Guía de Trigonometría 2015 Integración

Ing. Pablo Guillermo Torra 1

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Tomar conciencia del regalo de la Vida es un asombro. De la calidad de cada da depender la calidad

del ao. Es verdad que uno tambin tiene que planificar cosas y elaborar propsitos a mediano y largo plazo,

pero esos proyectos slo se cumplen en la medida que uno pone todo de s en cada minuto y en cada da de su

vida.

Hay un lugar para ti. El mundo te necesita. Procura que este da valga la pena.

GUAGUAGUAGUA DE TRABAJOS DE TRABAJOS DE TRABAJOS DE TRABAJOS PRCTICOSPRCTICOSPRCTICOSPRCTICOS

MATERIAMATERIAMATERIAMATERIA:::: INTEGRACION IINTEGRACION IINTEGRACION IINTEGRACION I TEMATEMATEMATEMA: : : : RESEA DE TRIGONOMETRESEA DE TRIGONOMETRESEA DE TRIGONOMETRESEA DE TRIGONOMETRARARARA AO 2015AO 2015AO 2015AO 2015

Ing. Pablo Guillermo Torra


TrigonometraTrigonometraTrigonometraTrigonometra La trigonometra (del griego "tringulo" + "medida", "la medicin de los tringulos"), es una rama de las matemticas que estudia las relaciones entre los ngulos y los lados de los tringulos. Para esto la trigonometra se vale del estudio de las funciones o razones trigonomtricas las cuales son utilizadas frecuentemente en clculos tcnicos. La trigonometra se aplica a otras ramas de la geometra, como es el caso del estudio de las esferas, de la geometra del espacio, etc.

Posee numerosas aplicaciones: las tcnicas de triangulacin, por ejemplo, son usadas en astronoma para medir distancias a estrellas prximas, en la medicin de distancias entre puntos geogrficos, y en sistemas de navegacin por satlites.

Fig n 2.

El Canadarm 2 es un brazo manipulador robtico gigantesco de la Estacin Espacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ngulos de sus articulaciones. Calcular la posicin final del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonomtricas de esos ngulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.

Unidades angularesUnidades angularesUnidades angularesUnidades angulares En la medida de ngulos, y por tanto en trigonometra, se emplean generalmente dos unidades, si bien la ms usada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemticas es el Radin la ms utilizada, y se define como la unidad natural para medir ngulos.

Radin: unidad angular natural en trigonometra. En una circunferencia completa hay 2 radianes. Un radin es el arco de circunferencia de longitud igual al radio.

Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360.


Funciones trigonomtricasFunciones trigonomtricasFunciones trigonomtricasFunciones trigonomtricas

El tringulo ABC es un tringulo rectngulo en C; lo usaremos para definir las funciones seno, coseno y tangente, del ngulo , correspondiente al vrtice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno es la razn entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

El coseno es la razn entre el cateto adyacente y la hipotenusa

Fig n 3 La tangente es la razn entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Es el cociente entre el seno y el coseno.Es el cociente entre el seno y el coseno.Es el cociente entre el seno y el coseno.Es el cociente entre el seno y el coseno.

Fig. n 4 Circunferencia en Grado Sexagesimal Circunferencia en Radian Circunferencia en Grado Sexagesimal Circunferencia en Radian Circunferencia en Grado Sexagesimal Circunferencia en Radian Circunferencia en Grado Sexagesimal Circunferencia en Radian Otras razones trigonomtricasOtras razones trigonomtricasOtras razones trigonomtricasOtras razones trigonomtricas Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones inversas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:


cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razn inversa del seno.

secante: (abreviado como sec) es la razn inversa de coseno.

cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razn inversa de la tangente, o tambin el inverso multiplicativo de la tangente:

Normalmente se emplean las relaciones trigonomtricas: seno, coseno y tangente, y salvo que haya un inters especifico en hablar de ellos o las expresiones matemticas se simplifiquen muchsimo, los trminos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

Funciones trigonomtricas inversasFunciones trigonomtricas inversasFunciones trigonomtricas inversasFunciones trigonomtricas inversas

En trigonometra, cuando el ngulo se expresa en radianes (dado que un radin es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco.

