Guía de Geometría USB

UNIVERSIDAD SIMN BOLVARDepartamento de Matemtica Puras y Aplicadas

Guas de estudio para el curso audiovisual

GEOMETRAMA1511

Universidad Simn BolvarApartado de Correos 89000Baruta, Estado Miranda

II

MAT117 - GEOMETRA

Redaccin: Enrique Planchart.

Primera Edicin: Septiembre 1978

Segunda Edicin: Septiembre 2004

COPYRIGHT c

1978, Departamento de Matemticas Puras y Aplicadas.Universidad Simn Bolvar

Totalmente editada e impresa en la Universidad Simn Bolvar

Todos los derechos reservados. Prohibida la reproduccin total o parcialpor cualquier medio grfico o audiovisual, sin previa autorizacin escrita.

Queda hecho el depsito legal No. 2126

III

RECONOCIMIENTO (Septiembre 1978)

Este curso audiovisual de Geometra MAT117, es el fruto del trabajo de profesores y estudiantesdel Departamento de Matemticas y Ciencias de la Computacin y personal de la Unidad deMedios Audiovisuales, que trabajaron en equipo bajo mi direccin durante los aos acadmicos1976-1977 y 1977-1978.

Colaboraron en el dictado del curso y en la produccin del mismo los profesores Vicente Ti-noco y Roberto Lavieri, ste ltimo era en esa poca estudiante de Post-Grado. Por tiempos mscortos tambin trabajaron los estudiantes de Post-Grado, Eduardo Gmez y Gerardo Mendoza.Numerosos preparadores prestaron valiossima colaboracin en el dictado del curso, haciendomuchas observaciones que contribuyeron a mejorar las versiones previas; grabando todos losprogramas audiovisuales y haciendo los dibujos de este libro. Al esfuerzo coordinado de todoeste equipo se debe gran parte de los aciertos y del xito del curso. No ocurre as con las fallas yerrores que pueda tener, los cuales son de mi entera responsabilidad.

La realizacin de los programas audiovisuales estuvo a cargo del personal de la Unidad deMedios Audiovisuales bajo la experta direccin del seor Martn Hruskovec y del profesor Ma-nuel Benavides.

Quiero expresar mi agradecimiento tambin a la seora Fanny Acua de Castro y a la seo-rita Alma Rueda quienes mecanografiaron e hicieron todos los dibujos correspondientes a lasdos primeras versiones de estas Guas. Finalmente, al personal del Taller de Estudios Libres quetuvo a su cargo la edicin e impresin de este libro.

Enrique Planchart

PRESENTACIN DEL CURSO MA1511

EDICIN Septiembre 2004

FINALIDAD DEL CURSO

El curso audiovisual de Geometra, MA1511, se dict por primera vez en el trimestre sep-tiembre-diciembre de 1975 bajo el cdigo MAT117 y ahora se dictar con algunas variantes ycambios en la tecnologa. Desde el principio se present como una necesidad para mejorar laformacin en Geometra que trae de bachillerato el estudiante medio. Esta necesidad fue plan-teada principalmente por los Coordinadores de las distintas ramas de Ingeniera que se enseanen la Universidad, pues se detecta una falta enorme de intuicin geomtrica en la mayora delos estudiantes y an en estudiantes muy avanzados.

El principal objetivo de este curso es subsanar la falla dejada por la escuela secundaria en laenseanza de la Geometra, no debe extraar entonces que buena parte del contenido del cursofigure, o figuraba hasta hace poco, en los programas oficiales de educacin media y diversificada.

Por otro lado se quiere agudizar la intuicin geomtrica del estudiante. Como frecuentementeel exceso de formalismo destruye la intuicin, si se administra muy temprano sin la madurezmatemtica necesaria para digerirlo, hemos tratado de reducir el formalismo al mnimo y hemoshecho la exposicin de la materia lo ms intuitiva posible.

Finalmente se quiere motivar e interesar al alumno en el estudio de la Geometra, ms all delnivel elemental de este curso. Por esta razn se tratan algunos temas en el texto y en los ejercicioscuyo desarrollo completo no es posible a este nivel, pero que intuitivamente son sencillos deentender.

METODOLOGA

La metodologa del curso MA1511 es distinta a la usual en secundaria o en la Universidad.El curso est presentado en forma de 20 captulos de estudio y 20 programas audiovisuales, yadems de esto hay sesiones de consulta que estn a cargo de preparadores. Los preparadoresson estudiantes ms adelantados que han sido entrenados previamente tanto en la materia comoen metodologa de la enseanza.

Es muy importante hacer notar que la responsabilidad del aprendizaje en este curso, como encualquier otro, es fundamentalmente del estudiante. Lo nico que ofrece la Universidad son re-cursos que pone a disposicin del estudiante para que l mismo logre su aprendizaje. En estecaso los recursos son de tres tipos distintos:

1. GUIAS ESCRITAS: Constituyen la mdula del curso ya que contienen todo el material:textos, ejercicios, problemas, bibliografa y notas. Las Guas han sido escritas especial-mente para el curso y son autocontenidas, no es necesario recurrir a la bibliografa paraentender y asimilar las Guas. El curso consta de 20 Captulos o Lecciones.

V

VI PRESENTACIN DEL CURSO MA1511 [1CM] EDICIN SEPTIEMBRE 2004

2. PROGRAMAS AUDIOVISUALES: Cada Gua est acompaada de un programa audio-visual, en el cual se desarrolla el tema de la Gua en forma rpida e intuitiva. El programaaudiovisual sirve para motivar el estudio de la Gua y para dar ideas muy rpidas peromuy efectivas. No se debe esperar del programa audiovisual una explicacin completadel material, sta corresponde a la Gua. El programa sirve para obtener muy rpida-mente, en aproximadamente 30 minutos, una visin global del tema de cada Gua yfacilita enormemente su estudio.

3. PRCTICAS Y CONSULTAS: Se han planificado las clases prcticas, de resolucin deejercicios y consulta de problemas. Cada clase prctica corresponde a uno de las 20 Lec-ciones, y tendrn lugar dos veces por semana. El preparador encargado de cada seccinconducir la clase prctica nicamente para orientar al estudiante y para estimularlo ensu trabajo, no para resolver los problemas de la Gua. En consecuencia, el estudiante nodebe esperar ni exigir que el preparador resuelva los problemas, esto debe ser hecho porel estudiante mismo. Tampoco ser posible hacer todos los problemas de la leccin enuna clase; muchos quedarn como tarea para ser resueltos en casa.

4. FORO EN LA RED: se dispondr de una direccin en la Internet, accesible para todoslos estudiantes, en la cual se apoyar el aprendizaje de los temas del curso. Se ha planifi-cado un foro electrnico, para formular preguntas y respuestas en lnea, adems de unadireccin en la red con la informacin general del curso, las autoevaluaciones y avisosurgentes para los estudiantes.

FUNCIONAMIENTO DEL CURSO

Los estudiantes deben atender a los siguientes recomendaciones para seguir el curso:1. En la primera semana, comprar la Gua (o guas) de Geometra y un disco compacto con

los programas audiovisuales.2. Atender los programas audiovisuales indicados para cada semana. Para esto los estu-

diantes disponen de los siguientes opciones:a) Con un computador provisto de equipo multimedia, en su hogar, residencia, ciber-

caf etc. . . en el momento que el estudiante disponga.b) En las salas computarizadas del campus universitario, reservadas para los estu-

diantes del cursos de geometra. Las aulas y horarios disponibles se anunciarnoportunamente.

c) En las salas multimedia donde con un video-beam se proyectarn los programaspara grupos de unos 30 estudiantes a la vez. Las salas y horarios se anunciarnoportunamente. Como cada programa audiovisual tiene una duracin de 30 mi-nutos aproximadamente, quedar un tiempo libre al final de cada proyeccin parahacer alguna consulta al preparador, relativas al programa o la leccin correspon-diente.

