Hibbeler

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104 C apitulo 3 A nálisis de armaduras estáticamente determinadas 3.5 El método de las secciones Si se deben determinar las fuer/as sólo en unos cuantos elementos de una armadura, por lo general el método de las secciones proporciona el medio más directo para obtener estas fuercas. El método de las secciones consiste en hacer pasar una sección imaginaria a través de la armadura, de modo que la corta en dos partes. Siempre que toda la armadura esté en equilibrio.cada una de las dos partes también debe estar en equilibrio y. en consecuencia, las tres ecuaciones de equilibrio pueden aplicarse a cualquiera de estas dos partes para determinar las fuerzas en los elemen tos de la "sección cortada". Cuando se emplea el método de las secciones para determinar la fuerza en un elemento en particular, debe tomarse una decisión sobre la forma de “cortar" o seccionar la armadura. Como sólo pueden aplicarse tres ecuaciones independientes de equilibrio (2Ft = 0. 1Fy = 0, IM o = 0) a la parte aislada de la armadura, trate de seleccionar una sección que, en ge neral, no pase a través de más de tres elementos en los que las fuerzas sean desconocidas. Por ejemplo.considere la armadura de la figura 3-2So. Si se va a determinar la fuerza en el elemento GC, la sección aa sería adecuada. En las figuras 3-25 b y 3-25c se muestran los diagramas de cuerpo libre de las dos partes. En particular, tenga en cuenta que la línea de acción de cada fuerza en un elemento seccionado se especifica a par tir de la geometría de la armadura, puesto que la fuerza en un elemento pasa a lo largo del eje del elemento. Además, las fuen-as de un elemento que actúan sobre una parte de la armadura son iguales pero opuestas a las que actúan sobre la otra parte, lo que se debe a la tercera ley de Newton. Como puede observarse, los elementos que supuestamente están en ten sión (BC y CG) están sometidos a un “jalón", mientras que el elemento en compresión (GF) está sometido a un “empujón". www.FreeLibros.me

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La estática es la rama de la mecánica clásica que analiza las cargas (fuerza, par / momento) y estudia el equilibrio de fuerzas en los sistemas físicos en equilibrio estático, es decir, en un estado en el que las posiciones relativas de los subsistemas no varían con el tiempo. La primera ley de Newton implica que la red de la fuerza y el par neto (también conocido como momento de fuerza) de cada organismo en el sistema es igual a cero. De esta limitación pueden derivarse cantidades como la carga o la presión. La red de fuerzas de igual a cero se conoce como la primera condición de equilibrio, y el par neto igual a cero se conoce como la segunda condición de equilibrio.

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1 0 4 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

3 . 5 El m é to d o de las secciones

Si s e d e b e n d e te r m in a r la s f u e r /a s s ó lo e n u n o s c u a n to s e le m e n to s d e u n a a rm a d u ra , p o r lo g e n e ra l e l m é to d o d e las se c c io n e s p ro p o rc io n a el m e d io m ás d ir e c to p a ra o b te n e r e s ta s fuercas . E l m é to d o d e la s secc iones c o n s is te e n h a c e r p a s a r u n a secc ión im a g in a r ia a tr a v é s d e la a rm a d u ra , d e m o d o q u e la c o r ta e n d o s p a r te s . S ie m p re q u e to d a la a rm a d u ra e s té e n e q u il ib r io .c a d a u n a d e la s d o s p a r t e s ta m b ié n d e b e e s ta r e n e q u il ib r io y. e n c o n se c u e n c ia , la s tre s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io p u e d e n a p lic a rs e a c u a lq u ie ra d e e s ta s d o s p a r te s p a ra d e te r m in a r la s fu e rz a s e n lo s e le m e n ­to s d e la " s e c c ió n c o r ta d a " .

C u a n d o s e e m p le a e l m é to d o d e la s secc iones p a ra d e te rm in a r la fu e rza e n u n e le m e n to e n p a r t ic u la r , d e b e to m a rs e u n a d ec is ió n s o b re la fo rm a d e “ c o r ta r " o s e c c io n a r la a rm a d u ra . C o m o s ó lo p u e d e n a p lic a rs e tres e c u a c io n e s in d e p e n d ie n te s d e e q u il ib r io ( 2 F t = 0 . 1 F y = 0 , I M o = 0 ) a la p a r te a is la d a d e la a rm a d u ra , t r a t e d e s e le c c io n a r u n a s e c c ió n q u e , e n g e ­n e ra l , n o p a se a t r a v é s d e m ás d e tres e le m e n to s e n los q u e la s fu e rz a s s e a n d e sc o n o c id a s . P o r e je m p lo .c o n s id e re la a rm a d u ra d e la fig u ra 3 -2 So. Si s e v a a d e te r m in a r la fu e r z a e n e l e le m e n to G C , la s e c c ió n aa se r ía a d e c u a d a . E n la s fig u ra s 3-25b y 3 -2 5 c se m u e s tra n lo s d ia g ra m a s d e c u e rp o lib re d e la s d o s p a r te s . E n p a r t ic u la r , te n g a e n c u e n ta q u e la lín e a d e a c c ió n d e c a d a fu e rz a e n u n e le m e n to se c c io n a d o s e e sp e c ific a a p a r ­t i r d e la geom etría d e la a rm a d u ra , p u e s to q u e la fuerza e n un e le m e n to p asa a lo la rg o d e l e j e d e l e le m e n to . A d e m á s , la s fu en -as d e u n e le m e n to q u e a c tú a n s o b r e u n a p a r te d e la a rm a d u ra s o n ig u a le s p e ro o p u e s ta s a las q u e a c tú a n s o b r e la o t r a p a r te , lo q u e s e d e b e a la te r c e ra le y d e N e w to n . C o m o p u e d e o b se rv a rse , los e le m e n to s q u e s u p u e s ta m e n te e s tá n e n te n ­s ió n ( B C y C G ) e s tá n s o m e tid o s a u n “ja ló n " , m ie n tra s q u e e l e le m e n to e n co m p res ió n (G F ) e s tá s o m e tid o a un “e m p u jó n " .

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3 . 5 E l M É T O D O D E LAS SECCIONES

L as tre s fu e rz a s d e e le m e n to d e s c o n o c id a s F a c , F q c y $ g f p u e d e n o b ­te n e r se m e d ia n te la a p lic a c ió n d e la s tre s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io a l d ia ­g ram a d e c u e rp o lib re d e la f ig u ra 3 -2 5 6 . S in e m b a rg o , s i s e c o n s id e ra e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la fig u ra 3 -2 5 c , d e b e rá n d e te rm in a rs e e n p r im e r lu g a r la s tr e s re a c c io n e s d e s o p o r te !> ,, D 4, y E , . ¿ I\> r q u é ? (P o r s u p u e s to , e s to s e h ace d e la m a n e r a u su a l, c o n s id e ra n d o un d ia g r a m a d e c u e ip o lib re d e to d a la a r m a d u r a ). A l a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u il i ­b rio , c o n s id e re la m a n e ra d e e s c r ib ir las e c u a c io n e s c o n e l fin d e o b te n e r u n a so lu c ió n d ire c ta p a ra c a d a u n a d e la s in có g n ita s , e n v ez d e te n e r q u e re so lv e r e c u a c io n e s s im u ltá n e a s . P o r e je m p lo , s i s e s u m a n m o m e n to s r e s ­p e c to a C e n la f ig u ra 3 -2 5 6 g e n e ra r ía u n a so lu c ió n d ir e c ta p a ra F g f p u e s to q u e F BC y F í ; c c re a n m o m e n to s c e ro a lr e d e d o r d e C . D e l m ism o m o d o . FflC p u e d e o b te n e rse d ire c ta m e n te a p a rtir d e u n a su m a to ria d e m o­m e n to s a lr e d e d o r d e G . P o r ú lt im o , Fc c p u e d e d e te rm in a rs e d i r e c ta ­m e n te a p a r t i r d e u n a s u m a to r ia d e fu e iz a s e n la d ire c c ió n v e rtic a l, d a d o q u e FC f y F K n o t ie n e n c o m p o n e n te s v e rtic a le s .

C o m o e n e l m é to d o d e los n u d o s , h a y d o s fo rm a s d e d e te r m in a r e l s e n ­tid o c o r r e c to d e u n a fu e rz a d e e le m e n to d e sc o n o c id a .

L S iem p re s u p o n g a q u e las fu e r z a s d e e le m e n to d e sco n o c id a s e n la s e c ­c ió n co rta d a e s tá n en ten s ió n , e s decir, "ja la n d o " e l e lem en to . D e e s ta m a n e ra , l a s o lu c ió n n u m é r ic a d e la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io g e n e ­r a r á esca lares p o s i t iv o s p a ra lo s e le m e n to s e n te n s ió n y escalares n eg a tivo s p a ra lo s e le m e n to s e n c o m p re s ió n .

2. En m u c h o s casos, e l s e n t id o co rrec to d e u n a fu e r z a d e e le m e n to d e s ­c o n o c id a p u e d e d e te rm in a rse “p o r in s p e c c ió n ”. P o r e je m p lo . FBC es u n a fu e rz a d e te n s ió n c o m o s e re p re s e n ta e n la f ig u ra 3 -2 5 6 ,p u e s to q u e e l e q u il ib r io d e m o m e n to s re s p e c to a G re q u ie re q u e F flC c re e u n m o m e n to o p u e s to a l d e la fu e rz a d e 1000 N. A d e m á s . F GC es d e te n s ió n p o rq u e s u c o m p o n e n te v e r tic a l d e b e e q u i l ib r a r la fu e rz a d e 1000 N. E n c a so s m á s c o m p lic a d o s , e l s e n t id o d e u n a fu e rz a d e e le m e n to d e sc o n o c id a p u e d e su p o n e r se . S i la s o lu c ió n re s u l ta s e r u n e sc a la r neg a tivo , e s to in d ic a rá q u e e l s e n t id o d e la fu e rz a e s o p u esto a l m o s tra d o e n e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re . É s te e s e l m é to d o q u e s e u ti liz a rá e n los s ig u ie n te s p ro b le m a s d e e je m p lo .

E n e l n o r te d e C a l i f o r n ia s e c o n s ­t r u y e u n a a r m a d u r a d e p u e n te s o b re e l la g o S h a s ta .

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C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

E l s ig u ie n te p ro c e d im ie n to p ro p o rc io n a u n m e d io p a r a a p lic a r e l m é to d o d e las s e c c io ­n es a fin d e d e te r m in a r la s fu e rz a s e n lo s e le m e n to s d e u n a a rm a d u ra .

D ia g ra m a d e c u e r p o lib re

• T o m e u n a d e c is ió n s o b r e la fo rm a d e “c o r ta r " o s e c c io n a r la a rm a d u ra a tr a v é s d e los e le m e n to s e n lo s q u e d e b e n d e te r m in a rs e la s fu e rza s .

• A n te s d e a is la r la secc ió n a d e c u a d a , q u iz á s e re q u ie ra d e te r m in a r la s re a c c io n e s e x te r ­n a s d e la a rm a d u ra , d e m o d o q u e las tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io s ó lo se u s e n p a ra e n c o n tra r la s fu e rz a s d e e le m e n to e n la secc ió n c o r ta d a .

• D ib u je e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la p a r te d e la a rm a d u ra s e c c io n a d a q u e te n g a e l m e n o r n ú m e ro d e fu e rz a s e n e lla .

• U tilic e u n o d e lo s d o s m é to d o s d e sc r ito s a n te r io r m e n te p a ra e s ta b le c e r e l s e n t id o d e u n a fu e rz a d e sc o n o c id a .

E c u a c io n e s d e e q u il ib r io

• L os m o m e n to s d e b e n su m a rse a lr e d e d o r d e u n p u n to q u e s e e n c u e n t r e e n la in te r s e c ­c ión d e la s lín ea s d e a c c ió n d e d o s fu e rz a s d e sc o n o c id a s ; d e e s ta m a n e ra , la te r c e ra fu e rza d e sc o n o c id a s e d e te rm in a d ir e c ta m e n te a p a r t ir d e la e c u a c ió n .

• Si d o s d e la s fu e rz a s d e sc o n o c id a s s o n pa ra le la s , la s fu e rz a s p u e d e n s u m a rs e e n fo rm a p e rp e n d ic u la r a la d ire c c ió n d e e s ta s in c ó g n ita s a fin d e d e te r m in a r d irec ta m en te la t e r ­c e ra fu e rz a d e sc o n o c id a .