Si:

y es igual al seno de x, la funcin inversa:

x es el arco cuyo seno vale y, o tambin x es el arcoseno de y.

Si:

y es igual al coseno de x, la funcin inversa:

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

Si:

y es igual al tangente de x, la funcin inversa: x es el arco cuyo tangente vale y, x es igual al arcotangente de y.


Valor de las funciones trigonomtricasValor de las funciones trigonomtricasValor de las funciones trigonomtricasValor de las funciones trigonomtricas

Radin ngulo

sen cos tan csc sec ctg

Sentido de las funciones trigonomtricasSentido de las funciones trigonomtricasSentido de las funciones trigonomtricasSentido de las funciones trigonomtricas

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y un crculo con centro en O y radio 1; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo sealamos como punto B.

La recta r, que pasa por O y forma un ngulo a sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto C, la vertical que pasa por C, corta al eje x en A, la vertical que pasa por B corta a la recta r en el punto D.

Por semejanza de tringulos:

Fig. n 5

La distancia , es el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonomtricas:


tenemos:

La tangente es la relacin del seno entre el coseno, segn la definicin ya expuesta.

Primer cuadrantePrimer cuadrantePrimer cuadrantePrimer cuadrante Partiendo de esta representacin geomtrica de las funciones trigonomtricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ngulo a.

Para a = 0, tenemos que A, C, y D coinciden en B, por tanto:

Si aumentamos progresivamente el valor de a, las distancias AC y BD aumentaran progresivamente, mientras que OA disminuir, percatarse que OA y AC estn limitados por la circunferencia y por tanto su mximo valor absoluto ser 1, pero BD no est limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por B, en el momento en el que el ngulo a sea 0,5 rad, la recta r ser la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia BD ser infinita, la tangente toma valor infinito cuando a= 0,5 rad, el seno vale 1 y el coseno 0.

Representacin grficaRepresentacin grficaRepresentacin grficaRepresentacin grfica

Fig. n 6. Representacin de las funciones trigonomtricas en el plano xy, los valores en el eje x multiplicados por Radin.


Identidades trigonomtricasIdentidades trigonomtricasIdentidades trigonomtricasIdentidades trigonomtricas Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometra existen cinco identidades fundamentales:

ssssen en en en . . . . csc csc csc csc = 1 = 1 = 1 = 1 cos . cos . cos . cos . sec sec sec sec = 1 = 1 = 1 = 1 tan tan tan tan . . . . cot cot cot cot = 1 = 1 = 1 = 1 tan tan tan tan = = = = sen sen sen sen / / / / cos cos cos cos sensensensen2222 ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + coscoscoscos2222 ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 = 1 = 1 = 1

Algunas Algunas Algunas Algunas identidades trigonomtricasidentidades trigonomtricasidentidades trigonomtricasidentidades trigonomtricas importantes son:importantes son:importantes son:importantes son: sen (90 + ) = cos

cos (90 ) = sen

sen (180 ) = sen

cos (180 ) = cos

sen 2 = 2 sen cos

cos 2 = cos2 - sen2

sen ( ) = sen cos cos sen

cos ( ) = cos cos sen sen 2 sen cos = sen ( + ) + sen ( );

2 sen2() = 1 cos(2);

2 cos2() = 1 + cos(2);

sen cos + sen cos = sen( + )cos( - )

Teorema del senoTeorema del senoTeorema del senoTeorema del seno En trigonometra, el teorema del seno es una relacin de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un tringulo y los senos de los ngulos respectivamente opuestos.

Consideramos un tringulo cualquiera ABC, representado en la Fig. 1, donde los ngulos son designados por las letras minsculas griegas y los lados opuestos a los ngulos por la minscula latina correspondiente:

a = BC y = ngulo formado por [AB] y [AC]; b = AC y = ngulo formado por [BA] y [BC]; c = AB y = ngulo formado por [CA] y [CB].

