Geometra

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Geometra

1.INTRODUCCIN Geometra (del griego ge, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma ms elemental, la geometra se preocupa de problemas mtricos como el clculo del rea y dimetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos slidos. Otros campos de la geometra son la geometra analtica, geometra descriptiva, topologa, geometra de espacios con cuatro o ms dimensiones, geometra fractal, y geometra no eucldea.

2.GEOMETRA DEMOSTRATIVA PRIMITIVA El origen del trmino geometra es una descripcin precisa del trabajo de los primeros gemetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamao de los campos o el trazado de ngulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometra emprica, que floreci en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemtico Pitgoras coloc la piedra angular de la geometra cientfica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometra emprica se pueden deducir como conclusiones lgicas de un nmero limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitgoras y sus discpulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemtico moderno se consideran como un conjunto de supuestos tiles pero arbitrarios.Un ejemplo tpico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemticos griegos es la siguiente afirmacin: "una lnea recta es la distancia ms corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, lneas, ngulos y planos se puede deducir lgicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ngulos de cualquier tringulo es igual a la suma de dos ngulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitgoras). La geometra demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polgonos y crculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemtico griego Euclides, en su libro Los elementos. El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto bsico de geometra hasta casi nuestros das.

3.PRIMEROS PROBLEMAS GEOMTRICOS Los griegos introdujeron los problemas de construccin, en los que cierta lnea o figura debe ser construida utilizando slo una regla de borde recto y un comps. Ejemplos sencillos son: la construccin de una lnea recta dos veces ms larga que una recta dada, o de una recta que divide un ngulo dado en dos ngulos iguales. Tres famosos problemas de construccin que datan de la poca griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemticos que intentaron resolverlos: la duplicacin del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del crculo (construir un cuadrado con rea igual a un crculo determinado) y la triseccin del ngulo (dividir un ngulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el comps, y la imposibilidad de la cuadratura del crculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cnicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cnicas son importantes en muchos campos de las ciencias fsicas; por ejemplo, las rbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cnicas.Arqumedes, uno de los grandes cientficos griegos, hizo un considerable nmero de aportaciones a la geometra. Invent formas de medir el rea de ciertas figuras curvas as como la superficie y el volumen de slidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. Tambin elabor un mtodo para calcular una aproximacin del valor de pi (), la proporcin entre el dimetro y la circunferencia de un crculo y estableci que este nmero estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.4. GEOMETRA ANALTICA

La geometra avanz muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filsofo y matemtico francs Ren Descartes, cuyo tratado El Discurso del Mtodo, publicado en 1637, hizo poca. Este trabajo fragu una conexin entre la geometra y el lgebra al demostrar cmo aplicar los mtodos de una disciplina en la otra. ste es un fundamento de la geometra analtica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometra moderna.Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigacin de las propiedades de las figuras geomtricas que no varan cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro. Un ejemplo sencillo de geometra proyectiva queda ilustrado en la figura 1. Si los puntos A, B, C y a, b, c se colocan en cualquier posicin de una cnica, por ejemplo una circunferencia, y dichos puntos se unen A con b y c, B con c y a, y C con b y a, los tres puntos de las intersecciones de dichas lneas estn en una recta. De la misma manera, si se dibujan seis tangentes cualesquiera a una cnica, como en la figura 2, y se trazan rectas que unan dos intersecciones opuestas de las tangentes, estas lneas se cortan en un punto nico. Este teorema se denomina proyectivo, pues es cierto para todas las cnicas, y stas se pueden transformar de una a otra utilizando las proyecciones apropiadas, como en la figura 3, que muestra que la proyeccin de una circunferencia es una elipse en el otro plano.

