I MEOOIO O PROESSOR - INIDE - Instituto Nacional de ...terra ou pedra, cortes num pedaço de madeira...

GUIAMETODOLÓGICODO PROFESSOR

Matemática

978-989-88-8464-0

9 7 8 9 8 9 8 8 8 4 6 4 0

5.ª

classe

ENSINO PRIMÁRIO

ACTUALIZAÇÃO CURRICULAR

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GUIAMETODOLÓGICODO PROFESSOR

MatemáticaACTUALIZAÇÃO CURRICULAR 5.

ª

classe

ENSINO PRIMÁRIO

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TítuloGuia Metodológico do ProfessorMatemática – 5.ª ClasseEnsino Primário

Coordenação GeralManuel Afonso José Amândio F. Gomes João Adão Manuel

Coordenação TécnicaMaria Milagre L. Freitas Cecília Maria da Silva Vicente Tomás

AutoresCecília Maria da Silva Vicente TomásCungatiquilo CanoGlória da Gama YetaJosé Eduardo DeibonaRosa Monalise dos Santos

EditorTexto Editores, Lda. – Angola

——————–––——––––––————————Capa e Design GráficoMónica Dias

——————————––––––————–––——Pré-impressãoLeYa, SA

Impressão e AcabamentosTexto Editores (SU), Lda.

—————–––——————––––––—————MoradaTalatona Park, Rua 9 – Fracção A12Talatona, Samba • Luanda • Angola

Telefone(+244) 924 068 760

[email protected]

—————–––—————————––––––——Reservados todos os direitos. É proibida a reprodução desta obra por qualquer meio (fotocópia, offset, fotografia, etc.) sem o con-sentimento escrito da Editora e do INIDE, abrangendo esta proibição o texto, as ilus-trações e o arranjo gráfico. A violação destas regras será passível de procedimento judicial de acordo com o estipulado no Código dos Direitos de Autor e Conexos.

—————————–––———––––––————©2019Texto Editores, Lda.Luanda, 2019 · 1.ª Edição · 1.ª Tiragem(5000 exemplares)

Registado na Biblioteca Nacional de Angola sob o n.o 8851/2019

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Índice

1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Objectivos Gerais da Matemática na 5.ª Classe . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Exploração dos conteúdos programáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

TEMA 1: Números e Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Objectivos gerais do Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Subtema 1.1 Estudo de números inteiros e números decimais . . . . . . 9

Subtema 1.2 Adição e subtracção de números inteiros

e números decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Subtema 1.3 Multiplicação e divisão de números inteiros

e números decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Subtema 1.4 Números racionais absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

TEMA 2: Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


Subtema 2.1 Rectas e linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Subtema 2.2 Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Subtema 2.3 Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Subtema 2.4 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Subtema 2.5 Perímetro, área e volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

TEMA 3: Noção de Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


Subtema 3.1 Introdução à Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Subtema 3.2 Medidas de tendência central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4. Planificação de um Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5. Avaliação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Referências bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

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1. Introdução

A capacitação do Professor ajuda o aluno na construção do conhecimento para a aprendizagem, sendo o aluno o principal protagonista da realização metodológica na sala de aula.

O Guia Metodológico apresenta sugestões de tratamento de conteúdos a serem ministrados em sala de aula, na construção de conhecimentos, baseando-se nas metodologias participati-

Nesta ordem de ideias, é importante que a aprendizagem -

ra para permitir aos alunos o sucesso no seu processo de apren-dizagem. Os alunos devem ser encarados como participantes activos na construção dos conhecimentos matemáticos.

É responsabilidade do professor organizar os meios e criar um ambiente favorável à aprendizagem, para tal deve facilitar o diálogo.

Deve também o professor desenvolver um discurso informa-tivo e vivo na aula, como por exemplo, pedir aos alunos para explicar como realizaram aquela actividade, promovendo e faci-litando, assim, a troca de ideias.

O trabalho na sala de aula, assim como as tarefas (que devem fazer parte do quotidiano dos alunos) devem ser contextualiza-dos, de modo a facilitar a aprendizagem, e assim entusiasmar e motivar os alunos.

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-des e propô-las aos alunos, para garantir que a aprendizagem não seja apenas uma rotina.

Assim sendo o processo de Ensino-Aprendizagem deve estar centrado nos alunos, de forma que estes sejam encarados como participantes activos na construção dos conhecimentos na sala de aula e fora dela.

O Guia Metodológico não tem intenção de interferir na meto-dologia do professor, mas sim apresentar sugestões que sirvam de apoio à sua prática que podem ser adaptadas ao contexto da sua sala de aula.

Estas sugestões metodológicas estão distribuídas ao longo dos três temas:

– Tema 1. Números e Operações

– Tema 2. Geometria

– Tema 3. Noção de Estatísticaprov

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2. Objectivos Gerais da Matemática na 5.ª Classe

• Conhecer os processos primitivos da contagem de números;

• Compreender os números inteiros e números decimais;

• Compreender a adição e subtracção de números inteiros e decimais;

• Conhecer a multiplicação e a divisão dos números inteiros e decimais;

• Conhecer os números absolutos;

• Dominar as operações fundamentais com fracções;

• Conhecer prismas, triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos, rectas concorrentes e rectas;

• Compreender as noções de rectas paralelas e de rectas per-pendiculares;

•

•

• Calcular perímetros, áreas e volumes;

• Compreender o processo da recolha e organização de dados;

• Conhecer a frequência de um acontecimento;

•

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3. Exploração dos conteúdos programáticos

TEMA 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 165 aulas

Objectivos gerais do Tema

• Conhecer os processos primitivos da contagem dos números;

• Compreender os números inteiros e números decimais;

• Compreender a adição e subtracção de números inteiros e decimais;

• Conhecer a multiplicação dos números inteiros e decimais;

• Conhecer os números absolutos;

• Representar os números decimais numa semi-recta;

• Comparar os números inteiros;

• Relacionar a escrita de números inteiros e decimais na tábua de posição decimal;

• Resolver problemas que envolvem números inteiros e números decimais.

SUBTEMA 1.1 ESTUDO DE NÚMEROS INTEIROS E NÚMEROS DECIMAIS

Objectivos específicos do Subtema

• Reconhecer os processos primitivos de contagem;

• Reconhecer o sistema de numeração decimal;

• Identificar as classes do sistema de numeração decimal;

• Escrever os números inteiros em algarismos e extensão;

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• Ler os números inteiros em algarismos e extensão;

• Escrever os números decimais;

• Ler os números decimais;

• Representar os números decimais numa semi-recta;

• Comparar os números inteiros;

• Relacionar a escrita de números inteiros e decimais na tábua de posição decimal;


Conteúdos

• Processos primitivos de contagem. Breve historial;

• Sistema de numeração decimal. Classes de ordens;

• Valor posicional de um algarismo;

• Escrita e leitura de números inteiros em algarismos e em extensão;

• Escrita e leitura de números decimais. Representação numa semi- -recta;

• Comparação de números inteiros;

• Escrita de números inteiros e decimais na tábua de posição decimal;

• Resolução de problemas.

Sugestões metodológicas

Processos primitivos de contagem. Breve historial

Sugere-se ao professor que o tratamento do conteúdo sobre os processos primitivos de contagem seja feito através de um breve historial.

Os processos de contagem desenvolveram-se ao longo da história da humanidade. Mesmo nos tempos mais primitivos, o Homem já tinha uma certa noção de número; ou seja, pelo menos já reconhecia quando havia mais ou menos objectos.

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Com a evolução da sociedade, a simples contagem tornou-se cada vez mais importante. Provavelmente, o modo de contagem mais primitivo era feito através de um método simples, utilizan-do o princípio da correspondência um para um.

O Homem para contar fazia correspondência, ou seja, esta-belecia correspondência entre um conjunto de objectos e outro conjunto; dessa forma sabia quantas coisas possuía como, por exemplo, animais, objectos, quantidade de alimentos, etc.

O Homem primitivo fez essa mesma correspondência quan-do sentiu a necessidade de criar animais. Para saber a quanti-dade de animais que possuía tinha que contar e usava objectos como pedras, para saber se o seu rebanho tinha aumentado ou diminuído. Foi nesse momento que surgiu a ideia de somar e diminuir, fazendo a correspondência um a um.

A contagem podia também ser feita, utilizando vários pro-cessos como, por exemplo, fazendo nós numa corda, riscos na terra ou pedra, cortes num pedaço de madeira ou de osso.

Sistema de numeração decimal. Classes de ordens

O professor deve lembrar aos alunos que o sistema de nume-ração decimal ou sistema de numeração indo-arábico, foi cria-do pelos hindus há milhares de anos, povos que viveram nas margens do rio Indo, actual Paquistão. Porém, este sistema foi aperfeiçoado e divulgado pelos árabes por toda a Europa.

O professor deve lembrar aos alunos que os símbolos mate-máticos utilizados para representar um número no sistema decimal são chamados de algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. São utilizados para contar unidades, dezenas e centenas.

10 unidades = 1 dezena10 dezenas = 1 centena

10 centenas = 1 unidade de milhar

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No sistema de numeração decimal, cada algarismo represen-ta uma ordem, começando da direita para a esquerda e a cada três ordens existe uma classe.

3.ª Classe 2.ª Classe 1.ª Classe

MILHÃO MILHAR UNIDADE

9.ªOrdem

8.ªOrdem

7.ªOrdem

6.ªOrdem

5.ªOrdem

4.ªOrdem

3.ªOrdem

2.ª Ordem

1.ªOrdem

C D U C D U C D U

2 1 0 0 0 0 0 0 0

C = Centena; D = Dezena; U = Unidade

O professor pode trabalhar com os alunos exercícios como os que se apresentam seguidamente:

1. Indica as unidades dos seguintes números:a) 465 b) 1520

4 6 5 1 5 2 0

C D U M C D U

Valor posicional de um algarismo

O professor ao ensinar o conteúdo referente aos números,

termos numéricos que são usados para formar qualquer número. Esses termos numéricos são:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

Podemos chamar esses termos numéricos de algarismos. Todo o número é formado por algarismos.

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Observe-se:

• O número 12 (doze) possui dois algarismos: 1 e 2.

• Já o número 236 (duzentos e trinta e seis) possui três alga-rismos: 2, 3 e 6.

