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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE CIENCIAS

LABORATORIO DE ELECTRÓNICA

GRUPO: 8849

EQUIPO 7: FRANCO MANRÍQUEZ JESÚS, SALAZAR CORONA LAURA

PRÁCTICA 2: KIRCHHOFF, MAXWELL Y THEVENIN

RESUMEN

En esta práctica se estudiaron los métodos de Kirchhoff, Maxwell y Thèvenin. En la mayoría de

toda la práctica se utilizó el mismo circuito y sólo se tuvo que armar uno nuevo para la última

parte correspondiente a Thèvenin, en ambos circuitos se hicieron mediciones de voltaje y

corriente para después comparar con los resultados teóricos que se obtienen al resolver

analíticamente el circuito. Una vez teniendo ambos valores, el teórico y experimental, se

compararon y se calculó el porcentaje de error.

OBJETIVO

Aprender a manejar el multímetro y las fuentes de voltaje.

Estudiar experimentalmente Kirchhoff, Maxwell y Thèvenin.

INTROUCCIÒN

Leyes de Kirchhoff

Un circuito simple puede analizarse utilizando la ley de Ohm y las reglas de combinaciones en

serie y paralelo de resistencias. Muchas veces no es posible reducirlo a un circuito de un

simple lazo. El procedimiento para analizar un circuito más complejo se simplifica

enormemente al utilizar dos sencillas reglas, llamadas reglas de Kirchhoff:

1. La suma de las corrientes que entren en una unión debe ser igual a la suma de las

corrientes que salen de la unión. (Una unión es cualquier punto del circuito donde la

corriente se puede dividir.)

2. La suma algebraica de los voltajes en un circuito cerrado es cero.

La primera regla se establece de la conservación de la carga. Es decir, cuanta corriente entre

en un punto dado del circuito debe salir de ese punto, ya que la carga no puede perderse en

ese punto. Si se aplica esta regla a la unión que se ve en la figura 1, se obtiene

𝐼1 = 𝐼2 + 𝐼3

2

La segunda regla se deduce de la conservación de la energía. Es decir, cualquier carga que se

mueve en torno a cualquier circuito cerrado (sale de un punto y llega al mismo punto) debe

ganar tanta energía como la que pierde. Su energía puede decrecer en forma de caída de

potencial –IR, a través de una resistencia o bien como resultado de tener una carga en

dirección inversa a través de una fuente

𝑉 − 𝑅𝐼 = 0

Al aplicar la segunda regla, deben observarse las siguientes indicaciones.

1. Si se recorre la resistencia en la dirección de la corriente, el cambio en el potencial a

través de la resistencia es –IR.

2. Si la resistencia se recorre en dirección opuesta a la corriente, el cambio en el

potencial a través de la resistencia es +IR.

3. Si una fuente de voltaje se recorre en la dirección de la fuente (de la terminal – a la +),

el cambio en el potencial es +V

4. Si una fuente de voltaje se recorre en la dirección opuesta de la fuente (de la terminal

+ a la -) el cambio en el potencial es –V.

En general, el número de ecuaciones independientes que se necesiten debe ser al menos igual

al número de incógnitas para tener una solución al problema de un circuito particular.

Método de Maxwell

Las ecuaciones que estableció Maxwell están basadas en la segunda regla de Kirchhoff. En la

aplicación de este método de análisis, las incógnitas del circuito son las intensidades de malla,

lo que se traduce a una simplificación en cuanto al número de ecuaciones.

La corriente de malla, es la corriente que recorre una determinada malla. Es una corriente

cerrada. La asignación de sentido de giro a las corrientes de malla es arbitraria.

Figura 1. Diagrama esquemático para mostrar la regla del nodo de Kirchhoff.

I1

I2

I3

3

𝑉 𝑚𝑎𝑙𝑙𝑎 + 𝑅𝐼 𝑚𝑎𝑙𝑙𝑎 = 0

Los criterios de convenio de signos son los mismos que lo aplicados en las reglas de Kirchhoff,

pero aplicados a una malla y a las ramas contiguas a dicha malla.

