1. Pgina 1Enrique Troyo del ValleCOLEGIOMIRAFLORESGUIA FINALMATEMTICAS IIIENRIQUE TROYO DEL VALLE

2. Pgina 2Enrique Troyo del ValleGua para examen final. Terceros.En esta gua hay ejercicios y desarrollo de algunos temas similares a lo que se ha hecho enclase. El orden no es perfectamente lgico y es porque no te pongo en la mano un libro detexto para explicar el tema; ms bien me he permitido tomar en cuenta que ya hemos vistotodo en clase, por lo que te doy algunos ejercicios con ejemplos y en ocasiones encontrars eldesarrollo de alguna(s) parte(s) del tema. Es una gua pensada para que intelectualmentepuedas recorrer los contenidos del ao y pases por los puntos que seguramente te preguntaren examen final.TEMA. Ecuacin lineal. Funcin lineal. Sistemas de ecuaciones lineales.HABILIDADES.H1. Cambiar una ecuacin de su forma general a su forma ordinariay a su forma pendiente-ordenada al origen .H2. Realizar la grfica de una ecuacin lineal en su forma general , en suforma ordinaria o en su forma pendiente-ordenada al origen . Puedehacerlo en una tabla en la que dos puntos son suficientes; o bien pueden sustituirseEJERCICIO. Simplifique, grafique, y exprese las otras dos formas de las siguientes ecuaciones,de acuerdo al ejemplo siguiente:Ejemplo: construir la representacin grfica de la ecuacin, 3x 1 = x + 3- Se resuelve la ecuacin.- Se representa la solucin de la ecuacin mediante una funcin lineal,igualando a cero la solucin algebraica y sustituyendo posteriormente elcero por .- Se construye una tabulacin asignndole valores arbitrarios a la variableindependiente (x) que se sustituyen en la funcin lineal para obtener losvalores de la variable dependiente (y), y as formar puntos de paresordenados que al unirlos en el plano, dan lugar a una lnea recta.xy = x 2 y P(x,y)1012345y = 1 2y = 0 2y = 1 2y = 2 2y = 3 2y = 4 2y = 5 23210123P1(1,3)P2(0,2)P3(1,1)P4(2,0)P5(3,1)P6(4,2)P7(5,3) 3. Pgina 3Enrique Troyo del Valle- Se grafican los puntos P(x,y) en el plano cartesiano uniendo cada uno de ellos.La solucin o raz de la ecuacin es el valor de la abscisa (x) en la interseccin dela recta con el eje de las abscisas del plano, es decir x = 2 ; las coordenadas delpunto solucin S(x,y) correspondiente a dicha interseccin, es S(2,0).EJERCICIO. Simplificar, resolver y graficar:1.2.3.EJERCICIO. Resuelva los siguientes problemas:1. Hace 5 aos la edad de una persona era el triple de la de otra, y dentro de5 aos ser el doble. Halla las edades de cada una de las personas.2. Calcula las dimensiones de un rectngulo cuyo permetro mide 80 m. y laaltura es de la base.3. Un jurado est compuesto por hombres y mujeres. El nmero de mujereses igual al doble de hombres menos 4. Con dos mujeres menos el juradotendra el mismo nmero de hombres que de mujeres. Cuntos hombresy mujeres habra en el jurado?4. En un corral hay conejos y gallinas, que hacen un total de 61 cabezas y196 patas. Halla el nmero de conejos y de gallinas.Determinar la ecuacin de una recta que pasa por dos puntos y .EJEMPLO. Diga las tres formas de la ecuacin que pasa por y por. Grafique.Usando la frmula 4. Pgina 4Enrique Troyo del ValleSustituyendo, tenemosSimplificandoforma generalforma ordinariaforma ordenada al origen-pendienteEjercicio. Grafique y halle las 3 formas de las ecuaciones de las rectas que pasan por A y B, porA y C, por B y C ( y , respectivamente).EJEMPLO. Grafique a la ecuacin . Sustituyendo separadamenteen la ecuacin , .Tenemos que sientonces ,de donde .Hay un puntoDel mismo modo, si ,entonces ,por lo que .Hay un punto en 5. Pgina 5Enrique Troyo del VallePor dos puntos diferentes pasa una y slo una recta. Dos puntos son suficientespara construir una recta. Graficando y uniendo con , tenemos:FUNCIONES LINEALES.El mismo procedimiento para la obtencin de la regla de correspondencia o ecuacin puedeusarse para funciones lineales en las que se