Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires

Anlisis numrico I Gua de ejercicios

Curso 8 Sassano Sarris - Garca

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Gua 1 - Errores

1. Si son los valores que tienen dos magnitudes y son los valores medidos de dichas magnitudes, obtener para cada una de ellas: a- El error absoluto, el error relativo y una cota para el error relativo

b- Obtener el )( bar

e

con estos datos:

c- Calcular el )( bar

e

con los datos de b.

d- Obtener l ).( bar

e cuando .

Redondear los resultados con 2 decimales.

2. Si el resultado de medir cierta longitud con una regla graduada en milmetros es . Dar una cota para el error absoluto de y dar una cota para el error relativo de x. 3. Suponga que el resultado de una operacin dio

a- Es posible afirmar que que tiene t=4 decimales significativos o correctos? Justifique la respuesta. b- Es posible afirmar que tiene t=3 decimales significativos o correctos? Justifique la respuesta. Si es as, diga cmo se debe expresar.

4. Calcular el error absoluto de z por medio del mtodo de la suma de las derivadas parciales, siendo:

a-

b- c-

5. Con cuantas cifras decimales se debe usar a en la expresin

para que

resulte ?

6. Con cuantas cifras decimales se debe usar a en la expresin

para que

resulte ?

7. Calcular, si es posible, con tres decimales correctos el resultado de la siguiente expresin: correctamente redondeado y redondeado a dos decimales. Cul debe ser el error de para que se cumpla la condicin que

? 8. Calcular, si es posible, con 4 decimales correctos el resultado de , con correctamente redondeado y . Cul debe ser el error de para que se cumpla la condicin que la expresin del sea menor o igual a la cota del error por redondeo del resultado en el ejercicio anterior? 9. Con el formato , donde b es la base numrica en que se expresan las variables, constantes y resultados, m es la cantidad de dgitos de la mantisa en que se expresa el numero, n es la cantidad de dgitos que tiene el exponente, red/trunc indica que una de estas opciones se erigir para expresar el resultado ( : es redondeo y : es truncamiento), representar los siguientes nmeros:

473.39; 47.79; 5.04 (Hacerlo solo en notacin cientfica. Ejemplo: 781.61 = 0.782 x 0310 )

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Gua 2 - Ecuaciones no lineales

1. Dada la funcin , hallar una de las races entre [-2.5; -0.5] por el mtodo de la biseccin, trabajando a 5 (cinco) decimales, con una tolerancia de 10-5. Informar la cantidad de pasos que lleva terminar las iteraciones. 2. Las siguientes ecuaciones tienen una raz en el intervalo Determinarlas con un error menor que 0.02 por el mtodo de la biseccin

3. Sea

, se desea encontrar la primer raz positiva de .

a- Hallar un intervalo de partida para utilizar el mtodo de la biseccin. b- Estimar el nmero de aproximaciones necesarias para hallar la raz con una tolerancia para el error absoluto de 0.02. Calcular la raz. c- Si la tolerancia de 0.02 es sobre el error relativo, cuntas aproximaciones se requieren? d- Sabiendo que la raz buscada a 5 decimales es obtener conclusiones sobre la performance del mtodo. 4. Aplicar el mtodo del punto fijo para encontrar la raz o su mejor aproximacin de la

funcin

en el intervalo I= [1.5; 2] con 6 decimales y tolerancia de 10-6

Cuntas iteraciones se necesitan? Hacer grficos de g(x), la funcin identidad y los sucesivos trminos de la sucesin generada 5. La ecuacin eX/4 = x tiene dos races reales. a- Verificar que slo una de ellas puede obtenerse con el mtodo de punto fijo en la forma xk+1 = e

xk/4. Explicar porqu no puede obtenerse la otra raz de esta manera. b- Obtener una aproximacin a la raz que s puede obtenerse con ese esquema iterativo con un error menor que 10-3. Representar grficamente la marcha hacia el punto atractor verificando que es en escalera.

