Evolución del hombre

El testimonio de los yacimientos fósiles

Los yacimientos fósiles constituyen la “prueba” principal de la evolución puesto que testimonian el proceso de cambio de los seres vivos a lo largo del tiempo. Gracias a ellos ha sido posible reconstruir las líneas evolutivas que muestran la historia de algunos organismos, con las modificaciones graduales que han llevado a las formas actuales. Los fósiles son las huellas que los animales y las plantas dejaron en el terreno al morir, y que las rocas han conservado a lo largo del tiempo. Cuando un animal muere, su cuerpo es rápidamente destruido por la labor meticulosa e inexorable de los microorganismos y de los agentes atmosféricos.

Actualmente la ciencia es capaz de obtener mucha información de las rocas. Los investigadores son capaces de establecer con suficiente exactitud, por medio del método de la datación radiométrica, la edad de un yacimiento, y por tanto la de los restos fósiles contenidos en él. Esta técnica se basa en el proceso de desintegración de algunos elementos radioactivos. Esas sustancias (presentes también en dosis mínimas en los restos de los organismos actuales) tienen la propiedad de transformarse en átomos distintos, en períodos de tiempo largos y a un ritmo uniforme.

Gracias a las técnicas oportunas, los investigadores son capaces de determinar, en una muestra dada, la cantidad de la sustancia radiactiva y del elemento derivado de la misma, que contiene remontándose de esta forma hasta la edad del fósil. Este método permite datar épocas de hasta 30.000-40.000 años de antigüedad, y resulta muy útil para el paleontólogo o el arqueólogo. Por su parte, los geólogos, que se dedican al estudio de la historia de la Tierra, utilizan sustancias radiactivas que se reducen a la mitad en millones o incluso miles de millones de años. Con este método la mayor parte de los científicos considera aceptable datar en 4.000-5.000 millones de años la edad del planeta. Ejemplo de estas investigaciones son los hallazgos hechos por paleontólogos que han descubierto rocas de ocre en una caverna de Sudáfrica de, aproximadamente, 70.000 años de antigüedad, que están adornados con hendiduras en forma de patrones geométricos, lo que daría la pauta de que no sólo existen registros de la presencia del hombre primitivo sobre la Tierra, sino de la conducta que éstos tenían en ella, se sabe de algún tipo de conocimiento de matemáticas elementales, tales como el conteo y de la medida del tiempo basada supuestamente en la observación de las estrellas.

También se descubrieron artefactos prehistóricos en África y Francia, datados entre el 35.000 y el 20.000 a.C., que sugieren intentos iniciales de cuantificar el tiempo. Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo menstrual: de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra, seguidas de una marca distintiva. Más aún, los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno, dos y muchos, así como la idea de ninguno o cero, cuando halaban de manadas de animales. El hueso de Ishango, es el hecho más claro de esto. Encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noroeste del Congo, puede datar de antes del 20.000 a.C., su interpretación común es que el hueso supone la demostración más antigua conocida de una secuencia de números primos y de la multiplicación en el Antiguo Egipto. Si bien el conocimiento de los números por el hombre primitivo no fue muy selecto, las principales pruebas de conteo son demostradas en él.

El hueso de Ishango. Las marcas en forma de “I” indican agrupamientos de 11, 17, 23,… y hasta de conjuntos de 60

Otro testimonio de que los descubrimientos arqueológicos de la era prehistórica facilitan la demostración de que el hombre primitivo poseía un acercamiento a la idea de número y de conteo, es el de un hueso procedente de un cachorro de lobo, encontrado en Checoslovaquia, en el que aparecen 55 incisiones bastante acentuadas, dispuestas en dos series, la primera con 25 y la segunda con 30, y en cada serie las incisiones están distribuidas en grupos de cinco. Estos utensilios han sobrevivido de un período de hace unos 30.000 años. En nuestro lenguaje cotidiano, también se observan evidencias complementarias de las ideas numéricas, por ejemplo, que nuestras palabras “once” y “doce” significaron originalmente “uno más” y “dos más”, respectivamente, indicando una primitiva dominancia del concepto decimal. Sin embargo, se ha indicado también que posiblemente la palabra indogermánica: “ocho” se deriva de una forma dual para “cuatro”, y que el nombre latino novem para “nueve” puede estar relacionado con novus (nuevo), en el sentido de que era el comienzo de una nueva secuencia. Probablemente estas palabras puedan interpretarse en el sentido de sugerir la persistencia de una escala cuaternaria u octonaria durante algún tiempo, de la misma manera que el quatre-vingt francés de hoy aparece como un vestigio de un sistema vigesimal antiguo.

Oponerse a la idea de que el hombre primitivo quiso trasmitir sus conocimientos, o por lo menos dejar huellas de ello, es negar a nuestros antepasados y a su rudimentario estilo de vida y de conocimiento: origen del nuestro, los grabados encontrados en las cuevas de Altamira, España, es una más de las evidencias que aseguran la inclinación que, además se tenía por las matemáticas, su expresión en forma de artes plásticas, crea una primitiva modalidad de cálculo estadístico.

Si la aparición del hombre sobre la Tierra es el primer paso para el nacimiento del pensamiento y un avance decisivo hacia la reflexión, entonces ese pensamiento es el matemático, y esa reflexión es la que la matemática aporta en forma de la herramienta

abstracta y necesaria, que aparece no sólo originariamente como parte de la vida del hombre, sino anexada a ella; y si es válido el principio biológico de la “supervivencia de los mejores adaptados”, entonces la supervivencia de la raza humana probablemente no deja de estar relacionada con el desarrollo de conceptos matemáticos creados por el hombre.

Las famosas cuevas de Altamira en España, donde se conservan prácticamente intactas, pinturas de bisontes y caballos

En resumen, ¿Cómo el hombre prehistórico contaba si no tenía conocimiento de la escritura, ni mucho menos tenía un alfabeto?

Las devoluciones hechas por antropólogos, paleontólogos y etnólogos, permitieron reconstruir el proceso inaugural de observación que el hombre primitivo realizó sobre la naturaleza y lo que le rodeaba en su entorno. Tomándolos como expresiones cuantitativas: un árbol y un bosque, una piedra y un montón de piedras, un lobo y una manada de lobos, etc., aprende a distinguir entre la unidad y la pluralidad, al igual que la noción de par: dos pies, dos manos, dos ojos, etc., debiéndole haber sido lo que primordialmente le llamaron poderosamente la atención. Es fácil imaginar que estas primeras observaciones le condujeron a la noción de correspondencia biunívoca, primera etapa de la numeración, además de tener el recuerdo del objeto observado, lo cual hace referencia a la forma de una imagen y no a la idea de éste. A partir de estas elementales observaciones, el hombre extrae la idea de comparación y la asocia, a cada objeto observado un signo, una cosa que le sea familiar. Pudiendo así, utilizar esta correspondencia para asociar una colección de cosas observadas con un conjunto de signos o elementos. Según la tribu, podía ser variada la noción de colección, en alguna podría ser marcas compiladas en un hueso o en madera, otra recurrencia podría ser la suma de un montón de pedruscos, y probablemente otra elegiría los gestos de la mano o de alguna parte de su cuerpo ayudada de algún elemento guía. No estaban ausentes los números más simples, las formas más elementales y la ordenación más visible de las cosas.

Lo que conduce a otra hipótesis, es el hecho de que al asentarse las diferentes tribus o pueblos, surgen sistemas de medidas, muy rudimentarias y primarias, pero que permiten al hombre salir de sus cuevas, saber hacia dónde se dirigían o qué dirección debían tomar para cazar. Por último, que los sistemas escritos fueron anteriores a la escritura misma, lo comprueba el hecho de que todos los pueblos sin excepción, sean primitivos o no, tengan escritura o no, disponen de palabras especiales para designar los números y fracciones sencillas, así, como disponen de gestos y signos convencionales, números o unidades que si el hombre no hubiera desarrollado una forma de contar, además de desarrollar un sistema de escritura, lo comprueba que el mundo actual no sería la realidad que es y que el ser humano es un ser evolucionado.

El hueso de Ishango y de Brassempouy

El método más comprobado universalmente en la historia de la “contabilidad”, y también uno de los más antiguos, es el del hueso pedazo de madera tallado. Método con el que el hombre pudo arreglarse en una época en que todavía no sabía contar de manera abstracta. Los primeros testimonios arqueológicos conocidos de tal práctica datan del período que los historiadores designan habitualmente como Auriñaciense (35.000-20.000 a.C.), aproximadamente. Se trata pues de un numerosos conjunto de huesos, más o menos contemporáneos del hombre de Cromagnon, cada uno marcado con una o varias series de muescas regularmente dispuestas, la mayoría encontrados en Europa occidental.

El más antiguo, de unos 35.000 años a.C., se descubrió durante unas excavaciones en una cueva en las montañas Lébembo, en la frontera de Swazilandia en el sur de África.

Hasta este tiempo, las muescas eran simplemente marcas de cuentas pero, sin embargo, estos huesos parecen haber sido algo más. En realidad, testimonian también una actividad

relacionada, directa o indirectamente, con la aritmética. De Heinzelin (1962), el arqueólogo que participó en la excavación del hueso de Ishango, escribió que éste “puede representar un juego aritmético de una cierta clase, diseñado por gentes que tenían un sistema de numeración decimal, así como el concepto de la duplicación de los números primos”.

Otra hipótesis podría ser que las marcas del hueso constituyen un sistema de notación secuencial (un registro de las diferentes fases de la luna) ya que se pueden relacionar las series de muescas del hueso con el número de días contenidos en las fases sucesivas de la luna (dos de las filas suman 60, de modo que cada una de estas filas puede decirse que representan dos meses lunares; la tercera fila contiene sólo 48 muescas, que daría sólo cuenta de un mes y medio).Se supone que, aún hoy, muchos pueblos siguen el estilo de vida de los cazadores recolectores de los Ishango.

En cuanto al hueso de Brassempouy, se imagina que el trazo longitudinal representa la unidad y que los trazos transversales han sido asociados a los otros números impares, que son números primos, a excepción de 9, que es el cuadrado de 3.

Este punzón tallado habría sido una especie de “herramienta aritmética” que contiene una representación gráfica de los primeros números impares, así como una disposición de tales números que permiten hallar

rápidamente algunas propiedades elementales.

Pero, en tanto que el soporte material de la representación y de la memorización de números, la práctica del tallado es, asimismo, una prefiguración de la contabilidad. En esa época, ciertamente, la humanidad ignoraba aún la escritura, pero al concretar de esa manera

la enumeración de tal o cual tipo de unidades, los propietarios de estos huesos, así como sus contemporáneos y descendientes, habían inventado, en cualquier caso, los primeros rudimentos de la contabilidad escrita: realmente trazaban cifras en el sistema de numeración más primitivo de la historia. Como curiosidad, podemos decir que las cifras romanas y etruscas derivaron directamente de la práctica de la muesca sobre un fragmento de hueso o sobre un bastón de madera. Imaginando a un pastor que tiene el hábito de registrar el número de sus animales siguiendo esta técnica simple, procedente de los tiempos prehistóricos, operando como sus antecesores: grabando sin interrupción sobre un bastón de hueso o madera tantas muescas como unidades hubiera en el número de que se trataba. Sin embargo, este proceder no es muy cómodo, puesto que le obliga a recontar el conjunto de las muescas de su bastón cada vez que quiera saber el número total de cabezas de su rebaño. El ojo humano no es un “instrumento de medición” suficientemente preciso: su poder de percepción inmediata de los números nunca sobrepasa el cuatro. Así, nuestro hombre puede distinguir fácilmente al primer golpe de vista (sin contar) uno, dos, tres o incluso cuatro trazos paralelos. Pero ahí se detienen sus facultades naturales de identificación visual de los números, pues más allá de cuatro marcas todo se confundirá en su mente, y será necesario recurrir al procedimiento de contabilidad abstracta para conocer el número exacto. El pastor, que poco a poco experimenta esta dificultad, toma conciencia de la incomodidad de su sistema y busca algún “recurso” para remediarla. Entonces, un día tiene una idea. Como en otras ocasiones, hace pasar los animales uno por uno, y graba una muesca sobre su bastón por cada cabeza que desfila ante él. Pero, una vez que ha marcado cuatro trazos similares consecutivos, se le ocurre la idea de modificar la factura de la quinta marca para que la serie de trazos sea reconocible al primer golpe de vista. Así, con el número 5 crea una nueva unidad de cuenta, que le es tanto más familiar cuanto que se corresponde exactamente con los dedos de una mano.