Los programas audiovisuales quedan, en cualquier caso, constantemente a disposicinde los alumnos y pueden ser vistos individualmente o en grupos en las salas multimediaprovistas por la DSM (Direccin de Servicios Multimedia).

3. Estudiar las lecciones en la Gua, despues de haber atendido la leccin audiovisual. Des-pus de haber visto el programa audiovisual, ese mismo da, se debe comenzar el estu-dio de la Gua.

4. Plantear soluciones a todos los ejercicios o problemas propuestos para cada leccin.5. Consultar en el foro electrnico, o en las clases prcticas, las soluciones a los problemas

encontrados con la leccin correspondiente.

FUNCIONAMIENTO DEL CURSO VII

6. Resolver los cuatro exmenes de autoevaluacin propuestos con tres das de antelacina los cuatro exmenes del curso.

7. Cada seccin de MA1511, tiene asignadas dos horas de clase prctica semanales en unaula (con pizarra). Asistir a esas clases prcticas (consultas) dirigidas por los prepara-dores y asesoradas por profesores. Tambin es conveniente que se haga un repaso dela Gua y todos los problemas posibles antes de la clase prctica correspondiente. Es-to permitir a los estudiantes aprovechar al mximo la clase taller y obtener ayuda delpreparador en los puntos que realmente les cuestan ms trabajo y que no hayan po-dido resolver solos. Ese tiempo ser utilizado por el preparador para aclarar dudas ypreguntas.

En algn caso se podr utilizar parte del tiempo para la resolucin de problemasque an queden pendientes de Guas anteriores, pero esto debe ser hecho con el mismomtodo general de las clases prcticas.

8. En las semanas 3, 6, 9 y 12, se han fijado los cuatro exmenes parciales. Estos exmenestienen una hora de duracin, adicional a las clases prcticas de esas semanas.

ndice general

PRESENTACIN DEL CURSO MA1511

EDICIN Septiembre 2004 VFINALIDAD DEL CURSO VMETODOLOGA VFUNCIONAMIENTO DEL CURSO VI

Captulo 1. INTRODUCCIN 1LA RECTA REAL 1MEDIDA DE UN SEGMENTO DE RECTA 3NGULOS Y SU MEDIDA 4CASOS DE SEMEJANZA DE TRINGULOS 8INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA SUMA, RESTA, MULTIPLICACIN,DIVISIN Y ORDEN DE LOS NMEROS REALES 9PROBLEMAS Y EJERCICIOS 11

Captulo 2. REPASO DE TRIGONOMETRA 19DEFINICIN DE SENO, COSENO Y TANGENTE DE UN NGULO AGUDO 20FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO CUALQUIERA 21RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS 24EJEMPLOS Y APLICACIONES 25EJERCICIOS Y APLICACIONES 27

Captulo 3. RESOLUCIN DE TRINGULOSOBTUSNGULOS Y ACUTNGULOS 31

TEOREMA DEL COSENO 31TEOREMA DEL SENO 32EJERCICIOS Y PROBLEMAS 36AUTOEVALUACIN 40

Captulo 4. RELACIONES MTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 43ARCO CAPAZ 50POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA 52

PROBLEMAS Y EJERCICIOS 54

Captulo 5. PROBLEMAS Y APLICACIONES 61MEDIDA DE LA TIERRA 61DISTANCIA DE LA TIERRA A LA LUNA 62RADIO DE LA LUNA 63DISTANCIA DE LA TIERRA AL SOL 63

IX

X NDICE GENERAL

DISTANCIA DEL SOL A UNA ESTRELLA 64AUTOEVALUACIN 66

Captulo 6. CONCEPTOS BSICOS EN EL ESPACIO 69INTRODUCCIN 69BIBLIOGRAFA 78EJERCICIOS Y PROBLEMAS 78

Captulo 7. POLGONOS Y POLIEDROS 81

Captulo 8. TRANSFORMACIONES I:TRASLACIONES, ROTACIONES, SIMETRAS Y SEMEJANZAS 95

BIBLIOGRAFA 104EJERCICIOS 104PROBLEMAS 105

Captulo 9. TRANSFORMACIONES II:GRUPOS DE TRANSFORMACIONES 111

EJEMPLOS 114NOTAS 115BIBLIOGRAFA 119EJERCICIOS 119

Captulo 10. REAS Y VOLMENES 121LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 127VOLUMENES 128BIBLIOGRAFA 134EJERCICIOS 134NOTAS 137AUTOEVALUACIN 143

Captulo 11. LOS CUERPOS REDONDOS 145VOLUMEN DEL CILINDRO Y VOLUMEN DEL CONO 148LA ESFERA 151REA Y VOLUMEN DE LA ESFERA 155NOTAS: 160BIBLIOGRAFA 161PROBLEMAS Y EJERCICIOS 161

Captulo 12. SECCIONES CNICAS 165DEFINICIN MTRICA 165NOTA 171LAS CNICAS COMO SECCIONES PLANAS DE UN CONO 171EJERCICIOS 180

Captulo 13. TEOREMA DE DANDELIN 183LAS ESFERAS DE DANDELIN 183

Captulo 14. CORDENADAS EN EL PLANOSISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS 189

OBSERVACIN IMPORTANTE 191

NDICE GENERAL XI

SUBCONJUNTOS DEL PLANO 193SECCIONES CONICAS 202EJERCICIOS 204

Captulo 15. COORDENADAS EN EL ESPACIO 207SISTEMA DE COORDENADAS EN EL ESPACIO 207SUBCONJUNTOS DEL ESPACIO 213EJERCICIOS 225AUTOEVALUACIN 226

Captulo 16. TRANSFORMACIONES EN COORDENADAS 229EJERCICIOS 244

Captulo 17. TRANSFORMACIONES LINEALES EN EL PLANO. 247EJEMPLOS 248EJERCICIOS 257

Captulo 18. TRANSFORMACIONES LINEALES EN EL ESPACIO 259EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES 261EJERCICIOS 272

Captulo 19. TRANSFORMACIONES AFINES 275EJERCICIOS 283

Captulo 20. CAMBIOS DE COORDENADAS 287CAMBIOS DE COORDENADAS EN EL PLANO 287CAMBIOS DE COORDENADAS EN EL ESPACIO 294PROBLEMAS 296AUTOEVALUACIN 300AUTOEVALUACIN 303AUTOEVALUACIN 303AUTOEVALUACIN 303AUTOEVALUACIN 303AUTOEVALUACIN 304

CAPTULO 1

INTRODUCCIN

El objeto de este curso es presentar y desarrollar algunos temas de Geometra desde un puntode vista puramente intuitivo, no desde el punto de vista formal. Esto no quiere decir que vamosa dejar por completo de hacer demostraciones", slo que no vamos a llevarlas al extremo. Paraaquellos estudiantes ms interesados en el aspecto formal, daremos a lo largo de estas guas labibliografa necesaria.

Al comenzar el estudio desde este punto de vista intuitivo, lo primero que se nos ocurre pre-guntarnos es qu es lo que queremos estudiar? qu es la Geometra? Ingenuamente buscamosun diccionario y leemos:

GEOMETRA f. Parte de las Matemticas que trata de las propiedades, relaciones y me-dida de la extensin.

