guia_de_TP 2013
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U.T.N. F.R.C. Depto. de Ing. Civil Cátedra de Cálculo Avanzado
TP1. Repaso de Análisis Matemático, Álgebra y MétodosNuméricos
A) Desarrollo en series de Taylor y MacLaurin
Desarrollar las siguientes funciones en torno a los puntos indicados1) y=e2x alrededor de x = 02) y=sen x−1 alrededor de x = 0
3) y=ln 1−x2
alrededor de x = 0
4) y=arctg x2
alrededor de x = 0
5) y=ex
2 alrededor de x = 2
6) y=ln 3x2
alrededor de x = 2
7) y=cos2 x2 alrededor de x = π
8) y=sin x alrededor de x = 09) y=ln 1ex alrededor de x = 0
10) y=1x4−x
alrededor de x = 1
B) Solución analítica de ecuaciones diferenciales ordinarias
Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales
11)dydx
− x y= x3 y3
12) y ' y=x2 e2 x
13) x y '2 y=52
cos2x
14) x y ' y=x e−xx 2
15) y 'yx=2e−x
16) y '3y2=2xe2 x
17) 1x2 y '4 x y= 1x2 −2
18) dsdt
cos ts sen t=0
19) y 'nx
y=a
xn1
20)dydx
−2
x1y=x1
3
21) y '2 x y=2 xe−x2
22) y'ycos x=12
sin 2x
23) y'−2y
x1=x1
3
Juan F. Weber 1
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Guía de Trabajos Prácticos
24) x− x2y'−a
yx=
x1
x
25) y 'yx=
sin 2 xx
26)y− y ' cos x= y2 cos(x) 1−sin x
Encontrar la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales quesatisfaga las condiciones de borde indicadas.
27) y '−yx=3 x e−3x , y 0=
116
28) x y '2 x y=x2 e−2x , y 1/2=1
29) x y '2 y=x2−x1 , y −1=12
30) y '2x
y=sin x
x2 , y /2=0
31) x y '2 y=cos x /2
x, y
2=−1
32) x y ' 1x y=x , y ln 2=133) x3 y '4 x2 y=x ex , y −1=0
Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales
34) y ' '3 y '−2 y=035) y ' '6y ' y=e2x
36) y ' '−2 y ' y=037) s ' '−a2 s=t138) y ' '−3y '=2−6x39) y ' ' y '− y=8 sen 2x40) 4 y ' '−12 y '9y=041) y ' '9 y=042) y ' '−7 y '12 y=x43) y ' '4 y=−4 y '44) y ' '−4 y '4 y=e2x
45) y ' '4 y=046) y ''2y '10 y=6sen x47) y ''−3y '8 y=048) 5y ''−15 y '9y=0
49) y ''−7y '12 y=23
x
50) y ''3y '−2y=83
sen5x
51) y ''=5x2 y
52) y ''5y=e2x−65
y '
53) 3 y ''9y=6e2x
54) y ''−3y '− y=2−6x55) 4 y ''16 y=12 sen2x
2 Juan F. Weber
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U.T.N. F.R.C. Depto. de Ing. Civil Cátedra de Cálculo Avanzado
C) Operaciones con matrices y sistemas de ecuaciones
56) Calcule C = A - B, D = B + A, E = AB, donde:
A=−1/2 2 7
0 −1 43 0 −1 , B=
4 1 23 2 10 1 2/5
57) Calcule BtAt y (AB)t, con A y B del problema anterior. Redacte conclusiones.58) Calcule E = AB con
A=1 2 3 /20 1 −43 0 2/3 , B=
15
3 /259) Calcule D = A-E, H = E-A, F=AB, G=BC con
A=1 2/3 3 −10 1 4 23 0 2 3 , E= 2 3/9 5 /2 −1
0 −1/8 0 12 1 5 2 , B=
4 1 2−3 2/3 10 12 23 1 −1
, C= 7−41/3
¿Qué ocurre si se pretende resolver BA?
