Guia Teórico-práctico (Recuperado)

7/25/2019 Guia Terico-prctico (Recuperado)

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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGOGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIONUCLEO PORTUGUESA EXTENCION GUANARE

PROGRAMA DE EDUCACIN MENCIN INFORMTICAINTRODUCCIN AL CLCULO

GUIA TERICO-PRCTICO

UNIDAD I

Autor:Mart!"# C$ J"%&% A$

C$I$ '($)*+$*),

Eu.$ M"!./0! I!1or23t/.a

S"2"%tr" I S"../0! U

ELABORADO POR EL PROF JESS MARTNEZ - DICIEMBRE 2015


2/40

'$'DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UN PLANO

La distancia entre dos puntos es igual a la longitud del segmento que los une.

Ahora buscaremos una frmula que permita hallar la distancia entre dos puntos

cualesquiera:

Representamos a y b sobre un sistema de ejes cartesianos, marcamos el

punto cde acuerdo al grfico tendr coordenadas (!, y"#

Luego podrs notar que

abc es un rectngulo y queab

es la

hipotenusa. Aplicando el teorema de $itgoras tenemos:

d(a, b#!% ab ! % ac ! & bc !pero al enunciado:

ac % !' " bc % y!' y" luego

ab ! % (!' "#!& (y!' y"# !

d(a, b#%

xy

(2x1)2

+(2y1)2

$odemos concluir que entre dos puntos a% ("y"# y b%(!, y!# en el plano

real, )iene dada por la frmula:

d(a,b#%

x

y

(2x1)2+(2y1)

2

*jemplo:


a% (", y"# y4%5!, y!#

y= Ordend!

"= A#!$%!


3/40

+i a% (, -# y b% (' ! ' !#, entonces:

d(a, b# % (24)2+(26)2 % 36+64

100 % "

*jercicios propuestos:

/eterminar la distancia entre cada par de puntos:

A# a % (0", # y b% (1, "# 2# c% (!,0# y d % (3, -# 4# e % (05, !# y f % ("0"#

/# g % (, 0!# y h% (", "# *# i % (05, 5# y j % (, 5# 6# 7% (0", 08# y l % (0",!#

'$6DETERMINAR LA ECUACIN DE UNA RECTA EN EL PLANO

La idea del9nea rectaes uno de los conceptos intuiti)os de la eometr9a (como

son tambi;n el

punto

y el

plano#.

La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en

una ontal, )ertical o

diagonal (inclinada a la i>quierda o a la derecha#.

La l9nea de la derecha podemos )erla, pero a partir de los datos que nos

entrega la misma l9nea (par de coordenadas para A y par de coordenadaspara 2 en elplano cartesiano#es que podemos encontrar una epresin

algebraica (una funcin# que determine a esa misma recta.



4/40

Ecuacin general de la recta

*sta es una de las formas de representar la ecuacin de la recta.

/e acuerdo a uno de los postulados de la eometr9a *uclidiana, para determinar

una l9nea recta slo es necesario conocer dos puntos (A y 2# de un plano (en

unplano cartesiano#, conabscisas (#yordenadas (y#.

Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin ecepcin,quedan incluidas en la ecuacin

A & 2y & 4 %

?ue tambi;n puede escribirse como

a & by & c %

y que se conoce como: laecuacin generalde la l9nea recta, como lo afirma elsiguiente:

@allaremos la *cuacin eneral de la Recta que pasa por los puntos (1, !#y (0", 0!#

4on los puntos que conocemos )amos a determinar la pendiente de la recta(m# que se define de la siguiente manera:


TeoremaLa ecuacin general de primer grado Ax + By + C = 0,donde A, B, C pertenecen a los nmeros reales ( ); y enue A y B no son simult!neamente nulos, representauna l"nea recta#

m =$endientem %

y

x %y 2y1x2x 1


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$rocedemos a nombre los puntos que tenemos de la siguiente manera:

(1, !# (0", 0!#

" y" ! y!

+ustituimos )alores:

m %y

x %y 2y1x2x 1 %

2223 %

44 % "

$or ser un )alor positi)o obtendr9amos una recta ascendente

$rocedemos a encontrar la ecuacin de la presente recta utili>ando la siguienteformula:


%&tendremos unarecta ascendenteue tiene pendientepositi'a

m =

MODELO PUNTO PENDIENTE

y * y = m(x *x)


6/40

omando cualquiera de los )alores anteriores, en este caso tomaremos como

referencia la primera pareja de nando de la siguiente manera:

' & y &" %

Bultiplicamos por (0"#

0 y 0" %

*jercicios:

@allar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (!, 0"# y (5, 3#

'$7DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

4onsideremos una recta Lcuya educacin general es A8 9 B 9 C ; *

+upongamos un punto $(", y"# que no pertenece a la recta L.

