ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES

1. INTRODUCCIÓN

El problema de la estabilidad de un cuerpo flotante es muy importante en la Mecánica de Fluidos y de gran importancia para los ingenieros. Con el conocimiento de esta teoría podremos determinar la seguridad que tiene un cuerpo al desplazarse por un fluido, es decir el cuerpo no se volcará sobre este. El concepto de estabilidad es tal vez el que deba quedar bien claro en este laboratorio, pues en el mundo de los ingenieros todo deberá ser diseñado bajo este criterio. Con el conocimiento de la altura metacéntrica y la ubicación del centro de gravedad se determinará si el equilibrio es estable, inestable o indiferente. Posteriormente se realizará una comparación con los resultados hallados teóricamente.

ESTABILIDAD DE CUERPO FLOTANTE

2. OBEJTIVOS

Definir los conceptos de Metacentro, altura metacéntrica, baricentro, ángulo de carena.

Diferenciar los tipos de estabilidad (vertical, lineal y rotacional). Diferenciar los estados en los que puede flotar un cuerpo. Determinar cuando se produce un estado de equilibrio de un cuerpo flotante.

3. CONCEPTOS BÁSICOS

Los siguientes conceptos han sido definidos para el caso de la interacción de cuerpos sólidos con fluidos elásticos.

a) FUERZA DE FLOTACIÓN O EMPUJE

Se conoce como fuerza de flotación a la fuerza resultante que ejerce un fluido sobre un cuerpo sumergido (total o parcialmente), la cual actúa siempre en forma vertical y hacia arriba. La fuerza de flotación actúa a través del centroide del fluido desplazado y es igual al peso del volumen del fluido desplazado y es igual al peso del volumen del fluido desplazado por el sólido.

b) CUERPOS FLOTANTES Y SUMERGIDOS

Puede decirse que un cuerpo flota cuando se encuentra parcialmente sumergido, o sea parte de su volumen esta fuera de fluido. Un cuerpo sumergido se presenta cuando la totalidad de su volumen esta dentro del fluido.

c) ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTESEstabilidad Vertical:Un cuerpo que se encuentre flotando sobre un líquido en reposo posee una estabilidad de flotación en el sentido vertical. En efecto, un pequeño desplazamiento del cuerpo hacia arriba, hace disminuir el volumen del líquido desplazado y da como resultado una fuerza desbalanceada dirigida hacia abajo, que tiende a regresar al cuerpo a su posición original.Análogamente, un pequeño desplazamiento hacia abajo da como resultado una fuerza de flotación mayor, ocasionando una fuerza desbalanceada hacia arriba.Estabilidad Lineal:Se dice que un cuerpo posee estabilidad lineal cuando al tener un pequeño desplazamiento lineal en cualquier dirección, se presentan fuerzas restauradoras que tienden a regresar al cuerpo a su posición original.Estabilidad Rotacional:Se dice que un cuerpo totalmente sumergido tiene estabilidad rotacional cuando se presenta un par de fuerzas restauradoras al tenerse un pequeño desplazamiento angular.Tipo de Equilibrio: Casos de Estable, Inestable y NeutralUn cuerpo puede flotar en equilibrio estable, inestable y neutral. En un equilibrio estable se produce un par restaurador que tendera a disminuir el desplazamiento desequilibrante inicial. En el caso de equilibrio inestable, cualquier pequeño desplazamiento angular desarrollará un par de fuerzas que tendera a incrementar el desplazamiento angular.