E je m p lo d e u n a a r m a d u r a W a r r e n ( c o n v e r tic a le s )

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3 . 5 E l M É T O D O D E LAS SECCIONES 107

D e te rm in e la fu e rz a e n lo s e le m e n to s G J y C O d e la a rm a d u ra d e lech o q u e s e m u e s tra e n la fo to g ra f ía . L as d im e n s io n e s y las c a rg a s se m u e s tra n e n la f ig u ra 3 -2 6 a . In d iq u e s i los e le m e n to s e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n . L as re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y a s e h a n ca lc u lad o .

5001b

3001b 300 Ib

3001b

300 Ib . \ 0 3001b

A , = 0

1501b 1501b

1159.3 Ib |*3 p ie s ' 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 1 1159.3 Ib

(a)

Hgiira 3-26

SO L U C IÓ N

E le m e n to CF.

D ia g ra m a d e c u e rp o lib re . 1.a fu e r z a e n e l e le m e n to G J p u e d e o b ­te n e rse a l c o n s id e ra r la s e c c ió n aa d e la f ig u ra 3 - 2 6 a . E n la fig u ra 3 . 2 6 b s e m u e s tra e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la p a r te d e re c h a d e e s ta secc ió n .

E cuaciones d e e q u il ib r io . A p lic a n d o £ A // ■ 0 s e p u e d e o b te n e r una s o lu c ió n d ir e c ta p a r a *V ;/ ¿ P o r q u é ? P a ra s im p lific a r, d e s lic e F<;j h ac ia e l p u n to G (p r in c ip io d e tra n sm is ib il id a d ) . fig u ra 3 - 2 6 6 . P o r lo ta n to . <b)

t + S M / = 0 ; - F Cj s e n 3 0 ° (6 ) + 3 0 0 (3 .4 6 4 ) = 0

f c , = 3 4 6 1 b ( C ) R esp.

E le m e n to G C

D ia g ra m a d e c u e rp o lib re . La fu e rz a e n C O p u e d e o b te n e r s e u s a n d o la s e c c ió n b b d e la f ig u ra 3 -2 6 a . E n la fig u ra 3-26c se m u e s tra el d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la p a r t e iz q u ie rd a d e la secc ió n .

E cuaciones d e e q u il ib r io . L os m o m e n to s s e s u m a rá n re s p e c to al p u n to A con e l fin d e e lim in a r la s in c ó g n ita s F OP y Fc 0 .

= 0; -3 0 0 (3 .4 6 4 ) + F c o { 6 )

Fc o = 173 Ib (T )

0

R esp. (c )

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1 0 8 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

S O L U C IÓ N

D ia g ra m a d e c u e rp o lib re . Se c o n s id e ra rá l a s e c c ió n aa d e la fi­g u ra 3 -27a . ¿ P o r q u é ? E n la f ig u ra 3 -2 7 b se m u e s tra e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re a l a d e re c h a d e e s ta se c c ió n . L a d is ta n c ia E O p u e d e d e ­te rm in a rs e m e d ia n te tr iá n g u lo s s e m e ja n te s o a l o b s e r v a r q u e e l e l e ­m e n to G E cae v e r t ic a lm e n te 4 .5 - 3 = 1.5 m e n 3 m , f ig u ra 3 -27a . P o r co n s ig u ie n te , p a ra c a e r 4 .5 m d e s d e G . la d is ta n c ia d e C a O (fcbe s e r d e 9 m . A d e m á s , lo s á n g u lo s q u e fo r m a n ¥ GD y ¥ GF c o n l a h o r iz o n ta l s o n t a n - ‘ (4 .5 /3) = 56.3° y ta n " '( 4 .5 /9 ) = 26 .6°, re sp e c tiv a m e n te .

E cuaciones d e e q u il ib r io . L a fu e rz a e n G F p u e d e d e te r m in a rs e d i­re c ta m e n te a p lic a n d o 1 M D = 0. ¿ I\> r q u é ? P a ra e l c á lc u lo a p liq u e e l p r in c ip io d e tra n sm is ib il id a d y d e s lic e ¥ GF h a s ta e l p u n to O . P o r lo ta n to .

5,+ S A /„ = O. - F g f s e n 2 6 .6 ° (6 ) + 7 (3 ) = 0

F g f = 7.83 k N ( C ) Resp.

l a fu e rz a e n G D se d e te rm in a d ir e c ta m e n te a l a p lic a r 2íV/0 = 0 . P a ra s im p lifica r a p liq u e e l p rin c ip io d e transm isib ilidad y deslice ¥ Gn h a d a D. A sí,

l + I M o = 0; - 7 ( 3 ) + 2 (6 ) + E c o s e n 5 6 .3 ° (6 ) = 0

E g d = 1.80 k N ( C ) Resp.

D e te rm in e la fu e rz a e n lo s e le m e n to s G E y G D d e la a r m a d u r a q u e se m u e s tra e n la f ig u ra 3 -2 7 a . In d iq u e s i los e le m e n to s e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n . L as re a c c io n e s e n los s o p o r te s ya s e h a n ca lcu lad o .

Figura 3 -27

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3 . 5 E l M É T O D O D E IA S SECCIONES 1 0 9

D e te rm in e la fu e rz a e n lo s e le m e n to s B C y M C efe la a rm a d u ra K q u e se m u e s tra e n la f ig u ra 3-28 a . In d iq u e si los e le m e n to s e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n . Las re a c c io n e s e n lo s so p o r te s y a se h a n ca lc u lad o .

A , — 2900 Ib 12001b 15001b 18001b

(a)

SO L U C IÓ N

D ia g ra m a d e c u e rp o lib re . A u n q u e l a s e c c ió n aa q u e s e m u e s tra e n la f ig u ra 3 -2 8 a re a l i /a u n c o r te a tra v é s d e c u a tr o e le m e n to s , e s p o ­sib le d e s c o m p o n e r la fu e rz a e n e l e le m e n to B C u sa n d o e s ta se c c ió n . E n la f ig u ra 3-28¿> se m u e s tra e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la p a r te izq u ie rd a d e la a rm a d u ra .

E cuaciones d e e q u il ib r io . L a su m a d e lo s m o m e n to s re s p e c to a l p o n to L e lim in a tres d e la s in c ó g n ita s , p o r lo q u e

= O, -2 9 0 0 ( 1 5 ) + F b c { 2 0 ) = 0

F b c = 2175 Ib ( T ) Resp.

D iag ram as d e c u e rp o lib re . L a fu e rz a e n M C p u e d e o b te n e r s e d e m a n e ra in d ire c ta a l o b te n e r p r im e ro la fu e rz a e n M B a p a r t ir d e l e q u il ib r io d e fu e iv a s v e r tic a le s e n la ju n ta B , f ig u ra 3 -2 8 c . e s d e c ir , FUfí = 1200 Ib (T ). E n to n c e s , c o n b a se e n e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la f ig u ra 3-28¿>.

+ T = 0; 2 9 0 0 - 1200 + 1200 - F u l = 0

F = 2900 Ib (T )

E n la f ig u ra 3 -28d se m u e s tra e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e l a ju n ta A /.en e l c u a l se u s a n e s to s re su ltad o s .

E cuaciones d e e q u il ib r io .

X ? . F t = 0;

+ Í Z F y = 0;

F'm k = 0(vn)F"c (vb)2900 - 1200 - (w) F " c - 0

F „ k = L532 Ib ( C ) F m c = 1532 Ib ( T ) Resp.

E n o c a s io n e s , c o m o e n e s te e je m p lo , la a p lic a c ió n ta n to d e l m é to d o d e h s se c c io n e s c o m o d e l m é to d o d e los n u d o s c o n d u c e a u n a so lu c ió n m ás d ir e c ta d e l p ro b le m a .

T a m b ié n e s p o s ib le o b te n e r la fu e rz a e n M C u sa n d o e l re s u l ta d o de FflC. E n e s te c a so .s e p a sa una secc ió n v e rtic a l a tr a v é s d e I .K , M K .M C y B C , f ig u ra 3 -2 8 a . Se a ís la la s e c c ió n iz q u ie rd a y s e a p lic a 1 M K = 0 .

L iI**” F;.X

2 0 p ie s

\a

Fvl

F.va|m "

29001b 12001b

(b)

F UB

« F b c

12001b

( c )

29001b

12001b( d )

Figura 3 -28

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1 1 0 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

3 .6 Arm aduras compuestas

E n la secc ió n 3 -2 s e e s ta b le c ió q u e las a rm a d u ra s c o m p u e s ta s s e fo rm a n al c o n e c ta r e n tr e s í d o s o m ás a rm a d u ra s s im p le s , ya s e a m e d ia n te la s b a ­r ra s o la s ju n ta s . D e m a n e ra o c a s io n a l, e s te t ip o d e a rm a d u ra s e an a liz a d e u n a m e jo r m a n e r a s i s e a p l ic a n la n ío e l m é to d o d e lo s n u d o s c o m o e l d e la s secc io n es. C o n f r e c u e n c ia e s c o n v e n ie n te r e c o n o c e r a n te s e l tip o d e c o n s tru c c ió n ,s e g ú n la lis ta p re s e n ta d a e n la s e c c ió n 3 -2 , p a ra d e s p u é s re a liz a r e l an á lis is a p lic a n d o e l s ig u ie n te p ro c e d im ie n to .

EJEM PLO 3.8

na

4 s e n 60° m

5 kN 4 kN

<b)

3 .46 kN

5 kN 4 kN

(c)

H g u r a 3 - 2 9

2 kN

In d iq u e c ó m o a n a liz a r la a rm a d u ra c o m p u e s ta q u e s e m u e s tra e n la f ig u ra 3 -29a . L as re a c c io n e s e n los a p o y o s y a se h a n ca lc u lad o .

-4, = 0

4kN £ - 5 kN

S O L U C IÓ NL a a rm a d u ra e s c o m p u e s ta p u e s to q u e la s a rm a d u ra s s im p le s A C H y C E G e s tá n c o n e c ta d a s m e d ia n te e l p a s a d o r e n C y la b a r r a 1IG .

L a se c c ió n aa d e la f ig u ra 3 -2 9 a c o r ta la b a r r a H G y o tro s d o s e l e ­m e n to s q u e t ie n e n fu e rzas d e sc o n o c id a s . E n la f ig u ra 3 -29¿> se m u e s tra u n d ia g r a m a d e c u e rp o lib re d e l a p a r t e iz q u ie rd a . L a fu e rz a e n H G se d e te rm in a d e la m a n e ra s ig u ie n te :

t + Z A / c - O , - 5 ( 4 ) + 4 (2 ) + F //C ( 4 s e n 6 0 ° )

F HG = 3 .46 k N (C )

0

A h o ra s e p ro c e d e a d e te r m in a r la fu e rz a e n c a d a e le m e n to d e la s a rm a d u ra s s im p le s s ig u ie n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s . POr e je m p lo , el d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e A C H se m u e s tra e n la fig u ra 3 -2 9 c . L as ju n ta s d e e s ta a rm a d u ra p u e d e n a n a liz a rs e e n la s ig u ie n te se c u e n c ia :

Ju n ta A : D e te rm in e la fu e rz a e n A B y A l .J u m a H: D e te rm in e la fu e iv a e n H l y H J.J u n ta I : D e te rm in e la fu e rz a e n U e IB .Ju n ta B: D e te rm in e la fu e rz a e n B C y BJ.J u n ta J: D e te rm in e la fu e rz a e n JC .

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3 . 6 A r m a d u r a s c o m p u e s t a s 1 1 1

L as a rm a d u ra s d e te c h o c o m p u e s ta s s e u s a n e n u n v ivero , c o m o se m u e s tra e n la fo to g ra fía .T ie n e n las d im en sio n es y la c a rg a q u e s e m ues­tra n e n la f ig u ra 3-30a. In d iq u e la fo rm a d e a n a liz a r e s ta a rm a d u ra .

SO L U C IÓ NL a fu e rz a e n E F p u e d e o b te n e r s e u s a n d o la s e c c ió n a a d e la f ig u ra3 -3 0 a . E n la f ig u ra 3 -3 0 b se m u e s tra e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e l s g m e n t o d e la d e re c h a .

i + I M 0 = 0 ; - 1 ( 1 ) - 1 (2 ) - 1 (3 ) - 1 (4 ) - 1 (5 ) - 0 .5 (6 ) + 6 (6 ) F e f { 6 ta n 3 0 ° ) = 0

F e f = 5 .20 k N ( T ) Resp.