La distancia de un punto a una recta: se define como la longitud del segmento

perpendicular tra>ado desde este punto a la recta.

*l n


7/40

d%Ax

1+By

1+C

A2+B2

*jemplo "

@allar la distancia d del punto $(!, 0"# a la recta 1 & y 05 %

Csemos la formula y sustituimos por sus )alores:

A% 1 2% 4% 05 "% ! y"% 0"

d%3.2+4 (1)5

32+42

%

645 9+16

%

3 25

%

3

5

d%3

5

*jemplo !:

@allar la distancia entre las rectas paralelas de ecuaciones L": ! ' 1y ' - % y

L!: ! 1y & 3 % .

/ebemos determinar, en una de las rectas, un punto de coordenadas ( ",

y"#. $ara ello seleccionamos la recta L"y demos a la un )alor arbitrario, por

ejemplo % !, obteni;ndose el )alor de y.

! ' 1y ' - % *cuacin de la recta L"

!(!# ' 1y ' - % +ustituyendo para % !

' 1y ' - % *fectuando el producto

1y ' - % Aislando el t;rmino 1y


= 'alor

La /%ta!./a "!tr" o% r".ta%


8/40

1y % ! Dperando el segundo miembro

y %2

3 /espejamos y luego el punto $(", y"# es p(2, 23 ) .

La distancia desde el punto p(2, 23 ) a la recta L!, de ecuacin ! ' 1y & 3 % es:

d%2.23( 23 )+7 22+32

%

4+27 4+9

%

13 13

%

13.13

13 %

13

d% 13

*jemplo 1

4alcular la distancia m9nima que eiste entre el punto A(, 1# y la recta

1 & !y ' - % , una )e> obtenido el resultado graf9que.

+ustituimos )alores usando la siguiente formula:

d%Ax

1+By

1+C

A2+B2

d% 3 (4 )+2 (3)+(6)

(3)2+(2)2

d%12+66

9+4



9/40

d%12

13

d%12

13 % 1,1

$rocedemos a graficar:

$rimero tabulamos para hallar los )alores para construir la recta:

para % para y%

1 & !y ' - %

1(# & !y ' - %

!y - %

!y % -

y %6

2 % 1

1 & !y ' - %

1 & !(# ' - %

1 ' - %

1% -

y %6

3 % !

8 1 !

(, 1# (!, #



10/40


"# 4alcular la distancia medida desde el punto medio del segmento que une

los puntos (1,!# y (, 0-# a la recta ' 1y & "! % !# @allar la ecuacin general de la recta L que pasa por la interseccin de las

rectas L": ! ' 1y ' "3 % E L!: 5 & y 08 % , y es perpendicular a la recta

de ecuacin L1: 5 ' y & " % .

'$>CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO


La Circunferencia: es el lugargeomtrico de los puntos del plano ueeuidistan de un punto -.o llamadocentro#

La distancia constante de un puntocualuiera $ al centro se llama radio


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E.ua./0! " =a ./r.u!1"r"!./a:

4onsideremos un punto $(, y# de la circunferencia de centro 4(h, 7# y radio r.

$or definicin la distancia desde 4(h, 7# al punto $(, y# es siempre constante e

igual al radio r, pudi;ndose escribir:

d(4, $# % r. si epresamos esta distancia anal9ticamente, podemos escribir que:

(x h)2+(y k)2 % r

*le)ando al cuadrado a ambos miembros nos queda que:

*sta es la ecuacin de la circunferencia es

funcin de las coordenadas del centro y el radio. ambi;n es llamada

ecuacin ordinaria$A partir de ella, y por simple inspeccin, es posible obtener

las coordenadas del centro (, y# y la longitud del radio r


(xh)2+(yk)2 ; r6


12/40

+i el centro de la circunferencia coincide con el origen, se tendr que h % 7

% , pudi;ndose escribir la ecuacin as9:

( ' #! & (y ' #!% r!

! & y!% r!

*sta *cuacin es llamada forma cannica de la ecuacin de la

circunferencia o ecuacin reducidade la circunferencia.

Forma general de la ecuacin de la circunferencia:

ratemos de desarrollar la ecuacin de la circunferencia de centro (h, 7# yradio r para encontrar otra forma de epresar dicha ecuacin.