5. MODERNOS AVANCES

La geometra sufri un cambio radical de direccin en el siglo XIX. Los matemticos Carl Friedrich Gauss, Nikoli Lobachevski, y Jnos Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometra no eucldea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraos y no intuitivos de espacio, aunque, eso s, coherentes.Casi al mismo tiempo, el matemtico britnico Arthur Cayley desarroll la geometra para espacios con ms de tres dimensiones. Imaginemos que una lnea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la lnea se sustituye por una lnea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una lnea perpendicular a l, se genera un espacio tridimensional. Yendo ms lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una lnea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque ste es fsicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente slido. El uso de conceptos con ms de tres dimensiones tiene un importante nmero de aplicaciones en las ciencias fsicas, en particular en el desarrollo de teoras de la relatividad.Tambin se han utilizado mtodos analticos para estudiar las figuras geomtricas regulares en cuatro o ms dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometra se conoce como geometra estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometra es la definicin de la figura geomtrica ms sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o ms dimensiones. En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, lnea, tringulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura ms sencilla est compuesta por cinco puntos como vrtices, diez segmentos como aristas, diez tringulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, est compuesto por cuatro vrtices, seis segmentos y cuatro tringulos.

Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareci en el siglo XIX. En la dcada de 1970 el concepto se desarroll como la geometra fractal.

GEOMETRA NO EUCLIDIANA:Los conceptos primitivos geomtricos (punto, recta, plano) han surgido a partir de la necesidad de medir distancias entre puntos o localidades, superficies y volmenes de objetos.

En civilizaciones antiguas como la de Egipto, Asiria, India, etc. ya se conocan las principales figuras geomtricas y la nocin de ngulo. Pero fue en Grecia (Siglo VI y III a.C. principalmente) donde tuvo su principal desarrollo. En Alejandra, entre los aos 330 y 275 a. c. vivi un hombre que sistematiz y ampli los conocimientos geomtricos hasta entonces conocidos. Si bien pas desapercibido (junto a su obra) en su poca, estableci, bajo la forma axiomtica, las relaciones entre los conceptos primitivos y sus principales propiedades. De l hoy conocemos slo su nombre, Euclides, y que escribi en trece libros denominados Stoikheia (elementos), los axiomas y los teoremas deducidos de ellos. Desgraciadamente no han llegado hasta nosotros toda esta bibliografa, sabemos de la existencia de ellos a travs de los comentarios que se han hecho posteriormente.

En el primer libro se enuncian los axiomas de enlace o existencia que relacionan a los conceptos primitivos entre s y sus principales propiedades. De ellos, para este trabajo, slo nos interesan los cinco primeros.

Ellos son:

1- Trazar una recta de un punto cualquiera a otro: (lo que equivale a decir, por dos punto slo pasa una recta )

2- Prolongar por continuidad en lnea recta una lnea limitada: (aqu surge la confusin de suponer a la recta como lnea abierta nicamente.)

3- Describir el crculo con centro y radio dado.

4- Todos los ngulos rectos son iguales.

5- Si una recta al intersecar a dos rectas en un plano, forman ngulos internos sobre un mismo lado (ngulos conjugados internos) cuya suma sea menor que dos rectas; entonces las rectas, si se prolongan indefinidamente, se encontrarn del lado sobre el cual la suma sea menor que la de dos rectos.

Este axioma fue motivo de discusin casi desde su formulacin. El propio Euclides no lo utiliz hasta el teorema 29.

Su elaboracin y la impresin de redundancia motiv la suposicin que debera demostrarse como un teorema partiendo de los dems postulados. Slo hace poco ms de un siglo que la idea de tomarlo como un postulado independiente de los dems gan adeptos y hace menos de cien aos se demostr, efectivamente, que era imposible demostrarlo.

NEGACIN DEL QUINTO POSTULADO:

Como ya se ha dicho, de los cinco postulados del sistema euclidiano, los cuatro primeros traducen propiedades ms o menos evidentes, pero el quinto llama la atencin por su mayor complejidad y por carecer de la evidencia intuitiva de que gozan los dems. Probablemente al propio Euclides le molestara esta deficiencia por lo que evita utilizarlo lo ms posible.

