Cálculo I

1. Los números reales

1. Escribe los siguientes decimales periódi-cos como el cociente de dos números en-teros:

a)4.017

b)−15.7915

c)0.012345

2. Encuentra un número racional y unnúmero irracional entre

a =

√2

7y b =

√5

11.

3. Muestra con ejemplos que la suma, resta,producto y cociente de dos números irra-cionales podría no dar como resultado unnúmero irracional.

4. Demuestra que no existe algún númeroracional cuyo cuadrado es 3, esto es, que√3 no es racional.

5. ¿Qué significa la afirmación “Q es densoen R”? ¿Son los irracionales densos enR?

6. Prueba que si a, b > 0, entonces

√ab ≤ a+ b

2.

7. Demuestra que para todos a, b ∈ R secumple

|a+ b| = |a|+ |b| , si y sólo si ab ≥ 0.

8. Demuestra que

−1

2≤ x

1 + x2≤ 1

2, para todo x ∈ R.

2. Funciones

1. Considera la función

f(x) =x+ 2

x− 6.

a) ¿Pertenecen a su gráfica los puntos(4,−3), (−2, 1) ó (6, 0)?

b) ¿Está 2/3 en la imagen de la fun-ción?

c) ¿En qué intervalos de valores de xes cierto que f(x) ≥ 3?

d) Calcula f(−1), f(a), f(a+ 1) y

f(a+ h)− f(a)

h.

2. Encuentra el dominio de cada una de lassiguientes funciones:

a)

f(x) =x

x2 + 4

1

b)f(x) =

√2x2 − x− 1

c)f(x) =

3√9− x2

d)

f(x) =4

�1−

√1− x2

e)

f(x) =1

x− 1+

1

x− 2

f )

f(x) =√1− x2 +

4√x2 − 1

g)

f(x) =

�x+ 2

x− 1

h)

f(x) =x−1

x2 − 2

3. Si el dominio de f(x) es [0, 1], ¿cuál es eldominio de 1

2f(x+ 1

3)− f(x− 1

4)?

4. Si f(x) = 100x2, prueba que para todo tse satisface f(tx) = t2f(x).

5. Sean f y g dos funciones definidas como

f(x) =1

x, g(x) = x

√1− x.

Halla las funciones f + g, f · g y f/g, asícomo sus dominios.

6. Traza la gráfica de y = f(x), si:

a)f(x) = 3− |x− 3|

b)

g(x) =1

3− |x− 3| . Nota: g(x) =1

f(x).

7. Sea f : R\{1} → R\{−1}, dada porf(x) =

x

1− x.

a) Prueba que f es biyectiva.

b) Determina la función inversaf−1(x) y su dominio.

c) Verifica que se satisfacef(f−1(x)) = f−1(f(x)) = x.

8. Sea f(x) =ax+ b

cx− a, donde a, b y c son

constantes, con a2 + bc �= 0 y c �= 0.

a) Determina el dominio de f.

b) Demuestra que f�ax+ b

cx− a

�= x.

c) Encuentra la función inversa f−1.¿Qué peculiaridad tiene esta fun-ción?

9. Sean f, g, h : R→ R con f(x) = 2x+ 1.Halla g y h tales que

(f◦g)(x) = 2x+5 y (h◦f)(x) = 4x−1.

10. Sean

g(x) =

�1

2x+ 2 y (f ◦ g) (x) = 1

x.

a) Determina el dominio de la función(f ◦ g) (x).

b) Encuentra la función f(x).

2

11. Clasifica cada una de las siguientes fun-ciones como par, impar o ninguna:

a)f(x) = x2sen(x)

b)f(x) = sen2(x)

c)f(x) = x+ x2

d)f(x) = (x3 − x)4/5

12. Demuestra que si una función f : R→ R

es ambas par e impar, entonces f(x) = 0para todo x ∈ R.

13. Sean ⌊x⌋ el mayor entero menor o igualque x, ⌈x⌉ el menor entero mayor o igualque x y [x] la parte entera de x. Grafi-ca las funciones piso f(x) = ⌊x⌋, techog(x) = ⌈x⌉ y parte entera h(x) = [x].

14. Grafica y determina el dominio y la ima-gen de la función f(x) = x− ⌊x⌋.

15. La tarifa de un estacionamiento es de $10por hora o fracción de hora.

a) Encuentra la fórmula de la funciónf(t) que describe la cantidad a pa-gar en términos de las horas t queel vehículo permanece en el esta-cionamiento. Grafica f(t).

b) Escribe el dominio e imagen de f .

c) Grafica la función g(t) = f(t)− 10ty da una interpretación económicade esta función.

3. Límites

1. En cada inciso determina el límite quese indica. En caso de no existir, muestrapor qué no existe.

a)

límx→3

x2 − 2x

x+ 1

b)

límx→1

2x2 − 3x+ 1

x− 1

c)

límy→4

4− y

2−√yd)

límt→0

1−√1− 4t2

t2

e)

límx→4

√2x+ 1− 3√3x− 3− 3

f )

límx→0

|2x+ 1| − |2x− 1|x

2. Usa las propiedades de límite parademostrar que lím

x→3f(x) existe y deter-

mina su valor, si

límx→3

2f(x)− 2

(2− x)2 + 2= 2.