Suponha agora que os algarismos dos números 12 e 236 tro-cam de lugar.

Para o número 12 (doze), obteríamos o número 21 (vinte e um).

Já para o número 236, obteríamos os seguintes números:

– 263 (duzentos e sessenta e três);

– 326 (trezentos e vinte e seis);

– 362 (trezentos e sessenta e dois);

– 623 (seiscentos e vinte e três);

– 632 (seiscentos e trinta e dois).

Observe que, quando trocamos os algarismos de lugar, tanto no número 12 como no número 236, surgiram novos números.

O aluno pode perguntar como é que isso aconteceu! O pro-fessor deve explicar que a resposta está no conteúdo referente ao valor posicional de um algarismo.

Para se saber o valor posicional de um algarismo, utilizam- -se as ordens e classes, que se encontram no quadro de ordens, que é também chamado de QVL (Quadro Valor de Lugar).

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Classe das unidades simples

3.ªOrdem

2.ª Ordem

1.ªOrdem

Centena de

unidade simples

Dezena de

unidade simples

Unidade simples

Classe dos milhares

6.ªOrdem

5.ªOrdem

4.ªOrdem

Centena de milhar

Dezena de milhar

Unidade de milhar

Classe dos milhões

9.ªOrdem

8.ªOrdem

7.ªOrdem

Centena de milhão

Dezena de milhão

Unidade de milhão

Este quadro de ordem vai até à classe dos milhares. Depois dessa classe, temos muitas outras. Isso acontece porque a con-

Agora que se conhece o quadro de ordem, vamos descobrir como utilizá-lo.

Veja seguidamente a representação dos números 12 e 21 no quadro. Para representar esses números, precisamos utilizar a classe das unidades simples.

Isso porque o nosso maior número possui somente dois alga-rismos, isto é, pertence à segunda ordem.

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Classe das unidades simples

3.ªOrdem

2.ª Ordem

1.ªOrdem

Centena de

unidade simples

Dezena de

unidade simples

Unidade simples

1 2

2 1

2 6 3

3 2 6

Vamos agora comparar o 12 com o 21. Nessa comparação serão ressaltadas as suas semelhanças e diferenças.

Comparando 12 com 21:

• O número 12 (doze) possui dois algarismos, assim como o número 21 (vinte e um). Em ambos, os algarismos são 1 e 2. Essa é uma semelhança entre eles;

• A diferença entre 12 e 21 é justamente o número que cada um representa. Mesmo possuindo a mesma quantidade de algarismos, os números são diferentes. Isso acontece por causa do valor posicional de cada algarismo.

Vejam-se exemplos:

12 O algarismo 2 está na unidade simples e o algarismo 1 está na dezena simples. Isso significa que temos:

1 dezena mais 2 unidades.

1 dezena + 2 unidades = 10 unidades + 2 unidades = 12 unidades

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21 Nesse número, o algarismo 2 está na dezena simples e o algarismo 1 está na unidade simples. Isso significa que temos: 2 dezenas mais 1 unidade.

2 dezenas + 1 unidade = 20 unidades + 1 unidade = 21

Para conseguir compreender melhor, lembre-se sempre de que a unidade é a menor ordem de um número.

O algarismo, independentemente da posição que ocupe, po-derá sempre ser convertido em unidades. Lembre-se sempre dos seguintes valores referenciais.

1 unidade = 1 (um) unidade1 dezena = 10 (dez) unidades

1 centena = 100 (cem) unidades1 unidade de milhar = 1000 (mil) unidades

1 dezena de milhar = 10 000 (dez mil) unidades1 centena de milhar = 100 000 (cem mil) unidades

O professor deve explicar aos alunos que a razão por que dois números com algarismos iguais em posições diferentes possuem valores distintos, se deve ao valor posicional do algarismo.

Escrita e leitura de números inteiros em algarismos e em extensão

Os números podem ser representados de forma escrita atra-vés de símbolos, semelhante a um alfabeto para uma língua.

Estes símbolos são conhecidos como algarismos e são com-binados de forma a representar qualquer número possível. Os algarismos são:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

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Usando exemplos do dia-a-dia, o professor pode simular uma conversa entre pai e filho.

Pai: Nesta revista diz-se que no mundo há, aproximada-mente, cinco milhares de milhões e setenta e oito mi-lhões de pessoas.

Filho: Que número tão grande! Tem 10 algarismos.

O professor deve escrever no quadro:1 000 000 000 000Como se lê este número?

Resposta: Lê-se um bilião.

1 000 000 000 000

Bilião Milhares

de milhões

Milhões Milhares Unidades

O professor deve usar alguns exemplos:

a) Escreve, usando algarismos:Quinze mil e oito unidades ;

b) Escreve a leitura dos números:936 ; 201500 .

Escrita e leitura de números decimais. Representação numa semi-recta

Os números decimais são números que possuem vírgula como, por exemplo, 2,35; 1,2; 0,25.

Vejamos o que acontece ao lermos esses números.

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1,5 temos o costume de ler «um vírgula cinco», mas matematicamente está incorrecto. Para fazer a leitu-ra correctamente de um número decimal devemos

Todo o número que é escrito na forma decimal pode ser transformado em fracção; isto é, através da decomposição do número decimal transforma-se em fracção.

Vejamos como:

5,2 5 é a parte inteira do número e 2 é a parte decimal; então se se somar a parte inteira com a decimal obtém-se 5,2.

5,2 = 5 + 0,2

O número 0,2 continua decimal. Para o transformar em frac-ção, e porque o número não possui parte inteira (apenas parte decimal a qual é composta por apenas um número), então 0,2 é o mesmo que:

2 10

Podemos então dizer que 5,2 = 5 + 2; com base nessa soma diz-se que a leitura de 5,2 será: cinco inteiros e duas décimas.

Observe alguns exemplos:

2,1 = dois inteiros e uma décima;0,36 = trinta e seis centésimas;

2,36 = dois inteiros e trinta e seis centésimas;14,6 = catorze inteiros e seis décimas;0,123 = cento e vinte três milésimas.

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Representação numa semi-recta de números decimais

Sugere-se ao professor que comece com a seguinte aborda-gem deste conteúdo:

– Lembram-se que no sistema posicional cada dígito que está à esquerda representa dez vezes o que o anterior representa? Por exemplo, no número 55, o 5 da direita, que está na casa das unidades, representa apenas cinco unidades. Já o 5 que está na casa das dezenas, do lado esquerdo, representa 5 dezenas.

Dezenas

5 5

Unidades

Isto quer dizer que os dígitos da direita representam partes dez vezes menores do que aquelas que estão à sua esquerda.

O que acontece quando existem números depois da vírgu-la? Exactamente a mesma coisa: eles representam partes dez vezes menores.

O professor deve então, juntamente com os alunos, observar como o número é representado na recta numérica.

1.º PassoPrimeiro são posicionadas as unidades que estão no lado

esquerdo da vírgula. Neste caso é apenas 1 (um): vamos para o lugar do 1 (um) na recta numérica:

0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5

1,376

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A posição do um é marcada com uma pequena linha vertical cinzenta.

2.º PassoO 3 (três), que está na parte decimal, não representa três

unidades, mas três partes dez vezes menores que a unidade.

A próxima unidade é dividida em dez partes iguais e três destas divisões são separadas.

Observe-se que, no passo anterior, o intervalo está destacado.

Na representação abaixo pode ver-se este mesmo segmento ampliado para se poder visualizar facilmente as dez divisões:

1,51,41,31,21,11 1,6 1,7 1,8 1,9 2

1,376

Estas partes são chamadas décimas, porque cada uma é equivalente a uma décima de unidade.

3.º PassoO 7 (sete) representa partes dez vezes menores que as que

representava o 3 (três). Assim a próxima décima é dividida em dez partes e sete são separadas.

1,351,341,331,321,311,3 1,36 1,37 1,38 1,39 1,4

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Estas partes são chamadas de centésimas e cada uma repre-senta uma centésima da unidade.

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4.º PassoO 6 (seis) representa partes dez vezes menores que as cen-

tésimas. Por esta razão, a centésima é dividida (destacada a cin-zento mais escuro), em dez partes e seis delas são separadas:

1,3751,3741,3731,3721,3711,37 1,376 1,377 1,378 1,379 1,38

1,376

Estas pequenas partes são chamadas milésimas e cada uma representa uma milésima de unidade.

Como não há mais números na parte decimal, o processo está concluído. Na representação abaixo é possível ver o resul-

0 1 1,376 2 3

O professor pode pedir aos alunos para posicionar o número 25, 71025 na recta numérica.

Comparação de números inteiros

Sugere-se ao professor que inicie o tratamento dos números inteiros, partindo de situações recorrentes do quotidiano.

Veja-se o exemplo:

Suponha-se que o saldo na conta bancária da mãe da Dayse é de 123,00 kz; já a mãe da Helfemira também possui 123,00 kz na sua conta, enquanto a mãe da Luzilene possui apenas 54,00 kz na sua conta.

Com estes dados, é possível estabelecer uma relação de igualdade ou desigualdade entre os saldos das contas bancárias das mães da Dayse, da Helfemira e da Luzilene.

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Observe-se:

• A mãe da Dayse e a mãe da Helfemira possuem o mesmo saldo nas suas contas (123,00 kz = 123,00 kz );

• A mãe da Dayse possui um saldo maior na sua conta do que a mãe da Luzilene (123,00 kz > 54,00 kz);

• A mãe da Luzilene possui um saldo menor na sua conta do que a mãe da Dayse (54,00 kz < 123,00 kz).

Veja-se outro exemplo:

Numa certa região ocorreu uma competição de futebol, entre 7 equipas, da qual a vencedora foi a equipa que teve o maior saldo de golos.

O saldo de golos é dado pela seguinte fórmula:

-tra a tabela abaixo.

Torneio de Futebol

Posição Equipa GP GC SG

1.º Equipa A 11 1 10

2.º Equipa B 10 2 8

3.º Equipa C 9 3 6

4.º Equipa D 7 4 3

5.º Equipa E 10 12 -2

6.º Equipa F 8 13 -5

7.º Equipa G 2 10 -8

GP = golos pró (a favor)GC = golos contra (sofridos)SG = saldo de golos

equipa A foi a vitoriosa, pois teve um saldo de 10 golos.

