sólo interesan las fuerzas gravitacional y electromagnética.

Medición de la intensidad de una fuerza

Es conveniente utilizar la deformación de un resorte para medir fuerzas. Suponga que se aplica una fuerza vertical a una balanza de resorte que tiene su extremo su-perior fijo, como se ilustra en la figura 5.2a. El resorte se elonga cuando se le aplica la fuerza y un puntero en la escala lee el valor de la fuerza aplicada. Se puede cali-brar el resorte definiendo la fuerza unitaria, F1, como la fuerza que produce una

F en negritas.) Si se aplica una segunda fuerza, F2, hacia abajo, cuya magnitud es 2 elongación de 1.00 cm. (Como la fuerza es una cantidad vectorial se usa el símbolo

unidades, como se muestra en la figura 5.2b, la elongación de la balanza es 2.00 cm. La figura 5.2c muestra que el efecto combinado de las dos fuerzas que son colineales es la suma de los efectos de las fuerzas individuales.

popotes y un amigo Coloque la pelota sobre una mesa. Usted y su amigo pueden aplicar, cada uno, una

Experimento sorpresa

Consiga una pelota de tenis, dos

Suponga ahora que las dos fuerzas se aplican de modo simultáneo con F1 hacia fuerza sobre la pelota soplando a través de los popotes (sosténganlos abajo y F2 horizontal, como se ilustra en la figura 5.2d. En este caso se encuentra horizontalmente algunos centímetros

que la elongación del resorte será A/5 cm2 = 2.24 cm. La fuerza individual, F, que sobre la mesa), de tal modo que el produciría esta misma elongación es la suma vectorial de F1 y F2, según se describe aire golpee a la pelota. Pruebe varias

en la figura 5.2d. Es decir, 111 = VF12 + F22 configuraciones: soplen en direc-

= 2.24 unidades, y su dirección es O = ciones contrarias contra la bola, so-

tan' (-0.500) = —26.6°. Debido a que las fuerzas son cantidades vectoriales, se deben plen en la misma dirección, soplen utilizar las reglas de la adición vectorial para obtener la fuerza neta que actúa sobre en ángulo recto a cada lado, y cosas

por el estilo. ¿Puede verificar la natu- un objeto. raleza vectorial de las fuerzas?

a) d)

Figura 5.2 La naturaleza vectorial de una fuerza es probada con una báscula de resorte. a) Una fuerza descendente F, elonga el resorte 1 cm. b) Una fuerza descendente F2 elonga el resorte 2 cm. c) Cuando F, y F2 son aplicados de manera simultánea, el resorte se elonga 3 cm. d) Cuando F, es descendente

y F2 es horizontal, la combinación de ambas fuerzas elonga el resorte -s,112 + 22 cm = -5 cm.



Utilice un popote para impartir una fuerte y breve ráfaga de aire contra una pelota de tenis mientras ésta rueda a lo largo de la cubierta de una mesa. Aplique la fuerza de ma-nera perpendicular a la trayectoria de la pelota. ¿Qué ocurre con el movimiento de la pelota? ¿Cuál es la diferencia si se aplica una fuerza continua (magnitud y dirección constantes) que esté dirigida a lo largo de la dirección del movimiento?

Mi> PRIMERA LEY DE NEWTON Y MARCOS INERCIALES

án Antes de enunciar la primera ley de Newton considere el siguiente experimento sim-ia., 4.2 ple. Suponga que un libro está sobre una mesa. Evidentemente, el libro permanece

en reposo. Imagine ahora que lo empuja con una fuerza horizontal tan grande como para vencer la fuerza de fricción entre el libro y la mesa. (Esta fuerza que ejerció, la fuerza de fricción y cualesquiera otras fuerzas ejercidas sobre el libro por otros ob-jetos, se conocen como fuerzas externas.) En ese caso el libro puede ponerse en movimiento a velocidad constante si la fuerza que usted aplica es igual en magnitud a la fuerza de fricción y actúa en dirección opuesta. Si después lo empuja, de ma-nera que la fuerza aplicada sea mayor que la fuerza de fricción, el libro acelera. Si deja de empujar el libro deja de deslizarse después de moverse una corta distancia debido a que la fuerza de fricción retarda su movimiento. Imagine ahora que em-puja el libro a lo largo de un piso muy encerado. En este caso el libro también llega al reposo después de que usted deja de empujarlo, aunque no tan rápido como antes. Imagine ahora un piso pulido a tal grado que no hay fricción; en este caso el libro, una vez en movimiento, se desliza hasta chocar contra la pared.

Antes del año 1600 los científicos creían que el estado natural de la materia era el de reposo. Galileo fue el primero que planteó un enfoque diferente para el movimiento y el estado natural de la materia. Realizó experimentos razonados, como el que se acaba de describir para un libro sobre una superficie sin fricción, y con-cluyó que no es la naturaleza de un objeto detenerse una vez que se pone en movimiento: más bien, su naturaleza es oponerse a cambios en su movimiento. En sus pa-labras: "Cualquier velocidad, una vez aplicada a un cuerpo en movimiento, se man-tendrá estrictamente siempre que las causas externas de retardo se eliminen."

Este nuevo enfoque del movimiento fue formalizado después por Newton en una forma que se conoce como primera ley del movimiento de Newton:

Primera ley de Newton

Definición de inercia

En ausencia de fuerzas externas un objeto en reposo permanecerá en reposo y un objeto en movimiento continuará en movimiento a velocidad constante (esto es, con rapidez constante en una línea recta).

En términos sencillos se puede decir que cuando ninguna fuerza actúa sobre un ob-jeto, la aceleración del objeto es cero. Si nada actúa para cambiar el movimiento del objeto, entonces su velocidad no cambia. De acuerdo con la primera ley se concluye que un cuerpo aislado (un cuerpo que no interactúa con su medio) está en reposo o en movimiento a velocidad constante. La tendencia de un objeto a resistir cualquier intento por cambiar su velocidad se llama inercia del objeto. La figura 5.3 muestra un ejemplo dramático de una consecuencia de la primera ley de Newton.

Otro ejemplo de movimiento uniforme (velocidad constante) sobre una super-ficie casi sin fricción es el de un disco ligero sobre una columna de aire (el lubri-cante), como se ve en la figura 5.4. Si al disco se le aplica una velocidad inicial, éste se desplaza una gran distancia antes de detenerse.

Por último, considere una nave espacial viajando en el espacio y bastante apartada de cualquier planeta u otra materia. La nave requiere algún sistema de propulsión para cambiar su velocidad. Sin embargo, si el sistema de propulsión se apaga cuando la nave espacial alcanza una velocidad y, la nave viaja en el espacio a velocidad constante y los astronautas permanecen en un vuelo libre (esto significa que no es necesario un sistema de propulsión para mantenerlos en movimiento a la velocidad v).

Marcos inerciales

Como se expuso en la sección 4.6, un objeto en movimiento puede ser observado desde cualquier número de marcos de referencia. La primera ley de Newton, en oca- NDefinición de marco inercial

115

cgtiseeüeólia. fue capaz de explicar los mcivirmetitós, de los planetas, la subida y flujo de las mareas y muchos hechos espe-ciales de los movimientos de la Luna y la Tierra. También interpretó muchas observaciones fundamentales. concernientes a la naturaleza de la luz. Sus contribuciones a las teorías físicas dominaron el pensamiento científico durante dos siglos y aún hoy siguen siendo importantes. (Giraudon/Art Resource)

v = constante

Ventilador eléctrico

Figura 5.4 El hockey sobre mesa de

aire toma ventaja de la primera ley de Newton para hacer el juego más exci-

tante.

5.2 Primera ley de Newton y marcos inerciales

Figura 5.3 A menos que una

fuerza neta actúe sobre él, un ob-jeto en reposo perinanece así y un objeto en movimiento continúa moviéndose a velocidad constante. En este caso la pared del edificio

no ejerció sobre el tren en movi-miento una fuerza que fuese lo su-ficientemente grande para dete-

nerlo. (Roger Viollet, Mill Valley, CA,

Univers'ty Science Books, 1982)

siones también llamada ley de inercia,

define un conjunto especial de marcos de refe-

rencia denominados marcos inerciales.

Un marco de referencia inercial es el que no

está acelerado. Puesto que la primera ley de Newton se refiere sólo a objetos que no están acelerados, es válida en marcos de referencia inerciales. Cualquier marco de referencia que se mueve a velocidad constante respecto de un marco inercial es en sí mismo un marco inercial. (Las transformaciones galileanas proporcionadas por las ecuaciones 4.20 y 4.21 relacionan posiciones y velocidades entre dos marcos de

Un marco de referencia que se mueve a velocidad constante en relación con las referencia inerciales.)

estrellas distantes es la mejor aproximación de un marco inercial, y para estos propósitos se puede considerar a la erra como un marco de referencia. La Tierra no es un marco inercial debido a su movimiento orbital en torno al Sol y a su

Ti

movimiento rotacional alrededor de su propio eje. Como la Tierra viaja en una ór-

bita casi circular en torno al Sol experimenta una aceleración de aproximadamente

4.4 x 10-' m/s2 dirigida hacia el Sol. Además, en vista de que la Tierra gira alrede-

dor de su propio eje una vez cada 24 horas, un punto sobre el ecuador experimenta

una aceleración adicional de 3.37 x 10-2 m/s2

hacia el centro de la Tierra. Sin em-

bargo, estas aceleraciones son pequeñas comparadas con g y casi siempre pueden ig-

norarse. Por esta razón se supone que la Tierra está en un marco de referencia

inercial, como lo está cualquier otro marco de referencia unido a ella. Si un objeto se mueve a velocidad constante, un observador en un marco iner-

cial (por ejemplo, uno en reposo respecto del objeto) afirmará que la aceleración

del objeto y la fuerza resultante sobre el mismo son cero. Un observador en

cualquier

I otro

marco inercial encontrará también que a —

O y 1F = O para el objeto. De acuerdo

con la. j, wimera ley, un cuerpo en reposo y uno en movimiento a velocidad constante

son equivalentes. Un pasajero en un auto que se mueve a lo largo de una carretera recta a rapidez constante de 100 km/h fácilmente puede servir café en una taza. Pero si el conductor pisa el pedal del combustible (acelerador) o el freno, o gira la dirección mientras se está sirviendo el café, el auto acelera y ya no es más un marco de referencia inercial. Las leyes del movimiento no funcionan como se esperaba, ¡y

el café termina en el regazo del pasajero!

milliOr--.


Definición de masa

Masa y peso son cantidades diferentes

Pregunta sorpresa 5.1

Cierto o falso: a) Es posible tener movimiento en ausencia de fuerza. b) Es posible tener fuerza en ausencia de movimiento.