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
60) 1 2/3 −3/26 1 43 −1 −2 ⋅
x1
x2
x3= 1
123
61) 0 .1 0 . 6 −12 5 /3 1 .31 6 4 /3 ⋅
x1
x2
x3= 0
0 .1−2
62) 4 1 12 −2 −61 −5/2 3 ⋅
x1
x 2
x3=9 /2
1−2
63) 1 1 6−1/2 −2 −1
0 1 1 .6 ⋅x1
x 2
x3=1
01
Calcular las inversas de las siguientes matrices
64) A= 7 12 −3
65) B=−1/2 −4 5
2 7 28 3 1
66) C=7 1 66 1 10 −1 6
Juan F. Weber 3
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Guía de Trabajos Prácticos
67) D=5 −1 0 81 2 −1 06 −1 1 −10 0 1 5/6
D) Integrales indefinidas
Calcular las siguientes integrales indefinidas
68) ∫ x 5x3
x3 dx
69) ∫x4−5x23x−4
x21
dx
70) ∫ x3
x−2dx
71) ∫cotg (x) dx
72) ∫5 x
x41
dx
73) ∫ x arctg (x) dx
74) ∫ x Ln (x) dx
75) ∫e xcos xdx
76) ∫ x 2sin (x)dx
77) ∫sin4 (x)dx
4 Juan F. Weber
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U.T.N. F.R.C. Depto. de Ing. Civil Cátedra de Cálculo Avanzado
Trabajo Práctico 2Resolver las siguientes E.D.O. de primer orden por el método que le sea indicado.
1) y '= y−senx , para 0 ≤ x ≤ 1 , con y(0) = 0.52) y '=3x e− x y , para 1 ≤ x ≤ 2 , con y(1) = 13) y '=te3t
−2y , para 0 ≤ t ≤ 1 , con y(0) = 04) y '=1 t− y
2 , para 2 ≤ t ≤ 3 , con y(2) = 1
5) y '=1yt
, para 1 ≤ t ≤ 2 , con y(1) = 2
6) y '=cos2tsen 2t , para 0 ≤ t ≤ 1 , con y(0) = 1
7) y '=yt− y
t 2
, para 1 ≤ t ≤ 1.2 , con y(1) = 1
8) y '=sente−t , para 0 ≤ t ≤ 1 , con y(0) = 0
9) y '=1t
y2 y , para 1 ≤ t ≤ 3 , con y(1) = -2
10) y '=−ty4ty
, para 0 ≤ t ≤ 1 , con y(0) = 1
11) y '=1t sen ty , para 0 ≤ t ≤ 2 , con y(0) = 0
12) dydx
=x y xy , para 0 ≤ x ≤ 0.5 , con y(0) = 1
13) dydx
=x y , para 0 ≤ x ≤ 0.5 , con y(0) = 1
14)dydx
=2xy
− xy , para 0 ≤ x ≤ 0.5 , con y(0) = 1
15) dydx
=y2 1−
y5 , para 0 ≤ x ≤ 0.5 , con y(0) = 1
16) dydx
=yx
, para 1 ≤ x ≤ 2 , con y(1) = 1
17) dydx
=x2 y2 , para 1 ≤ x ≤ 2 , con y(1) = 0
18) dydx
=2x y−1 , para 0 ≤ x ≤ 0.5 , con y(0) = 0
19) dydx
=x3 y2 , para 0 ≤ x ≤ 1.4 , con y(0) = 0
20) dydx
=3 xy− y3 , para 0 ≤ x ≤ 1 , con y(0) = 1
Resolver los siguientes sistemas de E.D.Os. de primer orden. Aplicar el método que lesea indicado.