I b r in sp ecc ió n , o h se rv e q u e R T , E O y H J s o n e le m e n to s d e fu e rza c e ro p u e s to q u e + 1 2 F y = 0 e n la s ju n ta s R . E y H . re s p e c tiv a m e n te .T am b ién , p o r a p lic a c ió n + \ Z F y = 0 (p e rp e n d ic u la r a A O ) e n la s ju n ta s d e P . Q . S y T , p u e d e d e te rm in a rs e d ir e c ta m e n te la fu e rz a e n b s e le m e n to s P U ,Q U ,S C y T C , re sp e c tiv a m e n te .

(b)

fig u ra 3 -30

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1 1 2 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

In d iq u e c ó m o a n a liz a r la a rm a d u ra c o m p u e s ta q u e s e m u e s tra e n la f ig u ra 3-31<i. L a s re a c c io n e s e n los s o p o r te s ya s e h a n ca lcu lad o .

A D_

3k

12

• 4 5 °

6 DÍCS —

, ' -** y» 4 5 °

B

L— 6 d í c s —- - oics

4 5 ° \ j

E \— 6 d íc s — 1-— 6 ow l/ ,V J J

3 k F, = 3k

|— 6pies—|

12 pies

6 sen 45° pies

3 k 3 k

(c)

S O L U C IÓ NL a a rm a d u ra p u e d e c la s i f i c a r e c o m o c o m p u e s ta d e l tip o 2 , p u e s to q u e la s a rm a d u ra s s im p le s A B C D y F E H G e s tá n c o n e c ta d a s p o r tr e s b a r r a s q u e n o s o n p a ra le la s n i c o n c u r re n te s , a s a b e r , C E , B U y D G .

Si s e u s a la s e c c ió n a a d e la f ig u ra 3 - 3 l a , es p o s ib le d e te r m in a r la fu e rz a e n c a d a b a r r a d e c o n e x ió n . E n la f ig u ra 3 -31 b se m u e s tra e l d ia ­g ra m a d e c u e rp o lib re d e la p a r te iz q u ie rd a d e e s ta secc ió n . P o r lo ta n to ,

= O, - 3 ( 6 ) - F p c i é se n 4 5 ° ) + F CEeo s 4 5 °(1 2 )

+ f ’C £ s e n 4 5 ° ( 6 ) = 0 (1 )

+ T 2 F , = 0 ; 3 - 3 - F r h s e n 4 5 ° + FC £ s e n 4 5 ° = 0 (2 )

Z F , = 0 ; — F b u eo s 4 5 ° + F ^ - F CEco s 4 5 ° = 0 (3 )

A p a r t i r d e la e c u a c ió n (2 ) , Ffín ■ FCú e n to n c e s , a l r e s o lv e r s im u ltá ­n e a m e n te la s e c u a c io n e s (1 ) y (3 ) s e o b tie n e

F Bh = F cf. = 2.68 k (C ) F n c = 3.78 k (T )

A h o ra p u e d e re a liz a rse e l a n á lis is d e c a d a a rm a d u ra s im p le c o n e c ­ta d a s ig u ie n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s P o r e je m p lo , c o n b a s e e n la fi­g u ra 3 -3 le , e s to p u e d e h a c e rs e e n la s ig u ie n te se c u e n c ia .

Ju n ta A : D e te rm in e la fu e rz a e n A B y A D . J u n ta D : D e te rm in e l a fu e rz a e n D C y D B . J u n ta C: D e te rm in e la fu e rz a e n C B .

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3 . 6 A r m a d u r a s c o m p u e s t a s 1 1 3

P R O B L E M A S F U N D A M E N T A L E S

F 3 - 7 . D e te r m in e la f u e rz a e n lo s e le m e n to s H G , I t G y B C

c in d iq u e s i e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n .1 3 -1 0 . D e te rm in e la f u e rz a e n lo s e le m e n to s G F , C F y C D c in d iq u e s i e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n .

4001b

1 3 - 8 . D e te r m in e la f u e rz a e n lo s e le m e n to s H G , H C y B C 1 3 -1 1 - D e te rm in e la fu e rz a e n lo s e le m e n to s F E , F C y B C

e in d iq u e s i e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n . e in d iq u e s i e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n .

4 kN

6 0 0 1 b 600 Ib 6001b 6001b 6001b

B

— 4 p ie s— — 4 pies -

1-3-8

1 3 - 9 . D e te rm in e la f u e rz a e n lo s e le m e n to s E D . B D y B C

c in d iq u e s i e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n .

2 kN 2 kN

3 m - 3 m

1 3 - 1 1

1 3 -1 2 . D e te rm in e la f u e r z a e n lo s e le m e n to s G F , C F y C D e in d iq u e s i e s t á e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n .

D 6 kN

.3¡>U

— A l > -----J

y j

.— > r ,lp \— J*1 1 ’l p 1V.> 1r p ita

13-12

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1 1 4 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

P R O B L E M A S

3 - 1 8 . D e te rm in e la f u e rz a e n lo s e le m e n to s G F , F C y C D

d e la a r m a d u ra d e p u e n te . In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n . S u p o n g a q u e t o d o s lo s e le m e n to s e s tá n c o n e c ta d o s m e d ia n te p a s a d o re s .

I S k 10 k

P r o h . 3 - 1 8

3 - 1 9 . D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e le m e n to s J K . J N y C D .

In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n . I d e n tif iq u e to d o s lo s e le m e n to s d e f u e rz a c e ro .

3 - 2 1 . L a a r m a d u r a H o w e e s tá s u j e ta a la c a r g a q u e se m u e s tra . D e te r m in e la s fu e rz a s e n lo s e le m e n to s G F , C D y G C . I n d iq u e s i lo s e le m e n to s e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p r e ­s ió n . S u p o n g a q u e t o d o s lo s e le m e n to s e s t á n c o n e c ta d o s m e d ia n te p a s a d o re s .

P ro h . 3 - 1 9

P ro h . 3 - 2 1

3 - 2 2 . D e te r m in e la fu e rz a e n lo s e le m e n to s R G , H G y R C

d e la a r m a d u r a e in d iq u e s i lo s e le m e n to s e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n .

* 3 -2 0 . D e te r m in e la f u e rz a e n lo s e le m e n to s G F , F C y C D

d e la a r m a d u ra e n v o la d iz o . In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n . S u p o n g a q u e to d o s lo s e le m e n ­to s e s tá n c o n e c ta d o s m e d ia n te p a s a d o re s .

G

6 k N 7 kN 4 k N

--------------- 12 m .4 X 3 m -----------

P r o h . 3 - 2 0 P r o h . 3 - 2 2

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3 . 6 A r m a d u r a s c o m p u e s t a s 1 1 5

3 -2 3 . D eterm ine la fuerza e n los e lem en tos G F . C F y CD d e la a rm adura d e techo e indique si los e lem entos e s tán en tensión o e n com presión.

3-25. D eterm ine la fuerza e n los e lem en tos / / / . ID y CD d e la arm adura . Indique si los e lem entos están e n tensión o e n com presión. Suponga que to d o s los elem entos están c o ­nectados m ediante pasadores.

3-26. D eterm ine la fuerza e n los e lem en tos .//, IC y C D de la arm adura . Indique si los elem entos están e n tensión o en com presión. Suponga que to d o s los e lem entos e s tán conec­tados m ediante pasadores.

1 5 kN

Probs. 3-25/3-26

•3 -24 . D eterm ine la fuerza e n los e lem en tos G F, F B y BC de la a rm ad u ra F ink e indique si los elem entos están e n ten­sión o e n com presión.

3-27. D eterm ine las fuerzas en los e lem entos K J, C D y C l d e la arm adura . Indique si los e lem entos están e n tensión o e n compresión.

P roh . 3-24 P roh . 3 - 2 7

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C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

3 . 7 A rm a d u ra s com p le jas

L a s fu e rz a s e n lo s e le m e n to s d e u n a a rm a d u ra c o m p le ja p u e d e n d e te r ­m in a rse s ig u ie n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s ; s in e m b a rg o , la so lu c ió n r e ­q u e r i r á e sc r ib ir la s d o s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io p a ra c a d a u n a d e la s j ju n ta s d e la a rm a d u ra y d e s p u é s re s o lv e r e l c o n ju n to c o m p le to d e 2j e c u a c io n e s e n fo r m a s im u ltá n e a * E s te e n fo q u e p u e d e s e r p o c o p rá c tic o s i lo s c á lc u lo s s e re a l iz a n m a n u a lm e n te , e n e sp e c ia l c u a n d o la s a r m a d u ­ra s s o n m u y g ra n d e s . P o r e llo , a c o n tin u a c ió n se p r e s e n ta u n m é to d o m ás d ir e c to p a ra a n a liz a r u n a a r m a d u r a c o m p le ja .c o n o c id o c o m o e l m é to d o d e los e le m e n to s su b s titu to s .

P ro c e d im ie n to de a n á lis is

C b n re fe re n c ia a la a rm a d u ra d e la f ig u ra 3 -3 2 a .s e r e q u ie re n los s ig u ie n te s p a so s p a ra d e te rm in a r las fu e rz a s e n los e le m e n to s m e d ia n te e l m é to d o d e lo s e le m e n to s su s titu to s .

Fuerzas 5 / Fuerzas s,<b> (c )

f ig u ra 3 -32

• F s to p u e d e re a liz a rse fá c ilm e n te e m p le a n d o u n a c o m p u ta d o ra , c o m o se m u e s tra e n e l c a p i tu lo 14

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3 . 7 A r m a d u r a s c o m p l e j a s 117

R e d u c c ió n a u n a a rm a d u ra s im p le e s t a b le

D e te rm in e la s re a c c io n e s e n los s o p o r te s y c o m ie n c e p o r im a g in a r c ó m o a n a liz a r ía la a rm a d u ra a p lic a n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s , e s d e c ir , p a s a n d o d e u n a ju n ta a o t r a y re so lv ie n d o p a r a e n c o n tr a r c a d a fu e rz a d e e le m e n to . S i se lle g a a u n a j u n t a d o n d e h a y tres in có g n ita s , e lim in e u n o d e los e le m e n to s e n la a r t ic u la c ió n y re e m p lá c e lo p o r un e le m e n to im a g in a r io e n c u a lq u ie r o t r a p a r te d e la a rm a d u ra . D e e s ta m a n e ra , s e re c o n s tru y e la a rm a d u ra c o m o u n a a rm a d u ra s im p le e s ta b le .

ft>r e je m p lo , e n la f ig u ra 3 -3 2 a s e o b s e rv a q u e c a d a ju n ta te n d rá tr e s fu e rz a s d e e l e ­m e n to d esco n o c id a s a c tu a n d o s o b re e lla . ft>r lo t a n to .s e e l im in a rá e l e le m e n to / I D y se re e m p la z a rá c o n e l e le m e n to im a g in a r io C E , f ig u ra 3 -3 2 b . E s ta a rm a d u ra p u e d e a n a l i ­za rse a h o ra m e d ia n te e l m é to d o d e lo s n u d o s p a r a lo s d o s tip o s d e c a rg a q u e s ig u en .

C a rg a e x te r n a s o b r e u n a a rm a d u ra s im p le

C a rg u e la a rm a d u ra s im p le c o n la c a rg a r e a l P y d e s p u é s d e te rm in e la fu e rz a 5 / e n c a d a e le m e n to i. C u a n d o la s re a c c io n e s y a h a n s id o d e te r m in a d a s ,e n la f ig u ra 3 -3 2 6 * p u e d e c o m e n z a r e n la j u n t a A p a ra d e te r m in a r la s fu e rz a s e n A R y A F , d e s p u é s e n la j u n t a F p a ra d e te r m in a r la s fu e rz a s e n F E y F O , lu e g o e n la j u n t a D p a ra d e te r m in a r las fu e rz a s e n D E y D C ( la s c u a le s s o n ig u a le s a c e r o ) ; p o s te r io rm e n te , e n la j u n t a E p a ra e n c o n tr a r E R y E C , y f in a lm e n te la ju n ta B p a ra d e te r m in a r la fu e rz a e n B C ,

R etiro d e la c a r g a e x t e m a d e la a r m a d u r a s im p le

C o n s id e re la a rm a d u ra s im p le s in la c a rg a e x te r n a P . C o lo q u e cargas u n ita r ia s g u a le s p e ro o p u e s ta s a lin e a d a s s o b re l a a rm a d u ra e n la s d o s ju n ta s d e la s c u a le s s e r e t i r ó e l e le m e n to . S i e s ta s fu e rz a s d e s a r ro lla n u n a fu e rz a s, e n e l i-é s im o e le m e n to d e u n a a rm a d u ra , e n to n c e s p o r p ro p o rc ió n u n a fu e rz a x d e sc o n o c id a e n e l e le m e n to r e t i r a d o e je rc e r ía u n a fu e rz a d e x s ,e n e l í - é s im o e le m e n to .