Entonces, Fig n 7

,


Teorema del cosenoTeorema del cosenoTeorema del cosenoTeorema del coseno

Fig. 8 - Notaciones habituales en un tringulo cualquiera. El teorema del coseno es un teorema de geometra de los tringulos comnmente utilizado en trigonometra. Es la generalizacin del teorema de Pitgoras en los tringulos no rectngulos: relaciona el tercer lado de un tringulo con los dos primeros y con el coseno del ngulo formado por estos dos lados.

Sea un tringulo ABC, en el cual utilizamos las notaciones habituales expuestas en la figura 1: por una parte , y para los ngulos y, por otra parte, a, b y c para los lados respectivamente opuestos a estos ngulos. Entonces, el teorema del coseno se enuncia de la siguiente manera:

El teorema y sus aplicacionesEl teorema y sus aplicacionesEl teorema y sus aplicacionesEl teorema y sus aplicaciones

El teorema del coseno es tambin conocido por el nombre de teorema de Pitgoras generalizado, ya que el teorema de Pitgoras es un caso particular: cuando el ngulo es recto, o dicho de otro modo cuando cos = 0, el teorema del coseno se escribe:

El teorema se utiliza en triangulacin para:

determinar el tercer lado de un tringulo donde conocemos un ngulo y los lados adyacentes:

Fig n 9 encontrar los ngulos de un tringulo donde conocemos los tres lados:


Problemas de TrigonometraProblemas de TrigonometraProblemas de TrigonometraProblemas de Trigonometra

Encuentra los datos que faltan en los siguientes tringulos rectngulos y calcula la superficie en cada caso.

1) Datos: c = 25,40 m; = 633842 Rta: a = 11,28 m; b = 22,76; = 262118; Area = 128,37 m2.

2) Datos: b = 11,00 cm; = 720512 Rta: a = 3,56 cm; c = 11,56; = 175448; Area = 19,58 cm2.

3) Datos: c = 49 km; b = 30 km Rta: a = 38,74 km; = 521453; = 374507; Area = 581,1 km2.

4) Datos: b = 100 cm; a = 30 cm Rta: c = 105 cm; = 164159; = 731822; Area = 1500 cm2.

5) Datos: Area = 546,86 m2; b = 74 m Rta: a = 14,78 m; c = 75,46; = 111743; = 784217

6) Calcular qu longitud debe tener una escalera para que apoyada en la pared, alcance una altura de 2,85 m al formar con el plano de la base un ngulo de 581.

Rta: 3,36 m

7) Calcular la superficie de un campo rectangular sabiendo que un alambrado que lo atraviesa diagonalmente tiene una longitud de 649m y forma con uno de los lados limtrofes un ngulo de 3726.

Rta: 203298,71 m2.

8) Cul es la pendiente de un alambre de 253 m, que une dos puntos cuya altitud sobre el nivel del mar son 846 y 905 m respectivamente?

Rta: 0,2398.

9) Calcular la sombra que proyecta una varilla vertical de 90 cm, cuando la oblicuidad de los rayos solares es tal que forma con el horizonte un ngulo de 674520.

Rta: 36,81 cm.

10) Una de las diagonales de un rombo es de 30 cm y forma con uno de los lados un ngulo de 254211. Calcular la otra diagonal y el permetro del rombo.

Rta: diagonal: 14,44 cm; permetro: 66,59 cm2.

11) La altura correspondiente a la hipotenusa de un tringulo rectngulo determina sobre ella dos segmentos de 2,5 cm y 4,9 cm respectivamente. Calcular cada uno de los ngulos agudos del tringulo rectngulo.

Rta: = 353216; = 542744.


12) La seccin normal de un techo de dos aguas es un tringulo issceles de 3,80 m de altura y un ngulo de base de 381520. Sabiendo que el largo de cada una de las alas del techo es igual a tres veces el ancho de la misma. Calcula la superficie del techo.

Rta: 225,99 m2.

13) La superficie de un tringulo equiltero es de 8 m2. Calcula la altura. Rta: 3,72 m.

14) Un edificio proyecta sobre el piso una sombra de 108,5 m de longitud cuando el ngulo de elevacin del edificio desde el fin de la sombra es de 2540 (este ngulo es tambin el ngulo de elevacin del sol). Encontrar la altura del edificio.

Rta: 51,14 m.