21)
dxdt
=xy3
2t
dydt
=xy2
1, para 0 ≤ t ≤ 1 , con x(0) = 1, y(0) = 0
Juan F. Weber 5
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Guía de Trabajos Prácticos
22)
dxdt
= 4t x y
dydt
=2t 3yx , para 0 ≤ t ≤ 0.5 , con x(0) = 2, y(0) = 1
23)
dxdt
=3xy− yt
dydt
=3t x− y , para 1 ≤ t ≤ 2 , con x(1) = 0, y(1) = -1
24)
dxdt
=tx−2y−1
dydt
=12 ty−x, para 1.5 ≤ t ≤ 2 , con x(1.5) = 1, y(1.5) = 2
25)
dxdt
=3t y
dydt
=2t−x, para 0 ≤ t ≤ 2 , con x(0) = 2, y(0) = 0
26)
dxdt
=−2 tx x2 y
dydt
=2txy, para 0 ≤ t ≤ 1 , con x(0) = 1, y(0) = 0
27)
dxdt
=sin x ty
dydt
=cos y tx, para 0 ≤ t ≤ 1 , con x(0) = 1, y(0) = 0
28)
dxdt
=x−ty
dydt
=ln t y x , para 2 ≤ t ≤ 3 , con x(2) = 5, y(2) = 6
29)
dxdt
=3x − yt
dydt
=2y − x−t, para 0 ≤ t ≤ 1 , con x(0) = 1, y(0) = 1
30)
dxdt
=x− y1
dydt
= y−x−1, para 0 ≤ t ≤ 0.5 , con x(0) = 1, y(0) = 1
Resolver las siguientes E.D.Os. de segundo orden con condiciones inicialestransformándolas a un sistema de E.D.Os. de primer orden. Aplicar el método que lesea indicado.
31) y ' '=9 yx , con y(0) = 1 , y’(0) = -1, para 0 ≤ x ≤ 1
6 Juan F. Weber
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U.T.N. F.R.C. Depto. de Ing. Civil Cátedra de Cálculo Avanzado
32) y ' ' y=3 x3 , con y(0) = 3 , y’(0) = 1, para 0 ≤ x ≤ 0.533) y ' '− y '=ex , con y(1) = 2 , y’(1) = 1, para 1 ≤ x ≤ 234) y ' '12 y=7y ' , con y(1) = -1 , y’(1) = 0, para 1 ≤ x ≤ 1.535) y ' '−4y '4y= x , con y(0.5) = 0 , y’(0.5) = 1, para 0.5 ≤ x ≤ 136) y ' '2y '10 y=sin x , con y(0) = 0.5 , y’(0) = 0.5, para 0 ≤ x ≤ 137) y ' '3y '−2y=2x x2 , con y(1) = 4 , y’(1) = 1, para 1 ≤ x ≤ 1.538) 4y ' '−12 y '9y=2−6x , con y(1) = -1.2 , y’(1) = 0.5, para 1 ≤ x ≤ 239) y ' '−7y '12 y= x , con y(0.5) = 2 , y’(0.5) = 0.25, para 0.5 ≤ x ≤ 140) y ' ' y '−2y=8sin 2x , con y(0) = 0.1 , y’(0) = -0.2, para 0 ≤ x ≤ 0.541) y ' '− y=5x2 , con y(1) = 2 , y’(1) = 1, para 1 ≤ x ≤ 242) y ' '6y '5y=e2x , con y(0) = 1 , y’(0) = 1, para 0 ≤ x ≤ 143) y ' '9 y=6e−3x , con y(1) = 2 , y’(1) = 1, para 1 ≤ x ≤ 244) y ' '−3y '=2−6x , con y(1) = -1 , y’(1) = 0, para 1 ≤ x ≤ 1.545) y ' '4y=8x3 , con y(1) = 4 , y’(1) = -8, para 1 ≤ x ≤ 246) y ' '− y '=6y x , con y(0.5) = 2 , y’(0.5) = 0.5, para 0.5 ≤ x ≤ 1.547) y ' '−2y '3y=cos 2x , con y(0) = 1 , y’(0) = 0, para 0 ≤ x ≤ 148) y' '4y=2sin 2x , con y(0) = 0 , y’(0) = 2, para 0 ≤ x ≤ 0.549) y ' '3y '4y−8x2
−x=0 , con y(1) = -1 , y’(1) = -1, para 1 ≤ x ≤ 250) −2y ' '2y=3y ' , con y(0) = 2 , y’(0) = 1, para 0 ≤ x ≤ 0.5
Juan F. Weber 7
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Guía de Trabajos Prácticos
Trabajo Práctico 3Resolver las siguientes E.D.Os. de segundo orden con condiciones de contorno por elmétodo de las diferencias finitas.
