FUNDAMENTOS DE FINANZAS

OTOO 2015

GUIA 2

2. EJERCICIOS RESUELTOS.

2.1. Valor Futuro. 2.1.1. Luis Andrs debe decidir si depositar $ 1.000.000 en el Banco Santander que le oferta un 21% anual capitalizable semestralmente, o en el Banco CorpBanca que le oferta un inters del 18% anual, capitalizable trimestralmente. En ambos casos, el perodo del depsito sera de 1 ao.

Usando la ecuacin 1.3.1 obtenemos el valor futuro dado un valor presente; las ofertas varan en el nmero de veces de la capitalizacin de los intereses; mientras ms veces se capitalicen los intereses en el perodo de un ao, el valor final ser mayor; por tanto: Oferta Banco Santander: La tasa de inters se capitaliza dos veces en el ao y el perodo del depsito son dos semestres. M = 1.000.000 (1 + 0,21/ 2)2 M = 1.000.000 (1,221025) M = 1.221.025 Oferta Banco CorpBanca: La menor tasa de inters se capitaliza 4 veces en el ao y el perodo del depsito son 4 trimestres. M = 1.000.000 (1 + 0,18 / 4)4 M = 1.000.000 (1,192519) M = 1.192.519 Por tanto, la oferta del Banco Santander es preferible porque genera un monto mayor. 2.1.2. Con el propsito de financiar estudios superiores, Juan Alberto deposit $ 2.350.000 por 4 aos,

en el Banco Penta, que le ofert una tasa del 16% anual, capitalizable cuatrimestralmente. Qu cantidad retirar al trmino del perodo? Se desea obtener un valor futuro, usando una tasa de inters que se capitaliza 3 veces en el ao, por un perodo de 4 aos. M=? C=$2.350.000.- I= 16 ->0.16 n = 1 ao ->12 meses m=2.350.000(1+0.16/3)^12 el tipo va a meter la plata por 4 aos 4 aos por 3 capitalizaciones 4*3=12 m=$4.383.871 M = 2.350.000 (1 + 0,16 / 3) 12

M = 2.350.000 (1,54053) M =

3.620.241

2.1.3. La Panadera de Benjamn Castro tiene un costo de energa de $ 45.000 mensuales y se estima que se incrementar un 0,25% cada mes, durante los prximos 12 meses. Cul ser el costo de la energa de la panadera, al cabo de un ao? En qu porcentaje se habr incrementado este costo? Los incrementos del 0,25% cada mes implican incrementos sobre incrementos; si realizamos la operacin mes por mes, tendramos: Mes 1: M = 45.000 (1 + 0,0025) M = 45.113 Mes 2: M = 46.113 (1 + 0,0025) M = 45.226 Mes 3: M = 45.226 (1 + 0,0025) M = 45.339 .Y as sucesivamente, hasta 12 meses. En forma abreviada, podemos obtener el mismo resultado.

M = 45.000 (1 + 0,0025) 12 M = 45.000 (1,030416) M = 46.369 Al trmino de un ao. El porcentaje de incremento anual ser: Incremento Anual = ((Valor Final Valor Inicial) / Valor Incial) * 100 Incremento Anual = ((46.369 45.000) / 45.000) * 100 Incremento Anual = 0,03042 Es decir, un 3,042% anual.

2.2. Valor Actual. 2.2.1. Sus prximos compromisos son de $ 260.000 a 90 das y $ 310.000 a 180 das. Ambos pagos incluyen un inters del 9,5% anual capitalizable mensualmente. Debido a que dispone de cierto efectivo, desea cancelar la deuda total, al da de hoy. Cul es el valor de la deuda al da de hoy? Para responder a estas preguntas, es necesario conocer el valor presente de los montos que se encuentran a futuro. Dado que perodo y capitalizacin de los intereses estn expresados en distintas unidades de tiempo, convertimos das en meses: as entonces 90 das equivalen a 3 meses y 180 das a 6 meses, considerando meses de 30 das.

Valor Presente de $ 260.000 en 90 das ms, equivalen a: C = 260.000 / (1 + 0,095/12) 3 C = 260.000 / (1,02394) C = 253.921 Valor Presente de $ 310.000 en 120 das ms, equivalen a: C = 310.000 / (1 + 0,095/12) 6 C = 310.000 / (1,04845) C = 295.675 Por tanto, la deuda al da de hoy corresponde a la suma de ambos valores al da de hoy: Deuda al da de hoy = (253.921 + 295.675) = 549.596

2.2.2. Josefa est vendiendo su automvil Mercedes Benz en $ 8,0 millones. Carla le ofrece $ 7,5 millones ahora y Patricia le ofrece $ 1,0 milln al contado y dos pagos de $ 4,0 millones cada uno, a 6 y 10 meses plazo, respectivamente.