15) Se requiere determinar la superficie de un terreno rectangular de 10 m de ancho. Para ello se mide el ngulo que forma la diagonal con el lado antes citado: 7810.

Rta: 477,28 m2.

16) La bisectriz del ngulo recto de un tringulo determina sobre la hipotenusa dos segmentos de 350 m y 201,53 m. Calcula los ngulos agudos del tringulo rectngulo dado.

Rta: = 2956; = 6004.

17) En un tringulo la base es de 90 cm y los dos ngulos agudos adyacentes son de 2721 y 5213, respectivamente. Calcula la altura correspondiente a la base.

Rta: 33,228 cm.

18) Dos observadores situados a una distancia de 1000 m dirigen sendas visuales a un punto notable de una nube, sabiendo que los dos observadores y el punto estn en un mismo plano vertical y que los ngulos de elevacin son de 533020 y 791240 respectivamente. Calcula la altura de dicho punto.

Rta: 1074,84 m.

19) Un pararrayos est en la parte ms alta de un edificio. Un observador situado a una cierta distancia dirige una visin horizontal al edificio y otro al extremo superior del pararrayos, dichas visuales forman un ngulo de 172520. Se aleja sobre terreno horizontal 30 m de la observacin anterior y al dirigir otra vez una visual horizontal al mismo y una visual al extremo superior del pararrayos, stas forman un ngulo de 131440. Sabiendo que las visuales horizontales de ese observador se hallan a una altura de 1,60 m. Calcula la altura a que se encuentra el extremo superior del pararrayos.

Rta: 29,85 m.

20) Un poste telegrfico est situado a 3 m de la orilla de un canal. En la margen opuesta hay un observador que dirige una visual horizontal al poste y otra al extremo superior del mismo. Estas visuales forman un ngulo de 2330. Se aleja del canal 15 m y dirige otra vez una visual horizontal al poste y otra al extremo superior. Estas determinan un ngulo de 72540. Calcular la altura del poste y el ancho del canal sabiendo que las visuales se hallan a una altura de 1,62 m y que el poste y las dos posiciones de observacin se hallan sobre una perpendicular a las mrgenes del canal.

Rta: altura: 4,414 m ; ancho: 3,42 m.


21) Una rueda de 55 cm de dimetro asciende por un plano inclinado, que forma un ngulo de 235230 respecto de la horizontal. A qu altura se halla el centro de la rueda cuando sta ha recorrido dos vueltas y media?

Rta: 202,34 cm.

22) Se circunscribe un tringulo equiltero a una circunferencia de 15 m de radio (el tringulo es externo a la circunferencia). Cul es el permetro del tringulo?

Rta: 155,88 m.

Resuelve el siguiente tringulo oblicungulo encontrando las longitudes y ngulos que Resuelve el siguiente tringulo oblicungulo encontrando las longitudes y ngulos que Resuelve el siguiente tringulo oblicungulo encontrando las longitudes y ngulos que Resuelve el siguiente tringulo oblicungulo encontrando las longitudes y ngulos que faltan.faltan.faltan.faltan.

23) Datos: a = 125,00 m; = 5440; = 6510 Rta: b = 139,05 m; c = 132,92 m; = 6010

24) Datos: b = 215 m; c = 150 m; = 4240 Rta: a = 299,74 m; = 109653; = 28137

25) Datos: a = 24,5; b = 18,6 m; c = 26,4 m Rta: = 631230; = 423947; = 740743

26) Datos: a = 21,47 m; b = 17,02 m; = 7841 Rta: c = 24,64 m; = 5842; = 4237

27) Un faro est situado a 10 millas al noroeste de un muelle. Un barco sale del muelle a las 9:00 hs y navega hacia el oeste a razn de 12 millas por hora. A qu hora se encontrar a 8 millas del faro?.

Rta: a las 9 hs 16 min y 9 hs 54 min.

28) Un patio de forma irregular est limitado por cuatro paredes de 6,0 m; 9,8 m; 4,0m y 5,0 m respectivamente de longitud. El ngulo que forman las dos primeras es de 45. Cul es la superficie del patio?.

Rta: 31,05 m2.

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