C b n b a se e n la f ig u ra 3 -3 2 c ,la s c a rg a s u n ita r ia s ig u a le s p e r o o p u e s ta s n o crearán rea c ­c io n es e n A y C c u a n d o s e a p lic a n las e c u a c io n e s d e e q u il ib r io a to d a la a rm a d u ra . L a s fu e rz a s s , p u e d e n d e te r m in a rs e m e d ia n te u n an á lis is d e la s ju n t a s e n l a m ism a se c u e n c ia a n te r io r , e s d e c ir , p r im e ro la ju n ta A , lu e g o la s ju n ta s F . D . E y p o r ú lt im o la ju n ta B.

S u p e rp o s ic ió nSi los e fe c to s d e las d o s c a rg a s a n te r io r e s s e c o m b in a n , la fu e rz a e n e l i-é s im o e le m e n to d e la a rm a d u ra s e rá

S , = s ; + *5, (1 )

E n p a r t ic u la r , p a r a e l e le m e n to s u s ti tu id o E C e n la f ig u ra 3 -3 2 b la fu e rz a S EC ■ S 'c c + x s FC. C ó m o e l e le m e n to E C e n r e a l id a d no ex is te e n la a rm a d u ra o r ig in a l , se e le g irá x co n u n a m a g n itu d ta l q u e p ro d u z c a u n a fu e r z a c e ro e n E C .P o r co n s ig u ie n te ,

S'EC + x s EC = O (2 )

o x = -S 'E c fs E c - v e z q u e se h a d e te r m in a d o e l v a lo r d e x , las fu e rz a s e n lo s o t r o s e le m e n to s i d e la a rm a d u ra c o m p le ja p u e d e n d e te r m in a rs e a p a r t i r d e la e c u a c ió n (1 ).

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1 1 8 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

EJEM PLO 3.11

D e te rm in e la fu e iz a e n c a d a e le m e n to d e la a rm a d u ra c o m p le ja q u e s e m u e s tra e n la f ig u ra 3 -33a . S u p o n g a q u e la s ju n t a s B , F y D x e n ­c u e n tra n e n la m ism a línea h o r iz o n ta l . In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n .

8 p ie s

(a)

F ig u ra 3 - 3 3

S O L U C IÓ N

Reducción a una armadura simple estable. ft>r in sp ecc ió n , c ad a ju n ta tie n e tre s fu e rz a s d e e le m e n to d esco n o c id as. E l aná lis is d e la s ju n ­ta s p u e d e re a liz a rse e n fo rm a m a n u a l s i . p o r e je m p lo , s e e lim in a e l e le ­m e n to C E y s e s u s titu y e p o r e l e le m e n to D E . f ig u ra 3 -33b . L a a rm a d u ra re s u lta n te e s e s ta b le y n o c o la p sa rá .

Carga externa sobre la armadura simple. C o m o s e m u e s tra e n la f ig u ra 3-33¿>,se h a n d e te rm in a d o la s re a c c io n e s e n los so p o r te s d e la a r ­m a d u ra . A p lic a n d o e l m é to d o d e los n u d o s , p r im e ro p u e d e an a liz a rse la ju n ta C p a ra e n c o n tr a r las fu e rzas e n lo s e le m e n to s C B y C D \ lu e g o la ju n ta F, d o n d e s e o b se rv a q u e F A y F E so n e le m e n to s d e fu e rz a ce ro ; d e s p u é s la j u n t a E p a ra d e te r m in a r la s fu e r z a s e n lo s e le m e n to s E B y E D \ p o s te r io rm e n te , l a ju n ta D p a ra d e te rm in a r las fu e rz a s e n D A y D B ,y p o r ú ltim o la ju n ta B p a ra d e te rm in a r la fu e rz a e n B A . E stas fu e r­zas 5¡ se re g is tra n e n la c o lu m n a 2 d e la ta b la 1, d o n d e s e c o n s id e ra a la te n s ió n c o m o p o sitiv a y a la c o m p re s ió n c o m o negativa .

í4375 k

(b)

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3 . 7 A r m a d u r a s c o m p l e j a s 119

(c)

R e tiro d e la c a rg a e x te m a d e la a rm a d u ra s im p le . E n la fig u ra3-33c s e m u e s tra l a c a rg a u n ita r ia q u e a c tú a s o b r e la a rm a d u ra . E s ta s tu e rz a s ig u a les p e ro o p u e s ta s n o c r e a n re a c c io n e s e x te m a s s o b re la a rm a d u ra . E l an á lis is d e ju n ta s s ig u e la m ism a se c u e n c ia in d ic a d a a n ­te r io rm e n te ; e s d e c ir , s e a n a liz a n la s ju n t a s C , F ,E ,D y B . L o s re s u lta ­d o s d e l an á lis is d e fu e rz a s s, s e r e g is tr a n e n la c o lu m n a 3 d e la ta b la 1.

S u p e rp o s ic ió n . Se re q u ie re

S d b = S'd b + x s d b = 0

A l su s titu ir los d a to s e n S 'DB y sDB,d o n d e S ’DB es n e g a tiv a p u e s to q u e h fu e rz a e s d e c o m p re s ió n ,s e tie n e

- 2 .5 0 + x (1 .1 6 7 ) = 0 x = 2.143

L os v a lo re s d e xs¡ s e r e g is tr a n e n l a c o lu m n a 4 d e la ta b la 1. y la s fu e r ­zas d e e le m e n to re a le s S ,= S ¡ + xs¡ se e n lis ta n e n la c o lu m n a 5.

TA B LA 1 jS e m e n tó s¡ * ** s.

CB 3.54 -0 .707 -1 .5 2 2.02 (T)CD -3 .5 4 -0 .707 -L 5 2 5.05 (C)FA 0 0.833 1.79 1.79 (T)FE 0 0.833 1.79 1.79 (T)EB 0 -0 .712 -1 .5 3 1.53 (C)F.D -4 .3 8 -0 2 5 0 -0 5 3 6 4.91 (C )D A 534 -0 .712 -1 .5 3 3.81 (T)D B -2 .5 0 1.167 250 0BA 2.50 -0 .250 - 0 5 3 6 1.96 (T)CB 2 1 4 (T)

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1 2 0 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

p

E l l e c h o d e e s l e p a b e l ló n s e s o s t i e n e m e ­d ia n te u n s is te m a d e a r m a d u r a s e s p a c ia le s .

3 . 8 A rm a d u ra s espacia les

U n a arm adura espacia l consis te e n e le m e n to s q u e e s tá n u n id o s e n tr e s i p o r s u s e x tre m o s p a ra fo rm ar u n a e s tru c tu ra tr id im en sio n a l e s tab le . E n la sec­c ió n 3-2 s e d e m o s tró q u e la fo rm a m ás s im p le d e u n a a rm a d u ra b id im en- s io n a l e s ta b le s e c o m p o n e d e e le m e n to s d isp u es to s e n fo rm a d e un tr ián g u lo . D e sp u é s s e c o n s tru y ó u n a a rm a d u ra p la n a s im p le c o n b ase en e s te e le m e n to tr ian g u la r, a ñ a d ie n d o d o s e le m e n to s a la v ez p a r a fo rm a r n u e v o s m ie m b ro s D e m a n e ra s im ila r, e l m ie m b ro m ás s im p le d e u n a a rm a ­d u ra espac ia l e s tab le es u n te traedro , fo rm a d o p o r l a c o n ex ió n d e se is e le ­m e n to s m e d ia n te c u a tro ju n ta s c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 3-34. T o d o s los e le m e n to s ad ic io n a les añ a d id o s a e s te e le m e n to básico se r ía n re d u n d a n te s p a ra so p o r ta r la fu e rza P. U n a a rm a d u ra espac ia l s im p le p u e d e co n stru irse a p a r t i r d e e s te m ie m b ro te tra é d r ic o básico , a g re g a n d o tre s n u e v o s e le m e n ­to s y o t r a ju n ta p a ra a s í fo rm a r te tra e d ro s m ulticonectados.

Determinación y estabilidad. A l o b s e rv a r q u e e n tr e s d im e n ­s io n e s h a y tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io p a ra c a d a ju n ta ( 2 / r, = 0 , 2 F V = 0 . 2 F . = 0 ) . e n to n c e s p a r a u n a a rm a d u ra e sp ac ia l c o n u n n ú m e r o j d e ju n ta s , h a y 3j e cu ac io n es d isp o n ib le s . Si la a rm a d u ra t ie n e u n n ú m e r o b d e b a r r a s y u n n ú m e r o r d e re a c c io n e s , c o m o es e l c a so d e u n a a rm a d u ra p la n a (e c u a c io n e s 3-1 y 3 -2 ) . es p o s ib le e sc r ib ir

b + r < 3 j a rm a d u ra in e s ta b le b + r = 3 j e s tá tic a m e n te d e te r m in a d a - c o m p ro b a r

e s ta b il id a db + r > 3 / e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a - c o m p r o b a r

e s ta b il id a d

(3 -3 )

L a estab ilidad externa d e la a rm a d u ra e sp ac ia l re q u ie re q u e las reacciones e n los so p o r te s m a n te n g a n la a rm a d u ra e n e q u il ib r io d e fu e rz a s y m o ­m en to s r e s p e c to d e c u a le sq u ie r e jes . E n o c a s io n e s e s to p u e d e c o m p ro ­b a rse p o r in sp ecc ió n , p e ro s i la a rm a d u ra e s in e s ta b le u n a s o lu c ió n d e las e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d a rá r e s u lta d o s in co n s is ten te s . L a e sta b ilid a d in ­terna p u e d e c o m p ro b a rse a v e c e s m e d ia n te una in sp ecc ió n c u id a d o s a de h d isp o s ic ió n d e los e le m e n to s . S ie m p re q u e c a d a ju n ta s e m a n te n g a fija p o r su s so p o r te s o e le m e n to s co n ec tad o s , d e m o d o q u e n o p u e d a m o v erse c o n re s p e c to a la s d e m á s ju n ta s , l a e s tru c tu ra p u e d e c las ifica rse c o m o e s ­tab le in te rn a m e n te . A d e m á s .s i s e h ace un aná lis is d e fu e rz a s d e la a rm a ­d u ra y s e o b tie n e n re s u lta d o s in c o n s is te n te s , e n to n c e s la c o n fig u ra c ió n de la a rm a d u ra s e rá in e s ta b le o te n d rá u n a “ fo rm a c r í tic a ” .

Supuestos para el diseño. L os e le m e n to s d e u n a a rm a d u ra e sp a ­cia l p u e d e n tr a ta r s e co m o e le m e n to s d e fu e rz a ax ia l, s ie m p re q u e la ca rg a e x te m a se a p liq u e e n la s ju n ta s y é s ta s s e fo rm e n m e d ia n te c o n e x io n e s de ró tu la . E s te su p u e s to se ju s tif ic a su p o n ie n d o q u e lo s e le m e n to s u n id o s p o r u n a c o n e x ió n se c ru c e n e n u n p u n to co m ú n y e l p e s o d e los e lem en to s p u e d a igno rarse . E n lo s caso s e n q u e e l p e so d e u n e le m e n to s e in c lu y a en e l análisis, p o r lo g en e ra l re su lta sa tisfac to rio ap lic a rlo c o m o u n a fuerza vertica l, con la m ita d d e su m ag n itu d ap licad a a c ad a ex trem o d e l e lem en to .

P a ra e l an á lis is d e fuerzas , lo s s o p o r te s d e u n a a r m a d u r a e sp a c ia l s u e ­le n m o d e la rse c o m o u n e s la b ó n c o rto , u n a ju n ta d e ro d illo s p la n a , u n a ju n ta d e ro d illo s r a n u r a d a o u n a ju n ta d e ró tu la . E n la ta b la 3-1 s e m u e s ­tr a c a d a u n o d e e s to s s o p o r te s y su s c o m p o n e n te s d e fu e r z a re a c tiv a .

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3 . 8 A r m a d u r a s e s p a c i a l e s

TABLA 3 - 1 S o p o r t e s y s u s c o m p o n e n t e s d e f u e r z a r e a c t iv a

(2)

ro d illo

( 3 )

V -ro d illo ra n u n id o re s tr in g id o

e n u n c il in d ro

(4 )

F,

/r .