Para cualquier individuo, el grabado sobre el hueso o madera presentará, evidentemente, las mismas características y dificultades. Por ello se verá conducido obligatoriamente a las mismas soluciones, sea en África, en Asia, en Oceanía, en Europa o en América. Y, no importa en qué latitud, la imaginación creadora de símbolos gráficos se encontrará limitada por estas condiciones. Nuestro pastor no dispondrá más que de un número muy reducido de posibilidades. Para distinguir el quinto trazo de los cuatro precedentes, la primera idea que le vendrá a la mente consistirá en cambiar simplemente la orientación. Inclina de forma considerable este trazo con relación a los cuatro primeros, obteniendo con ello una representación tanto más intuitiva cuanto que ella corresponde, gráficamente, a la disposición del pulgar en relación con los otros cuatro dedos de la mano. Otra idea consiste en añadir a la quinta muesca un pequeño trazo suplementario (oblicuo u horizontal) haciendo de él un verdadero signo distintivo en forma de “t”, de “Y” o de “V”, orientando de diversas maneras. Volviendo a continuación a la forma de los primeros cuatro primeros trazos, el pastor sigue la cuenta de sus animales hasta el noveno. Pero en el décimo de nuevo debe modificar la factura de la talla correspondiente para que la serie de trazos siga siendo identificable al primer golpe de vista. Y, como se trata del número total de dedos de las dos manos juntas, piensa en alguna marca que evoque algo como el “doble” de una de las representaciones elegidas para 5. Entonces encuentra un signo en forma de “X” o de una cruz. Crea así una nueva unidad numérica, la decena, y la cuenta sobre su talla coincide a partir de ahora con la cuenta digital elemental.

Regresando de nuevo a las muescas simples, el pastor prosigue la cuenta de sus animales hasta el número 14; luego, para permitir al ojo diferenciar al decimoquinto de los precedentes, le da una forma diferente. Pero aquí no crea un símbolo nuevo, sino que le adjudica la forma de “cifra” 5, puesto que se trata de “una mano después de las dos manos juntas”. A continuación, opera de la misma manera hasta el 19, dándole al vigésimo trazo una forma idéntica a la cifra de la decena. Después continúa la cuenta hasta el 24 por medio de muescas ordinarias y marca el vigesimoquinto número mediante la cifra 5. Y procede así sucesivamente hasta llegar a 9+4∙10=49.

Pero aquí se ve obligado a imaginar un nuevo signo específico para marcar la cincuentena, pues no sería reconocible visualmente una sucesión que comporta más de cuatro signos representativos de la decena. Y de la forma más natural se verá conducido a uno de los signos siguientes (añadiendo simplemente un trazo a cada una de las representaciones de 5). Después, nuestro hombre prosigue la numeración de las cabezas de su ganado y, operando como antes, abarca todos los números comprendidos entre 50 y 50+49=99. Al llegar a la centena, necesita de nuevo introducir otra notación particular. Y también aquí, naturalmente, consigue uno de los grafismos siguientes (añadiendo uno o dos trazos a cada una de las representaciones de 10 o incluso tomando el “doble” de una de las cifras de 50). Después sigue con la cuenta hasta 100+49=149. Para el número siguiente, retoma el signo de la cincuentena y continúa de la misma manera hasta 150+49=199. Al llegar al 200, retoma esta vez la cifra de centena y continúa su cuenta hasta 200+49=249. Y así sucesivamente, hasta 99+4∙100=499. Introduce a continuación un nuevo signo para 500 y continúa contando hasta 500+499=999. Luego, otro signo para 1.000 que le permita contabilizar los números hasta 4.999 (=999+4∙1.000), etc.

De modo que este pastor, aun siendo incapaz de reconocer visualmente una serie de más de cuatro signos análogos, gracias a la talla de muescas así concebida, conseguirá discernir, con bastante facilidad cantidades tales como 50, 100, 500 o 1.000, sin tener necesidad de contar todas las unidades. Y si el bastón empleado a partir de la unidad no permitiera alcanzar uno de estos números, por razones puramente materiales, sería suficiente confeccionar tantas tallas como hiciera falta. La talla así estructurada permite a sus usuarios alcanzar números relativamente grandes, casi todos los que puedan necesitar, sin tener que considerar series de más de cuatro cifras de una misma categoría. Es como si se tratara de una palanca, ese otro instrumento que confiere a quien lo utiliza la posibilidad de levantar fardos cuyo peso excede bastante sus propias capacidades físicas.

Configura, además, una verdadera numeración escrita, asignando una cifra particular a cada uno de los términos de la serie siguiente:

XXVI: para las vacas lecheras, (26) XXXV: para las vacas estériles, (35) XXXVIIII: para los bueyes, (39) y XXXXIIII: para los toros, (44).

Pero, deseando abreviar, nuestro pastor imagina también otro principio. En lugar de escribir el número 4 con cuatro trazos, lo anota con la forma IV, expresando así que el cuarto trazo

de la serie se encuentra justo antes del “V”. Del mismo modo, en lugar de escribir el número 9 con la forma VIIII, lo anota IX, expresando así que el noveno trazo de la serie se encuentra justo antes del “X” sobre el bastón tallado. A continuación representa de la misma forma los números 14, 19, 24, etc. Así se explica el empleo, en las numeraciones romana y etrusca, de las formas IV, IX, XIV, XIX, etc. Junto a IIII, VIIII, XIIII, XVIIII…

Es posible, pues, que los pueblos que usaban desde hacía tiempo la técnica de la talla alcanzaran después, con independencia de toda influencia etrusca o latina, notaciones gráfica y matemáticamente equivalentes a las de etruscos y romanos.

La hipótesis parece tan evidente que se podría admitir incluso en ausencia de toda prueba. Pero los testimonios que existen son muy numerosos.

Hueso de Brassempouy

Los orígenes y el desarrollo del hombre

A través del estudio de las rocas y de los fósiles, los geólogos han dividido la historia de la Tierra en cuatro grandes períodos de tiempo denominados eras: el precámbrico, la era paleozoica, la era mesozoica y la era cenozoica. Los límites entre los distintos períodos coinciden por lo general con grandes fenómenos geológicos o con fuertes cambios climáticos, acontecimientos naturales que han tenido una gran influencia en la evolución de los seres vivos y que han sido asociados a variaciones de las condiciones ambientales.

El hombre, como es bien sabido, pertenece al reino animal. Se dice también (de modo algo impreciso) que el hombre desciende del mono, y, en efecto, la cosa no parece inverosímil dadas las similitudes existentes con el chimpancé o el gorila.

Nuestra línea evolutiva se inició hace 70 millones de años con un grupo de mamíferos insectívoros primitivos, parecidos a las musarañas, que colonizó los árboles. Eran los antepasados de los primates, el orden al que “supuestamente” pertenecemos junto con los simios y a los protosimios (los primates más antiguos). Dado el hecho de que las poblaciones de animales y plantas permanecen por regla general estacionarias, así resultó también para las poblaciones humanas en la mayor parte de las épocas, motivo por lo cual hubo siempre una competencia constante tanto en cada especie como entre diferentes especies, en la que la pena derrota derivaba en la muerte. Resulta que, si algunos miembros de una especie difieren de los de otra en algo que les dé ventaja, es más probable que sobrevivan. Si la diferencia ha sido adquirida, no será transmitida a sus descendientes; pero si es congénita, es probable que reaparezca, al menos en moderada proporción, en su descendencia. Por ejemplo, la teoría de Darwin depende de la producción de variaciones causales, cuyas causas eran desconocidas. Es asimismo un hecho observado que la descendencia de una pareja dada no es toda igual. Los animales domésticos han cambiado notablemente por selección artificial: mediante la habilidad del hombre las variaciones han llegado a dar más leche, a correr más velozmente los caballos de carrera y los borregos a producir más lana. Tales hechos proporcionaron a Darwin y a nosotros, la prueba directa de lo que la selección natural era capaz, es decir, de que los diversos géneros de animales se habían desarrollado por variación a partir de antepasados comunes. Es cierto que los criadores no pueden convertir un pescado en marsupial o un marsupial en un mono; pero cambios tan grandes como éstos puede esperarse que ocurran durante las incontables edades requeridas por los geólogos. A mayor abundamiento, hubo en muchos casos pruebas de un linaje común. Los fósiles muestran que han existido en el pasado animales intermedios entre las especies actuales grandemente separadas; el pterodáctilo, por ejemplo, era mitad ave, mitad réptil. La embriología descubrió formas anteriores; un feto mamífero, en una cierta época, tiene los rudimentos de una aleta de pescado, que es totalmente inútil y difícilmente explicable, excepto como una recapitulación de la historia ancestral.

Muchas diferentes direcciones de esta argumentación convergen para persuadir a los biólogos de la existencia de la evolución y de que la selección natural sea el principal agente por el cual se producía, sin embargo, análisis recientes de ADN mitocondrial confirman que nuestros antepasados más lejanos se encontraron en África, siendo “la cuna de la humanidad”. Corresponden a la especie denominada Dryopithecus africanus o

Proconsul, encontrado en Kenia, que según los especialistas vivió hace unos 30 millones de años. El animal, menor que un pequeño mono, presentaba un cerebro más grande que el de los primeros primates y los dientes típicos de los monos antropomorfos. Su capacidad craneana oscilaba entre 154 a 180 centímetros cúbicos y su dieta era frugívora.

Dryopithecus africanus o Proconsul

El principal yacimiento del Proconsul es Rusinga (Kenia), en donde el medio ambiente se ha supuesto como un bosque tropical húmedo, oscilando hacia un medio más seco con arbolado difuso. Considerado como antepasado de grandes simios y de humanos, presenta, en general, una combinación única de caracteres entre mono y antropoide. Por ejemplo, los huesos del tobillo son estilizados, semejantes a los monos. El pulgar del pie es robusto, posee acetábulo grande y plano, caracteres semejantes a los antropoides. Entre los 14 y los 8 millones de años los driopitecinos, es decir, el grupo sistemático al que pertenecía el Proconsul, disminuyeron en número mientras aparecían y se consolidaban los ramapitecinos.

El Ramaphitecus tenía unas dimensiones parecidas al Proconsul y, a diferencia de éste podía sostenerse sobre las extremidades posteriores. Presentaba además una modificación en el aparato masticatorio: la ausencia de grandes caninos. Hoy se lo considera como ancestro del mono antropomorfo africano y del orangután asiático.

Ramapithecus

Disponiendo de datos concretos es preciso remontarse 3-4 millones de años, con el descubrimiento de restos fósiles pertenecientes al género conocido como Australopithecus, al que pertenecen los primeros individuos de nuestra familia, es decir, los homínidos, refiriéndonos a aquellos seres capaces de caminar erguidos. Los Australopithecus son un grupo heterogéneo que vivió en el período incluido entre 3,6 y 1,4 millones de años y está formado por diferentes especies, fueron los homínidos más antiguos, se los encontró por

primera vez en África del sur, y luego también en África oriental. Habitaban estas zonas un una época que va desde los 4 millones de años a los 2-1,5 millones de años. Pudieron tener la talla y la complexión bastante pequeña (1 a 1,50 metro de estatura y de 30 a 60 kg.), y un cerebro (380 a 550 centímetros cúbicos) no mayor que el de un chimpancé, pero caminaban erguidos y en dos patas como nosotros.

Australopithecus

El más antiguo, el Australopithecus afarenis, fue descubierto en Etiopía, en la región de los Afar. Este hallazgo afortunado sacó a la luz casi la mitad del esqueleto de un individuo de sexo femenino que fue bautizado “Lucy”. El análisis de la forma de los huesos, perfectamente conservados, permitió establecer que este homínido caminaba erguido de una forma parecida a la nuestra. La caja craneal podía albergar un cerebro relativamente pequeño (400 centímetros cúbicos: la capacidad del hombre actual es de 1.300 centímetros cúbicos). La conquista del porte erguido y de la forma de caminar son, por tanto, dos progresos muy antiguos, que maduraron unos 2 millones de años antes que la evolución del cerebro.