Slo lo aplica por primera vez para demostrar la proposicin 29 del libro I que dice : "una recta que corta a dos paralelas forma con ellas ngulos alternos internos iguales, correspondientes iguales e interiores de un mismo lado (conjugados internos) suplementarios."

El esfuerzo de Euclides por evitar el uso del postulado V y construir la geometra con independencia del mismo justifica la muy repetida frase de que Euclides fue el primer gemetra no euclidiano, o que la geometra no euclidiana naci negando su paternidad.

La primera idea que prevaleci por ms de veinte siglos fue la de querer demostrar este postulado. Los sucesivos ensayos de demostracin no dieron otro resultado que llevarlo a formas equivalentes, aunque, en ciertos casos, con apariencia muy distinta a la versin original.

CUANDO EL PARALELISMO EQUIVALE AL QUINTO POSTULADO:

Una tendencia que aflor repetidas veces fue la de modificar la definicin de rectas paralelas. Para Euclides eran aquellas que "no se encuentran por ms que se las prolongue" (Def. XXIII, libro I) . Proclo, matemtico bizantino al que se le deben las pocas noticias sobre Euclides, las define diciendo: "la distancia entre dos puntos de dos rectas que no se cortan puede hacerse tan grande como se quiera prolongando suficientemente las dos rectas". Esta proposicin, que atribuye a Aristteles y toma como evidente, vale que siempre las rectas se consideren lneas no cerradas. As el 5 postulado puede enunciarse como :

V 1 : Si una recta encuentra a una de dos paralelas, encuentra necesariamente a la otra.

V 2 : Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre s

V 3 : Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y slo una paralela a dicha recta.

Esta ltima aseveracin es la ms conocida, la ms comnmente utilizada en la actualidad en los textos de geometra y se la atribuye usualmente a John Playfair, matemtico y gelogo ingls de principios del siglo XIX. Otra orientacin que propone un nuevo aspecto en la incidencia del postulado es la del Jesuita G. Saccheri segn la cual se demuestra que dicho axioma es equivalente a afirmar que: " la suma de los ngulos interiores de un tringulo es igual a dos rectos ".

LAS GEOMETRAS: Diferencias

Existen tres tipos de geometras que surgen a partir del quinto postulado:

1. Si se lo acepta: Por un punto exterior a una recta pasa una y slo una recta paralela a ella.

Estamos frente a la geometra euclidiana, la que aprendemos en el colegio secundario.

Si se lo niega quedan dos opciones:

2. Por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas paralelas a ella.

Estamos frente a la geometra no euclidiana llamada hiperblica. Ej. Silla de montar.

3. Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta paralela a ella.

Estamos frente a la geometra no euclidiana llamada elptica donde sus rectas son rectas cerradas llamadas geodsicas. Ej. globo terrqueo.

Una forma de comprender las diferencias entre las tres geometras se encuentra en la demostracin de la proposicin segn la cual "la suma de los ngulos interiores de un tringulo es igual a 180 (un llano)", vlida nicamente en la geometra euclidiana por ser equivalente al quinto postulado. En la geometra elptica la suma de los ngulos interiores de un tringulo es mayor que 180 mientras que en la geometra hiperblica es menor.

El LADO OSCURO DE LOS ELEMENTOS

Los clebres Elementos de Euclides es una obra extensa, exhaustiva, que sin embargo deja sin enunciar explcitamente hechos esenciales como que dos circunferencias pueden cortarse, que toda circunferencia define un recinto interior y otro exterior, etc.

Es por eso que Bertrand Russell, con criterios de rigor modernos, pudo decir que la cuarta proposicin euclidiana era una "trama de sin sentidos" declarando adems escandaloso que estos libros fueran empleados (en su poca) como libro de texto.

