GUÍAS DE TRABAJO Matemáticas -...

Material de trabajo para los estudiantes

UNIDAD 2

GUÍAS DE TRABAJO

Matemáticas

Preparado por: Héctor Muñoz

Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl

FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Unidad 2Matemáticas

GUÍA DE TRABAJO Nº 1(TRABAJO INDIVIDUAL)

CÁLCULO MENTAL DE MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES

1 Conviene dominar las combinaciones básicas (las “tablas”).

a. Generalmente resulta fácil recordar el producto de dos dígitos iguales.¿Cuánto es el resultado de cada una de estas multiplicaciones?

3 · 3 7 · 7 5 · 5 6 · 6 8 · 8 4 · 4 9 · 9

b. Si se nos ha olvidado cuánto es 8 · 6, podemos recordar que 8 · 6 debe ser igual a 6 · 8. ¿Cuánto es el resultado de cada una de estas multiplicaciones?

9 · 4 8 · 3 7 · 5 9 · 6 7 · 3 8 · 7 9 · 8

c. ¿Cuánto es el resultado de cada una de estas multiplicaciones?

7 · 6 8 · 7 9 · 7 5 · 4 9 · 3 4 · 6 5 · 9

Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

2 Sabemos que 8 · 5 = 40. Por lo tanto, 40 : 5 = 8 y 40 : 8 = 5.

¿Cuánto es el resultado de cada una de estas divisiones?

36 : 9 64 : 8 24 : 4 63 : 7 63 : 9 18 : 2 20 : 4

3Llamamos potencia de 10 a los números formados por un 1 seguido de ceros, como 10, 100, 1.000, etc.

Multiplicar una potencia de 10 por otra es muy fácil. El resultado también es una potencia de 10. Todo lo que tenemos que determinar es cuántos ceros tendrá el resultado.

a. Escribe el resultado de las siguientes multiplicaciones de una potencia de 10 por otra.

10 · 100 100 · 100 1.000 · 1.000 1.000.000 · 100

b. ¿Cuánto es el resultado de cada una de estas multiplicaciones?

mil por mil cien por un millón mil por cien diez millones por diez

cien millones por diez cien mil por cien mil mil millones por cien

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4 Como la división es la operación inversa de la multiplicación, dividir una potencia de 10 por por otra es igualmente fácil: basta eliminar ceros.

Si la potencia de 10 del divisor es menor o igual a la potencia de 10 del dividendo, el resultado será tembién una potencia de 10. En caso contrario, el resultado será un número decimal. Los números decimales son un tipo de número que conoceremos en el segundo semestre.

a. Escribe el resultado de las siguientes divisiones de una potencia de 10 por otra.

1.000 : 100 1.000 : 10 1.000 : 1.000 1.000.000 : 100

1.000.000 : 1.000 100.000.000 : 100 100.000.000 : 100.000

b. ¿Cuánto es el resultado de cada una de estas divisiones?

diez mil dividido por mil cien mil dividido por mil cien mil dividido por cien

diez mil dividido por cien un millón dividido por mil un millón dividido por diez

5 También es muy fácil multiplicar o dividir un número cualquiera por una potencia de 10. Basta agregar o quitar ceros.

a. ¿Cuánto es el resultado de cada una de estas multiplicaciones?

7 · 100 85 · 10 9 · 1.000 75 · 100.000 3.200 · 100

b. ¿Cuánto es el resultado de cada una de estas divisiones?

40.000 : 100 2.500 : 10 6.000.000 : 1.000 99.000 : 1.000

6 Para multiplicar 20 · 6.000, multiplicamos 2 · 6 y agregamos los ceros que tienen los factores.

El recuadro muestra el razonamiento que justifica este procedimiento.

a. Explica cada uno de los pasos que se dan en el recuadro hasta alcanzar el resultado.

b. Utiliza este procedimiento abreviado para encontrar mentalmente el resultado de las siguientes multiplicaciones.

300 · 500 70.000 · 400 8.000 · 8.000 50.000 · 20

200 · 6.000 = 2 · 100 · 6 · 1.000 = 2 · 6 · 100 · 1.000 = 12 · 100.000 = 1.200.000

7 ¿Qué otros casos conoces en los que es relativamene fácil calcular mentalmente el resultado de una multiplicación o de una división?