6. Hay raz en la funcin

? Fundamentar.

7. Se desea hallar la primera raz positiva de la ecuacin con el mtodo de Newton Raphson . a-Plantee el mtodo iterativo correspondiente para el problema de punto fijo planteado. b-Estudie las propiedades de convergencia del mtodo propuesto. Encuentre explcitamente un intervalo de convergencia. c-Encuentre el cero buscado con una tolerancia para para el error relativo de . 8. Estudiar la convergencia del mtodo de Newton Raphson aplicado a la ecuacin Elegir como valor inicial y calcular aproximaciones de la raz con precisin sucesivamente creciente. 9. Determinar la raz no nula de la ecuacin , usando el mtodo de Newton Raphson con 4 decimales significativos. Verificar las condiciones de convergencia del mtodo en el intervalo elegido.

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10. Determinar la raz de la ecuacin , usando el mtodo de Newton Raphson con 5 decimales significativos. 11. Aplicar el mtodo de Newton Raphson para determinar una raz compleja de la ecuacin ; comenzar las iteraciones con 12. Sea la ecuacin a- Aplicar el mtodo de Newton Raphson con . Detener el proceso cuando se obtengan 2 decimales significativos. b- Aplicar el mtodo de Newton Raphson para el caso de races mltiples y las mismas condiciones del punto a. 13. Hallar la raz negativa de la funcin , utilizando el mtodo de Newton Raphson y aritmtica de 4 digitos. Estimar el error que se comete en cada iteracin. 14. Considerar la ecuacin ex = sin(x). a- Verificar que esta ecuacin tiene infinitas soluciones reales negativas. Qu puede concluirse de la distancia entre soluciones consecutivas muy alejadas de x = 0? b- Usando el mtodo de Newton obtenga aproximaciones con error menor que 10-6 para las tres races ms cercanas a x = 0. 15. Se desea hallar la raz negativa de la funcin con 6 dgitos de precisin. Utilizar el mtodo de Newton Raphson, partir de y no superar las 10 iteraciones, verificar que la convergencia es lineal.

16. Aplicar el mtodo de la secante para hallar la raz no nula de

con una

tolerancia del 0.1% 17. Determinar las races de las siguientes ecuaciones con el mtodo de la secante con 5 decimales significativos: 18. Solucionar por medio del mtodo de la rgula falsi el problema del punto 1. Indicar cul mtodo es el mejor.

19. Dada

buscar la raz o su mejor aproximacin, en el intervalo [3 ; 4.5] , con

4 decimales , y tolerancia de10-4, finalizando en caso de que no termine en n=8 pasos. Conviene solucionar por Newton Raphson o por otro mtodo? 20. Usando el mtodo de Newton Raphson, hallar la raz negativa de Luego comparar con los otros mtodos: biseccin, rgula falsi , secante y punto fijo. Cual mtodo es mejor? Trabajar a 4 decimales, con tolerancia de .

21. La funcin

tiene 2 ceros en el intervalo . Uno es x=0, se

desea hallar el otro. Para ello se utiliza un mtodo de punto fijo basado en la funcin de iteracin . Las figuras muestran en el intervalo . a- Hallar, un intervalo que contenga al cero buscado como nico cero de . Mostrar que en dicho intervalo el mtodo propuesto converge.

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b- Hallar el cero con una tolerancia del 1% para el error relativo entre dos pasos consecutivos. c- hallar el orden de convergencia del mtodo y la constante asinttica del error.