3. Supón que

límx→x0

(f(x) + g(x)) = A

y límx→x0

(f(x)− g(x)) = B.

3

a) Demuestra que límx→x0

f(x) g(x) exis-

te y obtén su valor.

b) ¿Bajo qué condiciones también

existe límx→x0

f(x)

g(x)?

4. En cada inciso determina el límite quese indica. En caso de no existir, muestrapor qué no existe.

a)

límy→2−

(y − 1)(y − 2)

y + 1

b)

límx→4−

3− x

x2 − 2x− 8

c)

límx→−1−

|x+ 1|(1 + x)3

d)

límx→9+

81− x2

3−√xe)

límt→1−

1

(t− 1)2/5

f )

límθ→3−

⌊θ⌋θ

g)límt→4−

(t− ⌊t⌋)

h)

límx→0

x

�1

x2− 1

5. En cada inciso determina el límite quese indica. En caso de no existir, muestrapor qué no existe.

a) límx→4

f(x), si

f(x) =

1x

, si 0 < x < 4,0 , si x = 4,1

2(√x)

, si x > 4.

b) límx→3

g(x), si

g(x) =

2x, si x ≤ 3,

7− x, si x > 3.

6. En cada inciso determina el límite quese indica. En caso de no existir, muestrapor qué no existe.

a)

límx→−∞

x− 2

x2 + 2x+ 1

b)

límx→∞

5x2 + 7

3x2 − x

c)

límx→−∞

√x2 + 1

2x− 3

d)

límx→−∞

√x2 + 2x + x

�

7. Calcula los siguientes límitestrigonométricos:

a)

límx→0

1− cos(x)

x

4

b)

límx→0

1− cos(x)

x2

c)

límθ→0

�sen(3θ)

θ

�2

8. Sea f : (0,∞)→ R una función tal que

2x− 3

x+ 5< f(x) ≤ 2x2 + 8x+ 7

x2 + 2x,

para todo x ∈ [1357908642,∞). Calculalímx→∞

f(x).

9. Demuestra que

límx→x0

|f(x)| = 0 =⇒ límx→x0

f(x) = 0.

10. Determina las asíntotas horizontales,verticales u oblicuas, así como los tér-minos dominantes de cada una de lassiguientes funciones:

a)

f(x) =2x

x+ 1

b)

f(x) =x2 − x+ 1

x− 1

c)

f(x) =x3 − 1

x2 − 1

d)

f(x) =x4

x2 + 1

11. Considera la función de costos

C (x) =Ax (x+ b)

x+ c+ d,

para x ≥ 0, donde A, b, c y d son cons-tantes positivas.

a) Muestra que existe una función li-neal L(x) con la propiedad de que

límx→∞

(C(x)− L(x)) = 0.

b) ¿Qué significado tiene la pendientede L?

12. A partir de la definición demuestra lossiguientes límites:

a)límx→−1

(2− 3x) = 5

b)

límx→1

2

4x2 − 1

2x− 1= 2

c)límx→9

√x− 5 = 2

d)

límx→∞

1

3x= 0

13. Determina los siguientes límites y de-muestra tu resultado usando la defini-ción:

a) límx→x0

(ax+b), donde a, b ∈ R, a �= 0.

b) límx→4

f(x), si

f(x) =

2x− 3, si x �= 4,−1, si x = 4.

5

4. Continuidad

1. Para cada una de las siguientes funciones¿es posible extender su dominio a todoslos reales de tal forma que la extensiónsea continua? Justifica tu respuesta.

a)

f(x) =|x|x

b)

f(x) =x2 + 3x

x+ 3

c)

f(x) =x2 − 4

x3 − 8

d)

f(x) =

�2x− 3, x < 2,

x2, x > 2,

e)

f(x) =x− 2

|x| − 2

f )

f(x) =7x− x2

|x− 7|

2. Sea

f(x) =

2x+ 3, si 0 ≤ x ≤ 3,x2 + bx+ c, si 3 < x < 5,

2x+ 3, si 5 ≤ x.

Determina b y c de manera que f seacontinua en su dominio. Justifica tu res-puesta.

3. Determina si f es continua, continua porla derecha, por la izquierda, o bien, dis-continua en x0 = 1, si

f(x) =

�√x+ 3− 2x.

4. Demuestra la siguiente afirmación o en-cuentra contraejemplos:

Si las funciones f y g no son continuasen x = a, las funciones f + g y fg sonnecesariamente discontinuas en x = a.

5. Sea

f (x) =

x2 − 2, si x < 0,

−3x2 + 15, si x > 2.

Define una función lineal en el intervalo[0, 2] para que f sea continua, para todox ∈ R.

6. Sea f : [a, b]→ [a, b] continua. Demues-tra que f tiene un punto fijo en [a, b], esdecir, existe un número c ∈ [a, b] tal quef(c) = c.

7. Demuestra que la función

f(x) = x+ x2(x− 1)2

toma el valor 1/2 para algún valor de x.

8. Supón que f : [0, 1] → R es continua,que f no tiene ceros en [0, 1] y f(0) = 2.Demuestra que f(x) > 0 para todox ∈ [0, 1].

9. Demuestra que la ecuación x = cosxtiene una solución en el intervalo [0, π/2].

6

10. Prueba que las gráficas de y = x7 − 2x3

y de y = 3x2 − 4x+ 7 se intersecan.