1) y ' '=9yx , con y(0) = 1 , y(1) = 2, para 0 ≤ x ≤ 12) y ' ' y=3x3 , con y(0) = 3 , y’(1) = 1, para 0 ≤ x ≤ 13) y ' '− y '=ex , con y’(1) = 0.2 , y(2) = 1, para 1 ≤ x ≤ 24) y ' '12 y=7y ' , con y(1) = -1 , y(1.5) = 1, para 1 ≤ x ≤ 1.55) y ' '−4y '4y= x , con y(0.5) = 0 , y’(1) = 0.5, para 0.5 ≤ x ≤ 16) y ' '2y '10 y=sin x , con y’(0) = 0.5 , y(1) = 0.5, para 0 ≤ x ≤ 17) y ' '3 y '−2y=2xx 2 , con y(1) = 2 , y(1.5) = 1, para 1 ≤ x ≤ 1.58) y ' '−12 y '9y=2−6x , con y(1) = -2 , y’(2) = 5, para 1 ≤ x ≤ 29) y ' '−7y '12 y= x , con y’(0.5) = 0.2 , y(1) = 2, para 0.5 ≤ x ≤ 110) y ' ' y '−2y=8sin 2x , con y(0) = 0.1 , y(0.5) = -0.2, para 0 ≤ x ≤ 0.511) y ' '− y=5x2 , con y’(1) = 2 , y(2) = 1, para 1 ≤ x ≤ 212) y ' '6y '5y=e2x , con y(0) = 1 , y’(1) = 1, para 0 ≤ x ≤ 113) y ' '9y=6e3x , con y(1) = 2 , y(2) = 4, para 1 ≤ x ≤ 214) y ' '−3y '=2−6x , con y(1) = -1 , y(1.5) = 0, para 1 ≤ x ≤ 1.515) y ' '4y=8 x3 , con y(1) = 4 , y(2) = -4, para 1 ≤ x ≤ 216) y ' '− y '=6y x , con y(0.5) = 2 , y’(1.5) = 1.5, para 0.5 ≤ x ≤ 1.517) y ' '−2y '3y=cos 2x , con y’(0) = 1 , y(1) = 0.3, para 0 ≤ x ≤ 118) y ' '4y=2sin 2x , con y(0) = 0 , y(0.5) = 0.7, para 0 ≤ x ≤ 0.519) y ' '3 y '4 y−8x2
−x=0 , con y(1) = -1 , y(2) = 3, para 1 ≤ x ≤ 220) −2y ' '2y=3y ' , con y(0) = 2 , y(0.5) = 1, para 0 ≤ x ≤ 0.5
Resolver las siguientes EDOs con condiciones de contorno por los métodos deColocación o Galerkin, según se le indique, con dos términos.