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Escrita de números inteiros e decimais na tábua de posição decimal

Os números racionais na forma decimal são muito utilizados no quotidiano. No desporto, nas medições em geral, em corridas de automóveis, nas escalas de temperatura e até nas operações

-bam facilitando as nossas vidas. Apesar de se utilizar os números decimais constantemente, ainda se fazem confusões sobre o valor posicional dos seus algarismos. Vamos perceber como se dá esse processo, utilizando as décimas, as centésimas e as milésimas.

Décimas

As décimas são todas as fracções com denominador 10. Obser-ve-se como essas fracções podem ser escritas na forma decimal:

Fracção Forma decimal

1/10 0,1

5/10 0,5

17/10 1,7

92/10 9,2

É fácil entender que há somente uma casa decimal; ou seja, apenas um algarismo após a vírgula.

Centésimas

As centésimas são todas as fracções que apresentam deno-minador 100. Veja como essas fracções podem ser escritas na forma decimal:


1/100 0,01

3/100 0,03

23/100 0,23

118/10 1,18

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Percebe-se que há duas casas decimais; ou seja, dois algaris-mos após a vírgula.

Milésimas

As milésimas são todas as fracções com denominador igual a 1000. Observe-se como são escritas na forma decimal:


1/1000 0,001

3/1000 0,003

39/1000 0,039

228/1000 0,228

Observe-se que neste caso há três casas decimais; ou seja, três algarismos após a vírgula.

Com estas observações, o professor pode concluir que o facto do denominador da fracção ser 10, 100 ou 1000 determi-na quantas casas decimais haverão quando o número estiver escrito na forma decimal.

Denominador 10 apenas uma casa decimal.

Denominador 100 duas casas decimais.

Denominador 1000 três casas decimais.

O professor deve explicar aos alunos o papel da vírgula: a vír-gula separa a parte inteira da parte decimal, facilitando a com-preensão do valor posicional de cada algarismo.

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Observe-se o seguinte exemplo.

Número Parte inteira Parte decimal

0,23 0 23

12,5 12 5

1,231 1 231

312,21 312 21

Após o entendimento do que é a parte inteira e a parte decimal, pode fazer-se o estudo do valor posicional de cada algarismo.

Analise-se a tabela abaixo.

Centenas Dezenas Unidades Décimas Centésimas Milésimas

Número Parte inteira

Parte decimal C D U d c m

1,5 1 5 1 5

33,64 33 64 3 3 6 4

411,2 411 2 4 1 1 2

7,132 7 132 7 1 3 2

por exemplo, o algarismo 4 equivale a quatro centésimas. No número 7,132 o algarismo 2 equivale a duas milésimas.

Resolução de problemas

Sugere-se ao professor que tire uma cópia dos problemas abaixo apresentados, cole-os no caderno e resolva-os. Não esqueça a organização de ideias, operações e respostas.

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Problemas

1. O Joaquim comprou uma dúzia de enfeites para oferecer à mãe e à sua tia Júlia. Pagou 180,50 kz pela compra.

Quanto custam 8 desses enfeites?

2. No porquinho cofre de Dayse há algumas moedas de 1,00 kz; 25 moedas de 0,50 cêntimos e 11 moedas de 0,25, cêntimos, totalizando 22,25 kz.

Quantas moedas de 1,00 kz estão no cofre?

3. A Kiesse recebe da irmã Cecília uma mesada de 5000 kz. Restam na carteira dela, das mesadas anteriores, o valor de 3250 kz.

Se, da mesada deste mês, ela conseguir guardar um valor igual a esse, no mês que vem, quando receber a nova me-sada, quanto dinheiro ela terá?

Escolhe a opção correcta.

Mais de 1000 kz.

Menos de 1000 kz.

1000 kz exactos.

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SUBTEMA 1.2 ADIÇÃO E SUBTRACÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS E NÚMEROS DECIMAIS


• Calcular somas de números inteiros e números decimais;

• Reconhecer as propriedades comutativa e associativa da adição;

• Identificar o quadrado mágico;

• Calcular as diferenças de números inteiros e decimais;

• Reconhecer a adição e subtracção como operações inversas;

• Reconhecer a identidade fundamental da subtracção;

• Estimar valores;

• Reconhecer a sequência de números;

• Resolver cálculos que envolvem expressões numéricas;


Conteúdos

• Propriedades comutativa e associativa da adição;

• Quadrado mágico;

• Subtracção de números inteiros e números decimais;

• Adição e subtracção como operações inversas. Identidade fundamental da subtracção;

• Estimativas;

• Sequências;

• Expressões numéricas.


Adição de números inteiros e números decimais

O número decimal é aquele número que tem parte inteira e parte decimal, separadas por vírgula.

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Para resolver as quatro operações (adição, subtracção, multi-plicação e divisão) com os números decimais é necessário utili-zar algumas regras.

• Adição

Para adicionarmos dois ou mais números decimais é preciso colocar vírgula em baixo de vírgula. O professor deve relembrar que, para efectuar qualquer adição, os números somados são chamados de parcelas, o resultado de soma total e que as par-celas têm que ser adicionadas da maior para a menor.

• 4,879 + 13,14 Parcelas

13,140 Acrescenta-se o zero para completar casas decimais. + 4,879 18, 019 Soma total

Na soma de 4 centésimas com 7 centésimas é igual a 11 cen-

• 2 + 1, 751 Parcelas

2, 000 Acrescenta-se o zero para completar casas decimais.+1,751 3,751 Soma total

• 0,3 + 1 Parcelas

1,0 Acrescenta-se o zero para completar casas decimais. + 0,3 1,3 Soma total

Propriedades comutativa e associativa da adição

Propriedade comutativa

Adição: a + b = b + a

Quanto à adição, sabe-se que a ordem das parcelas não altera o total.

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Veja a igualdade abaixo:a + b = b + a7 + 4 = 4 + 7

A soma dos termos do primeiro membro totaliza 11, que é o mesmo total obtido ao somarmos os termos do segundo mem-bro.

Ainda que as parcelas estejam dispostas em ordem distinta, note-se que não houve divergência nas somas.

Propriedade associativa

Adição: (a + b) + c = a + (b + c)

Vamos analisar o exemplo abaixo:(a + b) + c = a + (b + c)(7 + 4) + 5 = 4 + (5 + 7)

Quando existe uma expressão que envolve parênteses, devemos realizar primeiramente as operações contidas no seu interior. Então, temos esta expressão, que é equivalente à ante-riormente representada acima:

11 + 5 = 4 + 12

Como se pode observar, o facto de se associar algumas par-celas não causou variação no total, pois a soma é a mesma (16) em ambos os membros da igualdade.

Quadrado mágico

Sugere-se ao professor que apresente aos alunos a origem,

resolver um quadrado mágico.

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• OrigemNão se sabe ao certo a sua origem, mas há registos do uso

do quadrado mágico em épocas muito antigas na China e na Índia. O primeiro registo do quadrado de 9 casas (3 x 3), que

do século VIII, mas atribuído a Apolónio de Tiana (século I) por Marcellin Berthelot.

• ConceitoO quadrado mágico é um tipo de tabela quadrada de núme-

ros em progressão aritmética, onde a soma de cada coluna, de cada linha e das duas diagonais devem ser sempre iguais.

Como o professor sabe, o quadrado mágico é um jogo que testa o raciocínio lógico e também a habilidade com os números.

• Existem alguns tipos de quadrados mágicos que possuem

algumas particularidades e por este motivo recebem algumas -

drado hipermágico e quadrado diabólico.

• O quadrado imperfeito ou defeituoso é aquele que não segue todas as regras de um quadrado mágico. Por exem-plo: as somas das linhas não são iguais às somas das colu-nas e diagonais.

• O quadrado hipermágico é aquele que além de obedecer às regras básicas de um quadrado mágico, possui algumas propriedades adicionais. Por exemplo: se num quadrado mágico se trocar duas colunas de lugar, forma-se outro qua-drado mágico.

• O quadrado diabólico é aquele quadrado hipermágico que possui muitas propriedades a mais ou propriedades bem mais complexas. Esse nome surgiu devido à complexidade e

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31

Seguidamente, dá-se algumas sugestões de onde se pode encontrar e como resolver um quadrado mágico.

Facilmente, pode encontrar-se numa banca de revista exem-plares de livrinhos de raciocínio onde existem vários quadrados mágicos para se resolver ou, então, na internet existem sites que também disponibilizam esse tipo de jogo lógico.

Propomos, por exemplo, ao professor algumas sugestões que irão ajudar a desvendar de forma mais simples (juntamente com os alunos) os mistérios do quadrado mágico 3 × 3.

O professor deve saber que essa regra só valerá se os núme-ros forem múltiplos de 3.

Ex: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, entre outros.

3 6 9

12 15 18

21 24 27

1.º Passo O total que se quiser obter em todos os sentidos deve ser

dividido por 3. O valor dessa divisão deverá ser o número que será colocado no centro do quadrado.

2.º PassoSe o número do centro for par, os números dos cantos deve-

rão ser ímpares, e se o do centro for ímpar os dos cantos devem ser pares.

3.º PassoQuando faltar o último número, o valor será o número do

centro mais 4.

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32

Os quadrados mágicos constituem uma excelente ferramen-ta de aprendizagem e desenvolvimento do raciocínio lógico, contribuindo na formação do sentido de organização numéri-ca em relação à utilização de operações matemáticas na busca por resultados pré-determinados. O interessante na realização deste modelo de jogo matemático consiste na disposição cor-recta dos números de acordo com o quadrado fornecido.

O professor deve exercitar com os alunos, tomando como exemplo:

No quadrado 4 x 4, temos 16 células que deverão ser preen-chidas com os números de 1 a 16, também sem repetição. No quadrado 4 x 4, a soma dos números na horizontal, vertical e diagonal deve totalizar 34.

Subtracção de números inteiros e números decimais

Para subtrair dois números decimais, deve-se, da mesma forma que na adição, colocar vírgula debaixo de vírgula.

O diminuendo deve ser sempre maior que o diminuidor e o resultado recebe o nome de resto ou diferença.

• 7,37 – 2,8 diminuendo e diminuidor nessa mesma ordem.