11190> MASA

S) Imagine jugar a atrapar una pelota de basquetbol o una bola de boliche. ¿Cuál bola 4.3 tiene más posibilidades de seguirse moviendo cuando usted intenta atraparla? ¿Cuál

tiende más a permanecer sin movimiento cuando intenta arrojarla? Puesto que la bola de boliche es más resistente a cambios en su velocidad, se puede decir que su inercia es mayor que la de la pelota de basquetbol. Como se hizo notar en la sec-ción precedente, la inercia es una medida de cuánto responde un objeto a una fuerza externa.

Masa es esa propiedad de un objeto que especifica cuánta inercia tiene el ob-jeto y, como se apreció en la sección 1.1, la unidad SI de la masa es el kilogramo. Cuanto mayor es la masa de un cuerpo, tanto menor es la aceleración de ese cuerpo bajo la acción de una fuerza aplicada. Por ejemplo, si una fuerza dada que actúa so-bre una masa de 3 kg produce una aceleración de 4 m/s2, la misma fuerza aplicada a una masa de 6 kg producirá una aceleración de 2 m/s2.

Para describir la masa cuantitativamente, empiece comparando las aceleraciones que una fuerza determinada producen sobre diferentes cuerpos. Suponga que una fuerza que actúa sobre un cuerpo de masa m1 produce una aceleración a1 , y que si la misma fuerza actúa sobre un cuerpo de masa m2 produce una aceleración a2. La proporción de las dos masas se define como la proporción inversa de las magnitudes de las aceleraciones producidas por la misma fuerza:

mi =a2 (5.1) m2 al

Si uno de estos objetos tiene una masa conocida, la masa del otro objeto, que se des-conoce, puede obtenerse a partir de mediciones de aceleración.

La masa es una propiedad inherente de un cuerpo y es independiente de los alrededores del cuerpo y del método utilizado para medirla. Además, la masa es una cantidad escalar y, por tanto, obedece las reglas de la aritmética ordinaria. Es decir, es posible combinar varias masas de una manera numérica simple. Por ejemplo, si se combina una masa de 3 kg con una de 5 kg su masa total será 8 kg. Este resul-tado puede verificarse de manera experimental comparando la aceleración que una fuerza conocida produce sobre varios objetos por separado con la aceleración que la misma fuerza provoca sobre los mismos objetos combinados como unidad.

La masa no debe confundirse con el peso. La masa y el peso son dos cantidades diferentes. Como se verá más adelante, el peso de un cuerpo es igual a la magnitud de la fuerza gravitacional ejercida sobre el cuerpo y varía con su ubicación. Por ejem-plo, una persona que pese 180 lb sobre la Tierra pesa sólo cerca de 30 lb sobre la Luna. Por otra parte, la masa de un cuerpo es la misma en cualquier lugar: un ob-jeto que tenga una masa de 2 kg sobre la Tierra también tiene una masa de 2 kg so-bre la Luna.

SEGUNDA LEY DE NEWTON

S La primera ley de Newton explica lo que le ocurre a un objeto cuando ninguna 4.4 fuerza actúa sobre él. Permanece en reposo o moviéndose en línea recta con rapi-

dez constante. La segunda ley de Newton responde la pregunta de lo que sucede a un objeto que tiene una fuerza resultante diferente de cero actuando sobre él.

5.4 Segunda ley de Newton 117

Imagine que empuja un bloque de hielo sobre una superficie horizontal sin fric-ción. Cuando usted ejerce alguna fuerza horizontal F, el bloque se mueve con cierta

aceleración a. Si aplica una fuerza dos veces mayor, la aceleración se duplica. Si in-

crementa la fuerza aplicada a 3F, la aceleración se triplica, etcétera. A partir de es-

tas observaciones se concluye que la aceleración de un objeto es directamente pro-

porcional a la fuerza resultante que actúa sobre él. Como se estableció en la sección anterior, la aceleración de un objeto depende

también de su masa. Esto puede comprenderse al considerar el siguiente experi-mento. Si se aplica una fuerza F a un bloque de hielo sobre una superficie sin fric-

ción, el bloque experimenta cierta aceleración a. Si se duplica la masa del bloque,

la misma fuerza aplicada produce una aceleración a/2. Si se triplica la masa, la misma fuerza aplicada produce una aceleración a/3, etcétera. De acuerdo con esta

observación, se concluye que la magnitud de la aceleración de un objeto es inversa-

mente proporcional a su masa. Estas observaciones se resumen en la segunda ley de Newton:

La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que

actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa.

De este modo, es posible relacionar la fuerza y la masa con el siguiente enunciado

matemático de la segunda ley de Newton:'

F = ma (5.2)

Observe que esta ecuación es una expresión vectorial y, por tanto, es equivalente a

tres ecuaciones de componentes:

Segunda ley de Newton

F x = ma Fy = maY Fz = ma, (5.3) Segunda ley de Newton:

forma de componentes

Pregunta sorpresa 5.2 ¿Existe alguna relación entre la fuerza neta que actúa sobre un objeto y la dirección en la

cual se mueve el objeto?

Unidad de fuerza

La unidad de fuerza del SI es el newton, la cual se define como la fuerza que, al ac-

tuar sobre una masa de 1 kg, produce una aceleración de 1 m/s2. A partir de esta

definición y con la segunda ley de Newton, se ve que el newton puede expresarse en términos de las siguientes unidades fundamentales de masa, longitud y tiempo:

1 N = 1 kg•m/s2 (5.4) Definición de newton

En el sistema inglés de ingeniería, la unidad de fuerza es la libra, definida como

la fuerza que, al actuar sobre una masa de 1 slug,2 produce una aceleración de

1 pie/s2:

1 lb -= 1 slug •pie/s2

Una aproximación conveniente es que 1 N

1 La ecuación 5.2 sólo es válida cuando la rapidez de la partícula es mucho menor que la rapidez de

la luz. La situación relativista se tratará en el capítulo 39.

2 El slug es la unidad de masa en el sistema de ingeniería inglés y es la contraparte del sistema del kilo-

gramo del SI. Puesto que en la mayor parte de los cálculos en nuestro estudio de mecánica clásica se

utilizan unidades del SI, el slug rara vez se usa en este texto.

(5.5)


TABLA 5.1 Unidades de fuerza, m

Sistema de unidades Masa Aceleración Fuerza

SI kg m/s2 N = kg- m/s2 Británico de ingeniería slug pie/s2 lb = slug • pie/s2

a 1 N = 0.225 1b.

Las unidades de fuerza, masa y aceleración están resumidas en la tabla 5.1. Ahora se puede entender cómo una sola persona puede sostener una aeronave

pero no es capaz de cambiar su movimiento de manera repentina, como se estable-ció al principio del capítulo. La masa del dirigible es mayor a 6 800 kg. Para poder hacer que esta gran masa se acelere de manera apreciable se requiere una gran fuerza, ciertamente una mucho más grande que la que un humano puede propor-cionar.

EJEMPLO. Un disco de hockey acelerado

Un disco de hockey con una masa de 0.30 kg se desliza sobre la superficie horizontal sin fricción de una pista de hielo. En la figura 5.5 se muestran dos fuerzas que actúan sobre el disco. La fuerza F1 tiene una magnitud de 5.0 N, y la fuerza F2 de 8.0 N. Determine la magnitud y la dirección de la ace-leración del disco.

Solución La fuerza resultante en la dirección x es

F „ = F,, + F2„ = F, cos (-20° ) + F2 cos 60° = (5.0 N) (0.940) + (8.0 N) (0.500) = 8.7 N

y

F 2

011..

.....,L F1 = 5.0 N F2 = 8.0 N

60°

) 20°

F1

La fuerza resultante en la dirección y es

F = Fly + F2, = F, sen (-20°) + F2 sen 60° = (5.0 N) (-0.342) + (8.0 N) (0.866) = 5.2 N

Ahora, con la segunda ley de Newton en forma de compo-nentes se intentará encontrar las componentes x y y de la ace-leración:

ax F„ 8.7 N = 29 m/s2

= m 0.30 kg

E F y 5.2 N = 17 m/s

ay = m = 0.30 kg

La aceleración tiene una magnitud de

a = (29)2 + (17)2 m/s2 = 34 m/s2

y su dirección relativa al eje x positivo es

17 0 = tan-1 = tan-1 [--j = 30°

29

Se pueden sumar de manera gráfica los vectores de la figura 5.5 para verificar lo razonable,de la respuesta. Puesto que el vector aceleración está a lo largo de la dirección de la fuerza resultante, un dibujo que muestre la fuerza resultante ayu-dará a comprobar la validez de la respuesta.

Ejercicio Determine las componentes de una tercera fuerza que, cuando se aplica al disco, ocasiona que éste tenga acele-ración cero.

x

•

Figura 5.5 Un puck de hockey que se mueve sobre una superficie sin fricción acelera en la dirección de la fuerza resultante F1 + F2. Respuesta 8.7 N, ny = —5.2 N.

5.5 La fuerza de gravedad y el peso 119

al»s LA FUERZA DE GRAVEDAD Y EL PESO

Se sabe que todos los objetos son atraídos hacia la Tierra. La fuerza ejercida por la Tierra sobre un objeto se denomina fuerza de gravedad Fg. Esta fuerza está dirigida hacia el centro de la Tierra,3 y su magnitud se llama peso del objeto.

En la sección 2.6 se expuso que un cuerpo que cae libremente experimenta una aceleración g que actúa hacia el centro de la Tierra. Al aplicar la segunda ley de Newton /F = ma al objeto de masa m en caída libre, con a = g y EP' = Fg, se obtiene

Fg = mg (5.6)

De este modo, el peso de un objeto, el cual se define como la magnitud de Fg, es mg. (El lector no deberá confundir el símbolo en itálica g para la aceleración gravi-tacional con el símbolo en redonda g que se usa como la abreviatura de "gramo".)

Puesto que depende de g, el peso varía con la ubicación geográfica. Por tanto, el peso, a diferencia de la masa, no es una propiedad inherente de un cuerpo. Puesto que g disminuye conforme se incrementa la distancia desde el centro de la Tierra, los cuerpos pesan menos a grandes altitudes que a nivel del mar. Por ejem-plo, una paleta de ladrillos de 1 000 kg usada en la construcción del Empire State en la ciudad de Nueva York pesaba cerca de 1 N menos desde el momento en que se levantaba desde el nivel de la banqueta hasta el nivel de la parte más alta del edi-ficio. Como otro ejemplo, suponga que un objeto tiene una masa de 70.0 kg. Su peso en una posición donde g= 9.80 m/s2 es n— mg= 686 N (aproximadamente 150 lb). Sin embargo, en la cima de una montaña, donde g= 9.77 m/s2, su peso es de sólo 684 N. Por consiguiente, si se quiere perder peso sin seguir una dieta, ¡suba a una montaña o pésese a 30 000 pies durante un vuelo de avión!