apliquen relaciones similares. Tambin se puedeencontrar esta regla de asociacin conociendo la pendiente y la ordenada al origen.Un procedimiento es idntico al mostrado en el ejemplo de la seccin ecuacin que pasa pordos puntos. Se coloca la ecuacin en la forma ordenada al origen-pendiente y se sustituyepor , quedando as:Si quiere encontrar la regla de asociacin usando pendiente y ordenada al origen, como ya sehizo durante el ao escolar, revise los prrafos siguientes. El ejemplo ilustrativo ser el de loscostos. Mencionamos por lo pronto que el costo es la expresin cuantitativa monetariarepresentativa del consumo necesario de factores de la produccin que se emplean paraproducir un bien o prestar un servicio. Los costos de produccin de un bien o de prestacin deun servicio tienen componentes que para ser entendidos de la manera ms sencilla se lesatribuir un comportamiento lineal. Las funciones lineales son importantsimas en el anlisisde fenmenos econmicos. Hay costos fijos y costos variables. Los costos fijos no dependende cunto se produzca: la renta, el pago de servicios y/o impuestos, la depreciacin, etc.). Loscostos variables se asocian a la produccin (insumos y mano de obra). El costo total es lasuma de los costos fijos y variables.=Si a los costos fijos los llamamos pesos y suponemos que el costo por produccin de unidades de pesos, entonces los costos totales dependen (estn en relacin funcional) de lacantidad de unidades producidas. El costo por producir unidades es de pesos. Entonces lafuncin C del costo total se define as: 6. Pgina 6Enrique Troyo del ValleEJEMPLO: El costo variable de fabricar juntas para motor es de $2 por unidad ylos costos fijos por da son de $30. Escriba la frmula de costo total y construya sugrfica. Cunto cuesta fabricar 25 juntas para motor por da?Solucin El costo total de fabricar x juntas para motor en un da esEl costo total de fabricar 25 juntas para motor por da es de $ 80.Los ejemplos que se trabajaron en clase trataban sobre tarifas de telefona fija talesque cobraban renta y una cantidad por cada minuto de uso de la lnea. Se ocupabams de una compaa con la finalidad de comparar costos y encontrar en cuantotiempo stos eran iguales. Se encontraba esto resolviendo un sistema deecuaciones, utilizando cualquiera de los mtodos (igualacin, sustitucin, perosobre todo eliminacin por suma y resta, determinantes).EJERCICIOS.1. Encuentre la funcin del costo de las compaas A y B dado que los costos fijosde renta ascienden a $290 y $185, respectivamente; el costo por minuto dellamada es de $0.75 y de $1.10, respectivamente. Grafquelas en el mismo planoutilizando geogebra1o wolfram alpha2introduciendo la ecuacin en la lneacorrespondiente. Posteriormente encuentre por el mtodo de igualacin el tiempoen minutos en el cual los costos son los mismos en las dos compaas; diga elcosto. Relacione el tiempo y el dinero con coordenadas especficas de la grfica.1http://www.geogebra.org/cms/en/download2http://www.wolframalpha.com/ 7. Pgina 7Enrique Troyo del Valle2. Los costos diarios de produccin de una fbrica de componentes electrnicos,para x nmero de unidades, son deCada componente se vende en $2.35. Encuentre el punto de equilibrio3y la facturacin diariacorrespondiente. Grafique en wlfram alpha o en geogebra.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.Como pueden ver, ya estamos tocando el tema de Sistemas de Ecuaciones lineales. Notocaremos la teora ni el desarrollo de cada mtodo. Slo los mencionaremos: igualacin,sustitucin, eliminacin por suma y resta, determinantes y grfico (aproximado, abordado enel apartado anterior). La nica idea central a desarrollar es que a cada una de las ecuacionesy le corresponde una grfica, una recta si es lineal. Toda grfica est compuesta de puntosP cuyas coordenadas al ser sustituidas en la ecuacin la hacen verdadera. Si las rectasse