Hidrostatica unidad ii; iii en pdf

HIDROSTATICA.

La hidrostática estudia el comportamiento de los fluidos en estado de reposo, en este caso se analizará la fuerza y la presión que un fluido aplica sobre puntos sumergidos, superficies planas y superficies curvas. PRESIÓN. Es la fuerza que ejerce un fluido por unidad de área. La unidad es N/m² denominada pascal, en sistema ingles se utiliza psi lb/in². Presión absoluta: valor de presión medido desde el cero absoluto. Presión manométrica: valor de presión medido a partir del valor de presión atmosférica local. Presión atmosférica local: valor de presión de un sitio geográfico medido desde el cero absoluto. P absoluta = P atmosférica local + P manométrica. P vacío = P atmosférica local – P absoluta.

P atmosférica local

P vacío

P absoluta P atm P atm

P absoluta

P manométrica

Figura 6.

RONALD HAMILTON ROMERO TIRADO UNIVERSIDAD DEL VALLE

1/24

PRESIÓN SOBRE UN PUNTO DE UN FLUIDO ESTATICO. Supongamos un punto de dimensiones infinitesimales sumergido en un fluido de peso especifico γ constante, como se ve en la figura 7, como el fluido es esta tico se puede hacer sumatoria de fuerza en x y y. El elemento tiene espesor 1.

dy Px

x

y

dx

Py

dW

ds

Ps

Θ

Figura 7.

Siendo:

dsdysen =θ , y

dsdx

=θcos

Realizando las ecuaciones de equilibrio:

( ) ( )110 ××−∑ ×== dssenPsdyPxFx θ

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××−××−∑ ×== 121cos10 dxdydsPsdxPyFy γθ

De la ecuación del eje x se obtiene: dssenPsPxdy ××= θ De la ecuación del eje y se obtiene: dydxdsPsPydx γθ +×= cos


2/24

Reemplazando el valor de sen Θ y de cos Θ, se obtiene:

dsdsdyPsPxdy ××=

PsdyPxdy = PsPx = De otro lado:

dydxdsdsdxPsPydx γ+××=

dydxPsdxPydx γ+=

dydxPsPy γ+= Por ser dy y dx unidades pequeñas el producto dy dx tiende a cero y entonces:

PsPy = Y PsPyPx == , por lo tanto la presión sobre un punto es la misma en cualquier dirección. Analicemos ahora dos puntos separados una longitud infinita L contenidos en un cilindro.

L

a b Pa Pb

δA δB

Figura 8.

Realizando equilibrio en el eje horizontal: ∑ −== BPbAPaFx δδ0

Como el cilindro es recto las áreas BA δδ = y entonces

PbPa = De lo anterior concluimos que dos puntos localizados en el mismo plano horizontal inmersos en un fluido estático tienen el mismo valor de presión.


3/24

ECUACION FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA. Definamos un cuerpo de dimensiones infinitesimales sumergido en un fluido estático con peso especifico ψ y a una profundidad h. (Figura 9).

x

z

y

dy

dx dz

2dy

ypP∂∂

+

2dy

ypP∂∂

−

h

Figura 9.

Realizando las ecuaciones de equilibrio.

∑ =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−= 022

dxdydzdxdzdyypPdxdzdy

ypPFy γ

022

=−∂∂

−−∂∂

− dxdydzdxdzdyypPdxdzdxdzdy

ypPdxdz γ

0=−∂∂

− dxdydzdydxdzyp γ

Análogamente en los otros planos y quitando el término de peso:


4/24

0=∂∂

− dydxdzyp

0=∂∂

− dydxdzyp

Ahora analizando la variación de fuerza para el cuerpo se tiene:

kji FzFyFxF ∂+∂+∂=∂

0=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∧∧∧∧

jdxdydzkdxdydzzpjdxdydz

ypidxdydz

xp γ =

Dividiendo entre dVol

0=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−∧∧∧∧

jkzpj

ypi

xp γ

De donde se obtiene,

0;0;0 =∂∂

−=−∂∂

−=∂∂

−zp

yp

xp γ

Entonces tenemos,

hyPdydp

dydpyp

γγγγ

γ

==

−=

−=

=−∂∂

−

∫ ∫

0

hP γ= , el signo menos queda cancelado por que la variación de

presión es negativa. Reemplazando y por h tenemos,

hP γ= Ecuación fundamental de la hidrostática.