Bueno, la verdad es que an no nos queda muy claro. Qu es la extensin?, una recta?,un plano, por ejemplo? Supongamos que se trata de una recta. Entonces se tratara de estudiarpropiedades, relaciones y medidas de rectas o trozos de rectas, segmentos. Comencemos poresto ltimo: medir trozos de rectas.

Medir un segmento con otro significa compararlos, ver cuntas veces cabe uno en otro. Esdecir, una vez que tomamos un como unidad, queremos saber cuntas veces cabe en

Queremos asignar un nmero a

una vez fijada la unidad Esto nos lleva a tener queidentificar puntos de una recta con los nmeros

LA RECTA REAL

Los primeros nmeros que aprendemos son los naturales: porque los utilizamospara contar. Hay infinitos nmeros naturales y pueden representarse as: en una recta marca-mos un punto , a continuacin marcamos un punto a la derecha de luego a la derecha de marcamos los puntos igualmente espaciados como en la figura siguiente:

De igual manera podemos representar los nmeros enteros

1

2 1. INTRODUCCIN

son los enteros positivos, son los enteros negativos.

Sobre la recta en que representamos los nmeros enteros, podemos tambin representar losnmeros racionales. Esto lo podemos lograr dividiendo primero el segmento en mitades,terceras partes, cuartas partes, etc., para representar los nmeros etc respectivamente.

Para obtener la representacin del racional ( y son enteros, y

como se sabe),basta ahora llevar la longitud entre y veces a la derecha de (si es negativo se lleva veces a la izquierda de ).

Por ejemplo, el punto de que hacemos corresponder con el racional

se obtiene as:

y, , as:

Fjese que este proceso depende de la representacin del racional . Ms adelante, veremos cmoconstruir segmentos de longitud usando semejanza de tringulos.

Hasta el momento, tenemos representados en la recta todos los nmeros racionales, pero haypuntos de que no corresponden a ningn racional (este hecho ya era conocido por los griegos).

Veamos por qu: Usando regla y comps podemos fabricar un segmento cuya longitud no esracional: la longitud de la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuyos catetos miden ambos :

MEDIDA DE UN SEGMENTO DE RECTA 3

Por el teorema de Pitgoras: longitud de la hipotenusa igual a Para asegurarse que el punto de que hemos marcado como no es ninguno de los puntos

que corresponden a nmeros racionales, basta observar lo siguiente: si fuese racional, ten-dramos que donde y son nmeros enteros sin factores comunes (en caso de habertales factores podramos cancelarlos), luego de aqu vemos que es un nmero pary entonces es par (si fuese impar

tambin sera impar, por qu?), as que donde es un entero, luego:

as

es par y por el mismo argumento de antes, tendremos que es par. Entonces hemos

concluido que si donde y no tienen factores comunes, entonces y tienen elfactor en comn, lo cual es absurdo. Este absurdo proviene de la nica suposicin que hemoshecho, que es racional.

Entonces no es cociente de enteros, y por tanto no es racional.A los nmeros que no son racionales los llamamos irracionales, y a los racionales junto con

los irracionales, los llamamos nmeros reales. Despus de representar los nmeros reales sobrenuestra recta hemos hecho corresponder a cada nmero un punto sobre la recta. Esta recta sellama la recta real. El nmero real asociado con un punto de la recta se llama la coordenada delpunto.

As, la recta real est formada por un conjunto infinito de puntos con las caractersticas si-guientes:

1. Cada punto de la recta se encuentra asociado con un solo nmero real.2. Cada nmero real puede asociarse exactamente con un punto sobre la recta.

En otras palabras, existe una correspondencia biunvoca entre los nmeros reales y los puntos deuna recta. Pronto veremos esta correspondencia con ms detalle, por ahora volvamos a nuestroproblema inicial.

MEDIDA DE UN SEGMENTO DE RECTA

Si es un segmento en la recta real y si es la coordenada de y es la coordenada de entonces la longitud del segmento (que denotamos por ) es si es mayor que y si es mayor que :

si si

es decir, es el valor absoluto de

Esto resuelve entonces el problema de medir un segmento con otro considerado como unidad demedida. Para medir un segmento lo llevamos sobre una recta real, con la unidad de medidaque deseemos

***Cuando hablamos de extensin, pensamos que poda tratarse tambin de un plano o un

pedazo de un plano: un ngulo, por ejemplo.

4 1. INTRODUCCIN

NGULOS Y SU MEDIDA

Consideremos ahora un plano y dos rectas en l y

Si estas rectas se cortan en un punto , se forman dos ngulos, y :

Si convenimos en nombrar los ngulos en sentido anti-horario (contrario a las agujas del reloj),tendremos que (ngulo entre y ) y

(ngulo entre y ). Notamos que en general Para medir el ngulo , por ejemplo, podemos usar un mtodo originario de Babilonia y

muy utilizado actualmente fuera de las matemticas, que consiste en trazar una circunferenciacon centro en y radio arbitrario. Luego se divide a la circunferencia en 360 arcos de iguallongitud, comenzando en el punto donde la circunferencia corta la recta , como se muestra enla figura:

Cada uno de estos arcos representa un ngulo de un grado, en el siguiente sentido: si cortara a la circunferencia por el extremo del primer arco, diramos que el ngulo es de ungrado ( ).

Si las subdivisiones de la circunferencia no son suficientes para dar una medida exacta de , se puede subdividir cada arco en 60 arcos ms, todos iguales. Al ngulo definido por unode estos nuevos arcos se le llama un minuto ( ). Finalmente, cada uno de estos arcos puededividirse en 60 arcos ms, que forman ngulos de un segundo ( ). Para medir cunto vale ennuestro ejemplo se cuenta cuntos grados, minutos, segundos y fracciones de segundo hay en elarco comprendido entre y

Normalmente, para simplificar el proceso se usa un instrumento llamado transportador, que

si es muy exacto recibe ms bien el nombre de gonimetro (gonios es raz griega que significangulo).

NGULOS Y SU MEDIDA 5

Hay muchas razones por las cuales al trabajar en matemticas se prefiere usar una medidadel ngulo llamada radin. Una, es que no se basa en un nmero arbitrario de subdivisiones de lacircunferencia, como la medida de grados que discutimos arriba (existe una medida de ngulosdada en grados centesimales que se obtiene al subdividir la circunferencia en 400 partes iguales,cien para cada ngulo recto).

La medida en radianes del ngulo entre las rectas y se obtiene. as: Se traza una cir-cunferencia con centro

y radio arbitrario. Se mide la longitud del arco y se divide entre el radio de la circunferen-cia:

radianes.

Por ejemplo, si y se cortan en ngulo recto, el arco mide la cuarta parte del permetrode la circunferencia, y por tanto el ngulo es Observe la figura siguiente,

Fjese que el cociente

tiene un valor que no depende del radio de la circunferencia que

usamos: no depende de

Veamos otro ejemplo: la medida del ngulo llano ( ). En este caso, las rectas coinci-den, y el ngulo es el indicado en la figura. Al trazar una circunferencia

con centro en ,

obtenemos que es la mitad del permetro de

6 1. INTRODUCCIN

y por tanto radianes. De nuevo, el cociente

es un nmero que no depende de

En general, dado el ngulo y dos circunferencias de radios y los nmeros y

son iguales, y esto hace que la medida de un ngulo en radianes sea bien definida, de maneraque es utilizable.