Otra especie más reciente es el Australopithecus africanus: algo más que su predecesor, este homínido tenía sin embargo su misma capacidad craneal. En 1.925, el paleontólogo Dart descubría en la gruta de Taungs, en el Transvaal, un cráneo infantil, en el que observó que algunos rasgos tenían un marcado carácter humano. A éste se le denominó

Australopithecus africanus. El descubrimiento de Dart pasó inadvertido. La mayoría de los investigadores creyeron que se trataba de un fósil de chimpancé joven. Pero once años después, el paleontólogo Broom descubría en la gruta Sterkfontein, en las inmediaciones de Pretoria, otro cráneo del mismo tipo, perteneciente a un individuo adulto. Desde entonces (1.937) continuó la búsqueda de manera sistemática en África del Sur, hasta 1.949. Gracias a ello se descubrieron un gran número de fósiles, cráneos y otros restos óseos que confirmaban las primeras conclusiones de Dart.

Australophitecus

Los yacimientos fósiles aparecidos permitieron identificar otras dos especies del mismo grupo: Australopithecus robustus y Australopithecus boisei, ambos más grandes y más robustos que los anteriores.

Hace unos 2 millones de años, cuando aún vivían los australopitecinos, otros homínidos poblaban diferentes regiones de África: eran los representantes del género Homo: Homo habilis y Homo erectus. Este último se diferenciaba de los anteriores por algunos caracteres

tales como la mayor capacidad craneal (alrededor de 800 centímetros cúbicos) y por su habilidad para fabricar utensilios: esta característica confirió precisamente la denominación de Homo habilis al primer tipo.

Homo habilis

El Homo erectus apareció hace 1,5 millones de años, es decir, después del Homo habilis, los fósiles encontrados atestiguan su presencia y difusión por todo el mundo prehistórico además de África. Importantes depósitos de fósiles fueron encontrados en Java (hombre de Java o pitecántropo), en China (hombre de Pekín o sinántropo) y en Europa. Mientras

permaneció aislado entre los hallazgos de la paleontología, el pitecántropo de Java fue objeto de duras controversias entre partidarios y adversarios de la teoría evolucionista.

Se sostenía que cuando tuvo lugar la creación, todo fue construido como si tuviera un pasado histórico, de modo semejante todo lo que fue creado pudo haber sido creado como si se hubiera desarrollado; las rocas pudieron estar llenas de fósiles y ser hechas justamente como hubieran llegado a ser si se debieran a la acción volcánica o a los depósitos sedimentarios. La doctrina de la evolución gradual de las plantas y animales por descendencia y variación, que llegó ampliamente a la biología a través de la geología, se dividía en tres partes; primero en el hecho de que, tan cierto como puede serlo las edades remotas, las formas más simples de la vida son las más antiguas, y que las que tienen una estructura más complicada hicieron su aparición en capas geológicas más recientes; segundo, la teoría de que las formas organizadas más próximas y superiores no surgieron espontáneamente, sino que resultaron de otras más antiguas a través de series de trasformaciones, es lo que significa especialmente “evolución” en biología; y tercero, el estudio, muy lejos de estar completo aún, del mecanismo de la evolución, es decir, de las causas de la variación y de la supervivencia de ciertos tipos a expensas de los otros. La doctrina general de la evolución es ahora universalmente aceptada entre los biólogos, aun cuando hay todavía dudas respecto a su mecanismo. La significación histórica de Darwin radica en haber sugerido un mecanismo: “la selección natural” que hizo parecer más probable la evolución; pero su sugestión, aunque aceptada como válida, es menos satisfactoria para los hombres de ciencia modernos de lo que fue para sus sucesores inmediatos. El darwinismo fue un golpe tan duro para la teología como el copernicanismo. No solamente era necesario abandonar la fijeza de las especies y los muchos actos separados de creación que el Génesis parecía afirmar; no solamente era necesario que se admitiera un lapso, desde el origen de la vida, chocante al ortodoxo; no sólo era necesario abandonar un haz de argumentos a favor de la liberalidad de la Providencia, derivados de la exquisita adaptación de los animales a su ambiente, que era explicada ahora como operación de la selección natural, sino que, peor que todo esto, los evolucionistas se atrevían a afirmar que el hombre descendía de animales inferiores. Los teólogos y la gente inculta se aferraron en efecto a este único aspecto de la teoría. El progreso, especialmente durante el siglo XIX, ha sido grandemente facilitado por la carencia de lógica de sus corifeos, lo que les permitió acostumbrarse a un cambio antes de tener que aceptar otro. Cuando todas las consecuencias lógicas de una innovación se presentan simultáneamente, el choque con los hábitos es tan grande que los hombres tienden a rechazarla en su totalidad, mientras que si hubieran sido conducidos a dar un paso cada diez o veinte años, se sentirían alentados a seguir el ritmo del progreso sin mucha resistencia.

Durante treinta años, varias expediciones se esforzaron en vano por descubrir nuevos restos de pitecántropo. Por fin, en 1.921, el sueco Gunnar Anderson descubrió dos molares de aspecto humano entre los restos petrificados de diferentes mamíferos que llenaban las grietas y cavernas de Chukutien, en los alrededores de Pekín.  En 1.927, Davidson Black encontró allí mismo un nuevo molar, y en 1.929 la primera bóveda craneana.  Desde entonces, las excavaciones de estos yacimientos se sistematizaron y en 1.939 fueron exhumados los restos de unos cuarenta individuos de todas las edades, que se les conoce con el nombre de sinántropos.

Homo erectus

Según estudios realizados, la estructura del Homo erectus era bastante parecida a la del hombre actual, salvo por el cráneo, más forzudo, y por los arcos supra orbitales prominentes. Su capacidad craneana oscilaba entre los 700 y los 1.250 centímetros cúbicos, por lo que su cerebro ya estaba bastante desarrollado, poseía además una altura y peso de 1,50 m a 1,80 m y de 40 a 80 kilogramos, respectivamente. El pitecántropo era pequeño,

tenía la frente hundida, los arcos superciliares muy salientes y las mandíbulas prominentes. Hace aproximadamente un millón de años era el único homínido sobre la tierra, los demás se habían extinguido, y continuó siéndolo hasta hace unos 200 mil años. La refinada y mayor parte de la producción de su industria se basaba en el trabajo de hachas de mano con forma de lágrima (piedras de sílex trabajadas en varias facetas y posteriormente afiladas como un cuchillo), más que para el combate era para trabajar la madera y descuartizar animales. Sus armas eran, sobre todo hachas, mazas, arpones y jabalinas, han sido halladas pruebas de una artesanía ósea y de astas de cérvido. Este homínido fue el primero en dominar el fuego, aproximadamente ya hace unos 500.000 años y en vivir en cavernas, como consecuencia de que alrededor de hace unos 600.000 años, la tierra entraba en una serie de eras glaciales; las enormes capas de hielo alcanzaron a cubrir el norte de Europa, América y Asia, mientras que el nivel del mar llegaba a descender hasta 90 metros por la acumulación de agua en los grandes glaciares que se formaron; este descubrimiento fue muy importante para la supervivencia, ya que sirvió no sólo como abrigo para el rudo clima imperante, sino para la cocción de los alimentos (más digestivos que crudos). En las cavernas de Chukutien se ha encontrado carbón de madera, cenizas y vestigios de fuego.  El sinántropo conocía, pues, el arte característicamente humano de “domesticar” el fuego.

El paso del Homo erectus al Homo sapiens, documentado por algunas formas fósiles intermedias, sucedió muy probablemente hace unos 200.000 años, con dos subespecies: primero el Homo sapiens neanderthalensis y posteriormente el Homo sapiens sapiens, la forma actual a la que pertenecemos.

Homo sapiens neanderthalis

El hombre de Neanderthal, descendiente del Homo erectus, es llamado así por el lugar del yacimiento (el primer fósil fue encontrado junto al Neander, un afluente del río Rin en 1.856, sus restos fueron descubiertos por unos obreros en los alrededores de Dusseldorf, en una cueva del valle de Neanderthal), era más corpulento y más musculoso que el tipo moderno y presentaba algunas diferencias óseas en el cráneo y sobre todo en las mandíbulas y en los arcos supra orbitales, aún prominentes. Se dice que es el tercer peldaño de la evolución humana y que por su expansión cerebral, su género de vida y su capacidad inventiva se acerca más al homo sapiens que al pitecántropo. Los neandertales usaban un mayor número de utensilios más perfeccionados que los de sus predecesores y enterraban a sus muertos, a menudo acompañados de alimentos y armas, prueba de un elevado nivel de civilización. Hace unos 30.000 años el hombre de Neanderthal desapareció súbitamente; quizá se extinguió, o al cruzarse con el Homo sapiens sapiens fue asimilado genéticamente por éste.

Hace aproximadamente cien mil años aparece en África el primer ser humano casi como nosotros, pero llamado Homo sapiens arcaico u Hombre de Cro-Magnon. Treinta mil años antes los neandertales se extinguían y ya estaban los hombres completamente modernos, Homo sapiens, y unos 5.000 años más tarde el hombre ya habitaba todos los continentes del mundo a excepción de la Antártica.

Cráneo de una mujer de Cro-Magnon

Cráneo de un hombre de Cro-Magnon.

Hombre de Cro-Magnon

Los primeros restos de individuos de Homo sapiens sapiens fueron hallados en Cro-Magnon, en Francia suroccidental. Corría 1.868 cuando, en una localidad francesa llamada Les Eyzies, ubicada en el departamento de Dordoña, se encontraron, en un abrigo rocoso llamado Cro-Magnon, restos fósiles humanos. Investigaciones posteriores comprobaron que tenían más de 40.000 años y que este era el representante más antiguo del Homo sapiens sapiens; es decir, el primer ancestro del hombre moderno, cuyo desarrollo había comenzado en el periodo llamado Paleolítico superior (hace más de 600.000 años). Ya a partir del paleolítico, este Homo sapiens sapiens es casi idéntico físicamente a sus descendientes actuales. Sin embargo, sus primeros representantes no manifiestan aún diferenciaciones raciales tan acentuadas como en la actualidad. Forman un grupo relativamente homogéneo en el que están presentes una serie de caracteres hoy en día dispersos entre los distintos tipos. Éstas se desarrollaron y se establecieron geográficamente a partir del neolítico, el momento en el que se establecieron las condiciones climáticas actuales y el sedentarismo agrícola de las poblaciones. Vivían en cuevas y temporalmente en campamentos al aire libre. Sin que pueda considerárseles sedentarios, posiblemente mantenían un lugar preferente de residencia, que ocasionalmente abandonarían para trasladarse a otro. La forma de vida era cazadora-recolectora. Cazaba en grupo; los animales grandes, con trampas; y los pequeños, con piedras y saetas. Las mujeres recolectaban frutos.

Ubicación de los hombres de Cro-Magnon y Neanderthal

El despliegue del cráneo humano

El cráneo humano ha cambiado drásticamente durante los últimos tres millones de años. La evolución desde el australopithecus hasta el homo sapiens, significó el aumento de la capacidad craneana (para ajustarse al crecimiento del cerebro), el achatamiento del rostro, el retroceso de la barbilla y la disminución del tamaño de los dientes. Los científicos piensan que el increíble crecimiento de tamaño del cerebro puede estar relacionado con la mayor sofisticación del comportamiento de los homínidos. Los antropólogos, por su parte, señalan que el cerebro desarrolló su alta capacidad de aprendizaje y razonamiento después de que la evolución cultural, y no la física, cambiara la forma de vida de los seres humanos.

Si la estructura anatómica del hombre es resultado de una larga evolución, el despertar de su inteligencia ha sido, por el contrario, bastante brusco. Todo hace suponer que el umbral que daría paso al pensamiento fue franqueado de una sola vez.  Y, a partir de este momento, la vida de la especie humana quedó trazada. Lo estaba, no sólo por el dinamismo del poder de la reflexión, sino también porque, contrariamente a los animales vinculados al medio ambiente, el hombre no puede sobrevivir si no transforma cuanto le rodea y lo adapta a su medida. Los restos que se han encontrado en las capas de terreno o en el suelo de antiguas cavernas son, en su mayor parte, armas sencillas de piedra o de metal, utensilios de alfarería; esto es, ollas y vasos de greda, y otros objetos semejantes. El estudio comparativo de ellos ha permitido establecer una gradación de los progresos alcanzados por el hombre en esas oscuras épocas de su desarrollo.