5/24

MANOMETROS (PIEZOMETROS). La ecuación fundamental de la hidrostática muestra que una altura h de un fluido puede provocar cambios en la presión, lo que sugiere que una columna de fluido puede ser utilizada para medir diferencias de presión, un aparato basado en este principio se denomina manómetro o piezómetro y se usa comúnmente para medir pequeñas y medianas diferencias de presión. Un manómetro consiste básicamente d un tubo en U de vidrio o plástico que tiene en su interior uno o más fluidos, para mantener el manómetro en una escala manejable se utilizan fluidos pesados como el mercurio si se prevén grandes diferencias de presión. Existen diferentes configuraciones de acuerdo a las diferencias de presiones que se desean medir, las cuales son:

1) PA es ligeramente mayor al valor de la presión atmosférica local.

h

AR

a

b

Figura 10. Para determinar la presión en el punto A el cual es la presión interna del tanque, se escoge un punto de referencia y se empieza a utilizar la ecuación de la hidrostática de la siguiente manera. 0=Pa , por ser la atmosférica local hhPaPb γγ =+=

( )RhRPbPA +=+= γγ 2) PA mucho más grande que la presión atmosférica local. Se utiliza un

líquido piezométrico con una valor de peso especifico mucho mayor que el valor de peso especifico del agua y que no sea misible en la sustancia ala cual se le medirá la presión.


6/24

A a

bb’

c1γ

2γ

h1 h2

Figura 11.

Determinamos la presión en el punto A, 0=Pa , manométrica.

hhPcPAhhhPbPc

hPbPbhhPaPb

112

211221

12

1212

''

γγγγγ

γγγ

−==−=−=

===+=

3) PA mucho más pequeña que la presión atmosférica local.

0=Pa , manométrica

2112

211221

1212''

hhPcPAhhhPbPc

hhPaPbPaPa

γγγγγ

γγ

−==−=−=

=−==


7/24

A

aa’

c1γ

2γ

1h

2h b

Figura 12. 4) Utilización de manómetros para medir diferencias de presión entre dos

tanques.

A

B Aγ

Bγ

a

b b’

c

d

1h 2h

3h

mγ

Figura 13. El objetivo es hallar la diferencia de presión entre los taque PA – PB. 0=Pa , manométrica


8/24

132

321

3213

212

11

''

hhhPBPAhhhPAPdPB

hhhPAhPcPdhhPAhPbPc

PbPbhPAhPaPb

ABm

BmA

BmAB

mAm

AA

γγγγγγ

γγγγγγγ

γγ

−−=−−−+==

−−+=−=−+=−=

=+=+=

VARIACION DE LA PRESIÓN ATMOSFÉRICA CON RESPECTO A LA ALTURA.

Se intenta determinar la variación de la presión atmosférica teniendo los datos iniciales: 0000 ,,,, YTRPρ . Las condiciones finales serán: YTRP ,,,,ρ realizando una variación en la altura ΔY.

Supongo TTT ==0 constante.

RTP 00 ρ= , por lo tanto: 0

0

ρPRT = .

RTP ρ= , y se tiene: ρPRT = . De estas dos relaciones tenemos:

0

0

0

0

PPPP ρρ

ρρ=⇒= .


9/24

( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

−−=

−=

−=

=

−=−=

∫∫

gP

yyePP

gP

yyePPe

gP

yyPP

yyPP

gP

dyPdp

gP

dygP

dpP

gdyP

Pdp

gdydpdydp

y

y

P

P

0

0

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0

0

^

^ln^

ln

ln

00

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρργ

Del este resultado se puede observar que las variación en la presión atmosférica solo es considerable para diferencias de altura grandes.