— y

ró tu la

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1 2 2 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

F ig u ra 3 - 3 5

C o m po nentes de fuerza X, y , z. C ó m o e l an á lis is d e u n a a rm a ­d u ra e sp a c ia l e s tr id im e n s io n a l, a m e n u d o s e r á n e c e sa r io d e s c o m p o n e r la fu e rz a F d e u n e le m e n to e n lo s c o m p o n e n te s q u e a c tú a n a lo la rg o d e los e je s x , y , z . P o r e je m p lo , e n la f ig u ra 3 -35 e l e le m e n to A B t ie n e u n a lo n g i­tu d / y p ro y e c c io n e s c o n o c id a s x , y , z a lo la rg o d e lo s e je s c o o rd e n a d o s . E s ta s p ro y e c c io n e s p u e d e n re la c io n a rs e c o n la lo n g itu d d e l e le m e n to

v m e d ia n te la e c u a c ió n

D e b id o a s u e f ic ie n c ia d e c o s to s , las t o r r e s d e e s t e t ip o s e u s a n p a r a s o s t e n e r v a r ia s li­n e a s d e t r a n s m is ió n e lé c tr ic a .

i = V ? T 7 T ? (3 -4 )

C o m o la fu e rz a F ac tú a a lo la r g o d e l e je d e l e le m e n to , la s c o m p o n e n ­te s d e F p u e d e n d e te rm in a rs e p o r p ro p o r c ió n d e la s ig u ie n te m a n e ra :

* - < f ) - Í l ) (3-5)

T en g a e n c u e n ta q u e e s to re q u ie re

f = V f T T F i + (3 -6 )

E l u so d e e s ta s e c u a c io n e s s e ilu s t ra rá e n e l e je m p lo 3-12.

Elem entos d e fuerza ce ro . E n a lg u n o s ca so s , e l an á lis is d e las ju n ta s d e u n a a rm a d u ra p u e d e s im p lific a rse s i e s p o s ib le d e te c ta r lo s e l e ­m e n to s d e fu e rz a c e ro a l re c o n o c e r d o s c a so s c o m u n e s e n la g e o m e tr ía d e las ju n ta s .

C a so 1 . Si to d o s lo s e le m e n to s c o n e c ta d o s a u n a a rm a d u ra m e n o s u n o e s tá n e n e l m ism o p la n o y s ie m p re q u e n in g u n a c a rg a e x te rn a a c tú e s o b re la ju n ta , e l e le m e n to q u e n o s e e n c u e n tra e n e l p la n o d e lo s d e m á s e le m e n to s d e b e e s ta r s o m e tid o a u n a fu e rz a c e ro . I-a p ru e b a d e e s ta a f i r ­m a c ió n s e m u e s tra e n la f ig u ra 3 -3 6 ,d o n d e los e le m e n to s A , f í y C e s tá n e n e l p la n o x -y . C o m o la c o m p o n e n te z d e F „ d e b e s e r c e ro p a ra s a t is f a ­c e r - 0 , e l e le m e n to D d e b e s e r u n e le m e n to d e fu e rz a c e ro . P o r el m ism o ra z o n a m ie n to , e l e le m e n to D s o p o r ta rá u n a c a rg a q u e p u e d e d e ­te rm in a rs e a p a r t i r d e 1 F . = O si u n a fu e rz a e x te r n a a c tú a s o b r e la ju n ta y t ie n e u n a c o m p o n e n te q u e a c tú a a k» la r g o d e l e je z.

H gura 3-36

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3 . 8 A r m a d u r a s e s p a c i a l e s 1 2 3

C a so 2 . S i s e h a d e te rm in a d o q u e to d o s m e n o s d o s d e v a rio s e le m e n to s c o n e c ta d o s a u n a ju n ta s o p o r ta n fu e rz a c e ro , lo s d o s e le m e n to s r e s ta n te s ta m b ié n d e b e n s o p o r ta r fu e rz a c e ro , s ie m p re q u e n o s e e n c u e n t ra n a lo la rg o d e la m ism a línea . E s ta s itu a c ió n s e ilu s tra e n la f ig u ra 3 -37, d o n d e s e s a b e q u e A y C so n e le m e n to s d e fu e r z a c e ro . C o m o F D es c o lin e a l c o n e l e je y , e n to n c e s la a p lic a c ió n d e I F , = 0 o 1 F . = 0 re q u ie re q u e la s c o m p o n e n te s x o z d e Ffl s e a n c e ro . E n c o n se c u e n c ia , F fí = 0. Si é s te e s el c a so , F „ = 0 p u e s to q u e Z F y = 0.

F ig u ra 3 - 3 7

D e b e p re s ta r s e a te n c ió n e sp ec ia l a lo s d o s c a so s a n te r io r e s d e c a rg a y g e o m e tr ía d e la s ju n ta s , p u e s to q u e e l an á lis is d e u n a a rm a d u ra e sp a c ia l p u e d e s im p lifica rse c o n s id e ra b le m e n te s i se d e te c ta n p r im e ro lo s e l e ­m e n to s d e fu e rz a c e ro .

P ro c e d im ie n to d e a n á lis is

P a ra d e te r m in a r la s fu e rz a s d e s a r ro lla d a s e n lo s e le m e n to s d e u n a a rm a d u ra e sp a c ia l p u e d e u sa rse e l m é to d o d e la s se c c io n e s o e l m é to d o d e los n u d o s .

M é to d o d e la s s e c c io n e s

Si s ó lo d e b e n d e te r m in a rs e algunas fu e iz a s d e e le m e n to , p u e d e u sa rse e l m é to d o d e las se c c io n e s C u a n d o s e p a s a u n a s e c c ió n im a g in a r ia a tr a v é s d e u n a a rm a d u ra y é s t a se d iv id e e n d o s p a r te s , e l s is te m a d e fu e rz a q u e a c tú a e n c a d a u n a d e las p a r te s d e b e s a tis fa c e r la s s e is e c u a c io n e s e sc a la re s d e e q u il ib r io : Z F , = 0 , Z F r = 0 , Z f . = 0 ,

Z A f , = 0 , Z A /y = 0 , Z A f . = 0 . M e d ia n te la e le c c ió n a d e c u a d a d e la s e c c ió n y los e je s p a ra s u m a r fu e rz a s y m o m e n to s .e s p o s ib le c a lc u la r d ir e c ta m e n te m u c h a s d e la s fu e rz a s d e e le m e n to d e sc o n o c id a s e n u n a a rm a d u ra e sp a c ia l, e m p le a n d o u n a s o la e c u a c ió n d e e q u ilib r io . A e s te re sp e c to , re c u e r d e q u e e l m o m e n to d e u n a fu e rz a re s p e c to a u n e je es cero s ie m p re q u e la fu e r z a sea p a ra le la a l eje o s u lín ea d e a cc ió n p a s e a tra v é s d e u n p u n to e n e l eje.

M é to d o d e lo s n u d o s

E n g e n e ra l , s i d e b e n d e te r m in a r s e la s fu e rz a s e n lo d o s los e le m e n to s d e la a rm a d u ra , e l m é to d o d e lo s n u d o s es e l m ás a d e c u a d o p a r a re a l iz a r e l an á lis is . C u a n d o s e u ti liz a e l m é to d o d e los n u d o s , es n e c e s a r io re s o lv e r las tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io e sc a la re s Z Fx = 0 , Z Fy = 0 , Z F. = 0 e n c a d a ju n ta . C o m o e s r e la tiv a m e n te fác il d ib u ja r los d ia g ra m a s d e c u e rp o lib re y a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , e l m é to d o d e lo s n u d o s es m u y c o n s is te n te e n s u ap lic a c ió n .

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1 2 4 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

EJEM PLO 3 .1 2

D e te rm in e la fu e rz a e n c a d a e le m e n to d e la a rm a d u ra e sp a c ia l q u e se m u e s tra e n la f ig u ra 3 -3 8 a . L a a rm a d u ra e s tá s o p o r ta d a p o r u n a ju n ta d e ró tu la e n A , u n a ju n ta d e ro d illo ra n u ra d o e n B y u n c a b le e n C.

Figura 3 -38

S O L U C IÓ N

L a a rm a d u ra e s e s tá tic a m e n te d e te r m in a d a p u e s to q u e b + r = 3 ; o b ie n 9 + 6 = 3 (5 ) , f ig u ra 3 -386 .

R eacciones e n lo s s o p o rte s . E s p o s ib le o b te n e r la s re a c c io n e s e n los s o p o r te s a p a r t i r d e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e to d a la a rm a ­d u ra . fig u ra 3 -3 8 6 ,d e l a s ig u ie n te m a n e ra :

Z M y = 0; - 6 0 0 ( 4 ) + B ,( S ) = 0 ñ , = 300 Ib

SA Z. = 0 ; C y = 0

2 M , = 0 ; B y{8 ) - 6 0 0 (8 ) = 0 B , = 600 Ib

l F t = 0 ; 3 0 0 - A , = 0 A , = 3 0 0 Ib

Z F y = 0 ; < 4 , - 6 0 0 - 0 <4, = 600 Ib

Z F . = 0 ; <4. - 600 = 0 <4. = 600 Ib

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3 . 8 A r m a d u r a s e s p a c i a l e s 1 2 5

6001b

J u n ta B. E l m é to d o d e lo s n u d o s p u e d e e m p e z a r e n B , p u e s to q u e hay tr e s fu e rz a s d e e le m e n to d e sc o n o c id a s e n e s ta ju n ta , f ig u ra 3 -38c. L as c o m p o n e n te s d e Ffl£ p u e d e n d e t e r m i n a r e p o r p ro p o rc ió n a la b n g i tu d d e l e le m e n to S E , c o m o se in d ic a e n la s e c u a c io n e s 3 -5 . Se tiene q u e

l F y = O. - 6 0 0 + E fl£(& ) = 0 F b e = 9 0 0 Ib ( T ) Resp.

S E , = 0 ; 300 - F b c - 9 0 0 ( £ ) = 0 F BC = 0 Resp.

S E , = 0 ; F b a - 9 0 0 ( g ) = 0 F RA = 600 Ib ( C ) Resp.

J u n ta A . U sa n d o e l re s u lta d o p a ra F ^ ■ 600 Ib ( C ) .e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la j u n t a A s e m u e s tra e n la f ig u ra 3 -3 8 d . Se tie n e

S E , = 0 ;

S E V = 0;

S E , = 0;

6 0 0 - 6 0 0 + E ^ c s e n 45

F a c = 0

0

- E r f í f o ) + 600 - 0

F a e = 670.8 Ib (C )

- 3 0 0 + F a d + 6 7 0 . 8 ( ^ ) = 0

F a d = 0

Resp.

Resp.

Resp.

AK

J u n ta D. Pbr in sp e c c ió n , los e le m e n to s e n la ju n ta D , f ig u ra 3 -3 8 a , s o p o r ta n fu e iz a c e ro , y a q u e l a d isp o sic ió n d e lo s e le m e n to s e s s im ila r a c u a lq u ie ra d e los d o s caso s an a liz a d o s e n re fe re n c ia a la s figu ras 3 -36 y 3-37. A d e m á s , a p a r t i r d e l a f ig u ra 3 -3 8 e .

S E ,

S E ,

0 ;

0;F DE

F n c

Resp.

Resp.

J u n ta C . l\> r o b s e rv a c ió n d e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re , f ig u ra 3 -38 f

F'c e = 0 R esp.

0 0 F t *

(f)

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1 2 6 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

EJEM PLO 3 .1 3

D e te rm in e lo s e le m e n to s d e fu e rz a c e ro d e l a a rm a d u ra q u e s e m u e s ­tr a e n la f ig u ra 3 -3 9 a . L os so p o r te s e je rc e n la s c o m p o n e n te s d e re a c ­c ión e n la a r m a d u r a c o m o s e in d ic a e n la figu ra .

<«)

f i g u r a 3 - 3 9

S O L U C IÓ NE l d ia g r a m a d e c u e rp o lib re , f ig u ra 3 -3 9 a , in d ic a q u e h a y o c h o re a c ­c io n es d e sc o n o c id a s p a ra cuya s o lu c ió n só lo hay d is p o n ib le s s e is e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . A u n q u e é s te s e a e l c a so , la s re a c c io n e s p u e ­d e n d e te rm in a rs e , p u e s to q u e 6 + r = 3 / o l 6 + 8 = 3(8).