11. Sea f : [0, 1] → [0, 1] continua tal quef 12

��= 1 y sea g(x) = 4x(1 − x). De-

muestra que f y g coinciden en al menosdos puntos de [0, 1].

12. ¿Es verdadera o falsa la siguiente afir-mación? Sea f : [a, b] → R conti-nua y tal que f(x) �= 0, para todox ∈ [a, b]. Entonces, f(c)f(d) > 0, paratodos c , d ∈ [a, b]. Justifica tu respues-ta.

13. Supón que f y g son continuas en [a, b],y que f(a) > g(a), f(b) < g(b). Pruebaque existe una solución de la ecuaciónf(x) = g(x) en el intervalo (a, b).

14. Considera el mercado de un bien, dondela oferta viene dada por p =

√q − 1,

mientras que la demanda del bien satis-face

p =1

(q + 1)3/5 + 2q1/5+ 10.

Demuestra que existe un nivel de pro-ducción q0 y un precio p0 de equilibrio.

5. Derivadas

1. Traza la gráfica de la derivada de la si-guiente función.

2. La siguiente figura muestra la gráfica dela derivada de una función f . Traza lagráfica de la función f, si se sabe ademásque f(0) = 1.

3. Traza la gráfica de la derivada de la si-guiente función.

7

4. Traza la gráfica de la derivada de la si-guiente función.

5. Sea p =1√q + 1

una función de deman-

da.

a) Encuentra la razón de cambiopromedio del precio p en el inter-valo [3, 3 + h] .

b) Usa el resultado del inciso anteriorpara encontrar la razón de cambioinstantánea en q = 3.

6. Usando la definición de derivada, deter-mina f ′(1), si

f(x) =1

1 + x2.

7. Determina el valor de

lımh→0

(5 + h)37 − 537

h.

Sugerencia: utiliza la definición dederivada.

8. Usando fórmulas encuentra la derivadade cada una de las siguientes funciones:

a)

f(x) =5x+ 1√

x+

1√5

b)

h(y) = y2 + 1

��−y + 5 +

1

y

�

c)

p(q) = qn (a√q + b) , a, b, n constantes

d)

f(v) = αAvρ+b, α, A, ρ, b constantes

e)

x(θ) =tan (θ)

1 + sec (θ)

9. Determina la derivada que se indica encada inciso:

a)dx

dǫ, si x(ǫ) = ǫ2sen(ǫ)− 2ǫ cos (ǫ)

b)d

dc

�c1−σ − 1

1− σ

�,

0 < σ < 1 constante

10. Calcula la derivada que se indica en cadainciso:

a) y ′(−1), si y(u) =u+ 1

(u− 1)(2− u)

b) f ′(π/4), si f(θ) = θ sen (θ) cos (θ)

8

11. Determina los valores de a y b para queexista f ′(1), si

f(x) =

�x2 − 1 , x ≤ 1,

ax+ b , x > 1.

12. Para la función en cada inciso analiza lasderivadas en x = 0. De ahí concluyes queen (0, 0) la curva tiene: a) ¿una esquina?,b) ¿una tangente vertical?, c) ¿un pico?

a) y = x1/3

b) y = x2/3

13. Determina los puntos x donde las si-guientes curvas tienen una tangente ho-rizontal:

a)y = sen(x)

b)y = x+ sen(x)

c)y = 2x+ sen(x)

14. Determina la ecuación de la recta tan-gente a la curva

y =8

x2 + 4

en el punto (2, 1).

15. Encuentra los valores de x para los cualesla recta tangente a f(x) = x − 1

xes

paralela a la recta 2x− y = 5.

16. La función y = ax2 + bx + c pasa porel punto de coordenadas (1, 2) y es tan-gente a la recta y = x en el origen. De-termina a, b, c.

17. Las parábolas y = x2 + ax + b yy = cx − x2 tienen la misma recta tan-gente a sus gráficas en el punto común(1, 0). Determina a, b y c.

18. Encuentra los valores de x para los quef ′′(x) = 0, si f(x) = x3/5(8− x).

19. Calcula Y ′ y Y ′′, si Y = AKα es funciónde K (K > 0) , con A y α constantespositivas. Determina el signo de Y ′ y deY ′′.

6. Regla de la cadena,

tasas relacionadas

1. Calcula la derivada de las siguientes fun-ciones:

a)f(x) =

√3− 5x2

b)

g(x) =�(3x2 + 1)(2x+ 2

√x)�−3

c)

p =q2 + 3

(q − 1)3 + (q + 1)3

d)f(x) = sen

x2�

e)f(x) = sen2 (x)

9

f )

h(x) =1

sen2(x)

g)u(x) = cos4(3x2 − 2)

2. Determina la derivada que se indica encada inciso:

a)d sec2(tan x)

dx

b)d

dv(A (avp + b)q) ,

A, a, b, p, q > 0 constantes

c) T ′(Y ), si T (Y ) = a(bY + c)p

Y+K,

a, b, c,K > 0 y p > 1 constantes

d)dx

dω, si x =

�(εω2 + δ)5 + α,

α, ε, δ constantes

3. Halladx

dppara la función de demanda

x = b−√ap− c,

donde a, b y c son constantes positivas.

4. Seap(x) = (x− a)2 q (x) ,

con q derivable en x = a. Demuestra quep′(a) = 0.