10/24

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS EN FLUIDO ESTATICO.

1. PLANO HORIZONTAL.

A

A

x’

y’

F

dF dA ψ

Figura 14.

Se tiene una placa sumergida en un fluido estático, se necesita encontrar la fuerza F, que el fluido le aplica y las coordenadas (x’,y’) del punto de aplicación de dicha fuerza.

∫

∫ ∫==

=

PAdAPFPdAdF

Fuerza sobre la placa, recordemos que hP γ= . Ahora encontremos el punto de aplicación.


11/24

xxdAA

x

xdAPAPx

xPdAPA

x

xdFF

x

xdFFx

==

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

1'

'

1'

1'

'

Por estática esta expresión es el controide x , de igual manera se procede para encontrar la coordenada y’, luego las coordenadas de aplicación de la fuerza es ( )yx, . 2. PLANO INCLINADO.

F

x

y

dA dF h

h

Fy

Fx

y

x

θ

y

Figura 15.

Encontraremos la fuerza F que el fluido le aplica a la placa y su punto de aplicación. El ángulo Θ relaciona la profundidad h con la coordenada y de la siguiente manera:

yh

yhsen ==θ .


12/24

Donde hyx ,, representan las coordenadas y la profundidad respectivamente del centro de gravedad de la placa. Ahora hallemos la fuerza F.

AhFhysenAysenF

ydAsenFdAysendF

ysenhhdAdFPdAdF

γθθγ

θγ

θγ

θγ

=

=→=

=

=

=→=

=

∫∫ ∫∫

Si definimos hPcg γ= . Tenemos que: . APF cg= Encontremos ahora el punto de aplicación de la fuerza.

AyIy

IdAydAyAy

y

dAyAysen

seny

AyysenAysen

y

yPdAF

y

ydFFy

XF

XF

F

F

F

F

=

=→=

=

=

=

=

∫∫

∫

∫

∫

∫

22

2

1

1

1

θγθγ

θγθγ

Por ejes paralelos . AyII CGX

2+=

yAy

Iy CGF += .


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EJEMPLO 1.

354 ftlbf=γ

354 ftlbf=γ

6 ft

6 ft

2 ft

F

F1

F2 W

Compuerta 6 ft de ancho

8 ft

a) Encontrar la magnitud y línea de acción de la fuerza hidrostática en cada lado de la compuerta F1 y F2.

b) Hallar la fuerza resultante de F1 y F2 sobre la compuerta. c) Determinar la magnitud de F para abrir la compuerta si esta tiene una

masa de 2000 Kg-m. Sol/ Primero hallamos la fuerza F1 que aplica la parte izquierda del tanque sobre la compuerta.


14/24

6 ft

1F

θ

1y

y

1Fy

1Fr

Empezamos definiendo como ya se sabe que: AysenAhF θγγ ==1 . Gráficamente se obtiene,

1

6106

ysen ==θ .

Despejando obtenemos que 101 =y . 6 ft

10 ft

PIVOTE

COMPUERTA


15/24

CGyyy += 1 , donde es el centro de gravedad de la compuerta, que en este caso es 5, entonces,

CGy

y = 10 + 5 = 15. F1 = 54 x 6/10 x 15 x (6 x 10) = 29160 lb-f. Ahora hallamos el punto de aplicación de F1.

Ay

Iyy CGF +=1 .

= 15 + ((6 x 10³)/12)/(15 x 60). 1Fy = 15.55 ft. 1Fy De aquí obtenemos que: = 15.55 – 10 = 5.55 ft. 1Fr De igual manera obtenemos la fuerza F2 y su aplicación que el lado derecho del tanque le aplica a la compuerta.

θ

F2

2Fr

2Fy

2y

y


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222222 AysenAhF θγγ == .

