Haces de luz vectoriales y la frontera clásico-cuántica0 /2 0 /2 RCP LCP LP Elipticidad ->...
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Haces de luz vectoriales y la frontera
clásico-cuántica
F. De Zela
Departamento de Ciencias – Sección Física – Grupo de Óptica Cuántica
Pontificia Universidad Católica del Perú
XXV Simposio Peruano de Física
10 – 14 de octubre de 2016
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Resumen
Desigualdad de Bell-CHSH
Violaciones de la desigualad Bell-CHSH mediante
haces vectoriales
Haces de luz estocásticos
Comparación entre los marcos clásico y cuántico
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Einstein – Bohr
1927 John Bell
1964
1935
Contexto: Einstein vs. Bohr, EPR, y las
desigualdades de Bell
La MC es una
teoría
“incompleta”
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A = +1
B’ = +1
A = -1B’ = -1
Desigualdad de Bell-Clauser-Horn-Shimony-Holt (CHSH)
1
2
1
2
Estados de BellEstados de máximoenmarañamiento
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Desigualdad de Bell-CHSH
Dos orientaciones para Alice (a, a’) y dos para Bob (b, b’)
(CHSH)
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En la MC,
Estado “singlete”
Para el singlete es posible encontrar direcciones a, a’, b, b’ tales
que
La MC viola la desigualdad de CHSH
Los experimentos confirman la predicción de la MC
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Schrödinger
(1935) Enmarañamiento (“entanglement”): es el
“sello característico de la mecánica cuántica”,
“…aquello que le impone su divergencia respecto a
las líneas de pensamiento clásico”
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A partir de 1980 se empieza a ver el
entrelazamiento y la no-localidad como
“recursos informáticos”
Se introduce el e-bit : “entanglement-bit”
D-Wave Systems Inc.
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(2016) OSA “Incubator Meeting”
Emerging Connections: Quantum and Classical Optics
“Recently, a number of detailed examinations of the structure of
classical light beams have revealed that effects widely thought to be
solely quantum in origin also have a place in classical optics”.
”Interference, polarization, coherence, complementarity and
entanglement are a partial list of elementary notions that now
appear to belong to both quantum and classical optics”.
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Estados de Polarización:
0 /2
0
/2
RCP
LCP
LP
Elipticidad -> cociente de amplitudes (circulares)Orientación -> diferencia de fase (circulares)
2b
a
2
ˆ e H
ˆ e L
ˆ e D
ˆ e A
ˆ e R
ˆ e V
s3
s1
s2
Haces vectoriales
de E. J. Gálvez
Colgate Univ.
𝑬 = 𝑒𝑖𝜃 cos 𝜒𝒆𝑅 + 𝑒−𝑖𝜃 sin 𝜒 𝒆𝑙
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Haces vectoriales
Galvez et al Coherence and Quantum Optics IX (2014)
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Haces vectoriales y desigualdades de Bell
“Separable” 𝑬𝑆 𝒓 = 𝑓 𝒓 𝒆 𝒆: vector (unitario) de polarización
𝑓 𝒓 : modo espacial
No separable o “entrelazado” 𝑬𝑁𝑆 𝑟 =1
2𝑓𝑉 𝒓 𝒆𝑉 + 𝑓𝐻(𝒓)𝒆𝐻
“Rotaciones” en el modo espacial y de polarización
𝒆+ = cos𝛼 𝒆𝑉 + sin𝛼 𝒆𝐻𝒆− = sin𝛼 𝒆𝑉 − (cos𝛼)𝒆𝐻
𝑓+ 𝒓 = cos𝛽 𝑓𝑉 𝒓 + sin 𝛽 𝑓𝐻 𝒓𝑓− 𝒓 = sin 𝛽 𝑓𝑉 𝒓 − cos𝛽 𝑓𝐻 𝒓
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𝑬𝑁𝑆 𝑟 =1
2𝑓𝑉 𝒓 𝒆𝑉 + 𝑓𝐻(𝒓)𝒆𝐻
⇕
| 𝑬𝑁𝑆 =1
2| 𝑓𝑉 ⨂| 𝑒𝑉 + | 𝑓𝐻 ⨂| 𝑒𝐻 ≠ | 𝐹 ⨂| 𝐸
Enmarañamiento en campos clásicos
(modo espacial ⨂ polarización)
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𝑬𝑁𝑆 𝒓 =1
2cos 𝛽 − 𝛼 𝑓+ 𝒓 𝒆+ + 𝑓− 𝒓 𝒆− + sin(𝛽 − 𝛼) 𝑓− 𝒓 𝒆+ + 𝑓+ 𝒓 𝒆−
Intensidades
𝐼++ 𝛼, 𝛽 + 𝐼+− 𝛼, 𝛽 + 𝐼−+ 𝛼, 𝛽 + 𝐼−− 𝛼, 𝛽 = 1
Correlaciones
𝑀 𝛼, 𝛽 = 𝐼++ 𝛼, 𝛽 + 𝐼−− 𝛼, 𝛽 − 𝐼+− 𝛼, 𝛽 − 𝐼−+ 𝛼, 𝛽 = cos 2 𝛽 − 𝛼
𝑆 = 𝑀 𝛼1, 𝛽1 +𝑀 𝛼1, 𝛽2 +𝑀 𝛼2, 𝛽1 −𝑀(𝛼2, 𝛽2)
Parámetro de Bell
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Borges et al.