La familia de los hombres comenzó a formarse probablemente cuando un grupo de primates superiores comenzó a bajar de los árboles al suelo. A partir de ahí resulta bastante fácil, con un ligero esfuerzo de imaginación, llegar a concebir lo que sería la vida de los primeros seres humanos sobre la Tierra. La selva había comenzado a reducirse y debían buscar alimento en el suelo, a campo abierto, para sobrevivir. Esos primeros alimentos para cumplir el más elemental instinto de conservación fueron hierbas, frutos silvestres y raíces. Al comienzo, tal vez, caminaron apoyándose sobre los nudillos de sus manos, pero poco a poco se irguieron y así sus manos empezaron a quedar libres, pudiendo empuñar piedras y palos para matar pequeños animales o para defenderse de los grandes, para despedazar la carroña, para partir los huesos o comer la médula, para sacar a los animales de sus escondrijos, para abrir los frutos de cáscara dura.

Durante su primera época en la Tierra, el hombre, al igual que los demás animales, debió enfrentarse a los caprichos de la naturaleza, pero, al dominar las fuerzas de ella, se fue convirtiendo en soberano indiscutible de su ambiente. El hombre se propagó por toda la superficie del planeta, conquistando las sierras y las llanuras, los desiertos y las selvas. La primera vivienda, mejor se diría el primer refugio, debió ser un árbol bajo el cual se cobijara el hombre, o bien entre sus ramas, ante el temor de que su sueño fuera turbado por alguna fiera. Más tarde, pernoctó al abrigo de las peñas o en cuevas más o menos profundas. La primera arma fue acaso una rama desgajada de un árbol. Luego, al necesitar el hombre de su prójimo, de su semejante, de quien, quiérase o no, era su “otro yo”, trató de comunicarse, de hablar, más que por signos, por onomatopeyas.

Por último, tal vez al ver flotar sobre las aguas o rodar los troncos de los árboles por los declives montañosos, surgieron en la mente virgen de los primeros seres humanos las primitivas y rudimentarias nociones del transporte y de la locomoción, que culminaron muchísimos siglos más tarde en la invención de la rueda, uno de los descubrimientos más sensacionales de todos los tiempos.

El uso de herramientas estimuló el desarrollo del cerebro, y el desarrollo de éste reforzó a su vez todo lo demás; le permitió al hombre una mayor coordinación de sus movimientos al caminar erguido; también le hizo darse cuenta del valor de las armas y herramientas, comenzando a guardarlas una vez usadas, por si le servían para futuras ocasiones; luego comenzó incluso a fabricarlas e inició a sus hijos en la fabricación y su uso. Así empezó la cultura ya que a pesar de que los creadores fueron muy primitivos, eran ya hombres. Comienza por tallar la piedra y hacer fuego.

La conquista del fuego es una de las más notables victorias humanas sobre la Naturaleza circundante. Fue adorado como un dios y forma parte integrante de todas las mitologías. En la época de las tribus nómadas, cuando la humanidad se hallaba en estado de perpetua inestabilidad familiar y social, el fuego era un centro de reunión y concentración humana: un verdadero tesoro conservado con el mayor de los cuidados. Cada familia se reunía en tomo a una hoguera durante las largas noches invernales. Como los medios para proporcionarse fuego eran limitadísimos, se hacía necesario e imprescindible mantener siempre encendidas, tanto de día como de noche, algunas brasas de leña y renovarlas constantemente. El fuego se comunicaba así con cierta solemnidad de unos a otros hogares. Cuando la familia, la horda, se ponían en marcha, cada uno de los clanes llevaba “su fuego”, aquéllas brasas preciosas, a menudo eran rodeadas y protegidas por centinelas, ya que podían ser robadas o apagarse de un momento a otro.  Y cuando a una tribu se le apagaba la lumbre, la miseria, las enfermedades acababan con ella muy en breve. El hombre se había percatado del temor instintivo de las fieras a las hogueras; observó también que el fuego contribuía a la mejora de su alimentación y al perfeccionamiento de su industria; no tardó en darse cuenta de su inmenso poder destructivo. Su primera obtención debió ser laboriosa, muy fatigosa y erizada de dificultades.

Las pruebas más antiguas de estas primeras manifestaciones de la especie humana datan de comienzos del período pleistoceno, hace aproximadamente unos 700 mil años. En su lucha por la vida, el hombre había ya logrado ventajas sobre los otros animales, ya que había aprendido a usar el fuego, a utilizar los diferentes utensilios y a abrigarse con piedras que le procuraban calor, sin embargo, gracias a su inteligencia cada vez más desarrollada, el hombre aprendió, poco a poco, a aprovechar de modo más racional la naturaleza. Empezó a cultivar plantas y a criar ganado, con lo que le cambió totalmente la vida. Se hizo sedentario, construyendo albergues para él y para sus animales. Las nuevas construcciones se reunieron formando aldeas. El hombre empezaba una nueva época, la agraria. De esta forma, surgieron las ciudades, que eran centro de comercio, artesanía y administración.

La flexibilidad de la inteligencia humana obliga a reaccionar ante cada presión exterior, obedeciéndola u oponiéndose a ella. Así, en las culturas primitivas, la fuerza de la Naturaleza ejerce una influencia poco menos que decisiva. Y gracias a esa adaptación a las fuerzas naturales, el hombre llega a un mayor y mejor conocimiento de las mismas y a la

adopción, lenta pero constante, de formas de vida más progresivas. Este hombre, que pensaba y podía mejorar su entorno, fue el llamado “homo sapiens” (hombre pensante o que sabe), y que ha continuado su desarrollo hasta nuestros días, cuando nosotros, somos representantes de este Homo Sapiens. En la historia del hombre, desde su aparición al final de la última glaciación, se pueden distinguir tres grandes etapas según la actividad que desarrolla. Durante la primera, desde la aparición del hombre hasta hace unos 10.000 años atrás, éste vivía como recolector y cazador. Durante la segunda, dominó la cultura agraria, la tercera, correspondiente a estos dos últimos siglos, se ha caracterizado por el industrialismo y desarrollo técnico.

Si por un procedimiento análogo al que en ocasiones utiliza el cine científico, se redujeran a uno los millares de años transcurridos desde la aparición del hombre sobre la Tierra, el hombre prehistórico sólo ocuparía las ocho últimas horas del último día y el hombre histórico —desde el antiguo Egipto a nuestros contemporáneos— no representaría más que dos o tres minutos.

Género humano y sociedad humana

Educación y cultura: “la transmisión de la cultura”

Hasta aquí se ha hablado como si el “género humano” constituyera una sola unidad, como si fuera un todo único y homogéneo. En realidad no es así. De la misma forma que en el mundo animal algunas especies se sostuvieron durante un cierto tiempo y luego se extinguieron, y mientras unas evolucionaron en una dirección otras lo hicieron en otra, (por lo que Bergson parangonó la evolución de la vida como un “haz de tallos” de largura diferente, que apuntan en diferentes direcciones), de la misma manera en el mundo humano algunos grupos de hombres han evolucionado más, otros menos, algunos se han dispersado, otros han sobrevivido, algunos se han inmovilizado en formas primitivas de civilización, y otros se han orientado hacia formas de civilización en desarrollo continuo.

También en el mundo humano, tal como se nos presenta hoy, y prescindiendo de su historia o evolución pasadas, hacemos una primera y burda distinción entre “sociedades primitivas” y “sociedades civilizadas”. Interesa subrayar que las llamadas “sociedades primitivas” comprenden grupos humanos diversos y desemejantes que tienen usos, costumbres y creencias diversas; y lo mismo sucede con las llamadas “sociedades civilizadas” entre las cuales advertimos profundas distinciones en los modos de vivir y las creencias (piénsese por ejemplo en la diferencia que hay entre los mundos cristiano, musulmán, hindú, chino, etcétera).

Se puede expresar este hecho diciendo que cada grupo humano (primitivo o civilizado) posee una cultura, es decir, que dispone de técnicas de uso, de técnicas de producción y de modos de comportamiento propia, que no sólo le han permitido sobrevivir a lo largo del tiempo, sino que mediante ésta, este grupo de hombres, además, puede satisfacer sus necesidades, como ser el protegerse contra la hostilidad del ambiente físico y biológico, trabajar o convivir en una forma más o menos coherente, con otros de su misma especie. Las reglas que definen estas técnicas, facultades o modos organizan lo que se denomina comúnmente usos, costumbres, creencias, ritos, ceremonias, etcétera. Por ejemplo, una costumbre en apariencia insignificante y banal como lo es un modo de saludar, es una regla de conducta destinada a subrayar la actitud amistosa (o no hostil) de un hombre hacia otro. Las creencias, los ritos o las ceremonias mágicas de muchos pueblos primitivos se consideran como reglas técnicas propias para conseguir ciertos resultados, por ejemplo, la lluvia o la cesación de un azote, de una epidemia, de la guerra, etc.

El carácter más general y fundamental de una cultura es que debe ser aprendida, o sea, trasmitida en alguna forma. Como sin su cultura un grupo humano no puede sobrevivir (a menos que asuma una cultura diversa, más o igualmente eficaz, caso en el que mutará concomitante su naturaleza toda) es en interés del grupo que dicha cultura no disperse ni se olvide, sino que se trasmita de las generaciones adultas a las más jóvenes a fin de que éstas se vuelvan igualmente hábiles para manejar los instrumentos culturales y hagan así posible que continúe la vida del grupo. Esta transmisión es la educación.

Verdad es que las sociedades primitivas carecen de “escuelas” en el sentido que nosotros damos a esta palabra. Pero, sin embargo, en ellas niños y jóvenes se ven igualmente sometidos a un largo período de aprendizaje en compañía del padre, la madre u otros

adultos calificados para ello. Pasado ese período, y a través de una serie de pruebas que debe superar (como los exámenes de “nuestras” escuelas) y de una solemne ceremonia de iniciación, el joven es admitido entre los adultos y los responsables de la vida común.

La educación es pues un fenómeno que puede asumir las formas y las modalidades más diversas, según sean los diversos grupos humanos y su correspondiente grado de desarrollo; pero en esencia es siempre la misma cosa, esto es, la trasmisión de la cultura del grupo de una generación a la otra, merced a lo cual las nuevas generaciones adquieren la habilidad necesaria para manejar las técnicas que condicionan la supervivencia del grupo. Desde este punto de vista, la educación se llama educación cultural en cuanto es precisamente trasmisión de la cultura del grupo, o bien educación institucional, en cuanto tiene como fin llevar las nuevas generaciones al nivel de las instituciones, o sea, de los modos de vida o las técnicas propias del grupo.

No se insistirá nunca demasiado en la importancia que tiene la educación así entendida, no sólo por lo que se refiere a la vida o a la supervivencia de cualquier grupo humano, sino también en lo que toca a la formación y el desarrollo de la persona humana individualmente considerada. Varios hechos parecen indicar que, alejado del consorcio humano, un individuo pierde o deja de adquirir o adquiere sólo mínimamente los caracteres “humanos”.

Nos referiremos brevemente al caso de los llamados “niños salvajes”, o sea los niños abandonados o perdidos en la primera infancia y privados de contactos humanos, que sobrevivieron como miembros de grupos animales (lobos o simios superiores) y fueron encontrados más tarde y restituidos a un mundo humano.

En todos estos casos, en el momento de ser restituidos a la sociedad humana los individuos carecen de todo carácter humano. No hablan y no tienen la capacidad de hablar; su desarrollo mental se ha detenido en un nivel que supera en poco la imbecilidad. Sus reacciones son en gran parte automáticas: no parecen tener conciencia de sí y se muestran indiferentes a la compañía humana. En algunos casos no tienen ni siquiera la posición erecta y la aprenden con dificultad. No sonríen ni ríen, sino que emiten sonidos análogos a los de aquellos animales con los cuales han vivido. Además, en todos los casos, su educación o re-educación ha sido imposible o posible únicamente en un grado mínimo. Estos hechos demuestran la importancia que en, la formación de una persona humana normal, tiene el conjunto de las influencias educativas debidas a los contactos humanos, a través de los cuales, incluso en las sociedades más primitivas y rudas, el niño aprende las indispensables técnicas (empezando por el lenguaje) que definen su condición humana.