22. Dada la profundidad h y el periodo T de una ola, su longitud de onda l surge de la relacin

de dispersin , donde

es la pulsacin, g es la aceleracin de la

gravedad y

es el numero de onda. Conociendo y h=4m, se desea calcular

cual es la longitud de onda correspondiente a un ola con T= 5 seg. a- Utilizar un mtodo de punto fijo para calcular la solucin b- Utilizar el mtodo de Newton Raphson para calcular la solucin con 4 dgitos de precisin. Partir del resultado obtenido en a- 23. Para un tiro oblicuo considerando el amortiguamiento viscoso del aire (fuerza resistente de mdulo proporcional a la primera potencia de la velocidad) el alcance L satisface: AL + B ln(1 - C L) = 0 Determinar el alcance L (con error relativo menor al 1%) para los siguientes casos: a) A = 2; B = 10; C = 0.1 b) A = 4; B = 10; C = 0.1.

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Gua 3 - Interpolacin

1. Encontrar el polinomio de grado 3 que pasa por los siguientes puntos utilizando la formula de Lagrange:

X 0 1 2 4

y 1 1 2 5

2. Hallar los valores de a partir de la siguiente tabla, por interpolacin de Lagrange y de Newton con tres dgitos significativos.

X 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30

1,00000 1,02470 1,04881 1,07238 1,09544 1,11803 1,14017

3. Calcular f(3) utilizando la formula de Newton, dada la siguiente tabla:

X 1 2 4 5

f(x) 0 2 12 21

a- Tomar los puntos 1,2 y 4 luego los puntos 2,4 y 5 b- Repetir a pero usando el polinomio de Lagrange c- Aproximar por un polinomio de grado 3. 4. Calcular f(0) utilizando la formula de Newton, dada la siguiente tabla:

X 0,1 0,2 0,4 0,8

f(x) 64987 62055 56074 43609

Notar que la formula de interpolacin se utiliza para extrapolar. 5. Encontrar el polinomio de grado 3 que pasa por los siguientes puntos utilizando la formula de Newton:

x 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

y 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46

6. Encontrar el polinomio de grado 4 que pasa por los siguientes puntos utilizando la formula de Newton.

x 1 2 3 4 5

y 1 -1 1 -1 1

7. Hallar un polinomio Q de grado 3 tal que: Q(0)=0, Q(0)=1, Q(1)=3, Q(1)=6 8. Se conocen los siguientes datos acerca de la funcin f(x): f(0)=1, f(1)=2, f(2)=5, f(0)=0 y f(2)=4 a- Hallar el polinomio interpelante que verifica esa tabla mediante el mtodo de Hermite. b- Hallar la funcin Spline de orden 2 que verifica esas condiciones. 9. Aproximar en x=0,9 con los siguientes datos:

x f(x) f(x)

0.8 0.22363362 2.1691753

1.0 0.65809197 2.0466965

10. Hallar el polinomio interpolante de grado 2 para

por medio de la formula de

Lagrange, utilizando los nodos:

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Graficar la curva y su aproximacion. Analizar los errores para x=0.5 y x=1/3

11. Un coche que viaja en una carretera recta es cronometrado en algunos puntos. Los datos obtenidos se dan en la siguiente tabla. Utilice un polinomio de Hermite para predecir la poscion del coche y su velocidad cuando t=10 segundos.

Tiempo (seg) 0 3 5 8 13

Distancia (m) 0 67,5 114,9 186,9 297,9 Velocidad (m/s) 22,5 23,1 24 22,2 21,6

12. Se desea hallar una funcion polinmica para aproximar a la funcion , en el intervalo . a- Tabular f(x) en los nodos x=0, 0.5, 1 y 2 y hallar el polinomio interpolante por el metodo de Newton, trabajar con 5 digitos. b- Agregar el nodo x=1.5 para hallar una expresion aproximada para el error. Utilizarla para estimar el error en x=0.1, 0.3, 1.2, y 1.7 c- Comparar los errores estimados en el punto anterior con los valores correctos, calculados como diferencia entre el valor correcto de f(x) y el obtenido por medio del polinomio interpolante.