Josefa puede invertir este dinero en el Banco BCI a una tasa del 1,3% mensual, con capitalizacin mensual. Qu le recomendara Usted a Josefa? CAPITILIZACION mensual: no se divide el inters

Para decidir, Josefa debe comparar ambas alternativas, en Valor Presente; la oferta de Patricia son valores que se obtendrn a 6 y 10 meses respectivamente, ms el pago de contado. La oferta de Carla, es dinero HOY. Para traer a Valor Presente, Josefa debe usar la tasa de inters, que representa la oportunidad de inversin de su dinero. PATRICIA 1 PAGO A 6 MESES Valor Presente del primer pago: C = 4.000.000 / (1 + 0,013) 6 C = 4.000.000 / (1,080579) C = 3.701.719 PATRICIA 2 PAGO A 10 MESES Valor Presente del segundo pago: C = 4.000.000 / (1 + 0,013) 10 C = 4.000.000 / (1,137875) C = 3.515.325 Por lo tanto, la oferta de Patricia al da de hoy es: Oferta Patricia =(1.000.000 + 3.701.719 + 3.515.325) Oferta Patricia = 8.217.044 Oferta de Carla = 7.500.000 Josefa debe aceptar la oferta de Patricia, que en el da de hoy, representa ms dinero que el ofertado por Carla. 2.2.3. Por concepto de beneficios en una inversin realizada tiempo atrs, Ud

recibir $ 2.220.000 ahora $ 3.100.000 dentro de 120 das

ms $ 5.550.000 en 10 meses ms.

Si la tasa de rentabilidad aplicada a la inversin fue del 18% anual, capitalizable cada 2 meses, Cul es el valor hoy, de su inversin? Para conocer el valor hoy, de ingresos futuros, realizamos la misma operacin que en el ejercicio anterior; usamos la tasa de inters como tasa de descuento, previa transformacin de los plazos expresados en das, para los distintos

ingresos, en plazos expresados en bimestres. Valor Hoy del segundo ingreso (120 das = 4 meses 2 bimestres) C = 3.100.000 / (1 + 0,18/6) 2 capitalizable cada 2 meses, en un ao existen 6 capitalizable.

C = 3.100.000/ (1,0609) C = 2.922.047 Valor Hoy del tercer ingreso (10 meses = 5 bimestres) C = 5.550.000 / (1 + 0,18/4) 5 C = 5.550.000 / (1,246182) C = 4.453.603 Valor Hoy de la Inversin: (Valor contado + Valor Presente de 2 y 3 ingreso) (2.220.000 + 2.922.047 + 4.453.603) = 9.595.650

2.3. Plazo de la Operacin. 2.3.1. Usted dispone de un capital de $150.000 que desea triplicar, para lo cual, lo depositar en el Banco Continental a un inters del 20% anual, con capitalizacin cuatrimestral. Cunto tiempo deber permanecer depositado su capital, para lograr su objetivo? Triplicar un capital de $ 150.000 significa obtener al final de un perodo, un monto de (150.000*3)=450.000, a cierta tasa de inters, que en este caso, se capitaliza 3 veces al ao. La incgnita es el plazo n que para resolver, usamos logaritmos:

450.000 = 150.000 (1 + 0,20 / 3) n 3 = (1 + 0,20 / 3) n Aplicando logaritmo a ambos lados: Log (3) = n log (1 + 0,20 / 3) Resolviendo lado derecho: Log (3) = n log (1,0667) Resolviendo logaritmos: 1,0986 = n * (0,0645698) Despejando la incgnita: 17,014 = n Algo ms de 17 cuatrimestres que equivalen a algo ms de 68 meses. 2.3.2. Usando los mismos datos del problema anterior, excepto que la capitalizacin es ahora, bimensual. En cunto tiempo logra el mismo objetivo? Si la capitalizacin es bimensual, la tasa de inters se capitaliza 6 veces en el ao; luego, usando el mismo procedimiento de la pregunta anterior, resolvemos:

450.000 = 150.000 (1 + 0,20 / 6) n 3 = (1 + 0,20 / 6) n Aplicando logaritmo: Log (3) = n log (1,03333) Resolviendo logaritmos: 1,0986 = n (0,032787) 33,51 = n Algo ms de 33 bimestres, que equivalen a algo ms de 67 meses. 2.4. Tasa de Inters. 2.4.1. Juan Pablo dispone hoy de $ 115.000 y necesita obtener $ 250.000 para comprar el equipo de video juego que desea. Para tal efecto, se fij un plazo de 12 meses en que mantendr depositado su dinero. Juan Pablo busca una institucin financiera que le ofrezca la tasa de inters adecuada para cumplir con su objetivo, considerando una capitalizacin mensual. Aplicando la ecuacin 1.3.1 considerando que la incgnita es la tasa de inters y la capitalizacin es mensual (12 veces en el ao) resolvemos: 250.000 = 115.000 (1 + i) 12 2,17391 = (1 + i) 12 / 12 Aplicando raz 12, tenemos: 12 2,17391 = (1 +i) Resolviendo raz 12: 1,06685 = 1 + i 0,06685 = i Es decir, un inters 6,685% mensual. 2.4.2. Por un crdito de $ 680.000 concedido por 8 meses, Usted debe pagar $ 766.015. Qu tasa de inters anual, capitalizable mensualmente, se aplic al crdito? Aplicando el mismo procedimiento del problema anterior, considerando ahora una tasa anual, con capitalizacin mensual, tenemos: 766.015 = 680.000 (1 + i /12) 8 1,126493 = (1 + i /12) 8 8 1,126493 = (1 + i /12) 1,015 = (1 + i /12) 0,015 = i / 12 0,180 = i Esto es, una tasa anual del 18%capitalizable mensualmente. 2.4.3. En 15 meses ms, Roberto debe disponer de $ 13.000.000 para financiar la ampliacin de su hogar. Hoy cuenta con $ 11.500.000 y los depositar en una cuenta de ahorro en Banco Consorcio, cuyos intereses se capitalizan cada quincena. Qu tasa de inters anual le ofrece el Banco Consorcio? 6 Se necesita determinar una tasa de inters anual, que se capitalice 24 veces en el ao (cada quincena); para tal efecto, aplicamos el procedimiento ya descrito en los dos ejercicios anteriores, para un perodo de 30 quincenas (15 meses):

13.000.000 = 11.500.000 (1 + i /24) 30 1,130435 = (1 + i / 24) 30 Aplicamos 30

30 1,130435 = (1 + i / 24)

1,004095 = (1 + i / 24)

0,004095 = i / 24

0,0983 = i

Esto es, una tasa anual del 9,83% capitalizable cada quincena. 6Adaptado de Matemticas Financieras, Hctor Manual Vidaurri, pgina 218, Captulo 5 Inters Compuesto

2.5. Operaciones Comerciales. Las operaciones comerciales ms comunes que usan inters compuesto, son las operaciones de crdito, en que el cliente prefiere generalmente, pagar una cuota fija, hasta el trmino del plazo del crdito. Esta cuota incluye la amortizacin del capital, ms el pago gradual de los intereses aplicados sobre el saldo insoluto.

2.5.1. Sebastin desea comprar al crdito un computador que tiene un precio de $ 450.000 al contado. Las condiciones de compra son crdito 30, 60 y 90 das, con un pago al contado del 10% del valor y una tasa de inters del 2,5% mensual con capitalizacin mensual. Qu cantidad entrega Sebastin al momento de la compra? Cul es el valor de la cuota mensual y cunto paga por el computador? Sebastin entrega el 10% como pago al contado, es decir: (450.000 * 0,10) = $ 45.000 Saldo a pagar en tres meses: (450.000 45.000) = 405.000 A este saldo se le aplicar un inters mensual del 2,5%. Aplicando la ecuacin 1.3.3 obtenemos el valor de la cuota: n=cantidad de cuotas 405.000 = Cuota ((1 (1 + 0,025) -3) / 0,025) 405.000 = Cuota (0,071400589 / 0,025) 405.000 = Cuota (2,856024) 141.806 = Cuota Valor de cada cuota. Sebastin pagar por el computador, el valor entregado al contado, mas tres cuota iguales de $ 141.806. Valor a Pagar = 45.000 + (3 * 141.806) = $ 470.418.-

2.5.2. Carlos paga $ 185.600 cada 2 meses por un crdito que, en el Banco de Crdito, por un plazo de 1,5 aos, a una tasa del 24% anual, obtuvo hace 4 meses atrs capitalizable bimensualmente. Qu cantidad solicit Carlos, en prstamo? Qu cantidad le resta an por pagar? La tasa de inters es del 24% anual y se capitaliza 6 veces en el ao (0,24 / 6 = 0,04 cada 2 meses). El plazo del crdito de 1,5 aos equivale a 18 meses; es decir 9 bimestres (18 / 2) y la incgnita es el valor original del crdito, que genera un pago bimensual de $ 185.600. n=plazo del crdito Valor = 185.600 (1 (1 + 0,04) -9) / 0,04) Valor = 185.600 (0,2974133 / 0,04) Valor = 185.600 (7, 435332) Valor = 1.379.998 Este valor generar un pago cada dos meses de $ 185.600 por un plazo de 9 bimestres, considerando un inters

del 24% anual capitalizable c/2 meses.