P a ra d e te c ta r los e le m e n to s d e fu e rz a c e ro , e s n e c e sa r io c o m p a r a r la s c o n d ic io n e s d e la g e o m e tr ía d e las ju n ta s y la c a rg a c o n la s in c lu i­d a s e n la s fig u ra s 3 -36 y 3-37. C o n s id e re la ju n ta F , f ig u ra 3 -39b . C o m o lo s e le m e n to s F C , F D y F E se e n c u e n t ra n e n e l p la n o x ' y ' y F G no e s tá e n e s te p la n o , F G es u n e le m e n to d e fu e rz a c e r a ( D e b e s a tis fa ­c e r s e "LF.• = 0 .) D e l a m is m a m a n e r a , a p a r t i r d e la j u n t a E , f ig u ra3-39c. E F e s u n e le m e n to d e fu e r z a c e ro , p u e s to q u e n o se e n c u e n tra e n e l p la n o y '- z ' . ( D e b e s a t is fa c e rse E / y = 0 .) V o lv ien d o a l a ju n ta F , fi­g u ra 3 -39b , p u e d e o b se rv a rse q u e F fd = F p c = 0 p u e s to q u e F f f = F f c = 0 ,y n o h a y fu e rz a s e x te rn a s q u e a c tú e n s o b re la ju n ta . U se e s te p ro c e d im ie n to p a r a d e m o s tra r q u e A B es u n e le m e n to d e fu e rz a c e ro .

E l an á lis is n u m é ric o d e fu e rz a s e n la s ju n ta s p u e d e p ro c e d e r a h o ra a a n a liz a r la ju n ta G (F g f = 0 ) p a ra d e te r m in a r la s fu e rz a s e n G H , G B , G C , D e sp u é s s e a n a liz a la ju n ta H p a ra d e te rm in a r la s fu e rz a s e n H E , H B y H A -,la ju n ta E p a ra d e te r m in a r la s fu e rz a s e n E A , E D \ la ju n ta zl p a ra d e te rm in a r la s fu e rz a s e n A B . A D y / l r ;la ju n ta B p a ra d e te rm i­n a r la fu e rz a e n B C y B „ B ¡\ la ju n ta D p a ra d e te rm in a r la fu e rz a e n D C y D y, D z y. p o r ú ltim o , la ju n ta C p a ra d e te r m in a r C „ C y, C z.

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3 - 8 PROBLEM AS 1 2 7

P R O B L E M A S

•3 -28 . D eterm ine las fuerzas e n todos los elem entos d e la arm adura co m p le ja Ind ique s i los elem entos están en te n ­sión o e n com presión. Sugerencia: Sustituya A l ) por un ele­mento ubicado en tre E y C.

3-30. D eterm ine la fuerza e n cad a e lem ento e indique si los e lem entos e s tán e n tensión o e n com presión.

P roh . 3-28

Proh . 3 -30

>-29. D eterm ine las fuerzas e n todos los e lem entos d e la arm adura (com pleja) e n form a d e red. Ind ique si los ele­mentos están e n tensión o e n com presión. Sugerencia: Susti­tuya J E por un e lem ento ub icado en tre K y F.

3-31. D eterm ine la fuerza e n to d o s los e lem en tos d e la ar­m adura com ple ja Ind ique si los elem entos están e n tensión o e n compresión.

P roh . 3 -31

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1 2 8 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

*3-32. D eterm ine la fuerza desarrollada e n cada e le ­mento de la a rm adura espacial e indique si los e lem entos están e n tensión o e n com presión . L a caja tiene un peso de 150 Ib.

P rob .3 -32

3-33. D eterm ine la fuerza e n cada e lem ento d e la arm a­dura espacial e indique s i los elem entos están e n tensión o en com presión. Sugerencia: La reacción d e l soporte e n E actúa a lo largo del e lem en to £ /? .¿F o r qué?

Proh. 3 -33

3-34. D eterm ine la fuerza e n cada elem ento d e la a rm a­dura espacial e indique si los elem entos están e n tensión o en com presión. La a rm adura se sostiene m ediante articu la­ciones de ró tu la e n C .D .E y G . Ñola: A pesar d e q u e esta arm adura e s indeterm inada de p rim er grado, es posible una solución debido a la sim etría de la carga y la geom etría.

Probs. 3-35/3-36

3-35. D eterm ine la fuerza e n los e lem entos F E y F.D de la a rm adura espacial e indique si los e lem entos están e n te n ­sión o e n com presión. La arm adura se sostiene m ediante una articulación d e ró tu la e n C y eslabones cortos c n A y B .

*3-36. D eterm ine la fuerza e n los e lem entos G D , G E y F D de la arm adura espacial e indique si los e lem entos están en tensión o en com presión.

5001b

2001b

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PfOBl EMAS D E PROVECTO 1 2 9

3-37. D eterm ine la fuerza e n cada e lem ento d e la arm a­dura espacial. Ind ique s i los e lem entos están e n tensión o en compresión.

3-38. D eterm ine la fuerza e n los e lem entos B E . B E y BC d e la arm adura espacial c indique si los e lem entos están en tensión o e n com presión.

3-39. D eterm ine la fuerza en los e lem en tos C D , FD y CF d e la arm adura espacial e indique si los elem entos están en tensión o e n compresión.

P rob . 3 -37 Probs. 3-38/3-39

P R O B L E M A S DE P R O Y E C T O

3-1P. Las arm aduras Pratt d e techo e s tán espaciadas uniform em ente a cada 15 pies. l a cubierta, e l m ateria l del techo y los largueros tienen un peso prom edio d e 5.6 Ib/pie7. E l edificio está situado e n N ueva Y ork, donde la carga d e nieve prevista es d e 20 lb/pic2 y la carga d e hielo pronosticada e s d e 8 Ib/pie7. Estas cargas se producen e n el área horizon tal p royectada d e l techo. D eterm ine la fuerza en cada e lem ento deb ida a la carga m uerta y a las cargas de la n ieve y el hielo. D esprecie e l peso d e los e lem entos d e la arm adura y suponga q u e A es una articulación y q u e F e s un rodillo. Problem a d e proyecto 3 -1 P

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1 3 0 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

r e p a s o d e l c a p í t u l o

Las arm aduras se com ponen de e lem entos delgados unidos e n sus ex trem as p ara fo rm ar una serie d e triángulos.

Para e l análisis se supone que los e lem entos están conec­tados m ediante pasadores y que las cargas se aplican en las juntas. P o r lo tan to , los e lem entos estarán e n tensión o en com presión.

Las arm aduras pueden clasificarse e n tres form as:

l a s armaduras sim ples se form an com enzando con un e lem en to triangular inicial.después se conecta a dos e lem entos m ás y una ju n ta para a s í form ar un segundo triángulo, etcétera.

Las armaduras com puestas se form an al conectar en tre s í d o s o m ás arm aduras sim ples usando u n a jun ta com ún y/o un e le ­m ento adicional.

Las arm aduras com plejas son aquellas que no pueden clasificarse com o sim ples o com puestas

a r m a d u r a s

a r m a d u r a s im p l e a rm a d u ra c o m p u e s ta

a rm a d u ra c o m p le ja

Si e l núm ero d e b a rras o e lem entos d e una a rm adura es b ,se tienen r reacciones y hay j juntas, en tonces si

b + r = 2/. la arm adura e s estáticam ente determ inada

b + r > 2/ la a rm adura es está ticam ente indeterm inada

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R e p a s o d e l c a p i t u l o 1 3 1

La arm adura será inestable ex ternam ente si las reacciones so n concurrentes o paralelas.

I a estabilidad in terna puede verificarse al co n ta r e l núm ero de b a rras b . las reacciones r y las ju n ta s j.

Si b + r < 2j, la a rm adura es inestable.

Si b + r a 2 / b a rm adura aún puede se r inestable, p o r lo que es necesario inspeccionarla y buscar arreg los d e b a rras que form en un m ecanism o paralelo , sin form ar un e lem ento triangular.

in c s ia b le -re a c c io n e s p a ra le la s

in e s tab le in te rn a m e n te

l a s arm aduras p lanas pueden analizarse p o r el m étodo d t lo s nudos. E sto se hace seleccionando cada ju n ta e n se- cucncia.de m odo q u e tenga com o m áxim o una fuerza c o ­nocida y a l m enos d o s incógnitas. Se construye el diagram a d e cuerpo libre de cada ju n ta y se escriben y re­suelven dos ecuaciones d e equilibrio d e fuerzas, E F , = 0 y E F , = 0, a fin d e determ inar las fuerzas d e elem ento desconocidas.

E n e l m étodo d e las secciones es necesario p asar una sección a través d e la arm adura y después dibujar u n d ia ­gram a de cuerpo libre d e una de sus partes seccionadas. D espués se de te rm inan las fuerzas d e elem ento co rtadas p o r la sección a partir d e las tres ecuaciones d e equilibrio. N orm alm ente puede encontrarse una so la incógnita si se sum an los m om entos respecto a un pun to q u e elim ine las otras dos fuerzas.

l a s arm aduras com puestas y com plejas tam bién puc- cfcn analizarse p o r e l m étodo de los nodos y el m étodo de las secciones. Para o b tener una solución d irec ta d e la fuerza en un e lem ento particu lar d e una a rm adura com ­pleja puede em plearse e l "m étodo d e los e lem entos susti­tutos” .

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Page 29: Hibbeler

Las vigas y tr a b e s sim p lem en te ap o y ad as q u e form an la estructu ra d e e s te edificio fueron d iseñ ad as p ara resistir la fuerza co rtan te y el m om ento in ternos q u e actúan e n toda su lo n g itu d

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Cargas internas desarrolladas en elementos estructurales

A n te s d e d e te rm in a r la s p ro p o rc io n e s d e u n e le m e n to e s tru c tu ra l, es

n e ce s a rio c o n o c e r la fu e rz a y e l m o m e n to q u e a c tú a n e n su in te r io r . En

e s te c a p ítu lo se d e s a rro lla rá n lo s m é to d o s p a ra h a lla r e s ta s c a rg a s en

p u n to s e s p e c íf ic o s a lo la rg o d e l e je d e u n e le m e n to , y p a ra m o s tra r

g rá fic a m e n te la v a r ia c ió n u til iz a n d o lo s d ia g ra m a s d e fu e rza c o r ta n te y

d e m o m e n to . Se p re s e n ta rá n a p lica c io n e s ta n to pa ra v ig a s c o m o pa ra

m arcos.

4 .1 C argas in te rn a s en un p u n to e sp e c ífico

C ó m o s e e s tu d ió e n la secc ió n 2 -3 , la c a rg a in te rn a e n u n p u n to e s p e c í­fico d e u n e le m e n to p u e d e d e te r m in a rs e a p lic a n d o e l m é to d o d e la s s e c ­c io n es . E n g e n e ra l , e s ta c a rg a p a r a u n a e s t ru c tu ra c o p la n a r c o n s is tirá e n u n a fu e rz a n o rm a l N . u n a fu e rz a c o r ta n te V y u n m o m e n to f le x io n a n te M * S in e m b a rg o , d e b e te n e r s e e n c u e n ta q u e e s ta s c a rg a s r e p re s e n ta n e n re a l id a d la s resu lta n tes efe la d is tr ib u c ió n d e e s fu e r z o s q u e a c tú a so b re e l á re a t r a n s v e rs a l d e l e le m e n to e n la s e c c ió n c o r ta d a . U n a v ez q u e s e c o ­n o c e n la s c a rg a s in te rn a s re s u lta n te s , la m a g n itu d d e l e s fu e rz o p u e d e d e ­te rm in a rs e s ie m p re q u e se su p o n g a u n a d is tr ib u c ió n d e e s fu e rz o s so b re e l á r e a d e la s e c c ió n tra n sv e rs a l e sp ec ífic a .

• L o s m a rc o s tr id im e n s io n a le s ta m b ié n p u e d e e s ta r s o m e tid o s a u n m o m en to d e to n ió n , q u e t ie n d e a d o b la r e l e le m e n to re s p e c to d e s u eje .