6 13 7,3 7 diminuendo–2,8 0 diminuidor – acréscimo do zero para completar

casas decimais 4 ,5 7 resto ou diferença

Para subtrair 8 décimas, transformamos 1 inteiro em 10 déci--

guimos:

13 – 8 = 5 6 – 2 = 4

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33

• 0,25 – 0,18

115 0,25– 0,18 0,07

Para subtrair 8, transformamos 1 décima em 10 centésimas,

15 – 8 = 71 – 1 = 0

Operação inversa

O professor pode começar com demonstrações de acções correntes na escola e sala de aula tais como:

• abrir e fechar a porta da sala de aula;

• subir e descer as escadas da escola;

• colocar a chave na fechadura e retirar a chave da fechadura da porta da sala de aula;

• abrir e fechar o fecho da mochila de um aluno.

O objectivo de todas estas acções é demonstrar ao aluno que existe a acção inversa, ou seja, o acto de abrir e o acto de fechar; o acto de subir e o acto de descer; o acto de colocar e o acto de retirar.

Assim acontece também na Matemática. Existe a acção inversa das operações que se designa por operação inversa.

Operação inversa da adição

Numa cesta de fruta temos 12 maçãs e 7 abacaxis. No total, temos 19 frutos na cesta.

Representando com os sinais, temos: 12 + 7 = 19.

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O Renato comeu 7 dos frutos que estavam na cesta. Com

Representando com os sinais, temos: 19 – 7 = 12.

Observando os exemplos, pode entender-se que a subtracção é a operação inversa da adição e que a adição é a operação inver-sa da subtracção.

Se 12 + 7 = 19, então 19 – 7 = 12 ou 19 – 12 = 7.

Operação inversa da multiplicação

Partindo desse entendimento, a mesma situação ocorre com a multiplicação e a divisão.

Partindo do número 12, o que se pode fazer para chegar ao número 60?

12 x 5 = 60

Partindo agora do número 60, o que podemos fazer para vol-tar ao número 12?

60 : 5 = 12

Observando os exemplos, pode entender-se que a divisão é a operação inversa da multiplicação, e que a multiplicação é a operação inversa da divisão.

Se 12 x 5 = 60, então 60 : 5 = 12 ou 60 : 12 = 5

Operação inversa da subtracção

Prova real da subtracção

Se a subtracção é a operação inversa da adição, logo a adição é a inversa da subtracção. Para chegar à prova real da subtracção, é necessário somar a segunda parcela com o resultado da sub-tracção e obter a primeira parcela da subtracção como resultado.

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Vejam-se os exemplos seguintes.

29 –12 17

12 + 17 29

14 –5 9

5 + 9 14

Através da adição podem corrigir-se as subtracções.

Identidade fundamental da subtracção

Como o professor sabe, para subtrair números naturais (con-junto numérico com termos positivos), o primeiro termo (dimi-nuendo) deve ser sempre maior que o segundo (diminuidor). Deve destacar-se ainda que a subtracção de um número natural forma sempre um número natural.

Pode representar-se a subtracção pelo algoritmo descrito em seguida:

a diminuendo – b diminuidor c diferença

Em que sempre acontece que: a > b (a maior ou igual a b).

Observem-se alguns exemplos.

Exemplo 1: Obtém a diferença de 25 – 5.Como 25 é maior que 5 (25 > 5), essa subtracção (25 – 5) existe

para o conjunto dos números naturais.

25 diminuendo – 5 diminuidor 20 diferença

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Exemplo 2: Faz a subtracção de 35 – 12.Sendo 35 maior que 12 (35 >12), a subtracção (35 – 12) existe

para o conjunto dos números naturais.

35 diminuendo –12 diminuidor 23 diferença

-ros de forma correcta, basta realizar a operação inversa à sub-tracção, ou seja, o cálculo da adição.

a relação fun-damental da subtracção, que se baseia na equivalência.

• Relação fundamental da subtracção

É uma relação de equivalência (⇔) entre a adição e a subtracção:

diminuendo – diminuidor = diferença ⇔

diminuidor + diferença = diminuendo

Exemplo: relação fundamental se o cálculo realizado está correcto.

a) 97 – 34 =

Como 97 é maior que 34 (97 > 34), a subtracção (97 – 34) existe para o conjunto dos números naturais.


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37

resultado obtido está correcto. Para isso, aplica-se a relação fun-damental, que é dada pelo inverso da subtracção, isto é, a soma.

Veja-se: diminuendo – diminuidor = diferença

97 – 34 = 63

diminuidor + diferença = diminuendo 34 + 63 = 97

O professor poderá assim constatar que, ao aplicar a soma do diminuidor com a diferença, obtém-se o valor do diminuen-do como resposta. Sendo assim, prova-se que 63 é, de facto, o resultado da subtracção de 97 e 34.

b) 19 – 9 =

Como 19 é maior que 9 (19 > 9), a subtracção (19 – 9) existe para o conjunto dos números naturais.


diminuendo – diminuidor = diferença 19 – 9 = 10

diminuidor + diferença = diminuendo 9 + 10 = 19

Ao se aplicar a soma do diminuidor com a diferença, obtém- -se o valor do diminuendo como resposta. Com isso, prova-se que 10 é, de facto, o resultado da subtracção de 19 e 9.

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Estimativas

O professor deve lembrar aos alunos que quando se trabalha com números muito grandes ou então com números decimais que apresentam muitas casas após a vírgula, existe um grande risco de se cometer erros nos cálculos.

Uma alternativa é utilizar o processo de arredondamento para deixar os números mais acessíveis.

Vejam-se duas situações.

1.ª Arredondamento de números inteiros

Quando um número apresenta uma grande quantidade de alga-

Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades

Centenas de milhão Centenas de milhar Centenas

Dezenas de milhão Dezenas de milhar Dezenas

Unidades de milhão Unidades de milhar Unidades

O professor deve lembrar aos alunos que um número é clas-

Cada coluna representa uma ordem: as unidades são a 1.ª ordem; as dezenas a 2.ª ordem; as centenas a 3.ª ordem; as uni-dades de milhar a 4.ª ordem; e assim sucessivamente.

Por exemplo, se a área de um país é de aproximadamente 4 532 789 quilómetros quadrados e se deseja fazer um cálculo qualquer utilizando esse número, pode fazer-se uma aproxima-ção; isto é, pode-se, por exemplo, arredondá-lo para a unidade de milhar mais próxima. Isso indica que os números que estão

-se com o número 4 532 000.

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Se se quiser arredondar o valor para a dezena de milhar mais próxima, deverá substituir-se por zero todos os alga-

4 530 000. Seguindo este raciocínio, pode fazer-se inúmeros tipos de aproximações.

do cálculo não será exacto; ele será apenas uma estimativa. Mas essa estimativa aproxima-se bastante do resultado real.

O professor deve salientar que, quanto mais arredondamen-

por zero, mais impreciso será o resultado.

2.ª Arredondamento de números racionais (decimais)

Ao se trabalhar com números decimais, podemos deparar- -nos com inúmeras casas decimais, o que também pode trazer

-dades ou erros de cálculo deve, inicialmente, escolher-se com quantas casas decimais se quer trabalhar. Feita esta primeira operação, analisa-se o primeiro algarismo à direita que se quer retirar. Se esse número for 5, 6, 7, 8 ou 9, deve aumentar-se em uma unidade o último algarismo com que se está a trabalhar.

Caso não apareça nenhum dos valores descritos, o número

Suponha que se quer arredondar os números seguintes para

1,5687 1,5724,9876 24,99

159,369871289 159,3775,36012 75,36

123,05325 123,05

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Sequência

A escola está a comemorar o Dia do Educador. O professor deverá orientar os seus alunos para que as suas posições sejam as mesmas de todos os dias.

Sugere-se ao professor que comece por organizar os seus

Para manter a ordem dos lugares correctos, os alunos devem utilizar os números ordinais.

Os números ordinais representam ordem, lugar ou posição.

O professor, juntamente com os alunos, deve observar os numerais ordinais que se apresentam no quadro seguinte.

1.º – primeiro 2.º – segundo 3.º – terceiro 4.º – quarto 5.º – quinto 6.º – sexto 7.º – sétimo 8.º – oitavo 9.º – nono 10.º – décimo 11.º – décimo primeiro 12.º – décimo segundo 13.º – décimo terceiro14.º – décimo quarto 15.º – décimo quinto16.º – décimo sexto17.º – décimo sétimo 18.º – décimo oitavo 19.º – décimo nono

20.º – vigésimo 21.º – vigésimo primeiro 22.º – vigésimo segundo 23.º – vigésimo terceiro 24.º – vigésimo quarto 25.º – vigésimo quinto 26.º – vigésimo sexto 27.º – vigésimo sétimo 28.º – vigésimo oitavo29.º – vigésimo nono 30.º – trigésimo 40.º – quadragésimo 50.º – quinquagésimo60.º – sexagésimo 70.º – septuagésimo 80.º – octogésimo90.º – nonagésimo 100.º – centésimo

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Os números são escritos na sequência, com o símbolo º, que simboliza, por abreviação, a ordem.

Expressões numéricas

O professor deve explicar ao alunos que quando se resolvem expressões numéricas, têm de seguir uma ordem para realizar os cálculos.

1.º PassoResolver as multiplicações e as divisões.

2.º Passo

resolver-se as adições e as subtracções. E quando aparecem várias adições e subtracções, por onde

se deve começar? O ideal é fazer os cálculos, respeitando a ordem em que apa-

recerem. Mas e quando aparecem outros símbolos, como: ( ), [ ] e { }?

Esses símbolos são chamados de sinais de associação:

( ) Parênteses

[ ] Colchetes

{ } Chavetas

Assim como acontece com as operações, esses sinais de asso-ciação possuem uma ordem que deve ser respeitada. Primeiro, resolvemos os parênteses; quando acabarem os cálculos den-tro dos parênteses, resolvemos os colchetes; e quando não houver mais o que calcular dentro dos colchetes, resolvemos as chavetas.

Observem-se em seguida alguns exemplos:

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{100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5 Inicialmente deve resol-ver-se «os parênteses», mas como dentro dos parênteses exis-tem a subtracção e a multiplicação, resolve-se a multiplicação primeiro, e em seguida, resolve-se a subtracção:

{100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5

{100 – 413 x (20 – 20) + 25} : 5

{100 – 413 x 0 + 25} : 5

Agora que não existem mais os parênteses, vão ser resol-vidas as operações dentro das chavetas. Dentro das chavetas existem: subtracção, multiplicação e adição.