Dado que sin su “cultura” un grupo no se puede conservar ni los individuos que a él pertenecen pueden alcanzar una condición que pudiera calificarse de “humana”, no es de maravillar que todos los grupos humanos traten de reforzar en sus miembros la conciencia de la importancia, el valor y la indispensabilidad d las técnicas culturales, y el modo más sencillo para reforzar tal conciencia consiste en atribuir o reconocer a las precipitadas técnicas un carácter sacro, por el cual la ignorancia, la violación o el menoscabo de ellas adquiere la calidad de acciones perversas o impías, o sea, tales como para incurrir en castigos humanos o divinos.

En efecto, en las sociedades primitivas, no sólo las técnicas de comportamiento (las costumbres, las reglas morales y religiosas, etc.), son protegidas mediante las mencionadas penas, sino que también lo son, con frecuencia, las técnicas de uso y de producción de los objetos, ya sea porque éstas son igualmente indispensables para la vida del grupo, o porque, en ausencia de la escritura, su trasmisión es más difícil y corre peligro de perderse, de tal modo que se experimenta la necesidad de estabilizarlas mediante sanciones oportunas. Los ritos y las ceremonias que acompañan o puntúan ciertas actividades del grupo (por ejemplo, el principio de la caza o de la cosecha de un producto cualquiera) sirven precisamente para hacer que esas actividades se desenvuelvan de acuerdo con las técnicas tradicionales, de tal modo que éstas no se pierdan ni modifiquen.

De aquí que mientras más difícil le resulte a un grupo humano conservar y trasmitir su patrimonio cultural, tanto más tenderá a reconocer el carácter sacro de cada parte o elemento de dicho patrimonio. Ésta es la situación propia de las llamadas sociedades primitivas o primarias: es decir, que precisamente por ello tienen un carácter estático, y tienden a conservar su cultura sin mutaciones o con las menores mutaciones posibles. En tales sociedades se ignora o se condena la búsqueda de nuevos medios o instrumentos, de nuevas formas de vida; el individuo que pertenece a ellas tiende a evitar toda novedad o a referirla a lo que se conoce tradicionalmente.

Por contraste con las sociedades primarias, las llamadas sociedades civilizadas o secundarias son aquellas cuya cultura está abierta a las innovaciones y posee instrumentos aptos para hacerles frente, comprenderlas y utilizarlas. Estos instrumentos son forjados por el saber en todas sus formas, y, para ser más precisos, por el saber racional, el cual. Desde el punto de vista, se puede definir como la posibilidad de renovar y corregir las técnicas culturales.

Por lo tanto, las sociedades primitivas no son, como suele creerse, las más jóvenes; por el contrario, son, desde el punto de vista cronológico, muy viejas y, con frecuencia, mucho más vetustas que las sociedades superiores más antiguas. Se caracterizan más bien por no haber encontrado otro modo de supervivencia si no es el de inmovilizar las técnicas de vida que han llegado a posesionarse. Frente a estas sociedades, las secundarias, que sobreviven mediante la innovación y la rectificación de sus técnicas son, puede decirse, más jóvenes precisamente por el hecho de que se renuevan.

Etimología

La palabra matemática tuvo su origen en la antigua Grecia: μαθηματικά, y significa: “lo que se aprende”; viene del griego antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir “campo de estudio o instrucción”. Y esto se relaciona con la aparición del lenguaje en el sentido de que el lenguaje humano simbólico tiene sus antecedentes en momentos y cambios morfológicos

que son previos a cambios importantes en la estructura del sistema nerviosos central. Es decir, sería implicar hablar previamente de la cerebración.

Se dice que por la ubicación que tenía el homo sapiens de su laringe permitía a las cuerdas vocales una producción más clara de sonidos bien diferenciados y variados entre sí, cosa que no resultaba del mismo modo para las especies anteriores, que carecían del desarrollo de un cerebro lo suficientemente complejo como para pensar de un modo simbólico, producto de que el lenguaje simbólico está basado en “significantes acústicos”, lo cual ocasiona que para que una especie tenga la capacidad de emitir sonidos relativamente discretos, requiera de una innovación morfológica más profunda.

Lo que distingue de manera más notable al hombre del resto de los animales es el lenguaje articulado, el lenguaje cuyo desarrollo fue esencial para el nacimiento del pensamiento matemático abstracto. Sin embargo, las palabras para expresar ideas numéricas aparecieron muy lentamente; los signos para representar números precedieron con toda probabilidad a las palabras para representar números, simplemente porque es mucho más fácil cortar muescas en un palo que establecer una frase bien modulada para identificar un número concreto. Si el problema del lenguaje no hubiera sido tan difícil, los sistemas rivales del sistema decimal podrían haber hecho mayores progresos. La base cinco, por ejemplo, fue una de las primeras en dejar tras ella alguna evidencia escrita tangible, pero para la época en que el lenguaje se formalizó ya de una manera completa, el diez le había ganado la partida. Las lenguas modernas están construidas casi sin excepción sobre la base de numeración diez de manera que un número como el diecisiete, por ejemplo, no se describe como cinco y cinco y dos, sino como diez y siete. La tardanza, a lo largo del desarrollo del lenguaje, en conseguir cubrir abstracciones tales como el número se puede ver claramente también en el hecho de que las expresiones verbales numéricas primitivas se refieren invariablemente a colecciones específicas concretas, tales como “dos peces” o “dos manzanas” en vez de simplemente “dos”, y sólo más tarde alguna de esas frases se vería adoptada de una manera convencional para representar a todos los conjuntos de dos objetos. La tendencia natural del lenguaje a desarrollarse de lo concreto a lo abstracto se ve en muchas medidas de longitud actuales (las de origen antiguo, no las decimales): la talla de un caballo puede medirse en “palmos”, y las palabras “pie”, “codo”, “pulgada”, “vara”, se han derivado en muchos casos, por ejemplo, de partes del cuerpo humano fáciles de utilizar como unidades de medida.

Los miles de años que necesitó el hombre para extraer los conceptos abstractos de situaciones concretas repetidas son testigo de las dificultades que se han debido encontrar y superar para establecer unas bases, incluso muy primitivas, para la matemática. Además, todavía hay una gran cantidad de cuestiones sin respuesta relativas al origen de la matemática; usualmente se supone que esta ciencia apareció para responder a necesidades prácticas del hombre, pero hay estudios antropológicos que sugieren la posibilidad de un origen alternativo.

Durante mucho tiempo el hombre ha ido a buscar la respuesta a sus preguntas, sobre todo a sus preguntas más cercanas e ineludibles, las que envuelven su propia felicidad y su miseria, su vida y su muerte, en la magia y en la religión. Tales preguntas son, por supuesto, las más misteriosas, profundas y oscuras, puesto que involucran la raíz de su

propio ser. Era un problema demasiado difícil para comenzar su tarea de pensador y por ello el contenido de su respuesta, que respuesta sí que tenía que dar perentoriamente, estuvo, está y estará, por fuerza, encarnado en la entraña misma del hombre, allí donde el elemento telúrico, visceral, se entrevera con los condicionamientos previos y con los elementos volitivos y racionales de su complicada estructura.

 Pero llegó un momento en que el hombre pudo, y quiso, dirigir con intensidad su mirada y su interrogación hacia objetos más despegados de su preocupación existencial. Con ello se hizo capaz de buscar su respuesta en razones estables, sólidas, independientes del país, de la moda, del correr de los años, de su propio humor. Es probable que los primeros objetos en que este tipo de acuerdo universal se plasmó fueran la figura y el número. En ellos aprendió el hombre a razonar, es decir, a basar sus aserciones sobre aserciones previas aceptadas, deduciéndolas de ellas de un modo que no podía menos de suscitar la aprobación del interlocutor. No es que el hombre no hubiese razonado antes. Lo nuevo fue el poder elevarse, a través de peldaños sólidos, hasta afirmaciones incontrovertibles, a primera vista bien alejadas de los principios que les dieron nacimiento.

El poder de observación

La misteriosa capacidad de poder observarse a sí mismo y desdoblar de este modo a la persona en nuestro interior proviene, por un lado, del maravilloso don de la imaginación, de la cual está grandemente dotado, sin ningún mérito por nuestra parte, el género humano, y, por otro lado, en conexión con esta capacidad de la conciencia conflictiva, antagónica, dialéctica, dinámica, de nuestros instintos. No sería para nosotros dialéctica si no tuviésemos la capacidad imaginativa proyectiva en el grado que la poseemos y que no es solamente el poder pensar —facultad que los animales también poseen—, sino también prever, cosa que ellos poseen sólo en los grados de “ensayo y error”, es decir, al nivel de las sensaciones.

Puede suponerse que el hombre de pasar a tener una idea, mucho antes la misma idea era solamente una imagen, imagen que el hombre pudo haber tomado de lo que le rodeaba o de lo que buscaba con sus ojos, ya sea en lo que le era ínfimo en tamaño, en lo que le resultaba similar, o en lo que era superior a él, pero esta idea debía tomar significado como signo abreviado, en ese sentido el hombre evolucionó, en el instante en el que refiere las primeras marcas sobre los palos de maderas o en el que junta piedrecitas para representar un conjunto de determinadas cosas. Con este proceso de abstracción, de la reducción de una imagen a una idea, la concienciación se ha hecho más rápida y la valoración misma también: el hombre aprende a modelizar. La concienciación del hombre moderno es caracterizada por un ahorro de tiempo en conversión de imágenes en ideas, conversión que hereda desde los primeros días de existencia de la matemática. Por una parte se puede conjeturar que dentro de la memoria existe la conversión de imágenes y de vivencias crudas en ideas y signos, en significados, en sentidos, y por otra parte existe el modo de

comunicación que luego de creado el lenguaje simbólico o no simbólico, hace posible que dichas ideas crudas, los signos y significados se conviertan en símbolos y conceptos, encerrados dentro de palabras, que son una abreviación más para el uso rápido, aun más ahorrativo y abstracto de la orientación vital y con ello de la concienciación.

En su función interior, la memoria no es un material mecánico, sino uno que se elabora constantemente, mientras que la concienciación es extensiva, puesto que los elementos y las raíces que la componen pueden desplegar la creatividad que permitirá la valoración sucesiva del saber y del comprender. Pensar es siempre valorar. Y nunca valoramos fuera del sentir. Somos más imaginativos o más inteligentes por la actuación concreta con que el instinto moviliza. Podemos, pues, en el lenguaje común, hablar de una inteligencia viva o brillante, o de una imaginación exuberante.

El manejo de ideas es un proceso, y no una habilidad fija y autóctona, un proceso que depende de muchas cosas y del actual estado de estas cosas en el organismo. No siempre somos inteligentes de la misma manera, no tenemos a nuestra disposición la misma “cantidad” de inteligencia; no somos, frente a las situaciones abiertas, inteligentes del mismo modo: cualquier genio cuyo “cociente de inteligencia” es valorado como muy alto, puede comportarse, en una situación dada, como un idiota. Bergson identifica la inteligencia con el surgir en la historia del Homo Faber, el que sabe inventar y fabricar utensilios. El concepto general identifica la capacidad intelectiva con la de poder orientarse, diciendo que la inteligencia es la capacidad de resolver problemas de la vida, de razonar con habilidad perceptual, con imaginación constructiva, con enjuiciamiento sano. Piaget identifica la inteligencia con la adaptación, siendo uno de los primeros que insiste en que la inteligencia no es una facultad fija, sino un proceso biológico.