+abemos que la ecuacin, en funcin de las coordenadas del centro y el

radio, )iene epresada as9:

( ' #! & (y ' #!% r!

!' !h & h!& y!' !7y & 7!% r! /esarrollando los productos notables

!' !h & h!& y!' !y7 & 7!% r!% ransponiendo e igualando a cero

!& y!' !h ' !y7 & h!& 7!' r!% Drdenando con)enientemente

+i en la epresin anterior hacemos / % 0!h * % 0!7 6 % h!& 7!' r! nos queda:

*sta epresin representa la ecuacin general de la circunferencia

R".or"2o% =a .o2


13/40

$ara hacer de !& b un cuadrado perfecto debemos sumar el cuadrado de la la

mitad del coeficiente de , es decir, sumar ( b2 )2

". resol)er por completacin de cuadrados !' 8 & "1 %

!' 8 % 0 "1 ransponiendo 0"1 al segundo miembro

!' 8 & "- % 0 "1 &"- +umando a ambos miembros ( b2 )2

( ' #!% 1 *l primer miembro es un cuadrado perfecto

' % F 3 *trayendo ra9> cuadrada en ambos miembros

% F 3 /espejamos

Part/"!o " =a ".ua./0! ?"!"ra= .02o "t"r2/!a2o% "= ra/o "! ."!tro "

u!a ./r.u!1"r"!./a

$artimos de la ecuacin general de la circunferencia

!& y! & / & *y & 6 % *cuacin general de la circunferencia

(!& y! #& (/ & *y# & 6 % Agrupando con)enientemente los t;rminos

(!& y! #& (/ & *y# % 0 6 Aislamos 6 en el segundo miembro

/ebemos ahora completar cuadrado en cada parntesis, de tal manera que cada

uno se transforme en un cuadrado perfecto. $ara ello debemos sumar a cada

par;ntesis el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo trminoy para que

no se altere debemos tambi;n sumarlo en el segundo miembro:

(x

2

+Dx

+

D2

4

)&

(y

2

+Ey

+

E2

4

)%

D2

4 &

E2

4 % 6

6actoricemos en el primer miembro y sumemos en el +egundo miembro,

transformndose en:



14/40

(x+D4)2

+(x+D4)2

=D

2+E2+4F4 GGGG(H#

omemos la epresin ( 'h#!& (y ' 7#!% r!GGGG.(HH# si comparamos las

epresiones (H# (HH# se tendr que:

/e la epresin (4# r=1

2D2+E24F , de donde pueden considerarse tres

casos:

a# si D2+E24F I la ecuacin corresponde a una circunferencia de cuyo

centro es: (D2 ,E

2) y radio r=1

2D2+E24F

b# +i D2+E24F % se dice que la ecuacin representa a una circunferencia

de radio cero, donde las coordenadas del centro corresponde al punto

(D2 ,E2)

c# si /!& *!' 6 J se dice que la ecuacin corresponde a un circunferencia

imaginaria y por lo tanto, no tiene representacin real.


D2+E2+4F

4=r2(y+E4)

2

=(yk)2(x+D4)2

=(xh)2

/n general:

oda ecuacin de una circunferencia de radio diferente de cero se puede

epresar de la forma

!& y! & / & *y & 6 %

slo cuando /!& *!' 6 I

+iendo (D2

,E2) las coordenadas del centro y el radio


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'$( LA PARBOLA EN EL PLANO CARTESIANO

*lementos de la parbola:

Des la directri>F es el foco

E@" Fo.a= o"@" " =a que pasa por el foco y el );rtice.

E= Vrt/."= es el punto de interseccin del eje con la parbola. *s el punto medio

de A6, punto medio entre el foco y la directri>.

E=


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E.ua./0! " =a Par34o=a

La ecuacin de la cnica de una parbola se obtiene cuando su eje coincide

con uno de los ejes coordenados y su );rtice est en el origen.

+ea el eje la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directri>, es

decir, el eje de la parbola.

+ean:

!p: distancias entre directri> y foco

6(p, #: las coordenadas del foco.

