Guia Vectores r3

7/21/2019 Guia Vectores r3

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Universidad Cooperativa de Colombia 1

VECTORES R 3 Programa de Ingeniería CivilCurso: Algebra LinealProfesor: Norma Patricia Gutiérrez M.

VECTORES (Gallego, Pita, & Garces , 2003)

Objetivo: Identificar las propiedades básicas de los vectores en el plano “x-y” y en elespacio real de tres dimensiones.

VECTORES EN EL ESPACIO

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando uneje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.

Cada punto viene determinado por tres coordenadas (x,y,z)

Figura 1

1. Definición: Un vector en R3 es una terna ordenada de números reales. Denotadade la siguiente manera V= (a,b,c). Este punto se puede pensar como un vectoren el espacio R3 con el origen en (0,0,0) y punto terminal en (a,b,c). Ver Figura

1.1 Elementos de un vector: Un vector tiene tres elementos: el modulo, ladirección y el sentido.

1.1.2 La magnitud de un vector. Para hallar la magnitud del vector v= (a,b,c) seencuentra, aplicando el teorema de Pitágoras.

Magnitud de ||v||= (a) (b) (c)

Y

a

b

c(a,b,c)

Z

X

Los ejes de coordenaddeterminan tres plancoordenados: XY, XZ e YEstos planos coordenaddividen al espacio en ochregionesllamadas octantes, en primer octante las trcoordenadas son positivas.




1.1.3 La dirección de un vector. v=(a,b,c) está definida como por la medida de losángulos que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes X,Y,Z

Figura 2

1.1.4 El sentido de un vector. v=(a,b,c) lo de fine la flecha dibujada sobre elsegmento de recta.

Ejemplo1. : A=(3,2,-6)

‖A ‖ = (3) (2) (6) = 7

α = cos−( 7) 64° 37 ́ 23 ̋

β =

cos−

(7) 73° 23 ́ 54

̋

γ = cos−( −7 ) 148° 59 ́ 50 ̋

1.2. Definición suma de vectores y productor escalar-vector. Sean A y Bvectores del espacio Rn con A= ( a1,a2, a3,……….an),

B=( b1,b2, b3,……….bn) y sea K un escalar (número real), se define:

Yγ

a

b

c(a,b,c)

α β

Z

X

Los Ángulos α, β y γ son llamadosángulos directores

c o s = ‖‖ c o s =

‖‖ c o s = ‖‖




A+B = (a1+ b1, a2+ b2, a3+ b3………. an+ bn)

KA=(Ka1+ Ka2,……+ Kan)

Ejemplo 2. A = (5,-2,6) Y B = ( 8,-5,-4) Hallar :

a. A+B

A+B = (5,-2,6) + (8,-5,-4) = (5+8, -2+(-5), 6+(-4))= (13,-7,2)

b. A-B

A-B = (5,-2,6) - (8,-5,-4) = (5-8,-2-(-5),6-(-4-)) = (-3,3, 10)

c. -5B

-5B = -5 (8,-5,-4) = (-40, 25 ,20)

1.3. Definición Propiedades de la suma de vectores y productor escalar-vector.

Siendo A ,B y C vectores del espacio Rn y k1,k2 escalares, se tiene:

a. Suma asociativa ( A+B)+C = A+(B+C)b. Suma conmutativa. A+B= B+Ac. Si suponemos 0=(0,0,…0), entonces A+0 =A para todo A.

d.

Sea A=(a1,a2, a3,……….an) y sea –A = (-a1,-a2, -a3,……….-an) entoncesA +(-A)=0=(0,0,…0). e. K1(A+B) = K1A+K1B.f. (K1+K2)A= K1A+K2Ag. K1(K2A)= (K1K2)Ah. 1 A= A

1.4. Producto escalar, producto punto o producto interno

Sean A = ( a1,a2, a3,……….an) y B=( b1,b2, b3,……….bn) dos vectores en el espacioRn, se define su producto interno como:

A*B = (a1 b1 + a2 b2, a3+ b3……….+an bn)

Ejemplo 3. : si A= (3,1,-2) y B=(-1,4,0) encuentre A*B

A*B = (3,1,-2)*(-1,4,0) =(3*-1)+(1 *4)+(-2*0)= -3+4+0=1




1.5. Producto vectorial. Producto cruz

Sean v1 = ( x1,y1,z1) y v2=( x2,y2, z2) dos vectores en el espacio R3, el productovectorial se denota por V1 X V2 se define como

V1 X V2 = (Y1Z2-Z1Y2, -(X1Z2-X2Z1), X1Y2-Y1X2)

Una manera práctica para obtener el resultado de la operación producto cruz entre dosvectores es resolver el siguiente determinante:

U X V =

Ejemplo 4. : si A= (1,2,-1) y B=(2,-1,0) entonces

A x B = 1 2 12 1 0 = 2 5

1.6. Aplicaciones. Calculo del área del paralelogramo sustentado por dosvectores.

Sean A y B dos vectores, no paralelos. Observe la figura

θ

Tomando como base a A, tenemos:

Area = base . altura Area = ||A|| . h

Observe que seno θ= ℎ|||| entonces área = ‖ ‖ * ‖‖ seno y por la

propiedad del producto cruz

Área= ‖ ‖

El área del triángulo sustentado por dos vectores A y B es la mitad del área delparalelogramo sustentado por los vectores es decir:

BA

B

Ah




Esta última expresión es denominada e triple del producto escalar de los vectores: V1 y V2 y V3 y su interpretación es el volumen del paralelepípedo sustentado por losvectores: V1 y V2 y V3. No importa el orden de la operación de los vectores.

Ejemplo 6. : si A= (1,-2,1) , B=(2,0,-1) y C=(1,2,3) hallar el volumen delparalelepípedo sustentado por A, B y C.

Volumen = |( ). |= 1 2 12 0 11 2 3 = 2+14+4= 20 u

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Recursos bibliográficos

Guías de aprendizaje:Guía de Aprendizaje (Tema: Vectores R 3 en el espacio). Con su respectiva explicacióntextual por escrito.

Libro: Algebra Lineal, autor: Stanley Grossman. Capítulo: 3, página: 150 y 159.Lectura:www.vitutor.com/analitica/vectores/vectores_espacio.htmlwww.geoan.com/analitica/vectores/producto_cruz.html

www.slideshare.net/edvinogo/6-producto-punto-y-producto-cruz www.dspace.espol.edu.ec/retrieve/24321/1-Vectores%20en%20R3.pdf

Enlaces de internet:ww.youtube.com/watch?v=gRPzgx75_uowww.vitutor.net/1/vectores_espacio.html

http://www.geoan.com/analitica/vectores/producto_cruz.html

http://www.slideshare.net/edvinogo/6-producto-punto-y-producto-cruz


http://www.vitutor.net/1/vectores_espacio.html

http://www.vitutor.net/1/vectores_espacio.html


http://www.geoan.com/analitica/vectores/producto_cruz.html

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