ÍNDICE

Introducción……………………………………………………………………...Pag.2

Hidrodinámica …………………………………………………………………..Pag.3

Conservación de masa…………………………………………………………Pag.4

Ecuación de cantidad de movimiento para un volumen de control………..Pag.5

Ecuación de Bernoulli…………………………………………………………..Pag.6

Números de Reynolds (concepto de flujo laminar y turbulento)……………Pag.11

Medidores de flujo: Venturi, tubo de Pitot, tubo de Prandtl, placa de

orificio.........................................................................................................Pag.13

Tiempo de vaciado de depósitos, utilizando volúmenes de control……….Pag.24

Aplicación de la ecuación de Bernoulli en sistemas de tuberías (aplicación de

cantidad de movimiento)……………………………………………………...Pag.27

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INTRODUCCION

Mecánica de fluidos, es la parte de la física que se ocupa de la acción de los fluidos en reposo o en movimiento, así como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniería que utilizan fluidos. La mecánica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía.

La mecánica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales: la estática de fluidos, o hidrostática, que se ocupa de los fluidos en reposo, y la dinámica de fluidos, que trata de los fluidos en movimiento. En este documento se hablara de lo que es la hidrodinámica, el término de hidrodinámica es la Rama de la mecánica que estudia el movimiento de los fluidos y de los cuerpos en ellos sumergidos. Permite comprender multitud de hechos tales como el fluir del agua en las tuberías, en la calefacción, los efectos producidos por la caída del agua en los embalses, etc. También se aplica al flujo de los gases a baja velocidad, en el que puede considerarse que el gas es esencialmente incompresible.

En este documento se explicaran varias ecuaciones entre las que están: la ecuación de cantidad de movimiento o de continuidad: aplicada para un volumen de control y un volumen con aceleración rectilíneo, la ecuación de Bernoulli.

También se hablara acerca de los números de Reynolds (concepto de flujo laminar y turbulento), medidores de flujo (Venturi, tubo de Pitot, etc.), tiempo de vaciado de depósitos, utilizando volúmenes de control, etc. Todo esto mencionada anteriormente se expondrá a continuación.

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HIDRODINAMICA.

La hidrodinámica estudia todos los fluidos compuestos de moléculas que se encuentran en movimiento constante. Sin embargo, en la mayor parte de las aplicaciones de ingeniería, nos interesa más conocer el efecto global o promedio (es decir, macroscópico) de las numerosas moléculas que forman el fluido.

Es la parte de la hidráulica que estudia el comportamiento de los líquidos en movimiento. Para ello considera entre otras cosas la velocidad, la presión, el flujo y el gasto del líquido.

En el estudio de la hidrodinámica, el teorema de Bernoulli, que trata de la ley de la conservación de la energía, es de primordial importancia, pues señala que la suma de las energías cinética, potencial y de presión de un líquido en movimiento en un punto determinado es igual a la de otro punto cualquiera.

La hidrodinámica investiga fundamentalmente a los fluidos incompresibles, es decir, a los líquidos, pues su densidad prácticamente no varía cuando cambia la presión ejercida sobre ellos.

Cuando un fluido se encuentra en movimiento una capa se resiste al movimiento de otra capa que se encuentra paralela y adyacente a ella; a esta resistencia se le llama viscosidad.

Para que un fluido como el agua el petróleo o la gasolina fluyan por un tubería desde una fuente de abastecimiento, hasta los lugares de consumo, es necesario utilizar bombas ya que sin ellas las fuerzas que se oponen al desplazamiento ente las distintas capas de fluido lo impedirán.

Aplicación de la Hidrodinámica

Las aplicaciones de la hidrodinámica, se pueden ver en el diseño de canales, puertos, prensas, cascos de barcos, enlices, turbinas, y ductos en general.

El gasto se presenta cuando un líquido fluye atreves de una tubería, que por definición es: la relación existente entre el volumen del líquido que fluye por un conducto y el tiempo que tarde en fluir.

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ECUACIÓN DE CONTINUIDAD: CONSERVACIÓN DE LA MASA

La conservación de la masa de fluido a través de dos secciones (sean éstas A1 y A2) de un conducto (tubería) o tubo de corriente establece que: la masa que entra es igual a la masa que sale.

Definición de tubo de corriente: superficie formada por las líneas de corriente.

Corolario 2: solo hay tubo de corriente si V es diferente de 0.

La ecuación de continuidad se puede expresar como:

Cuando , que es el caso general tratándose de agua, y flujo en régimen permanente, se tiene:

o de otra forma:

(El caudal que entra es igual al que sale)

Donde:

Q = caudal (metro cúbico por segundo; )

V = velocidad

A = área transversal del tubo de corriente o conducto

Que se cumple cuando entre dos secciones de la conducción no se acumula masa, es decir, siempre que el fluido sea incompresible y por lo tanto su densidad sea constante. Esta condición la satisfacen todos los líquidos y, particularmente, el agua.