5. Calcula �g ◦ f

�′(0),

si f(0) = 3, f ′(0) = 2, g(3) = 4,g′(3) = 2.

6. Calcula �f ◦ gg

�′(1),

si f ′(2) = g′(1) = f(2) = 1, g(1) = 2.

7. La tasa relativa de cambio de una fun-ción x(t) está dada por el cocientex′

x, en donde x′ =

dx

dt. Encuentra la

tasa relativa de cambio de la funciónx(t) = t2

√2t3 + 5. Simplifica tu res-

puesta.

8. Sean a(t) y b(t) funciones diferenciables.Encuentra y obtén una expresión sim-plificada de la tasa relativa de cambio(x′/x) de las siguientes funciones:

a)x(t) = [a(t)]2 b(t)

b)

x(t) =�[a(t)]α + [b(t)]β

�α+β,

con α, β constantes.

9. Se estima que dentro de t años lapoblación de cierta comunidad subur-bana será de p(t) = 20 − 6

t+1miles de

habitantes. Un estudio ambiental reve-la que el nivel de ozono en el aire seráde O(p) = 1

2

�p2 + p+ 58 PPM (partes

por millón) cuando la población sea dep miles de habitantes. Halla la tasa a laque estará cambiando el nivel de ozonocon respecto al tiempo dentro de 2 años.

10

10. En cierto momento t0 un edificio de 40metros de altura proyecta una sombra de60 metros a lo largo del piso. En ese mo-mento el ángulo θ que el sol forma conel piso está aumentando a una razón de0.05 radianes/minuto. ¿A qué razón estádisminuyendo la sombra?

11. Se suelta un globo en un punto a 150pies alejado de un observador, quien seencuentra en el nivel del piso. Si el globose eleva en línea recta hacia arriba a unavelocidad de 8 pies por segundo, ¿qué tanrápido está aumentando la distancia delobservador al globo cuando este últimose encuentra a 50 pies de altura?

12. Una gasolinera tiene un tanque en for-ma semiesférica con un radio de 3 me-tros para almacenar Premium. El geren-te ha observado que cada noche, des-pués de no servir gasolina por 8 ho-ras, el nivel de la gasolina Premium ba-ja, debido a las filtraciones de gasolinapor el mal estado del depósito. Ciertanoche, cuando el nivel de gasolina era de2 metros de profundidad, el nivel descen-dió en 0.008 metros, esto es, a razón de0.001 metros/hora. Determina la tasa ala que cambia el volumen de la gasolinaen el tanque, cuando su nivel de profun-didad es de 2m. Sugerencia: el volumendel líquido en el depósito semiesférico esV = (π/3) y2 (3R− y), donde R es elradio del tanque y y la profundidad dellíquido.

13. Se vierte arena sobre el piso, que al caertoma la forma de un cono. En todo mo-

mento, el cono conserva las mismas pro-porciones: la altura y el diámetro de labase son siempre iguales entre sí. Deter-mina cómo cambian la altura y el radiodel cono en el instante en que la alturadel cono ha alcanzado los 60 cm, si laarena cae a una tasa de 2 cm3/minuto.

7. Derivada de la función

inversa, derivación im-

plícita

1. Sea f(x) = x3 − 3x2 − 1, donde x ≥ 2y sea f−1(x) la función inversa de f . En-cuentra df−1/dx evaluada en el puntox = − 1 = f(3).

2. Sea f(x) = 2x3 + 5x+ 9 y sea f−1(x) lafunción inversa de f . Encuentra df−1/dxevaluada en el punto x = 2.

3. En los siguientes incisos: i) encuentraf−1(x), ii) dibuja en la misma gráfica lasfunciones f y f−1 y iii) evalúa df/dx enel punto x = a y df−1/dx en el puntox = f(a) para mostrar que en esos pun-tos df−1/dx = 1/ (df/dx) .

11

a)f(x) = 5− 4x, a = 1/2

b)f(x) = 2x2, a = 5

4. Supón que f y g son derivables y quela inversa g−1 existe y es derivable. Sig(−1) = 1, g′(−1) = −2, f(−1) = 2 yf ′(−1) = −2, calcula

(f ◦ g−1)′(1).

5. Sea y = f(x) una función diferenciableque satisface la ecuación

√x+

√y =

√a,

donde a es una constante positiva. En-cuentra y′(x).

6. Halla las coordenadas de los puntos endonde la curva x2+xy+y2 = 7 intersecaal eje x, y prueba que las rectas tangentesa la curva en esos puntos son paralelas.Obtén también los puntos donde la curvatiene tangentes horizontales y verticales.Bosqueja la curva, tomando en cuenta deque se trata de una elipse.

7. Encuentra los puntos de intersección delas curvas x2+ y2 = 2 y x2+xy+ y2 = 1y determina las ecuaciones de las rectastangentes en esos puntos. ¿Son las curvastangentes en esos puntos?

8. Considera las curvas y2 = x3 y2x2 + 3y2 = 5. Demuestra que lascurvas se intersecan perpendicularmenteen los puntos (1, 1) y (1,−1).

9. La relación de demanda de cierto artícu-lo es p2 + pq + q = 45000, en donde p esel precio unitario en pesos y q es la de-manda semanal. Calcula a qué tasa estácambiando la demanda q, si el precio es-tá disminuyendo a razón de 0.10 pesospor semana cuando p = 16.