Puesto que peso = Fg = mg, se pueden comparar las masas de dos cuerpos mi-diendo sus pesos en una balanza de resorte. En una localidad determinada la relación de los pesos de dos cuerpos es igual a la relación de sus masas.

La unidad de soporte de vida fijada a la espalda del astronauta Edwin Aldrin pesaba 300 lb sobre la Tierra. Durante su entrenamiento usó un modelo a escala de 50 lb. Aunque ésta en efecto simulaba el peso reducido que la unidad tendría sobre la Luna, no imitaba correctamente la masa invariable. Fue tan difícil acelerar la unidad (quizá al saltar o girar súbitamente) sobre la Luna como en la Tierra. (Cortesía de la NASA)

3 Este enunciado ignora el hecho de que la distribución de la masa de la Tierra no es perfectamente esférica.

Definición de peso


Suelte una pluma y su libro de texto simultáneamente desde la misma al-tura y observe su caída. ¿Cómo Pueden tener la misma aceleración cuando sus pesos son tan diferentes?

EJEMPLO CONa ¿Cuánto pesa usted en un elevador?

Usted probablemente habrá tenido la experiencia de sentirse más pesado al estar de pie en un elevador que acelera hacia arriba conforme se mueve a un piso superior. De hecho, si usted está parado sobre una báscula en ese momento, la misma medirá la magnitud de una fuerza que es mayor que su peso. De esta manera, lo conducirá a creer que es más pe-sado en esta situación. ¿Es más pesado?

Solución No, su peso no ha cambiado. Para proporcionar la aceleración hacia arriba el piso de la báscula debe ejercer sobre sus pies una fuerza hacia arriba que sea más grande en magnitud que su peso. Es esta fuerza mayor que usted siente, la cual interpreta como una sensación de mayor peso. La bás-cula lee esta fuerza hacia arriba, no su peso, y de esta forma su lectura se incrementa.

120

CAPÍTULO 5 Las leyes del movimiento


Una pelota de beisbol de masa m se lanza hacia arriba con cierta rapidez inicial. Si se ig-nora la resistencia del aire, ¿qué fuerzas están actuando sobre la pelota cuando ésta alcanza: a) la mitad de su altura máxima y b) su altura máxima?

1110›- TERCERA LEY DE NEWTON

Si usted oprime una esquina de este libro con la punta de su dedo, el libro lo em- 4.5 puja de regreso y hace una pequeña muesca en su piel. Si usted aprieta más fuerte,

el libro hace lo mismo y la muesca en su piel se hace un poco más grande. Este sim-ple experimento ilustra un principio general de importancia crítica conocido como tercera ley de Newton:

Si dos objetos interactúan, la fuerza F12, ejercida por el objeto 1 sobre el objeto 2, es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza F21 ejercida por el ob-

Tercera ley de Newton jeto 2 sobre el objeto 1:

F12 = —F21 (5.7)

Esta ley, la cual se ilustra en la figura 5.6a, establece que una fuerza que afecta el movimiento de un objeto debe venir de un segundo objeto externo. El objeto externo, a su vez, está sujeto a una fuerza ejercida sobre él, de igual magnitud pero dirigida en sentido opuesto.

F12 = —F21

F21

a) b)

Figura 5.6 Tercera ley de Newton. a) la fuerza F12 ejercida por el objeto 1 sobre el objeto 2 es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza F21 ejercida por el objeto 2 sobre el objeto 1. b) La fuerza F,„, ejercida por el martillo sobre el clavo es igual y opuesta a la fuerza Fc„, ejercida por el clavo sobre el martillo. (John Gillmoure/The Stock Market)

5.6 Tercera ley de Newton

121

Esto es equivalente a establecer que no puede existir una fuerza aislada individual. La fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el cuerpo 2 se conoce como fuerza de acción, en tanto que la fuerza que el cuerpo 2 ejerce sobre el cuerpo 1 recibe el nombre de fuerza de reacción. En realidad, cualquier fuerza puede marcarse como de acción o reacción. La fuerza de acción es igual en magnitud a la fuerza de reacción y opuesta en dirección. En todos los casos las fuerzas de acción o de reacción actúan sobre ob-jetos diferentes. Por ejemplo, la fuerza que actúa sobre un proyectil que cae libre-mente es Fg= mg, que es la fuerza de gravedad ejercida por la Tierra sobre el proyectil. La reacción a esta fuerza es la fuerza del proyectil sobre la Tierra, n La fuerza de reacción n acelera la Tierra hacia el proyectil del mismo modo en que la fuerza de acción Fg acelera el proyectil hacia la Tierra. Sin embargo, puesto que la Tierra tiene una masa más grande, su aceleración debido a esta fuerza de reacción es insignificantemente pequeña.

Otro ejemplo de la tercera ley de Newton se muestra en la figura 5.6b. La fuerza ejercida por el martillo sobre el clavo (la fuerza de acción F,,,c) es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza ejercida por el clavo sobre el martillo (la fuerza de reacción Fcm). Es esta última fuerza la que causa que el martillo detenga su rápido movimiento hacia adelante cuando golpea al clavo.

Usted experimenta la tercera ley de Newton directamente siempre que golpea con el puño una pared o patea un balón de futbol. Se debe ser capaz de identificar las fuerzas de acción y reacción en estos casos.


Una persona camina desde un bote hacia el muelle. Desafortunadamente olvida amarrar el

bote al muelle, y el mismo se escabulle conforme la persona avanza. Analice esta situación

en términos de la tercera ley de Newton.

La fuerza de gravedad Fg se definió como la fuerza atractiva que la Tierra ejerce sobre el objeto. Si el objeto es una TV en reposo sobre una mesa, como se observa en la figura 5.7a, ¿por qué la televisión no se acelera en la dirección de Fg? La TV no se acelera debido a que se sostiene sobre la mesa. Lo que ocurre es que la mesa ejerce una fuerza de acción hacia arriba, n, sobre la TV, denominada fuerza normal.' La fuerza normal es la que evita que la TV caiga a través de la mesa y puede tener cualquier valor necesario para equilibrar la fuerza hacia abajo, Fg, hasta el punto de rompimiento de la mesa. Si alguien coloca libros sobre la televisión, la fuerza nor-mal ejercida por la mesa sobre la televisión aumenta. Si alguien los levanta de la tele-visión, la fuerza normal ejercida por la mesa sobre la televisión disminuye. (La fuerza normal se vuelve cero si la televisión se levanta de la mesa.)

Las dos fuerzas en un par acción-reacción siempre actúan sobre diferentes ob-jetos. Para la situación clavo-martillo que se muestra en la figura 5.6b, una fuerza del par actúa sobre el martillo y otra sobre el clavo. Para la infortunada persona que in-tenta salir del bote en la pregunta sorpresa 5.4, una fuerza del par actúa sobre la persona y la otra sobre el bote.

Para la televisión que se muestra en la figura 5.7, la fuerza de gravedad Fg y la fuerza normal n no son un par acción-reacción porque actúan sobre el mismo cuerpo: la televisión. Las dos fuerzas de reacción en este caso y n'— son ejercidas sobre objetos distintos a la televisión. Puesto que la reacción a Fg es la fuerza Fg ejercida por la televisión sobre la Tierra, y la reacción a n es la fuerza n' ejercida por la televisión sobre la mesa, se concluye que

F = –F y n = –n

4 En este contexto normal significa perpendicular.

Compresión de un balón conforme la fuerza ejercida por el pie del jugador pone la bola en movimiento. (Ralph

Cowan/Tony Stone Images)

Definición de fuerza normal

EJEMPLO CONCEPTUA? Me empujas y te empujo

Un hombre alto y un niño pequeño están parados frente a frente sobre hielo sin fricción. Ponen sus manos juntas y se empujan para separarse. a) ¿Quién se mueve con la mayor rapidez?

Solución Esta situación es similar a lo que se vio en la pre-gunta sorpresa 5.5. De acuerdo con la tercera ley de Newton, la fuerza ejercida por el hombre sobre el niño y la fuerza ejer-cida por el niño sobre el hombre son un par acción-reacción, por tanto, deben tener igual magnitud. (Una báscula colo-cada entre sus manos leería lo mismo, sin importar de qué

lado esté colocada.) Por tanto, el niño, quien tiene la masa más pequeña, experimenta la mayor aceleración. Ambos in-dividuos aceleran durante el mismo tiempo, pero la mayor aceleración del niño sobre este intervalo de tiempo resulta en que se mueve desde la interacción con la mayor rapidéz.

b) ¿Quién se mueve más lejos mientras sus manos están en contacto?

Solución Puesto que el niño tiene la mayor aceleración, se mueve más lejos durante el intervalo de tiempo en el cual las manos están en contacto.

122


Fg

a)

b)

Figura 5.7 Cuando una TV está en reposo sobre una mesa, las fuerzas que actúan sobre la TV son la normal n y la de gravedad Fg, como se ilustra en la parte b). La reacción a n es la fuerza n' ejercida por la TV sobre la mesa. La reacción a Fg es la fuerza Fg' ejercida por la TV sobre la Tierra.

Las fuerzas n y n' tienen la misma magnitud, que es igual a la de Fg hasta que la mesa

se rompe. A partir de la segunda ley de Newton se ve que, puesto que la televisión

está en equilibrio (a = O), se sigue' que n= n = mg.


Si una mosca choca con el parabrisas de un autobús, a) ¿cuál experimenta la mayor fuerza de impacto: la mosca, el autobús, o ambos experimentan la misma fuerza? b) ¿Cuál experimenta la mayor aceleración: la mosca, el autobús, o ambos experimentan la misma aceleración?

Técnicamente se debería escribir esta ecuación en la forma de componentes F5, = n, = mg,.. Sin em-bargo, esta notación en componentes es engorrosa, por lo que, en situaciones en las cuales un vector es paralelo a un eje coordenado, usualmente no se incluye el subíndice para dicho eje porque no exis-

te otra componente.

Tensión

a)

Figura 5.8 a) Una caja jalada hacia la derecha sobre una superficie sin fricción. b) Diagrama de cuerpo libre donde se representan las fuerzas ex-ternas que actúan sobre la caja.