El hombre del pasado que, observando como el sol matutino se movía en la bóveda celeste hacia el ocaso, dedujo que la Tierra era inmóvil y que el Sol giraba a su alrededor, hizo ya un descubrimiento científico, porque con esta representación había encontrado una justificación válida para el fenómeno natural del día y la noche. Que más adelante la teoría acabara por resultar errónea no es lo importante, ya que esto no desmerece en absoluto la seriedad del empeño científico de aquellos estudiosos que dieron, a su manera, una respuesta satisfactoria a un fenómeno natural. Es, sin duda, comprensible el asombro del hombre primitivo al observar el movimiento aparente del Sol, el terror ante el poder destructivo del rayo o del mar en una tempestad. Estos fenómenos tan devastadores, pero a la vez tan necesarios le llevaron, en un principio, a encontrar una justificación mística, imaginando una divinidad poderosa y caprichosa. Más tarde, el hombre se da cuenta de que puede controlar y utilizar el fuego en su propio beneficio, que puede mantener retenido el poder del temible Dios y comprende que debe ir observando con atención los fenómenos naturales porque de su control y de su conocimiento depende su propia supervivencia.

El hombre, que se alimentaba principalmente de la carne de los animales que cazaba, pero de los que también se debía defenderse, fue observando su comportamiento instintivo del que tanto tendría que aprender. El escarabajo que hace rodar la pelota de estiércol pudo haberle sugerido que la forma esférica es la más adecuada para el transporte de cuerpos pesados; de la araña, que captura insectos con su tela, tal vez aprendió a entretejer fibras y así, construir las redes adecuadas para enredar a las presas; del castor, constructor de

diques, aprendió a crearse, son las ramas de los árboles, refugios que le protegieran de los violentos fenómenos atmosféricos.

Todo desarrollo científico es posible a partir del momento en que el hombre, habiendo adquirido un conocimiento preciso sobre aquello que ha observado, lo elabora generando una teoría que le permita justificar su interpretación de la realidad. Toda investigación y búsqueda que se lleva a cabo para sustentar tal elaboración se sirve de diversos medios, en cuya base se encuentra el instrumento esencial para todo progreso científico: las matemáticas.

Orígen de la matemática

Formación del número en el hombre primitivo

El desarrollo científico y tecnológico alcanzado por la sociedad contemporánea permite al hombre afrontar y resolver, gracias a instrumentos cada vez más sofisticados, problemas de notable complejidad. Gracias a la computadora se pueden ordenar y archivar una enorme cantidad de datos, imágenes comprimidas en espacios minúsculos, organizar conferencias (u otras situaciones de diálogo a viva voz) a distancia, automatizar procesos de producción de muchas industrias y fábricas. Por no hablar de las aplicaciones de la informática en el campo médico, musical, gráfico, militar, etc. Lo que resulta menos evidente es papel que han jugado las matemáticas en todo esto.

Cuando el hombre primitivo se dedicó al pastoreo y se encontró con la necesidad de contar las cabezas de ganado, aunque entonces fuera de un modo muy primitivo, empezó a elaborar la primeras matemáticas. De esta forma, señalando con una piedra puntiaguda una marca en un tronco de árbol por cada animal de su rebaño, el pastor estaba en condiciones de saber, ya no cuantos animales tenía, sino cuántas cabezas de ganado le faltaban. El conjunto de los animales y el conjunto de los signos sobre la corteza del árbol eran numéricamente equivalentes. El hombre no inventó el “número”, pero sí un ingenioso sistema para establecer si dos conjuntos “tenían el mismo número” de elementos.

No obstante, la sustitución de los objetos por palabras del lenguaje no significa aún que el concepto de número esté en el pensamiento del que enumera. En esta fase, el hombre primitivo, que asocia a tres vacas tres palabras distintas, no puede, sin las palabras, pensar en el número tres. Además, experiencias etnográficas efectuadas con tribus primitivas han demostrado que el conocimiento de una sucesión ordenada de palabras numéricas no lleva necesariamente consigo la comprensión del concepto de número cardinal. Sin embargo, la ausencia de palabras numéricas no impide tampoco, gracias a la utilización de la correspondencia biunívoca la posibilidad de contar.

Eliminar el soporte material del objeto observado, para no retener más que el elemento numérico al que corresponde en el proceso de numeración, equivale de hecho a exigir que el observador sea capaz de abstraer. Esta etapa decisiva no se adquiere sino progresivamente y en la medida en que se distinguen dos conceptos importantes: el número cardinal, que proporciona la expresión cuantitativa, y el número ordinal, que pone de manifiesto la existencia de un primer elemento seguido de un segundo y de un tercero, etc.

El hombre primitivo piensa en un número cuando capta bien las relaciones siguientes:

1) La naturaleza de los objetos que se van a contar no desempeña ningún papel en la numeración;

2) El orden en el que los elementos son observados no influye en el resultado final, es decir, en el número cardinal;

3) El último elemento contado corresponde de hecho, en la medida en que sólo sea necesario el resultado de la cuenta, al número cardinal de la colección.

Cuando sintió la necesidad de representar los números con símbolos, el hombre ya había hecho grandes progresos y seguramente había empezado a practicar la agricultura. Tenía necesidad de un instrumento que midiera el tiempo y que, por tanto, le indicase los períodos más propicios para la siembra y la cosecha.

Es decir, separadamente de la astronomía, las matemáticas son quizá la rama del pensamiento humano más antigua y con más persistencia cultivada. Por otro lado, a diferencia de las ciencias físicas, la filosofía y las ciencias sociales, en el campo de las matemáticas muy poco es lo que se ha creado y luego descartado. El desarrollo de las matemáticas es acumulativo, esto es, las creaciones más recientes se fundan, lógicamente hablando, en las anteriores. De ahí que por lo común deba uno entender los resultados antiguos para dominar los nuevos. Estos hechos son los que nos aconsejan que nos remontemos a los orígenes mismos de las matemáticas.

El pensamiento matemático

Es generalmente aceptado que existe una correspondencia entre el pensamiento del hombre y los requerimientos de la sociedad en la que vive. Nuestra capacidad de pensamiento, como cualquier otra capacidad de los seres vivos, es una respuesta a la necesidad de controlar el ambiente en el que vivimos. El pensamiento es una respuesta que los sistemas complejos, como los seres humanos, pero también los animales superiores, dan a las variaciones del ambiente para tratar de “compensarlas”, haciendo mínimos sus efectos sobre los equilibrios internos del sistema mismo. La capacidad de pensamiento trata de obtener este objetivo a través de la construcción de “modelos teóricos” que de algún modo “representen” la realidad considerada, y den un instrumento adecuado para “comprenderla” y para formular “previsiones” que permitan al sistema mismo “prepararse” a tiempo para las variaciones que sucederán. Para dar un ejemplo, la capacidad de prever que se tendrá hambre, pasado un cierto número de horas desde la última comida, es la razón que impulsa a algunos seres vivos a preocuparse de buscar alimento aun cuando no tienen directamente hambre.

Puesto que queremos centrar la atención sobre la actividad de pensamiento, es necesario precisar que cuando hablamos de instrumentos no nos referimos sólo a objetos materiales, sino también a procedimientos que se hayan convertido en instrumentos de comprensión, como, por ejemplo, aquel para efectuar las multiplicaciones u otros que permiten resolver distintos problemas. Estos procedimientos están ya tan codificados que pueden considerarse “instrumentos de trabajo” de nuestro cerebro. La correlación entre la actividad de pensamiento y sus instrumentos es del mismo tipo que la descrita para el movimiento: por ejemplo, el lenguaje verbal articulado, estructurado con el uso de nombres, verbos, etc., es, sin más, un producto del pensamiento, pero es también uno de sus instrumentos más insustituibles, hasta el punto de que actualmente es muy difícil separar la actividad de verbalización de aquella de conceptualización.

Relaciones de este tipo, de dependencia entre necesidad social, desarrollo del pensamiento y disponibilidad de instrumentos adecuados, presiden también el nacimiento y la evolución del pensamiento matemático.

Ya en una primera observación, el vínculo más evidente es aquel entre las capacidades de cálculo, directamente influidas por los “instrumentos” disponibles, el uso que se hace de éstos y la comprensión de los principios lógicos que están detrás de las técnicas adoptadas. O sea, las capacidades de cálculo están directamente ligadas a la comprensión de las matemáticas y de la realidad; la comprensión de las matemáticas determina el conocimiento y la capacidad de usar los instrumentos de cálculo y de comprensión y control de la realidad; por último, la adecuación de los instrumentos matemáticos usados para comprender la realidad consiente un uso ventajoso de los mismos, y por tanto una acumulación de experiencia en calidad de premisa para el sucesivo crecimiento. Se puede decir, para definir de modo sintético el proceso, que el pensamiento matemático en general ha nacido para responder a la necesidad de construcción de modelos de la realidad que fueran bastante abstractos y generalizables. Su generalización debía ser de tal modo que permitiera la actividad de intercambio de bienes y otras actividades sociales como el sistema de los impuestos, la notación del tiempo, etc. La disponibilidad de modelos generales de comprensión ha permitido la aplicación de éstos a problemas más amplios, determinando un crecimiento en espiral de las posibilidades ofrecidas por los modelos y de los problemas afrontados.

Estos instrumentos se han adaptado rápidamente a la necesidad de construir modelos generales de fenómenos complejos como los eventos astronómicos, extremadamente importantes en una sociedad agrícola primitiva, pero han permitido también la puesta a punto de sofisticados medios de cálculo financiero para la administración de los recursos disponibles.

Nuestros antepasados, incluidos aquellos de inteligencia superior a la media, no poseían en cambio ni las cifras, ni las palabras para designar los números, y ni siquiera los números. Sin embargo, la percepción visual que poseían da acceso al hombre al reconocimiento de modestas cantidades de objetos sin contar. Está comprobado que podemos individualizar, con un golpe de ojo, y sin contar, hasta tres objetos, excepcionalmente 4; para cantidades superiores debemos recurrir a pequeños artificios; por ejemplo, reagrupar mentalmente los objetos que vemos: 2+2 , 3+2, o bien 3+3. Para cantidades superiores se impone alguna forma de contar. Es simple, también para el primitivo que no sabe contar, referir a los compañeros que ha visto una, dos, tres piezas de caza. Ayudándose con los gestos, puede repetir el nombre del animal tantas veces cuantas sea necesario, o bien puede ejemplificarlo con unas piedrecitas o con los dedos de las manos.

El primer paso hacia la conquista del número es el reconocimiento de la correspondencia biunívoca: una piedrecita, una oveja; dos piedrecitas, dos ovejas…Con las piedrecitas se puede llegar a representar cantidades notables, a condición de poder establecer la correspondencia biunívoca de modo seguro y de no perder luego las piedrecitas mismas.

Un paso muy importante para la construcción mental de un sistema numérico es la capacidad de superar el estadio “fisiológico” o “perceptivo”, para llegar a dominar una

cantidad mayor (6,7…). Los cinco dedos de una mano parecen hechos a propósito para proporcionar al ojo el punto de apoyo para acoger y memorizar algo más. La facilidad de memorización está ligada a la estructura misma de nuestro modo de pensar; en efecto, las “figuras” formadas por una mano de dedos extendidos o plegados pueden memorizarse como tales, incluso sin tener bien claro el significado del gesto; esto ocurre porque nuestra especie, como dice Arnheim, tiene una capacidad de pensamiento muy ligada a la facultad visual y a la elaboración de imágenes, como estadio precedente a la memorización de conceptos en forma de palabras.

La extensión de la técnica al uso de las dos manos debió de representar el primer paso que llevó a contar hasta diez. Es interesante notar que, ya en este nivel, aparece la recursividad, es decir, se aplica de nuevo un cierto procedimiento a una situación similar, pero ligeramente distinta. Una de las características fundamentales de los seres vivos es la de mantener un método, una técnica que se haya demostrado válida, fiable y económica, incluso fuera de un ámbito específico, con las oportunas modificaciones. Sólo una necesidad excepcional puede inducir a abandonar una metodología reconocida, y también en este caso persistirán las huellas de aquello que ha sido.

La historia nos enseña que los progresos no son nunca repentinos, que lo nuevo no sustituye a lo viejo de un día para otro. A quinientos años de la adquisición definitivas de las cifras arábigas, no son pocos los ámbitos de uso de las cifras romanas. En el lenguaje, la persistencia de las huellas de vocablos más antiguos es aún más acentuada.

