Guia Ejercicios Complementos de Matematicas_2016

8/17/2019 Guia Ejercicios Complementos de Matematicas_2016

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UNIVERSIDAD ARTURO PRAT

INGENIERIA CIVIL INDUSTRIAL

COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS

1

GUIA: COMPLEMENTOS DE MATEMATICAS

1.

Resolver las siguientes inecuaciones:

a) x

x x

3

9

2

5

b) )1()3)(2( x x x x

c) 11

x

d)

24

1

x

x

e) 1

2

3

1

4

x x

f)

12 1

x x

g) 0

2332

121 2

x x

x x x

h)

17

431

x

x

i)

01

12

2

x x

x x

j)

0)2(5 2 x

k)

0)12(3

2 x x x

l)

21 x

m) 221 x

n) 012 x

o) 0)127( 24 x x x

p)

013

x

q)

01

652

2

x x x

r) 6232 x x

s)

12

x x x

t)

5652 x x x

u)

6652 x x

v) 31

22

x

x

w)

36223

2

2

x x x x


2/7




2

x) 3

2

1

112

32

3222 x x

x

x x

x

y) 34212 x x

z)

111 x x

2. Considere la función f: D [1, 9[ definida por f(x) = 2 x .Hallar el dominio de la

función.

3. Sea a hecho un estudio sobre el comportamiento de una población de bacteria

sometida a temperatura ambiente. Se determino que la población de bacteria es en

millones con respecto a la temperatura bajo el siguiente modelo matemático.

00

00

00

403096024

3020240

2010808

)(

t sit

t si

t sit

t p

a) Obtener el grafico del modelo.

b) Determine dominio y recorrido de la función.

c)

Qué población de bacteria habrá a los00 .

d) Qué población habrá a los035 .

e)

En qué temperatura la población es de 200 millones.

f) Para que temperaturas no hay población de bacteria.

4.

Cuando se dispara el flash de una cámara fotográfica las pilas comienzan a recargar el

capacitor del flash, en la cual se almacena la carga eléctrica que viene dada por la

función )1()( 0at eQt Q . Determine cuánto tarda en recargarse el capacitor hasta

el 90% de su capacidad si a = 2 y 0Q es la máxima capacidad, t se mide en segundos.

5. Considere las funciones f, g tales que f(x) =2 x ; g(x)= ax+1, a>0 con dominio real

apropiado para que ambas sean biyectivas. Si2

1)(

)2

3(

11 g f

Determine: (fog) )2(

6.

Si222222 ba yb xa . Demostrar que:

32

4

yb

a y

ll

7. Encuentre las ecuaciones de la tangente y normal a la curva:

632 422 y xy x en el punto 10 x


3/7




3

8.

Sea 03 x

ye

x

y x

y

. Hallarl y

9. Determinar los valores de a y b para que la función f sea continua para todo x real

x x

x xb

xax

xb x

xa

x f

2 si 2

)103(

21 si 32

1 si 1

1

)(

2

2

10. Si a, b >0 demostrar que

333

22

baba

11. Calcular el valor de (a-b) si se cumple:

b x

x

a

3

188

411, ]7;1[ x

12. Suponiendo que f y g son funciones derivables tales que f(2)=3, f’(2)=- 1, g(2)= - 5

y g’(2)= 2.

Calcule )2(l3 )gfg(

13. Todas las aristas de un cubo están creciendo a 3 cm/s. ¿Con qué rapidez cambia el

volumen del cubo cuando la arista mide 10 cm?

14. Calcular, aplicando L’Hospital:

a) x x senx

1

0 )1(lim b) x

x x2

0 1lim

15. Escriba la Ecuación de la tangente y de la normal a la curva en el punto (a,b) :


4/7




4

2)()( nn

b

y

a

x

16. Sea f una función tal que f(2) = −3 y 5)(' 2 x x f . Si

1)( 2

x

x f x x g .

Encuentre g’(2)

17.