123 5.7 Algunas aplicaciones de las leyes de Newton

111111h> ALGUNAS APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON

En esta sección se aplican las leyes de Newton a objetos que o están en equilibrio

4.6 (a = O) o se mueven a lo largo de una línea recta bajo la acción de fuerzas externas constantes. Suponga que los objetos se comportan como partículas de modo que no es necesario preocuparse por los movimientos rotacionales. También se ignoran los efectos de fricción en problemas que implican movimiento; esto es equivalente a es-

tablecer que se trata de superficies sin fricción. Por último, se ignora casi siempre la

masa de cualesquiera cuerdas implicadas. En esta aproximación la magnitud de la fuerza ejercida en cualquier punto a lo largo de una cuerda es la misma en todos los puntos a lo largo de la cuerda. En el enunciado de problemas, los términos lige-

ra, masa pequeña y. masa despreciable se usan para indicar que se ignorará una masa al

trabajar el problema. Al aplicar las leyes de Newton a un cuerpo, sólo se está interesado en aquellas

fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Por ejemplo, en la figura 5.7 las úni-

cas fuerzas externas que actúan sobre la TV son n y Fg. Las reacciones a estas fuerzas,

n' y Fg, actúan sobre la mesa y la Tierra, respectivamente, por tanto, no aparecen

en la segunda ley de Newton aplicadas a la TV. Si se jala un objeto por medio de una cuerda unida a él, ésta ejerce una fuerza

T sobre el objeto, y la magnitud de dicha fuerza se llama tensión en la cuerda. Puesto

que ésta es la magnitud de una cantidad vectorial, la tensión es una cantidad escalar. Considere que se jala una caja hacia la derecha sobre una superficie horizontal

sin fricción, como se muestra en la figura 5.8a. Suponga que se le pide determinar la aceleración de la caja y la fuerza que el piso ejerce sobre ella. Primero, observe que la fuerza horizontal que se aplica a la caja actúa a través de la cuerda. La fuer-

za que la cuerda ejerce sobre la caja se denota con la letra T. La magnitud de T es

igual a la tensión de la cuerda. Se dibujó un círculo punteado alrededor de la caja en la figura 5.8a para recordar que sólo interesan las fuerzas que actúan sobre la caja. Las fuerzas que actúan sobre la caja se ilustran en la figura 5.8b. Además de

la fuerza T, este diagrama de fuerzas para la caja incluye la fuerza de gravedad Fg

y la normal n ejercida por el piso sobre la caja. Un diagrama de estas características

se conoce como diagrama de cuerpo libre y muestra todas las fuerzas externas que

actúan sobre el objeto. La construcción de un diagrama de cuerpo libre adecuado

es un paso importante al aplicar las leyes de Newton. Las reacciones a las fuerzas que

se han listado —a saber, la fuerza ejercida por la caja sobre la cuerda, la fuerza ejer-cida por la caja sobre la Tierra y la fuerza ejercida por la caja sobre el piso— no se

incluyen en el diagrama de cuerpo libre porque actúan sobre otros cuerpos y no so-

bre la caja. Ahora se puede aplicar la segunda ley de Newton en la forma de componente

a la caja. La única fuerza que actúa en la dirección x es T. La aplicación de

EFx = nza al movimiento horizontal produce

T Fx =T= max o a x —

m

No hay aceleración en la dirección y. Aplicando IFy = may con ay = O se obtiene

n + (–Fg) = O o n = Fg

Es decir, la fuerza normal tiene la misma magnitud que la fuerza de gravedad pero

está en dirección contraria., Si T es una fuerza constante, entonces la aceleración cz = T/ m también es cons-

tante. Por tanto, las ecuaciones cinemáticas para la aceleración constante del capí-tulo 2 pueden utilizarse para obtener el desplazamiento, Ax, y la velocidad y„, de la caja como funciones del tiempo.

Figura 5.9 Cuando un objeto em-puja hacia abajo sobre otro objeto con

una fuerza F, la fuerza normal n es más grande que la de gravedad:

n=Fg + E

a)

Figura 5.10 a) Una lámpara sus-pendida del techo por una cadena de masa despreciable. b) Las fuerzas que actúan sobre la lámpara son las de

gravedad Fg y la ejercida por la cadena

T. c) Las fuerzas que actúan sobre la cadena son la ejercida por la lámpara

T' y la ejercida por el techo T".

124


Puesto que a„ = T/m = constante, las ecuaciones 2.8 y 2.11 pueden escribirse de la

siguiente manera,

v xj, = v x,+ (--jt

Ax = v „it 711, I t 2 m

En el ejemplo recién descrito, la magnitud de la fuerza normal n es igual a la

magnitud Fg, pero éste no siempre es el caso. Por ejemplo, suponga que un libro

está sobre una mesa y se empuja hacia abajo con una fuerza F, como se muestra en

la figura 5.9. Dado que el libro está en reposo y, por tanto, no acelerado, EFy = O, lo

que produce n— Fg —F= O, o n= Fg + E Después se presentan otros ejemplos en los

que n # Fg. Considere una lámpara suspendida en una cadena de peso despreciable fijada

al techo, como se ve en la figura 5.10a. El diagrama de cuerpo libre para la lámpara (Fig. 5.10b) indica que las fuerzas actuando sobre ella son la de gravedad Fg, que ac-

túa hacia abajo, y la fuerza ejercida por la cadena hacia arriba T. Si aplica la

segunda ley a la lámpara, notando que a = O, se observa que, puesto que no hay

fuerzas en la dirección x, EFx = O no proporciona información útil. La condición

Z.Fy = may = O produce

~Fy = T-F g = O

o T = F

Advierta una vez más que T y Fg no son un par acción-reacción, puesto que actúan

sobre el mismo objeto: la lámpara. La fuerza de reacción para T es T', la fuerza ha-

cia abajo ejercida por la lámpara sobre la cadena, como se muestra en la figura 5.10c.

El techo ejerce sobre la cadena una fuerza T", que es igual en magnitud a la mag-

nitud de T' y apunta en la dirección opuesta.

Sugerencias para resolver problemas

Aplicaciones de las leyes de Newton

El siguiente procedimiento se recomienda para abordar problemas que re-

quieren la aplicación de las leyes de Newton:

• Dibuje un diagrama sencillo y claro del sistema.

• Aísle el objeto cuyo movimiento se analiza. Dibuje un diagrama de cuerpo li-bre para este objeto. Para sistemas que contienen más de un objeto dibuje dia-

gramas de cuerpo libre independientes para cada uno. No incluya en el diagrama

de cuerpo libre las fuerzas que el objeto ejerce sobre sus alrededores. Establezca ejes de coordenadas convenientes para cada objeto y determine las compo-

nentes de las fuerzas a lo largo de estos ejes.

• Aplique la segunda ley de Newton, EF = ma, en la forma de componentes. Verifique sus dimensiones para asegurar que todos los términos se expresen

en unidades de fuerza. • Resuelva las ecuaciones de componentes para las incógnitas. Recuerde que

debe tener tantas ecuaciones independientes como incógnitas para tener una

solución completa.

• Asegúrese de que sus resultados son consistentes con el diagrama de cuerpo libre. Verifique también las predicciones de sus soluciones para valores ex-tremos de las variables. Es posible que al hacerlo detecte errores en sus resul-

tados.


125

EJEMPLO Un semáforo en reposo

Un semáforo que pesa 125 N cuelga de un cable unido a otros dos cables fijos a un soporte. Los cables superiores forman án-gulos de 37.0° y 53.0° con la horizontal. Determine la tensión en los tres cables.

Solución La figura 5.11a muestra el tipo de dibujo que se

puede hacer de esta situación. Debe construir dos diagramas de cuerpo libre. El primero para el semáforo, como se mues-tra en la figura 5.11b; el segundo para el nudo que mantiene unidos los tres cables, como en la figura 5.11c. Este nudo es un punto que conviene elegir, pues todas las fuerzas que in-teresan actúan a través de él. Como la aceleración del sistema

es cero, se sabe que tanto la fuerza neta sobre el semáforo como la fuerza neta sobre el nudo son cero.

En la figura 5.11b la fuerza ejercida por el cable vertical,

T3, soporta el semáforo, por lo que 7-3 = Fg = 125 N. A con-

tinuación elija los ejes de coordenadas como se muestra en la figura 5.11c y descomponga las fuerzas que actúan sobre el

nudo en sus componentes:

(1) 1, Fx = — T1 cos 37.0° + T2 cos 53.0° = O

(2) 1, Fy = sen 37.0° + T2 sen 53.0°

+ (-125 N) = 0

De (1) se ve que las componentes horizontales de T, y T2 deben ser de igual magnitud, y de (2) se aprecia que la suma de las componentes verticales de T, y T2 deben balancear el peso del semáforo. Se puede resolver (1) para T2 en función de T1 para obtener

T2 = T1( cos 37.0°

= 1.33T1 cos 53.0°

Este valor para T2 puede sustituirse en (2) y obtener

sen 37.0° + (1.33T1) (sen 53.0°) — 125 N = O

= 75.1 N

T2 = 1.33T1 = 99.9 N

Saber que el nudo está en equilibrio (a = 0) permite escribir

Este problema es importante porque combina lo que se ha aprendido acerca de los vectores con el nuevo tema de fuerzas. El acercamiento general que se hace aquí es muy poderoso y se repetirá en muchas ocasiones.

Ejercicio .¿En qué situación será T1 = T2?

Respuesta Cuando los cables unidos al soporte formen án-gulos iguales con la horizontal.

Fuerza

T, T2 T2

Componente x Componente y

sen 37.0° T, sen 53.0°

—125 N

—T, cos 37.0° T2 cos 53.0°

Fg

b) a) c

Figura 5.11 a) Semáforo suspendido por cables. b) Diagrama de cuerpo libre para el semáforo. c) Diagrama de cuerpo libre para el nudo

donde se juntan los tres cables.

EJEMPLO CON011~- Fuerzas entre carros de un tren

En un tren los carros están conectados por juntas que están bajo tensión conforme la locomotora empuja al tren. Mientras usted se mueve de la locomotora al furgón de cola, ¿la ten-sión en las juntas se incrementa, decrece o se mantiene igual mientras el tren adquiere rapidez? Cuando el maquinista aplica los frenos las juntas están bajo compresión. ¿Cómo varía esta fuerza de compresión desde la locomotora hacia el furgón de cola? (Suponga que sólo se aplican los frenos en las ruedas de la locomotora.)

Solución Conforme el tren adquiere rapidez, la tensión dis-minuye desde la parte frontal del tren hacia la posterior. La

junta entre la locomotora y el primer carro debe aplicar sufi-ciente fuerza para acelerar todos los carros restantes. Mientras usted se mueve hacia atrás a lo largo del tren, cada junta está acelerando menos masa tras de sí. La última junta debe ace-lerar sólo al furgón de cola, por tanto, está bajo la menor ten-sión.

Cuando se aplican los frenos la fuerza otra vez disminuye desde el frente hasta la parte posterior. La junta que conecta la locomotora al primer carro debe aplicar la mayor fuerza para detener a todos los carros restantes. La junta final debe aplicar una fuerza lo suficientemente grande para detener sólo al furgón de cola.

a)


EJEMPLO Una caja sobre una pendiente sin fricción

Una caja de masa m se coloca sobre un plano inclinado sin fricción de ángulo O. a) Determine la aceleración de la caja después de que se suelta.