Assim, e em primeiro lugar resolve-se a multiplicação e de seguida resolve-se a subtracção e a adição, seguindo a ordem em que aparecem:

{100 – 413 x 0 + 25} : 5{100 – 0 + 25} : 5

{100 + 25} : 5125 : 5

25

Portanto, o resultado da expressão:

{100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5 é 25.

Vamos resolver outra expressão:

27 + {14 + 3 x [100 : (18 – 4 x 2) + 7] } : 1327 + {14 + 3 x [100 : (18 – 8) + 7] } : 13

27 + {14 + 3 x [100 : 10 + 7] } : 1327 + {14 + 3 x [10 + 7] } : 13

27 + {14 + 3 x 17 } : 1327 + {14 + 51} : 13

27 + 65 : 1327 + 5

32

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Então, o resultado da expressão:

27 + {14 + 3 x [100 : (18 – 4 x 2) + 7] } : 13 é 32.


Sugerem-se alguns problemas, que o professor pode traba-lhar em conjunto com os alunos.

Problemas

1. -nhos e 1 refrigerante. Quantos salgadinhos e refrigerantes

2. -de ao número inteiro -9 e o ponto F, ao inteiro -7

---A--B--C--D--E--F--G--H--I--J--K--L--M----9-7

Nessa recta, o ponto correspondente ao inteiro zero estará:

(A) sobre o ponto M.

(B) entre os pontos L e M.

(C) entre os pontos I e J.

(D) sobre o ponto J.

3. Numa loja de informática, Luba comprou um computador no valor de 222 000 kz, uma impressora por 80 000 kz e três cartuchos que custam 9000 kz cada um. Os objectos foram pagos em 5 parcelas iguais.O valor de cada parcela, em kwanzas, foi igual a:

(A) 41 400 (C) 62 200

(B) 49 400 (D) 65 800

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SUBTEMA 1.3 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS E NÚMEROS DECIMAIS


• Identificar a tabuada de 2 até 9;

• Calcular os produtos de números inteiros e decimais;

• Reconhecer as propriedades comutativa e associativa da multiplicação;

• Repetir mentalmente alguns cálculos;

• Arredondar números inteiros e números decimais;

• Reconhecer os critérios de arredondamento;

• Identificar uma potência;

• Calcular o valor de uma potência de expoente natural;

• Calcular os quocientes de números inteiros e números decimais;

• Reconhecer a identidade fundamental da divisão;

• Resolver problemas que envolvem a multiplicação e divisão de números inteiros e números decimais.

Conteúdos

• Estudo da tabuada de 2 até 9;

• Multiplicação de números inteiros e decimais;

• Propriedades comutativa e associativa da multiplicação;

• Cálculo mental. Arredondamento. Valor aproximado;

• Noção da potência;

• Divisão de números inteiros e decimais. Identidade fundamental da divisão;

• Multiplicação e divisão como operações inversas.

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Estudo da tabuada de 2 até 9

Sugere-se que o professor ao começar a falar sobre a tabua-da deve salientar aos alunos que a tabuada é um instrumento de apoio ao estudo da Matemática. É uma preciosa ajuda aos alunos no desenvolvimento da capacidade de resolução de pro-blemas e de raciocínio.

O professor deve começar o estudo sempre pela tabuada mais simples, e progressivamente ir avançando para a mais complexa.

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O professor deve recordar aos alunos que cada número mul-tiplicado por um número chama-se factor e o resultado da mul-tiplicação chama-se produto.

Multiplicação de números decimais e de números inteiros

A multiplicação de um número inteiro por um número deci-mal efectua-se multiplicando os números como se fossem inteiros. O produto tem tantas casas decimais como o número decimal.

Exemplos:

a) 23 x 23,75 = 546,25

b) 32,6 x 62 = 2021,2

O professor, ao começar a falar sobre a multiplicação de números inteiros e de números decimais, deve lembrar aos alu-nos que existem maneiras de se efectuar a multiplicação; isto é, multiplicação de um número inteiro por número inteiro, multi-plicação de número inteiro por número decimal e multiplicação de um número decimal por número decimal.

A operação de multiplicação é operada com dois factores e a multiplicação deles resulta num produto.

Exemplo: O Sr. Paulo vendeu 3 grades de gasosa e cada grade leva 24 garrafas. Quantas garrafas vendeu o Sr. Paulo?

Resolução: para saber o número de garrafas devemos fazer a operação seguinte:

24 x 3 = 72

24 factor x 3 factor

72 produto

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47

Seguidamente, propõe-se ao professor alguns exercícios para trabalhar com os alunos.

Exercícios

1. Calcula:a) 9 282 b) 26 348 c) 37 744

x 28 x 75 x 56 d) 53 700 e) 34 189 f) 46 372

x 176 x 238 x 149

2. A Dona Maria tece 0,3 metros de um tapete num dia. Calcula que parte do tapete estará pronta em três dias.

3 x 0,3 = 0,9

Resolução: 0,3 factor x 3 factor 0,9 produto

3. Calcula a multiplicação destes dois números decimais:

3,9 x 5,2 = 20,28

Resolução: 3,9 factor x 5,2 factor 7 8 + 1 9 5 2 0,2 8 produto

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Propriedades comutativa e associativa da multiplicação

Propriedade comutativa: a x b = b x a

Exemplo: 4 x 5 = 5 x 4 20 = 20

Se se trocar a ordem dos factores não se altera o resultado (produto).Propriedade associativa: (a x b) x c = a x (b x c)

Vejamos este exemplo: (7 x 4) x 5 = 4 x (5 x 7)

Para resolver este exemplo deve-se primeiro resolver a ope-ração que se encontra dentro de parênteses; logo temos:

(7 x 4) x 5 = 4 (5 x 7)28 x 5 = 4 x 35

140 = 140

140.

Cálculo mental. Arredondamento. Valor aproximado

O professor deve começar por explicar aos alunos que o cál-culo mental é uma operação aritmética feita de memória sem o auxílio de sinais escritos. O cálculo mental ajuda a compreender o sistema de numeração e as propriedades das operações.

Para garantir o sucesso dessa forma de calcular, é impres-cindível que os alunos saibam de memória alguns resultados de contas simples, como o dobro, o triplo, a metade e outras adições, subtracções, multiplicações e divisões.

Os primeiros contactos com o cálculo mental costumam acontecer no convívio com outros adultos, quando as crianças incorporam certas técnicas usadas por eles. Na escola, o cácu-lo mental precisa de ser sistematizado e valorizado como uma

prov

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49

Sugere-se que o professor comece por falar sobre o arredon-damento (valor aproximado), utilizando algum exemplo do quotidiano dos alunos como querer saber a altura de uma casa, a distância entre dois lugares, etc.

Como não se conhece as dimensões da casa ou a distância entre dois lugares, estima-se um valor aproximado da altura da casa ou a distância entre dois lugares. Para isso, normalmente arredonda-se os valores às dezenas, às centenas ou aos milhares.

O professor deve explicar aos alunos que se deve ter em atenção a posição do valor que se quer aproximar no intervalo dos números.

Se, por exemplo, a altura de uma casa é de 33 metros, o arredon-damento será feito por dezenas entre o valor que antecede o 33 (que no caso é o 30) até ao valor que vem a seguir na dezena (o 40).

Noção de potência

Sugere-se que o professor comece por explicar aos alunos que uma potência é um produto de factores iguais. Este produto de factores pode ser de números inteiros e de números decimais.

Ao número inteiro ou decimal dado chama-se base e ao número de vezes que se multiplica o número inteiro ou decimal chama-se expoente.

65 Expoente

Base

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

50

O professor pode dar o exemplo de cálculo do valor da seguinte potência:

34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 8134 = 81

Divisão de números inteiros e números decimais. Identidade fundamental da divisão

Sugere-se ao professor que antes de começar a falar sobre a divisão de números inteiros e números decimais, explique aos alunos que um número inteiro é um número que é escrito sem nenhuma vírgula e que um número decimal é um número que é escrito com vírgula.

Na operação de divisão de números inteiros e números deci-mais, os termos são:

Dividendo é o número que será dividido e geralmente é representado por D;

Divisor é o número que divide e geralmente é represen-tado por d.

Quociente é o resultado da divisão, que é representado por q.

Resto é a quantidade que sobra da divisão, que é repre-sentado por r.

A divisão, tal como o nome indica, é a operação de dividir.

O procedimento para realizar qualquer divisão é simples:

– procurar na tabuada do divisor uma boa aproximação para o dividendo. Esse número que se aproxima do dividendo deve ser menor ou igual a ele, mas nunca maior.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

51

Exemplo: para dividir 25 por 4, escrevemos 25 : 4 e procu-ramos na tabuada do 4 a melhor aproximação de 25. Como 4 x 6 = 24, então 6 é a aproximação considerada. O resultado da divisão de 25 por 4, portanto, é 6, e o resto dessa divisão é

25 4– 24 6

1

dividendo

divisorquocienteresto

Para realizar a divisão entre números decimais, é necessário que ambos tenham a mesma quantidade de números após a

até que se consiga igualar a quantidade de casas decimais. Feito isso, desconsidera-se as vírgulas e realiza-se a divisão.

Veja-se este exemplo:

Quando numa divisão o resto não é 0 e é um número intei-ro diz-se que é uma divisão inteira. Neste caso, o dividendo é igual ao produto entre o divisor e o quociente mais o resto.

2,5 0,05 2,50 0,05 250 5– 250 50

00

Multiplicação e divisão como operações inversas

Sugere-se ao professor que comece por explicar aos alunos os conceitos das duas operações que se vai estudar.

A multiplicação é uma das quatro operações aritméticas que consiste numa adição sucessiva de um número, produzindo um resultado que se chama produto.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

52

A divisão é uma das operações da aritmética que consiste na repartição de um número por outro. Na operação de divisão, o dividendo é como se designa o número a ser dividido, enquanto que o divisor é o número que divide o cálculo e o quociente é o resultado da operação.

A multiplicação é a operação inversa da divisão e a divisão é a operação inversa da multiplicação. Partindo desta explicação, o professor pode analisar este exemplo que envolve as duas ope-rações:

– Partindo do número 12, o que podemos fazer para chegar ao número 60?

12 x 5 = 60

Partindo agora do número 60, o que podemos fazer para vol-tar ao número 12?

60 : 5 = 12

Podemos entender que a divisão é a operação inversa da mul-tiplicação, e que a multiplicação é a operação inversa da divisão.

Se 12 x 5 = 60, então 60 : 5 = 12 ou 60 : 12 = 5


Sugere-se que o professor resolva problemas que estimulem a capacidade do raciocínio e cálculo dos alunos, utilizando as operações de multiplicação e divisão.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

53

Vejam-se alguns exemplos:

Problemas

1. O Adelmo retirou da sua quinta 320 laranjas na Segunda- -feira e na Terça-feira retirou o dobro das laranjas do dia anterior. Quantas laranjas foram retiradas na Terça-feira?

Resolução:Para saber a quantidade de laranjas retiradas nos dois dias é necessário multiplicar o número retirado na Segunda-feira por 2.

320 x 2 = 640

Resposta: Na Terça-feira foram retiradas 640 laranjas.

2. A dona Maria organizou uma festa com 186 convidados e encomendou 15 doces para cada convidado. Quantos doces a dona Maria encomendou?

Resolução:Para saber a quantidade total de doces encomendados é necessário multiplicar o total de convidados (186) pelo núme-ro de doces destinado a cada convidado (15)

186 x 15 = 2790

Resposta: A dona Maria encomendou 2790 doces.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

54

SUBTEMA 1.4 NÚMEROS RACIONAIS ABSOLUTOS


• Definir o número racional absoluto;

• Ler uma fracção;

• Escrever uma fracção;

• Representar graficamente uma fracção;

• Comparar fracções de igual denominador;

• Adicionar fracções de igual denominador;

• Subtrair fracções de igual denominador;

• Reconhecer intuitivamente os critérios de ampliação e simplificação de fracções;

• Identificar fracções equivalentes;

• Identificar uma fracção decimal.

Conteúdos

• Conceito de número racional e absoluto. Sua representação em forma de fracção;

• Escrita e leitura de fracções. Representação gráfica;

• Comparação de fracção de igual denominador;

• Adição e subtracção de igual denominador;

• Ampliação e simplificação de fracções;

• Fracções equivalentes;

• Fracções decimais.


Conceito de número racional e absoluto. Sua representação em forma de fracção

racional e o número absoluto.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

55

Denomina-se número racional ao quociente de dois núme-ros inteiros (divisor diferente de zero); ou seja, todo o número que pode ser colocado na forma fraccionária, em que o nume-rador e denominador são números inteiros.

Denomina-se valor absoluto ao valor próprio do algarismo, independentemente do lugar que ocupa no número.

Para se perceber devidamente o conceito de valor absoluto vamos analisar o número 257.

número 257 é o seguinte: o valor absoluto do 7 é 7; do 5 é 5; e do 2 é 2.

O número racional pode ser representado em forma de fracção.

4= 4 : 8

85

= 5 : 77

48

57

A fracção é considerada parte de um número inteiro, que foi dividido em partes exactamente iguais.

Escrita e leitura de fracções. Representação gráfica

Como sugestão, o professor pode começar por recordar aos alunos que a fracção é considerada parte de um número inteiro, que foi dividido em partes exactamente iguais. As fracções são escritas na forma de números e na forma de desenhos.

As fracções recebem nomes especiais quando os denomina-dores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, e múltiplos de 10, como, 100, 1000 e assim sucessivamente. A leitura deve ser feita da seguinte forma:

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

56

1lê-se um meio

2

1lê-se um quinto

5

1lê-se um décimo

10

1lê-se um milésimo

1000

1lê-se um centésimo

100

Quando os denominadores forem maiores que 10 e dife-

rentes de múltiplos de 10, deve ler-se o numerador seguido

exemplo seguinte.

2lê-se dois quinze avos

15

13lê-se treze dezanove avos

19

-vés de círculos, rectângulos, etc.

Lê-se um meio: 12

Lê-se três quartos: 34

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

57

Uma fracção tem os seguintes elementos: numerador, barra ou traço de fracção e denominador.

ab

numerador

barra ou traço de fracção

denominador

Comparação de fracção de igual denominador

Sugere-se que o professor comece por explicar aos alunos que para comparar duas ou mais fracções com igual denomina-dor basta que se compare os numeradores.

Observe-se os seguintes exemplos:

a)6

<9

(6 < 9)3 3

b)5

>3

(5 > 3)4 4

Adição e subtracção de igual denominador

Como sugestão, o professor pode começar por explicar aos alunos que para somar duas ou mais fracções com igual deno-minador ou fracções com denominador comum se deve manter os denominadores e somar os numeradores.

Para a subtracção de duas ou mais fracções com igual deno-minador ou fracções com denominador comum deve manter-se os denominadores e subtrair os numeradores.

Observem-se os seguintes exemplos.

a)2

+5

=2 + 5

=7

9 9 9 9b)

5–

1=

5 – 1=

43 3 3 3

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

58

Ampliação e simplificação de fracções

Sugere-se que o professor comece por explicar aos alunos que a ampliação de uma fracção consiste em aumentar ou acres-cer por meio da operação de multiplicação um mesmo número no numerador e denominador de uma fracção.

Veja-se o exemplo da seguinte fracção:

3 x 3=

94 x 3 12

O número 3 foi utilizado para acrescer o valor do numerador e do denominador.

Como sugestão, o professor deve explicar aos alunos que a

denominador através da divisão pelo máximo divisor comum aos dois números.

que os seus termos estão totalmente reduzidos a números que -

da sofre alteração do numerador e do denominador, mas o seu valor matemático não é alterado.

Vejam-se os exemplos:

a)8 : 2

=4 : 2

=2 : 2

=1

16 : 2 8 : 2 4 : 2 2

b)6 : 3

=2 : 2

=1

12 : 3 4 : 2 2

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

59

Fracções equivalentes

fracções equivalentes.

Denominam-se fracções equivalentes, as fracções que repre-sentam a mesma parte de um todo. Para encontrar fracções equivalentes, deve-se multiplicar o numerador e o denomina-dor por um mesmo número natural, diferente de zero.

Observe-se o seguinte exemplo com vista à obtenção de frac-ções equivalentes:

1 x 22 x 2

= 24

; 1 x 32 x 3

= 36

; 1 x 52 x 5

= 5

10

Portanto, as fracções 24

; 36

; 5

10 são fracções equivalentes

à fracção 12

.

Fracções decimais

Como proposta, o professor pode começar por explicar aos alunos que a fracção decimal é toda a fracção cujo denominador é uma potência positiva de base 10. A fracção decimal pode ser representada por um número decimal; isto é um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separadas por uma vírgula.

Vejam-se os exemplos:

a) 810

= 0,8 b) 6100

= 6102

= 0,06

A fracção pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte intei-ra e 8 é a parte decimal.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

60

Aqui observa-se que este número decimal é menor do que 1, porque o numerador é menor do que o denominador da fracção.

O mesmo acontece com a fracção 6

100 que pode ser escrita na

forma 0,06 onde 0 é a parte inteira e 06 é a parte decimal.

Aqui observa-se que este número é menor do que 1 porque o numerador é menor que o denominador da fracção.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

61

TEMA 2 GEOMETRIA 52 aulas


• Compreender as noções de rectas paralelas e de rectas perpendiculares;

• Conhecer os procedimentos para a construção de rectas paralelas e de rectas perpendiculares;

• Compreender as posições relativas de rectas e pontos;

• Conhecer os procedimentos para medição e construção de ângulos;

• Classificar ângulos, polígonos e poliedros;

• Dominar a planificação de prismas;

• Calcular perímetros, áreas e volumes.

SUBTEMA 2.1 RECTAS E LINHAS


• Traçar rectas paralelas e rectas perpendiculares;

• Estabelecer relação entre rectas e pontos;

• Identificar semi-recta e segmento de recta;

• Reconhecer a circunferência e o seu traçado;

• Reconhecer o círculo;

• Estabelecer a relação entre a circunferência e o círculo.

Conteúdos

• Noção de rectas paralelas. Construção de rectas paralelas;

• Rectas perpendiculares. Construção de rectas perpendiculares;

• Posições relativas entre ponto e recta;

• Semi-recta e segmento de recta;

• Circunferência e círculo.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

62


A Geometria trata das formas, das propriedades e das rela-ções espaciais.

Se observarmos à nossa volta, reparamos que na Natureza são produzidas e reproduzidas determinadas formas como, por exemplo, o globo que tem a forma de uma esfera; a pirâmide que tem as faces laterais triangulares, a colmeia de abelhas que tem as faces hexagonais.

Sugere-se ao professor que antes de inserir os conteúdos sobre noção de rectas paralelas, pode primeiramente rever as noções de recta, semi-recta, segmento de recta e circunferência.

Para a construção das rectas paralelas, o professor pode seguir os mesmos procedimentos que constam no Manual do aluno na página 74.

Para inserir a noção de rectas perpendiculares, o professor, com o auxílio da régua e do esquadro, deve traçar duas rectas b e a

b

a

b

a

Estas rectas, a e b, denominam-se rectas perpendiculares porque dividem o plano em quatro partes congruentes.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

63

O professor pode propor exercícios como o exemplo que se segue.

Exercícios

1. Com auxílio de uma régua e de um esquadro traça rectas

2.verdadeiras:

a bd c

e

a e b são rectas perpendiculares.

c e d são rectas perpendiculares à recta e.

c e e são rectas perpendiculares.

O professor pode propor outros exercícios da sua preferência.

Para o tratamento sobre as posições relativas entre pontos e recta, e uma vez que os alunos já têm noções de rectas estuda-das nas classes anteriores, sugere-se que o professor oriente os alunos com o auxílio da régua e o esquadro para traçar:

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

64

• Rectas com um só ponto comum: chamam-se rectas con-correntes.

P

s r

• Duas rectas m e n que têm todos os pontos comuns: cha-mam-se rectas paralelas coincidentes, por exemplo:

m

n

Quanto ao tratamento do conteúdo sobre a semi-recta e seg-mento de recta sugere-se que o professor oriente exercícios

-ta e o segmento de recta, relembrando as noções já aprendidas anteriormente.

Em relação à circunferência e ao círculo, o professor deve relembrar os alunos que a relação entre o círculo e a circunfe-

-cas planas que se diferenciam apenas pelo facto do círculo ser limitado pela circunferência e a circunferência é um conjunto de

-tro) tem a mesma distância «r» que se chama raio ou diâmetro e o ponto C.

O professor pode orientar aos alunos no procedimento seguinte:

• Para traçar uma circunferência usa-se a régua e o compas-so. Neste caso, a régua serve para medir o comprimento do raio e o compasso para traçar a circunferência.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

65

• -da do raio, abrindo o compasso directamente.

raio

circunferência

círcu

lo

Para estes conteúdos, o professor pode orientar os alunos

para a resolução de exercícios do Manual do aluno, do Caderno de actividades ou outros ao seu critério.

SUBTEMA 2.2 ÂNGULOS


• Reconhecer o ângulo;

• Medir as amplitudes dos ângulos;

• Construir ângulos;

• Classificar ângulos.

Conteúdos

• Noção de ângulo;

• Medição de ângulos;

• Construção de ângulos;

• Classificação de ângulos.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

66


Noção de ângulo

Sugere-se ao professor que pode iniciar o conteúdo sobre noção de ângulo, relembrando os conceitos de forma intuitiva, usando por exemplo os ponteiros do relógio.

O professor deve orientar os alunos para a observação dos ponteiros do relógio para levar os alunos a concluir que cada mudança de minuto e horas forma um ângulo entre si, assim como forma um ângulo diferente, conforme se pode observar nos relógios representados abaixo.

traçar um ângulo:

• Marca um ponto V;

• Traça duas semi-rectas, com a mesma origem no ponto V, e

V

A

B

Ângulo

Vértice

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

67

Assim, um ângulo é formado por duas semi-rectas com a mesma origem.

A abertura é denominada de amplitude do ângulo e refere-se ao tamanho.

pelas semi-rectas que passam, respectivamente, por V e A e por V e B, sendo o vértice desse ângulo o ponto V.

Este ângulo é chamado AV̂B, e o sinal em cima da letra V̂ indi-ca o vértice do ângulo.

Nota: para designar quer o vértice quer o ângulo, podem ser usadas outras letras.

O ângulo é a porção de plano limitada por duas semi-rectas que têm a mesma origem.

Medição de ângulos

Para a abordagem do conteúdo sobre a medição de ângulos, o professor pode explicar aos alunos que a régua não serve para medir a abertura de um ângulo, porque para medir a amplitu-

transferidor.

O professor deve explicar aos alunos que os ângulos são

medidos em graus (º) como unidade de medida de acordo com o Sistema Internacional.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

68

Para medir o ângulo, o professor explica aos alunos:

1.º PassoColocar o transferidor com o centro coincidente com o vértice

do ângulo e a linha do zero sobre a semi-recta já desenhada.

2.º PassoLer a escala, cujo zero se encontra sobre a semi-recta, a ampli-

tude de 120° e assinalar com uma marca (°).

3.º PassoRetirar o transferidor.

4.º PassoUnir a marca com o vértice V.

É importante, que o professor explique aos alunos que:

– A amplitude de um ângulo é a abertura entre duas semi--rectas;

V

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

69

Construção de ângulos

Sugere-se ao professor que aplique o procedimento para a medição do ângulo, conforme se explica no seguinte exemplo:

1.º PassoConstruir, no quadro, um ângulo de 80°, com o auxílio do

transferidor.

2.º PassoTraçar uma semi-recta (esta semi-recta será um dos lados do

ângulo) e assinalar o vértice V.

V

3.º PassoColocar o transferidor com o centro coincidente com o vértice

do ângulo e a linha do zero sobre a semi-recta já desenhada.

V

4.º PassoLer na escala, cujo zero se encontra sobre a semi-recta, a

amplitude de 80° e assinalar com uma marca (°).

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

70

5.º PassoRetirar o transferidor. Unir a marca com o vértice V.

VA

B

80o

Classificação de ângulos

aos alunos que em relação às suas medidas (dos ângulos) tem- -se como comparação o ângulo recto.

apresenta.

Ângulo recto: é um ângulo cuja medida é de 90° (os seus lados estão localizados em rectas perpendiculares).

Ângulo agudo: é um ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°.

A

A

V

V

B

B

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

71

Ângulo obtuso: é um ângulo cuja medida é maior que 90° e menor que 180°.

Ângulo raso: é um ângulo que mede 180º (os seus lados são semi-rectas opostas).

Ângulo giro (ou ângulo completo): é um ângulo que mede 360°.

Para os alunos praticarem os conteúdos tratados, o professor pode orientar na realização dos exercícios práticos que constam no Manual do aluno ou no Caderno de actividades.

SUBTEMA 2.3 POLÍGONOS


• Reconhecer o polígono;

• Classificar polígonos;

• Reconhecer o paralelogramo;

• Classificar paralelogramos.

Conteúdos

• Noção de polígono;

• Classificação de polígonos;

• Noção de paralelogramo;

• Classificação de paralelogramos.

A

A

V

V

V A B

B

B

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

72


Sugerimos ao professor, que comece esta abordagem da noção de polígonos, construindo com os alunos o conceito de «linha poligonal»: linha poligonal é uma linha fechada, consti-tuída por segmentos de recta que não se cruzam.

Seguidamente, o professor deverá explicar o conceito de «polígonopoligonal fechada.

Exemplos de polígonos:

Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono

Exemplos de não polígonos:

polígonos, como o exemplo que se propõe no quadro seguinte.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

73

Número de lados Designação Polígonos

Regulares Irregulares

3 lados Triângulo

4 lados Quadrilátero

5 lados Pentágono

6 lados Hexágono

de lados.

Um polígono que possui três lados é um triângulo; com qua-tro lados é um quadrilátero; com cinco lados é um pentágono e assim sucessivamente.

-priedades especiais desses polígonos que os diferem entre si.

Os paralelogramosespeciais, que está incluída no grupo dos quadriláteros.

Desta forma, para ser paralelogramo, o polígono deve ser um -

ro que possui lados opostos paralelos é chamado paralelogramo.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

74

3

3

3 3

33

3 3

D C

BA

Paralelogramo D C

BAExemplo de um paralelogramo.

Desde que o lado AD seja paralelo ao lado BC e o lado AB seja -

do um paralelogramo, propriamente dito.

Rectângulo

Exemplo de um rectângulo.

-nem como paralelogramo, ainda possui todos os ângulos iguais (todos os seus ângulos medem 90°). É por esse motivo que se designa rectângulo; o ângulo de 90º chama-se ângulo recto.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

75

Losango3

33

3

Exemplo de losango.

Os losangos são polígonos que, além de terem lados opostos paralelos, possuem todos os lados congruentes, ou seja, todos os lados de um losango têm a mesma medida.

Quadrado3

3

3 3

Exemplo de quadrado.

Os quadrados são polígonos que reúnem simultaneamente as características do losango e do rectângulo; isto é:

– possuem lados opostos paralelos (e, por isso, são chama-dos de paralelogramos);

– possuem todos os ângulos iguais a 90° (e, por isso, são cha-mados de rectângulos);

– possuem todos os lados congruentes (e, por isso são cha-mados de losangos).

Dessa forma, é correcto dizer-se que:

– qualquer rectângulo é também um paralelogramo;

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

76

– qualquer losango é também um paralelogramo;

– qualquer quadrado é também um paralelogramo;

– qualquer quadrado é também um rectângulo;

– qualquer quadrado é também um losango;

– qualquer rectângulo que é losango é também um quadrado.

– qualquer paralelogramo é quadrado, rectângulo ou losango;

– qualquer rectângulo ou losango é também um quadrado.

Para isso propõe-se a realização de actividades apresentadas no Caderno de actividades.

SUBTEMA 2.4 POLIEDROS


• Reconhecer os poliedros;

• Classificar os poliedros;

• Identificar prisma, cubo e pirâmide;

• Reconhecer as planificações de prisma, cubo e pirâmide.

Conteúdos

• Noção de poliedros. Classificação;

• Prismas. Elementos e propriedades. Planificação;

• Cubo. Elementos e propriedades. Planificação;

• Pirâmide. Elementos e propriedades. Planificação.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

77


Sugerimos ao professor que antes de começar a abordagem deste subtema, crie as bases sobre os polígonos, que serão indispensáveis para a criação do conceito «poliedros».

Poderá começar com actividades de observação dos seguin-tes sólidos geométricos:

Pirâmidetriangular

Pirâmidequadrangular

Pirâmidepentagonal

Pirâmidehexagonal

Prismatriangular

Prismaquadrangular

Prismapentagonal

Prismahexagonal

Estes sólidos têm características especiais, pois nas suas faces existem polígonos (rectângulos, triângulos, quadrados, e pentágonos, por exemplo).

Com estas características pode construir-se o conceito de poliedro: «um sólido geométrico limitado apenas por polígonos».

No presente estudo, apenas vão ser considerados três tipos de poliedros: prisma, cubo e pirâmide.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

78

Prisma

aresta lateral

altura

face lateral

base

base aresta de base

-rá pedir aos alunos para descreverem os elementos que estão a observar. Assim, o prisma é constituído por: base, altura, face lateral, arestas e vértices.

Observem-se algumas propriedades dos prismas.

Prismas N.º de lados dos polígonos de base Arestas Vértices Faces

Triangular

3 9 6 5

Quadrangular

4 12 8 6

Pentagonal

5 15 10 7

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

79

-nos que tragam cartolinas, tesouras e outros materiais para a pla-

Base

Base

h

S

S

CuboAs mesmas sugestões do prisma serão válidas para o cubo.

Base

Base

Facelateral Aresta lateral

Aresta da base

Vértice

com os alunos, os elementos do cubo.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

80

-

prisma.

Pirâmide-

dades exploratórias para enumerar os elementos de uma pirâ-mide.

Base

Face lateral

Aresta da base

Vértice da pirâmideV

ApótemaAlturaAresta lateral

-

do prisma.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

81

SUBTEMA 2.5 PERÍMETRO, ÁREA E VOLUME


• Reconhecer os procedimentos para o cálculo de perímetro de polígonos e de circunferência;

• Reconhecer as regras para o cálculo de áreas de rectângulo e de quadrado;

• Reconhecer as regras para o cálculo de volumes de paralelepípedo e de cubo.

Conteúdos

• Perímetro de triângulo, pentágono e hexágono;

• Perímetro de rectângulo e de quadrado;

• Perímetro (comprimento) da circunferência;

• Área de rectângulo e de quadrado;

• Volume de paralelepípedo e de cubo.


Perímetro de triângulo, pentágono e hexágono

O professor deve explicar aos alunos que, regra geral, o perí--

mos os seguintes exemplos.

prov

a fin

al

Texto

Edi

tore

s

82

– para o triângulo:

SS

S

Como o triângulo tem três lados, então o seu perímetro será:

P = l + l + l ou P = 3 x l

– para o pentágono:

S

S

S

S

S

Como o pentágono tem cinco lados, o seu perímetro será:

P = l + l + l + l + l ou seja P = 5 x l

– para o hexágono:

S

S

S

S

S

S

Para o hexágono o seu perímetro será:

P = l + l + l + l + l + l ou P = 6 x l

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Como o perímetro de um círculo é a circunferência que o limita existe um procedimento diferente para o cálculo do perímetro,

raio

circunferência

círcu

lo

O perímetro pode ser calculado de dois modos:Multiplicando a metade do seu diâmetro por π (que é um

número constante) ou multiplicando a medida do raio por 2 vezes o valor de π.

P = d x π ou P = 2 x π x r

Sugere-se ao professor que, juntamente com os alunos, explore as actividades apresentadas no Caderno de actividades.

Área de rectângulo e de quadrado

Neste tema, é necessário que o professor apresente em primei-ro lugar as fórmulas e só depois passe para a realização de activi-dades, que envolvem o cálculo de áreas de quadrado e rectângulo.

S

h

b

A = b × hS

A = S × S

O professor deve realizar exercícios que conduzam ao cálculo de áreas do quadrado e do rectângulo.

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Volume do cubo e do paralelepípedo

O professor deve explicar aos alunos que se calcula o volume do cubo através da fórmula seguinte.

V cubo = aresta x aresta x arestaV cubo = a3

a

a

a

V = a x a x aV = a3

Em relação ao cálculo do volume do paralelepípedo, o pro-fessor deve expor a seguinte fórmula aos alunos:

V paralelepípedo = comprimento x largura x altura.V paralelepípedo = c x l x h

comprimento (c)

altura (h)

largura (l)

V = c × l × h

Com estas fórmulas, o professor deve propor a realização de actividades da sua autoria ou os exercícios que constam do Caderno de actividades.

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TEMA 3 NOÇÃO DE ESTATÍSTICA 20 aulas


• Recolher e organizar dados;

• Indicar a frequência de um acontecimento;

• Construir tabelas de frequência e gráficos de barras;

• Ler e interpretar informação dada por tabelas, gráficos de barras e pictogramas.

SUBTEMA 3.1 INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA

SUBTEMA 3.2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Objectivos específicos dos Subtemas 3.1 e 3.2

• Recolher e organizar dados;

• Indicar a frequência de um acontecimento;

• Construir tabelas de frequência e gráficos de barras;

• Ler informações a partir de tabelas, gráficos de barras e pictogramas;

• Interpretar informações a partir de tabelas, gráficos de barras e pictogramas.

Conteúdos do Subtema 3.1

• Breve historial sobre estatística;

• Recolha e organização de dados;

• Noção de frequência. Tabelas de frequência;

• Gráficos de barras. Pictogramas.

Conteúdos do Subtema 3.2

• Média aritmética;

• Moda;

• Mediana.

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A Estatística é um conteúdo novo para os alunos da 5.ª Classe. Apoiando-se no Programa e no Manual do aluno, o professor

-cado, o surgimento e a importância da estatística na sociedade.

O professor poderá apresentar como exemplo o censo popu-lacional ocorrido em 2014, que pode ser uma referência para os

das populações.

A recolha e a organização de dados constituem o tipo de acti-vidades que o professor organiza na sala com casos do dia-a-dia (idade dos alunos numa turma, as doenças frequentes regista-

entre outros exemplos).

O professor deve começar com a construção de uma tabela com uma sequência baseada na ordem dos acontecimentos ou do registo, tal como é apresentado no Manual do aluno (páginas 120 e 121), sobre as idades dos alunos de uma turma. Na referi-da tabela, os números não estão ordenados; ou seja, os alunos foram anotando as idades à medida que faziam o inquérito.

Quanto à tabela de frequência, o professor deve chamar a atenção aos alunos que a mesma exige regra ou ordem. Há alguns aspectos importantes a reter:

• os dados devem ser apresentados na ordem crescente;

• cada dado deve relacionar-se ao número de vezes que foi registado ou observado;

• o número de vezes que um dado é observado, chama-se frequência;

• a tabela que fornece essas informações chama-se tabela de frequência.

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O professor, tomando como exemplo o apresentado no Manual do aluno (páginas 120 e 121), deve orientar a turma para a organização e análise dos dados recolhidos, através da realização de uma tabela.

Para a elaboração da tabela, o professor pode começar por pedir aos alunos que contem os colegas de turma que têm 9, 10, 11, 12 e 13 anos, registando-se os dados.

Dados:Ana – 10Carmen – 11Rui – 10Marina –13Ricardo – 11Amélia – 11José – 13Joana – 11Francisco – 10Alda – 9

Pedro – 9Alberto – 12Anabela – 11Belmiro – 12Duarte –13Isabel – 12Suzete – 11Filomena – 12Manuela – 12Lurdes – 10

João – 11André – 10Jaime – 13Inês – 11António – 12Paulo – 10Vera – 9Fernando – 11Márcia – 13

Tabela:Após terem sido recolhidos os dados; e à medida que se vai

construindo a tabela, o professor pode ir questionando os alu-nos. Por exemplo:

– Na turma existem 3 alunos com 9 anos e 6 alunos com 10 anos. Quantos alunos com 11, 12 e 13 anos existem na turma?

Idades Número de alunos

9 anos 3

10 anos 6

11 anos

12 anos

13 anos

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Observações:

• «9 anos de idade» é um dado, é um acontecimento, tal como «10, 11, 12 e 13 anos de idade». Ou seja, é um dado que no referido exemplo representa a existência de alunos com 9 anos, 10 anos, 11 anos, 12 anos e 13 anos de idade. É um acontecimento, na medida em que foram regista-dos estes dados.

• Os números 3, 6, .... são frequências das respectivas idades.

• Nota: O professor pode propor outras situações em que os alunos vão simulando a recolha, a organização de dados e a construção de tabelas de frequência.

O professor deve apresentar outra maneira de organizar e interpretar dados: os e os pictogramas. É importante chamar a atenção aos alunos sobre o rigor que deve ser observado, em relação às medidas, na construção de

e interpretação dos dados.

Um pictograma é a forma abreviada de apresentar os dados quando os números são maiores.

O exemplo apresentado no Manual do aluno (páginas 121 e 122) ilustra a venda de televisores por uma empresa: cada tele-visor no pictograma representa 5 televisores. Esta regra facilita a leitura, dadas as quantidades que foram comercializadas.

em duas vertentes:

a) construção a partir de dados fornecidos;

pictogramas.

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Para o efeito, o professor deve ajudar os alunos a utilizar a linguagem correspondente, como se apresenta nos exemplos:

– na turma há 6 alunos com 10 anos de idade;

– a maioria dos alunos da turma tem mais de10 anos de idade;

– na turma não existe nenhum aluno com menos de 9 anos;

– Abril foi o mês em que se venderam poucos televisores.

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90

4. Planificação de um Tema

-damente um exemplo relacionado com o Tema 3: «Noção de Estatística».

Objectivos Gerais

Objectivos Temas/ /Conteúdos

Tempos lectivos Avaliação

- Recolher e organizar dados.

- Indicar a frequência de um acontecimento.

- Construir tabelas de frequência e

- Ler e interpretar informação dada por tabelas,

e pictogramas.

- Recolher e organizar dados.

3.1 Introdução à Estatística

- Recolha e organização de dados.

6 2

- Indicar a frequência de um acontecimento.- Construir tabelas de frequência.

- Noção de frequência.

- Tabelas de frequência.

6 2

de barras e pictogramas.- Ler informações a partir de tabelas,

e pictogramas.- Interpretar informações a partir de tabelas,

e pictogramas.

barras.

- Pictogramas.

8 4

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5. Avaliação

A avaliação ao serviço das aprendizagens na disciplina de Matemática deve basear-se nas seguintes vertentes:

• Poder da Matemática;

• Resolução de problemas;

• Comunicação;

• Raciocínio;

• Conceitos matemáticos;

• Procedimentos matemáticos.

No entanto, as práticas de avaliação dos alunos e dos pro-gramas deverão ir mudando com o currículo, obedecendo às seguintes normas:

• A avaliação dos alunos deverá ser parte integrante em todo o processo de ensino-aprendizagem;

• A utilização de múltiplos meios de avaliação; interligações;

• Avaliação de todos os aspectos do conhecimento matemá-tico;

• Avaliação dos alunos naquilo que sabem e naquilo que pen-sam sobre Matemática;

• Uso de várias técnicas de avaliação, incluindo formas escritas e orais.

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Em geral, num contexto de ensino que exige uma compreen-são mais profunda da Matemática, os instrumentos de avalia-

já não bastam.

-ce e a intenção do nosso programa de ensino; ou seja, que os alunos resolvam problemas, raciocinem e comuniquem.

Os instrumentos devem ajudar o professor a compreender as percepções de ideias e processos matemáticos dos alunos e a sua capacidade para funcionar num contexto matemático,

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Referências bibliográficas

Afonso, Manuel; A Avaliação das Aprendizagens e os Novos Sistemas de Avaliação; INIDE 2004.

Afonso, Manuel, e Mfuamsuaka, José Kiala; Guia Metodológico para Avaliação das Aprendizagens; INIDE 2004.

INIDE/Ministério da Educação da República de Angola; O Meu Livro de Matemática – Manual do Aluno 5.ª Classe; INIDE 2003.

INIDE/Ministério da Educação da República de Angola; Progra-ma de Matemática 5.ª Classe do Ensino de Primário – Reforma Educativa.

Nérice, Imídeo Giuseppe; Introdução à Didática Geral; Volume 2;

Santos, Maria Emília Brederode; Os Aprendizes de Pigmaleão; Instituto de Estudos para o Desenvolvimento.

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Notas

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