En inglés la palabra digit significa cifra, pero también significa dedo; deriva del latín digitus (dedo): dígitos son los primeros nueve números; articuli son las decenas. La palabra digit nos reaparece en las formas “digital” y “bit”, acrónimo de binary digit (numeración binaria). Ha partido de Roma con el significado de cálculo electrónico. Las técnicas de cálculo difundidas por los romanos son, pues, superiores a las de las poblaciones celtas, y acaban adoptándose; ahora, es la tecnología del mundo anglosajón la que tiene la superioridad, y por eso nosotros importamos los medios y las palabras con las cuales se expresa.

Desde los orígenes, el hombre adquiere la conciencia de la versatilidad de sus dedos en cada aspecto de la vida. No se le puede escapar la posibilidad de usar los dedos de las manos, y si es necesario también de los pies para representar o registrar determinadas cantidades, y para calcular.

Aún hoy, cuando queremos atraer la atención de una persona sobre algo, lo “indicamos” usando justamente el índice. La fuerza del ligamen entre el dedo y la acción queda demostrada por la raíz común del verbo y del nombre del dedo. Se establece así un ligamen entre la parte del cuerpo, el dedo, y el concepto que define la acción tanto que hoy mantenemos el uso de la palabra “indicar” también para acciones que no tienen nada que ver con el dedo en sí, pero que son conceptualmente análogas a la acción primitiva de atraer la atención de alguien sobre algo.

Para indicar dos objetos, nosotros orientamos oportunamente un dedo y decimos, por ejemplo: “mira esas dos casas”; es decir, recurrimos al dedo para indicar la dirección y a las

palabras para especificar la cantidad. Si no dispusiéramos de las palabras adecuadas y del concepto formalizado de número, para representar la cantidad deberíamos usar dos dedos; de otra manera, deberíamos indicar en sucesión los objetos de que se trata: el primero, el segundo…

Ya en el primer tipo de acción existe una precisa vinculación entre el dedo y el objeto: esta relación se amplía hasta convertirse en relación de equipotencia cuando usamos más dedos de la mano o varias veces el mismo dedo, estableciendo una relación “uno a uno” con los objetos que nos interesan para indicar su cantidad. De estas consideraciones emerge la presencia contemporánea de los aspectos ordinal y cardinal del número; en efecto, los dedos están naturalmente “ordenados” y aún más lo están las indicaciones en sucesión, mientras la correspondencia de uno a uno es referible al concepto de cardinalidad de un número.

Se supone que los términos que indican los números, al menos aquellos de más antigua invención (en la práctica, los primeros cinco), derivan de palabras que indican los dedos o partes del cuerpo. Desgraciadamente, todo esto se ha perdido en la noche de los tiempos y nonos queda otra cosa que hacer más que confiarnos a hipótesis y analogías. Varias poblaciones primitivas estudiadas en el siglo pasado usan un término que significa:”mano” para expresar el 5. Los números inferiores a 5 deberían derivar de los nombres de los dedos. El término sánscrito panchta, que quiere decir 5, encuentra una correspondencia en el persa penchta, mano. El cinco ruso, piat, se parece a piast, mano tendida.

En este punto es preciso recordar que también la palabra, en cuanto sonido y expresión de pensamiento, contribuye junto con los dedos y a otras partes del cuerpo al largo proceso de construcción del concepto de número. Danztig refiere que una tribu de la Columbia Británica posee nada menos que “siete distintos grupos de vocablos para indicar los números: uno para los objetos planos y para los animales, otro para contar los hombres, otro para los objetos alargados y para los árboles, otro para las canoas, otro para las medidas, y otro para contar sin referirse a objetos determinados”. Esto significa que si por un lado se ha llegado a dar un nombre a los números (nombre que indica al mismo tiempo también el objeto contado), por el otro se han quedado adheridos a la percepción concreta de las cosas; es decir, ha faltado es paso hacia la abstracción que habría hecho entender que cuatro canoas y cuatro hombres tienen en común precisamente el “4”.

El número en etapas

Partiendo de capacidades perceptivas análogas a las de los animales, el hombre crea el concepto de número, y los números, en momentos sucesivos.

1.-Numeraciones figuradas o concretas: del uso de las piedras o de los palitos se pasa al gesto numérico referido prioritariamente al propio cuerpo. En cualquier época, en efecto, el instrumento principal del cálculo humano es el cuerpo, siempre disponible. Si los dedos de las manos y de los pies no son suficientes, se recurre también al gesto: junturas o partes características. Y no es necesario el uso de términos específicos. Con tal de que antes se establezca una convención, basta observar con atención a aquel que se dispone a “expresar”

un mensaje numérico. Este, en efecto, toca las partes de su propio cuerpo en el orden convenido hasta alcanzar el punto idóneo. Al gesto visible y concreto puede añadir la indicación oral, consistente en pronunciar el nombre de las partes que se tocan.

Entre los papúas de Nueva Guinea: “Se comienza con el meñique de la mano derecha, se continúa con los dedos de la misma parte, el puño, el codo, el hombro, la oreja y el ojo, luego se pasa al ojo izquierdo…hasta el meñique de la mano izquierda”. Los términos usados son los nombres mismos de las partes del cuerpo. Puesto que una misma palabra es usada para indicar algunos números distintos entre sí, la especificación se realiza con el gesto: anusi es el nombre del meñique y en la numeración corpórea antedicha representa al 1 en la derecha y el 22 en la izquierda.

La correspondencia biunívoca entre ovejas y piedrecitas puede ser incómoda cuando el rebaño es numeroso. Dantzig narra el método adoptado por el rey de Madagascar para contar sus tropas: “Se hace desfilar a los soldados por un estrecho pasaje y por cada uno de ellos se hace caer una piedrecita. Cuando se ha llegado a 10, se pone una piedrecita en un nuevo montón que representa las decenas y se sigue contando. Cuando el segundo montón contiene diez piedrecitas se empieza un tercero que representa las centenas y así sucesivamente”.

2.-La enunciación de los nombres de las partes del cuerpo, automatizada en virtud de la convención que regula su orden de “aparición”, se convierte en semi-abstracta: se piensa cada vez menos en la parte del cuerpo que representa y cada vez más con significado cuantitativo referible a cualquier objeto. Por lo demás, cuando hablamos de un televisor de 22 pulgadas, poco de nosotros pensamos ya en el primer dedo de la mano, o en la medida inglesa correspondiente a 2,54 cm.

3.-En el curso de los milenios, a partir de una única palabra se desarrollan dos términos distintos: el que indica el número y que indica la parte del cuerpo. Se puede suponer que el nombre del número se ha modificado más lentamente porque la cultura es prerrogativa de restringidas elites tendencialmente conservadoras y celosas de sus conocimientos. Los términos ligados a la cotidianeidad, en cambio, se deforman o se pierden más rápidamente, o son sustituidos por otros, o cambian radicalmente de significado.

Ahora el sistema numérico ha adquirido una existencia autónoma propia, y también una estructura coherente fundada sobre una base estable.

Agrupamiento de los números

Si los signos para representar los números precedieron cronológicamente a las palabras, el agrupamiento de los signos (rayas verticales, guijarros, dedos de la mano, etc.) influenció sin duda, de manera directa, la base del sistema de numeración elegido.

Parece que las tribus más primitivas utilizaron primero el agrupamiento de dos en dos, después de cuatro y de seis en seis. Ocasionalmente, las variantes corresponden a agrupamientos de tres en tres (tribus americanas). Un sistema muy natural y en boga corresponde a los dedos de la mano y puede así implicar agrupamientos de cinco en cinco (dedos), de diez en diez (dedos) y de veinte en veinte (dedos de los pies y de las manos). En un principio, este sistema presenta la ventaja, no solamente de preferir agrupamientos naturales y fácilmente accesibles, sino también de favorecer, por la “disposición” de los dedos, una distinción entre número cardinal y número ordinal. Estos agrupamientos de cinco, diez y veinte objetos aparecen en varias partes del mundo. Otros agrupamientos fueron también utilizados por ciertas tribus primitivas, especialmente los agrupamientos de doce, de sesenta y de ocho.

Sistemas de numeración

La necesidad de un sistema numérico, como ya se mencionó, proviene de la naturaleza de las actividades propias del pueblo primitivo. Las tribus que poseían grandes rebaños domesticados o que practicaban una agricultura diversificada y desarrollada sintieron muy pronto la necesidad de elaborar un sistema que les permitiese utilizar números grandes y favoreciese la invención de un calendario.

Un primer procedimiento consiste en prolongar el agrupamiento añadiendo unidad a unidad. Por ejemplo, si el hombre primitivo utiliza los cinco dedos de su mano izquierda como agrupamiento, utilizará los dedos (uno a uno) de su mano derecha para prolongar la cuenta hasta diez. Otra posible extensión consistirá en utilizar los dedos de los pies. Este procedimiento, aunque muy simple, introduce dificultades enormes en el lenguaje, puesto que requiere la creación de nuevas palabras.

Otro procedimiento, mucho más eficaz, consiste en utilizar el principio de la “repetición” en la numeración de los objetos contados. Al hombre primitivo, que utiliza una mano de cinco dedos como base, le es suficiente añadir la otra mano para contar hasta diez; después, una segunda persona registra las cuentas de diez a veinte, y así sucesivamente. Una variante consiste en utilizar los diez dedos como base y proceder así de la misma forma que antes. Este procedimiento está catalogado como “sistema aditivo no posicional”; su principal defecto es que utiliza un gran número de símbolos.

El tercer método, muy poco empleado durante la prehistoria, se basa esencialmente en el principio de la posición. Cualquier símbolo posee el valor indicado por la posición que ocupa en la sucesión de símbolos que representa un número u otro. El ejemplo por excelencia de este tipo de sistema, llamado “sistema posicional”, es nuestro sistema decimal.

El desarrollo de los sistemas de numeración de la época prehistórica no fue, probablemente, más allá del tipo aditivo no posicional. No obstante, esto no impidió a los hombres primitivos establecer los primeros elementos de una aritmética práctica y de una geometría orientada a la medición de áreas y volúmenes.

Operaciones con números naturales

Otro adelanto fue la introducción de las operaciones aritméticas. Es toda una proeza sumar los números que representan dos colecciones de objetos y obtener el total, en lugar de contar uno por uno los objetos de las colecciones combinadas. Y lo mismo sucede con la resta, la multiplicación y la división. Los primeros procedimientos para realizar estas operaciones fueron burdos y enredados en comparación con los nuestros, pero las ideas y sus aplicaciones ya estaban allí.

La adición comienza con muy pocos símbolos distintos y los números empleados se escriben casi siempre como suma de dos números inferiores. Por ejemplo, el número cinco podría escribirse así: 1+4, 2+3, 1+1+1+2, 1+1+1+1+1, etc. Si la base del sistema es cinco, un símbolo especial designa generalmente al número cinco (suele ocurrir lo mismo con el número que corresponde a la base empleada). Por consiguiente, la adición se hace por descomposición y los cálculos son con frecuencia largos y penosos.

La sustracción proviene de la costumbre de ciertas tribus de escribir el número 6, por ejemplo, como 7-1. La diferencia 3-3 se descarta, puesto que el número cero no se había inventado y todas las sumas o diferencias negativas son desconocidas.

La multiplicación se introdujo probablemente en ciertos pueblos primitivos por medio del desdoblamiento. Desdoblando el número 10 como sigue:

10=2×5=2× (2+2+1)

o de manera equivalente, se conseguían multiplicar los números y registrar los resultados los resultados en forma de tablas numéricas.

La división fue una operación demasiado difícil, desde un punto de vista práctico, para los pueblos primitivos. Parece que las fracciones hacen su aparición con el advenimiento de las civilizaciones babilónica y egipcia.

La adquisición de los rudimentos del cálculo aritmético da lugar a la medición de longitudes, áreas y volúmenes. Las unidades de medición se eligen con frecuencia entre las partes del cuerpo humano: el dedo, el pie, el pulgar, la mano, el antebrazo. Los volúmenes se miden con ayuda de cestos o de caparazones de tamaño “estándar”. La construcción de las casas se lleva a cabo con ayuda de reglas que garantizan la existencia de líneas y ángulos rectos. La geometría que se utiliza es empírica y está esencialmente dirigida a un

fin utilitario o ritual. La justificación de las reglas utilizadas y de las convenciones elegidas es inexistente, por lo menos en los documentos recogidos sobre esta época.