cruzan por no ser paralelas, entonces existe un punto tal que pertenece a las dosrectas; satisface entonces a ambas ecuaciones. Los valores de las coordenadas son la solucindel sistema.La grfica de una ecuacin se hace en un plano o espacio con tantas dimensiones comoincgnitas tiene la ecuacin. No podemos graficar espacios con ms de 3 dimensiones.Algo muy importante es que una ecuacin no se altera en su grfica o en sus soluciones si se lemultiplica a sus dos miembros por el mismo nmero. Se obtiene un mltiplo de la ecuacin.Como les he dicho coloquialmente en clase: es la misma, pero disfrazada.Revisando las grficas, tenemos:3El punto de equilibrio, en trminos de contabilidad de costos, es aquel punto de actividad (volumen deventas) donde los ingresos totales son iguales a los costos totales, es decir, el punto de actividad dondeno existe utilidad ni prdida. (http://www.crecenegocios.com/el-punto-de-equilibrio/, consultado el 5de mayo de 2011) 8. Pgina 8Enrique Troyo del ValleEjercicio. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones/funciones lineales. Uno por cadamtodo. Grafique nicamente los de dos variables (2 a mano, 3 a computadora).EJERCICIO.Encuentre las ecuaciones y la interseccin de sus grficas, las rectas , que pasa pory , y la recta , con y . Grafique por computadora ycoloque el punto sobre la grfica en la posicin de la solucin.Los problemas regularmente se presentan de manera verbal y describen relaciones quepueden ser escritas en formato matemtico como ecuaciones. A cada ecuacin le correspondeuna grfica, y el punto donde se cortan estas tiene coordenadas que son la solucin delsistema.PROBLEMAS.Procedimiento: Definir variables, plantear ecuaciones, resolver por un mtodo diferente cadavez. Grafique cuatro que Ud. escoja, nombre los ejes adecuadamente con la variable utilizada:1. Un mecnico gana $45 por cada cambio de aceite y $100 por cadacambio de balata. Si necesita $705 diarios y tiene que hacer el triple de cambiosde aceite que de balatas, entonces cuntos servicios de cada tipo debe hacer?2. Juan Topo abri una tienda y le invirti $5000.00 para poder abrir.Adems compr metros cuadrados de alfombra a un costo de $8.00/m. El vendeal pblico cada metro a $18.00 cada metro cuadrado. Cuntos metros cuadradosde alfombra debe vender para recuperar el monto de su inversin inicial y sucompra de material?3. Si eres el director de RRHH y debes hacer los horarios de lostrabajadores, se deben cumplir ciertas condiciones. Tres trabajadores debenacumular 110 horas de trabajo semanales. El trabajador A debe trabajar 5 horasms que el trabajador B y ste a su vez debe trabajar 15 horas ms que eltrabajador C. Cuntas horas debe trabajar cada uno? 9. Pgina 9Enrique Troyo del Valle4. Los costos de renta de auto por un da de dos proveedores se describenpor las ecuaciones en las que c es el costo en dlares y n es el nmero dekilmetros recorridosA:B:Describe cada plan verbalmente. Cuntos kilmetros se recorren en ambosplanes para que se pague lo mismo por cualquiera? Cunto se pagara en dichocaso ? Cul plan escogeras si necesitas manejar unos 90 km?5. Un cargamento de 20 televisiones pesa 880kg. Algunas pesan 5okg yotras 30kg Cuntas hay de cada tipo?6. Tu examen tiene 100 aciertos en 29 preguntas. Las de opcin mltiplevalen 2 aciertos, y los problemas 5aciertos. Cuntas preguntas de cada tipo hay?7. Se te presentan dos ofertas de trabajo en ventas en EU. La opcin A teofrece un salario anual de 30,000USD y un bono del 1%de tus ventas. La otraopcin te da sueldo fijo de 24,000 anuales y un bono del 2%de tus ventas del ao.Cunto tienes que vender para ganar lo mismo con cualquier trabajo? Por otraparte, si t crees que puedes vender de 500,000 a 800,000 de mercanca en unao, cul trabajo te conviene?8. En la pista de atletismo corres y trotas durante hora y media. El trote esa 4 mi/h y el sprint a 6 mi/h. Al final sabes que recorriste 7 millas. Cunto tiempocorriste y cunto tiempo trotaste?9. Se invierten $250,000.00 en tres fondos de inversin cuyas tasas deinters anuales son, respectivamente 5%, 7% y 9% En el primer instrumento sepone el doble de dinero que en el segundo. Los rendimientos despus de un aoson de $17,700.00 Diga cunto se deposit en cada fondo. 