21) y ' '=9yx , con y(0) = 1 , y(1) = 2, para 0 ≤ x ≤ 122) y ' ' y=3x3 , con y(0) = 3 , y(1) = 1, para 0 ≤ x ≤ 123) y ' '− y '=2x , con y(1) = 0.2 , y(2) = 1, para 1 ≤ x ≤ 224) y ' '12 y=7y ' , con y(1) = -1 , y(1.5) = 1, para 1 ≤ x ≤ 1.525) y ' '−4y '4y= x , con y(0.5) = 0 , y(1) = 0.5, para 0.5 ≤ x ≤ 126) y ' '2y '10 y=4x , con y(0) = 0.5 , y(1) = -0.5, para 0 ≤ x ≤ 127) y ' '3 y '−2 y=2 x x2 , con y(1) = 2 , y(1.5) = 1, para 1 ≤ x ≤ 1.528) 4 y ' '−12 y '9y=2−6x , con y(1) = -2 , y(2) = 5, para 1 ≤ x ≤ 229) y ' '−7y '12 y= x , con y(0.5) = 0.2 , y(1) = 2, para 0.5 ≤ x ≤ 130) y ' ' y '−2y=3−2x , con y(0) = 0.1 , y(0.5) = -0.2, para 0 ≤ x ≤ 0.531) y ' '− y=5x2 , con y(1) = 2 , y(2) = 1, para 1 ≤ x ≤ 232) y ' '6y '5y= x x−1 , con y(0) = 1 , y(1) = 1, para 0 ≤ x ≤ 133) y ' '9y=6 ln x , con y(1) = 2 , y(2) = 4, para 1 ≤ x ≤ 234) y ' '−3y '=2−6x , con y(1) = -1 , y(1.5) = 0, para 1 ≤ x ≤ 1.535) 2y ' '4y=8x3 , con y(1) = 4 , y(2) = -4, para 1 ≤ x ≤ 236) 3 y ' '− y '=6y x , con y(0.5) = 2 , y(1.5) = 1.5, para 0.5 ≤ x ≤ 1.537) y ' '−2y '3y=3x2 , con y(0) = 1 , y(1) = 0.3, para 0 ≤ x ≤ 1
8 Juan F. Weber
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U.T.N. F.R.C. Depto. de Ing. Civil Cátedra de Cálculo Avanzado
38) y ' '4y= x−1 x , con y(0) = 0 , y(0.5) = 0.7, para 0 ≤ x ≤ 0.539) y ' '3 y '4 y−8 x2
−x=0 , con y(1) = -1 , y(2) = 3, para 1 ≤ x ≤ 240) −2y ' '2y=3y ' , con y(0) = 2 , y(0.5) = 1, para 0 ≤ x ≤ 0.5
Resolver las siguientes EDOs con condiciones de contorno por el método de loselementos finitos y verifique los resultados con FlexPDE.
41) y ' '=9yx , con y(0) = 1 , y(1) = 2, para 0 ≤ x ≤ 142) y ' ' y=3x3 , con y(0) = 3 , y’(1) = 1, para 0 ≤ x ≤ 143) y ' '− y '=ex , con y’(1) = 0.2 , y(2) = 1, para 1 ≤ x ≤ 244) y ' '12 y=7y ' , con y(1) = -1 , y(1.5) = 1, para 1 ≤ x ≤ 1.545) y ' '−4y '4y= x , con y(0.5) = 0 , y’(1) = 0.5, para 0.5 ≤ x ≤ 146) y ' '2y '10 y=sin x , con y’(0) = 0.5 , y(1) = 0.5, para 0 ≤ x ≤ 147) y ' '3 y '−2 y=2 x x2 , con y(1) = 2 , y(1.5) = 1, para 1 ≤ x ≤ 1.548) 4y ' '−12 y '9y=2−6x , con y(1) = -2 , y’(2) = 5, para 1 ≤ x ≤ 249) y ' '−7y '12 y= x , con y’(0.5) = 0.2 , y(1) = 2, para 0.5 ≤ x ≤ 150) y ' ' y '−2y=8sin 2x , con y(0) = 0.1 , y(0.5) = -0.2, para 0 ≤ x ≤ 0.551) y ' '− y=5x2 , con y’(1) = 2 , y(2) = 1, para 1 ≤ x ≤ 252) y ' '6y '5y=2x , con y(0) = 1 , y’(1) = 1, para 0 ≤ x ≤ 153) y ' '9y=6 x2
−2x , con y(1) = 2 , y(2) = 4, para 1 ≤ x ≤ 254) y ' '−3y '=2−6x , con y(1) = -1 , y(1.5) = 0, para 1 ≤ x ≤ 1.555) 2 y ' '4 y=8 x3 , con y(1) = 4 , y(2) = -4, para 1 ≤ x ≤ 256) 3y ' '− y '=6y x , con y(0.5) = 2 , y’(1.5) = 1.5, para 0.5 ≤ x ≤ 1.557) y ''−2y '3y=cos 2x , con y’(0) = 1 , y(1) = 0.3, para 0 ≤ x ≤ 158) y ' '4y=2sin 2x , con y(0) = 0 , y(0.5) = 0.7, para 0 ≤ x ≤ 0.559) y ' '3y '4y−8 x2
−x=0 , con y(1) = -1 , y(2) = 3, para 1 ≤ x ≤ 260) −2y ' '2y=3y ' , con y(0) = 2 , y(0.5) = 1, para 0 ≤ x ≤ 0.5
Juan F. Weber 9
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Guía de Trabajos Prácticos
Trabajo Práctico 4Aproximar las siguientes funciones, en el periodo indicado, en series de Fourier.Representar gráficamente la función dada y sus aproximaciones por Fourier paradistinto número de términos.