Verificar que ),5(2 x sene y x satisface la ecuación : 0294 y y y l ll

18. Dos postes de 12 y 28 metros de altura, distan 30 metros entre si. Hay que conectarlos

mediante un cable que este atado en algún punto del suelo entre los postes. ¿En qué

punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor longitud de cable

posible?

19. Se pide calcular el volumen máximo de un paquete rectangular enviado por correo,

que posee una base cuadrada y cuya suma de anchura + altura + longitud sea 108.

20. Un fabricante desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y que tenga un área

total de 108 metros cuadrados de superficie. ¿Qué dimensiones producen la caja de

máximo volumen? Dato: La abertura de la caja es uno de los lados cuadrangulares.

21. El alcance R de un proyectil lanzado con velocidad inicial 0v y con un ángulo θ respecto

de la horizontal es g

senv R

220 , donde g es la aceleración de la gravedad. Calcular

el ángulo θ que produce alcance máximo.

22. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que tiene un lado sobre el eje x

y está inscrito en el triangulo determinado por las rectas x y x y y 24,,0

23.

Pruebe que, si110 x y entonces

10ln

)10ln( y x

24.

Transformar la ecuación en otra que no contenga logaritmos

0)ln()ln( y x y x

25. Sea IR IR f : tal que xe x x x f ).32()( 2


5/7




5

(1,2)

a

X

Y

Determine: tal que:

)(.)(.)(. ''' x f e x f x f x , IR x

26. Sea cbxax x f 2)( una función dada. Demuestre que si:

0)1( f , 1)2( f , 4)3( f ,

Entonces2)1()( nn f

27. Si )(2

1)( x x ee x f )(

2

1)( x x ee x g , demostrar que:

a) f es una función impar de x

b)

g es una función par de xc)

1)]([)]([ 22

x f x g

d) )().(2)2( x g x f x f

e) )().()().(2)( y f x g y g x f y x f

28. Encuentre a y b tales que la función definida por bax x x f 23)( tenga un

extremo relativo en el punto (3,-2)

29.

Un diseñador de obras de arte ha determinado que el ingreso por vender x unidadesviene dado por:

2100020000)( x x x I y los costos de producir x unidades por la

función x xC 400048000)( . Si la función beneficio es B(x) = I(x) − C(x),

determinar:

i) La producción que maximiza el beneficio

ii) El valor de la utilidad máxima

30. Dada la gráfica de la función bax x f 3)(

Calcular:ba

31.

Si 2)0(,0,)( 2 f acbxax x f

Rang [;1[ f Halle: 2

42

11

591

ab

ba

f


6/7




6

32.

Si k x x g k x x f 3)(5)( . Hallar el valor de k si se cumple:

)()()( )()(4)( k x x g f f g g f

33. Calcular los siguientes límites:

a)2

43 2

0

211

x x

x x Lim x b)

1

14

3

1a

a Lima

34.

Calcular:

33

8426

x

xlíma x ,

22

3124

x

xlímb x

e indique ba

35. Si x

x

xlíma)10(53

)10(42 x x xlímc x 66

2

Calcular ca

36. Sea f una función derivable en todo su dominio tal que f(x) es de segundo grado y se

cumple que xa x f l 6)( . Calcule el mínimo valor de f(x) si posee valor mínimo

para x= -2 y además f(0)=17.

37.

Un embudo en forma de cono invertido tiene 5 cm de radio R, 8cm de altura H. Unlíquido fluye dentro del embudo a razón de 12 scm /

3 y fuera de él (sale de este) a

razón de 4 scm /3

. Determinar con qué rapidez sube el líquido cuando este se

encuentra a 5 cm de altura.

38.

Un volantín se encuentra a 25 metros de altura y se ha soltado 48 metros de hilo,

suponiendo que el hilo se extiende en línea recta y el volantín se mueve a razón de

3 m/s, alejándose de la persona que sostiene el hilo, determinar con qué rapidez se

debe ir soltando el hilo.

39.

Para la función

22

)(

x

e x f , encuentre punto de inflexión y extremos, si es queexisten.


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7

40. Si IRbab ya x ,,)( 22

. Verificar que 01)(. 2l ll y y y

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