Si tiene dudas sobre este hecho, que

no debe preocuparse. Esto quedar bienclaro en otra gua, ms adelante, al estudiar la semejanza.

La equivalencia entre radianes y grados se puede obtener as: trazamos un ngulo que midaun grado, y una circunferencia

con radio y centro en el vrtice del ngulo. Por la definicin

de grado, sabemos que el arco es la 360-ava parte del permetro de El permetro de es

y por tanto

radianes.

Un grado equivale a

radianes.

NGULOS Y SU MEDIDA 7

* * *

Volviendo a la definicin del diccionario, recordamos que se refera no solamente a la medi-da de la extensin sino tambin a las propiedades y relaciones de la extensin.

Tratemos de ilustrar esto con algunos ejemplos.Pensamos de nuevo en la extensin como un plano o un pedazo de un plano, consideremos

tringulos, por ejemplo: Estas dos extensiones parecen iguales

No diremos iguales, diremos congruentes. Esto significa que podemos llevar uno sobre el otro. Lacongruencia es una relacin entre tringulos (y entre figuras geomtricas, en general).

Recordemos los casos de congruencia de tringulos:El

y el son congruentes en cualquiera de los casos siguientes:

1. Si tienen un ngulo igual y los pares de lados adyacentes a este ngulo tambin soniguales.

2. Si tienen un lado igual y los pares de ngulos adyacentes a este lado tambin son iguales.3. Si tienen los tres lados iguales.

Para ilustrar otro ejemplo, recordemos un teorema atribuido a Thales de Mileto (624-546 a.C.).El teorema dice que si cortamos dos rectas cualesquiera por rectas paralelas entre si, obtene-

mos segmentos proporcionales (de medidas o longitudes proporcionales):

etc. . .

Seguramente usted est familiarizado con este teorema, sin embargo es poco probable quehaya visto una demostracin satisfactoria en bachillerato. Esto obedece al hecho de que para lademostracin completa son necesarios algunos conceptos que se estudian hacia al final del cursode Matemticas de primer ao.

Otro ejemplo de lo que puede significar el estudio de las propiedades y relaciones de laextensin", seria el estudio de la semejanza de tringulos.

Decimos que dos tringulos son semejantes cuando es posible establecer una corresponden-cia entre sus ngulos y entre sus lados de manera que ngulos correspondientes sean iguales ylados sean correspondientes proporcionales.

8 1. INTRODUCCIN

si y

Para establecer la semejanza de dos tringulos no es necesario verificar todas estas seis con-diciones. Basta verificar las siguientes:

CASOS DE SEMEJANZA DE TRINGULOS

En cualquiera de los tres casos siguientes, dos tringulos y son semejantes.1. Si tienen dos ngulos iguales.2. Si tienen un ngulo igual y los lados adyacentes proporcionales.3. Si tienen los tres pares de lados proporcionales.

Demostracin. La demostracin se basa en el Teorema de Thales. Vamos a probar el caso (3)y dejamos la demostracin de (1) y (2) como ejercicio.

Supongamos que

queremos probar que los tringulos

y

son semejantes.

Tracemos y una paralela por a , corta en .Entonces

, los ngulos marcados con el mismo signo son iguales y

Finalmente trazando una paralela por a se obtiene

y

o sea

Por otra parte los tringulos y son congruentes porque

luego

Del mismo modo se ve que De la congruencia de los tringulos y resulta que

y

* * *

SUMA, RESTA, MULTIPLICACIN, DIVISIN 9

Con estos ejemplos ya tenemos una idea de lo que quiere decir la definicin de Geometraque da el diccionario, suficiente como para comenzar nuestro estudio. Ms adelante tendremosocasin de dar una definicin ms precisa.

Para terminar volvamos a la recta real, a la correspondencia que habamos establecido entrenmeros reales y puntos de la recta. Esta correspondencia es esencial en Geometra y es uno delos grandes inventos de la Humanidad, vale la pena estudiarla con ms detalle.

INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA SUMA, RESTA, MULTIPLICACIN,DIVISIN Y ORDEN DE LOS NMEROS REALES

La suma de dos nmeros reales positivos y , se puede interpretar de la siguiente manera:tenemos dos segmentos de longitudes y

Llevando uno a continuacin de otro obtenemos un segmento de longitud ya que en larecta real, si tiene longitud y tiene longitud el segmento obtenido llevando al extremo de tiene longitud El punto corresponde al nmero real

Para obtener un segmento de longitud llevamos el segmento de longitud a partir deun extremo del de longitud . El segmento sobrante tiene longitud

En la recta real, si llevamos el segmento a partir del punto obtenemos el segmento que tiene longitud

10 1. INTRODUCCIN

El punto corresponde al nmero real Si queremos representar entoncessobre la recta real llevamos el segmento a partir de , como en la figura el segmento tiene longitud pero el punto est situado a la izquierda de luego representa al nmeroreal

En conclusin a la suma y diferencia de nmeros reales corresponde la suma y diferencia desegmentos sobre la recta real. La correspondencia entre nmeros y puntos respeta la suma.

Por otra parte si decimos que un punto de una recta es anterior a otro si est a la izquierdade resulta que la correspondencia entre nmeros reales y puntos de la recta tambin respetael orden: anterior a .

Veamos ahora cmo interpretar geomtricamente el producto de dos nmeros y no nulos.Tracemos dos recta que se cortan en un punto marcamos los puntos y de manera que tracemos la recta y una paralela a ella por que corta en Poresta construccin sabemos que el tringulo es semejante al tringulo luego

osea Entonces el segmento mide

Finalmente representemos el cociente de los nmeros reales


Construimos, igual que antes, dos rectas que se cortan en y marcamos los puntos y ,trazamos la recta y una paralela a ella por Esta corta en a la otra recta. De la semejanzade los tringulos y resulta que

luego El segmento mide entonces

Como conclusin obtenemos que la correspondencia entre los nmeros reales y los puntosde la recta es tan buena que respeta el orden y las operaciones aritmticas, en el sentido descritoarriba.

PROBLEMAS Y EJERCICIOS

1. Dividir un segmento en partes iguales.Solucin: Supongamos que queremos dividir el segmento en siete partes iguales

Trazamos una recta cualquiera, que pase por y sobre ella llevamos con el compssiete segmentos iguales

Trazamos la recta y paralelas a ella por los puntos

Lospuntos de corte de estas paralelas con el segmento lo dividen en siete partes iguales.Explique por qu!

2. Utilice el problema uno para representar el nmero racional

en la recta real.

12 1. INTRODUCCIN

Solucin: Supongamos que quiere representar el nmero en la recta real.

Trazamos una recta cualquiera que pase por y con el comps llevamos segmentos

iguales . Ahora trazamos la recta La paralela a ella por

corta en el punto que representa Explique por qu!

3. Construya grficamente los puntos de la recta real que representan los siguientes nme-rosa) b)

c)

d) e) f )

4. Demuestre que si y son nmeros reales, distintos entre si y no nulos, y si entonces:a)

b)

c)

d)

Probemos (a) como ejemplo:

Si entonces luego

5. Utilizando la figura interprete como relacin entre segmentos las igualdades anteriores

EJERCICIOS SOBRE CONGRUENCIA DE TRINGULOS. (En cada caso citar losteoremas empleados)

6. Sean y dos tringulos rectngulos


Cules de las siguientes condiciones son suficientes para garantizar la congruenciade los tringulos dadosa) y b) y c) y d) y

e) y f ) y

7. Consideremos la figura siguiente; donde y Se pide probar que lostringulos y son congruentes.

8. De la figura siguiente probar que es congruente con

9. Consideremos la figura que sigue

14 1. INTRODUCCIN

Se pide probar que .