13. Se tiene la funcin , de la cual se proveen los siguientes valores: X 0 0,5 1 2

f(x) 1 1,64872 2,71828 7,38906

a- Estimar f(0.25) utilizando interpolacin de Lagrange con los nodos y b- Estimar f(0.75) utilizando interpolacin de Lagrange con los nodos y c- Estimar f(0.25) y f(0.75) utilizando interpolacin de Lagrange con los nodos d- Estimar los errores de truncamiento de los clculos realizados en los punto a, b y c en base a la formula:

Compararlos con los valores exactos calculados a partir de los valores reales de la funcin f(0.25)=1.28403 y f(0.75)=2.11700 e- Indicar qu aproximaciones resultaron ms precisas y por qu.

14. Se desea hallar una funcin de interpolacin polinmica para aproximar la funcin en el intervalo

a- Construir un polinomio por interpolacin de Hermite en los nodos

trabajar con

cuatro decimales. Estimar el error cometido en la construccin del polinomio.

b- Estimar el error cometido en 0.2, 0.5, 1 utilizando el punto extra

en la tabla de

interpolacin de Hermite. 15. Se desea interpolar una Spline cubica para una funcin tabulada en 4 nodos. Explicar cuantas son las incgnitas y cuales las ecuaciones que completan el planteo del problema.

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16. Construya el trazador cubico libre con los siguientes datos: a-

b-

x f(x)

0.1 -0.62049958 0.2 -0.28398668 0.3 0.00660095 0.4 0.24842440

17. Los datos del ejercicio anterior se generaron usando las siguientes funciones. Utilice los

trazadores cbicos construidos en el ejercicio anterior a fin de aproximar . Calcule el error.

a-

b- 18. Un trazador cubico sujeto S de la funcin f est definido en el intervalo por:

Dadas , encuentre a, b, c y d. 19. Un trazador cubico natural S est definido por:

Si S interpola los datos (1,1), (2,1) y (3,0) obtener: B, D, b y d

x f(x)

8.3 17.56492 8.6 18.50515

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Gua 4 - Ajuste

1. Aproximar los datos con un polinomio de grado 2, por cuadrados mnimos y graficar la solucin

X 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

Y 1,0000 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183

a- Calcular los errores para cada dato de la tabla. b- Calcular el polinomio interpolante de Lagrange de grado 2, en los nodos 0, 0.5 y 1. c- Graficar la solucin y calcular los errores para cada dato de la tabla. d- Comparar los resultados obtenidos y determinar cual solucin aproxima mejor a la curva en el intervalo . e- Comparar los resultados obtenidos con la funcin en los puntos: 0.1, 0.2, 0.3, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, calcular los errores y obtener conclusiones 2. Determinar las lneas rectas que aproximan la curva , segn los siguientes mtodos, comparar los resultados y calcular los errores en x=1. Utilizar 3 decimales. a- Cuadrados mnimos sobre la siguiente tabla:

-1 -0.5 0 0.5 1

0,368 0,607 1 1,649 2,718

b- Tomando la lnea tangente a en el punto medio del intervalo , es decir, la aproximacin de Taylor de primer orden. c- Tomando la lnea tangente a en el punto medio del intervalo , es decir, la aproximacin de Taylor de primer orden. 3. Se tiene la siguiente tabla de datos:

x 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

y 3,8 3,7 4,0 3,9 4,3 4,2 4,2 4,4 4,5 4,5

a- Encontrar una funcin lineal que aproxime estos datos por cuadrados mnimos. Utilizar esta curva para suavizar los datos. b- Repetir el punto anterior con una funcin cuadrtica. c- Comparar los resultados.

