Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado

Definición: Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades algebraicas en las que aparecen una o varias incógnitas de grado uno. Cada una de estas ecuaciones lineales, o de primer grado, tiene la forma , donde a, b, c, ..., son los coeficientes de la ecuación; x, y, z, ..., las incógnitas o variables, y k es el término independiente (también un valor constante).

Un sistema de ecuaciones con dos variables, se representa de la siguiente manera:

En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios casos:

Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatible determinado.

Cuando presenta varias soluciones posibles, es compatible indeterminado. Si no tiene solución, se denomina imposible o incompatible.

Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes.

Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos algebraicos:

Método de Igualación Método de Sustitución Método de Reducción

Para resolver problemas mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones lineales, se deben seguir varios pasos:

Plantear el problema, entendiendo su enunciado y convirtiéndolo en ecuaciones con coeficientes, constantes y variables o incógnitas.

Analizar el tipo de sistema que se obtiene. Elegir un método de resolución y aplicarlo. Estudiar si las soluciones obtenidas son pertinentes en el contexto del problema. Comprobar las soluciones en las ecuaciones planteadas.

. 1

Donde

Ejemplo1, Método de Igualación:

Una primera técnica algebraica común para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es el método de igualación. Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. Se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye este valor en las ecuaciones iniciales.

Despejando x en ambas ecuaciones, se tiene:,

Igualando las expresiones , , ,

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones de x, se tiene que x = 2Así el conjunto solución es

Ejemplo2, Método de Sustitución:

La técnica algebraica denominada método de sustitución, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra, así se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de la otra incógnita.

De la primera ecuación, se despeja la variable x, y se sustituye en la segunda ecuación, se tiene:

, , ,

Sustituyendo este valor en x, se tiene que x = 2Así el conjunto solución es

Ejemplo3, Método de Reducción:

La tercera técnica algebraica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el método de reducción, consta de los siguientes pasos:

Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.

Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita. Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en

cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.

Conviene multiplicar la primera ecuación por 3 y la segunda por 2, y sumar ambas ecuaciones:

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Sumando las ecuaciones Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones Así el conjunto solución es

Observación: Cualquiera que sea el método seleccionado para resolver un sistema de ecuaciones, siempre se obtendrá el mismo conjunto solución.

Guía Ejercicios nº4

I) En cada caso resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, para ello selecciona el método que estimes conveniente. Recuerda ser ordenado (a) en tus desarrollos.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24.

25. 26. 27. 28.

29. 30. 31. 32.

II) Resuelve los siguientes problemas de planteo. Para ello debes plantear correctamente el sistema de ecuaciones que modela el problema.

1. En la granja se han envasado 300litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?

2. Una empresa organizó una función de teatro a beneficio donde el precio de la entrada general fue de $ 2.500 y de $ 2.000 para los estudiantes. Si 184 personas entraron a ver la función y se reunieron en total $ 406.000 ¿Cuántos estudiantes vieron la función de teatro?

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3. La edad de una persona es el doble de la de la otra. Hace 7 años la suma de las edades era igual a la edad actual de la primera. Halla las edades de las personas.

4. La edad de Carla es el doble que la edad de Macarena. Hace diez años la suma de las edades era igual a la edad que tiene hoy Carla. ¿Cuál es la edad de cada una en la actualidad?

5. Un padre reparte $10.000 entre sus dos hijos. Al mayor le da $2.000 más que al menor. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?

6. El triple de un número más el cuádruplo de otro es 10 y el segundo más el cuádruplo del primero es 9. ¿Cuáles son estos números?

7. En una bolsa hay 16 monedas, que reúnen un total de $4.400. Las monedas son de $500 y $100. ¿Cuántas monedas hay de cada valor?

8. He comprado 12 latas de bebida y 10 botellas de agua por $7.340. Posteriormente, con los mismos precios he comprado 4 latas de bebidas y 6 botellas de agua y han costado $3.380. ¿Cuál es el precio de cada producto?

9. Un crucero tiene habitaciones dobles (2 camas) y sencillas (1 cama). En total tiene 47 habitaciones y 79 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?

10.Una pizzería tiene dos tipos de pizzas familiares, Vegetariana a $4990 y Cuatro Quesos a $6490. Una noche vendieron 38 pizzas y se recaudaron $222.620. ¿Cuántas pizzas de cada tipo se vendieron?

11.Dos hermanos Pablo y Álvaro fueron a pescar. Al final del día Álvaro le dijo a su hermano:”Si tú me das uno de tus peces, entonces yo tendré el doble que tú”. Pablo le dijo a su hermano:”Si tú me das uno de tus peces, yo tendré el mismo número de peces que tú”. ¿Cuántos peces tenía cada uno?

12.Un jurado está compuesto por hombres y mujeres. El número de mujeres es igual al doble de hombres menos 4. Con dos mujeres menos el jurado tendría el mismo número de hombres que de mujeres. ¿Cuántos hombres y mujeres habría en el jurado?

Respuestas:Ítem I) Ítem II)1. 2. 1. Se necesitan 100 botellas de dos litros y 20 3. 4. botellas de 5litros5. 6. 2. Se vendieron 76 entradas generales y 108 7. 8. entradas para estudiantes.9. 10. 3. Sus edades son 18 años y 14 años11. 12. 4. Carla tiene 40 años, Macarena 20 años13. 14. 5. El hijo mayor recibe $6.000 y el hijo menor 15. 16. recibe $4.000.17. 18. 6. El primer número es , el segundo es 119. 20. 7. Se tienen 7 monedas de $500 y 9 monedas21. 22. de $100.

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23. 24. 8. Bebidas $320 y Botellas de agua $350.25. 26. 9. Tiene 32 habitaciones dobles y 15singles.27. 28. 10. Se vendieron 16 pizzas vegetarianas y 2229. 30. pizzas de cuatro quesos.31. 32. 11. Álvaro tiene cuatro peces y Pablo tiene 3

12. Mujeres 4, hombres 6.

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