10. Pgina 10Enrique Troyo del ValleCRECIMIENTO EXPONENCIALEs aquel que se describe con una ecuacin o funcin en la cual la variable acta comoexponente. Sirve para describir cosas tan comunes e importantes como los intereses bancario(compuesto), el crecimiento de las poblaciones de cualquier especie, el crecimiento econmicode un pas, etc.EJEMPLOEn una cuenta hay un capital de $25,000.- Se invierte a un rdito anual del 7%. Slo seconsideran capitalizaciones anuales para simplificar y eliminar la variable n4convirtindola en1. Calcular y graficar el monto alcanzado cuando el tiempo t es igual aDatos:Frmula:tiempo Monto0 250001 267503 30626.085 35063.79-2 49178.7815 68975.7920 96742.114La frmula del inters compuesto es . Simplificando con , queda as: 11. Pgina 11Enrique Troyo del VallePROBLEMAS.1. Una cuenta tiene recursos por $50,000. Cada mes tiene rendimientos del 0.6% por conceptode intereses. Diga el monto despus de 1, 5, 10, 15, 20 aos. Extra: diga la tasa de intersanual. Grafique.2. Un coche se compra en la agencia por $275,000.- Cada ao pierde el 20% de su valor5. Digasu costo cada 2 aos, hasta 10 de antigedad. Grafique.3. Compare el Producto Interno Bruto (en adelante PIB) de EEUU y China con los siguientesdatos:Si cada ao crecen al 2.5% y 9%, calcule sus PIB dentro de 1, 5, 10, 15, 20 aos. Grafique.4. Las bacterias se reproducen muy rpido, siempre que tengan alimento suficiente. En uninstante determinado sembramos 50 bacterias en un cultivo. Estas bacterias se reproducen,duplicandose cada 25 minutos. Haga una tabla donde hayan 10 valores bien distribuidos y queel mayor dato se aproxime a 10 millones de bacterias. Grafique.5En problemas de devaluacin la tasa se resta del 1 que es el 100% 12. Pgina 12Enrique Troyo del ValleECUACION DE SEGUNDO GRADO.El grado de una ecuacin depende del mayor exponente al que est elevada la variable. Seasocia a cada grado de la variable un trmino constante que se multiplica. Se les nombratpicamente Cuando se ordenan por grado y se igualan a cero tenemos la forma generalde la ecuacin de segundo grado:La solucin de la ecuacin son los valores que se le pueden dar a la variable para que al sersustituidos por sta, hagan verdadera a la ecuacin. Por ejemplo, s es solucin de, pero no lo es. Veamos:Hay varios mtodos para resolver la ecuacin de segundo grado: frmula general aplicasiempre, factorizacin slo da soluciones que sean enteros o fracciones, completar cuadradosaplica siempre. Revsalos en tu cuaderno y estdialos por favor.Por teorema fundamental del lgebra se sabe que la ecuacin de segundo grado puede tenerhasta dos soluciones reales diferentes, dos soluciones reales iguales (tambin se podra decirque es una solucin), o bien dos soluciones complejas diferentes. Revisa las ideas relativas aldiscriminante. Relacinalas con la forma de la grfica cuando se iguala la forma general con ,quedando del siguiente modo . Entonces se puede saber si la grfica corta(2 puntos), toca (1 punto) o no (0 puntos) al eje x. No olvides que al hacer la grfica de unaecuacin de segundo grado la direccin en la que abre la grfica llamada parbola depende delsigno del coeficiente cuadrtico. Si es positivo, abre hacia arriba; si es negativo, hacia abajo.Como ejercicio de aplicacin te puede servir el siguiente 13. Pgina 13Enrique Troyo del ValleEJERCICIO. Relacione lassiguientes grficas con lasecuaciones tomando en cuentael valor del discriminante y elsigno del coeficientecuadrtico.Ecuaciones:Resuelve las siguientes ecuaciones. Una por cada mtodo. Anota la comprobacinsustituyendo 1 de los valores. Grafica al sustituir en lugar de 0 en la forma general de laecuacin.EJEMPLO.Resolver, comprobar y graficar:, completando cuadrados Aplicando raz a ambos miembros de laecuacinComprobacin. Sustituir 7 en la ecuacin original. 