10. Cuando el precio de un bien es p dólaresel fabricante está dispuesto a producir qmiles de unidades por mes, donde

q2 − 2q√p− p2 + 4 = 0.

Calcula el ritmo mensual al que estácambiando la oferta q cuando el precioes de 4 dólares, si el precio se incremen-ta a una razón de 0.08 dólares por mes.

8. Diferenciales y aproxi-

mación lineal

1. Encuentra la diferencial de la función encada inciso:

a)y(x) = x−2/3 + 5x

b)y(K) = AK1/2

c)

f(v) = αAvρ+b, α, A, ρ, b constantes

d)

r(θ) =sen (θ)

θ

12

2. Sea C(x) = 2000+100x−0.1x2 una fun-ción de costos. Calcula la diferencial dCy el incremento ∆C, cuando x cambia de100 a 100.2 . Interpreta los resultados.

3. Considera el siguiente modelo macro-económico para determinar el ingreso na-cional Y en una economía cerrada:

Y = C + I, (1)C = f(Y ), (2)

en donde C es el consumo e I es la in-versión.

a) De la ecuación (1) calcula la dife-rencial dY en términos de dC y dI.

b) De la ecuación (2) calcula la dife-rencial dC en términos de dY .

c) Combina los resultados anteriorespara encontrar dY en términos dedI.

4. Si Y = f(Y )Y

+I, con f diferenciable, hallala diferencial dY en términos de dI.

5. El costo total de un fabricante está dadopor C(q) = 0.1q3 − 0.5q2 + 500q + 200dólares cuando el nivel de producción esq unidades. El nivel de producción actuales 4 unidades y el fabricante está plane-ando incrementarla a 4.1. Con la diferen-cial dC estima cómo cambiaría el costototal como resultado de ese aumento.

6. En cierta fábrica, la producción diariaes Q = 3000K1/2L1/3 unidades, dondeK es la inversión en capital medidaen miles de dólares y L es el tamaño

de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Supón que la inversión decapital actual es 400 miles de dólaresy que se emplean 1331 horas-trabajadorcada día. Estima la variación en la pro-ducción diaria que tendrá con una inver-sión adicional de capital de 500 dólares,si la fuerza laboral no cambia.

7. El volumen V de sangre que fluye poruna arteria es proporcional a la cuartapotencia del radio R, esto es, V = kR4,con k > 0 una constante. Encuentra ladiferencial del volumen dV en términosde la diferencial del radio dR. Utiliza esteresultado para estimar en cuánto deberíaaumentar el radio para incrementar elflujo de la sangre en un 50%.

8. El director de la Casa de Moneda delBanco Central de Ciudad Gótica debeacuñar monedas conmemorativas de sushéroes y villanos. Como sabe que en lapróxima administración será reemplaza-do, decide tomar por su cuenta una ju-bilación adelantada y fabricar las mone-das con un radio menor. ¿Qué porcenta-je del radio de las monedas puede dis-minuir para que su peso no varíe en másde 0.5%, que es el estándar tolerado? Elespesor de la moneda no puede variar.

9. Considera el modelo de mercado mone-tario, donde la liquidez viene dada porAY 5/4

i1/2,mientras que la oferta real es M

P

donde Y representa al ingreso nacional,i la tasa de interés, M la oferta moneta-ria nominal, P el nivel de precios y A esuna constante positiva. El mercado está

13

en equilibrio si

M

P=

AY 5/4

i1/2.

a) En cierto momento t0 se tiene queP (t0) = 1, Y (t0) = 16,i (t0) = 1.06, Y ′ (t0) = 1.04,i′ (t0) = 0 y P ′ (t0) = 1.03.Calcula M ′ (t0) , si el mercado per-manece en equilibrio.

b) En otro momento se tiene queP = 1.2, Y = 25, i = 1.06 yque la Reserva Federal sube su tasade interés, de manera que el Bancode México se ve obligado a subir latasa de interés de 1.06 a 1.07. Bajocondiciones de equilibrio, ¿cómo severá afectado el nivel de precios P,si tanto la oferta monetaria nomi-nal M como el ingreso nacional Ypermanecen constantes?

10. Demuestra que la aproximación linealpara la función f (x) = (1 + x)k enx = 0 es L (x) = 1 + kx. Usa es-ta aproximación para estimar 3

√1.0003 y

(0.99904)7/5 .

11. Supón que f es una función que satisfacef(3) = 8 y f ′(3) = 1

4. Usa esta informa-

ción para aproximar f(3.08).

9. Teorema del valor

medio

1. Determina si el teorema del valor mediopodría aplicarse, o no, a cada una de las

siguientes funciones. Si no, explica cuáleshipótesis del teorema no se cumplen:

a)

f(x) = x2/3, en c ∈ [−1, 8]

b)

g(x) =

3x+ 5, 5 ≤ x < 7,−2 x = 7.

2. La media aritmética de dos números ay b es el número (a + b)/2. Demuestraque el valor c en la conclusión del teore-ma del valor medio para f(x) = x2 en elintervalo [a, b] es precisamente la mediaaritmética de a y b.

3. La media geométrica de dos númerospositivos a y b es el número

√ab.