Sugerencia: pensar en trminos de tringulos.10. Consideremos ahora la figura:

Probar que

11. A partir de

Probar que 12. Si es un paralelogramo,

Probar que 13. En la figura anterior probar que

es congruente a

14. Si es un cuadrado


Probar que es un cuadrado

EJERCICIOS SOBRE SEMEJANZA DE TRINGULOS. (En cada caso citar los teo-remas empleados)

15. Consideremos la figura

Probar que

es semejante a

16. Consideremos la figura siguiente

Se pide probar que

. (Usar el teorema de Pitgoras).

17. Cules de las siguientes condiciones son suficientes para garantizar la semejanza dedos tringulos y ?

a)

16 1. INTRODUCCIN

b)

c)

d) e) f ) g) h)

18. Sea un trapezoide, ( paralela a ).

Cules tringulos son semejantes?

Indicar los lados correspondientes y escribir una ecuacin que indique que los ladoscorrespondientes son proporcionales.

19. Probar que es semejante con

20. De la figura siguiente probar que los dos tringulos son semejantes.


21. Con la construccin geomtrica apropiada comprobar cada uno de los siguientes puntos:

i) ii) iii) iv)

v)

En estos ejercicios y pueden tomarse arbitrariamente positivos o negativos.

22. Dadas las siguientes medidas de ngulos en grados, escribirlas en radianes.a)

b) c) d) e) f ) g) h)

23. Dadas las siguientes medidas de ngulos en radianes, escribirlas en grados.a)

b)

c)

d)

e)

f ) g) h)

CAPTULO 2

REPASO DE TRIGONOMETRA

En esta gua y en la siguiente haremos un breve repaso de Trigonometra. Antes de comenzareste tema vamos a hablar un poquito sobre el Teorema de Pitgoras, ya que toda la Trigonometragira en torno a este Teorema.

El Teorema de Pitgoras establece una relacin entre las medidas de los lados de un tringulorectngulo. Concretamente, dice que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a lasuma de los cuadrados de las longitudes de los catetos:

Geomtricamente, sto puede interpretarse diciendo que el rea del cuadrado construido conla hipotenusa es igual a la suma de las reas de los cuadrados construidos con los catetos. Unademostracin grfica sera la siguiente: construimos el cuadrado que tiene por lado la hipotenu-sa, as:

Ahora dibujamos estos cuatro tringulos:

Todos son congruentes con el tringulo por qu?19

20 2. REPASO DE TRIGONOMETRA

Luego recortamos, con tijeras, los cuatro tringulos y el cuadrado central y los pegamos as:obtenemos la suma de dos cuadrados:

El cuadrado grande tiene por lado el cateto y el cuadrado pequeo tiene por lado el cateto Por qu?

Aunque el teorema es atribuido a Pitgoras, filsofo griego (532 a.C.), esta demostracin yaera conocida por los Chinos 1.000 aos antes que l, sin embargo es de Pitgoras de quin loheredamos en nuestra cultura.

DEFINICIN DE SENO, COSENO Y TANGENTE DE UN NGULO AGUDO

Consideremos un tringulo rectngulo y sea uno de sus ngulos agudos; definimos

Estos nmeros son caractersticas del ngulo y no dependen de las longitudes y de loslados del tringulo. Veamos por qu:

Si tenemos dos tringulos rectngulos con un ngulo agudo igual, , dichos tringulos sonsemejantes

Luego:

Las inversas de estos nmeros tienen tambin importancia y reciben el nombre de cosecante,secante y cotangente de .

Como el seno, el coseno y la tangente de son independientes de las longitudes de los lados

del tringulo, podemos imaginar que la longitud de la hipotenusa es entonces:

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS 21

Ahora el teorema de Pitgoras toma la siguiente forma:

. De esta fr-

mula y de las definiciones de las funciones trigonomtricas, resultan todas las frmulas deTrigonometra que Ud. estudi en bachillerato. Por ejemplo, dividiendo por se obtiene

Ms adelante recordaremos las frmulas usuales de la Trigonometra.

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO CUALQUIERA

Queremos definir las funciones trigonomtricas seno, coseno y tangente de un ngulo cual-quiera , aunque no sea agudo.

Consideremos un sistema de coordenadas rectangulares y una circunferencia. de radio concentro en el origen de coordenadas

Ahora observe que si se toma un punto

sobre la circunferencia, en el primer cuadrante,queda bien determinado un tringulo rectngulo

con hipotenusa y catetos y (ver la figura). Observe que como es perpendicular al eje la distancia entre y es precisamente la abscisa de

,

la ordenada de

Adems, como por ser el radiode la circunferencia, el tringulo es un tringulo con hipotenusa de longitud y por lotanto

es decir, el seno del ngulo es la ordenada de y el coseno de

la abscisa del punto


En resumen, si es un ngulo agudo, podemos hallar el coseno y el seno de como la abscisay la ordenada, respectivamente, del punto

Al darnos cuenta de este hecho, podemos definir el coseno de y el seno de para cualquier

ngulo haciendo lo siguiente: se construye el ngulo con vrtice en y midiendo desde el eje de manera que uno de los lados del ngulo es el eje El segundo lado define un punto sobre la circunferencia. Definimos como la abscisa de

y sen como la ordenada de

Estudie cuidadosamente las figuras para que vea todos los casos posibles, y tome nota deque los signos dependen nicamente del cuadrante al que pertenece

Con esta construccin es fcil darse cuenta de varias propiedades de las funciones seno y

coseno. Por ejemplo, la siguiente figura ayuda a entender que y

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS 23

Adems para cualquier sigue siendo vlida la identidad por el teorema

de Pitgoras.

Ahora definimos

siempre que sea no nulo, es decir etc. Las dems

funciones trigonomtricas se definen igual que antes.Para poder usar la Trigonometra en la construccin de tringulos debemos conocer el valor delas funciones trigonomtricas de un ngulo cualquiera y recprocamente. Existen tablas que danvalores aproximados de estas funciones, tambin se usaba una regla de clculo y actualmentese usa una calculadora cientfica de bolsillo donde pueden hallarse estos valores para cualquierngulo. Sin embargo, vamos a calcular estas funciones para algunos ngulos notables.

1. Si es claro que 2. Si

(radianes) (o bien

) entonces y no est definida.3. Si ( ) entonces 4. Si

(

) y no est definida.5. Si el punto de la circunferencia coincide con el punto correspondiente a

luego las funciones trigonomtricas de son las mismas de En general,

donde es un entero, entonces es claro que las funciones

trigonomtricas de y

coinciden.6. Si

(o bien

) entonces el tringulo es issceles y como resulta y luego

7. Si

(o bien

) entonces


8. De manera anloga se calculan las funciones trigonomtricas de y

9. Si

(o bien

) entonces issceles y ngulo implica equiltero, entonces

Luego:

10. Si

o bien entonces observando el tringulo

notamos que

y

luego

RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS

Por costumbre, se llama resolucin de un tringulo a su construccin, cuando se utiliza latrigonometra. Esto viene quizs del hecho de que en realidad calculamos las medidas de suslados y ngulos en lugar de construirlos grficamente.

PRIMER CASO. Del tringulo conocemos el ngulo y el cateto En este caso pode-mos calcular y :

y por Pitgoras.