14. Pgina 14Enrique Troyo del ValleGraficando:Como se ve, los valores de la coordenada de x de los puntos en los que corta la grfica corta aleje x, son los valores de las soluciones halladas.Resolver, comprobar y graficar. Puede hacer la grfica manualmente o bien usar geogebra (hayque igualar con y) o wolfram|alpha (se puede introducir sin igualar con y). Usar un mtododiferente para cada ecuacin.a) b) c) d) d) e) Para algunos casos en que se quiere obtener coeficientes enteros para ecuacionescuadrticas con coeficientes fraccionarios o decimales se usa el principio que afirma que siuna ecuacin es mltiplo de otra, entonces sus soluciones son las mismas. El otro efectoque produce la multiplicacin de una ecuacin en su forma general puede ser laexpansin, compresin o reflexin del resto de su grfica en el sentido vertical, peroconservando los puntos donde corta al eje x.EJEMPLO: Resuelva para eliminar los denominadores 5 y 3, se leaplica a toda la ecuacin la operacin contraria, que es multiplicarla por el mcm de losdenominadores, como se muestra:La ecuacin ya tiene coeficientes enteros que son mucho ms sencillos de factorizar o parasustituir en ecuacin general. Se redujo a una forma que ya se sabe como manejar. 15. Pgina 15Enrique Troyo del ValleSe aplicara la misma tcnica si los coeficientes son decimalesY como todos los coeficientes son mltiplos de 5, entonces se puede simplificar antes deaplicar cualquier otro mtodo:PROBLEMAS. Grafique siempre que sea posible.1. La base de un rectngulo es mayor que su altura por 4 unidades. Halle sus dimensionessi su rea es de 96 unidades cuadradas.2. Si la medida del lado de un cuadrado es disminuida en 2 y el otro es aumentado en 2,entonces el rea del rectngulo es de 32 unidades cuadradas. Halle el lado delcuadrado original.3. El jardn de Joe mide 4 por 6 metros. Quiere duplicar su rea aumentando la mismamedida al largo y al ancho. Cunto debe ser esta medida?4. Despus de t segundos, una pelota lanzada al aire desde el piso alcanza una altura hdada por la ecuacin .a. Cul es la altura de la bola 3 segundos despus del lanzamiento?b. Diga el nmero de segundos que la bola lleva en el aire cuando alcanza laaltura de 224m.c. Despus de cunto tiempo la bola caer de Nuevo al piso (h=0)?5. Se lanza una roca desde lo alto de un edificio. La distancia en pies entre la roca y elpiso despus de t segundos del lanzamiento est dada por la ecuacin descrita abajo.Despus de cunto tiempo la roca se encontrar a 370 pies del piso? 16. Pgina 16Enrique Troyo del ValleTRIGONOMETRA.Las razones trigonomtricas relacionan los lados de un tringulo rectngulo. Los ladosperpendiculares son llamados catetos (Del lat. cathtus, y este del gr. ,perpendicular)6; el lado opuesto al ngulo recto, siempre el mayor en longitud, es llamadohipotenusa. El truco mnemotcnico para recordar la definicin de las 3 razonestrigonomtricas iniciales es SohCahToa:S SENOO OPUESTOH HIPOTENUSAC COSENOA ADYACENTEH HIPOTENUSAT TANGENTEO OPUESTOA ADYACENTETenga en cuenta que y cambian su lugar cuando el ngulo de referencia tiene suvrtice en o en . La hipotenusa no vara por la referencia del ngulo.6 http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=cateto,consultado el 12 de mayo de 2011. 