Solución Gracias a que se conocen las fuerzas que actúan sobre la caja puede utilizarse la segunda ley de Newton para determinar su aceleración. (En otras palabras, se ha clasifi-cado el problema; esto da una sugerencia del acercamiento a tomar.) Se realiza un bosquejo como en la figura 5.12a y en-tonces se construye el diagrama de cuerpo libre para la caja, como se ilustra en la figura 5.12b. Las únicas fuerzas que ac-túan sobre la caja son la normal n, ejercida por el plano in-clinado, que actúa perpendicular al plano, y la de gravedad Fg = mg, que actúa verticalmente hacia abajo. En problemas que incluyen planos inclinados es conveniente elegir los ejes de coordenadas con x hacia abajo a lo largo de la pendiente y y perpendicular a ella, como se muestra en la figura 5.12b. (Es posible resolver el problema con ejes "estándar" horizon-tal y vertical. El lector deberá intentarlo sólo para practicar.)

b)

Figura 5.12 a) Una caja de masa m se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado sin fricción. b) Diagrama de cuerpo libre para la caja. Note que su aceleración a lo largo del plano inclinado es g sen O.

A continuación, se sustituye la fuerza de gravedad por una componente de magnitud mg sen O a lo largo del eje x posi-tivo y una magnitud mg cos O en el eje y negativo.

Ahora se aplica la segunda ley de Newton en la forma de componentes, observando que a) = 0:

(1) EF„ = mg sen = ma

(2) E = n — mg cos = O

Resolviendo (1) para a, se ve que la aceleración a lo largo de las pendientes es proporcionada por la componente de Fg di-rigida hacia abajo del plano inclinado:

(3) ax = g sen

Advierta que esta componente de la aceleración ¡es indepen-diente de la masa de la caja! Sólo depende del ángulo de in-clinación y de g.

De (2) se concluye que la componente de Fg perpendicu-lar a la pendiente es balanceada por la fuerza normal; es de-cir, n = mg cos O. Éste es un ejemplo de una situación en la que la fuerza normal no es igual en magnitud al peso del ob-jeto.

Casos especiales Observando los resultados se aprecia que en el caso extremo de O = 90°, a, = g y n = 0. Esta condición corresponde a la caja de caída libre. Cuando O = 0, az = 0 y n

= mg (su valor máximo); en este caso la caja está sustentada en una superficie horizontal.

(b) Suponga que la caja se suelta desde el reposo en la parte superior de la pendiente y que la distancia a partir del límite frontal de la caja hasta el pie de la pendiente es d. ¿Cuánto tarda la caja en llegar hasta la parte baja, y cuál es la rapidez que tiene justo antes de llegar a ese punto?

Solución Como a, = constante, se puede aplicar la ecuación — xi = vx, t + 2 ax t2 para analizar el movimiento de la caja.

En vista de que el desplazamiento xf — x, = d y v = O, se ob-

tiene d =s a„t 2

2d .51 2d (4) t = _51

a gsen

Si se emplea la ecuación v„f2 = + 2ax(xf — x,), con v„, = O,

se encuentra que

v„/ = 2a„d

(5) vxf = V2a„d = V2gdsen O

Se ve a partir de las ecuaciones (4) y (5) que el tiempo t nece-sario para alcanzar el fondo y la rapidez vz f, como la acele-ración, son independientes de la masa de la caja. Esto indica un método simple de medición de g utilizando una pista de aire inclinada: mida el ángulo de inclinación, la distancia recorrida por un deslizador a lo largo de la pendiente, y el tiempo que tarda en recorrer dicha distancia. Así pues, el valor de g puede calcularse a partir de (4).


127

EJEM

Un bloque empuja a otro

Dos bloques de masas m1 y m2 se ponen en contacto entre sí sobre una superficie horizontal sin fricción. Una fuerza hori-zontal constante F se aplica al bloque de masa m,. a) Determine la magnitud de la aceleración del sistema de dos bloques.

Solución El sentido común dice que dos bloques deben ex-perimentar la misma aceleración puesto que están en con-tacto entre sí. Justo como en el ejemplo precedente, se hace un bosquejo rotulado y un diagrama de cuerpo libre, los cuales se muestran en la figura 5.13. En la figura 5.13a la línea punteada indica que se trata de dos bloques juntos como un sistema. Como F es la única fuerza horizontal externa so-bre el sistema (los dos bloques), se tiene

„(sistema) = F= (m1 + m,) a„

Tratar los dos bloques juntos como un sistema simplifica la solución pero no proporciona información acerca de las fuerzas internas.

(b) Determine la magnitud de la fuerza de contacto entre los dos bloques.

Solución Para resolver esta parte del problema es necesario tratar cada bloque por separado con su propio diagrama de cuerpo libre, como se muestra en las figuras 5.13b y 5.13c. Se denota la fuerza de contacto como P. En la figura 5.13c se aprecia que la única fuerza horizontal que actúa sobre el bloque 2 es la fuerza de contacto P (la fuerza ejercida por el bloque 1 sobre el bloque 2), la cual está dirigida hacia la derecha. La aplicación de la segunda ley al bloque 2 produce

(2) > F, = P = ni2a.

(1) ax = F

Sustituyendo en (2) el valor de a„ dado por (1) se obtiene m1 + m2

(3) m

P = M2ax (m m2)

F

a)

Lx F P

m1 1 m2

mIg

b) c)

m2g

n2

Figura 5.13

A partir de este resultado se ve que la fuerza de contacto P ejercida por el bloque 1 sobre el bloque 2 es menor que la fuerza aplicada F. Esto es consistente con el hecho de que la fuerza requerida para acelerar al bloque 2 sólo debe ser menor que la fuerza requerida para producir la misma acele-ración en el sistema de dos bloques.

Es instructivo verificar esta expresión para P considerando las fuerzas que actúan sobre el bloque 1, como se muestra en la figura 5.13b. Las fuerzas horizontales que actúan sobre este bloque son la fuerza aplicada F a la derecha y la fuerza de contacto P' a la izquierda (la fuerza ejercida por el bloque 2 sobre el bloque 1). De acuerdo con la tercera ley de Newton, P' es la reacción a P, de manera que IP'l = IPI. La aplicación de la segunda ley de Newton al bloque 1 produce

(4) 1,F„ = F — P' = F — P = mia„


Sustituyendo en (4) el valor de ct de (1)

miF

resulta

M2 F

Ejercicio Si m, = 4.00 kg, m2 = 3.00 kg y F= 9.00 N, determine la magnitud de la aceleración del sistema y la de la fuerza de contacto.

Respuesta a,= 1.29 m/s2, P= 3.86 N.

P = F — miax = F mi+ m2

Esto concuerda con (3), como debe ser.

mi+ m2

EJEMP Peso de un pescado en un elevador

Una persona pesa un pescado de masa m en una balanza de resorte unida al techo de un elevador, como se indica en la figura 5.14. Muestre que si el elevador acelera en cualquier dirección, hacia arriba o hacia abajo, la balanza produce una lectura diferente del peso del pescado.

Solución Las fuerzas externas que actúan sobre el pescado son la de gravedad, Fg = mg, y la fuerza T ejercida por la ba-lanza. Por la tercera ley de Newton, la tensión Tes también la lectura de la balanza. Si el elevador está en reposo o en movimiento a velocidad constante, entonces el pescado no está acelerando y EFy = T— mg= O o T= mg (recuerde que el escalar mg es el peso del pescado).

Si el elevador se mueve hacia arriba con una aceleración a, relativa a un observador fuera del elevador, en un marco iner-

cial (véase Fig. 5.14a), entonces la segunda ley de Newton apli-cada al pescado proporciona la fuerza neta sobre éste:

(1) Ef;= T— mg= may

donde se ha elegido hacia arriba como la dirección positiva. De este modo se concluye de (1) que la lectura de la báscula T es más grande que el peso mg si a está hacia arriba, de tal modo que ay es positiva, y que la lectura es menor que mg si a está dirigida hacia abajo, por lo que ay es negativa.

Por ejemplo, si el peso del pescado es 40.0 N y a es hacia arriba, de tal manera que ay = +2.00 m/s2, la lectura de la bás-cula de (1) es

mg mg

a)

Observador en un marco inercial

Figura 5.14 Peso aparente versus peso verdadero. a) Cuando el elevador acelera ha-cia arriba la báscula lee un valor más grande que el peso del pescado. b) Cuando el ele-vador acelera hacia abajo la báscula lee un valor menor que el peso del pescado.

a)

T

m2g

?nig

011 (2) T may + mg = mg(17- +1) g

[2.00 m/s2 + 1 = (40.0 N)

)

9.80 m/s2

5.7 Algunas aplicaciones de las leyes de Newton 129

Por consiguiente, si usted compra un pescado en un ele-vador, ¡asegúrese de que lo pesen cuando el elevador está en reposo o acelerando hacia abajo! Advierta, además, que de la información proporcionada aquí no es posible determinar la

dirección del movimiento del elevador.

= 48.2 N

-I Si a es hacia abajo de modo que ay = - 2.00 m/s2, entonces

de (2) se obtiene

Casos especiales Si el cable del elevador se revienta, en-

tonces el elevador cae libremente y ay = -g. Se ve, a partir de

(2), que la lectura de la balanza, 7, en este caso es cero; es decir, el pescado no parece tener peso. Si el elevador acelera

hacia abajo con una aceleración mayor a g, el pescado (junto

con la persona del elevador) de manera eventual golpeará el techo, porque la aceleración del pescado y la persona siguen

siendo la de un cuerpo que cae libremente con respecto a un

observador exterior.

-2.00 m/s2 T = mg[ -Y ± = (40.0 N)

[

9.80 m/s2 +1 a

= 31.8 N

EJEMPL La máquina de Atwood

Cuando dos objetos con masas desiguales se cuelgan vertical-

mente sobre una polea sin fricción cuya masa es despreciable, como muestra la figura 5.15a, el arreglo recibe el nombre de

b)

Figura 5.15 Máquina de Atwood. a) Dos objetos (m2 > mi) conec-

tados por un cordón de masa despreciable extendido sobre una polea sin fricción. b) Diagrama de cuerpo libre para los dos objetos.

máquina de Atwood. Este dispositivo a veces se emplea en el la-

boratorio para medir la aceleración de la caída libre. Deter-mine la magnitud de la aceleración de las dos masas y la ten-

sión en la cuerda de peso despreciable.

