7/25/2019 Guia6_16

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Mecanica Estadstica Ano 2016

Gua N

6: Estadstica de FermiDirac

1. Para un gas de fermiones libres sin interaccion contenidos en un volumen V a temperaturaT pruebe:

(a) la relacionz

Tv =

3

2

z

T

f3/2(z)

f1/2(z) ,

dondezes la fugacidad,v el volumen especfico,T la temperatura yf3/2(z),f1/2(z) son lasfunciones de Fermi.

(b) Haciendo uso de la relacion anterior, pruebe que el calor especfico para un gas ideal deFermi viene dado por

CV =N k

15

4

f5/2(z)

f3/2(z)

9

4

f3/2(z)

f1/2(z)

.

(c) Pruebe que la energa interna, la energa libre y la entropa estan dadas respectivamentepor

U=3

2NkT

f5/2(z)

f3/2(z),

A= N kT

ln z

f5/2(z)

f3/2(z)

,

S=N k

5

2

f5/2(z)

f3/2(z) ln z

.

2. Para un gas ideal de Nelectrones en un volumen V:

(a) Calcule la energa de Fermi.

(b) Calcule la energa total E a temperatura T = 0.

(c) Muestre que para cualquier temperatura se cumple E= 3P V /2. Usando esta relacion ylo hallado en b), encuentre una expresion para la presionP aT= 0, donden = 1/v= N/V.

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3. Determine para un gas ideal de fermiones a bajas temperaturas el potencial qumico, laenerga interna U, la ecuacion de estado y el calor especficoCVen los siguientes casos:

(a) el gas esta totalmente degenerado (T= 0 K),

(b) la degeneracion es suficientemente alta (T= 0 K) (realice el calculo a primer orden, es

decir, a orden T2 en la energa).

4. Considere un gas de electrones en el lmite ultrarrelativista. En este caso la energa de unapartcula esta relacionada con su impulso mediante = cp.

(a) Obtenga la relacion entre energa media Ey numero de partculas Npara T=0.

(b) Muestre que es valida la ecuacion de estado P V =E/3.

(c) Obtenga el potencial qumico (T) al menor orden no nulo en la temperatura.

(d) Calcule la energa de Fermi.

5. Demuestre que la expresion del potencial qumico clasicoc a T= 0 es

c =kTln

n

g3T

donde n es la densidad total, g la degeneracion del nivel yT la longitud de onda termica.

6. Suponga que la densidad de estados de electrones en alguna muestra es constante D para >0 (D= 0 para

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8. Sea un gas de electrones que pueden moverse en dos dimensiones sobre un areaA.

(a) Encuentre una expresion paraP/kTen funcion de la temperatura y el potencial qumico.

(b) Encuentre la energa de Fermi en terminos del numero medio de partculas a temperaturacero.

(c) Muestre que el potencial qumico viene dado, como funcion de la temperatura, por:

(T) =F{1 + 1

Fln(1 eF)}.

(d) Calcule el calor especfico cuando el sistema esta altamente degenerado y muestre quees proporcional a la temperatura.

9. (a) A partir de la expresion general del gran potencial para partculas de FD

lnZ=

ln(1 + e()),

muestre que para un gas no relativista en el lmite termodinamico y de bajas temperaturas

lnZ=2

5

V

kT

5/2 +

52

8 1/2(kT)2

,

donde es una constante que depende del espn y de la masa de las partculas. Sugerencia:Habra que hacer primero una integracion por partes y luego usar el lema de Sommerfeld.

(b) Tomando las derivadas adecuadas, calcule N,EyPy verifique la relacionP V = 2E/3.

(c) Defina x = N/(V) y encuentre el potencial qumico (x, T) hasta orden (kT)

2

. Apartir de este resultado encuentre E(x, T) hasta el mismo orden. En particular, escriba lasexpresiones que resultan para , U yP aT = 0.

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