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134 C a p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s

C o n v e n c ió n d e s ig n o s . A n te s d e p r e s e n ta r u n m é to d o p a r a e n ­c o n tr a r la fu e rz a in te rn a n o rm a l, la fu e rz a c o r ta n te y e l m o m e n to flex io - n a n te . e s n e c e sa r io e s ta b le c e r u n a c o n v e n c ió n d e s ig n o s p a r a d e f in ir su s v a lo re s “p o s i t iv o " y “ n e g a tiv o ” .* Si b ie n l a e le c c ió n e s a rb i tr a r ia , la c o n ­v e n c ió n d e s ig n o s q u e s e a d o p ta r á a q u í h a s id o a m p lia m e n te a c e p ta d a e n la p rá c t ic a d e l a in g e n ie r ía e s t ru c tu ra l y s e ilu s tra e n la f ig u ra 4 - l a . E n la cara iz q u ie rd a d e l e le m e n to c o r ta d o , la fu e rz a n o rm a l N ac tú a h a c ia la d e re c h a , la fu e rz a c o r ta n te in te rn a V ac tú a h acia a b a jo y e l m o m e n to M a c tú a e n s e n t id o in v e rso a l d e la s m a n e c illa s d e l re lo j ( a n t ih o ra r io ) . D e a c u e rd o c o n la te r c e ra ley d e N e w to n . u n a fu e rz a n o rm a l, u n a fu e rz a c o r ­ta n te y u n m o m e n to f le x io n a n te ig u a les p e r o o p u e s to s , d e b e n a c tu a r e n la c a ra d e re c h a d e l e le m e n to e n la se c c ió n . Q u izá s u n a m a n e ra fác il d e re c o rd a r e s ta c o n v e n c ió n d e s ig n o s s e a a is la r u n p e q u e ñ o se g m e n to d e l e le m e n to y r e c o r d a r q u e u n a fu e r z a n o r m a l p o s itiv a tien d e a a la rg a r e l se g m e n to , f ig u ra 4-l¿>; q u e u n a fu e r z a co r ta n te p o s i t iv a tie n d e a h a c e r g ira r e l s e g m e n to e n e l s e n tid o d e la s m a nec illa s d e l re lo j (h o r a r io ) , fig u ra4 - l e , y q u e u n m o m e n to f le x io n a n te p o s i t iv o tie n d e a d o b la r e l se g m e n to e n fo r m a c ó n c a v a h a c ia a r r ib a ,a m a n e ra d e u n “ re c ip ie n te p a r a a g u a ," fi­g u ra 4-1 d.

M

<c>

I (f i g u r a 4 - 1

M

)(d )

•Esto será de utilidad posteriormente en las secciones 4-2 y 4-3,donde V y M x expresarán en función de x y después se representarán gráficamente. El hecho de tener una conven­ción de signos es semejante a asignar direcciones coordenadas positivas hacia la derecha para x, y positivas hacia arriba para y al momento de trazar una función y = f[x).

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4.1 C a r g a s i n t e r n a s e n u n p u n t o e s p e c I e i c o

P ro c e d im ie n to d e a n á lis is

E l s ig u ie n te p ro c e d im ie n to o f r e c e u n m e d io d e a p lic a r e l m é to d o d e la s se c c io n e s p a rad e te r m in a r la fu e rz a n o rm a l in te rn a , la fu e rz a c o r ta n te y e l m o m e n to f le x io n a n te e n u n au b ic a c ió n e sp e c íf ic a d e u n e le m e n to e s tru c tu ra l .

R e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s

• A n te s d e “c o r ta r " o s e c c io n a r e l e le m e n to , p u e d e s e r n e c e sa r io d e te r m in a r la s r e a c c io ­n es e n su s s o p o r te s d e m o d o q u e la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io s ó lo s e u ti lic e n p a r a r e ­so lv e r la s c a rg a s in te rn a s c u a n d o s e secc io n e e l e le m e n to .

• Si e l e le m e n to e s p a r te d e u n a e s t ru c tu ra a r t ic u la d a , la s re a c c io n e s e n la s a r t ic u la c io ­n es p u e d e n d e te r m in a rs e m e d ia n te lo s m é to d o s d e la s e c c ió n 2.5.

D ia g ra m a d e c u e r p o lib re

• M a n te n g a to d a s la s c a rg a s d is tr ib u id a s . lo s m o m e n to s d e p a r , y la s fu e rz a s q u e a c tú a n s o b re e l e le m e n to e n s u u b ica c ió n exacta', d e sp u é s p a s e u n a s e c c ió n im a g in a r ia a tra v é s d e l e le m e n to , q u e s e a p e rp e n d ic u la r a s u e je e n e l p u n to d o n d e s e d e s e a d e t e r ­m in a r l a c a rg a in te rn a .

• D e sp u é s d e h a c e r la se c c ió n , d ib u je u n d ia g r a m a d e c u e rp o lib re d e l s e g m e n to s o b r e el q u e a c tú e e l m e n o r n ú m e ro d e c a rg a s . E n la se c c ió n , in d iq u e la s in c ó g n ita s re s u lta n te s Ñ , V y M d e m o d o q u e a c tú e n e n su s e n t id o p o s i t iv o ( f ig u ra 4 - la ) .

E c u a c io n e s d e e q u il ib r io

• L o s m o m e n to s d e b e n su m a rse e n la secc ió n re s p e c to a lo s e je s q u e p a s a n a tr a v é s d e l c e n tro id e d e la s e c c ió n tra n sv e rs a l d e l e le m e n to , c o n e l f in d e e lim in a r la s in c ó g n ita s N y V .p a r a a s í o b te n e r u n a so lu c ió n d i r e c ta d e M .

• Si la so lu c ió n d e la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io e s u n a c a n tid a d c o n m a g n itu d n eg a tiv a , e l s e n t id o d ire c c io n a l s u p u e s to d e la c a n tid a d e s o p u e s to a l q u e s e m u e s tra e n e l d ia ­g ram a d e c u e rp o lib re .

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1 3 6 C a p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s

EJEM PLO 4.1

3 .6 kN 1 2 k N ^ 1 2 ) M

(c)

Figura 4 -2

E l te c h o d e l e d if ic io q u e s e m u e s tra e n la fo to g ra fía t ie n e u n p e so d e 1.8 k N /m 2 y s e s o s t ie n e s o b r e v igas s im p le m e n te a p o y a d a s d e 8 m d e la r g o .e n tr e las c u a le s h a y u n a s e p a ra c ió n d e 1 m .C a d a v ig a , q u e se m u e s tra e n la f ig u ra 4-2b , t r a n s m ite su c a rg a a d o s tr a b e s , u b ic a d a s e n la p a r te d e la n te r a y tr a s e ra d e l ed ific io . D e te rm in e la f u e r /a c o r ta n te y e l m o m e n to in te rn o s d e la v iga f ro n ta l e n e l p u n to C .f ig u ra 4 -2 a . N o to m e e n c u e n ta e l p e s o d e lo s e lem en to s .

3 .6 kN 1 2 k N ^ 1 2 k N - ^ ^ = ■12 kN 3 .6 kN

S O L U C IÓ N

R eacciones e n lo s s o p o rte s . L a c a rg a d e l te c h o s e tr a n s m ite a c a d a v iga c o m o u n a lo sa d e un s o lo s e n t id o ( L 2/ L x = K m /1 m = 8 > 2). I\> r lo ta n to , la c a rg a t r ib u ta r ia e n c a d a v iga in te r io r e s (1 .8 k N /m 2) (1 m ) - 1.8 k N /m . (L a s d o s v igas d e l b o rd e s o p o r ta n 0 .9 k N /m .) D e la f ig u ra 4-2¿>. la re a c c ió n d e c a d a v iga in te r io r s o b re la t r a b e e s (1 .8 k N /m ) ( 8 m ) /2 = 7.2 kN.

1.8 k N /m

v ig a - 0.5 m

I I I I I I 1 I I Itrab e

t7 m

T0 .5 m

7 .2 kN 7 .2 kN(b )

D ia g ra m a d e c u e rp o lib re . E n la f ig u ra 4 -2 a s e m u e s tra e l d ia ­g ra m a d e c u e rp o lib re d e la v iga . T e n g a e n c u e n ta q u e la re a c c ió n d e cad a c o lu m n a es

[{2(3 .6 k N ) + 1 1 (7 .2 k N ) [ /2 = 4 3 .2 kN

E l d ia g ra m a d e c u e ip o lib re d e l s e g m e n to iz q u ie rd o d e la tr a b e se m u e s tra e n la fig u ra 4 -2c . A q u í s e s u p o n e q u e la s c a rg a s in te rn a s a c tú a n e n s u s e n t id o p o sitiv o .

E cuaciones d e e q u il ib r io

0 ; 43 .2 - 3 .6 - 2 (7 .2 ) - V c = 0 V c = 25 .2 k N R esp .+ Í 2 F ,

M c + 7 .2 (0 .4 ) + 7 .2 (1 .4 ) + 3 .6 (2 .4 ) - 4 3 .2 (1 .2 ) = 0 M c = 30.2 k N • m Resp.

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4.1 C a r g a s i n t e r n a s e n u n p u n t o e s p e c í f i c o 1 3 7

D e te rm in e la fu e rz a c o r ta n te y e l m o m e n to in te rn o s q u e a c tú a n e n u n a secc ió n q u e p asa p o r e l p u n to C de la v iga q u e se m u e s tra e n la fi­g u ra 4 -3a .

R eacciones e n lo s s o p o rte s . A l s u s t i tu ir la c a rg a d is tr ib u id a p o r su fu e rz a re s u lta n te y c a lc u la r la s re acc io n es , s e o b t ie n e n lo s r e s u l ta ­d o s q u e s e m u e s tra n e n l a f ig u ra 4 -3 6 .

D ia g ra m a d e c u e r p o l ib r e . Se c o n s id e ra rá e l s e g m e n to A C p u e s to q u e p ro d u c e la so lu c ió n m ás s e n c if la , f ig u ra 4 -3c . L a in te n s id a d d e la c a rg a d is tr ib u id a e n C se c a lc u la p o r p ro p o rc ió n , e s d e c ir .

L s te p ro b le m a ilu s tra la im p o rta n c ia d e m a n te n e r la c a rg a d is tr i -

4 -3 6 se s e c c io n a ra e n C .e l e f e c to d e la c a rg a d is tr ib u id a s o b re e l s e g ­m e n to A C no se r e c o n o c e r ía .y e l re s u l ta d o V c = 9 k y M c = 54 k • p ie

i L 27 k

4

Figura 4 -3

SO L U C IÓ N

w c = (6 p i e s / 18 p ie s ) (3 k /p ie ) = 1 k /p ie

E c u a c io n e s d e e q u i l ib r io .

+ f 2 F y = 0 . 9 - 3 - V c = 0 V c - 6 k Resp.

5,+S M c = 0 . - 9 ( 6 ) + 3 (2 ) + M c = 0 M c = 48 k - p ie Resp. 3 |k

b u id a s o b re la v iga h a s ta d esp u és d e s e c c io n a ría . S i la v iga d e la f ig u ra

se r ta e r ró n e o .

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1 3 8 C a p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s

EJEM PLO 4 .3

E l p a n e l d e p is o D E s o p o r ta la fu e rz a d e 9 k q u e s e m u e s tra e n la fi­g u ra 4 -4 u ,e l c u a l a s u vez e s tá s im p le m e n te a p o y a d o e n su s e x tre m o s p o r v igas d e p is o . E s ta s v igas tra n s m ite n su s c a rg a s a la t r a b e s im p le ­m e n te a p o y a d a A B . D e te rm in e l a fu e rz a c o r ta n te y e l m o m e n to in te r ­n o s q u e a c tú a n e n e l p u n to C d e la tr a b e .

9 kFigura 4 -4

6 k

- i -

3 k6 k

| 12 p ie s - • p ie s — j

3.75 k

2 4 p ie s -

(b)

| 12 P * '

J_c," ,

3'p ie s - Ve

5.25 k 3.75 k(c)

S O L U C IÓ N

R eacciones e n lo s s o p o rte s , fin la f ig u ra 4-4¿> se m u e s tra n e l e q u i- S b rio d e l p a n e l d e p iso , la s v igas d e p is o y la tr a b e . S e re c o m ie n d a v e ­rifica r e s to s re s u lta d o s .

D iagram a d e c u e rp o lib re . Se u tiliza e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e l se g m e n to -4C p o rq u e c o n d u c e a la s o lu c ió n m ás sen c illa , f ig u ra 4 -4c . T en g a e n c u e n ta q u e A C n o so p o r ta ca rg a s s o b re la s v igas d e p iso .

Ecuaciones d e e q u il ib r io .

+ f 2 F y = 0 ; 3 .7 5 - 6 - V c = 0 V c = - 2 .2 5 k Resp.

S,+ £ M C = 0 ; - 3 .7 5 ( 1 5 ) + 6 ( 3 ) + M c = 0 M c = 38 .25 k - p ie Resp.