SOLUCión Si se tuviera que definir el sistema conformado por ambos objetos, como se hizo en el ejemplo 5.7, se debería

determinar una fuerza interna (tensión en el cordón). Aquí se

deben definir dos sistemas —uno para cada objeto— y aplicar la segunda ley de Newton a cada uno de ellos. Los diagramas de cuerpo libre para los dos objetos se muestran en la figura 5.15b. Dos fuerzas actúan sobre cada bloque: la fuerza T ejer-cida hacia arriba por la cuerda y la fuerza de gravedad.

Se necesita ser muy cuidadoso con los signos en problemas

como éste, en los cuales un hilo o cuerda pasan sobre una polea o alguna otra estructura que provoca que el hilo o cuerda se doblen. En la figura 5.15a observe que si el objeto 1 acelera hacia arriba, entonces el objeto 2 acelera hacia abajo. Por tanto, para la consistencia con los signos, si se de-fine hacia arriba como la dirección positiva para el objeto 1, se debe definir la dirección hacia abajo como positiva para el objeto 2. Con esta convención de signos ambos objetos acele-ran en la misma dirección definida por la elección del signo.

Con esta convención de signos aplicada a las fuerzas la com-ponente y de la fuerza neta ejercida sobre el objeto 1 es T -

?nig, y la componente y de la fuerza neta ejercida sobre el ob-

jeto 2 es m2g - T. Como los bloques se conectan por medio

de una cuerda, sus aceleraciones deben ser iguales en magni-tud. (De otra forma el cordón se estiraría o rompería con-forme la distancia entre los objetos se incrementara.) Si

supone m2 > m1, entonces el objeto 1 debe acelerar hacia arri-

ba, mientras que el objeto 2 debe hacerlo hacia abajo. Cuando la segunda ley de Newton se aplica al objeto 1 se

obtiene

(1) EF y = T- mi g= mia y

De manera similar, para el objeto 2 se encuentra

(2) EF, = m2g-T= m2a y

'71 2 -

Cuando (2) se suma a (1), T se elimina y, en consecuencia,

—mig + m2g = miay + m2ay

(3) ay =(m2

M1 ± nI2

Cuando (3) es sustituida en (1) se obtiene

(4) T= 2m1m2 mi + m2

El resultado para la aceleración en (3) puede interpretarse como la proporción entre la fuerza desequilibrada del sis-

tema (m2 g— m,g) y la masa total del sistema (m1 + m2), como se esperaba a partir de la segunda ley de Newton.

Casos especiales Cuando m1 = m2 entonces ay = O y T= m,g, como se esperaría para este caso balanceado. Si m2 » ml, en-tonces ay g (un cuerpo en caída libre) y T 2 m g.

Ejercicio Encuentre la magnitud de la aceleración y la ten-sión de la cuerda para una máquina de Atwood en la cual m, = 2.00 kg y m2 = 4.00 kg.

Respuesta a, = 3.27 m/s2, T= 26.1 N.

m2gcosel

a)

b)

130


EJEMPLO Aceleración de dos objetos conectados por una cuerda

Una bola de masa m, y un bloque de masa m2 están unidos por una cuerda ligera que pasa por una polea sin fricción de masa despreciable, como la de la figura 5.16a. El bloque se ubica sobre un plano inclinado sin fricción de ángulo O. Encuentre la magnitud de la aceleración de los dos objetos y la tensión en la cuerda.

Solución Puesto que los objetos están conectados por una cuerda (que se supone no está alargada), sus aceleraciones tienen la misma magnitud. Los diagramas de cuerpo libre se muestran en las figuras 5.16b y 5.16c. Al aplicar la segunda ley de Newton en forma de componentes a la bola, con la elección de la dirección hacia arriba como positiva, se ob-tiene

(1)

(2) EP-y = T— m,g= mi ay = mia

Advierta que para que esta masa se acelere hacia arriba, es necesario que T > m,g. En (2) se ha reemplazado ay con a porque la aceleración sólo tiene una componente y.

Para el bloque es conveniente elegir el eje x' positivo a lo largo del plano inclinado, como se muestra en la figura 5.16c.

En este caso se elige la dirección positiva hacia abajo del plano, en la dirección +x'. La aplicación de la segunda ley de Newton en la forma de componentes al bloque produce

(3) Fx = m2g sen O — T = m2a„, = m 2a

(4) Fy = n — m2g cos O = O

En (3) se ha reemplazado ax, con a porque ésta es la única componente de la aceleración. En otras palabras, los dos ob-jetos tienen aceleraciones de la misma magnitud a, la cual es la que se está intentando encontrar. Las expresiones (1) y (4) no proporcionan información relativa a la aceleración. Sin embargo, si se resuelve (2) para T y luego se sustituye este valor para T en (3) y se resuelve para a, se obtiene

(5) a —m2g. sen O — mig

m1 + m2,

Cuando este valor de a se sustituye en (2) se encuentra

mim2g(sen O + 1) (6) T =

mi+ m2

Figura 5.16 a) Dos objetos conectados por una cuerda ligera extendida sobre una polea sin fric-ción. b) Diagrama de cuerpo libre para la bola. c) Diagrama de cuerpo libre para el bloque. (El plano in-clinado no tiene fricción.)

5.8 Fuerzas de fricción 131

Observe que el bloque acelera hacia abajo de la pendiente sólo si m2 sen B > m, (es decir, si a está en la dirección supuesta). Si m1 > m2 sen 0, entonces la aceleración es hacia arriba de la pendiente para el bloque y hacia abajo para la bola. También observe que el resultado para la aceleración (5) puede inter-pretarse como la fuerza resultante que actúa sobre el sistema dividida entre la masa total del sistema; esto es consistente con la segunda ley de Newton. Finalmente, si 0 = 90°, entonces los resultados para a y T son idénticos a los del ejemplo 5.9.

Ejercido Si m1 = 10.0 kg, m2 = 5.00 kg y 0 = 45.0°, determine la aceleración de cada objeto.

Respuesta a = — 4.22 m/s2, donde el signo negativo indica que el bloque se acelera hacia arriba de la pendiente y la bola hacia abajo.

le> FUERZAS DE FRICCIÓN

Cuando un cuerpo se mueve sobre una superficie o a través de un medio viscoso, como el aire o el agua, hay una resistencia al movimiento debido a que el cuerpo interactúa con sus alrededores. Dicha resistencia recibe el nombre de fuerza de fric-ción. Estas fuerzas son muy importantes en la vida cotidiana. Permiten caminar o correr y son necesarias para el movimiento de vehículos rodantes.

¿Alguna vez ha intentado mover un pesado escritorio a través de un piso rugoso? Usted empuja cada vez más fuerte hasta que de pronto el escritorio parece "li-berarse" y subsecuentemente se mueve de manera hasta cierto punto fácil. Se re-quiere una fuerza mayor para iniciar el movimiento del escritorio de la que se nece-sita para mantenerlo moviéndose una vez que ha comenzado su deslizamiento. Para comprender por qué ocurre esto considere un libro sobre una mesa, como se mues-tra en la figura 5.17a. Si aplica una fuerza horizontal externa F al libro, hacia la derecha, el libro permanece estacionario si F no es suficientemente grande. La fuerza que se contrapone a F y evita que el libro se mueva actúa hacia la izquierda y recibe el nombre de fuerza friccionante f.

Mientras el libro no está en movimiento, f = E Puesto que el libro está estacionario, a esta fuerza friccionante se le llama fuerza de fricción estática, f3. Los ex-perimentos muestran que esta fuerza surge de los puntos de contacto que asoman más allá del nivel de las superficies en contacto, incluso en superficies que en apa-riencia son muy lisas, como en la vista amplificada de la figura 5.17a. (Si las superfi-cies están limpias y son suaves a nivel atómico es probable que se mantengan unidas cuando se efectúa el contacto.) La fuerza friccionante surge en parte de un pico que bloquea físicamente el movimiento de un pico de la superficie opuesta, y en parte de enlaces químicos de puntos opuestos cuando entran en contacto. Si las superfi-cies son rugosas es probable que ocurra rebote, lo que complica aún más el análisis. Si bien los detalles de la fricción son bastante complejos en un contexto atómico, a fin de cuentas implican una interacción eléctrica entre átomos o moléculas.

Si se incrementa la magnitud de F, como se muestra en la figura 5.17b, la magnitud de f, se incrementa junto con ella, manteniendo al libro en su lugar. Sin em-bargo, la fuerza f, no puede incrementarse indefinidamente. De manera eventual la superficie en contacto no puede proporcionar durante mucho tiempo la suficiente fuerza de fricción para contrarrestar F, y el libro se acelera. Cuando el bloque está a punto de deslizarse, f, es un máximo, como se muestra en la figura 5.17c. Cuando F supera a t„,,„ el libro se acelera hacia la derecha. Cuando está en movimiento la fuerza friccionante retardadora es menor que f,„ax (véase figura 5.17c). Cuando el libro está en movimiento, la fuerza retardadora recibe el nombre de fuerza de fric-ción cinética, fk . Si F= fi, el libro se mueve hacia la derecha con rapidez constante. Si F > fi, existe una fuerza desequilibrada F — fk en la dirección x positiva, y esta fuerza acelera al libro hacia la derecha. Si se elimina la fuerza aplicada F, entonces

la fuerza friccionante fk que actúa hacia la izquierda acelera al libro en la dirección negativa x y en algún momento lo pone en reposo.

Experimentalmente se encuentra que, hasta una buena aproximación, tanto f,,„,ax como fi, son proporcionales a la fuerza normal que actúa sobre el libro. Las ob-

Fuerza de fricción estática

Fuerza de fricción cinética

n

Ifl

fs,máx

fk -

Región estática Región cinética


mg

a)

mg

b)

c)

Figura 5.17 La dirección de la fuerza de fricción f entre un libro y una superficie rugosa es opuesta

a la dirección de la fuerza aplicada F. Puesto que ambas superficies son rugosas, el contacto se hace

posible sólo en unos cuantos puntos, como ilustra la vista "amplificada". a) La magnitud de la fuerza

de fricción estática es igual a la magnitud de la fuerza aplicada. b) Cuando la magnitud de la fuer-

za aplicada excede la de la fuerza de fricción cinética, el libro acelera a la derecha. c) Una gráfica de

fuerza de fricción contra fuerza aplicada. Note que fs,,„kk > fk.

servaciones experimentales pueden resumirse con las siguientes leyes de fricción em-

píricas:

• La dirección de la fuerza de fricción estática entre cualesquiera dos superficies en contacto se opone a la dirección del movimiento relativo y puede tener valores

L < 11,n (5.8)

donde la constante adimensional p., recibe el nombre de coeficiente de fricción

estática, y n es la magnitud de la fuerza normal. La igualdad en la ecuación 5.8 se cumple cuando un objeto está a punto de deslizarse, es decir, cuando f =

f,max = La desigualdad se cumple cuando la fuerza aplicada es menor que ,u,sn.

• La dirección de la fuerza de fricción cinética que actúa sobre un objeto es opues-ta a la dirección del movimiento deslizante del objeto respecto a la superficie que aplica la fuerza friccionante y está dada por

= µk n (5.9)

donde p,k es el coeficiente de fricción cinética. • Los valores de µk y /1,, dependen de la naturaleza de las superficies, aunque µk es,

por lo general, menor que ,u,s. Los valores característicos deµ varían de 0.03 hasta

1.0. La tabla 5.2 registra algunos valores reportados.

133 5.8 Fuerzas de fricción

wierileí de fridtaiii

Acero sobre acero 0.74 0.57

Aluminio sobre acero 0.61 0.47

Cobre sobre acero 0.53 0.36

Hule sobre concreto 1.0 0.8

Madera sobre madera 0.25-0.5 0.2

Vidrio sobre vidrio 0.94 0.4

Madera encerada sobre nieve húmeda Madera encerada sobre nieve seca

0.14 0.1 0.04

Metal sobre metal (lubricado) 0.15 0.06

Hielo sobre hielo 0.1 0.03

Teflon sobre teflón 0.04 0.04

Articulaciones sinoviales en los humanos 0.01 0.003

a Todos los valores son aproximados. En algunos casos el coeficiente de fricción puede

exceder a 1.0.

• Los coeficientes de fricción son casi independientes del área de contacto entre las superficies. Para comprender por qué, se debe examinar la diferencia entre el

área de contacto aparente, que es el área que ven nuestros ojos, y el área de contacto

real, representada por dos superficies irregulares en contacto, como se muestra en la vista amplificada de la figura 5.17a. Parece que incrementar el área de con-tacto aparente no incrementa el área de contacto real. Cuando se incrementa el área aparente (sin cambiar nada más), existe menos fuerza por unidad de área manteniendo juntos los puntos dentados. Esta disminución en la fuerza contra-

rresta el efecto de tener más puntos involucrados.

Si bien el coeficiente de fricción cinética puede variar con la rapidez, se deben

ignorar dichas variaciones en este texto. La naturaleza aproximada de las ecuaciones

se demuestra fácilmente tratando de lograr que un bloque se deslice hacia abajo por un plano inclinado a rapidez constante. En especial a baja rapidez, es probable que el movimiento se caracterice por episodios alternos de adherencias y deslizamientos.


Una caja se coloca en el centro de un camión de redilas. El camión acelera a la derecha y la caja se mueve con él, sin deslizarse. ¿Cuál es la dirección de la fuerza de fricción ejercida por el camión sobre la caja? a) A la izquierda. b) A la derecha. c) No existe fuerza de fric-

ción porque la caja no se desliza.

Si el lector quiere aprender más acerca de esta materia, lea el artículo "Friction at the Atomic Scale" de J. Krim en el número de octubre de 1996 de Scientific

American.

Experimento sorpresa .210,

¿El lector puede aplicar las ideas del ejemplo 5.12 para determinar los co-eficientes de fricción estática y cinética entre la cubierta de su libro y una moneda? ¿Qué ocurriría a di-chos coeficientes si se realizaran las mediciones entre su libro y dos mon-

edas unidas una encima de la otra

con cinta adhesiva?

EJEMPLO CONO ¿Por qué se acelera el trineo?

Un caballo jala un trineo a lo largo de un camino plano cu-bierto de nieve, provocando que el trineo acelere, como se muestra en la figura 5.18a. La tercera ley de Newton establece que el trineo aplica una fuerza igual y opuesta sobre el ca-ballo. En vista de esto, ¿cuánto puede acelerar el trineo? ¿Bajo qué condición el sistema (caballo más trineo) se mueve a ve-

locidad constante?

Solución Es importante recordar que las fuerzas descritas

en la tercera ley de Newton actúan sobre objetos diferentes: el caballo ejerce una fuerza sobre el trineo, y el trineo ejerce una fuerza de igual magnitud y dirección opuesta sobre el ca-

ballo. Puesto que se está interesado sólo en el movimiento del trineo, no se consideran las fuerzas ejercidas sobre el caballo. Cuando se determina el movimiento de un objeto, sólo debe

ler

(trineo

(caballo

a)

b) c)

Figura 5.18

sumar las fuerzas sobre dicho objeto. Las fuerzas horizontales ejercidas sobre el trineo son la fuerza hacia adelante T ejer-cida por el caballo y la fuerza de fricción hacia atrás ftrme° en-tre el trineo y la nieve (Fig. 5.18b). Cuando la fuerza hacia adelante ejercida sobre el trineo supera la fuerza hacia atrás, el trineo acelera hacia la derecha.

La fuerza que acelera al sistema (caballo más trineo) es la fuerza de fricción fcaballo ejercida por la Tierra sobre los pies del caballo. Las fuerzas horizontales ejercidas sobre el caballo son la fuerza hacia adelante f,,,ballo ejercida por la Tierra y la fuerza de tensión hacia atrás T ejercida por el trineo (Fig.

5.18c). La resultante de estas dos fuerzas provoca que el ca-ballo acelere. Cuando Gallo balancea ft„,„., el sistema se mueve a velocidad constante.

Ejercicio ¿La fuerza ejercida por la nieve sobre el caballo y la fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre el caballo son un par del tipo manejado en la tercera ley?

Respuesta No, porque actúan sobre el mismo objeto. Los pa-res de fuerzas de la tercera ley son iguales en magnitud y opues-tas en dirección, y las fuerzas actúan sobre diferentes objetos.

EJEMPLO Determinacion experimental µs y 1.4

En este ejemplo se describe un sencillo método para medir coeficientes de fricción. Suponga que un bloque se coloca so-bre una superficie rugosa e inclinada respecto de la horizon-tal, como se muestra en la figura 5.19. El ángulo del plano in-clinado aumenta hasta que el bloque se desliza. Demuestre que al medir este ángulo crítico 0„ en el cual empieza el deslizamiento, se obtiene ,u,s.

Solución Las únicas fuerzas que actúan sobre el bloque son la de gravedad mg, la normal n, y la de fricción estática fs. Estas fuerzas se balancean cuando el bloque está en el límite

de deslizamiento pero todavía no se ha movido. Cuando se toma x paralela al plano y y perpendicular a él, la segunda ley de Newton aplicada al bloque para esta situación de equili-brio produce

Caso estático: (1) Fx = mg sen O — f, = max = 0

(2) Fy = n — mg cos = may = 0

Se puede eliminar mg sustituyendo mg= n/cos O de (2) en (1) para obtener

Figura 5.19 Las fuerzas externas ejercidas sobre un bloque que des-cansa sobre un plano inclinado rugoso son la de gravedad mg, la nor-mal n y la de fricción f. Por conveniencia, la fuerza de gravedad se resuelve en una componente a lo largo del plano inclinado mg sen y una componente perpendicular a la misma mg cos 0.

Cuando el plano inclinado está en el ángulo crítico 0„ f = = µ„n, y así, en este ángulo, (3) se vuelve

tu, n = n tan 0,

Caso estático: µs = tan 0,

Por ejemplo, si el bloque empieza a deslizarse en O, = 20°, en-tonces p, = tan 20° = 0.364.

Una vez que el bloque empieza a moverse en O > 0„ ace-lera hacia abajo de la pendiente y la fuerza de fricción es f, =

Sin embargo, si O se reduce por debajo de O,, es posible encontrar un ángulo 0,', tal que el bloque se mueva hacia abajo de la pendiente con rapidez constante (a0 = 0). En este caso, usando (1) y (2) con f, sustituida por f, se obtiene

Caso cinético: µk = tan 0,'

donde 0,'< O,.

n sen O = n tan O cos O

(3) f, = mg sen O=


5.8 Fuerzas de fricción 135

EJEMPLO' - El disco de hockey deslizante

Un disco de hockey sobre un lago congelado se golpea y adquiere una rapidez inicial de 20.0 m/s. Si el disco siempre permanece sobre el hielo y se desliza 115 m antes de detener-se, determine el coeficiente de fricción cinética entre el disco y el hielo.

Solución En la figura 5.20 se muestran las fuerzas que ac-túan sobre el disco después de iniciar su movimiento. Si supone que la fuerza de fricción cinética fk permanece cons-tante, entonces esta fuerza produce una aceleración uniforme en el disco en la dirección opuesta a su velocidad, provo-cando que se detenga. Primero se encuentra esta aceleración en términos del coeficiente de fricción cinética usando la se-gunda ley de Newton. Conociendo la aceleración del disco

Figura 5.20 Después de que el puck recibe una velocidad inicial a la derecha, las únicas fuerzas externas que actúan sobre él son la de gravedad mg, la normal n y la de fricción cinética fk.

y la distancia que recorre, se pueden utilizar las ecuaciones de la cinemática para determinar el coeficiente de fricción cinética.

Definiendo hacia la derecha y arriba como las direcciones positivas, se aplica la segunda ley de Newton en forma de componentes al disco y se obtiene

(1) En= f = ma„

(2) IFy = n — mg= O (ay = 0)

Pero fk = p,k n, y de (2) se ve que n= mg. Por tanto, (1) se con-vierte en

—tt„n = —p,k mg = ma„

ax= —,ukg

El signo negativo significa que la aceleración es hacia la izquierda; esto significa que el disco se está deteniendo. La aceleración es independiente de la masa del disco y es cons-tante porque se supone que 1.1,5 permanece constante.

Puesto que la aceleración es constante, es posible utilizar la ecuación 2.12, v„12 = v, ,2 + 2a„(xf — x), con x, = O y vkf = 0:

vy,2 + 2axf = v k,2 — 2,ukgx f = O

v,i2 =

2gx f

(20.0 m/s)2 = — 0.177

2(9.80 m/s2) (115 m)

Observe que µk no tiene dimensiones.

EJEMPL Aceleración de dos objetos conectados cuando hay fricción presente

Un bloque con masa m1 sobre una superficie horizontal ru-gosa se conecta a una bola de masa m 2 por medio de una cuerda de poco peso sobre una polea sin fricción de peso des-preciable, como se muestra en la figura 5.21a. Una fuerza de magnitud F en un ángulo O con la horizontal se aplica al bloque de la manera indicada. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es . Determine la magnitud de la aceleración de los dos objetos.

Solución Primero dibuje los diagramas de cuerpo libre de los dos objetos, como en las figuras 5.21b y 5.21c. (¿Comienza a apreciar las similitudes en todos estos ejemplos?) Después aplique la segunda ley de Newton en forma de componentes a cada objeto y use la ecuación 5.9, fk = 1..¿„12. Por último, re-suelva para la aceleración en función de los parámetros dados.

La fuerza aplicada F tiene componentes x y y, respectiva-mente, Fcos O y F sen O. Al aplicar la segunda ley de Newton a ambas masas, y suponiendo que el movimiento del bloque es a la derecha, se obtiene

Movimiento del bloque: (1) 1, Fx = Fcos O — fk — T = miax

= mia

(2) Fy = n + Fsen O — mig

= miay = O

Movimiento de la bola: Fx = m2a„= O

(3) EF5 = T — m 2g = m 2a y = m2a

Observe que debido a que los dos objetos están conectados, se pueden equiparar las magnitudes de la componente x de la aceleración del bloque y la componente y de la aceleración de la bola. A partir de la ecuación 5.9 se sabe que fk = pkn, y de (2) se conoce que n = mi g — Fsen O (note que en este caso n

no es igual a mlg); por tanto,

(4) fk = pk(mig — Fsen 0)


Es decir, la fuerza friccionante se reduce debido a la compo-nente y positiva de F. La sustitución de (4) y el valor de T

obtenido de (3) en (1) produce

Fcos O — — Fsen O) — m2(a + g) = ari a

Al resolver para a, se obtiene

F(cos O + ju k sen O) — g(m2 + ,u kmi)

Advierta que la aceleración del bloque puede ser hacia la derecha o hacia la izquierda,6 según el signo del numerador en (5). Si el movimiento es hacia la izquierda se debe inver-tir el signo de fk en (1) porque la fuerza de la friccion cinética debe oponerse al movimiento. En este caso el valor de a es el mismo que en (5), con µk reemplazada por —p,k.

(5) a= mi + m2

y

x

T

fk

mig

a) b) c)

Figura 5.21 a) La fuerza externa F aplicada como se muestra puede provocar que el bloque acelere a la derecha. b) y c) Diagramas de cuerpo libre bajo la suposición de que el bloque acelera a la derecha y la bola acelera hacia arriba. La magnitud de la fuerza de fricción cinética en este caso está dada por fk = µ,n= 1.4(m1g — F sen O).

APLICACM Sistema automotriz de frenos antibloqueo (SAFA)

Si la llanta de un automóvil gira y no se desliza sobre la su-perficie de un camino, entonces la fuerza de fricción máxima que el camino puede ejercer sobre la llanta es la fuerza de fricción estática ,u,n. Se debe usar la fuerza de fricción estática en esta situación porque en el punto de contacto entre la llanta y el camino no ocurre deslizamiento de una superficie sobre la otra si la llanta no está derrapando. Sin embargo, si la llanta comienza a derrapar, la fuerza de fricción ejercida so-bre ella reduce la fuerza de fricción cinética likn. Por tanto, para maximizar la fuerza de fricción y minimizar la distancia de frenado, las llantas deben mantener movimiento de ro-damiento puro y no derrapar. Un beneficio adicional de man-tener la rotación de las llantas es que el control direccional no se pierde conforme se está derrapando.

Desafortunadamente, en situación de emergencia los con-ductores por lo común presionan el pedal del freno tan fuerte como pueden, "bloqueando los frenos". Esto detiene el giro de las llantas, asegurando el derrape y reduciendo la fuerza de fric-

ción del caso estático al cinético. Para corregir este problema los ingenieros automotrices desarrollaron el sistema de frenos antibloqueo (SAFA) que libera los frenos muy brevemente cuando una llanta está a punto de dejar de girar. Esto mantiene el contacto de rodamiento entre la llanta y el pavimento. Cuando los frenos se sueltan momentáneamente, la distancia de fre-nado es mayor de lo que sería si los frenos se hubieran aplicado de manera continua. Sin embargo, a través del uso de un con-trol computarizado, el tiempo de "no-frenado" se mantiene al mínimo. Como resultado, la distancia de frenado es mucho menor de lo que sería si las llantas estuviesen derrapando.

Ahora se analizará el frenado de un auto a través del exa-men de datos reales. En un número reciente de AutoWeek,7 se midió el rendimiento de frenado de un Toyota Corolla. Estos datos corresponden a la fuerza de frenado adquirida por un conductor profesional altamente entrenado. Se comienza por suponer una aceleración constante. (¿Por qué es necesario hacer esta suposición?) La revista proporciona la rapidez

6 La ecuación 5 muestra que, cuando tiknil > m2, hay un intervalo de valores de F para el cual ningún

movimiento ocurre a un ángulo O determinado.

Revista AutoWeek, 48:22-23, 1998.

inicial y la distancia de frenado en unidades no pertenecientes al SI. Después de convertir estos valores al SI se usa v„ f2 =

+ 2c/ x para determinar la aceleración a distinta rapidez. És-tas no varían grandemente y, por tanto, la suposición de ace-leración constante es razonable.

Rapidez inicial Distancia de frenado Aceleración

(mi/h) (m/s) (pies) (m) (m/s2)

30 13.4 34 10.4 —8.67

60 26.8 143 43.6 —8.25 80 35.8 251 76.5 —8.36

Se considera un valor promedio para la aceleración de —8.4 m/s2, lo cual es de manera aproximada 0.86g. En seguida se calcula el coeficiente de fricción a partir de EF = II, mg =

ma; esto da jus = 0.86 para el Toyota. Esto es menor que el valor hule/concreto proporcionado en la tabla 5.2. ¿Puede pensar algunas razones para esto?

Ahora se estimará la distancia de frenado del auto si las llantas estuvieran derrapando. Al volver a examinar la tabla 5.2 se aprecia que la diferencia entre los coeficientes de fric-ción estática y cinética del hule contra el concreto es de casi 0.2. Suponga, por tanto, que los coeficientes difieren por la misma cantidad, de tal modo que µk = 0.66. Esto permite cal-cular la distancia de frenado estimada para el caso en el cual las llantas están bloqueadas y el vehículo derrapa a través del pavimento. Los resultados ilustran la ventaja de no permitir que las llantas derrapen.

Distancia de

Distancia de Rapidez inicial

frenado

frenado (mi/h)

sin derrape (m)

derrapando (m)

30 10.4 13.9 60 43.6 55.5 80 76.5 98.9

Un SAFA mantiene a las llantas rotando, con el resultado de que el coeficiente de fricción estática máxima se conserva entre los neumáticos y el camino. Esto se aproxima a la téc-nica de un conductor profesional, quien es capaz de man-tener las llantas en el punto de máxima fuerza de fricción. Ahora estime el rendimiento del SAFA suponiendo que la magnitud de la aceleración no es tan buena como la lograda por el conductor profesional, sino que se reduce en 5%.

En la figura 5.22 se trazó una curva de la rapidez del ve-

hículo versus la distancia desde donde se aplicaron los frenos (a una rapidez inicial de 80 mi/h = 37.5 m/s) para los tres casos de un conductor novato, uno profesional y el rendi-miento estimado del SAFA (conductor novato). Se encuentra que es necesaria una distancia marcadamente corta para de-tenerse sin bloquear las llantas y derrapar y un valor satisfac-torio de distancia de frenado cuando la computadora SAFA mantiene las llantas en rotación.

El propósito del SAFA es ayudar a los conductores típicos (cuya tendencia es bloquear las llantas en una emergencia) a mantener un mejor control de sus automóviles y minimizar la distancia de frenado.

Figura 5.22 Esta gráfica de la rapidez del vehículo contra

la distancia desde donde los frenos fueron aplicados muestra

que un sistema de frenos antibloqueo (SAFA) alcanza el

rendimiento de un conductor profesional entrenado.

Conductor novato

—••• Conductor profesional

SAFA, conductor novato

50 100 Distancia desde el punto de aplicación de frenos (m)

Resumen 137

RESUMEN

La primera ley de Newton establece que, en ausencia de una fuerza externa, un cuerpo en repose, permanece en reposo y un cuerpo en movimiento uniforme en una línea recta mantiene ese movimiento. Un marco inercial es aquel que no está acelerando.

La segunda ley de Newton establece que la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa. La fuerza neta que actúa sobre un objeto es igual al producto de su masa y su aceleración, ErN

=ma. El lector deberá ser capaz de aplicar las formas de componentes x y y de estas ecua-ciones para describir la aceleración de cualquier objeto que actúa bajo la influencia de


Un bloque es jalado hacia la derecha sobre una superficie horizontal rugosa

Un bloque es jalado hacia arriba sobre un plano inclinado rugoso

m1 F

Dos bloques en contacto son empujados hacia la derecha sobre una superficie

sin fricción

F1.1

Nota: P = —P' porque son un par acción-reacción

Dos masas conectadas por una cuerda ligera. La superficie es rugosa y la polea no tiene fricción

Figura 5.23 Varios sistemas (izquierda) y los correspondientes diagramas de cuerpo libre (derecha).

Preguntas 139

fuerzas específicas. Si el objeto está estacionario o moviéndose a velocidad constante,

las fuerzas deben cancelarse vectorialmente unas a otras. La fuerza de gravedad ejercida sobre un objeto es igual al producto de su masa (una

cantidad escalar) y la aceleración de caída libre: Fg = mg. El peso de un objeto es la mag-

nitud de la fuerza de gravedad actuando sobre él. La tercera ley de Newton establece que si dos cuerpos interactúan, la fuerza ejercida

por el cuerpo 1 sobre el cuerpo 2 es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza

ejercida por el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1. Así, una fuerza aislada no puede existir en la naturaleza. Asegúrese de poder identificar pares del tipo tercera ley y los dos objetos sobre

los cuales actúan. La máxima fuerza de fricción estática f,m, entre un objeto y una superficie es pro-

porcional a la fuerza normal que actúa sobre el objeto. En general, #,n, donde 1.4 es el

coeficiente de fricción estática y n es la magnitud de la fuerza normal. Cuando un objeto se desliza sobre una superficie, la dirección de la fuerza de fricción cinética fk es opuesta a

la dirección del movimiento de deslizamiento y también es proporcional a la magnitud de

la fuerza normal. La magnitud de esta fuerza está dada por fk = li k n, donde ,u„ es el coefi-

ciente de fricción cinética.

Más acerca de diagramas de cuerpo libre

Con el fin de tener buenos resultados al aplicar la segunda ley de Newton a un sistema, se debe ser capaz de reconocer todas las fuerzas que actúan sobre el sistema. Es decir, se debe poder construir el diagrama de cuerpo libre correcto. La importancia de lo anterior no

puede ser exagerado. En la figura 5.23 se presentan varios sistemas junto con sus diagramas

N

de cuerpo libre correspondientes. El lector debe examinarlos cuidadosamente y construir después diagramas de cuerpo libre para otros sistemas descritos en los problemas de fin de capítulo. Cuando un sistema contiene más de un elemento es importante construir diagra-

mas de cuerpo libre separados para cada elemento.

Como es usual, F denota cierta fuerza aplicada, Fg = mg es la fuerza de gravedad, n de-

nota una fuerza normal, f es la fuerza de fricción y T es la fuerza cuya magnitud es la ten-

sión ejercida sobre el objeto.

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