Si el cuerpo se encuentra en equilibrio neutral; no se desarrollara por alguno. La siguiente figura muestra los tres casos de equilibrio:

Así una ligera pieza de madera con un peso de metal en un extremo inferior es un ejemplo de equilibrio estable (fig. a). Por el contrario si el peso metálico se coloca en el extremo superior, cualquier pequeño desplazamiento angular hará volver el cuerpo a la posición inicial, siendo un caso de equilibrio inestable (fig. b). Por último una esfera homogénea flotante en un caso de equilibrio neutral (fig. c).Determinación de la Estabilidad Rotacional de los cuerpos flotantesCualquier cuerpo flotante con centro de gravedad por debajo de su centro de flotación (centroide del volumen desplazado) flotara en equilibrio estable como figura 1ª; sin embargo, existen ciertos cuerpos flotantes que adquieren equilibrio estable cuando su centro de gravedad se encuentra arriba de su centro de flotación.Para entender el fenómeno, observemos el siguiente esquema. Donde la fig. 2a. Muestra el cuerpo flotante en un estado estable de equilibrio, y la fig. 2b, muestra el cuerpo con un desplazamiento angular.Observemos como varían las posiciones del centro de gravedad y del baricentro uno con respecto del otro en cada caso.Como M se encuentra por encima del G el cuerpo está en equilibrio estable, y cuando M se encuentra por debajo de G el cuerpo está en equilibrio inestable. Para la fig. 2a M se encuentra por encima de G, en una posición infinita hacia arriba, pues las verticales que pasan por G y B son paralelas.La distancia entre M y G se conoce como altura metacéntrica, y es una medida directa de estabilidad.

Donde:G : Centro de Gravedad del CuerpoB : Baricentro, Centroide del volumen sumergido.M : Metacentro, Intersección de la línea que une G y B en la fig. 2a (Vertical inicial), con la vertical que pasa por B en la fig. 2b (Vertical final).Angulo de Carena : Angulo formado por las dos verticales.

4. DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO

Consta de una barcaza de metal (ver figura) de forma rectangular que flota libremente, en agua y de un vástago vertical soportado por cuerdas del que pende un hilo con plomada, que permite leer en grados el ángulo de carena de la barcaza logrado, mediante el desplazamiento de una masa de 200 gr. A lo largo de un riel horizontal transversal a la barcaza.El centro de gravedad puede ser variado por medio de una masa deslizable (de posición) de 500 gr que puede colocarse en diferentes posiciones a lo largo del vástago.

5. INTRUMENTOS

Marcas centimetradas en las varillas de desplazamiento de las pesas.

(1) Precisión 1cm.(2) División mínima 1cm.

Péndulo con arco transportador

(3) Precisión 1º Sexagesimal(4) Rango + 15º Sexagesimales(5) División mínima 1º Sexagesimal

6. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Para la presente práctica se van a determinar las alturas metacéntricas, para tres diferentes posiciones del centro de gravedad del cuerpo flotante.Como puede observarse, el equipo consta de la barcaza, masa deslizante por un eje vertical y masa deslizante por un eje horizontal. La masa deslizante vertical sirve para modificar la posición del centro de gravedad del cuerpo flotante.

La masa horizontal es la que nos dará la variación de la posición del centro de empuje. Es obvio que el centro de gravedad pasa por el eje de simetría del sistema.

Ahora detallamos el procedimiento a seguir:

a) Registra los pesos de la barcaza (W), el peso deslizante (mh), el peso ajustable, el largo y ancho de la barcaza.

b) Definir un sistema de coordenadas, como sugerencia lo localizamos en el cruce de los ejes de deslizamiento de las masas. Llamaremos X al deslizamiento Horizontal e Y al deslizamiento Vertical desde este punto.

c) Cada posición del centro de gravedad del cuerpo flotante o Sistema se fija con la pesa que se desliza por la barra vertical (perpendicular a la base del cuerpo). Se ha denominado este desplazamiento distancia Y la cuál se mide desde el origen antes definido.

d) Colocar la masa vertical en una determinada posición, anotando el valor de Y, y se coloca la masa horizontal en el origen de coordenadas. El ángulo que forma el péndulo en el transformador o ángulo de carena debe de ser cero para esta posición, de no ser así se deberá girar un poco la masa vertical sobre su eje hasta conseguir.

e) Deslizar la masa horizontal (puede utilizarse las gradaciones del eje horizontal o una regla) hasta colocarla en una determinada posición.Luego se anota la posición X y el ángulo de carena q una vez que el cuerpo alcanza el equilibrio.

f) Repetir el paso anterior cuantas veces se crea conveniente (tres mínimo)

g) Variar la posición del centro de gravedad deslizando la masa vertical, repitiendo el paso tres y cuatro nuevamente.