La geometría aparece también en las pinturas y motivos dibujados por estos pueblos primitivos. Una riqueza de figuras geométricas se encuentra en vasos, cestos, muros de cavernas. Son abundantes los ejemplos de semejanza y de distintas formas de simetría en las decoraciones del Neolítico. La imaginación geométrica de estos pueblos es de un patrimonio difícil de sospechar.

Hay que mencionar también que el desarrollo de las matemáticas estuvo en esta época muy influenciado por la astronomía. Los pueblos primitivos poseían ciertos conocimientos relativos al Sol, la Luna y las estrellas. Además, un pueblo agrícola debía llevar la cuenta de los días y de las noches, así como de las distintas estaciones. Los pueblos primitivos adoptan casi todos, un calendario lunar con el fin de diferenciar los aspectos cambiantes de la vegetación y poseer de tiempos útiles y convenientes.

Por último, es indispensable subrayar la influencia de la religión sobre la vida primitiva, tanto en el plano espiritual como en el de las acciones diarias del hombre primitivo. Incluso si la civilización se estableció sobre un soporte religioso inherente a prácticas rituales, se debe, no obstante, considerar cuál fue el papel de la práctica religiosa del hombre primitivo en su concepción del número.

Se ha sugerido que el arte de contar pudo aparecer en conexión con ciertos rituales religiosos primitivos y que el aspecto ordinal precedió al concepto cuantitativo. En los ritos ceremoniales que escenifican los mitos de la creación era necesario llamar a los participantes a escena en un orden preciso y determinado, y quizá la numeración se inventó para resolver este problema. Si son concretas las teorías del origen ritual de la numeración, entonces el concepto de número ordinal puede haber precedido al de número cardinal. Por otra parte, un origen de este tipo tendería a apuntar a la posibilidad de que la numeración surgiera en un origen local único, para extenderse después a otros lugares de la tierra. Este punto de vista, aunque está muy lejos de estar bien establecido, estaría en armonía con la división ritual de los números enteros en pares e impares, considerando a los primeros con femeninos y a los segundos como masculinos; clasificaciones de este tipo fueron conocidas por las civilizaciones de todos los rincones de la tierra, y los mitos relativos a los números machos y hembras han tenido una persistencia muy notable.

El concepto de número natural es uno de los más antiguos de la matemática, y sus orígenes se pierden entre la bruma de la antigüedad prehistórica. El concepto de fracción racional, en cambio, se desarrolló relativamente tarde y, en general, no estuvo estrechamente relacionado con el sistema elaborado por el hombre para los enteros. Entre las tribus primitivas no parecen haber existido prácticamente ninguna necesidad de usar fracciones; para las necesidades cuantitativas usuales el hombre puede elegir, en la práctica, unidades lo suficientemente pequeñas como para evitar la necesidad de usar fracciones. Y, por lo tanto, no hubo tampoco un progreso ordenado y lineal de las fracciones binarias a las quinarias y finalmente a las fracciones decimales, sino que los decimales fueron esencialmente producto de la época moderna de la matemática y no del período antiguo.

Formación de la geometría

Las afirmaciones que se hagan acerca de los orígenes de la matemática, ya sea de la aritmética o de la geometría, serán necesariamente arriesgadas y conjeturales ya que en cualquier caso, dice Boyer, los orígenes de esta materia son más antiguos que el arte y la escritura. Sólo durante la última media docena de milenios, de un largo proceso que puede haber cubierto miles de milenios, ha sido capaz el hombre de poner por escrito sus pensamientos y aquello que quería dejar registrado. Así pues, en lo que se refiere a los datos correspondientes a la época prehistórica, nos vemos obligados a depender de interpretaciones que se basan en los pocos utensilios que se han conservado, de la evidencia que puede suministrar la antropología actual y de la extrapolación conjetural hacia atrás hecha a partir de los documentos que se han conservado. Herodoto y Aristóteles no querían arriesgarse a situar los orígenes de la geometría en una época anterior a la civilización egipcia, pero está claro que la geometría en la que ellos pensaban tenía sus raíces en una antigüedad mucho mayor. Herodoto sostenía que la geometría se había originado en Egipto, porque creía que dicha materia había surgido allí a partir de la necesidad práctica de volver a trazar las lindes de las tierras después de la inundación anual del valle del río Nilo. Aristóteles sostenía en cambio que el cultivo y desarrollo de la geometría en Egipto se había visto impulsado por la existencia allí de una amplia clase sacerdotal ociosa. Nosotros podemos considerar que los puntos de vista de Aristóteles representan dos teorías opuestas acerca de los orígenes de la matemática, la primera defendiendo un origen basado en el ocio y ritual sacerdotal. El hecho de que a los geómetras egipcios se les llamase a veces “los tensadores de la cuerda” (o agrimensores) se puede utilizar para apoyar cualquiera de las dos teorías, porque las cuerdas se usaron indudablemente tanto para bosquejar los planos de los templos como para reconstruir las fronteras borradas entre los terrenos. No podemos rechazar con seguridad ni la teoría de Herodoto ni la de Aristóteles sobre los motivos que condujeron a la matemática, pero lo que sí está bien claro es que los dos subestimaron la edad de dicha ciencia. El hombre neolítico puede haber disfrutado de escaso tiempo de ocio y haber tenido pocas necesidades de utilizar la agrimensura, y sin embargo sus dibujos y diseños revelan un interés en las relaciones espaciales que prepararon el camino a la geometría. La alfarería, la cestería y los tejidos muestran en sus dibujos ejemplos de congruencias y simetrías que son en esencia partes de la geometría elemental.

No hay muchos y casi nada de documentos disponibles de la época prehistórica, y por lo tanto es imposible seguir la pista a la evolución de la matemática de un diseño concreto a un teorema conocido, pero no obstante las ideas le son como esporas muy resistentes, y a veces el presunto origen de un concepto puede no ser más que la reaparición de una idea mucho más antigua que había permanecido en estado latente.

El interés del hombre prehistórico por los diseños y las relaciones espaciales puede haber surgido de su sentido estético, para disfrutar de la belleza de la forma, motivo que también anima frecuentemente al matemático actual. Nos gustaría pensar que por lo menos algunos de los geómetras primitivos realizaba su trabajo sólo por el puro placer de hacer matemáticas y no como una ayuda práctica para la medición, pero hay otras alternativas. Una de ellas es la que la geometría, lo mismo que la numeración, tuviera su origen en ciertas prácticas rituales primitivas. Los resultados geométricos más antiguos descubiertos

en la India constituyen lo que se llamó los Sulvasutras o “reglas de la cuerda”; se trata de relaciones muy sencillas que al parecer se utilizaban en la construcción de altares y de templos. Se suele pensar que las motivaciones geométricas de los “tensadores de la cuerda” en Egipto eran más prácticas que las de sus colegas en la India, pero se ha sugerido que ambas geometrías, tanto la egipcia como la hindú, pudieron derivarse de una fuente común, una especie de protogeometría que estaría relacionada con algunos ritos primitivos más o menos de la misma manera en que la ciencia se desarrolló a partir de la mitología y la filosofía de la teología. Debemos tener presente, sin embargo, que la teoría del origen de la geometría en una secularización de prácticas rituales, no está en absoluto bien establecida. El desarrollo de la geometría puede haberse visto estimulado tanto por las necesidades prácticas de la construcción y de la agrimensura como por un sentimiento estético de diseño y orden.

Sólo podemos hacer conjeturas acerca de qué fue lo que impulsó a los hombres de la Edad de Piedra a contar, a medir y a dibujar esquemas geométricos, pero lo que sí está claro es que los orígenes de la matemática son más antiguos que las civilizaciones más antiguas. Ir más lejos e identificar categóricamente un origen concreto en el espacio o en el tiempo, sin embargo, sería tanto como tomar equivocadamente conjetura por historia. Lo mejor, pues, es dejar en suspenso la decisión sobre este tema y avanzar hacia un terreno más seguro de la historia de la matemática, tal como se le encuentra en los primeros documentos escritos que han llegado hasta nosotros.

 

Conclusión

Sinopsis

Resumiendo, el período embrionario de desarrollo del saber matemático pre-científico abarca desde la aparición del Homo Sapiens sobre la faz de la Tierra unos 50 milenios a.C. hasta el siglo VI a. C. Aquí los conocimientos matemáticos guardan una estrecha relación con la actividad práctica del hombre y son obtenidos por inducción de la misma.

Una primera etapa, que pudiéramos llamar Arcaica, comprende aproximadamente los primeros 44.000 años del período. En ella, el hombre enfrentando el medio comenzó a manipular objetos simples y al hacerlos interactuar logró producir algunos utensilios y armas manuales que le facilitaron su actividad diaria. Aquí también tuvieron su origen las primeras nociones matemáticas de cantidad y forma en la diferenciación cualitativa entre poco y mucho y el reconocimiento de algunas formas elementales.

Las necesidades de contar los frutos recolectados o las presas cazadas para el sustento del núcleo social básico, obligaron en un principio a establecer cierta diferenciación entre el numeral y el conjunto contado. A la vez que se hacía una correspondencia entre conjuntos diferentes y un conjunto de referencia de pequeñas piedras, ramas u otros. Así surgieron los primitivos sistemas de numeración, que por lo general tenían base dos o tres en una primera etapa y posteriormente base múltiplo de cinco debido a la influencia ejercida por los dedos de las manos y/o de los pies como conjunto de referencia. Dichos sistemas eran conformados por adición u ocasionalmente por sustracción con lo que aparecieron las primeras operaciones aritméticas.

Las nociones de formas geométricas elementales fueron tomadas directamente de la naturaleza por medio del Sol, las ondas producidas al lanzar un objeto al agua, los panales de las abejas, la tela de las arañas y otros. Probablemente en un inicio muchas de estas formas fueron representadas con algún sentido mito-mágico, pero la ornamentación con patrones geométricos en la naciente alfarería y el tejido cautivó a los hombres. Así tuvieron lugar a las primeras ideas sobre congruencia, semejanza y simetría, además del conocimiento de algunas propiedades elementales de las figuras y las direcciones angulares. Estos conocimientos fueron perfeccionados con la aparición de los primeros calendarios rústicos en las postrimerías de esta etapa.

A partir del VI milenio a.C. en algunas regiones del planeta la actitud del hombre hacia la naturaleza cambió. De vivir a expensas del medio el hombre pasó a dominar procesos de transformaciones naturales. La actividad básica cimentada en la caza y la recolección fue paulatinamente sustituida por la agricultura y la ganadería. Con ello no solo cambió la relación hombre-naturaleza sino también cambiaron las propias relaciones entre los hombre originándose las primeras sociedades divididas en clases.

Bibliografía

*Bertrand Russell. Religión y Ciencia, título original: Religion and Science. Editorial Fondo de Cultura Económica. México. Novena impresión: Abril de 1.994.

*Alberto Campiglio y Vincenzo Eugeni. De los dedos a la calculadora: La evolución del sistema de cálculo, título original: Dalle dita al calcolatore, (publicado en italiano por el Grupo Editoriale Fabbri, Bompiani, Milán. Ediciones Paidós. Barcelona, Buenos Aires, México. Primera edición: 1.992.

*Enciclopedia Temática Espasa: Siglo XXI. Ediciones Espasa Calpe, S.A.. España. 2.000.

*Jean Paul Collette. Historia de las matemáticas I, título original: Histoire des mathématiques I. Siglo veintiuno editores, s.a. de c.v..España. Cuarta edición: 2.000.

* Carl B. Boyer. Historia de la matemática, título original: A History of Mathematics. Alianza Editorial. Madrid. Primera edición: 1.987.

*Tomás David Perez Gutié. Las matemáticas a lo largo de la historia: de la prehistoria a la antigua Grecia.

*Nicola Abbagnano y A. Visalberghi. Historia de la Pedagogía, título original:Lince de storia della pedagogia. Editorial Fondo de Cultura Económico. Madrid, España. Novena reimpresión: 1.992

*Páginas de Internet: Wikipedia y otras.

*Miguel de Guzmán. Impactos del Análisis Armónico. Discurso de ingreso en la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Madrid: 23 Marzo 1. 983.