Compara tu respuesta con las de tus compañeros y compañeras.

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GUÍA DE TRABAJO Nº 2(TRABAJO GRUPAL)

REDONDEO Y CÁLCULO APROXIMADO DE MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES

1 Alfredo quiere comprar 4 yogures que valen $ 198 cada uno. Él redondea el valor de cada yogur a $ 200 y hace un cálculo aproximado de lo que deberá pagar. ¿A qué conclusión debió llegar Alfredo acerca del valor total a pagar?


2 Un grupo de 8 compañeros de trabajo deciden comprar en conjunto un número en un juego de azar con tan buena suerte que el número obtiene un premio de $ 228.756.

a. Redondea los valores y determina mentalmente aproximadamente cuánto dinero recibirá cada uno si se hace un reparto equitativo.

b. Analizando la forma en que hiciste el redondeo, ¿podrías determinar si la cantidad que recibe cada uno es algo mayor o algo menor que el resultado que tú obtuviste?

c. Compara los cálculos y conclusiones de tu grupo con los cálculos y conclusiones de los demás

3 En el colegio de Sonia, hay 3 cursos paralelos en cada nivel en los 8 niveles de básica y en los 4 niveles de media. Cada curso tiene entre 27 y 32 estudiantes.

a. Determina mentalmente aproximadamente cuántos estudiantes hay en total en el colegio de Sonia.

b. Compara los cálculos y conclusiones de tu grupo con los cálculos y conclusiones de los demás grupos.

4 Le encargaron a Felipe que compre 6 entradas para el circo. Cada entrada vale $4.800.

a. Calcula mentalmente si con 2 billetes de $10.000 alcanza para comprar las 6 entradas.

b. ¿Y con 3 billetes de $10.000?

5 En un loteo se ofrecen parcelas de 5.000 metros cuadrados. La familia Martínez desea comprar una de estas parcelas. La que les gusta tiene 48 metros de frente.

a. Calcula mentalmente aproximadamenta cuántos metros tendrá de fondo la parcela que quiere comprar la familia Martínez.

b. Compara los cálculos y conclusiones de tu grupo con los cálculos y conclusiones de los demás grupos.

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EL USO DE LA CALCULADORA

1 a. ¿Cómo se multiplican dos números en tu calculadora?

b. Multiplica 725 por 803 con la calculadora.


2 a. ¿Cómo se divide un número por otro en tu calculadora?

b. Con la calculadora divide por 803 el resultado obtenido en la pregunta anterior.

c. ¿Obtienes el resultado esperado?

3 a. Sobre la base de las dos preguntas anteriores, propón un procedimiento para verificar con la calculadora si el resultado de una multiplicación es correcto.

b. Propón un procedimiento para verificar con la calculadora si el resultado de una división es correcto.

4 a. Un vecino de Mónica está aprendiendo a usar la calculadora, pero todavía comete muchos errores A continuación se muestran varios cálculos que hizo el vecino de Mónica. Con ayuda de redondeos y de cálculo aproximado, encuentra cuáles de estos resultados deben ser necesariamente erróneos.

962 · 26 = 37 8.420 · 505 = 463.100 480 · 480 = 2.304

10.000 : 80 = 1250 612 : 18 = 11.016 2916 : 81 = 162

b. Con ayuda de tu calculadora encuentra el resultado correctos de cada una de las operaciones que hizo el vecino de Mónica.

5 a. Con ayuda de una calculadora, efectúa cada una de las siguientes divisiones. Encontrarás resultados curiosos.

219.978 : 99 12.321 : 37 1.955.536 : 44 3.083.025 : 555

b. Con ayuda de tu calculadora inventa otras divisiones que tengan resultados curiosos.

c. Compara tus propuestas con las de tus compañeros y compañeras.

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PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO ESCRITO DE MULTIPLICACIONES

1 Sabemos que 56 = 50 + 6. Por lo tanto, 827 · 56 debe ser igual a (827 · 50) + (827 · 6). Aunque los paréntesis no son necesarios en este caso, los hemos conservado para mayor claridad.

a. ¿Cuánto será el producto de 827 · 56, si 827 · 50 = 41.350 y 827 · 6 = 4.962?

b. ¿Cuánto será el producto de 827 · 506, si 827 · 500 = 413.500 y 827 · 6 = 4.962?


2 El recuadro muestra el procedimiento habitual de multplicación escrita de 827 · 56.

a. Compara este procedimiento con los ejemplos dados en la actividad anterior. ¿De dónde proviene el producto parcial 4962?

b. ¿De dónde proviene el producto parcial 4135?

c. ¿Por qué este último producto se ha desplazado un lugar hacia la izquierda?

d. ¿Por qué se suman ambos productos parciales?

8 2 7 · 5 6 4 9 6 24 1 3 54 6 3 1 2

3 a. ¿Qué modificaciones harías a la multiplicación del recuadro de la derecha si en lugar de multiplicar 827 · 56 quisieras multiplicar 827 · 506?

b. ¿Y si quisieras multiplicar 827 · 156?

c. ¿Y si quisieras multiplicar 827 · 561?

d. ¿Y si quisieras multiplicar 827 · 516?

e. ¿Y si quisieras multiplicar 827 · 111?

8 2 7 · 5 6 4 9 6 24 1 3 54 6 3 1 2

4 a. Determina, sin ayuda de calculadora, cuál de los siguientes productos es mayor.

222 · 24 666 · 6 1.998 · 2

b. Efectúa la siguiente multiplicación cuyo resultado es excelente.

12.345.679 · 63

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PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO ESCRITO DE DIVISIONES

1 Mario encontró que 25 · 48 = 1.200.

a. De acuerdo con esto, ¿cuánto es el cuociente y cuánto es el resto de cada una de las siguientes divisiones?

1.200 : 25 1.201 : 25 1.210 : 25 1.225 : 25


2 a. Mediante redondeos y cálculos aproximados, determina cuántas cifras debe tener el resultado de cada una de las siguientes divisiones.

2.496 : 32 576 : 16 1.111 : 21 1.540 : 5

b. El resultado de las siguientes divisiones tiene 2 cifras. ¿Entre qué múltiplos de 10 debe encontrarse el cuociente en cada una de ellas? (Múltiplos de 10 son todos los números terminados en 0).

326 : 6 810 : 18 256 : 8 1.170 : 26

b. El resultado de las siguientes divisiones tiene 3 cifras. ¿Entre qué múltiplos de 100 debe encontrarse el cuociente de cada una de estas divisiones? (Múltiplos de 100 son todos los números terminados en 00).

2.009 : 7 4.116 : 12 924 : 3 11.704 : 22

3 El recuadro muestra cómo se ha calculado el cuociente de 4.259 : 8.

a. Explica cada uno de los pasos en este cálculo.

b. ¿Cuánto es el cuociente en la división 4.259 : 8?

c. ¿Hay resto? ¿De cuánto?

4 2 5 9 : 8 = 5 3 2-4 0 2 5 -2 4 1 9 -1 6 3

4 Utilizando un procedimiento similar al que se muestra en la actividad anterior, determina el cuociente y el resto en cada una de las siguientes divisones.

188 : 5 1.000 : 7 750 : 4 2.009 : 7

999 : 11 999 : 22 999 : 33 8.320 : 15

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REUNIÓN DE CONJUNTOS IGUALES

Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas. En lo posible, utiliza procedimientos de cálculo mental. Si las operaciones son más complicadas, puedes utilizar procedimientos de cálculo escrito o usar una calculadora.

2 Víctor está en el 5º B de su escuela. Además la escuela tiene otros 3 quintos años: el 5º A, el 5º C y el 5º D. Cada uno de estos cursos tiene 32 estudiantes.

a. ¿Cuántos alumnos hay en total en 5º año es la escuela de Víctor?

b. ¿Se puede aplicar aquí el diagrama de la actividad anterior? Explica tu respuesta.

1 Francisco compró 5 paquetes que contienen 6 envases de leche cada uno. Para determinar cuántos envases de leche tiene en total, realizó la multiplicación: 5 · 6 = 30.

a. ¿Qué representa cada uno de los números que aparecen en esta multiplicación?

b. Este es un ejemplo de reunión de conjuntos iguales. Cada paquete corresponde a un conjunto de envases. ¿Cuántos elementos tiene cada uno de estos conjuntos?

c. ¿Cuántos de estos conjuntos compró Francisco?

d. Mirta dice que esta situación puede representarse mediante el siguiente esquema:

¿Tiene razón? Explica tu respuesta.

número de elementos en cada conjunto

número de conjuntos número total de elementos

3 Mireya juega fútbol en el club deportivo de su ciudad. En un partido amistoso, se lesionó y el médico le dijo que deberá estar 6 semanas sin jugar.

a. ¿Cuántos días estará sin jugar Mireya de acuerdo con el diagnóstico del médico?

b. ¿Es aplicable aquí el diagrama de la actividad 1? Explica tu respuesta.

4 a. Calcula cuántos días has vivido tú. Considera que cada año tiene 365 días. Hay que tomar en cuenta también que los años 1996, 2000, 2004 y 2008 fueron años bisiestos, es decir fueron años de 366 días.

b. ¿Quién de los estudiantes de tu grupo es el que ha vivido más días?

c. ¿Qué diferencia de edad en días hay entre el que ha vivido más y el que ha vivido menos días?

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REPARTOS EQUITATIVOS


2 Ignacio está confeccionando sorpresas para su fiesta de cumpleaños. Ha comprado una bolsa de caramelos que contiene 48 caramelos. En la fiesta habrá 12 niños y niñas.

a. Escribe la operación que permite saber cuántos caramelos deberá poner Ignacio en cada sorpresa para que todos reciban el mismo número de caramelos.

b. ¿A cuál de los diagramas de la actividad 1 corresponde este caso? Explica tu respuesta.

1 La acción inversa de la reunión de conjuntos iguales es el reparto equitativo de un conjunto de elementos en grupos iguales.

a. De acuerdo con esto, Julio opina que un reparto equitativo podría representarse mediante el siguiente diagrama:


b. Rosa afirma que un reparto equitativo también podría representarse mediante este otro diagrama:


número total de elementos

número de conjuntos número de elementos en cada conjunto

número total de elementos

número de elementos en cada conjunto

número de conjuntos

3 El curso de Jimena tiene 35 estudiantes. La profesora de Educación Física quiere formar grupos de 6 estudiantes.

a. Escribe la operación que permite saber cuántos grupos se pueden formar.

b. ¿Quedarán estudiantes fuera de los grupos? ¿Cuántos?

c. ¿Y si se forman grupos de 7 estudiantes?

d. ¿A cuál de los diagramas de la actividad 1 corresponde este caso? Explica tu respuesta.

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RELACIÓN DE UNO A VARIOS


En muchas ocasiones se conoce el valor o la cantidad correspondiente a una unidad (el precio de un objeto, una distancia, un peso, un intervalo de tiempo, etc.), y se desea conocer el valor de varias unidades. Una situación de este tipo puede representarse mediante un diagrama como el siguiente:

3 A veces se conoce el valor total, pero no se conoce el valor correspondiente a cada unidad o el número de unidades. En tal casos, podemos repesentar la situación mediante una división.

Como en los repartos equitativos, tenemos aquí dos posibilidades:

Indica cuál de estos diagramas es aplicable en cada uno de los siguientes casos.

a. En el supermercado, Sergio pagó $5.432 por 8 cajas de 1 litro de leche. ¿Qué debería hacer para calcular el valor de cada caja?

b. Don Esteban viaja de La Serena a Santiago en 5 horas. La distancia entre ambas ciudades es de 500 kilómetros. ¿Cómo puedes calcular cuántos kilómetros recorre en cada hora si consideramos que su velocidad fue constante?

c. El peso máximo que admite un ascensor es de 350 kilógramos. ¿Cuántas personas pueden subir en el ascensor sin peligro si suponemos que cada persona pesa 70 kilógramos?

valor total cantidad de unidades valor correspondiente a una unidad

1 a. Mariana quiere comprar 12 bebidas para su fiesta de cumpleaños. En el puesto de la esquina de su casa cada bebida cuesta $ 680. ¿Cuánto deberá pagar por las 12 bebidas?

b. ¿Es aplicable aquí el diagrama dado más arriba? Explica tu respuesta.

valor correspondiente a una unidad

cantidad de unidades valor total

2 a. Sabemos que 1 metro equivale a 100 centímetros. De acuerdo con esto, ¿cuántos centímetros mide una tabla de 3 metros de largo?

b. ¿Es aplicable aquí el diagrama dado más arriba? Explica tu respuesta.

valor total valor correspondiente a una unidad

cantidad de unidades

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ARREGLOS RECTANGULARES


El recuadro muestra círculos ordenados en un arreglo rectangular, es decir, ordenados en filas de modo que cada fila tiene igual cantidad de círculos. También los arreglos rectangulares pueden ser representados mediante una multiplicación:

cantidad total de elementos

cantidad de filascantidad de elementos

en cada fila

1 a. El arreglo rectangular del recuadro de más arriba tiene 3 filas horizontales. ¿Cuántos círculo hay en cada fila? ¿Cuántos círculos hay en total?

b. ¿Son aplicables aquí los tres diagramas?

c. ¿Podríamos considerar que el arreglo del recuadro está formado por 7 filas verticales? En tal caso, ¿cuántos círculo hay en cada fila? ¿Son aplicables los diagramas?

cantidad de elementos en cada fila

cantidad de filas cantidad total de elementos

2 Indica cuál de estos diagramas es aplicable en cada uno de los siguientes casos.

a. La señora Blanca quiere plantar en su parcela 48 matas de naranjos. Considerando la forma del terreno, cree que conviene plantar las matas en 8 filas. ¿Cuántas matas debe poner en cada fila para que todas las filas tengan igual cantidad de matas?

b. En los calendarios, los días aparecen ordenados en filas que tienen un máximo de 7 días. ¿Cuál es el único mes del año en que los días pueden ordenarse en un arreglo rectangular con filas de 7 días sin que sobre ni falten días en ninguna de las filas?

c. En un cine, hay 12 filas de butacas con 10 butacas en cada fila. ¿Cuántos espectadores caben en este cine?

A su vez, si se conoce la cantidad total de elementos pero no se conoce la cantidad de filas o la cantidad de elementos en cada fila, la situación se puede repesentar mediante una de las siguientes divisiones:

cantidad total de elementos

cantidad de elementos en cada fila

cantidad de filas

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COMPARACIONES POR CUOCIENTE

1 La señora Berta y don Santiago se encuentran en la caja del supermercado. La cuenta de la señora Berta fue de 15.000 pesos. En cambio, la de don Santiago fue de solo 5.000 pesos.

a. La señora Berta piensa: “A mí me salió $10.000 más que a don Santiago”. ¿Tiene razón la señora Berta?

b. Don Santiago piensa: “Pobre señora Berta. Tuvo que pagar el triple de lo que pagué yo”. ¿Tiene razón don Santiago?

c. ¿Qué cálculo hizo la señora Berta? ¿Y don Santiago?

d. ¿Quién de ellos hizo una comparación por diferencia? ¿Quién hzo una comparación por cuociente?


2 A continuación se reproducen varias afirmaciones que corresponden a comparaciones entre dos valores o cantidades.

En cada caso, indica cuáles son las cantidades que se están comparando y si se trata de una comparación por diferencia o de una comparación por cuociente.

a. “Si compro este libro me sobrarán $ 3.500”.

b. “Mi hermano mide 8 centímetros más que yo”.

c. “La producción de nuestra fábrica este año será 4 veces mayor que la del año pasado”.

d. “¡Qué carrera tan cansadora! Todavía falta me faltan por recorrer 300 metros y ya no doy más”.

3 La población de Chile es de aproximadamente 17 millones de habitantes. La población de Brasil es de aproximadamente 190 millones de habitantes.

a. ¿A qué conclusión llegas si comparas estos dos valores por diferencia?

b. ¿Y si los comparas por cuociente?

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MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1 La luz recorre 300.000 kilómetros en cada segundo. De acuerdo con esto, ¿cuánto demora la luz del Sol en llegar a la Tierra, si la distancia entre ellos es de 150.000.000 kilómetros?

Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas. Si lo deseas, puedes usar calculadora.

2 En astronomía se utiliza con frecuencia el “año luz” como unidad de distancia. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año.

a. Para calcular qué distancia recorre la luz en un año, calcula primero cuántos segundos hay en un día, sabiendo que el día tiene 24 horas, que una hora tiene 60 minutos y que un minuto tiene 60 segundos.

b. Calcula ahora cuántos segundos hay en un año, sabiendo que el año tiene 365 días.

c. Ahora podrás calcular a cuántos kilómetros equivale un año luz. ¿Puedes leer el número que resultó?

d. ¿Para resolver este problema utilizaste multiplicaciones? ¿Corresponden estas multiplicaciones a algunos de los casos vistos en las guías anteriores?

3 En la verdulería de la esquina, don Atilio tiene en oferta duraznos a $1.800 la docena.

a. ¿A qué precio sale cada durazno en esta oferta?

b. ¿Cuánto debería pagar la señora Flora si quiere comprar una docena y media de estos duraznos?

c. Don Rubén quiere comprar 10 duraznos. Pero don Atilio le advierte que por menos de una docena el precio es de $180 la unidad. ¿Qué le aconsejarías a don Rubén?

4 En una actividad de Educación Física en el curso de Álvaro, la profesora pidió que se formaran grupos de 2 estudiantes. Al hacer los grupos, se vio que no quedaba ningún estudiante fuera de los grupos.

Luego, la profesora pidió que se formaran grupos de 3 estudiantes. Esta vez tampoco quedaron estudiantes fuera de los grupos.

Lo mismo sucedió cuando se formaron grupos de 5 estudiantes, grupos de 6 estudiantes, grupos de 10 estudiantes y grupos de 15 estudiantes.

¿Es posible determinar, con estos datos, cuántos estudiantes tiene el curso de Álvaro?

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5 En el paseo anual del colegio de Victoria irán 104 estudiantes y 4 docentes. A cargo de la organización está la tía Julia. Ella decide contratar buses que tienen una capacidad de 45 pasajeros.

a. ¿Cuántos buses deberá contratar la tía Julia?

b. Si se dispone de ese número de buses, ¿cuántas personas podrían incorporarse a última hora?

6 Mario está ordenando las monedas que ha ido ahorrando. Todas ellas son de $100.

a. ¿Cuánto dinero tiene Mario si con las monedas puede formar 8 grupos de 5 monedas y quedan 3 monedas fuera de los grupos?

b. ¿Cuántas monedas sobrarán si forma grupos de 6 monedas cada uno?

c. ¿Y si forma grupos de 8 monedas?

d. ¿Podría formar grupos de monedas de modo que todos los grupos tengan igual cantidad de monedas y no sobre ni falte ninguna moneda?

7 Silvia compró 4 paquetes de galletas por un total de $2.400. En cada paquete vienen 12 galletas. Se juntó luego con 5 amigas y repartió las galletas de modo que tanto ella como cada una de sus amigas recibió la misma cantidad de galletas.

a. ¿Qué operación habría que hacer para saber cuántas galletas compró en total?

b. ¿Qué operación habría que hacer para saber cuánto cuesta cada paquete?

c. ¿Qué operación habría que hacer para saber cuántas galletas recibió cada niña?

8 Marcelo y su padre tienen cumpleaños el mismo día. Este año, Marcelo cumplió 6 años en tanto que su padre cumplió 30 años.

Ximena y Pablo, hermanos de Marcelo, deciden comparar la edad de Tomás y la de su padre. Ximena afirma que el padre es 24 años mayor que Marcelo. Pablo, en cambio, dice que la edad del padre es 5 veces mayor que la de Tomás. a. ¿Tiene razón Ximena? ¿Y Pablo?

b. ¿Qué tipo de comparación realizó Ximena? ¿Y Pablo?

c. ¿Qué resultados obtendrían Ximena y Pablo si repiten sus comparaciones 2 años más tarde?

d. ¿Y si repiten sus comparaciones dentro de 6 años a partir de ahora?

e. ¿Y si repiten sus comparaciones dentro de 18 años a partir de ahora?

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