7. PROCEDIMIENTO DEL CÁLCULO

Tomamos momentos en el centro de empujes (Para eliminar la componente de flotación o empuje de agua).

Ws x 1 = a x Wh1 = MG x senθ

MG =1senθ

=WhWs

xasenθ

La determinación del CG se realiza fácilmente, la distancia entre el centro de flotación B y el metacentro M se puede determinar considerando el empuje aplicado en el nuevo centro de flotación, como la resultante del empuje en la posición primitiva y las fuerzas P que representan las pesas del volumen desplazando por las cuñas emergida y sumergida por la rotación.

Tomando momento respecto al punto B, se tiene

E x r = P x n

V x γ xr=12xD2xD2tg θ x γ x

23Dx L

De la figura 2b:MB = r tgθ

r=D3

12tgθVx L

MB=L D3

12= IV

Es fácil de ubicar G, ya que la ubicación de B es conocida (a la mitad del calado de la barcaza). Podemos expresar:

BG = MB - MG

Calculamos el MB teórico para lo que necesitamos el momento de inercia respecto al eje de giro de la barcaza y el volumen desalojado.

MB= 1V

V=Wγ

=2690 cm3

I= LD3

12=25100cm3

El calado de la barcaza es:

C= VLD

=3.68cm=BC

La profundidad del centro de flotación es:

BC=C2

=1.845cm

8. CUESTIONARIO

a) Realice la deducción de las fórmulas necesarias.

b) Definir los siguientes términos. Cuerpo flotante Plano de flotación Línea de flotación

Centro de flotación Eje de Flotación Carena Desplazamientos Centro de carena o centro de empuje Empuje

c) Graficar para cada posición: X vs. H en una sola gráfica. ¿Qué conclusiones puede obtener de la gráfica?

d) ¿Podría ubicar para cada caso el Centro de Gravedad del Sistema?

e) Graficar la familia de curvas Y vs. H para diferentes desplazamientos X en una sola gráfica. ¿Qué puede decir de este gráfico?

f) ¿Cuáles son las aplicaciones en el campo en la Ingeniería Civil que se le puede dar a la ubicación de la altura metacéntrica?

g) Diga Ud. Cual es el límite de un cuerpo estable e inestable

h) Conclusiones

i) Definir los siguientes conceptos a fines a la flotación: cuerpo flotante, plano de flotación, línea de flotación, flotación, centro de flotación, eje de flotación, carena, centro de carena o centro de empuje, empuje.

j) Graficar la variación del radio metacéntrico vs. el ángulo de carena en abscisas y en grados sexagesimal para diferentes posiciones del centro de gravedad.

k) Graficar la curva de la distancia metacéntrica vs. el ángulo de carena para condiciones similares al del caso anterior.

9. BIBLIOGRAFÍA

Streeter Victor L. & Wylie E. Benjamin, 1988, Mecánica de Fluidos. USA McGraw-Hill

Vennard J.K. & Street R.L., 1989, Elementos de Mecánica de Fluidos. México; CECSA

Potter Merle C. & Wiggert David C., 1991, Mecánica de Fluidos. USA; Prentice Hall

Fox Robert W. & McDonald Alan T., 1995, Introducción a la Mecánica de los Fluidos. USA McGraw Hill

Gehart P., Gross R., Hochstein J., 1992, Mecánica de Fluidos. USA; Addison Wesley Iberoamericana.

Debler Walter R., 1990, Fluid Mechanics Fundamentals. USA; Prentice Hall.