1) y=3x2 (0 ; 4)2) y=2x−1 (-1 ; 1)3) y=x x−2 (-π ; π)4) y=e x (0 ; 2π)5) y=∣2− x∣ (-1 ; 1)6) y= x−1 x−2 (1 ; 2)7) y=−3x1 (0 ; 5)8) y=x3 (-3 ; 3)
9) y=x2
2(0 ; 2)
10) y=3x x−1 (-1 ; 2)11) y=3−x2 (0 ; 3)12) y=2∣x−1∣ (-2 ; 2)
13) y=x31 (0 ; 1)
14) y=2x−∣x∣ (-1 ; 1)15) y=x∣x∣ (-2 ; 2)16) y=∣2− x∣ x1 (-π ; π)
17) y=32
x1 (1 ; 4)
18) y=∣x∣2x (-1 ; 3)19) y=−3x2 (0 ; 6)20) y=x x1 (-2 ; 0)21) y=∣x−1∣ (-3 ; 1)22) y=2x−∣x∣ (-1 ; 3)23) y=x 2
−1 (2 ; 4)24) y=−∣x∣ (-2 ; 1)25) y=∣2x∣−x (-1 ; 3)
10 Juan F. Weber
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U.T.N. F.R.C. Depto. de Ing. Civil Cátedra de Cálculo Avanzado
Trabajo Práctico 5Resolver las siguientes EDPs por el método de separación de variables.
1)u tt=4uxx , 0≤ x≤2 , u 0, t =0 , u 2, t =0
u x ,0 ={ x , 0≤x≤12−x , 1≤x≤2
, u t x ,0 =1
2)u tt=2u xx , 0≤x≤4 , u 0,t =0 , u 4, t =0 ,
u x ,0 =x 4−x
16, ut x ,0 =0
3) u tt=3u xx , 0≤x≤1 , u x 0, t =0 , u 1,t =1 , u x ,0 =x , u t x ,0 =−1
4) u t=100u xx , 0≤x≤1 , u 0, t =0 , u 1, t =0 , u x ,0 =sin 2πx−2sin 5πx
5) u xx=4u t , 0≤x≤2 , u 0, t =0 , u 2, t =0 , u x ,0 =2sinπx2
−sin πx4sin 2πx
6) Considere la conducción del calor en una varilla de cobre (α2=1.14 cm2/s) de100 cm de longitud cuyos extremos se mantienen a 0°C. Hallar u(x,t) si ladistribución inicial de temperaturas en la varilla se expresa por
u x ,0 ={ x , 0≤x50100−x , 50≤x≤100
7) Considere la conducción del calor en una varilla de cobre (α2=1.14 cm2/s) de100 cm de longitud cuyos extremos se mantienen a 0°C. Hallar u(x,t) si ladistribución inicial de temperaturas en la varilla se expresa por
u x ,0 ={0, 0≤ x25
50 , 25≤x≤750, 75 x≤100
8) u t=2u xx , 0≤x≤1 , u 0,t =0 , u x 1, t =0 , u x ,0 =x x−1
9) u t=3u xx , 0≤x≤1 , u 0, t =1 , u 1, t =2 , u x ,0 =1 x2
10) u xxu yy=0 , 0≤ x≤1 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u x ,1=0 , u0, y = y y−1 , u 1, y =0
11) u xxu yy=0 , 0≤ x≤1 , 0≤ y≤2 ,
u x ,0=x , u x ,2=0 , u 0, y =0 , u 1, y= y 21
12) u xxu yy=0 , 0≤ x≤3 , 0≤ y≤2 ,u x ,0=0 , u x ,2=0 , u0, y =0 , ux 3, y= y y−2
13) u xxu yy=0 , 0≤ x≤2 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u x ,1=2−x , u x 0, y =− y , u 2, y=0
14) u xxu yy=0 , 0≤ x≤1 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u y x ,1=x , u 0, y=0 , u x1, y =2y
Resolver las siguientes EDPs por el método de la separación de variables.15) u xy−u=0
16) u xx−u yy−2u y=017) u xx−u yy2ux−2uyu=0
18) t2u tt−x 2uxx=0