A(p, #: coordenadas del ponto A

4ualquier punto $(, y# sobre la parbola est a la misma distancia del foco y de la

directri>, por lo que puede describirse, de acuerdo con la definicin, que:

d($, ?# % d($, 6# GGGGGGGGGGGGGGG....(H#

d($, ?# % d($, R# & d(R, ?

d($, ?# % & pGGGGGGGGGGGGGGG.. (HH#

d($, 6# % (xp )2+ (y0 )

2

% (xp )2+y2 G..(HHH#

+ustituyendo (HH# y (HHH# en (H# se tiene que:

& p % (xp )2+y2

+i ele)amos ambos miembros al cuadrado nos queda que:

(xp )2 % (xp )2+y2

/esarrollando los productos notables se tiene que:

! & !p & p!% !' !p & p!& y!



17/40

232

L

L3

B

4

B3 53

43

5p

%

$$3

4 43

/esarrollando y simplificando obtenemos finalmente que:

y! % p

*sta y lo colocamos dentro de la cuerda, de tal manera que ;sta se mantenga

tensa. Al desli>ar el lpi> sobre el plano, siempre con la cuerda tensa,

obtendremos una elipse.

E="2"!to% " =a E=/


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B

y

$(x, y)

&

04(6c, 0) 43(c, 0)2(6a, 0) 23(a, 0)

Lo% Vrt/."%:son los puntos de corte del eje focal con la elipse. *llos son ="y =!.

E@" Maor o "@" quierdo 6", tambi;n es c.



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*sto indica que las coordenadas del foco 6"son (0c, # y las coordenadas

de 6! son (c, #.

La distancia entre los focos, 6"y 6"es !c.

Llamemos, por ultimo, !a la suma de las distancias desde un punto cualquiera $(,

y# de la elipse a las focos.

+i $(, y# es un punto cualquiera de la elipse, podemos escribir de acuerdo con la

definicin que:

Ctili>ando la frmula de la distancia entre dos puntos podemos escribir que:

(x+c)2+y2 & (x+c)

2+y2 % !a

+i procedemos a simplificar pasamos el primer t;rmino al segundo

miembro, quedndonos:

(xc )2+y2 % ! ' (x+c)

2+y2

*le)emos al cuadrado a ambos miembros y desarrollemos:

((xc)2+y2 )2

% (2a(x+c)2+y2 )2

( ' c#!& y!% a! ' a (x+c)2+y2 & ( &c#!& y!

/esarrollando y simplificando se tiene que:

!' !c & c!& y!% a!& (x+c)2+y2 & !& !c & c! & y!

0c ' a!% 0a (x+c)2+y2

6actori>ando se tiene que:

(c ' a!# % 0a (x+c)2+y2


d ($, 6"# & d ($, 6!# % !a


20/40

/i)idiendo ambos miembros entre 0 nos queda:

c ' a!% 0a (x+c)2+y2

*le)emos ambos miembros al cuadrado:

(c ' a!#!% 0a! [(x+c )2+ y2 ]

/esarrollando

!c!& !a!c & a% a!(!& !c & c!& y!#

!c!& !a! c & a% a!!& !a! c & a!c!& a!y!

+implificando se tiene que:

a& c!!' a!!' a! c!' a!y!%

Agrupando y factori>ando:

! (c!!' a!# ' a! y!% a! c!' a

(c!' a!# !' a! y!% a!(c!' a!#

Bultipliquemos por 0" en ambos miembros:

(a!' c!# !& a! y!% a!(a!' c!#

/i)idiendo ambos miembros entre a!(a!' c!# nos queda que:

x2

a2+

y2

a2c2

=1.(I)

4omo a I c, entonces a!I c!y as9 a!' c!I . +ea a!' c! % b!GGGG..(HH#.

Reempla>ando (HH# en (H# nos queda que:

x2

a2+y

2

b2=1a>b



21/40

*sta es la ecuacin reducida de la elipse con centro en el origen de coordenadas

y eje focal coincidente con el eje .

*n forma anloga puede deducirse que si los focos estn sobre el eje y, con

coordenadas 6"(,c# y6!(, ' c# la ecuacin de la elipse es:

x2

b2+y

2

a2=1a>b

*sta ecuacin reducida de la elipse con centro en el origen de coordenadas y eje

mayor o eje focal coincidente con el eje y.