Demuestra que el valor c en la con-clusión del teorema del valor medio paraf(x) = 1/x en el intervalo [a, b] es pre-cisamente la media geométrica de a y b.

4. Sean f, g : [a, b] → R continuas y de-rivables en (a, b) tales que f(a) = g(a)y f(b) = g(b). Demuestra que existec ∈ (a, b) tal que f ′(c) = g′(c).

5. Sea f : [a, b] → R continua y derivableen (a, b). Si f(b) < f(a), prueba entoncesque existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) < 0.

6. Sea f : R → R derivable. Supón queexiste c ∈ R tal que f ′(x) < 0 six ∈ (−∞, c) y f ′(x) > 0 si x ∈ (c,∞).Prueba que f alcanza su mínimo absolu-to en x = c.

14

7. Sea f : [−8, 27] → R definida porf(x) = x2/3. ¿Por qué no se satisface laconclusión del Teorema del Valor Medio?

8. Sean f, g : [a,∞) → R continuas y deri-vables en (a,∞), tales que f(a) = g(a) yf ′(x) < g′(x), para todo x ∈ R. Pruebaque f(x) < g(x), para todo x ∈ (a,∞).

9. Sea f : [a, b] → R continua y derivableen (a, b). Prueba que f es inyectiva sif ′(x) �= 0, para todo x ∈ (a, b).

10. Sea f : [a, b] → R continua y derivableen (a, b) y tal que |f ′(x)| ≤M para todox ∈ (a, b). Demuestra que

|f(x)− f(y)| ≤M |x− y|,

para todos x, y ∈ [a, b].

11. Sea f : [a, b] → R continua y derivableen (a, b) y tal que f ′(x) �= 0, para todox ∈ (a, b) y f(a)f(b) < 0. Pruebaque existe un único c ∈ (a, b) tal quef(c) = 0.

12. Sea f : [a, b] → R continua y derivabledos veces en (a, b). Supón que f tienetres raíces en [a, b]. Prueba que f ′ tieneal menos dos raíces en (a, b), y que f ′′

tiene al menos una raíz en (a, b).

13. Demuestra que un polinomio cúbicoAx3+Bx2+Cx+D no puede tener másde tres raíces reales.

10. Funciones exponen-

ciales y logarítmicas

1. A partir de la gráfica de y = ex bosquejalas gráficas de las siguientes funciones:

a)y = ex−2

b)y = −3ex + 5

c)y = 3e−x + 5

d)y = e|x|

e)y = e−|x|

2. Encuentra el dominio y la imagen de lafunción

f(x) = e−√x2−4.

3. En cada inciso determina el límite quese indica. En caso de no existir, muestrapor qué.

a)

límx→∞

3ex + e−x

ex − 4e−x

b)

límx→−∞

3ex + e−x

ex − 4e−x

c)

límx→∞

ex

1 + e2x

15

d)

límx→−∞

ex

1 + e2x

e)

límx→−∞

1

1 + e−x2

4. Encuentra la derivada de las siguientesfunciones:

a)

f(x) =1√e9x2

b)

f(x) = e2/x +1

e2x

c)f(x) = ee

x

d)

f(θ) =eθ

3 − 1�1/3

e)f(ρ) = (ρ2 − 2ρ+ 2)e−2ρ

f )

f(α) =e−α/3

1− e−α/3

g)

u = A 1− βeα/θ

�θ, A, β, θ constantes

5. A partir de la gráfica de y = ln(x)bosqueja las gráficas de las siguientesfunciones:

a)y = ln(x− 2)

b)y = ln(1/x)

c)y = ln(−x)

d)y = ln |x|

e)y = |ln(x)|

6. Determina el dominio de cada una de lassiguientes funciones:

a)

f(x) = ln

�3x− 1

x− 1

�

b)

f(x) =1

ln(ln x)− 1

7. Determina el dominio y la imagen de ca-da una de las siguientes funciones:

a)f(x) = ln

2− e−x

�

b)f(x) = e−

√1−lnx

8. En cada inciso determina el límite quese indica. En caso de no existir, muestrapor qué.

a)

límx→0+

ln x

1 + ln2 x

16

b)

límx→∞

ln x

1 + ln2 x

9. Despeja la variable t en cada una de lassiguientes expresiones:

a)

ln(t2 − 1) = ln x+ ln(t+ 1)

b)

k = k0(1 + r)t, con k, k0, r > 0

c)e2 lnx−ln t − 1 = ex

d)e−x+ln(1−t) − t = 0

e)

x =e2t

1 + e2t

10. En cada inciso despeja la variable y yluego esboza la gráfica de la función y(x):

a)x+ ey = 2

b)x− e−y = 0

c)ln x+ y = 1

d)x+ ln y = 1

11. Encuentra la derivada de cada una de lassiguientes funciones:

a)

f(t) =ln(1/t)

t+ t√ln t

b)

f(θ) = ln

�e3θ

1 + e3θ

�

c)f(x) = |ln x| , x �= 1

d)

f(x) = ln

�2− 3x

x4

�3

e)

f(x) =

�ln

�2− 3x

x4

��3

f )f(t) = et

2 ln t

g)

f(x) =�e(lnx)

4

h)

f(x) =e√lnx�2

12. Encuentra dy/dx, si:

a)

y =

� √1 + x

(1− x)3(1− 4x)x10

�1/5

b)

y =

�e8x−2

�(2x− 1)3

22x (ln 2)2 (ln x)

17

c)y = ln(xy2)

d)xey + 2x = ln y

e)ln(y/x) = e2x+y

13. Encuentra y grafica la linealización L(x)de la función f(x) = ex alrededor dex = 0. Calcula con ella una aproxi-mación a e1/10 y e−3/100.