Dado que ya lleva pagado 2 meses, le resta an por pagar 7 bimestres ( 2 + 7 = 9 ) y el valor ser: (7*185.600) = 1.299.200.

En total, por un crdito de $ 1.379.998 pagar $ 1.670.400(185.600 * 9) , lo que equivale a pagar $ 290.402 (1670400 1379998) en intereses.

Un BONO es un instrumento de deuda que emiten las Sociedades Annimas Abiertas o las empresas del Estado, como una forma de obtener Financiamiento a sus proyectos de inversin. En este instrumento se especifican las condiciones de la deuda, para el emisor y el inversionista, esto es, plazo, tasa de inters, capitalizacin, valor nominal del instrumento y perodo en que se pagarn los Intereses y el capital. Se llaman Bonos a ttulos de deuda que son emitidos por gobiernos nacionales, regionales o locales, o por empresas nacionales o internacionales, Por medio de las cuales el emisor se compromete a devolver el capital del bono, junto con los intereses producidos por el mismo. (www.definicionabc.com tu diccionario fcil)

2.5.3. La Empresa en que trabaja Juan Carlos, dispone de $ 15 millones en efectivo y l debe buscar la mejor forma de invertirlos por un ao; la mejor oferta proviene del Banco Santander por un Bono que entrega 4 cupones anuales con tasa cupn del 12% anual. Si acepta la oferta,

cul es el valor de cada cupn que recibir la Empresa por la inversin que Juan Carlos realizar? Se debe encontrar el valor del cupn que paga el bono, cada 3 meses (4 cupones anuales); el inters del 12% anual se capitaliza trimestralmente (0,12 / 4 = 0,03). El cupn es un valor que incluir inters y amortizacin del capital. Usando la ecuacin 1.3 obtenemos: 15.000.000 = Cupn * (((1 (1 + 0,03) -4) / 0,03) 15.000.000 = Cupn * (0,11151295 / 0,03) 15.000.000 = Cupn (3,7170984) (15.000.000 / 3,7170984) = Cupn 4.035.406 = Cupn

Cada 3 meses JuanCarlos recibir $4.035.406 por concepto de intereses y amortizacin del capital. Al trmino del ao habr recibido $16.141.624 (4.035.406 * 4) que representarn una ganancia de $31.141.624(15.000.000 + 16.141.624) (7,61% sobre el capital invertido).

2.6. Perodos de Capitalizacin Fraccionarios.

En los ejercicios anteriores, la capitalizacin de los intereses se produjo siempre bajo el supuesto de un nmero entero de perodos (semestres, bimestres, trimestres, etc). Sin embargo, tambin puede utilizarse fracciones de perodos de capitalizacin, como por ejemplo: 3 aos y 3 meses; un ao y 10 meses; 4 bimestres y 3 meses, etc. Para resolver este problema, existen dos mtodos:

a) Mtodo Exacto o Terico: Utilizado en la mayora de los problemas matemticos o ejercicios de aplicacin. Consiste en dividir el plazo total en el perodo de capitalizacin de los intereses, obteniendo en la mayora de los casos, un plazo fraccional; por ejemplo: 22% anual capitalizable trimestralmente, y un plazo de un ao y 4 meses.

El plazo total en meses es de (12 + 4) = 16 meses, luego:

n= 16(meses)/3

n = 5,33 trimestres

Cul es el monto a obtener, por un depsito de $ 160.500 al 22% anual, capitalizable trimestralmente, por un plazo de un ao y 4 meses? 12 meses+4 meses= 16 meses.

Aplicando la ecuacin 1.1 y el plazo anteriormente calculado, tenemos: M =

160.500 * (1 + 0,22 / 4) 5,33 -> 16 meses / 3 cantidad de capitalizacin.

M = 160.500 * (1,330257)

M = 213.506

b) Mtodo Comercial: Consiste en obtener el monto compuesto para los perodos enteros de capitalizacin y utilizar el inters simple para la fraccin de perodos, usando como capital, el monto compuesto recin obtenido. Tomando el mismo ejemplo anterior, tenemos: Monto compuesto para perodos enteros (un ao): M = 160.500 * (1 + 0,22 / 4) 4 M = 160.500 * (1,2388247) M = 198.831 Monto simple para la fraccin de perodo (4 meses): M = 198.831 * (1 + (0,22 /12) * 4) M = 198.831 * (1,073333) M = 213.412