17. Pgina 17Enrique Troyo del ValleNo olvidar tampoco que al acomodar las 6 razones trigonomtricas del tringulorectngulo como se muestra, las razones del mismo rengln son recprocas.EJERCICIO:Diga las 6 razones trigonomtricas para los tringulos siguientes, para cada ngulo agudo.Si slo se dan 2 medidas de longitud, calcule Ud. la tercera por Pitgoras. Si la raz no esentera, djela indicada. Aunque se debera, no les ense a racionalizar denominador, asque no se molesten en hacerlo. Pueden dejar raz indicada en el denominador. Si slo seda una longitud y ngulo entonces despeje de la correspondiente funcin trigonomtrica.Los valores de las funciones con 4 decimales de precisin; los de longitudes y ngulos con2 decimales. Calcule los ngulos con funcin inversa como se ha visto en clase.EJEMPLOResuelva el siguiente tringulo:El lado conocido es la hipotenusa, queaparece en seno y coseno. Se plantean estasrazones con respecto a B que es al ngulo demedida conocida, para luego despejarrealizando las operaciones indicadas, comose muestra enseguida:El ngulo A por suma y restaEl tringulo est resuelto porque se conoce la medida de cada ngulo y lado. 18. Pgina 18Enrique Troyo del ValleEJEMPLO. En el siguiente slo se mostrar cmo conocer ngulo desconocido en presenciade dos lados conocidosSe conocen los catetos, y estos serelacionan en tangente.Resuelve los siguientes tringulos. 19. Pgina 19Enrique Troyo del VallePROBLEMAS. Haga los correspondientes diagramas.Un dirigible que est volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ngulo dedepresin de 12. A qu distancia del pueblo se halla?Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que unacuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de70 (Hint: tringulos issceles).Calcula la altura de un rbol, sabiendo que desde un puntodel terreno se observa su copa bajo un ngulo de 30 y sinos acercamos 10 m, bajo un ngulo de 60.La longitud del lado de un octgono regular es 12 m.Hallar los radios de la circunferencia inscrita ycircunscrita .De un tringulo rectngulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7. Resolver el tringuloDe un tringulo rectngulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el tringulo.Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octgono regular inscrito en unacircunferencia de 49 centmetros de radio.Calcule x e y en el siguiente tringulo 20. Pgina 20Enrique Troyo del ValleEl mstil de un velero se halla unido a la proa y a la popa por dos cables queforman con la cubierta ngulos de 45 y 60, respectivamente. Si el barco tieneuna longitud de 100 m, cul es la altura del mstil? 21. Pgina 21Enrique Troyo del ValleRESOLUCIN DE TRINGULOS OBLICUNGULOS.Representemos al tringulo :Para resolver estos tringulosse usan la ley de senosy la ley de cosenosque es una generalizacin del teoremade Pitgoras.La ley de cosenos se puede escribir detres maneras, dependiendo del ngulo buscado, y (obviamente) es vlida en todos loscasos. Lo nico que debe hacerse es un intercambio de letras. Observe:LEY DE SENOSSe aplica cuando se conoce un lado, sungulo opuesto y cualquier otramedida, sea lado o ngulo. Porejemplo:En este tringulo se conocen lado yngulo opuestos B y b, adems delngulo A. Sustituyendo en los datosconocidos:tenemos 22. Pgina 22Enrique Troyo del ValleEn todo tringulo se cumple que de dondeSustituyendo nuevamente en ley de senos, para las medidas C, tenemos:El tringulo est resuelto.EJERCICIOS. Resuelva los siguientes tringulos: 23. Pgina 23Enrique Troyo del ValleLEY DE COSENOSExisten 2 casos:CASO 1. Cuando se conocen dos lados y el ngulo comprendido entre estos.Se toma la frmulaSustituyendo: de dondeCon este dato se puede usar ley de senos y se obtienen lados y ngulos faltantesPor sumas y restas se obtiene El tringulo est resuelto.CASO 2. Cuando se conocen las longitudes de los tres lados y se quiere conocer el valor delos ngulos.En este caso de la frmula se despeja la funcin relativa al ngulo, as:posteriormente se sustituye y se opera, obteniendo que.Teniendo la medida de C, por ley de senos o de cosenos se obtienen las faltantes, que son:, El tringulo est resuelto. 24. Pgina 24Enrique Troyo del ValleEJERCICIO. Resuelva los siguientes tringulos. 