Gráficamente tenemos

2

2106

ysen ==θ , de donde

y2 = 10/3 = 3.33 ft. Hallamos y , y = 3.33 + 5 = 8.33 ft. Y podemos hallar la fuerza F2. F2 = 54 x 6/10 x 8.33 x (6 x 10) = 16193.52 lb-f. Hallamos el punto de aplicación.

AyIyy CG

F +=2 .

+ x 10³)/12)/(8.33 x 60).

= 9.33 ft.

e este resultado obtenemos,

= 9.33 – 3.33 = 6 ft.

tra fuerza actuante sobre la compuerta es el peso de esta y es:

amos sumatoria de odemos encontrar la fuerza F necesaria para

y = 8.33 ((6 2F

2F

y

D

2Fr O

W = ma = (2000 x 2.2) x 32.17 = 141548 lb-f.

i aplicamos equilibrio sobre la compuerta y realizSmomentos alrededor del pivote pabrirla. Y así tenemos:


17/24

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ftrftr

rrFrWrFF

rFrFrWrFM

W

F

F

FWF

FFWFPIVOTE

48

0

2211

2211

==

×−×+×=

=×−×−×+×=∑

Y encontramos el valor mínimo de F para abrir la compuerta.

F = 78858.6 lb-f. EJEMPLO 2. Encontrar el valor de P necesario para mantener la compuerta cerrada, la compuerta tiene 4m de ancho el

γ del agua es 9806 N/m³.

F1

F2

W

1F

2

Wr

Fr

PIVOTE r

Fr

F


18/24

Primero hallamos el valor de F2 de la siguiente manera:

( )

NFm

294180

4

2 =

allamos ahora F1 teniendo en cuenta que

mNAhPAF 5.159806 22222 ×××=== γ

H mh 5.35.121 =+= tenemos entonces:

2h

2m

3m

1Fh

1F

2F

1.5m

P

4m

3m

1.5m

A2

A1


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( )

mAh

Ihh

NF

mmNAhF

CGF 71.3

345.312

345.3

411852

345.39806

3

11

11

1

2111

=××

×+=+=

=

×××== γ

Ubicando las fuerzas para aplicar ecuación de equilibrio y despreciando el peso de la compuerta tenemos:

1F

2F

P

1Fr

2Fr

Pr

0

( ) ( ) ( )( ) ( )

NPmr

mhrmr

rrFrFP

rPrFrFM

P

FF

F

P

FF

PFF

64.3083003

71.1275.0

0

11

2

2211

22110

==

=−==

×+×=

=×−×+×=∑


20/24

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS SUMERGIDAS EN FLUIDO ESTATICO.

F Fv

FH

Para determinar el valor de F debemos encontrar sus componentes en un sistema de coordenadas determinado, como por ejemplo horizontal y vertical (x,y). COMPONENTE HORIZONTAL.

Θ

dF

HdF


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proyectadaH

AH

AAH

H

H

H

AhF

hdAF

hdAdFhdAdF

PdAdFdFdF

PdAdF

γ

θγ

θγθγθθ

=

=

=

====

∫

∫∫

cos

coscoscos

cos

h : distancia desde la superficie del fluido hasta el plano donde esta el centro de gravedad del área proyectada.

proyectadaA : Proyección de la superficie A sobre un plano vertical.

FHh : Línea de acción de FH sobre A.

PROYECTADA

FH AhIhh +=


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COMPONENTE VERTICAL.

VF

dVF

hdAF

hdAF

hdAdFhdAdFhdAdF

PdAdF

V

AV

AV

AV

AAV

V

γ

γ

θγ

θγ

θγθγ

γ

=

=

=

=

=

===

∫

∫

∫

∫∫

cos

cos

coscos

Donde V es el volumen del fluido generado por encima de la superficie curva hasta la superficie del fluido. La línea de acción se determina de la siguiente manera:

V

A

AAV

AV

VAVV

xxxdVVx

dVxV

xxdFV

x

xdFF

xxdFxF

=⇒=

=⇒=

=⇒=

∫

∫∫

∫∫

'1'

1'1'

1''

γγγ

La ubicación es en el centroíde del volumen.


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