Teorema de Thèvenin

El teorema de Thèvenin es un método para convertir un circuito complejo de fuentes y

resistencias en un circuito equivalente sencillo constituido por una sola fuente y una simple

resistencia equivalente en serie con dicha fuente. Se puede enunciar de la siguiente manera:

Un circuito que tenga dos terminales “a” y “b” se comporta respecto de una resistencia de

carga RL colocada entre ellos, como un generador de voltaje VTH y resistencia interna RTh.

La resistencia interna de este generador de voltaje es igual a la resistencia que presenta el

circuito entre los dos puntos cuando las fuentes de voltaje se ponen en cortocircuito.

El voltaje VTh es igual al voltaje entre los puntos “a” y “b” del circuito cuando no está conectada

la resistencia de carga.

Los pasos necesarios para usar el teorema:

1. El elemento a estudiar se “elimina” del circuito y los extremos abiertos del circuito que

se produjo son marcados VTh.

2. Se calcula VTh.

3. Todas las fuentes de voltaje son “cortocircuitadas” y todas las fuentes de corriente son

puestas en “circuito abierto”.

4. Se calcula la resistencia equivalente del circuito RTh.

5. Se conecta VTh en serie con RTh.

Figura 2. Diagrama esquemático para mostrar las corrientes en el método de Maxwell.

I1 I2

4

MATERIAL

2 fuentes de voltaje

2 multímetros

Protoboard

Resistencias: R1= 1.5 kΩ, R2= 1.8 kΩ, R3= 2.2 kΩ, R4= 3.9 kΩ, RL= 5.6 kΩ

Cables

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

1) Kirchhoff

a) Armar el circuito que aparece en la figura 3.

b) Medir el valor de las resistencias con el multímetro.

c) Medir la corriente y el voltaje en cada resistencia.

d) Presentar las tablas necesarias, con los valores experimentales y los valores

teóricos que se obtienen resolviendo el circuito; incluir una columna con los

errores porcentuales correspondientes. En el apéndice se presenta la solución

teórica del circuito de la figura 3.

Se armó el circuito mostrado en la figura de arriba, los valores de las resistencias no fueron

exactamente los valores que se pedían, pero son muy cercanos, los valores que se usaron en

las resistencias fueron: R1= 1.496 kΩ, R2= 1.802 kΩ, R3= 2.204 kΩ, R4= 3.85 kΩ, RL= 5.58 kΩ

Lo primero que se comenzó a medir fueron los voltajes, recordemos que el voltaje se mide

colocando en paralelo con la resistencia el multímetro. Más adelante seguimos con la

medición de las corrientes, en esta parte fue donde surgieron algunos problemas ya que con

cualquier movimiento ligero sobre la mesa el valor de la corriente variaba bastante de un valor

a otro, además en algunas ocasiones el valor de la corriente se la pasaba oscilando entre

algunos valores, por lo que a la hora de comparar nuestras mediciones con los resultados

teóricos, hay que tener en cuenta que si se llega a tener un porcentaje de error considerable,

es muy posible que se deba a ese aspecto ya mencionado.

Figura 3. Circuito correspondiente a la parte de Kirchhoff

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2) Thèvenin

a) Eliminar la resistencia RL del circuito y medir el valor del voltaje de Thèvenin

entre los puntos a y b. (ver figura 4)

b) ‘Cortocircuitar’ (eliminar la fuente de voltaje y poner un alambre en su lugar)

las fuentes de voltaje y medir el valor de la resistencia de Thèvenin entre los

puntos a y b. Encontrar el circuito equivalente teórico de la RTh y el VTh, y

compararlo con los valores experimentales. Los cálculos teóricos se incluyen

en el apéndice.

c) Armar el circuito con los valores que se calcularon teóricamente y medir el

valor de la corriente y el voltaje en la resistencia RL, que se usó para armar el

circuito de la figura 3. Comparar estos valores con los valores medidos para RL

en el circuito de la figura 3.

Para esta segunda parte lo que se hizo fue quitar la resistencia RL del circuito, a continuación

colocamos el multímetro en los puntos a y b que se indican en la figura y medimos el voltaje.

Después como se indica quitamos las fuentes de voltaje y cerramos el circuito uniendo por

medio de alambres, y una vez más con el multímetro en la posición anterior se midió el valor

de la resistencia.

Se resolvió el circuito por medio del teorema de Thèvenin, y con los resultados que se

obtuvieron para RTh y VTh se armó un nuevo circuito de la siguiente forma:

Con el circuito ya armado se midieron tanto el voltaje y la corriente en la resistencia RL , y se

comparó con los valores medidos en la primera parte.