19) u xx− y2 uyy− yu y=020) u xx−u yy−u y=021) u tt−uxx−u=0 , 0≤x≤1 , t0 , u 0, t =u1, t=0 , u t x ,0=022) u tt2ut−4uxxu=0 , 0≤x≤1 , t0 , ux 0, t =u 1, t=0 , u x ,0=0
Juan F. Weber 11
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Guía de Trabajos Prácticos
23) u xxu yyuy−u=0 , a≤ x≤b , 0 y1 , u a , y =u b , y =u x ,0=024) u t− t2 u xx−u=0 , 0≤ x≤2 , t0 , u0, t =u 1,t =025) u t−uxx−2ux=0 , 1≤ x≤2 , t0 , u 1, t =u 2,t =026) u tt− x2u xx=0 , 1≤x≤2 , t0 , u x ,0=u 1, t =u 2, t=0
27) u tt−x2
t12 uxx=0 , 1≤x≤2 , t0 , u x ,0=u 1,t =u 2, t =0
12 Juan F. Weber
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U.T.N. F.R.C. Depto. de Ing. Civil Cátedra de Cálculo Avanzado
Trabajo Práctico 6Resolver las siguientes EDPs elípticas por el método de las diferencias finitas yverifique los resultados con FlexPDE.
1)u xxu yy=0 , 0≤ x≤1 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u x ,1=0 , u0, y = y y−1 , u 1, y =0
2)2u xxu yy=4 , 0≤ x≤1 , 0≤ y≤2 ,u x ,0=0 , u x ,2=0 , u 0, y =0 , u 1, y =0
3)u xxu yy=0 , 0≤ x≤1 , 0≤ y≤2 ,
u x ,0=x , u x ,2=0 , u 0, y =0 , u 1, y=4− y2
4
4)u xxu yy=2 x y , 0≤x≤3 , 0≤ y≤2 ,u x ,0=1 , u x ,2=−1 , u 0, y =1− y , u x 3, y = y 2− y
5)u xxu yy=0 , 0≤ x≤3 , 0≤ y≤2 ,u x ,0=0 , u x ,2=0 , u0, y =0 , ux 3, y= y y−2
6)u xx3u yy=0 , 0≤ x≤2 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u x ,1=2−x , u x 0, y =− y , u 2, y=0
7)u xxu yy=0 , 0≤ x≤2 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u x ,1=2−x , u x 0, y =− y , u 1, y =0
8)2u xxu yy=4 x , 0≤x≤2 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u x ,1=2−x , u x 0, y =− y , u 2, y=0
9)u xxu yy=0 , 0≤ x≤1 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u y x ,1=x , u 0, y=0 , u x1, y =2 y
10) u xxu yy=uy , 0≤x≤1 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u y x ,1=x , u 0, y=0 , u x1, y =2 y
11) u xxx u yy=0 , 0≤ x≤1 , 0≤ y≤1 ,
u x ,0=0 , u x ,1=2 , u0, y =2 y , u 1, y=4 y y−12
12) u xx2u yy=uxu y , 0≤x≤2 , 0≤ y≤1 ,
u x ,0=u x ,1= x x−2 , u x 0, y =−8 y−12
2
, u 2, y=0
13) u xxu yy=u , 0≤x≤2 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u x ,1=2−x , u x 0, y =− y , u 2, y=0
14) 2u xxu yy=ux2u , 0≤x≤2 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u x ,1=2−x , u x 0, y =− y , u 2, y=0
15) u xxu xyu yy=1 , 0≤x≤1 , 0≤ y≤1 ,
u x ,0=0 , u x ,1=1 , u 0, y= y , u1, y= y2
Resolver la ecuación del calor u t=uxx en el dominio indicado, para las condiciones deborde e iniciales indicadas, por el métodos explícito o de Crank-Nicolson según le seaindicado y verifique los resultados con FlexPDE.