EJEMPLOS Y APLICACIONES 25

SEGUNDO CASO. Si conocemos y Entonces podemos calcular y Usando la calculadora podemos hallar y finalmente obtenemos TERCER CASO. Si conocemos y podemos calcular: CUARTO CASO. Si conocemos y podemos calcular:

EJEMPLOS Y APLICACIONES

1. Una persona de 1,80 metros de estatura desea medir la altura de un rbol sabiendoque a una distancia de 10 metros el extremo superior se observa bajo un ngulo de respecto a la horizontal. Cmo puede hacer?

La figura que sigue lo indica:

m m2. Una lancha navega hacia el norte con una velocidad de 40 Km/h., en un ro cuya corrien-

te se dirige hacia el este con velocidad de 30 Km/h. Un observador en tierra firme deseasaber cul es la velocidad resultante de la lancha y la direccin en que se mueve.

La velocidad resultante se consigue usando la regla del paralelogramo para la su-ma de velocidades tomando en cuenta que la corriente arrastra la lancha a 30 Km/h.

De la figura anterior, usando el teorema de Pitgoras vemos que: La direccin del movimiento puede darse conociendo el ngulo :

Con la calculadora buscamos el valor del ngulo (agudo) : minutos,


La lancha se mueve a Km/h. en direccin norte-este respecto a un observador

en tierra firme.3. Si queremos hallar la proyeccin de un segmento sobre una recta y conocemos el ngulo

que forma, por ejemplo, el problema se reduce tambin a un tringulo rectnguloLa proyeccin ser

o sea 4. Una gra remolca un carro y conocemos la tensin de la guaya ( Kg) y el ngulo

de la guaya ( ). Calcular la fuerza en la direccin del movimiento.

es entonces la proyeccin de sobre la horizontal Kg.

5. Conociendo la aceleracin de un bloque que se desliza por un plano inclinado, calculeel ngulo de inclinacin del plano:

Si m/seg entonces Usando la calculadora encontra-mos

6. Un bloque se desliza por un plano inclinado de ngulo calcular la aceleracindel bloque (despreciando el roce).

La componente de la aceleracin en la direccin del movimiento es

.

Entonces m/seg .

EJERCICIOS Y APLICACIONES 27

Finalmente presentamos un resumen de las frmulas usuales de Trigonometra, que su-ponemos conocidas por Ud.

FRMULAS PARA LA SUMA Y DIFERENCIA DE NGULOS.

Atencin, deben usarse signos correspondientesFRMULAS PARA EL NGULO DOBLE.

FRMULAS PARA EL NGULO MITAD.

Los signos dependen del cuadrante que ocupa

EJERCICIOS Y APLICACIONES

1. Desde el punto medio de la distancia entre los pies de dos torres, los ngulos de eleva-cin de sus extremos superiores son y respectivamente, demostrar que la alturade una de las torres es el triple de la otra.

2. Al aproximarse una patrulla de reconocimiento a un fuerte situado en una llanura en-cuentra que, desde un cierto lugar el fuerte se ve bajo un ngulo de , y que desde otrolugar, metros ms cerca del fuerte, ste se ve bajo un ngulo de .

Cul es la altura del fuerte y cul es su distancia al segundo lugar de observacin?


Sugerencia: e son las cantidades pedidas (incgnitas); ntese que

3. Con el fin de medir la altura de un objeto, se ha medido la distancia entre dos puntos

y a lo largo de una recta horizontal que pasa por su base.Los ngulos de elevacin de la punta del objeto desde y resultaron ser y respec-tivamente, siendo el ms cercano a la base. Demostrar que la altura est dada por lafrmula

si y estn del mismo lado, y por si y estn en lados opuestos de la base del objeto.

4. Una asta de bandera de m., est parada sobre la azotea de una casa. Desde un puntodel plano de la base de la casa, la punta y la base del asta se ven con ngulos de y respectivamente. Encontrar la altura de la casa.

5. El piloto de un avin observa que el ngulo de depresin de una luz situada exactamentebajo su lnea de vuelo es de . Un minuto ms tarde el ngulo de depresin es de .Si est volando horizontalmente y siguiendo una lnea recta a

Km/h., encontrar laaltura a que est volando y la distancia de la luz al primer punto de observacin.

EJERCICIOS Y APLICACIONES 29

6. Un vehculo comienza a correr a Km/h., por una pendiente que forma con lahorizontal. Cunto tiempo tarda en elevarse m.?

7. En la figura siguiente conocemos y Demostrar que e estn dadas por las frmulas

8. Pruebe que

a) b) c)

Solucin: 9. Pruebe que

Solucin:

Resuelva el sistema de ecuaciones.10. Dos barcos observan la parte superior de un faro situado entre ellos con ngulos de

elevacin de y respectivamente. Calcule la altura del faro si la distancia entre losbarcos es de m.

Respuesta: m.

11. Calcule el permetro de un tringulo sabiendo que la altura mide m., elngulo mide y el ngulo mide

Respuesta: m.

CAPTULO 3

RESOLUCIN DE TRINGULOSOBTUSNGULOS Y ACUTNGULOS

La herramienta fundamental para resolver tringulos cualesquiera son los llamados Teoremadel Coseno y Teorema del Seno. Veamos el primero.

TEOREMA DEL COSENO

Sea un tringulo cualquiera: tenemos que por Pitgoras, pero Adems y

Sustituyendo tenemos:

Esta frmula resume el teorema del coseno. Notemos que si en lugar de ser agudo, es unngulo obtuso o recto tenemos el mismo resultado:

1. Si recto, y obtenemos el teorema de Pitgoras 2. Si es obtuso, tenemos la siguiente situacin:

pero y

Sustituyendo obtenemos: pero y

Sustituyendo se obtiene: El teorema del coseno es entonces una generalizacin del Teorema de Pitgoras para tringuloscualesquiera.

Observando que es la proyeccin de sobre el teorema se puede enunciar as:31

32 3. RESOLUCIN DE TRINGULOS OBTUSNGULOS Y ACUTNGULOS

En un tringulo cualquiera, el cuadrado de un lado es igual a la suma de loscuadrados de los otros dos lados menos, o ms, el producto de uno de ellos por laproyeccin del otro sobre l, dependiendo de que el ngulo sea agudo u obtuso.

TEOREMA DEL SENO

Este teorema relaciona cada lado de un tringulo con el seno del ngulo opuesto. Con-cretamente, dice que en todo tringulo se tiene

Para probar el teorema, tracemos las dos alturas y . Entonces:

luego: , y de aqu obtenemos

Del mismo modo

y se obtiene luego

Finalmente, hemos probado que

Podemos ahora comenzar los problemas relativos a tringulos oblicungulos.

1. Supongamos que queremos resolver un tringulo, del cual conocemos dos ngulos yy el lado comprendido

se calcula inmediatamente porque

luego

TEOREMA DEL SENO 33

El teorema del seno nos permite calcular y

luego

luego

Ejemplo 1. Dos estaciones de radar, separadas por una distancia de Km. detectanun avin que vuela justo sobre la recta que une a las dos estaciones. La primera lo ve conuna elevacin de , la segunda con elevacin de . Calcular la distancia del avin ala primera estacin.

Solucin: Hay que resolver un tringulo como el de figura y calcular :Primero

luego:

Km.2. Queremos ahora resolver un tringulo del cual slo conocemos los tres lados y .