25. Pgina 25Enrique Troyo del ValleVECTORES Y SUMA DE VECTORESDefinicin: Un vector es una magnitud fsica que tiene mdulo y direccin.Se representa como un segmento orientado, con unadireccin, dibujado de forma similar a una "flecha". Paraescribirlo en su forma polar se debe anotar su longitudtambin llamada modulo del vector, la "punta de flecha"que indica su direccin, y tambin el ngulo que determinasu direccin. Estos elementos se escriben en un parntesisdonde los valores se separan con punto y coma.Llamemos al valor del mdulo, y al ngulo que define sudireccin. El vector se puede representargrficamente como muestra la figura.Note adems que la punta del vector llega, de acuerdo con lasiguiente figura, hasta el hasta un punto en el planocartesiano .Para obtener las componentes y , y dado que lascomponentes con el vector forman un tringulo rectngulo,se usan las siguientes frmulas, obtenidas por trigonometra:Observe que e estn en orden alfabtico; igual que y . Los ngulos de pueden incrementarse respectivamente en dependiendo de la direccin delvector. Esto se determina de acuerdo con el valor que arroje la calculadora al introducir elvalor; si es negativo, se agregan los dichos .Revisemos las componentes del vectorCon las componentes del vector, podemos escribir el vector en su forma cartesiana, esdecir, anotando cules son las coordenadas del plano cartesiano que alcanza cuando supunto de aplicacin es en el origen. Aqu no se anota ni el mdulo ni el ngulo, sino elresultado de la longitud o mdulo de las componentes. En general se anota:En particular se ejemplifica:La primera notacin es de la forma polar, donde se anotan dentro del parntesis,separados por punto y coma el mdulo o longitud y el ngulo o direccin; la segunda es laforma cartesiana, donde se anotan dentro del parntesis, separados por coma, los valoresde las componentes de x e y. 26. Pgina 26Enrique Troyo del ValleSUMA DE VECTORES.El PROCEDIMIENTO para la suma de dos vectores , tales que ,y , es el siguiente. Observe conforme se desarrolla la imagen.1. Se hace la grfica y se traslada cualquiera de los vectores para que manteniendo sudireccin se aplique desde la punta del otro vector. es el vector trasladado al final dees la suma de .2. Transformar cada ngulo a la notacin cartesiana.3. Sumar las coordenadas cartesianas de cada eje separadamente.4. Transformar de la notacin cartesiana a la notacin polar el resultado de la suma. Deacuerdo con el siguiente procedimiento:La explicacin. Si x e y son perpendiculares, el mdulo del vector es la hipotenusa, por esose calcula como tal:Por la misma perpendicularidad x e y sonconsiderados como catetos adyacente y opuesto,respectivamente. Entonces para saber el ngulo queforman se les relaciona en tangente y se aplicafuncin inversa:EJEMPLO.Halle es vector suma de , y1. Graficar. Se muestra imagen a la derecha.2. Pasar cada vector a notacin cartesiana:3. Sumar coordenadas en forma cartesiana: 27. Pgina 27Enrique Troyo del Valle4. Pasar a coordenadas polaresComo ven el resultado de la operacin tangente inversa es un ngulo negativo. Esorequiere interpretacin o al menos arreglo. Smele 180 o alguno de sus mltiplos alngulo; todo depende de su diagrama. Tendremos en este caso Un ngulo quecorresponde perfectamente con lo que la imagen muestra.EJERCICIOS.Dados los siguientes vectores, realice las sumas indicadas. Dibuje cada grfica con el vectorsuma en sus dos formas: 28. Pgina 28Enrique Troyo del VallePROBLEMAS.Los problemas con distancias inaccesibles pueden resolverse por sistemas de ecuacionestrigonomtricas o por leyes de senos y cosenos. Resolver los siguientes por los dos mtodos:1. Se miden los ngulos de elevacin de la pirmide roja de Egipto desde dos puntos deobservacin que distan 136m. En la imagen se muestran los ngulos obtenidos. Calcule lamedida de su altura y su base.2. Resolver el siguiente tringulo.