PRA 82, 033833 (2010)
𝑆𝑆 = 1.05 ± 0.03
𝑺𝑵𝑺 = 𝟐. 𝟏𝟎 ± 𝟎. 𝟎𝟑
Según la desigualdad de Bell-CHSH,
𝑺𝑵𝑺 ≤ 𝟐
𝐼++ 𝛼, 𝛽𝐼+− 𝛼, 𝛽𝐼−+ 𝛼, 𝛽𝐼−− 𝛼, 𝛽
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Kagalwala et al., Nat. Phot. (2012)
Polarización y “paridad espacial”
entrelazados
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Kagalwala et al. Nat. Phot. (2012)
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Experimentos con fotones: tests de Bell
(Colaboración PUCP- Colgate University, Hamilton, NY)
B. Gadway
(LeRoy Apker Award 2007)
Prof. E. J. Gálvez
B. Gadway, E. Galvez, F. De Zela
J. Phys. B 42, 015503 (2009)Single-photon test
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Mecánica Cuántica:
Los estados entrelazados violan la desigualdad de Bell-CHSH
Los estados producto no violan la desigualdad de Bell-CHSH
Teorías de “variables ocultas” o modelos locales y realistas:
Se satisface la desigualdad de Bell-CHSH
Experimentos:
Salvo “loopholes”, todos violan la desigualdad de
Bell-CHSH
“Haces vectoriales” (Electrodinámica clásica):
Los estados entrelazados violan la desigualdad de Bell-CHSH
Los estados producto no violan la desigualdad de Bell-CHSH
Experimentos con “haces vectoriales”:
Confirman la violación de la desigualdad de Bell-CHSH
Situación actual
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Haces de luz estocásticos
Créd.: B. E. A. Saleh
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Feynman: Experimento de la doble rendija (Young)
contiene la esencia de la mecánica cuántica
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𝑬 𝑃,𝜔 = 𝐾1𝑬 𝑃1, 𝜔𝑒𝑖𝑘𝑅1
𝑅1+ 𝐾2𝑬(𝑃2, 𝜔)
𝑒𝑖𝑘𝑅2
𝑅2
𝑊𝑖𝑗 𝒓1, 𝒓2, 𝜔 = 𝐸𝑖∗(𝒓1, 𝜔)𝐸𝑗(𝒓2, 𝜔)
𝑆 𝑃, 𝜔 = 𝑇𝑟 𝑊 𝑃, 𝑃, 𝜔 = 𝑬∗ 𝑃,𝜔 ∙ 𝑬(𝑃, 𝜔)
𝑆 𝑃, 𝜔 = 𝑆 1 𝑃,𝜔 + 𝑆 2 𝑃, 𝜔 + 2 𝑆 1 (𝑃, 𝜔)𝑆 2 (𝑃, 𝜔) 𝑅𝑒 𝜂(𝑃1, 𝑃2, 𝜔)𝑒𝑖𝑘 𝑅1−𝑅2
𝑆 𝑗 𝑃,𝜔 =𝐾𝑗2
𝑅𝑗2 𝑆 𝑃𝑗 , 𝜔
Arreglo de Young óptico
“Cross- spectral
density matrix”
Intensidad
Intensidad en P
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𝜂 𝛼, 𝛽 = cos 𝛼 − 𝛽
𝑆𝑌 = 𝜂 𝛼, 𝛽 + 𝜂 𝛼′, 𝛽 + 𝜂 𝛼, 𝛽′ − 𝜂 𝛼′, 𝛽′
Medida de Bell
con
y 𝛼 = 0, 𝛽 =3𝜋
4, 𝛼′ =
3𝜋
2, 𝛽′ =
5𝜋
4
se obtiene 𝑆𝑌 = 2 2