4. Obtener una formula del tipo: a partir de los siguientes datos:

x 1 2 3 4

y 7 11 17 27

5. Dada la siguiente coleccin de datos, elegir una curva de aproximacin y analizar los errores respecto de los valores dados:

x 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00

y 5,10 5,79 6,53 7,45 8,46

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6. Construir las aproximaciones indicadas, calcular los errores y obtener conclusiones: a- Aproximacin polinmica de grado 1 b- Aproximacin polinmica de grado 2 c- Aproximacin polinmica de grado 3 d- Aproximacin de la forma : e- Aproximacin de la forma Para las siguientes tablas: a-

x Y

4.0 102.56 4.2 113.18 4.5 130.11 4.7 142.05 5.1 167.53 5.5 195.14 5.9 224.87 6.3 256.73 6.8 299.50 7.1 326.72

b-

x y

0.2 0.050446 0.3 0.098426 0.6 0.332770 0.9 0.726600 1.1 1.097200 1.3 1.569700 1.4 1.848700 1.6 2.501500

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7. Para 5 instantes de tiempo se observaron los siguientes valores de un parmetro fsico:

t -2 -1 0 1 2

u u-2 u-1 u0 u1 u2

Mostrar que, si los datos se ajustan por una parbola , la aproximacin en t=0 es:

8. Hallar el polinomio aproximante de segundo grado para la funcin: en el intervalo . Graficar la funcin y su aproximacin. 9. El nivel de agua en el Mar del Norte est determinado principalmente por la marea llamada M2, cuyo periodo es de aproximadamente 12 horas. Se han realizado las siguientes mediciones:

T(horas) 0 2 4 6 8 10

H(t)(m) 1,0 1,6 1,4 0,6 0,2 0,8

a- Ajustar la serie de mediciones usando el mtodo de los cuadrados mnimos y la funcin:

b- Calcular errores que permitan estimar la precisin de la aproximacin realizada en a c- Utilizar ahora la funcin:

Repetir b para la nueva funcin aproximante. Comparar y obtener conclusiones.

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Gua 5 - Sistemas de ecuaciones lineales

1. Resolver el sistema utilizando eliminacin de Gauss sin pivoteo, donde:

2. Calcular la inversa de la matriz A resolviendo el sistema , utilizando eliminacin de Gauss, siendo I la matriz identidad y X la matriz inversa de A. Qu es lo que se obtiene si se utiliza pivoteo?

3. Dada la siguiente descomposicin LU de la matriz A efectuada utilizando pivoteo parcial:

a-Resolver el sistema de ecuaciones A.x=b, siendo:

b- Obtener la matriz A y verificar la solucin obtenida en a 4. Considera la matriz A definida segn:

Considerar el sistema Ax=b donde:

Resolver el sistema utilizando eliminacin de Gauss con pivoteo parcial operando con 5 decimales. Investigar las caractersticas de la matriz y obtener conclusiones. 5. Dada la matriz A del problema anterior y

Resolver Ax=b aplicando la descomposicin LU de A, trabajando con 5 decimales y redondeo. Obtener conclusiones.

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6. Sea el sistema de ecuaciones lineales:

a- Obtener la solucin numrica utilizando dos algoritmos: eliminacin de Gauss con pivoteo parcial y eliminacin de Gauss con pivoteo total. b- Estimar el nmero de condicin de la matriz de los coeficientes. c- En base a los resultados obtenidos en los puntos a y b, indicar cules de las siguientes afirmaciones son correctas y por qu: i) El primer algoritmo est mal condicionado. ii) El segundo algoritmo est mal condicionado. iii) El problema est mal condicionado 7. Describir como se simplifica el algoritmo del metodo de eliminacion de Gauss para el caso particular en que la matriz de coeficientes es simetrica definida positiva. 8. Dado el siguientes sistema de ecuaicones lineales donde la matriz A es no singular:

a- Establecer cuando el metodo de Jacobi diverge b- Demostrar que si el metodo de jacobi converge el metodo de Gauss seidel lo hace mas rapido. 9. Sea el sistema de ecuaciones lineales:

a- Resolverlo por el metodo de Jacobi. Efectuar las modificaciones necesarias para garantizar la convergencia. Trabajar con 5 digitos de precision. b- Explicar la convergencia o no de los algoritmos del punto a- en terminos de la norma de la matriz de iteracion. 10. Resolver el siguiente sistema utilizando el metodo de Gauss-Seidel, iterando hasta que la maxima diferencia entre dos valores sucesivos de x, y o z sea menor que 0.02. Indicar si esto ultimo significa que la solucion obtenida esta en un intervalo de radio 0.02 alrededor de la solucion exacta.