Tenemos que calcular los tres ngulos, por el teorema del coseno obtenemos

De aqu

Una vez hallados

y , obtenemos

3. Queremos ahora resolver un tringulo del cual conocemos y .Por el teorema del coseno calculamos


Para calcular por ejemplo, usamos el teorema del seno luego . Finalmente

Ejemplo 2: Para llegar a tiempo a su destino, un barco navega en direccin este. De pron-to sopla un viento de velocidad

y en direccin suroeste. Cmo debe modificar su

rumbo y su velocidad el barco para llegar a tiempo?Solucin: La velocidad resultante del barco debe ser en direccin este y su valor igual a

donde es la distancia que falta por recorrer y

el tiempo que debe tardar.

Entonces tenemos el siguiente esquema:

El barco debe modificar su rumbo y su velocidad de manera que la resultante sea hay

que resolver el tringulo para calcular y el ngulo

Sabemos adems que

El teorema del coseno nos da: Por el teorema del seno calculamos

:

TEOREMA DEL SENO 35

Ejemplo 3. La gra de la figura tiene los dos brazos iguales. Suponiendo conocida lalongitud de estos y el ngulos calcular la tensin producida en la guaya al levantarel peso

Solucin: Descomponiendo el peso en dos fuerzas, una en la direccin de la guaya yotra en la direccin del brazo se forma el tringulo de la figura.

La tensin es en magnitud igual a . Hay que calcular entonces.Para esto tratemos de resolver el

Primero observamos que los ngulos mar-cados son iguales por qu?

Entonces y Por el teorema de seno obtenemos

o sea

Finalmente

Ejemplo 4. Una lancha atraviesa un ro que tiene una corriente de Km/h en direccineste, si la velocidad de la lancha es de Km/h. y hacia el noroeste, calcular lavelocidad resultante de la lanchaSolucin:


Debido al arrastre de la corriente y empleando la regla del paralelogramo obtenemos enel diagrama anterior la velocidad resultante

Para conseguir aplicamos el teorema del coseno al tringulo

por qu? El ngulo que hemos marcado en la figura anterior sirve para indicar la direccin

del movimiento resultante de la lancha, podemos fijarnos en el tringulo y aplicarel teorema del seno:

Buscando el valor de obtenemos:

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Para la resolucin de algunos tringulos es til la siguiente ley de las tangentes

Demuestre esta frmula.

2. Se quiere encontrar la distancia de un punto a un punto inaccesible, de la orillaopuesta de un ro. Para ello medimos una distancia apropiada m., y los ngu-los como en la figura

EJERCICIOS Y PROBLEMAS 37

3. Una escalera de m. de longitud se coloca de modo que alcance una ventana de m. de altura de un lado de la calle y hacindola girar manteniendo su base fija puedealcanzar una ventana que est a metros de altura del otro lado de la calle. Hallar elancho de la calle.

4. Dos boyas se encuentran al sur de un faro de m. de altura. De lo alto del faro se vencon ngulos de depresin de y respectivamente. Encontrar la distancia entre lasboyas.

5. Una gra tiene un brazo de m. de largo. Cunto se eleva el extremo del brazo cuandogira de a ?

6. El potencial elctrico que producen dos cargas y en un punto situado a distancias y de y respectivamente, es Considerar la figura siguiente:

Demostrar

7. En un punto

se aplican fuerzas de y unidades como se indica en la figura


Usando la regla del paralelogramo calcular el valor de la fuerza resultante e indicarla direccin de la misma calculando el valor del ngulo .

Sugerencia: la suma de los ngulos internos de un paralelogramo es .8. Un hilo est unido a dos paredes en dos puntos y (ver la figura). En un punto

Intermedio del hilo se cuelga un objeto que da lugar a una fuerza de unidades haciaabajo. Si la situacin es la que se muestra en la figura, se pide calcular el valor de lasfuerzas de tensin y que se originan en el hilo como consecuencia del peso que

soportan.

Sugerencia: en vista de que elcuerpo colgado no cae debe te-nerse que la resultante de lastensiones y debe serigual a y est dirigida ha-cia arriba. Un uso adecuadode la geometra de la figura eslo que falta.

9. Demuestre la frmula de Hern para hallar el rea del tringulo

10. En un tringulo el ngulo en es el doble del ngulo en

Si y calcule el lado Respuesta:

11. Conociendo la longitud de los catetos y de un tringulo rectngulo, hallar la longitudde la bisectriz del ngulo recto

Respuesta:

12. Demostrar que la suma de las distancias desde un punto

interior a un tringulo equi-ltero a los lados de este tringulo es constante independiente de

Prueba: tracemos por

tres rectas paralelas a los lados del tringulo, formando deese modo tres tringulos equilteros.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS 39

Es inmediato observar que la suma de todos los lados de los tringulos pequeosrayados en la figura es igual al permetro del tringulo ahora,

Ahora,

luego,

(Permetro ).13. Demostrar que en todo tringulo, al mayor lado le corresponde la menor bisectriz.14. Hallar la razn entre el rea del tringulo y el rea de otro tringulo, cuyos lados

son iguales a los segmentos trazados desde los vrtices a los puntos medios del ladoopuesto (medianas).

Respuesta:


AUTOEVALUACIN

Universidad Simn BolvarDepartamento de MatemticasPuras y Aplicadas

MA-1511Modelo de Autoevaluacin

Sus respuestas las puede verificar en el Apndice, en la pgina 303.

1. Suponga que los tringulos y

son semejantes de manera que

Si se sabe que , calcule la pro-porcin

.

A 1/3 B 2/3 C 3/2

D 4/4 E 5/3 F Ninguna!

2. Cul de los siguientes conjunto de con-diciones NO es sufuciente para concluirque los tringulos

y seansemejantes:

A B C D E

F Ninguna!

3. Suponga que

rad, y que , entonces tenemos que :

A , radB , radC , radD , radE , radF Ninguna!

4. Desde el punto medio de la distancia en-tre los pies de dos torres, los ngulos deelevacin de sus extremos superiores son y respectivamente. La altura de latorre mayor es veces la altura de la me-nor. Entonces, en cul intervalo est ?

A B C D E F Ninguna!

AUTOEVALUACIN 41

5. Una asta de bandera de 4m., est para-da sobre el techo de un galpn. Desde unpunto sobre el plano de la base del gal-pn, la punta y la base del asta se ven conngulos de y respectivamente. En-tonces la altura , medida en metros, esten el intervalo:


6. Un vehculo comienza a correr a 125Km/h., por una pendiente que forma con la horizontal. Entonces el tiempo, medido en segundos, que tarda el

vehculo en elevarse 200m., est en elintervalo:

A

B

C

D

E

F Ninguna!

7. Dos estaciones de radar separadas unadistancia de 36Km., detectan un avinque vuela justo sobre la recta que unea las do estaciones. Los vigilantes venal avin con una elevacin de y respectivamente. Entonces la distancia ,medida en kilmetros, del avin a la pri-mera estacin (con ngulo de ) est enel intervalo:


8. En un punto

se aplican fuerzas de 100 y20 unidades como se indican en la figura.

Calcule el valor de la fuerza resultantey el ngulo que forma con la horizontal.

A unidades y .B unidades y .C unidades y .D unidades y .E unidades y .F Ninguna!


9. Conociendo las longitudes y de los ca-tetos de un tringulo rectngulo, hallar lalongitud de la bisectriz del ngulo rectoen trminos de y .

A B C

D

E F Ninguna!

10. En la figura abajo, halle la longitud delsegmento en trminos de la longitud del segmento y del ngulo .

A

B

C

D

E

F Ninguna!

CAPTULO 4

RELACIONES MTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia es el conjunto de puntos de un plano que equidista de otro, llamadocentro. La distancia comn de los puntos de la circunferencia al centro se llama radio.