Dbser)aciones:

*jemplo:

x2

16+y

2

9=1

x2

9+y

2

25=1

Lao r".to "8."!tr/./a

Csemos la epresin siguientex

2

b2+y

2

a2=1 . *n ella tratemos de despejar y.

x2

b2+y

2

a2=1 %I

y2

b2=1 %I

x2

a2 %I

y2

b2=

a2x2

a2 = y!%

b2

a2 (a!' !#


6 7i el denominador de x3es mayor ue el denominador de y3, entonces el e.e mayores paralelo al e.e x#

6 3 3

Como el 'alor a&soluto mayor corresponde al denominador dex3, los ocos est!n so&re el e.e x# /s 8ecir, e.e mayor paralelo ale.e x#

3 = = 3=

Como el 'alor a&soluto mayor corresponde al denominador dey3, los ocos est!n so&re el e.e y# /s 8ecir, e.e mayor paralelo ale.e y#

a3 = 3< a = < &3=


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4 42 2

a

y!%b2

a2 (a!' c!#

y!% Fb

a (a2 x

2) etrayendo ra9> cuadrada en ambos miembros

*)aluemos para % c abscisa del foco, quedando:

y!% Fb

a (a2 c

2)

y!% Fb

a b

2

porque b! % a!' c!

y!% Fb

a. b %I y % F

b2

a

*sta epresin representa la longitud del lado recto, la cual es !y.

Las coordenadas de los etremos del lado recto sern: (c , b2

a)y (c ,b2

a)

en toda elipse los focos estn

ubicados entre los );rtices y el centro, es

decir, J c J a.

+i c los focos tienden a ubicarse en

el centro de la elipse, tendiendo ;sta

hacia una circunferencia.

4uando c a, los focos tienden

hacia los );rtices y la elipse aplana.

odo esto sugiere, que la forma de

una elipse puede describirse en

t;rminos de la ra>n entre a y c.

Llegamos as9 al concepto de ecentricidad:


y %2b

2

a

c

La ecentricidad e de una elipse se define como el cociente e %


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*s de notar que J e J " en toda elipse.

Pro4="2a%:

"# @allar la ecuacin de la elipse que tiene en (, -# y sus focos estn en (, # y

(, 0#

Solucin:

+i obser)amos la posicin de los focos notaremos que le centro de la elipse est

ubicado en el origen y el eje mayor coincide el eje y.

+u ecuacin ser:

x2

b2+y

2

a2=1(I)

4omo a! % b!& c!%I b!% a!' c!

b!% 1- ' "- %I b!% !

Luego reempla>ando a!% 1- y b!% ! en (H# tendr9amos que:

*ste c3= 3

c3= 21


24/40

Luego:

Las coordenadas de los )ienen dadas por 6"% (21,0 ) y 6!% (21 ,0)

Las coordenadas de los );rtices son ="(5, # y =!(5, #

La longitud del lado recto )iene dada por y=2b

2

a =

2.22

5=

8

5

La ecentricidad e )iene dada como e=

c

a=21

5 =e=21

5


"# $ara cada una de las ecuaciones de elipses dadas, determinar en cada

caso las coordenadas de los focos, la longitud del lado recto y la

ecentricidad.

a# 1!& !y!% - b#x

2

169+ y

2

144=1 c#)"-!& !5y!%

b# !!& 1y!% "! ex

2

64+ y

2

100=1

'$, LA IPRBOLA:

*s importante hacer notar las diferencias entre una elipse una hip;rbola:


a3= 3< => a = & = 3

/s el lugar geomtrico de los puntos de un plano tales ue el 'alor a&soluto dela dierencia de sus distancias a dos puntos es una constante positi'a y menorue la distancia entre los ocos# Los puntos -.os son los ocos de la ?ipr&ola#


25/40

C

42

C

02343 x

y

@

$ LB

E="2"!to% " =a /


26/40

4 (c, 0)2

C

0

23

43 (c, 0)

@

$(x,y)

B

B3

3a

Cu"ra 1o.a=:es la cuerda que pasa por el foco. *n la figura, LR es una cuerda

focal.

Lao r".to: es la cuerda focal que se perpendicular al eje focal . *l lado recto es

LR.

/istancia focal: es la distancia entre los focos. +e representa por !c.

(6" 6! % !c#

Ra/o 1o.a=:es la distancia entre los focos. +e representa por !c. (6"6! % !c#

Ra/o ".tor"%:son los segmentos 6" $ y 6!, que unen los focos con un punto $

cualquiera de la hip;rbola.

E.ua./0! " =a /


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La diferencia !a ser positi)a si $ est en la rama de la i>quierda dela

hip;rbola y negati)a si $ est ubicado en la rama de la derecha.