11. Resolver el siguiente sistema utilizando el metodo de Gauss-Seidel:

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12. Considerar el sistema poco denso de ecuaciones:

Mostrar que el sistema se permanece poco denso cuando se lleva a la forma triangular utilizando el metodo de eliminacion de Gauss. Hallar la solucion por Gauss y luego por Gauss- Seidel. 13. Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

a- Efectuar las modificaciones necesarias para poder garantizar la convergencia utilizando el metodo de Gauss-Seidel. b- resolverlo iterando hasta obtener una precision de 3 digitos significativos, sin exceder un maxiomo de 5 iteraciones. c- Determinar como influye un error absoluto de 0.01 en el primer coeficiente de la primera ecuacion sobre los valores calculados de x, y, z. 14. Dado el sistema , construir un algoritmo que halle el vector solucin mediante el mtodo de Gauss-Seidel. 15. Resolver por el mtodo SOR el sistema de ecuaciones del punto 1. 16. Sea el siguiente sistema:

Qu mtodo usara para resolverlo y por qu? 17. El siguiente cdigo en Octave implementa la aproximacin a la solucin de un sistema de 5 ecuaciones lineales con 5 incgnitas con un mtodo iterativo: e = 1; x = zeros(1,5); y = zeros(1,5); k = 0;s = 10^(-3); while e > s

y(1) = (5 + x(2))/10; y(2) = (4 + x(1) + x(3))/10; y(3) = (4 + x(2) + x(4))/10; y(4) = (4 + x(3) + x(5))/10; y(5) = (5 + x(4))/10; f=abs(y(1)-x(1)); for i =2:5

if abs(y(i)-x(i))>f f=abs(y(i)-x(i));

end

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end e = f; x = y; k = k +1;

end a- Cul es el sistema de ecuaciones y cul el mtodo iterativo? Justifique su respuesta. b- Cul es el criterio de parada y como est implementado? Cules son los significados de las variables e y k? Nota: zeros(n,m) genera una matriz nula de n filas por m columnas. 18. El siguiente cdigo implementa una aproximacin a la solucin de un sistema de ecuaciones lineales: xn1=1;xn2=1;xn3=0;xn4=0; i=0;e=1; tol=0.01; while (e >tol)

i=i+1;x1=xn1; x2=xn2; x3=xn3;x4=xn4; xn1=(13 - x2 + x3 - x4)/4; xn2=(-8 - x1 + x3 + 2 x4)/(-5); xn3=(-2 - 2* x1 + x2 - 2 x4)/(-6); xn4=(-5 - x1 + x2 - x3)/(8); e=max([abs(xn1-x1) abs(xn2-x2) abs(xn3-x3) abs(xn4-x4)]);

end a- Escriba el sistema de ecuaciones lineales. Qu mtodo est implementado? Ser convergente el procedimiento? Explique. b- Modifique algunas lneas del cdigo para que quede implementado el otro tipo de mtodo iterativo presentado en este curso. Haga dos pasos de este otro mtodo con su calculadora y presente su respuesta en una tabla redondeando a dos decimales pero operando con toda la precisin de su calculadora.