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4 . 2 F u n c i o n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o 1 3 9

4 . 2 F unciones de fu e rz a c o rta n te y d e m o m e n to

E l d is e ñ o d e u n a v iga re q u ie re u n c o n o c im ie n to d e ta l la d o d e la s varia­c io n es d e la fu e rz a c o r ta n te V y e l m o m e n to M in te rn o s q u e a c tú a n e n c a d a p u n to a lo la rg o d e l e j e d e la v iga . P o r lo g e n e ra l , la fu e rz a n o rm a l in te rn a n o s e c o n s id e ra p o r d o s ra z o n e s : (1 ) e n la m a y o r ía d e lo s c a so s la s c a rg a s a p lic a d a s a u n a viga a c tú a n e n fo rm a p e rp e n d ic u la r a s u e je y, p o r lo ta n to ,s ó lo p ro d u c e n u n a fu e rz a in te rn a c o r ta n te y u n m o m e n to flex io - n a n te ;(2 ) y p a ra f in e s d e d is e ñ o , la re s is te n c ia a la fu e rz a c o r ta n te d e la viga y, e n p a r t ic u la r , a la f le x ió n , e s m ás im p o r ta n te q u e s u c a p a c id a d p a ra r e s is t ir la fu e r z a n o rm a l. S in e m b a rg o , h a y u n a e x c e p c ió n im p o r­ta n te a e s to c u a n d o la s v ig a s e s tá n so m e tid a s a fu e rz a s ax ia le s d e c o m ­p re s ió n , p u e s to q u e d e b e n in v e s tig a rse e l p a n d e o o la in e s ta b i l id a d q u e p u d ie ra n o c u rr ir .

L as v a r ia c io n e s d e V y M e n fu n c ió n d e la p o s ic ió n x d e u n p u n to a r b i­tra r io a lo la rg o d e l e je d e la v iga p u e d e n o b te n e r s e m e d ia n te e l m é to d o d e la s se c c io n e s a n a liz a d o e n la secc ió n 4 -1 . S in e m b a rg o , a q u í e s n e c e sa ­rio lo c a liz a r la s e c c ió n im a g in a r ia o c o r ta r a u n a d is ta n c ia a rb i t r a r ia x d e sd e u n e x tr e m o d e la v iga e n v ez d e e n u n p u n to específico .

E n g e n e ra l , la s fu n c io n e s d e la fu e rz a c o r ta n te y d e l m o m e n to in te rn o s se rá n d is c o n tin u a s , o s u p e n d ie n te s e r á d is c o n tin u a , e n lo s p u n to s d o n d e d tip o o l a m a g n itu d d e la c a rg a d is tr ib u id a c a m b ia ,o b ie n d o n d e s e a p li­q u e n la s fu e rz a s c o n c e n tra d a s o lo s m o m e n to s d e p a r. D e b id o a e s to , la s fu n c io n es d e la fu e rz a c o r ta n te y d e l m o m e n to d e b e n d e te r m in a rs e p a ra c a d a reg ió n d e la v iga lo c a liz a d a en tre c u a lq u ie ra d e la s d o s d is c o n tin u i­d a d e s d e ca rg a . P b r e je m p lo , la s c o o rd e n a d a s .t i , *2 y xy d e b e rá n u sa rse p a ra d e s c r ib ir la v a ria c ió n d e V y M e n to d a la lo n g itu d d e l a v iga e n la fi­g u ra 4-5a . E s ta s c o o rd e n a d a s s e r á n v á lid a s s ó lo d e n tr o d e la s re g io n e s d e s d e A h a s ta B p a ra x , . d e B a C p a ra x 2. y d e C a D p a ra x 3. A u n q u e c a d a u n a d e e s ta s c o o rd e n a d a s t ie n e e l m ism o o r ig e n , c o m o s e h a s e ñ a ­la d o a q u í, é s te n o t ie n e p o r q u é s e r e l caso . D e h e c h o , p u e d e s e r m ás fác il d e s a r ro l la r las fu n c io n e s d e fu e rz a c o r ta n te y d e m o m e n to , e m p le a n d o las c o o rd e n a d a s X |,x 2,x 3 q u e t ie n e n o r íg e n e s e n A , B y D c o m o s e m u e s ­tr a e n la f ig u ra 4-5/>. A q u í x i y x 2 so n p o s itiv a s h a d a la d e re c h a y x ¡ e s p o ­s itiv a h a d a la iz q u ie rd a .

E l r e f u e r z o a d ic io n a l q u e p r o p o r c io n a n las p la c a s v e r t ic a le s l la m a d a s c o s ti l la s s e u tiliz a e n lo s s o p o r te s a r t ic u la d » » y d e o s c i la d o r e n e s ta s t r a b e s d e p u e n te . A q u í , la s r e a c c io n e s c a u s a r á n g r a n d e s f u e r z a s c o r ta n te s e n las t r a b e s y lo s r e f u e r z o s e v i ta r á n p a n d e o s lo c a ­liz a d o s e n las a la s o e l a lm a d e la t r a b e . A d e m á s , te n g a e n c u e n t a l a in c l in a c ió n d e l s o p o r te d e o s c i l a d o r c a u s a d a p o r la e x p a n ­s ió n té r m ic a d e la c u b ie r t a d e l p u e n te .

i D

w ni %»_ _

CD

— x ,

(a) (b )

F i g u r a 4 - 5

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1 4 0 C a p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s

P ro c e d im ie n to de a n á lis is

E l s ig u ie n te p ro c e d im ie n to o f r e c e u n m é to d o p a ra d e te r m in a r la v a riac ió n d e la fu e rz ac o r ta n te y e l m o m e n to e n u n a v iga e n fu n c ió n d e la p o s ic ió n x.

R e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s

• D e te rm in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s d e la v iga y d e s c o m p o n g a to d a s la s fu e rz a s e x te rn a s e n su s c o m p o n e n te s q u e a c tú a n e n fo rm a p e rp e n d ic u la r y p a ra le la a l e je d e la v iga .

F u n c io n e s d e fu e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to

• E sp e c if iq u e p o r s e p a r a d o la s c o o rd e n a d a s x y su s o r íg e n e s a so c ia d o s , e x te n d ié n d o s e a las re g io n e s d e la v ig a e n t r e la s fu e rz a s c o n c e n tra d a s y / o m o m e n to s d e p a r . o d o n d e h aya u n a d is c o n tin u id a d d e la c a rg a d is tr ib u id a .

• S ecc ione la v iga e n fo rm a p e rp e n d ic u la r a su e je a c a d a d is ta n c ia x , y c o n b a se e n el d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e u n o d e los s e g m e n to s d e te rm in e las in c ó g n ita s V y M en la s e c c ió n c o r ta d a e n fu n c ió n d e x . E n e l d ia g ra m a d e c u e rp o l ib re , V y M d e b e n m o s­tra rse a c tu a n d o e n su s d irecc io n es p o s i t iv a s , d e a c u e rd o c o n la c o n v e n c ió n d e signos d a d a e n la f ig u ra 4-1.

• V se o b t ie n e d e l.F y = 0 y M se o b t ie n e a l s u m a r m o m e n to s c o n re s p e c to a l p u n to 5 u b icad o e n la s e c c ió n c o r ta d a , 'L M s = 0 .

• L os re s u lta d o s p u e d e n c o m p ro b a rs e o b s e rv a n d o q u e d M /d x - V y q u e d V Id x = w , d o n d e w e s p o s i t iv a c u a n d o a c tú a h a c ia a r r ib a , a le já n d o se d e l a v iga . E s ta s re la c io n e s se d e s a r ro lla n e n la s e c c ió n 4-3.

I^as v ig u e ta s , v ig a s y t r a b e s q u e s e u s a n p a r a s o s t e n e r e s t e p is o p u e d e n d is e ñ a r s e u n a v e z q u e s e c o n o c e n la f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n to e n t o d a s u lo n g i tu d .

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4 . 2 F u n c i o n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o 1 4 1

E J E M P L O

P ara la v iga q u e s e m u e s tra e n la f ig u ra 4 -6 a .d e te rm in e l a fu e rz a c o r ­ta n te y e l m o m e n to c o m o u n a fu n c ió n d e *.

2 k/p*c

^ ttttttTí TTT [ ] l

Figura 4 -6

SO L U C IÓ N

R eacciones e n lo s s o p o rte s . C o n e l fin d e c a lc u la r la s re a c c io n e s e n lo s so p o r te s . la c a rg a d is tr ib u id a s e s u s titu y e p o r s u fu e rz a re su l­ta n te d e 3 0 k . f ig u ra 4-6¿>. S in e m b a rg o , e s im p o r ta n te r e c o r d a r q u e e s ta r e s u l ta n te n o e s la c a rg a r e a l e n la viga.

3 0 k

3 0 k

íte:6 0 0 k • p ie 2 0 p ies

(b )

F unc iones d e fu e rz a c o r ta n te y d e m o m e n to . E n la f ig u ra 4 -6c se m u e s tra u n d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e l s e g m e n to d e v iga c o n lo n ­g itu d x . T en g a e n c u e n ta q u e la in te n s id a d d e la c a rg a tr ia n g u la r e n la secc ió n s e e n c u e n tra p o r p ro p o rc ió n ; es d e c i r , w / x = 2 /3 0 o w = * /1 5 . C o n la in te n s id a d d e c a rg a c o n o c id a , la r e s u l ta n te d e la c a rg a d is tr i ­b u id a se e n c u e n t r a d e la m a n e ra u su a l c o m o s e m u e s tra e n la figu ra . R>r lo ta n to .

+ T SFV = 0; 30 0

{,+ l M s = 0 ; 600 - 3 0 * + - —

-Ks>-V = 3 0 — 0 .0 3 3 3 * 2

K é> ]- 6 0 0 + 3 0 * - 0.01 I I * 3

R esp .

o

M

O b se rv e q u e d M / d x = V y q u e d V / d x = - * /1 5 c o m o u n a v e rif ic a c ió n d e lo s re s u lta d o s .

R esp.

w , lo c u a l s irve

3 0 k

t600

k - p ie

h ? 5 > ‘

HH f(c)

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1 4 2 C a p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s

E JE M P LO

P a ra la v iga q u e s e m u e s tra e n la f ig u ra 4 -7 a , d e te rm in e l a fu e rz a c o r ­ta n te y e l m o m e n to e n fu n c ió n d e x .

60 k

. , 1 4k/pie1 . , 1l l l i l l i l i l !

— *3-11 M H

— — -T

4| t|108 k

ti1588 k pá«

1

'

■Jf— -« .— I

M

i

(a) (c)

108 k r

t—1588 k - p ie |— 6 p ie s ■

6 0 k 4 8 k

14 p ie s¡ “

tb)

Figura 4 -7

S O L U C IÓ N

R eacciones e n lo s s o p o rte s . l a s re a c c io n e s e n e l s o p o r te f ijo so n V = 108 K y M - 1588 k . p e . f ig u ra 4 -7 b .

F unciones d e fu e rz a c o r ta n te y d e m o m e n to . D a d o q u e h a y u n ad is c o n tin u id a d d e la c a rg a d is tr ib u id a e n x ■ 12 p ies , d e b e n c o n s id e ­ra rse d o s re g io n e s d e x c o n e l f in d e d e sc r ib ir la s fu n c io n e s d e c o r ta n te y d e m o m e n to p a ra to d a la v iga . A q u í x \ es a p ro p ia d o p a ra los 12 p ie s d e la iz q u ie rd a y x2 p u e d e u sa rse p a r a e l s e g m e n to re s ta n te .

0 s x 12 p ies . O b se rv e q u e V y M s e m u e s tra n e n la d ire c c ió n p o s i­tiv a . f ig u ra 4 -7c .

+ 1 2 F y - 0 ; 108 - 4 x , - V = 0 . V = 108 - 4 x , Resp.

5 ,+ 2 A /* = 0 ; 1588 - 108*, + 4 x , ( y ) + M = 0

M = - 1 5 8 8 + 108*, - 2 x \ Resp.

12 p ie s s x2 s 20 p ies , f ig u ra 4-7d .

+ t Y .F y = 0 ; 108 - 4 8 - V = 0 , V = 6 0 Resp.

í + Z M s = 0 ; 1588 - 108*2 + 4 8 (* 2 - 6 ) + M = 0

M = 6Q*2 - 1300 Resp.

E s to s re s u lta d o s p u e d e n v e rif ic a rse e n fo rm a p a rc ia l s i s e t ie n e e n c u e n ta q u e c u a n d o x2 = 20 p ies, e n to n c e s l ' = 6 0 k y A Í = - 1 0 0 k . p ie. A d e m á s .o b s e rv e q u e d M / d x = V y d V / d x = w .

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