Por otra parte, la geometra de Euclides fue el primer intento decisivo de organizar axiomticamente esta disciplina, y malamente podemos considerarlo culpable de no detectar todos los que le pondran D. Hilbert y otros al formalizar el sistema de principios de este siglo. Entre las pruebas del genio de Euclides, ninguna ms llamativa que la comprensin de que su notorio quinto postulado no era un teorema sino un axioma, y como tal, es preciso aceptarlo sin demostracin.

LA GUERRA DE LA GEOMETRA

A principios del siglo XIX los esfuerzos por demostrar el postulado de las paralelas adquirieron carcter de mana.

El matemtico alemn Karl F. Gauss (1777 1855) fue probablemente quin creyera por primera vez en la independencia del quinto postulado al aceptar la posibilidad lgica de que existiera una geometra en la cual se negara al quinto postulado, pero, por temor a la incomprensin no public nada al respecto y sus reflexiones sobre el tema se conocieron slo a travs de correspondencia.

En 1829 se public el primer trabajo sobre geometra no euclidiana, fue escrito por el matemtico ruso Lobachevsky (1793 1856), pero el desconocimiento del idioma ruso fuera de la propia Rusia y las muchas crticas que recibi en su pas, impidieron que su trabajo llamara particularmente la atencin.

El hngaro Farkas Bolyai derroch gran parte de su vida en tarea de demostrar el quinto postulado y en su juventud lo analiz no pocas veces con su amigo alemn Karl F. Gauss. Janos Bolyai, hijo de Farkas, lleg a obsesionarse de tal forma con el problema que su padre, conmovido, lleg a escribirle: "Por amor de Dios, te lo suplico, abandona. No le temas en menor grado a las pasiones de los sentidos, por que, como ellas, puede robarte todo tu tiempo y privarte de la salud, la tranquilidad de nimo y el goce de la vida."

Janos no atendi a los ruegos de su padre y lleg a convencerse muy pronto que el postulado, adems de ser indemostrable, era independiente de los restantes y de su negacin poda crearse un sistema diferente geomtricamente coherente. Ufano escribira a su padre en 1823: "de la nada he creado un universo nuevo". Farkas rpidamente pidi permiso a su hijo para publicar sus afirmaciones en el apndice de un libro que estaba terminando de escribir. La breve obra maestra de Janos apareci, efectivamente, en el libro de su padre tres aos despus de la publicacin del matemtico Ruso. Lo peor es que cuando Farkas envi el apndice a su amigo Gauss, el prncipe de las matemticas le contest que de alabar la obra estara alabndose a s mismo pues l haba realizado idntico trabajo muchos aos antes aunque sin publicarlo, en otras cartas explic de su miedo a las reacciones de sus colegas conservadores. Anonadado por la carta de gauss, Janos incluso lleg a sospechar que su padre hubiera podido revelar al alemn su formidable trabajo. Cuando, aos ms tarde, supo que el trabajo de Lobachevsky haba salido antes que el suyo, Janos perdi inters en el tema y no volvi a publicar nada ms. Hay que tener en cuenta que Janos era oficial de caballera y que para l las matemticas eran slo un hobby.

En ciertos aspectos la historia del jesuita italiano Giolaro Saccheri es ms triste que la anterior. Saccheri lleg a construir ambos tipos de geometras sin darse cuenta!. En todo caso Saccheri se neg a aceptar que ninguna geometra de estas estuviera libre de contradicciones, si bien algunos historiadores opinan lo contrario opinan que si Saccheri hizo creer lo contrario fue para que publicaran su obra. "Proclamar que un sistema no euclidiano pudiera ser verdadero como el de Euclides hubiera sido una invitacin temeraria a ser reprendido..." Por lo que el Coprnico de la geometra se vali de un subterfugio: corriendo un riesgo calculado Saccheri denunci su propia obra esperando que as, con esta mentira piadosa, lograra que su hereja burlara la barrera de la censura.