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Gua 6 - Sistemas de ecuaciones no lineales

1. Sea el siguiente sistema de ecuaciones no lineal:

Resolverlo por el mtodo de Newton con:

2. Resolver el siguiente sistema usando el mtodo de Newton, trabajar con 4 decimales,

partiendo de

3. Resolver el siguiente sistema usando el mtodo de Newton, trabajar con 4 decimales,

partiendo de

4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales por el mtodo de Newton

trabajando con tres dgitos significativos, partiendo de la aproximacin

5. Repetir el ejercicio anterior usando el mtodo del descenso ms rpido. 6. Resolver el siguiente sistema no lineal usando el mtodo de Newton, partiendo de

. Realizar 3 iteraciones:

7. Resolver el siguiente sistema usando el mtodo de Newton, hasta obtener una precisin tal

que (tomar la norma infinito) , es el error absoluto entre dos iteraciones

consecutivas

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Gua 7 - Diferenciacin e integracin numrica

1. Usar las formulas de diferencia progresiva y de diferencia regresiva para determinar las aproximaciones con que se completan las siguientes tablas

2. Los datos del ejercicio 1) se tomaron de las siguientes funciones. Calcular los errores reales y obtener una cota para el error a- b- 3. Se tiene la siguiente tabla de valores para la funcin seno:

x 0.920 0.950 1.00

Sen(x) 0.79560 0.81342 0.84147

a-Estimar el valor de la derivada de la funcin en x=1 utilizando dos aproximaciones en diferencias en atraso y luego obtener un valor ms preciso por extrapolacin de Richardson. b-Construir una formula de aproximacin en diferencias de segundo orden para la derivada en x=1, y utilizarla para hallar un nuevo valor. c-Discutir sobre la precisin de los valores hallados en los puntos anteriores. Estimar el error v valor de cos(1). 4. Calcular la siguiente integral utilizando las formulas del trapecio y de Simpson con pasos

, respectivamente:

Obtener conclusiones sobre la precisin obtenida.

5. Integrar la funcin entre los argumentos 1.00 y 1.30, segn las formulas del trapecio y de Simpson. Obtener conclusiones sobre la precisin obtenida.

6. Integrar la funcin entre 0 y

a partir de la siguiente tabla

X 0 / 2 /6 /4 /3 5/ 2 /2

sen(x) 0,0000 0,2587 0,5000 0,7071 0,8660 0,9659 1,0000

x f(x)

0.5 0.4794 0.6 0.5646 0.7 0.6442

x f(x)

0.0 0.00000 0.2 0.74140 0.4 1.3718

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Usar el mtodo del trapecio y el mtodo de Simpson. Comparar los resultados con el valor exacto.

7. Integrar la funcin

entre 0 y 0.8 por el mtodo de Romberg con 5 dgitos

significativos.

8. Evaluar la integral

mediante el mtodo de Romberg hasta obtener 4 dgitos de

precisin.

9. Hallar una frmula de cuadratura para la integral

utilizando 4 nodos

equiespaciados e interpolacin polinomial sobre el intervalo. Utilizar el mtodo de los

coeficientes indeterminados. Si M es una cota superior para , hallar una estimacin del error por truncamiento en trminos de M.

10. Evaluar la integral:

utilizando la formula de Simpson con un error no

mayor a 0.01. Sabiendo que la regla de Simpson aplicada a un intervalo genrico (xi-1; xi+1) es:

Donde , se pide: a- Obtener una expresin para acotar el error de truncamiento global sobre todo el intervalo de integracin. b- Utilizando la expresin hallada en el punto anterior, determinar un paso h que garantice la cota de error establecida y efectuar el clculo utilizando este valor de h. c- Compara el resultado de la integracin numrica con el valor exacto de la integral y verificar que la diferencia esta acotada por el error estimado.

11. Evaluar la integral:

a- Utilizar el mtodo de Romberg comenzando con el paso

. Trabajar con 5 decimales

de precisin. Afinar el paso de clculo no ms de 2 veces. b- Calcular la influencia de los errores en los valores del integrando sobre los valores obtenidos por la Regla del Trapecio. c- El valor exacto de la integral es:

Dar una explicacion de la alta precision obtenida con la Regla del Trapecio.

