Hoja de Trabajo Nº8 (1)
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1 LA INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES MÁS GENERALES Nuestra meta en esta parte del trabajo consiste en cumplir con dos objetivos: Primero, deseamos definir la doble integral de una función sobre regiones más generales que un rectángulo; segundo, queremos desarrollar una técnica para evaluar este tipo de integrales. Regiones Elementales Supongamos que tenemos dos funciones continuas de valor real y que satisface para toda . Sea una región en el plano tal que y . Esta región es llamada y-simple. A continuación mostramos varios ejemplos de regiones y- simple. Las curvas y segmentos de línea recta que acotan la región constituyen la frontera de D, denotada como . Usamos el término y-simple porque la región es descrita en una forma relativamente simple, usando como una función de . ___________________________________________________________ ___________ Departamento de Ciencias - Cajamarca
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LA INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES MÁS GENERALES
Nuestra meta en esta parte del trabajo consiste en cumplir con dos objetivos: Primero,
deseamos definir la doble integral de una función sobre regiones más generales que un rectángulo; segundo, queremos desarrollar una técnica para evaluar este tipo de integrales.
Regiones Elementales
Supongamos que tenemos dos funciones continuas de valor real y
que satisface para toda . Sea una región en el
plano tal que y . Esta región es llamada y-simple. A continuación mostramos varios ejemplos de regiones y-simple.
Las curvas y segmentos de línea recta que acotan la región constituyen la frontera de
D, denotada como . Usamos el término y-simple porque la región es descrita en una forma relativamente simple, usando como una función de .
Teorema 2: Reducción a Integral Iterada Si es una región y-simple, entonces
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Ejemplo 1.- Encontrar el volumen del tetraedro acotado por los planos , ,
y Solución
Observamos que el tetraedro dado tiene una base triangular cuyos puntos
satisface y ; luego, es una región y-simple. De hecho podemos observamos en la siguiente figura
Para cualquier punto en , la altura de la superficie por encima de es
. Así el volumen que buscamos esta dado por la integral
De nuestra gráfica tenemos y , tenemos
Ejemplo 2.- Calcular la integral doble
siendo
SoluciónGraficando la región R se tiene:
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Ejemplo 3. Sea R la región en el primer cuadrante entre las curvas e
. Hallar .
Solución
Encontrando los puntos de intersección,
Ahora, como nuestra región es una región y simple, tenemos:
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Ahora describamos a la región x-simple. Decimos que una región D es una x-simple si
hay funciones continuas y definidas sobre tal que D es el conjunto de puntos satisfaciendo
donde para todo .
El método para tratar las regiones x-simple son completamente análogas al caso anterior. Específicamente tenemos lo siguiente
Teorema Integrales iteradas para regiones x-simple Supongamos que D es
el conjunto de puntos tal que . Si es continua sobre D, entonces
Ejemplo 4.- Sea R el rectángulo y la función definida en R mediante
Calcular Solución
1o Graficar el rectángulo R y dentro de ella graficar la relación
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20 Ahora integramos:
Ejemplo 5.- Calcular , donde D es un trapezoide limitado mediante
segmentos de rectas de los puntos .
Solución
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Podemos observar de la grafica que se trata de una región x-simple. El lado izquierdo
esta dado por la recta mientras que el lado derecho es . Luego la integral a resolver es
A continuación mostramos el caso cuando se pueden intercambiar el orden integración
Ejemplo 6.- Evaluar
donde R es el conjunto de puntos tal que
Solución
Podemos simplificar el problema si primero intercambiamos el orden de integración.
Notemos que la integral es igual a
La región R la podemos observar a continuación y puede también ser descrita como sigue
Así, la integral iterada dada es igual a
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En la primera integral de expresión (1), sustituimos , y en la segunda, . Luego, obtenemos
Ambas integrales en la expresión (2) son fácilmente calculadas con técnicas de una sola variable. Así, para la primera integral tenemos
La segunda integral es
Finalmente, sustraemos la ecuación (3) de la ecuación (4) para obtener lo siguiente
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