16) 0≤x≤1 , 0≤t≤0.5 , u x ,0= x x−1 , u0, t =u1, t =017) 0≤x≤1 , 0≤t≤0.5 , u x ,0=0 , u0,t =0 , u 1,t =118) 0≤x≤2 , 0≤t≤0.5 , ux ,0=x , u 0, t =u 2, t =019) 0≤x≤2 , 0≤t≤0.5 , ux ,0=0 , u x0,t =0 , u 2, t =1
Juan F. Weber 13
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Guía de Trabajos Prácticos
20) 0≤x≤1 , 0≤t≤0.5 , u x ,0=1 , u 0, t =2 , ux 1,t =−121) 0≤x≤2 , 0≤t≤0.5 , ux ,0=x−1
2 , u x0,t =0 , ux 2,t =122) 0≤x≤1 , 0≤t≤0.5 , u x ,0=1−x , ux 0, t =0 , u1, t =1
Resolver las siguientes EDPs parabólicas en el dominio indicado, para las condicionesde borde e iniciales indicadas, por el métodos explícito o de Crank-Nicolson, según sele indique y verifique los resultados con FlexPDE.
23) uxxux=u t , 0≤ x≤1 , 0≤t≤0.5 , u x ,0=x x−1 , u 0, t =u1, t=024) 3uxx=u−2ut , 0≤x≤1 , 0≤t≤0.5 , u x ,0=0 , u 0, t =u 1,t =1
25) uxx−uxu−u t=0 , 0≤ x≤2 , 0≤t≤0.5u x ,0= x−2 , ux 0,t =0 , u 2, t =1
26) 2u xx=3ut−ux , 0≤ x≤2 , 0≤t≤0.5
u x ,0 =x−12−1 , ux 0, t =0 , u2,t =−0.5
27) u t= xu−3uxx , 0≤ x≤1 , 0≤t≤0.5 , u x ,0=0 , u 0, t =1 , u 1, t =028) uxx= x u−2ut , 0≤x≤1 , 0≤t≤0.5 , u x ,0=0 , ux 0, t =0 , u1, t =1
29) uxxu x= xu t , 0≤x≤1 , 0≤t≤0.5
u x ,0 = x x−1 , u0, t =0 , ux 1, t =0
Resolver las siguientes EDPs hiperbólicas por los métodos explícito o implícito, en eldominio indicado según se le indique y verifique los resultados con FlexPDE.
30) 2u t−ux=1 , 0≤ x≤1 , u 0,t =cos3t , ux ,0=1−x 1x
31) x ut−t ux=2 , 0≤x≤1 , u 0, t =1 , u x ,0 =x132) u tux=tx , 0≤ x≤1 , u 0, t =0 , u x ,0=sin x33) 3ut2t ux=x , 0≤ x≤1 , u 0,t =2−t , ux ,0=2 1−x
34) uxx−3utt=1 , 0≤x≤2 , 0≤t≤1u x ,0 = x−1 , ut x ,0=x , u0,t =t−1 , u2,t =1−t
35) uxx− x utt=−t , 0≤x≤1 , 0≤t≤1u x ,0 =1−cos x , ut x ,0=1 , u 0, t =0 , u2,t =2−t
36) 2t uxx−x utt=t−x , 0≤ x≤1 , 0≤t≤1
u x ,0 = x−12
, ut x ,0=1−x , u 0,t =t−12
, u2,t =121−t
37) uxx− x utt=u−ux , 0≤x≤2 , 0≤t≤1
u x ,0 = x , ut x ,0=−x , u 0, t =t 2 , u1, t =1−t
14 Juan F. Weber