Figura 4. Circuito correspondiente a la parte de Thèvenin.

Figura 5. Circuito equivalente de Thèvenin.

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A continuación se presentan las tablas de los valores medidos y calculados para ambas partes

de la práctica.

RESULTADOS

En estas primera tablas se presentan los valores que se midieron y calcularon para el circuito

de la figura 3 que corresponde a la parte de Kirchhoff y Maxwell. El circuito se resolvió por

medio del método de Maxwell (ver Apéndice).

Recordemos que los valores de nuestras resistencias son: R1= 1.496 kΩ, R2= 1.802 kΩ, R3= 2.204

kΩ, R4= 3.85 kΩ, RL= 5.58 kΩ

Componente Voltaje Experimental [Volts] ± 0.0005 Voltaje Teórico [Volts] Error Relativo Porcentual %

Resistencia 1: R1 1.735 1.7277 0.422527059

Resistencia 2: R2 0.221 0.2317 4.61804057

Resistencia 3: R3 2.584 2.5453 1.520449456

Resistencia 4: R4 0.518 0.495 4.646464646

Resistencia L: RL 5.776 5.7268 0.85911853

Tabla 1. Valores de voltajes en cada resistencia.

En esta primera tabla observamos los valores que se midieron y calcularon para cada una de

las resistencias, es de llamar la atención el error relativo porcentual, es muy pequeño para

cada uno de los casos.

Componente Corriente Experimental [mA] ± 0.0005 Corriente Teórica [mA] Error Relativo Porcentual %

Resistencia 1: R1 1.22 1.15487 5.639595799

Resistencia 2: R2 0.12 0.128579 6.672162639

Resistencia 3: R3 1.24 1.15485 7.373251937

Resistencia 4: R4 0.13 0.128571 1.111448149

Resistencia L: RL 1.1 1.02631 7.180091785

Tabla 2. Valores de corrientes en cada resistencia.

Esta es la tabla correspondiente a los valores para las corrientes en cada una de las

resistencias, aquí podemos notar que los errores relativos porcentuales son ligeramente

mayores, podemos atribuir eso a las dificultades que se tuvieron a la hora de hacer las

mediciones, como ya se había mencionado, los valores de la corriente se la pasaban

cambiando de un valor a otro y se tomaron aquellos valores cuando se estabilizaba un poco el

aparato.

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Se puede verificar que con los valores medidos se presenta una pequeña inconsistencia con la

teoría, esto lo discutiremos en unos momentos, pero uno puede verificar que si se suman los

voltajes en cada una de las mallas con sus signos adecuados, el total no es cero como lo dice

una de las leyes de Kirchhoff, y lo mismo se puede hacer para las corrientes, en el punto a del

circuito no hay problema, se cumple la ley de corrientes de Kirchhoff, el problema surge en el

punto b del circuito, la corriente que se mide en R3, no es igual a la suma de las corrientes que

pasan por RL y R4 , aunque en realidad difiere por muy poco.

Analizaremos más adelante estas dos cuestiones tanto para los valores que se midieron como

para los valores que se calcularon, pudiendo ser que tampoco nos dé el valor exacto de cero al

momento de sumar los voltajes cuando usemos los valores teóricos, esto debido a la cantidad

de decimales con las que nos quedamos, si utilizáramos más decimales tendría que darnos el

cero exacto, pero uno puede esperar que con esos valores se obtenga algo más cercano a lo

que nos dice la teoría.

AQUÍ VA LO DE THEVENIN QUE NO ENCUENTRO :B

ANÁLISIS

Comencemos analizando lo ya mencionado anteriormente respecto a la primera parte de la

práctica, recordamos que tenemos etse circuito:

Entonces comprobemos que se cumplen las leyes de Kirchhoff, para esto usaremos los valores

que se encuentran en cada una de las tablas (Tabla1 y Tabla2)

Empecemos con los voltajes, la segunda ley de Kirchhoff básicamente nos dice que la suma

algebraica de las diferencias de potencial eléctrico en una malla es igual a cero, para este

circuito consideremos dos mallas, la de la izquierda y la derecha:

Haciendo las sumas con valores experimentales tenemos:

Malla izquierda: 10 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 − 1.735 + 2.584 + 5.776 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 = −0.095

Malla derecha: 5.776𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 − 5 + 0.221 + 0.518 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 = 0.037

Si ahora repetimos los mismos cálculos, pero con los valores teóricos obtenemos:

Malla izquierda: 10 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 − 1.7277 + 2.5453 + 5.7268 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 = 2 × 10−4 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 ≅ 0

Malla derecha: 5.7268𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 − 5 + 0.2317 + 0.495 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 = 1 × 10−4 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 ≅ 0

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Como podemos ver los valores teóricos son los que mejor se aproximan al cero, podríamos

tomarlos como cero y entonces vemos que en efecto se cumple la segunda ley de Kirchhoff.

Para los valores experimentales igual vemos que estan cerca del cero que se espera, aunque

están un poco más alejados de ese valor, pero son resultados aceptables para la práctica, por

lo que de podemos decir que se comprobó experimentalmente la segunda ley de Kirchhoff.

Ahora revisemos lo que pasa con la primera ley de Kirchhoff que dice: en cualquier nodo, la

suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen.

Aquí consideraremos los nodos que se encuentran señalados en los puntos a y b del circuito:

Para el nodo en el punto a tenemos que llega una corriente I1 y ésta se reparte en dos

corrientes, una que irá hacia la resistencia 2 y otra que irá hacia la resistencia L, por lo que la

suma de esas dos corrientes deberá ser igual a la corriente I1 . Después en el nodo b

tendremos que llegan dos corrientes, una que pasa por la resistencia L y otra que viene de la

resistencia 4, entonces se sumaran ambas corrientes y la corriente resultante es la que pasará

por la resistencia I3 .

Nodo a: 𝐼1 = 𝐼2 + 𝐼𝐿 Nodo b: 𝐼3 = 𝐼𝐿 + 𝐼4

Con valores experimentales tenemos:

𝐼2 + 𝐼𝐿 = 0.12 + 1.1 𝑚𝐴 = 1.22 𝑚𝐴 = 𝐼1 = 1.22 𝑚𝐴

𝐼𝐿 + 𝐼4 = 1.1 + 0.13 𝑚𝐴 = 1.23 𝑚𝐴 ≈ 𝐼3 = 1.24 𝑚𝐴

En el nodo a se cumple lo que nos dice la primera ley de Kirchhoff, y en el nodo b sólo difiere

por la segunda cifra decimal, pero de igual forma podemos establecer que en efecto se cumple

la primera ley.

Por último revisemos con los valores teóricos:

𝐼2 + 𝐼𝐿 = 0.128579 + 1.02631 𝑚𝐴 ≅ 1.15488 𝑚𝐴 ≅ 𝐼1 = 1.15487 𝑚𝐴

𝐼𝐿 + 𝐼4 = 1.02631 + 0.128571 𝑚𝐴 ≅ 1.1548 𝑚𝐴 = 𝐼3 = 1.1548 𝑚𝐴

Una vez más podemos observar que se cumple la primera ley de Kirchhoff.

CONCLUSIONES

BIBLIOGRAFÌA

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APÈNDICE

→ Kirchhoff/Maxwell

En la figura de arriba, vemos la convención que se usó para resolver el circuito, tenemos dos

mallas, una corriente Ia recorre la malla de la izquierda y una corriente Ib la malla de la

derecha. Se utilizó el método de Maxwell para resolverlo, se plantean las siguientes

ecuaciones:

𝑉1 − 𝑅1 + 𝑅3 𝐼𝑎 − 𝑅𝐿 𝐼𝑎 − 𝐼𝑏 = 0

𝑉2 + 𝑅2 + 𝑅4 𝐼𝑏 + 𝑅𝐿 𝐼𝑏 − 𝐼𝑎 = 0

Sustituyendo los valores de las resistencias y voltajes llegamos al siguiente par de ecuaciones:

9280𝐼𝑎 − 5580𝐼𝑏 = 10

−5580𝐼𝑎 + 11232𝐼𝑏 = −5

Resolviendo ese sistema de ecuaciones tenemos:

𝐼𝑎 = 469

406092 𝐴

𝐼𝑏 = 235

1827414 𝐴

Que aproximadamente son:

𝐼𝑎 ≅ 1.1549 𝑚𝐴

𝐼𝑏 ≅ 0.12859 𝑚𝐴

Teniendo ya estos resultados, procedemos a calcular los voltajes en cada una de las

resistencias, donde haremos uso de la ley de Ohm.

