Guías Modulares de Estudio Cálculo integral B. Semana 1: La integral.
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Guías Modulares de Estudio
Cálculo integral B
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Semana 1:
La integral
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La itnegral.
• Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.
• Dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que
• lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada: 1
, , . .
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Integración directa
• En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.
• Ejemplo: – Calcular la integral .
– En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec2(x). Por tanto:
• Ejemplo:– Calcular la integral .
– Una fórmula estándar sobre derivadas establece que .
– De este modo, la solución del problema es .
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Integración por sustitución• El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar
un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
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Integración por descomposición
• Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales:
– Primera propiedad de las integrales• La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual
a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones:• Esto es:
• Demostración:
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Integración por descomposición
• Segunda propiedad de las integrales– La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto
de la constante por la integral de la función.– Es decir,
– Demostración:
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Ejercicios – Integración por descomposición
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Ejercicios – Integración por descomposición
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La integral definida
• La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
• La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:
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Propiedades de la integral definida
• La integral definida cumple las siguientes propiedades: • Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. • Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es
menor que cero, su integral es negativa. • La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas
por separado. • La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por
la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral). • Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo. • Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a
trozos):
• Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:
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Semana 2:
La integral
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Ejercicios – Integral definida
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Función Integral• Considerando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posible
definir una función matemática de la forma:
• donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.
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Teorema fundamental de cálculo integral
• La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:
• A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:
• Se busca primero una función F (x) que verifique que F’ (x) = f (x).
• Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
• El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:
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Primer teorema
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Segundo teorema
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Semana 3 y 4:
Aplicación de la integral definida
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La integral definida
• La integral definida es una herramienta útil en las ciencias físicas y sociales, ya que muchas cantidades de interés en dichas ciencias pueden definirse mediante el tipo de suma que se presentan en la integral definida.
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La integral definida
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La integral definida
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La integral definida
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Cálculo de áreas
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Cálculo de áreas
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Cálculo de áreas
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Ejemplo 1
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Ejemplo 2
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Área comprendida entre dos curvas
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Área comprendida entre dos curvas
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Área comprendida entre dos curvas
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Ejemplo 3
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Ejemplo 3
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Sólidos de revolución
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Sólidos de revolución
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Sólidos de revolución
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Sólidos de revolución
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Ejemplo
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Ejemplo
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Bibliografía
• Ludwing Salazar, Hugo Bahena, Francisco Vega: Cálculo integral, Publicaciones Cultural, 2007.
• http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_04700.html
• http://matematica.wikia.com/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integral
• http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesintegral/html/aplicaciones-integral.pdf