En general la geometría del conducto es conocida, por lo que el problema se reduce a estimar la velocidad media del fluido en una sección dada.

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ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UN VOLUMEN DE CONTROL

En una sección de un canal, en la cual pasa un caudal Q con una velocidad V, la cantidad de movimiento en la unidad de tiempo, se expresa por: Cantidad de movimiento = βδQV Dónde:

β = coeficiente de Bussinesq.V = velocidad mediaA = área totalδ = densidad del fluidoQ = caudal

Cuando a lo largo de un volumen de control, la velocidad del flujo varía, es porque actúan fuerzas sobre él que lo aceleran:

Consideremos un tramo de un canal de sección transversal cualquiera, por ejemplo, donde se produce el resalto hidráulico y el volumen de control limitado por las secciones 1 y 2 (antes y después del resalto), por el piso del canal y por la superficie libre, como se muestra en la Figura:

FIGURA: Volumen de Control Para Definir la Ecuación de la Cantidad de Movimiento. La variación de la cantidad de movimiento entre las secciones 1 y 2 será:

Dónde:FP1, FP2 = fuerza de presión actuando en las dos secciones.W = peso del fluido (Wsenα, peso del fluido en el sentido del movimiento)Ff = fuerza externa total de resistencia que se opone al movimiento.Esta ecuación es conocida como la ecuación de la cantidad de movimiento o momentum.

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ΣF=m⋅a

ECUACIÓN DE BERNOULLI

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido en reposo moviéndose a lo largo de una corriente de agua. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

1. Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.2. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido

posea.3. Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión

que posee.

La siguiente ecuación conocida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

Donde:

= velocidad del fluido en la sección considerada.

= densidad del fluido.

= presión a lo largo de la línea de corriente.

= aceleración gravitatoria = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.

Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:

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Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido.

Caudal constante Flujo incompresible, donde ρ es constante. La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo

irrotacional

Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler.

Un ejemplo de aplicación del principio lo encontramos en el flujo de agua en tubería.

Características y consecuencia

Cada uno de los términos de esta ecuación tiene unidades de longitud, y a la vez representan formas distintas de energía; en hidráulica es común expresar la energía en términos de longitud, y se habla de altura o cabezal, esta última traducción del inglés head. Así en la ecuación de Bernoulli los términos suelen llamarse alturas o cabezales de velocidad, de presión y cabezal hidráulico, del

inglés hydraulic head; el término se suele agrupar con (donde ) para dar lugar a la llamada altura piezométrica o también carga piezométrica.

También podemos rescribir este principio en forma de suma de presiones

multiplicando toda la ecuación por , de esta forma el término relativo a la velocidad se llamará presión dinámica, los términos de presión y altura se agrupan en la presión estática.

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O escrita de otra manera más sencilla:

Donde:

es una constante.

Igualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética, la energía de flujo y la energía potencial gravitatoria por unidad de masa:

Así el principio de bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservación de la energía, es decir, en una línea de corriente cada tipo de energía puede subir o disminuir en virtud de la disminución o el aumento de las otras dos.

Esta ecuación permite explicar fenómenos como el efecto Venturi, ya que la aceleración de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energía potencial) implicaría una disminución

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de la presión. Este efecto explica por qué las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automóvil en movimiento cuando se abren las ventanas. La presión del aire es menor fuera debido a que está en movimiento respecto a aquél que se encuentra dentro, donde la presión es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria el aire entra al vehículo pero esto ocurre por fenómenos de turbulencia y capa límite.

Efecto Bernoulli

El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido fluya en horizontal un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.

Un ejemplo práctico es el caso de las alas de un avión, que están diseñadas para que el aire que pasa por encima del ala fluya más velozmente que el aire que pasa por debajo del ala, por lo que la presión estática es mayor en la parte inferior y el avión se levanta.

Aplicabilidad

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad:

El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.

Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).

Se considera que el líquido está bajo la acción del campo gravitatorio únicamente.

Otras Aplicaciones del Principio de Bernoulli

ChimeneaLas chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es más constante y elevada a mayores alturas. Cuanto más rápidamente sopla el viento sobre la boca de una chimenea, más baja es la presión y mayor es la diferencia de presión entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases de combustión se extraen mejor.

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TuberíaLa ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad también nos dicen que si reducimos el área transversal de una tubería para que aumente la velocidad del fluido que pasa por ella, se reducirá la presión.

Natación

La aplicación dentro de este deporte se ve reflejada directamente cuando las manos del nadador cortan el agua generando una menor presión y mayor propulsión.

Carburador de automóvil

En un carburador de automóvil, la presión del aire que pasa a través del cuerpo del carburador, disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. Al disminuir la presión, la gasolina fluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente de aire.

Flujo de fluido desde un tanque

La tasa de flujo está dada por la ecuación de Bernoulli.