Es importante notar que con esas dos cantidades calculada, podemos conocer la corriente que

circula por RL, ya que solo es una sencilla resta, pero primero enfoquemonos en los voltajes y

dejemos para el final el cálculo de las corrientes.

Calculo de voltajes en cada resistencia: partiendo de la ley de Ohm 𝑉 = 𝐼𝑅

En la resistencia R1

𝑉1 = 𝐼𝑎𝑅1 ≅ 1.7277 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠

Ia Ib

10

En la resistencia R2

𝑉2 = 𝐼𝑏𝑅2 ≅ 0.2317 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠

En la resistencia R3

𝑉3 = 𝐼𝑎𝑅3 ≅ 2.5453 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠

En la resistencia R4

𝑉4 = 𝐼𝑏𝑅4 ≅ 0.495 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠

En la resistencia RL

𝑉𝐿 = (𝐼𝑎 − 𝐼𝑏)𝑅𝐿 ≅ 5.7268 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠

Para calcular las corrientes en cada una de las resistencias nuevamente hacemos uso de la ley

de Ohm, ahora: 𝐼 = 𝑉

𝑅

Se pondran ya los resultados, sólo es dividir el voltaje que hay en cada resistencia entre el

valor de la resistencia:

𝐼1 ≅ 1.15487 𝑚𝐴

𝐼2 ≅ 0.128579 𝑚𝐴

𝐼3 ≅ 1.15485 𝑚𝐴

𝐼4 ≅ 0.128571 𝑚𝐴

𝐼𝐿 = (𝐼𝑎 − 𝐼𝑏) = 1.02631 𝑚𝐴

Para el cálculo de los errores relativos porcentuales se utilizó la siguiente ecuación:

∈𝑟= |𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙|

𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜× 100

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→ Thevenin

En la figura de arriba, observamos que al quitar la resistencia RL , todo el circuito se reduce a

un circuito en serie, por lo que se calcula la resistencia equivalente correspondiente a este

caso, es decir:

𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4 = 1496𝛺 + 1802𝛺 + 2204𝛺 + 3850𝛺

que da una resultado de

𝑅𝑒𝑞 = 9352𝛺

Como sabemos, la corriente que circula debe ser la misma para todas las resistencias, entonces

𝐼 =5𝑉

9352𝛺≅ 5.346 × 10−4𝐴 = 0.5346 𝑚𝐴

Ahora, para obtener el voltaje de Thevenin VTh, es necesario calcular la diferencia de voltaje

entre los puntos a y b marcados en el circuito.

𝑉𝑎 = 2204𝛺 × 5.346 × 10−4𝐴 ≅ 1.178 𝑉

𝑉𝑏 = 10 − 1496𝛺 × 5.346 × 10−4𝐴 ≅ 9.2 𝑉

Por lo que

𝑽𝑻𝒉 = 𝑽𝒂 − 𝑽𝒃 = −𝟖.𝟎𝟐𝟐 𝑽

Si se desea encontrar el valor de la resistencia de Thevenin RTh entre los puntos a y b, se

colocan las fuentes en cortocircuito y se obtiene el siguiente circuito equivalente:

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Vemos que las resistencias 1 y 2 estàn en paralelo, al igual que las resistencias 3 y 4, y que a su

vez, éstas están en serie, así que:

𝑅𝑇ℎ = 𝑅1 ∥ 𝑅2 + 𝑅3 ∥ 𝑅4 = 1496Ω × 1802Ω

1496Ω + 1802Ω +

2204Ω × 3850Ω

2204Ω + 3850Ω ≅ 2219.02𝛺

𝑹𝑻𝒉 = 𝟐. 𝟐𝟏𝟗 𝒌𝜴

El circuito equivalente de Thevenin es:

Donde IlL es

𝐼𝐿 = 𝑉𝑇ℎ

𝑅𝑇𝐻 + 𝑅𝐿=

8.022 𝑉

2219𝛺 + 5580𝛺≅ 1.02 × 10−3𝐴 = 1.02 𝑚𝐴

I

a