14. Encuentra y grafica la linealización L(x)de la función g(x) = ln(1 + x) alrededorde x = 0. Calcula con ella una aproxi-mación a ln(1.002) y ln(0.99).

15. Una máquina se deprecia de modo quesu valor P (t) después de t años está dadopor P (t) = P0e

−0.04t.

a) ¿Qué representa la constante P0?

b) Si se sabe que después de 20 años lamáquina tiene un valor comercial de$8986.58, ¿cuál es el valor de P0?

16. La población P (t) de desempleadosdespués de t semanas de una crisiseconómica está dada por P (t) = P0e

kt,donde P0 denota los desempleados al ini-cio de la crisis y k es una constante posi-tiva.

a) Determina la tasa de incremento se-manal de los desempleados despuésde dos semanas de crisis.

b) ¿En qué tiempo se habrá triplicadoel número de desempleados?

17. Los expertos de la Secretaría de Saludestiman que t semanas después del brotecierta gripe habrá un total de

P (t) =20

1 + 19e−1.2t

miles de personas contagiadas.

a) ¿En qué semana la población de en-fermos será de 12000 personas?

b) Determina el número de personasque en el largo plazo contraerán laenfermedad.

c) Determina el ritmo al que aumentael número de enfermos después de1, 2, 4, 6 y 8 semanas.

11. Exponenciales y loga-

ritmos en otras bases

1. Encuentra el valor de x que satisface laecuación 3log3 x

2

= 5elnx − 3 · 10log10(2).

2. Despeja y en cada una de las siguientesexpresiones:

a)log3(10 log2 y) = log3(5x)

b)2− log2 y = 5e− ln y − 4log2 3

c)

x =2y

2y + 1

18

3. Encuentra la derivada de cada una de lassiguientes funciones:

a)y(x) = log2 5

b)

f(x) = log3

�x+ 1

x− 1

�ln 3

c)

k(t) = k01 +

r

4

�4t, con k0, r > 0

4. Encuentra dy/dx, si:

a)y = (x+ 1)

√2x

b)y = (ln x)x

c)y = (2x + 1)1/x

d)y =

21/x + 1

�x

e)

y =1

(2 + e3x)x

f )y = (1 + x)x − x2x

5. Calcula u′(ρ), si

u(ρ) = (xρ + yρ)1/ρ ,

con x y y constantes positivas.

6. Calcula F ′(α) si

F (α) = c

�NαKα

Nα + bKα

�ν/α,

donde b, c,N,K y ν son todas constantespositivas.

7. Sea K0 el capital inicial en una inversióny sea K(t) el monto de la inversión alaño t. Demuestra que un plan de capi-talización semestral, K(t) = K0(1+

r2)2t,

es más conveniente que uno de capitali-zación anual, K(t) = K0(1+ r)t, dada lamisma tasa de interés r.

12. Gráficas de funciones

1. Para la función en cada inciso determi-na el dominio, puntos críticos, intervalosde crecimiento y decrecimiento, interva-los de concavidad y convexidad, puntosde inflexión, extremos locales y globales.Indica si tiene términos dominantes yseñala si tiene asíntotas verticales, hori-zontales u oblicuas. Traza la gráfica.

a)y = x4 − 3x2 − 4

b)

y =2x

3x2 + 1

c)y =

x

(x+ 1)2

d)

y =x+ 1√

x

19

e)

y =x3 − 1

x2 − 1

f )y = x1/2(2− x)3/2

g)y = x5/3 + 5x2/3

2. Traza la gráfica de las siguientes fun-ciones (utiliza los mismos criterios queen el ejercicio anterior).

a)y = e−x

2

b)

y =20

1 + 19e−x

c)

y =2

1− e−x

d)ex + ey = 4

e)

e−x + e−y =1

2

f )y = x2 + 2 ln(x+ 2)

g)

y = ln

�4

x2 − 4

�

3. Grafica y = xe−x. Sugerencia: utiliza elhecho que lím

x→∞xe−x = 0.

4. Grafica y = x ln(x5). Sugerencia: utilizael hecho que lím

x→0+(x lnx) = 0.

5. Grafica y =ln x

x2. Sugerencia: utiliza el

hecho que límx→∞

�ln x

x2

�= 0.

6. En un modelo económico la inflación πal tiempo t está dada por

π(t) = a+ k e−ct − 1

�,

en donde a, k y c son constantes positi-vas, con k < a.

a) Calcula π(0) y lımt→∞

π(t).

b) Determina π′(t), π′′(t), y grafica lafunción π(t).

13. Optimización

1. Encuentra los valores extremos de cadafunción en el intervalo dado y determinadónde se alcanzan.

a)

f(x) =√16− x2, − 2 ≤ x ≤ 4

b)

f(x) =−2x4

, − 2 ≤ x ≤ −1/2

c)

f(x) = x4/3, − 1 ≤ x ≤ 8

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2. ¿Qué valores de a y b hacen quef(x) = x3 + ax2 + bx tenga unmínimo local en x = 4 y un punto deinflexión en x = 1?