Dispositivos de Venturi

En oxigenoterapia, la mayor parte de sistemas de suministro de débito alto utilizan dispositivos de tipo Venturi, el cual esta basado en el principio de Bernoulli.

AviaciónLos aviones tienen el extradós (parte superior del ala o plano) más curvado que el intradós (parte inferior del ala o plano). Esto causa que la masa superior de aire, al aumentar su velocidad, disminuya su presión, creando así una succión que ayuda a sustentar la aeronave.

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Numero de Reynolds (concepto de flujo laminar turbulento)

El número de Reynolds (Re) es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos, diseño de reactores y fenómenos de transporte para caracterizar el movimiento de un fluido. Este número recibe su nombre en honor de Osborne Reynolds (1842-1912), quien lo describió en 1883.

Cuando entre dos partículas en movimiento  existe gradiente de velocidad, o sea que una se mueve más rápido que la otra,  se desarrollan fuerzas de fricción que actúan tangencialmente a las mismas.

Las fuerzas de fricción tratan de introducir  rotación entre las partículas en movimiento, pero simultáneamente la viscosidad trata de impedir la rotación.  Dependiendo del valor relativo de estas fuerzas se pueden producir diferentes estados de flujo.

Cuando el gradiente de velocidad es bajo, la fuerza de inercia es mayor que la de fricción, las partículas se desplazan pero no rotan, o lo hacen pero con muy poca energía, el resultado final es un movimiento en el cual las partículas siguen trayectorias definidas, y todas las partículas que pasan por un punto en el campo del flujo siguen la misma trayectoria.  Este tipo de flujo fue identificado por  O. Reynolds y se denomina “laminar”, queriendo significar con ello que las partículas se desplazan en forma de capas o láminas.

Al aumentar el gradiente de velocidad se incrementa la fricción entre partículas vecinas al fluido, y estas adquieren una energía de rotación apreciable, la viscosidad pierde su efecto, y debido a la rotación las partículas cambian de trayectoria.  Al pasar de unas trayectorias a otras, las partículas chocan entre sí y cambian de rumbo en forma errática.  Éste tipo de flujo se denomina "turbulento".

El flujo "turbulento" se caracteriza porque:

Las partículas del fluido no se mueven siguiendo trayectorias  definidas. La acción de la viscosidad es despreciable.

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Las partículas del fluido poseen energía de rotación apreciable, y se mueven en forma errática chocando unas con otras.

Al entrar las partículas  de fluido a capas de diferente velocidad, su momento lineal aumenta o disminuye, y el de las partículas vecina la hacen en forma contraria.

Cuando las fuerzas de inercia del fluido en movimiento son muy bajas, la viscosidad es la fuerza dominante y el flujo es laminar.  Cuando predominan las fuerzas de inercia el flujo es turbulento. Osborne Reynolds estableció una relación que permite establecer el tipo de flujo que posee un determinado problema.

Para números de Reynolds bajos el flujo es laminar, y para valores altos el flujo es turbulento.    O. Reynolds, mediante un aparato sencillo fue el primero en demostrar  experimentalmente la existencia de estos dos tipos de flujo.

Mediante colorantes agregados al agua  en movimiento demostró  que en el flujo laminar las partículas de agua y colorante se mueven siguiendo trayectorias definidas sin mezclarse, en cambio en el flujo turbulento las partículas de tinta se mezclan rápidamente con el agua.

Experimentalmente se ha encontrado que en tubos de sección circular  cuando el número de Reynolds pasa de 2400 se inicia la turbulencia en la zona central del tubo, sin embargo este límite es muy variable   y depende de las condiciones de quietud  del conjunto .  Para números de Reynolds mayores de 4000 el flujo es turbulento.

Al descender la velocidad se encuentra que para números de Reynolds  menores de 2100 el flujo es siempre laminar, y cualquier turbulencia es   que se produzca es eliminada  por la acción de la viscosidad.

El paso de flujo laminar a turbulento es un fenómeno gradual, inicialmente se produce turbulencia en la zona central del tubo donde la velocidad es mayor, pero queda una corona de flujo laminar entre las paredes del tubo y el núcleo central turbulento.

Al aumentar la velocidad media, el espesor de la corona laminar disminuye gradualmente hasta desaparecer totalmente.  Esta última condición se consigue   a altas velocidades  cuando se obtiene turbulencia total en el flujo.

Para flujo entre placas paralelas, si se toma como dimensión característica el espaciamiento de éstas, el número de Reynolds máximo que garantiza flujo laminar es 1000.  Para canales rectangulares anchos con dimensión característica la profundidad, este límite es de 500; y para esferas con el diámetro como dimensión característica el límite es la unidad.

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MEDIDORES DE FLUJO

VENTURY:

El Tubo de Venturi es un dispositivo que origina una pérdida de presión al pasar por él un fluido. En esencia, éste es una tubería corta recta, o garganta, entre dos tramos cónicos. La presión varía en la proximidad de la sección estrecha; así, al colocar un manómetro o instrumento registrador en la garganta se puede medir la caída de presión y calcular el caudal instantáneo, o bien, uniéndola a un depósito carburante, se puede introducir este combustible en la corriente principal.

Las dimensiones del Tubo de Venturi para medición de caudales, tal como las estableció Clemens Herschel, son por lo general las que indica la figura 1. La entrada es una tubería corta recta del mismo diámetro que la tubería a la cual va unida.

El cono de entrada, que forma el ángulo a1, conduce por una curva suave a la garganta de diámetro d1. Un largo cono divergente, que tiene un ángulo a2, restaura la presión y hace expansionar el fluido al pleno diámetro de la tubería. El diámetro de la garganta varía desde un tercio a tres cuartos del diámetro de la tubería.

La presión que precede al cono de entrada se transmite a través de múltiples aberturas a una abertura anular llamada anillo piezométrico. De modo análogo, la presión en la garganta se transmite a otro anillo piezométrico. Una sola línea de presión sale de cada anillo y se conecta con un manómetro o registrador. En algunos diseños los anillos piezométricos se sustituyen por sencillas uniones de presión que conducen a la tubería de entrada y a la garganta.

La principal ventaja del Vénturi estriba en que sólo pierde un 10 - 20% de la diferencia de presión entre la entrada y la garganta. Esto se consigue por el cono divergente que desacelera la corriente.

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Es importante conocer la relación que existe entre los distintos diámetros que tiene el tubo, ya que dependiendo de los mismos es que se va a obtener la presión deseada a la entrada y a la salida del mismo para que pueda cumplir la función para la cual está construido.

Esta relación de diámetros y distancias es la base para realizar los cálculos para la construcción de un Tubo de Venturi y con los conocimientos del caudal que se desee pasar por él.

Deduciendo se puede decir que un Tubo de Venturi típico consta, como ya se dijo anteriormente, de una admisión cilíndrica, un cono convergente, una garganta y un cono divergente. La entrada convergente tiene un ángulo incluido de alrededor de 21º, y el cono divergente de 7º a 8º.

La finalidad del cono divergente es reducir la pérdida global de presión en el medidor; su eliminación no tendrá efecto sobre el coeficiente de descarga. La presión se detecta a través de una serie de agujeros en la admisión y la garganta; estos agujeros conducen a una cámara angular, y las dos cámaras están conectadas a un sensor de diferencial de presión.

FUNCIONAMIENTO DE UN TUBO DE VENTURI

En el Tubo de Venturi el flujo desde la tubería principal en la sección 1 se hace acelerar a través de la sección angosta llamada garganta, donde disminuye la presión del fluido. Después se expande el flujo a través de la porción divergente al mismo diámetro que la tubería principal. En la pared de la tubería en la sección 1 y en la pared de la garganta, a la cual llamaremos sección 2, se encuentran ubicados ramificadores de presión. Estos se encuentran unidos a los dos lados de un manómetro diferencial de tal forma que la deflexión h es una indicación de la diferencia de presión p1 – p2. Por supuesto, pueden utilizarse otros tipos de medidores de presión diferencial.

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La ecuación de la energía y la ecuación de continuidad pueden utilizarse para derivar la relación a través de la cual podemos calcular la velocidad del flujo. Utilizando las secciones 1 y 2 en la formula 2 como puntos de referencia, podemos escribir las siguientes ecuaciones:

(1) Q = A1v1 = A2v2 (2)

Estas ecuaciones son válidas solamente para fluidos incomprensibles, en el caso de los líquidos. Para el flujo de gases, debemos dar especialatención a la variación del peso específico con la presión. La reducción algebraica de las ecuaciones 1 y 2 es como sigue:

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Se pueden llevar a cabo dos simplificaciones en este momento. Primero, la diferencia de elevación (z1-z2) es muy pequeña, aun cuando el medidor se encuentre instalado en forma vertical. Por lo tanto, se desprecia este termino. Segundo, el termino hl es la perdida de la energía del fluido conforme este corre de la sección 1 a la sección 2.

El valor hl debe determinarse en forma experimental. Pero es más conveniente modificar la ecuación (3) eliminando h1 e introduciendo un coeficiente de descarga C:

La ecuación (4) puede utilizarse para calcular la velocidad de flujo en la garganta del medidor. Sin embargo, usualmente se desea calcular la velocidad de flujo del volumen.

Puesto que, tenemos:

El valor del coeficiente C depende del número de Reynolds del flujo y de la geometría real del medidor. La siguiente figura muestra una curva típica de C Vs número de Reynolds en la tubería principal.

La referencia 3 recomienda que C = 0.984 para un Tubo Venturi fabricado o fundido con las siguientes condiciones:

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La referencia 3, 5 y 9 proporcionan información extensa sobre la selección adecuada y la aplicación de los Tubos de Venturi.

La ecuación (14-5) se utiliza para la boquilla de flujo y para el orificio, así como también para el Tubo de Venturi.

TUBO DE PILOT:

Tubo de Pitot. Inventado por el ingeniero francés, Henri Pitot en 1732, sirve para calcular la presión total, también llamada presión de estancamiento, presión remanente o presión de remanso (suma de la presión estática y de la presión dinámica).

El tubo pitot es un medidor de flujo. Son instrumentos sencillos, económicos y disponibles en un amplio margen de tamaños.

Es uno de los medidores más exactos para medir la velocidad de un fluido dentro de una tubería.

Su instalación simplemente consiste en un simple proceso de ponerlo en un pequeño agujero taladrado en la tubería.

El tubo Pitot tiene sección circular y generalmente doblado en L. Consiste en un tubo de pequeño diámetro con una abertura delantera, que se dispone contra una corriente o flujo de forma que su eje central se encuentre en paralelo con respecto a la dirección de la corriente para que la corriente choque de forma frontal en el orificio del tubo.

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EXPRESIÓN DE PILOT

En el punto (1) del esquema, embocadura del tubo, se forma un punto de estancamiento, la velocidad allí (v1) es nula, y la presión según la ecuación de Bernoulli aumenta hasta: P1/p = Pt/p = Po/p + Vo2/2 por lo tanto: Pt = Po + p. 1/2Vo2 Siendo: v0 y p0 = presión y velocidad de la corriente imperturbada. pt = presión total o de estancamiento. Aplicando la misma ecuación entre las secciones (1) y (2), considerando que

v1 = v2 = 0, se tiene:

y 1+ P1pg

= y 2+ P2pg

Siendo: y2 - y1 = L (lectura en el tubo piezométrico)

luego queda la llamada expresión de Pitot. Pt = p.g.L

Aplicación en Manómetros de tubo de Pitot

Los manómetros de tubo de Pitot es un instrumento elemental para la medición de velocidades de flujo de gases o de aire en canales. Los manómetros de tubo de Pitot son una derivación de los clásicos tubos Prandtl, una combinación de tubo de Pitot para medir la presión total y una sonda de medición de la presión estática. Estrechamente relacionados con los manómetros surgen los anemómetro para medir velocidades de flujo. La ventaja de los manómetros de tubo de Pitot frente a otros métodos de medición consiste en el hecho de que un orificio relativamente pequeño sobre la pared del canal en las zonas más importantes del recorrido es suficiente para realizar en cualquier momento una medición rápida de la velocidad de flujo. Además, podrá utilizarlos a altas temperaturas y a velocidades de flujo muy elevadas (hasta 120 m/s dependiendo del modelo).

Un tubo de Pitot o tubo de remanso opera según las bases de la dinámica de fluidos y es un ejemplo clásico para la aplicación práctica de las ecuaciones de Bernoulli. Un tubo de remanso es un tubo abierto en la parte delantera que se dispone contra una corriente de forma que su eje central se encuentre en paralelo con respecto a la dirección de la corriente para que la corriente choque de forma frontal en el orificio del tubo. La parte trasera se fija a un manómetro. Estos aparatos pueden ser recalibrados para garantizar una precisión continua, además pueden ir acompañados de certificados de calibración ISO Los datos recogidos por estos manómetros pueden ser transmitidos al PC, mediante un cable de RS-232, de manera rápida y sencilla. Estos manómetros llevan certificado de calibración de fábrica, pero también se puede solicitar la cali-bración DIN ISO (calibración de laboratorio, incluido certificado de revisión).

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TUBO DE PRANDNL

La idea de Ludwig Prandtl fue la de combinar en un solo instrumento un tubo de Pitot y un tubo piezométrico: El tubo de Pitot mide la presión total; el tubo piezométrico mide la presión estática, y el tubo de Prandtl mide la diferencia de las dos, que es la presión dinámica.

En el croquis se aprecia esquemáticamente, un tubo de Prandtl inmerso en un fluido de densidad   , conectado a un manómetro diferencial cuyo líquido manométrico tiene densidad  .

El tubo de Prandtl, al igual que el tubo de Pitot, al ser introducido en el fluido en movimiento, produce una perturbación que se traduce en la formación en el de un punto de estancamiento, de manera que:

En el punto 0 la corriente no perturbada tiene la presión   y la velocidad   que es la que se quiere medir.

El punto 1 es la entrada del tubo de Pitot, y el punto 2, donde se indica en la figura. En el punto 2 lo que se tiene es un tubo piezométrico, con varias entradas laterales interconectadas que no perturban la corriente y que por lo tanto miden la presión estática.

Despreciando las diferencias de altura de velocidad y geodésica entre los puntos 0 y 2 que suele ser muy pequeña por ser el tubo muy fino, y estar la corriente en 2 prácticamente normalizada después de la perturbación en 1, se tiene, despreciando también las pérdidas:

Donde:   = velocidad teórica en la sección 0.

La ecuación de Bernoulli entre 0 y 1 (  ,   - punto de estancamiento)

 y expresado de otra forma: 

Por otra parte yendo de 1 a 2 por el interior del manómetro, estando tanto el fluido principal como el fluido manométrico en reposo, se puede aplicar la ecuación fundamental de la hidrostática entre 1 y 2 (  ≈  ) de la siguiente forma:

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De las ecuaciones anteriores se deduce:

(Presión dinámica teórica, tubo de Prandtl)

Despejando se tiene:

En el caso particular de que la medición de velocidad se efectúe en un flujo de agua:

(velocidad teórica de la corriente, tubo de Prandtl)

Donde:   - densidad relativa del líquido manométrico.

Tubo de Prandtl estandarizado.

En la práctica   es algo mayor que   , y por lo tanto según la ecuación general de Bernoulli   es algo menor que  . Adicionalmente, en el punto 1, si el eje del tubo de Prandtl está inclinado con relación a las líneas de corriente, puede producirse una velocidad distinta de cero y por lo tanto una presión  . Se debe introducir por lo tanto un coeficiente  . , llamadocoeficiente de velocidad del tubo de Prandtl, que tiene valores próximos a 1, determinados experimentalmente en laboratorio.

La velocidad real   será determinada, para el agua, por la expresión:

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PLACA DE ORIFICIO

La placa de orificio es el elemento primario para la medición de flujo más sencillo, es una lamina plana circular con un orificio concéntrico, excéntrico ó segmentado y se fabrica de acero inoxidable, la placa de orificio tiene una dimensión exterior igual al espacio interno que existe entre los tornillos de las bridas del montaje, el espesor del disco depende del tamaño de la tubería y la temperatura de operación, en la cara de la placa de orificio que se conecta por la toma de alta presión, se coloca perpendicular a la tubería y el borde del orificio, se tornea a escuadra con un ángulo de 900 grados, al espesor de la placa se la hace un biselado con un chaflán de un ángulo de 45 grados por el lado de baja presión, el biselado afilado del orificio es muy importante, es prácticamente la única línea de contacto efectivo entre la placa y el flujo, cualquier rebaba, ó distorsión del orificio ocasiona un error del 2 al 10% en la medición, además, se le suelda a la placa de orificio una oreja, para marcar en ella su identificación, el lado de entrada, el número de serie, la capacidad, y la distancia a las tomas de presión alta y baja. En ocasiones a la placa de orificio se le perfora un orificio adicional en la parte baja de la placa para permitir el paso de condensados al medir gases, y en la parte alta de la placa para permitir el paso de gases cuando se miden líquidos.

Placa de orificio, concéntrica, excéntrica y segmentada.

Con las placas de orificio se producen las mayores perdidas de presión en comparación a los otros elementos primarios para medición de flujo más comunes, con las tomas de presión a distancias de 2

½ y de 8 diámetros antes y/o después de la placa se mide la perdida total de presión sin recuperación posterior. Se mide la máxima diferencial posible con recuperación de presión posterior y, con tomas en las bridas se mide una diferencial muy cerca de la máxima, también con recuperación de presión posterior.La exacta localización de tomas de presión antes de la placa de orificio carece relativamente de importancia, ya que la presión en esa sección es bastante constante. En todas las relaciones de diámetros D/d comerciales. Desde ½ D antes de la placa en adelante hasta la placa, la presión aumenta gradualmente en una apreciable magnitud en

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relaciones d/D arriba de 0.5; debajo de ese valor la diferencia de presiones es despreciable. Pero sí en la toma de alta presión, la localización no es de mayor importancia, si lo es en la toma de baja presión, ya que existe una región muy inestable después de la vena contracta que debe evitarse; es ésta la razón por la que se recomienda colocarlas para tuberías a distancias menores de 2 pulgadas de las tomas de placa. La estabilidad se restaura a 8 diámetros después de la placa pero en este punto las presiones se afectan por una rugosidad anormal en la tubería. Desventajas en el uso de la placa de orificio

1. Es inadecuada en la medición de fluidos con sólidos en suspensión.2. No conviene su uso en medición de vapores, se necesita perforar la parte inferior.3. El comportamiento en su uso con fluidos viscosos es errático ya que la placa se

calcula para una temperatura y una viscosidad dada.4. Produce las mayores pérdidas de presión en comparación con otros elementos

primarios de medición de flujos. Cuando el flujo pasa a través de la placa de orificio, disminuye su valor hasta que alcanza una área mínima que se conoce con el nombre de “vena contracta”, en las columnas sombreadas de la figura siguiente, el flujo llega con una presión estática que al pasar por el orificio, las pérdidas de energía de presión se traducen en aumentos de velocidad, en el punto de la vena contracta se obtiene el menor valor de presión que se traduce en un aumento de velocidad, en ese punto se obtiene la mayor velocidad.

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Más delante de la vena contracta, la presión se incrementa, se genera una perdida de presión constante que ya no se recupera, la diferencia de presión que ocasiona la placa de orificio permite calcular el caudal, el cual es proporcional a la raíz cuadrada de la caída de presión diferencial.

Existen dos tipos de placas de orificio segmentadas; fijas y ajustables. Orificio segmentado fijo:Se usa para medir flujos pequeños y es una combinación de orificio excéntrico y una parte segmentada, la parte concéntrica se diseña para obtener un diámetro del 98% del diámetro interior de la tubería, se usa para en la medición de flujos como son las pulpas y pastas, no es recomendable para líquidos de alta viscosidad. Orificio segmentado ajustable:En este caso la relación entre el diámetro interior y exterior (0.25-0.85), se modifica por medio de un segmento móvil, el cuerpo de la placa de orificio se fabrica con bridas de conexión similares a la de una válvula, las guías son de acero al carbón, el material del segmento es de acero inoxidable, se utiliza en tuberías con variaciones de flujo del 10:1 bajo variaciones de presión y temperatura considerables. La relación entre el flujo y la caída de presión es:

 

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TIEMPO DE VACIADO DE DEPÓSITOS PARA UN VOLUMEN DE CONTROL.

En la figura se muestra un depósito que tiene una altura H y una sección S1, la sección del orificio de salida en el fondo del depósito es S2, la altura inicial de agua

es h0, y la presión del aire en su interior p0.

Se abre el orificio de salida del agua, y se mide la altura h de la columna de agua en función del tiempo t.

Aplicamos el teorema de Bernoulli comparando dos puntos del fluido. El punto 1 en la interfase aire-agua y el punto 2 en el orificio de salida.

Sea p1 la presión del aire en el interior del depósito, y v1 la velocidad del agua en el punto 1, y h la altura de agua en el depósito en el instante t. La presión p2 en el orificio de salida es la atmosférica pat y la velocidad del fluido es v2.

Consideramos los puntos (1) y (2) situados en la superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior. Las ecuaciones que describen el comportamiento de este sistema físico son:

1. Ecuación de continuidad

S1·v1=S2·v2

2. Ecuación de Bernoulli

3. Expansión isotérmica del gas

p0·S1(H-h0)=p1·S1(H-h)

 

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Altura del fluido en equilibrio

La consecuencia más importante de estas ecuaciones es que el agua deja de salir por el orificio cuando v2 y por tanto v1 sean nulos.

La presión del aire en el interior del depósito será algo menor que la presión atmosférica. La diferencia será la presión correspondiente a la columna de agua de altura h.

De las ecuaciones de Bernoulli y de la transformación isoterma

p1+ gh=pat

p0 (H-h0)=p1· (H-h)

Obtenemos la ecuación de segundo grado en h

con dos raíces h1 y h2 . Los valores de las raíces no dependen del área de la sección del depósito S1, ni del orificio S2.

Ejemplo:

Sea el radio del depósito r1=10 cm El radio del orificio r2=0.8 cm La altura del depósito H=50 cm La altura inicial de agua en el depósito h0=40 cm Si la presión inicial de aire en el depósito es p0=4 atm

Tomando como presión atmosférica pat=101293 Pa, y la densidad del agua =1000 kg/m3, y resolviendo la ecuación de segundo grado en h, calculamos la altura final del agua en el depósito.

Las dos raíces son h1=0.096 m=9.6 cm, y h2=10.740 m que es mayor que H=0.5 m. Cuando la altura de agua en el depósito alcanza 9.6 cm deja de salir por el orificio. Calculamos la presión final del aire en el depósito

p1=101293-1000·9.8·0.09=100411 Pa

un poco menos que la presión atmosférica

 

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Variación de la altura de agua en el depósito con el tiempo

Despejamos v1 en el sistema de tres ecuaciones

Para hallar como cambia la altura h del agua en el depósito con el tiempo, tenemos en cuenta que,

y se resuelve la integral definida

Dada la dificultad de obtener una expresión analítica sencilla del comportamiento de la altura h con el tiempo t, el programa interactivo realiza una integración numérica, resolviendo la ecuación diferencial de primer orden por el método de Runge-Kutta, hasta que se alcanza la altura de equilibrio o se agota el agua del depósito.

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Aplicación de la ecuación de Bernoulli en sistemas de tuberías

El flujo de un fluido puede ser en general muy complicado. Consideremos, por ejemplo el humo que asciende de un cigarro encendido.A1 principio el humo se eleva con una forma regular, pero pronto aparecen turbulencias y el humo empieza a ondear de forma irregular. El flujo turbulento es muy difícil de estudiar y, por consiguiente, solo estudiaremos el flujo en estado estacionario. Consideremos en primer lugar un fluido que fluye sin disipación de energía mecánica. Dicho fluido se denomina no viscoso. Supondremos también que el fluido es incompresible, y por tanto, su densidad es constante. Puede verse en el dibujo un fluido que circula por un tubo cuya sección recta tiene un área variable.

La parte sombreada de la izquierda (zona 1) representa un elemento de volumen de líquido que fluye hacia el interior del tubo con una velocidad vl. El área de la sección recta del tubo en esta zona es Al. El volumen de líquido que entra en el tubo en el tiempo t es V = Al

.vl.t

Como estamos admitiendo que el fluido es incompresible, debe salir del

tubo en la zona 2 un volumen igual de fluido. Si la velocidad del fluido en este punto es v2 y el área correspondiente de la sección recta vale A2, el volumen es V=A2

.v2.t. Como estos volúmenes deben ser

iguales, se tiene A1.v1

.t. = A2.v2

.t., y por tanto

Ecuación de continuidad.

El producto Q = Av es una magnitud denominada flujo de volumen Q , gasto o caudal . Las dimensiones de Q son las de volumen/tiempo (p.e. litros por minuto) En el flujo estacionario de un fluido incompresible, el caudal es el mismo en todos los puntos de fluido.

Ejemplo

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A1.v1 = A2

.v2

v2

y1

v1 y2

2

1

P2=F2/A2

P1=F1/A1

La sangre circula por una arteria aorta de 1,0 cm de radio a 30 cm/s. ¿Cuál es el flujo de volumen?

Q = vA = 0.30..(0,01)2 = 9.4210-5m3/s

Es costumbre dar la velocidad de bombeo del corazón en litros por minuto. Utilizando 1 litro = 10-3 m3 y 1 min = 60 s, se tiene

Q=(9.4210~5 m3/s) (103).(60/1) = 5.65 litros/minuto

La altura y sección del tubo van variando como se indica en el dibujo, por tanto, para el líquido:

La variación (ganancia o pérdida) de energía potencial al ascender (o descender) por el tubo es U = mg(y2-y1) = Vg(y2-y1)

La variación de energía cinética del líquido es

12m(v2

2−v12)

, que en función de la

densidad

12 V(v2

2-v12) (siendo v la velocidad del fluido)

El trabajo realizado por las fuerzas necesarias para mantener la presión suficiente para que el líquido suba es W=(P1-P2)V= PV. Siendo P la caída o diferencia de presiones en los extremos del tubo

Aplicando el teorema trabajo-energía y la ecuación de continuidad, se tiene

P1+gy1+1/2v12 = P2+gy2+1/2v2

2

es decir:

P+gy+1/2v2 = constante

Lo que significa que esta combinación de magnitudes calculada en un punto determinado de la tubería tiene el mismo valor que en cualquier otro punto. La ecuación anterior se conoce como ecuación de Bernoulli para el flujo constante y no viscoso de

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Nota: téngase en cuenta que el trabajo es W=Fx; de la definición de presión P=F/A, queda W=PAx y como el volumen es V=Ax; el trabajo se puede expresar como el producto de la presión por el volumen W=PV

un fluido incompresible. Sin embargo, la ecuación de Bernoulli se aplica en muchos casos a fluidos compresibles como los gases.

Una aplicación especial de la ecuación de Bernoulli es la que se tiene cuando el fluido está en reposo. Entonces vl = v2 = 0 y se obtiene

P1-P2=g(y2-y1) = gh

en donde h=y2-yl es la diferencia de altura entre dos puntos (algo que ya vimos anteriormente).

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CONCLUSIÓN

En el estudio de la hidrodinámica aprendimos nuevos conceptos como gasto,

fricción viscosa, y otros. También conocimos nuevos principios, como el teorema

de Bernoulli y ciencias que con los conocimientos de la hidrodinámica, desarrolla

nuevas tecnologías como lo es la aerodinámica. Conocimos las aplicaciones del

teorema de Bernoulli, el tubo de Pitot y el tubo de Venturi.

Estas aplicaciones mejoraron y facilitaron el desarrollo de nuevas tecnologías en

todos los ámbitos, sobre todo en la construcción.

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Referencias Bibliográficas:

http://html.rincondelvago.com/hidrodinamica_3.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Hidrodin%C3%A1mica

http://abrahamemmanuelcbtis121.blogspot.mx/2008/06/hidrodinamica_08.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_en_tuber%C3%ADa

http://www.cuevadelcivil.com/2011/02/ecuacion-de-la-cantidad-de-

movimiento-o.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Bernoulli

http://www.lawebdefisica.com/dicc/bernoulli/

http://www.monografias.com/trabajos31/medidores-flujo/medidores- flujo.shtml

http://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/laminar_turbulento.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Tubo_de_Prandtl

http://proton.ucting.udg.mx/dpto/maestros/mateos/clase/Modulo_05/ detectores/orificio/index.html

http://israelcedillomaqfluidos.blogspot.mx/2009/02/ecuacion-de- bernoulli.html

http://www.ulpgc.es/descargadirecta.php?codigo_archivo=5211

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