Lobachevsky y Bolyai construyeron una geometra donde, dada una recta (infinita) y un punto fuera de ella, haba infinitas rectas que pasaban por el punto pero no cortaban a la recta, o sea, eran paralelas. Haban establecido la negacin del quinto postulado y su geometra se llamara "hiperblica". Un momento importante en la historia de estas geometras ocurri en 1854 cuando George B. Riemann (1826 1866) present una tesis en la universidad de Gottingen, Alemania. Basndose en los trabajos de Gauss fundament una geometra basada en el concepto de la curvatura. Las geometras pasarn posteriormente a describirse como casos especiales de la geometra de Riemann.

APLICACIONES DE LA GEOMETRA NO EUCLIDIANA:

Es curioso observar como los creadores de la geometra no euclidiana de la primera mitad del siglo XIX, a pesar de su obra capital, parecieran alejarse del concepto platnico que preside Los Elementos de Euclides y, retrocediendo, vuelven a considerar la geometra como una ciencia destinada a medir las cosas de la tierra. En efecto, al vislumbrar la posibilidad de geometras distintas de la euclidiana, en lugar de adquirir el convencimiento de que el postulado V es indemostrable, y que en consecuencia, existen otras geometras igualmente verdaderas, mostraron una constante preocupacin por averiguar, por va experimental, cual era la verdadera geometra, es decir, cual era la geometra vlida para la naturaleza.

Descripciones no euclidianas del mundo fsico, utilizadas por ejemplo en la teora de la relatividad y en las investigaciones sobre fenmenos pticos y sobre la propagacin de ondas, se revelaron bastante adecuadas. Las nuevas geometras colaboraron as mismo en la interpretacin de modelos representativos de conceptos abstractos muy utilizados hoy en da en fsica y otras reas de la ciencia, como por ejemplo la estadstica.

A modo de ejemplo: Newton entenda a la gravitacin como una accin de fuerzas. Dos masas (imaginemos dos esferas) ejercen entre s una fuerza que se "mueve"(figurativamente hablando) a lo largo de la recta que pasa por sus centros. Para Einstein la gravedad se debe a una "curvatura" del espacio tiempo. Para l toda masa producira una distorsin, una curvatura en el espacio por el cual nosotros nos "deslizaramos". Imaginemos una cama bien tendida, su superficie se asemeja a una superficie euclidiana, una superficie plana. Si sobre esa superficie se apoya un libro pesado esa superficie deja de ser plana para transformarse en "curva". Cualquier objeto que se encuentre sobre la sbana cerca del libro se deslizar hacia l por efecto de la curvatura. En el caso del espacio tiempo, La Tierra, por ejemplo, curvara nuestro espacio de manera que cuando soltamos un lpiz l se deslizara por "esa curvatura" hacia el suelo.

Actualmente las geometras no euclidianas aparecen vinculadas a trabajos de investigacin concernientes a los ms diversos campos de inters de la matemtica, as por ejemplo a los sistemas dinmicos, funciones automorfas y la teora de los nmeros. Su utilidad es muy destacada en el estudio de variedades (superficies) tridimensionales.

Silvia Sokolovsky

Bibliografa:

Geometra no euclidiana Luis Santal Ed. EUDEBA.

Geometra no euclidiana, exposicin crtico histrica de su desarrollo. Roberto Bonola Ed. Espasa Calpe Argentina S.A.

Fundamento de la matemtica Alberto Dou Ed. Labor

Geometra no euclidiana Sueli I. Rodrigues Costa y Sandra A. Santos. Revista: Ciencia Hoy, vol. 3 N 15 Set. Nov. 1991 pg.34Relatividad general, el renacimiento. Damour Thibauld Revista: Mundo Cientfico Vol. 7 N 72

Juegos Matemgicos: El clebre postulado eucldeo de las paralelas y sus modernos herederos. Martn Gardner. Revista: Investigacin y Ciencia N 63 Dic. 1981. Pg. 122

Geometra y Realidad fsica. Edgardo Datri. Ed. Educo. Febrero 1999

"Geometra." Enciclopedia Microsoft Encarta 2001. 1993-2000 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.