Aplicando la ecuacin de la distancia entre dos puntos podemos escribir:

(x+c)2+y2(xc )

2+y2=2a

+i transponemos el radical sustraendo nos queda:

(x+c)2+y2=2a+(xc)

2+y2

/ebemos resol)er la ecuacin irracional ele)ando al cuadrado los dos miembros,

quedando:

(x+c)2+y2=4a2+4a(xc)2+y2+(xc)2+y2

/esarrollando y simplificando:

x2+2cx+c2+y2=4 a2+4 a(xc )

2+y2+x22xc+c2+y2

4 cx4 a2=4a(xc)2+y2

omando com


28/40

Al simplificar nos queda:

c! !& a % a! y!& a! c! & a! y!

Agrupando:

c! !0 a!!0 a! y! % 0 a & a! c!

6actori>ando:

!(c!' a!# ' a!y!% a!(c!' a!#GGGGG.(H#

4omo c I a %I c!I a!%I c!0 a! %

La epresin c!' a!la representamos por b!, el cual siempre es positi)o, nos

queda que b

!

% c

!

' a

!

Reempla>ando en el epresin (H# el )alor de b!obtenemos:

!b!' a! y!% a!b!

/i)idiendo cada miembro entre a!b!nos queda:

x2

a2y

2

b2=1

/e igual forma es posible obtener la ecuacin siguiente:

y2

a2x

2

b2=1


*sta es la ecuacin de la hip;rbola en

su forma cannica, con centro en el

origen y el eje focal paralelo al eje .

*sta es la ecuacin de la hip;rbola en

su forma cannica, con centro en elorigen y el eje focal paralelo al eje y.


29/40

Lao r".to " u!a /


30/40

4omo es una longitud escribiremos:

y=

|2b

2

a

|

Co! "= "@" 1o.a=


31/40


32/40

'$ FUNCIONES

Cna funcin f de un conjunto A en otro 2 es una relacin que permite

asociar a cada elemento de un subconjunto / de A, que llamaremos dominio de f,

un


33/40

$rimero, eamina la grfica de puntos discretos. Los


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*n algunas situaciones slo uno de los dos, el dominio o el rango, est restringido.

4onsidera la grfica del )alor absoluto de la funcin, y% KxK. La l9nea se etiende

indefinidamente en ambas direcciones sobre el ejex, por lo que el dominio son todos los

n


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Cna funcin elemental es una funcin construida a partir de una cantidad finita de

funciones elementales fundamentales y constantes mediante operaciones

racionales (adicin, sustraccin, multiplicacin y di)isin#y la composicin de

funciones. Csando eponenciales, logar9tmicas, potenciales, constantes, y las

funciones trigonom;tricas y sus in)ersas, todas consideradas dentro del grupo de

funciones elementales fundamentales.

Fu!./o!"%


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f(# % 1& !' '

Aplicamos:

". 4alcule f(x ) para determinar si la grfica tiene alguna simetr9a

f(0 # %(' #1& ('#!' ('# '

% ' 1& !& '

% ' ( 1' !' & #

% f(# no hay simetr9a

!.calcule el intersecto f(0) en y.

Q%

f(# % (#1& (#!' (# '

% ' por lo tanto las intersecciones en y % (, 0 #

1. 6actorice el polinomio.

f(# % 1& !' '

(1& !# & (' ' #agrupamos

!(&"# ' ( ' "# aplicamos el factor com


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('!, # (!, # ('", #

5. race una recta num;rica. /etermine los signos algebraicos de todos los factores entre

los intersectos en . esto indicar dondef(x )>0

y dondef(x )


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0! 0" 0!

0

FUNCIONES EXPONENCIALES:

En muchos casos, el crecimiento de poblaciones tiene un comportamiento al transcurrir del tiempo

que puede describirse a tra);s de una funcin eponencial, que es una funcin del tipo:

4on , , . $or ejemplo, si , , , se obtiene la funcin

4uya representacin grfica en el plano cartesiano es:

+e puede obser)ar que la cur)a que representa a la funcin est contenida en el

semiplano de los pares ordenados tales que (el semiplano que est por encima del

eje de las abscisas#.

*sto es as9 porque para cualquier n


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6$- *l Rango de es el inter)alo y se representa en el eje de las ordenadas.

7$-

La cur)a que es la representacin grfica de est en el plano cartesianoporque est constituida por pares ordenados de n ms )elo>mente. *sta es la ra>n por la

cual se habla de un crecimiento eponencial

cuando se hace referencia a un crecimiento

muy acelerado. Cna representacin grfica

aproimada de la funcin en el

inter)alo es la siguiente:



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Fu!./0! Lo?art2/.a:

+ea dada por , la funcin eponencial de base !, y

sea la funcin definida as9:

si

es la llamada funcin in)ersa de , porque si es un n

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