𝜂 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 = 𝜂 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 𝑒𝑖𝜙 𝑃1,𝑃2,𝜔 =
𝑇𝑟𝑊 𝑃1, 𝑃2, 𝜔
𝑇𝑟𝑊 𝑃1, 𝑃1, 𝜔 𝑇𝑟𝑊 𝑃2, 𝑃2, 𝜔
0 ≤ 𝜂 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 ≤ 1
Grado espectral de coherencia
(Límite de Cirelson)
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𝑬𝑎 = cos 𝜃𝑎, sin 𝜃𝑎 𝑒𝑖𝜔𝑡
𝑬𝑏 = cos 𝜃𝑏, sin 𝜃𝑏 𝑒𝑖𝜔𝑡
𝜃𝑎𝜃𝑏 = 𝜌𝜎2
𝑝 𝜃𝑎, 𝜃𝑏 =1
2𝜋𝜎2 1 − 𝜌2𝑒𝑥𝑝 −
𝜃𝑎2 + 𝜃𝑏
2 − 2𝜃𝑎𝜃𝑏𝜌
2 1 − 𝜌2 𝜎2
𝜂 𝛼, 𝛽 = 𝑒− 1−𝜌 𝜎2cos 𝛼 − 𝛽
Campos estocásticos
Para una configuración tipo
Young se obtiene
Dependiendo de los valores de 𝜌 y 𝜎 se puede o no violar la
desigualdad de Bell-CHSH
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𝑆 𝑃, 𝜔 = 𝑆 1 + 𝑆 2 + 2 𝑆 1 𝑆 2 𝜂 cos 𝜙 + 𝛿
𝑣 𝑃 =𝑆𝑚𝑎𝑥 − 𝑆𝑚𝑖𝑛
𝑆𝑚𝑎𝑥 + 𝑆𝑚𝑖𝑛=2 𝑆 1 𝑆 2
𝑆 1 + 𝑆 2𝜂(𝑃)
𝑆 1 = 𝑆 2 ⟹ 𝜂 𝑃 = 𝑣 𝑃
𝛿 ≈ 0 ⟹ cos 𝜙 =𝑆 − 2𝑆(1)
2𝑆(1)𝑣
Visibilidad
Cómo medir 𝜼
Tenemos que
con 𝝓 = 𝒂𝒓𝒈 𝜼
Para 𝑆 1 ≈ 𝑆 2 ≈ const., definimos
Teniendo 𝜂 𝑃 y 𝜙 = arg 𝜂 , tenemos 𝜼
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Φ 𝒓,𝜔 = (𝜙𝑖𝑗 𝒓, 𝜔 ) = (𝑊𝑖𝑗 𝒓, 𝒓, 𝜔 )
𝜙𝑖𝑗 𝒓, 𝜔 = 𝜙𝑖𝑗1 𝒓,𝜔 + 𝜙𝑖𝑗
2 𝒓,𝜔 +
+ 2 𝑇𝑟Φ 1 𝒓,𝜔 𝑇𝑟Φ 2 (𝒓, 𝜔) 𝜂𝑖𝑗 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 𝑒−𝑖𝑘 𝑅1−𝑅2 + 𝜂𝑖𝑗(𝑃2, 𝑃1, 𝜔)𝑒
𝑖𝑘(𝑅1−𝑅2)
𝜂𝑖𝑗 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 =𝑊𝑖𝑗 𝑃1, 𝑃2, 𝜔
𝑇𝑟Φ 1 𝒓, 𝜔 𝑇𝑟Φ 2 (𝒓, 𝜔)
Φ 𝒓,𝜔 =1
2
𝑛=0
3
𝑆𝑛(𝒓, 𝜔)𝜎𝑛 𝑆𝑛 𝒓, 𝜔 = 𝑇𝑟 Φ 𝒓,𝜔 𝜎𝑛
Parámetros de Stokes generalizados
Definimos
Considerando una configuración tipo Young
donde
Parámetros de Stokes relativos a Φ 𝒓,𝜔 :
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con los parámetros de Stokes generalizados
Usando 𝑆𝑛 𝒓, 𝜔 = 𝑇𝑟 Φ 𝒓,𝜔 𝜎𝑛 y 𝑊 = 𝑇𝑟Φ 1 𝒓,𝜔 𝑇𝑟Φ 2 (𝒓, 𝜔) 𝜂
𝑆𝑛 𝒓, 𝜔 = 𝑆𝑛1 𝒓, 𝜔 + 𝑆𝑛
2 𝒓, 𝜔 + 2 𝑠𝑛 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 cos 𝑎𝑟𝑔 𝑠𝑛 − 𝑘 𝑅1 − 𝑅2
𝑠𝑛 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 = 𝑇𝑟 𝑊 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 𝜎𝑛
𝑊 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 =1
2
𝑛=0
3
𝑠𝑛(𝑃1, 𝑃2, 𝜔)𝜎𝑛
obtenemos
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cos 𝑎𝑟𝑔 𝑠𝑛 =𝑆𝑛 − 𝑆𝑛
1 − 𝑆𝑛2
𝑆01 + 𝑆0
2 𝐶𝑛𝑠𝑛 =1
2𝑆01 + 𝑆0
2 𝐶𝑛
𝐶𝑛 𝒓,𝜔 =𝑚𝑎𝑥 𝑆𝑛 𝒓, 𝜔 − 𝑚𝑖𝑛 𝑆𝑛 𝒓,𝜔
𝑚𝑎𝑥 𝑆0 𝒓, 𝜔 + 𝑚𝑖𝑛 𝑆0 𝒓,𝜔=
2 𝑠𝑛 𝑃1, 𝑃2, 𝜔
𝑆01 𝒓,𝜔 + 𝑆0
2 𝒓,𝜔
Definimos los parámetros de contraste
Los parámetros de Stokes generalizados se obtienen entonces
midiendo módulo y fase, mediante
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Medición de 𝒔𝒏(𝑷𝟏, 𝑷𝟐, 𝝎)B. Kanseri, S. Rath, and H. C. Kandpal, Opt. Lett. 34,
719 (2009) Densidad espectral en P: 𝜑 𝜃, 𝜙𝜃: ángulo de polarizador co eje x 𝜙: ángulo entre QWP y polarizador
𝑆01 𝒓, 𝜔 = 𝜑 0°, 0° + 𝜑 90°, 0°
𝑆11 𝒓,𝜔 = 𝜑 0°, 0° − 𝜑 90°, 0°
𝑆21 𝒓, 𝜔 = 𝜑 45°, 0° − 𝜑 135°, 0°
𝑆31 𝒓, 𝜔 = 𝜑 45°, 45° − 𝜑 135°, 45°
𝑆𝑛1 𝒓,𝜔 ≈ 𝑆𝑛
2 𝒓, 𝜔
𝜇𝑛 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 = 𝐶𝑛 𝑃,𝜔
cos 𝑎𝑟𝑔 𝜇𝑛 =𝑆𝑛 − 2𝑆𝑛
1
2𝑆01 𝐶𝑛
From Kanseri et al.
Análogamente se mide 𝑆𝑛 𝒓,𝜔
𝐶𝑛 𝑃, 𝜔 =𝑚𝑎𝑥 𝑆𝑛 𝒓,𝜔 − 𝑚𝑖𝑛 𝑆𝑛 𝒓, 𝜔
𝑚𝑎𝑥 𝑆0 𝒓,𝜔 + 𝑚𝑖𝑛 𝑆0 𝒓,𝜔
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Los parámetros de Stokes 𝑆𝑛 𝒓, 𝜔 = 𝑇𝑟 Φ 𝒓,𝜔 𝜎𝑛 se propagan según
𝑆𝑛 𝒓,𝜔 = 𝑠𝑛(0) 𝝆′1, 𝝆′2, 𝜔 𝐾 𝝆 − 𝝆
′1, 𝝆 − 𝝆′
2, 𝑧; 𝜔 𝑑2𝜌′1𝑑
2𝜌′2
donde 𝐾 𝝆 − 𝝆′1, 𝝆 − 𝝆′2, 𝑧; 𝜔 = 𝐺
∗ 𝝆 − 𝝆′1, 𝑧; 𝜔 𝐺 𝝆 − 𝝆′2, 𝑧; 𝜔
𝐺 𝝆 − 𝝆′, 𝑧; 𝜔 = −𝑖𝑘
2𝜋𝑧𝑒𝑥𝑝𝑖𝑘 𝝆 − 𝝆′ 2
2𝑧
Los vectores 𝝆 son bi-dimensionales, pertenecen a planos ortogonales al
haz (𝑧).
𝝆′1 y 𝝆′2 se refieren al plano 𝑧 = 0.
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Dos haces estocásticos distintos pueden tener los mismos
parámetros de Stokes (estándar) en el plano z = 0
Los vectores de Stokes en z = 0 no determinan los vectores en z > 0
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A = +1 B’ = +1
A = -1 B’ = -1
Test de Bell
𝐴𝐵 = 𝜌 𝜆 𝐴𝜆𝐵𝜆𝑑𝜆
Modelo (de Bell) realista y local
Comparación entre los
marcos clásico y cuántico
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Conclusiones
El enmarañamiento no es una característica
exclusivamente cuántica
Las “medidas de Bell” - con las que se formula las
desigualdades de Bell - pueden aplicarse también en el
contexto clásico
Los modelos realistas y locales tipo Bell son muy
limitados y no describen, p. ej., lo observado con
campos clásicos estocásticos
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Gracias por su atención