3. Sea f ′(x) = (x− 1)2 (x− 2) (x− 4).Determina las abscisas de los puntos enlos que la gráfica de f tiene máximos re-lativos, mínimos relativos y puntos de in-flexión.

4. Determina las restricciones de sig-no que hay que imponer a A, B yC para que la función de beneficiosπ(q) = Aq2 + Bq + C, donde q sonlas unidades producidas, satisfaga todoslos siguientes supuestos:

a) Si no hay producción, entonces elbeneficio es negativo.

b) π es una función cóncava en todovalor de q.

c) El beneficio máximo se alcanza enalgún q positivo.

5. Una ventana debe tener la forma de unrectángulo, rematado en la parte supe-rior por un semicírculo, y debe tenerperímetro p. Encuentra las dimensionesque hacen que la ventana admita másluz, esto es, que tenga área máxima.

6. Si C(q) es la función de costos de unaempresa, entonces su costo promedio sedefine como C(q)/q. La competencia en-tre las diversas empresas obliga a éstas aproducir con costos promedio mínimos.Demuestra que si q∗ es el nivel de pro-ducción que minimiza el costo promedio,

entonces el costo marginal es igual al cos-to promedio.

7. Una compañía de juguetes determinóque sus costos totales para producir qjuguetes son C (q) = aq3 + cq + d,donde p es el precio de venta por unidady donde a, c, d son constantes positivas.

a) Determina el costo marginal y elcosto promedio con respecto a q.

b) Obtén la producción q∗ que mini-miza el costo promedio y luego ver-ifica que las curvas de costo mar-ginal y costo promedio se intersecanprecisamente en q∗.

8. La demanda de cierto artículo fa-bricado por un monopolista satisfacep = 200 − 3q − t y la función decosto es C (q) = 75 + 80q − q2,0 ≤ q ≤ 40, donde p denota el preciode venta de cada artículo, q el nivel deproducción y t el impuesto de venta.

a) Determina la función de benefi-cio del fabricante y encuentra elnúmero de unidades q que maxi-miza el beneficio del fabricante, ex-presada como función de t.

b) Expresa el ingreso percibido por elgobierno como función de t cuan-do el fabricante fija su producción qal nivel encontrado en el inciso an-terior. Determina el valor de t quemaximiza el ingreso del gobierno.

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9. Un anuncio publicitario debe tener 50cm2 de material impreso con 4 cm demargen arriba y abajo y con 2 cm demargen a los lados. ¿Qué dimensionesdebe tener el anuncio que requiera demenor cantidad de papel?

10. Una empresa de servicios turísticosofrece un tour de antros con barra li-bre y transporte. La empresa incurre enun costo fijo de $6,000 y un costo adi-cional de $32 por persona. Determinael número óptimo de personas que con-tratan el tour con que la empresa max-imiza su beneficio, sabiendo que la em-presa ofrece las siguientes tarifas:

a) $200 por persona si van 50 per-sonas al recorrido (el número míni-mo para contratar sus servicios).

b) Por cada persona adicional, hastaun máximo de 80 personas, la tarifapor persona se reduce en $2.

11. Determina las coordenadas del punto so-bre la gráfica de y = 8x2 + 1

xen el que

la pendiente de la recta tangente alcanzaun máximo relativo, así como dicho má-ximo relativo. ¿Podría haber un máximoabsoluto?

12. Determina las coordenadas del punto so-bre la recta y = mx+ b (b �= 0) que estámás próximo al origen, así como esa dis-tancia mínima. (Sugerencia: minimiza ladistancia al cuadrado).

13. Un joven enamorado decide ayudar a suhermosa y fiel amante para que se fugue

de la celda del convento en donde estáencerrada. El edificio de las celdas estárodeado por una barda que tiene 6 me-tros de altura y que se encuentra a 18metros del edificio de las celdas. El plande fuga consiste en colocar una resbala-dilla que se apoye en la barda y lleguehasta el edificio de las celdas. ¿Cuál esla longitud mínima de esta resbaladilla?

14. Encuentra el punto de la curva y =√x

más cercano al punto 12, 16�. ¿Cuál es

la distancia mínima?

15. Determina el área máxima, así como lalongitud correspondiente de los catetosque puede tener un triángulo rectángulocuya hipotenusa mide 5 unidades.

16. Sea m ∈ (1,∞) constante. Prueba que(desigualdad de Bernoulli)

(1+x)m ≥ 1+mx, para todo x ≥ −1.

Sugerencia: obtén el mínimo de la fun-ción f(x) = (1 + x)m − mx en elintervalo [−1,∞).

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BIBLIOGRAFÍA:

Matemáticas para el Análisis Económico.K. Sydsaeter, P.J. Hammond, A. Carvajal.Pearson, 2a edición, 2012.

Essential Mathematics for EconomicAnalysis. K. Sydsaeter, P.J. Hammond.Prentice Hall, 3rd. edition, 2008.

Cálculo. G.B. Thomas. Addison Wesley,Tomos I y II, 12a edición, 2010.

Álgebra y Trigonometría con GeometríaAnalítica. E.W. Swokoswki, J.A. Cole. In-ternational Thomson Editores, 11a edición,2006.

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