12. Integrar usando la regla del trapecio simple la funcin

entre 2 y 5 con un

incremento h de 0.2 Repetir usando el mtodo de Romberg para las filas que usted crea necesarias y que acerquen con un error relativo menor a 10-6 el resultado con respecto al valor analtico de la integral. 13. Repetir el punto 12 para la funcin entre 3 y 6

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14. Integrar por mtodo de Gauss las funciones del punto 12 y del punto 13 en los intervalos dados con n hasta el valor de 5. Comparar errores. 15. Integrar por mtodo de Gauss la funcin con x en el intervalo [0.80, 2]. Hacerlo con n hasta 5. 16. Integrar mediante la regla de Simpson compuesta la funcin del punto 13, comparar con el resultado analtico. Usar h=0.5. 17. Integrar mediante la regla de Simpson compuesta la funcin entre 1 y 2.5 con incremento de h de 0.05. Comparar con el valor exacto.

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Gua 8 - Ecuaciones diferenciales

1. Resolver usando el metodo de Euler, el siguiente problema de valores iniciales:

Hacer una tabla comparando los valores en las iteraciones. Usar 2 Obtener las solucion para t=0.6 2. Idem con el metodo de Runge Kutta del punto medio 3. dem con el mtodo de Runge Kutta de orden 4.

4. Resolver usando el mtodo de Runge Kutta de orden 4 el siguiente problema de valores iniciales, con los pasos del ejercicio 1.

5. Resolver usando el mtodo de Euler y Runge Kutta del punto medio los siguientes problemas de valores iniciales:

a-

b-

c-

6. Responder: Qu hecho justifica el uso de mtodos multipasos respecto a los de un solo paso como los hasta ahora empleados? 7. Resolver por el mtodo de Adams Bashforth el problema del punto 4. 8. Resolver por el mtodo de Adams Moulton el problema del punto 4. 9. Comparar en una tabla los resultados obtenidos al resolver el ejercicio 4 con los mtodos usados en el mismo ejercicio y en los ejercicios 7 y 8. Saque conclusiones.

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Gua 9 - Ecuaciones diferenciales de segundo orden y problemas de valores de contorno

1. Considere el siguiente problema de valor inicial:

Realizar dos pasos del mtodo de Euler con h=0,1 2. Considere el siguiente PVI:

Realizar dos pasos del mtodo de Euler con h=0,1 3. Considere el siguiente problema de valor inicial

La funcin f(t) viene dada en la siguiente tabla de valores:

tk 0,0 0,1 0,2 0,3 O,4 0,5

f(tk) 1,0 1,0 2,0 2,0 0,0 0,0

a. Obtenga el sistema de ecuaciones en diferencias que resulta cuando se utiliza el mtodo de Euler para aproximar la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden equivalente al problema de valor inicial considerado. b. Obtenga la aproximacin a y(tk) con ese mtodo para k tomando los valores de 0 a 6 si se elige el paso h = 0.1. Presente una tabla redondeando los resultados en dos decimales pero operando en su calculadora con la mxima precisin 4. Resolver el siguiente problema de valores de contorno utilizando el mtodo del tiro:

5. Se tiene el siguiente problema con valores de contorno:

a. Hallar la funcin que expresa a x(6) en funcin de x(1)

(Sugerencia: La solucin general de la ecuacin de segundo orden es ) b. Con el valor obtenido para x(1) en el tem a hallar una aproximacin de la solucin exacta de x(t) usando un paso h=1.

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6. Resolver el siguiente problema por el mtodo del tiro, usando el paso h que crea conveniente:

7. Sea el siguiente problema:

Resolver el problema para un paso de clculo h = 1/2 y h =1/3, 8. Obtener una aproximacin de la curva que debe tener una cuerda para que una bolilla se desplace desde el punto de coordenadas (1; 7) hasta el punto (0; 1) en el menor tiempo posible. Se propone plantear dicho problema fsico en la forma del siguiente problema de valor de contorno: