HOMOLOGA

Conceptos bsicos El conjunto de rectas o rayos del espacio que pasan por un punto C (centro de proyeccin) se denomina radiacin de rectas.

Proyectar un punto sobre un plano es trazar una recta que, con origen en el centro de proyeccin y pasando por el punto, llegue hasta el plano. Proyectar una figura supone proyectar cada uno de sus vrtices y aristas.

Si el centro de proyeccin es propio, la proyeccin se denomina central o cnica:

Si el centro de proyeccin es impropio, los rayos son paralelos, y la proyeccin se denomina cilndrica o paralela:

Un caso particular de la proyeccin cilndrica es la ortogonal, en la cual los rayos son perpendiculares al plano de proyeccin:

Las vistas llamadas perspectivas son en realidad proyecciones de figuras tridimensionales sobre un plano que es papel. Dependiendo de donde se tome el centro de proyeccin se obtendr una perspectiva de diferente tipo.

Seccin es el conjunto de puntos que se obtienen como interseccin de dos formas: La interseccin de dos rectas (si se cortan) es un punto. La interseccin de una recta y un plano (si se cortan) es un punto. La interseccin de dos planos (si se cortan) es una recta.

Homologa espacial Definicin

Si suponemos una proyeccin cnica y una serie de rayos que parten desde un centro de proyeccin (radiacin), al cortar sta por un plano se obtiene una figura. Si cortamos por un segundo plano, obtenemos una figura que guarda relacin de Homologa con la primera.

La Homologa es una relacin geomtrica espacial que relaciona figuras planas mediante las siguiente propiedades: Los puntos homlogos estn alineados con un fijo llamado centro de la homologa (el centro de proyeccin). Las rectas homlogas se cortan en un punto de una recta fija llamada eje de la homologa. Esta recta es la interseccin de los dos planos que contienen a las figuras homlogas.

Elementos de la Homologa

En la figura se observa una homologa espacial de perfil, para que se distingan mejor sus elementos caractersticos:

C es el centro de la Homologa. Como ya se ha mencionado, el eje (en la figura aparece como un punto) es la recta interseccin de los dos planos alfa y beta, en los que estn las dos figuras homolgas. El plano paralelo al plano beta que pasa por C corta al plano alfa en la recta L. Los puntos homlogos de esta recta estn en el infinito, por lo que se la denomina como recta lmite. El plano paralelo al plano alfa que pasa por C corta al plano beta en la recta K. Los puntos homlogos de esta recta tambin son impropios, por lo que tambin es una recta lmite. O sea, L es la recta del plano alfa cuyos homlogos son impropios, y K es la recta del plano beta cuyos homlogos estn en el infinito, por lo que a ambas se les llama rectas lmites (ambs aparecen como un punto en la figura). A las rectas lmites tambin se les identifica como RL y RL'. La caracterstica de la Homologa es un parmetro de la misma, igual a la razn doble de la cuaterna formada por dos puntos homlogos A-A', el centro de la homologa C y el punto de corte de la recta A-A' con el eje.

Casos particulares de la Homologa Una homologa en el espacio puede presentar los siguientes casos: Caso general Los planos alfa y beta se cortan (el eje es propio) El centro de la homologa es propio Las rectas lmites son propias

Afinidad espacial Los planos alfa y beta se cortan (el eje es propio) El centro de la homologa es impropio (direccin de la afinidad) Las rectas lmites son impropias

Homotecia Espacial Los planos alfa y beta no se cortan (el eje es impropio) El centro de la homologa es propio (centro de la homotecia) Las rectas lmites son impropias

Traslacin espacial Los planos alfa y beta no se cortan (el eje es impropio) El centro de la homologa es impropio (direccin de traslacin) Las rectas lmites son impropias

Simetra Central Espacial Los planos alfa y beta no se cortan (el eje es impropio) El centro de la homologa es propio, y se encuentra entre ambos planos (centro de simetra) Las rectas lmites son impropias

Teorema de las Tres homologas

Si dos figuras F1 y F2 son homlogas de una figura original F en homologas del mismo eje y distintos centros O1 y O2, dichas figuras son homlogas entre s, mediante otra homologa del mismo eje y con centro O, alineado con O1 y O2.

Homologa Plana Paso de Homologa Espacial a Homologa Plana

Dos figuras homlogas en el espacio, situadas en dos planos alfa y beta, pueden pasar a ser figuras homlogas en un mismo plano por distintos procedimientos.

Este paso de figuras homlogas en el espacio a figuras homlogas en el plano tiene una muy importate aplicacin en los sistemas de representacin que van a estudiarse.

Para comprender este paso, veamos el siguiente esquema de una homologa espacial, vista de perfil (de los planos de proyeccin aparecen sus trazas):

El plano alfa contiene a la figura F1 El plano beta contiene a la figura F2 El eje de la homologa es E Las rectas lmites son RL1 y RL2 Definimos una proyeccin cilndrica sobre nuestro plano de dibujo, segn la direccin especificada. Segn esa proyeccin, obtenemos sobre el plano los diferentes elementos proyectados: Figuras F1' y F2', rectas lmites RL1' y RL2', eje E' y centro de homologa O'.

Los elementos proyectados siguen cumpliendo las propiedades de la homologa: Los vrtices de las figuras F1' y F2' estn alieandos con O', y sus aristas se cortan en un punto del eje E'.

Homologa Plana

Visto lo anterior, definimos la Homologa plana como la transformacin geomtrica plana biunvoca que relaciona figuras homlogas en un mismo plano mediante las siguientes propiedades: Los puntos homlogos esn alineados con un punto fijo llamado centro de la homologa. Las rectas homlogas se cortan en un punto de una recta fija llamada eje de la homologa.

Las definiciones de rectas lmites y de caracterstica de la homologa son las mismas que en la homologa espacial: Las rectas lmites son los lugares geomtricos de los puntos cuyos homlogos son impropios. La caracterstica de la homologa es la razn doble entre el vrtice, dos puntos homlogos y el corte de la recta que une a los tres con el eje.: K = [ CA * (A)A' ] / [ CA' * (A)A ]Los elementos identificativos de la homologa plana son los mismos que los de la homologa espacial: El centro de la homologa El eje de la homologa Las rectas lmites La constante o caracterstica

Teorema de Steiner

El Toerema de Steiner dice que dadas dos figuras homlogas en dos planos alfa y beta, si abatimos un plano sobre el otro girando alrededor del eje, y abatimos el centro de homologa y la recta lmite del plano abatido alrededor de la recta lmite del plano fijo, obtenemos una homologa plana equivalente a la espacial original:

Rectas Lmites

Para encontrar las rectas lmites, conociendo centro y eje y un par de puntos homlogos, actuamos de la siguiente forma: Tomamos un punto cualquiera B y trazamos la recta AB, encontrando tambin su homloga A'B'. Trazamos la paralela por O a A'B'. Si prolongamos AB obtenemos en esa recta el punto M. El homlogo de M, M', ser impropio (ya que OM es paralela a A'B'). As que M pertenece a la primera recta lmite RL. Como se ha visto en las figuras anteriores, ambas rectas lmites son paralelas al eje, as que RL es la paralela al eje que pasa por M. Para encontrar la otra recta lmite, repetimos la operacin con la recta homloga: Trazamos la paralela a O por AB. Si prolongamos A'B' obtenemos sobre esa recta el punto N'. El homlogo de N', N, es impropio (ya que ON' es paralela a AB). As que N' pertenece a la seguna recta lmite RL', que tambin es paralela al eje.

Puede observarse en la izquiera de la figura que la distancia desde el centro de homologa hasta la primera recta lmite es la misma que desde la segunda recta lmite al eje.

Adems, se cumple que o bien ambas rectas lmites son interiores a la distancia O-Eje o bien ambas son exteriores.

Otras propiedades de la Homologa

Al igual que ocurre con la afinidad (la afinidad es un caso especial de homologa) en la transformacin homolgica se conservan las tangencias, esto es, la homloga de una tangente r a una cnica en un punto P es una tangente r' a la cnica homloga, tangente a ella en P', homlogo de P.

En la transformacin homolgica se conservan las polaridades, propiedad que se aprovecha para la resolucin de transformaciones de circunferencias en cnicas, como se ver ms adelante.

En el Sistema Didrico, veremos que existe relacin de homologa entre la seccin obtenida mediante un corte en un prisma o cilindro (afinidad espacial) o en un cono o pirmide (homologa espacial) y su base.

El concepto y las construcciones de homologa espacial y plana tambin son usados en la representacin de sombras y, sobre todo, en los sistemas de representacin perspectivos (de hecho, dos figuras homlogas tambin se denominan figuras perspectivas).

Construcciones Para definir una homologa plana, nos deben proporcionar los elementos mnimos que nos permitan obtener el centro, el eje y un par de puntos homlogos, lo que despus posibilitar el hallar los homlogos del resto de los elementos de la figura.

En los ejemplos siguientes se describen los procedimientos y las construcciones necesarios para ello, y se muestran algunos ejemplos de aplicacin.

Homloga de una recta r, dados el centro O, el Eje y RL'. Trazamos la paralela a r por O. Esta recta corta a RL' en M', tal que M es un punto impropio de r. Como r y r' deben cortarse en el eje, unimos P' (corte de de r y r' con el eje) con M' para obtener la solucin.

Homlogo de un punto A, dado el centro O, el Eje y RL'. Sabemos que A' debe estar en la recta O-A. Tomamos un punto doble cualquiera del eje P-P' y trazamos la recta A-P, en la cual estar M impropio, homlogo de M'. Uniendo M' co nP' obtenemos A'.

Homloga de una recta r paralela al eje, dado el centro O, el Eje y RL'. Como r es paralela al eje, r' tambin lo ser (se cortan en un punto impropio del eje). Tomamos un punto A en r y una recta AP (P es punto doble del eje). La homloga de AP, A'P' (ver mtodos anteriores) proporciona A en la recta que une O con A.

Encontrar las rectas lmites, dado el centro O, el Eje y dos puntos homlogos A-A'. Tomamos una recta AP cuya homloga es A'P'. La paralela a A'P' por O corta a AP en M, perteneciente a RL. La otra recta limite RL' puede obtenerse por distancias.

Encontrar las rectas lmites, dado el centro O, el Eje y dos rectas homlogas r-r'. La construccin es idntica a la anterior. La paralela a una recta por el centro de homologa corta a la otra en un punto de la recta lmite. Encontrar los elementos de la homologa si dan tres pares de puntos homlogos A-A', B-B' y C-C'. Para encontrar el eje, basta con prolongar dos lineas y sus homlogas hasta que se corten (en la figura, AB y AD). Para encontrar el ceto, hay que unir dos pares de puntos homlogos (en la figura, A-A' y B-B') Para encontrar RL, hemos trazado por C la paralela a A'D' y la hemos cortado con AD. Para encontrar RL', hemos trazado por C la paralela a AD y la hemos cortado con A'D'.-.

Homologa de un Polgono Para hallar el homlogo de un polgono, basta aplicar las propiedades de la homologa plana a sus vrtices y aristas. Los siguientes ejemplos son ilustrativos. Encontrar el homlogo del polgono de 5 lados siguiente (como dato se proporcionan el eje, el centro y par de puntos homlogos):

Encontrar la homologa que convierte el polgono ABCD en un cuadrado (no se dan otros datos): Si los lados de la figura final sern paralelos, se cortarn en un punto impropio; o sea, los puntos de corte de los lados (dos a dos) en la figura original estn en la recta lmite. Con esto obtenemos RL. El centro de homologa ha de ser un punto desde el cual se vean los lados y las diagonales de la figura final formando entre ellos ngulos rectos. Trazamos el arco capaz de 90 del segmento 1-2 y del 1-3, y donde corten se encuentra el cetro de la homologa. Los segmentos O-1 y O-2, perpendiculares, marcarn las direcciones de los lados, y los segmentos O-3 y O-4 las de las diagonales (estos ltimos no sehan dibujado). Por ltimo, elegimos un eje arbitrario paralelo a la RL encontrada y hallamos los homlogos de A, B, C y D.

En cualquier caso, hay que tener en cuenta que si la recta lmite toca o corta a la figura, la homloga tendr puntos en el infinito, as que la figura resultante no ser cerrada: Si la recta lmite toca a la figura en un nico punto (vrtice), la figura homloga ser abierta, con un vrtice impropio. Si la recta lmite corta a la figura dividindola en dos partes, la figura final tendra tambin dos partes, cada ua de ellas con tantos puntos impropios como puntos de contacto tenga la figura con la recta lmite.Como ejemplo, veamos el homlogo de un tringulo cortado por la RL: Prolongamos BA hasta llegar a N en el eje. Igualmente, prolongamos CA hasta dar M. Como Q est en RL, Q' es impropio. MQ' es la paralela a OQ por M. Como P est en RL, P' es impropio. NP' es la paralela a OP por N. El corte de MQ' y MP' es A'. Para hallar C' prolongamos OC hasta tocar a A'C' (que es MA'). Para hallar B' prolongamos OB hasta tocar a A'B' (que es NA'). Obtenemos dos figuras abiertas. Las aristas AB y AC se abren con dos puntos impropios cada una, que se corresponden con P' y Q', los homlogos de los puntos de corte de la figura con la recta lmite.

Homologa de una circunferencia La homloga de una circunferencia siempre es una curva cnica, pudiendo presentarse difeentes casos, segun la relacin de la curva con la recta lmite.

En cualquier caso, el centro de la circunferencia no se convierte en cento de la cnica. En una homologa se mantienen las correlaciones de polaridad. Como consecuencia, los homlogos de dos rectas conjugadas de la circunferencia se convertirn en dimetros conjugados de la cnica.

El punto que se va a convertir en centro de la cnica es el polo de la recta lmite RL con respecto a la circunferencia (ver los ejemplos): Si la primera recta lmite no corta a la curva, su homloga es una elipse. Tomamos un punto A sobre la RL y trazamos desde l las tangentes a la circunferencia, obteniendo los puntos de tangencia 1 y 2. Unimos y prolongamos 1 y 2, obteniendo B sobre RL. Por B trazamos otras dos tangentes a la circunferencia, obteniendo los puntos 3 y 4. La cuerda 1-2 se corta con la cuerda 3-4 en el punto C, cuyo homlogo ser el centro de la elipse. C es el polo de RL con respecto a la circunferencia., y las cuerdas (rectas conjugadas) se convertirn en dimetros conjugados de la elipse. Las tangentes se conservan, asi que la cnica final ser tangente en 1' en la recta A'1', a 2' en la recta A'2', a 3' en la recta B'3' y a 4' en la recta B'4'. B'3' es paralela a OB (ya que como B pertenece a RL, B' es impropio). Uniendo O con 3 obtenemos 3' La recta B'2' tambin es paralela a OB por la misma razon. Con ella obtenemos 2' y C'. El resto de puntos puede obtenerse por simetria. En el ejemplo se han trazado tambin todas las tangentes exteriores homlogas.

Si desean encontrarse directamente los ejes de la elipse, hay que elegir unas rectas conjugadas apropiadas que proporcionen dos dimetros conjugados perpendiculares. Para ello, se traza la polar de O respecto a la circunferencia, y se halla el punto Q, pie de O con respecto a ella. Se halla la mediatriz de OQ, que corta a la recta lmite en un punto desde el que trazamos una circunferencia que pase por O y Q. Esta circunferencia corta en la recta lmite en A y B. A partir de aqu, el trazado es el mismo que en la figura anterior.

Si la primera recta lmite es tangente a la curva, su homloga es una parbola (ya que tiene un punto homlogo impropio). Como el homlogo de T es impropio, la recta OT determina la direccin del eje de la parbola. Trazamos la recta OT, y por O una perpendicular a ella, dando el punto 1. Por 1 trazamos la segunda tangente a la circunferencia, dando V. V' ser el vrtice de la parbola. prolongamos 1V hasta llegar al eje, en el punto 2. Por el punto 2 trazamos la paralela a O1, que contendr a V' (lo hallamos uniendo O con V). Trazamos el eje a partir de V' con la direccin OT. Para encontrar el foco, trazamos una tangente a la circunferencia por O y la cortamos con la prolongacin de V'2, dando el punto 3. Por ese punto 3 trazamos una perpendicular a la tangente (O3) que corta al eje en el foco F. Como ejemplo, tambin se ha hecho el homologo de un punto A de la circunferencia.

Si la primera recta lmite corta a la curva en dos puntos, su homloga es una hiprbola, y cada una de las partes en que est dividida la circunferencia se convierte en una de las ramas de esa hiprbola. Los puntos M y N se convertirn en impropios, y las tangentes a la circunferencia por ellos se convertirn por tanto en las asntotas (tangentes en puntos impropios). Estas tangentes se cortan en C, que se convertir en el centro de la hiprbola. Trazamos las asntotas y C', para cual nos hemos ayudado de RL'. Las bisectrices de las asntotas son los ejes. Si hallamos los homlogos de los ejes, uno de ellos corta a la circunferencia en los puntos A y B, que se convertirn en los vrtices de la hiprbola. Con estos elementos podemos obtener los focos, sabiendo que el corte de la circunferencia principal con las asntotas est en una circunferencia cuyo dimetro es la recta que une el centro con un foco. En el ejemplo no se han indicado, ya que quedaban fuera del dibujo. Anterior Bajo Licencia Creative Commons Attribution 3.0 License