Al conjunto de puntos que verifica una determinada condicin geomtrica se le llama, porcostumbre, Lugar Geomtrico. As, la circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos del planoque equidistan de otro punto.

Una recta y una circunferencia pueden ocupar, en el plano, tres posiciones relativas distintas,segn el nmero de puntos de corte:

Nuestro propsito es estudiar relaciones mtricas en la circunferencia. Comencemos con lamedida de ngulos.

Consideremos un ngulo central en una circunferencia, es decir, un ngulo cuyo vrtice esten el centro de la circunferencia. Es obvio que la medida del ngulo y la longitud del arco estn ntimamente ligados.

En el captulo No. 1 vimos que la medida en radianes, del ngulo longitud eslongitud

radio

Si tenemos ahora un ngulo inscrito en la circunferencia. es decir, un ngulo cuyo vrtice est enla circunferencia, cmo se relaciona la medida del ngulo y el arco ?, o lo que es lo mismocmo se relaciona y el ngulo central ?

43

44 4. RELACIONES MTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

La respuesta a esta pregunta es el siguiente teorema:

TEOREMA 1. Un ngulo inscrito en una circunferencia, es igual a la mitad del ngulo central En otras palabras:

Para la demostracin vamos a distinguir tres casos, segn que el centro est sobre un ladodel ngulo, sea interior al ngulo, o sea exterior.

Primer Caso: El centro est sobre uno de los lados del ngulo . Consideremos el tringulo Es issceles, por tener dos lados iguales: Como la suma de los tres ngulos deun tringulo es , resulta . Luego

Segundo Caso: El centro es interior al ngulo . El dimetro que pasa por divide al nguloen dos ngulos y

, tambin divide al ngulo en dos ngulos y .

Por el primer caso tenemos

luego,

4. RELACIONES MTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 45

Tercer Caso: El centro es exterior al ngulo . Al trazar el dimetro por se forman dos ngulos y tales que

Igualmente .

Por lo visto en el primer caso:

, y,

Luego:

Supongamos ahora que el punto

es interior o exterior a la circunferencia, pero los lados delngulo son secantes. Cmo se relacionan la medida del ngulo con los arcos y ?

Para evitar continuas referencias el ngulo central , vamos a convenir en llamar arco a la medida de este ngulo central, conviniendo en que los ngulos centrales son positivos silos tomamos en sentido contrario a las agujas del reloj. Igualmente los arcos positivos son losrecorridos en este mismo sentido

arco

Observacin: No hay que confundir longitudes del arco con arco . La relacin entreestos dos conceptos es la siguiente:

arco (medido en radianes) = longitud del arco

radioLa respuesta a la pregunta de arriba la dan los dos teoremas siguientes:

TEOREMA 2. Si

es exterior a la circunferencia:

arco arco

.


Prueba: tracemos el segmento se forma el tringulo Por el resultado anterior:

arco arco

Como la suma de los ngulos de un tringulo es , obtenemos:

Sustituyendo arco

arco

De aqu obtenemos finalmente:

arco arco

TEOREMA 3. Si

es interior a la circunferencia,

arco

arco

Prueba: Tracemos el segmento se forma el tringulo Por el primer teorema:

arco arco


Como los tres ngulos de un tringulo suman se obtiene:

arco

arco

Consideremos ahora el caso de un ngulo semi inscrito en la circunferencia. El vrtice

esten la circunferencia, pero uno de los lados es tangente a ella.

Una tangente es la posicin lmite de una secante, cuando los dos puntos de corte se acercan.Si el punto se acerca al punto la secante se acerca a una posicin lmite que es la

tangente.

Entonces la medida del ngulo se obtendr como el limite de las medidas de los ngulos etc.

Estas medidas son

arco

arco arco

Cuando el punto se acerca ms y ms al punto el arco se acerca ms y ms al arco Entonces, en el lmite se obtiene

arco

Si el argumento anterior no le ha convencido, demuestre usted mismo el resultado usandosiguiente la figura.


Consideremos ahora los casos de estas dos figuras. Los resultados escritos a la derecha debenparecer claros

arco arco

arco

arco

Los tres teoremas anteriores nos dicen cmo medir ngulos referidos a una circunferencia.Veamos ahora una aplicacin de esto:

Sabemos que por tres puntos no alineados de un plano pasa una nica circunferencia. Haga-mos un parntesis para recordar este resultado.

La Mediatriz de un segmento es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistande los extremos del segmento. La mediatriz es la recta perpendicular al segmento por su puntomedio.


Consideremos ahora tres puntos no alineados del plano y Queremos construir unacircunferencia que pase por los tres puntos, hay que determinar el centro y el radio de esa cir-cunferencia. Como el centro de la circunferencia debe estar a igual distancia de y de debeestar sobre la mediatriz de Por razn anloga, debe estar sobre la mediatriz de Entonces debe ser el punto de corte de estas dos mediatrices y el radio de la circunferencia es

Lo anterior nos da una manera de construir dicha circunferencia. Para ver que sta es nica,basta darse cuenta de que si y no son colineales, las mediatrices de y se cortan enun solo punto.

Veamos el siguiente problema. Si tenemos cuatro puntos no alineados en el plano y existir, o no existir, una circunferencia que pase por los cuatro puntos?Supongamos primero que los cuatro puntos y estn en una circunferencia.

Entonces:

arco

arco

Luego: arco arco

Este resultado puede ser enunciado como un teorema:

TEOREMA 4. Si un cuadriltero es inscriptible (es decir, si los cuatro puntos y estn en una circunferencia) entonces los ngulos opuestos son suplementarios (suman ).

El recproco de este teorema tambin es cierto, s es un cuadriltero y dos de susngulos opuestos son suplementarios, el cuadriltero es inscriptible.

Supongamos que y son suplementarios:

Sabemos que existe una circunferencia que pasa por y hay que probar que pasatambin por

Supongamos que no pase por

entonces el punto es interior o exterior ala circunferencia. De las dos figuras de abajo y de los teoremas 2 y 3 es fcil concluir que encualquiera de estos casos los ngulos

y no pueden ser suplementarios. Luego si


al punto no le queda ms remedio que estar en la circunferencia. Con esto hemosprobado el siguiente teorema.

TEOREMA 5. Un cuadriltero es inscriptible si y slo s sus ngulos opuestos son suplementarios.

ARCO CAPAZ

El lugar geomtrico de los puntos del plano, desde los cuales se ve un segmento fijo bajoun ngulo fijo , es dos arcos de circunferencia.

Vamos a probar este resultado, al mismo tiempo damos una manera de construir con regla ycomps dichos arcos. Supongamos que

es un punto que goza de las propiedades mencionadas

arriba: el ngulo es .

Tracemos la circunferencia que pasa por y Es claro que cualquier punto del arco tambin goza de la misma propiedad ya que arco

Tambin es claro que si el punto

est fuera del arco el ngulo ser mayor o

menor que

arco arco arco arco

Adems del arco podemos obtener por simetra otro arco cuyos puntos gozande la misma propiedad

ARCO CAPAZ 51

Para construir el arco capaz con regla y comps, observemos que el ngulo que forma latangente en con el segmento es tambin

Entonces el centro del arco est sobre la perpendicular a esta tangente, trazada por Tambin est sobre la mediatriz de

Entonces para construir el arco capaz basta copiar el ngulo en el extremo de y trazarla perpendicular y la mediatriz descritas arriba.

El punto de corte de estas dos rectas es el centro del arco

La demostracin del teorema 4, se puede hacer ahora mucho ms sencilla utilizando el arcocapaz.

Basta observar que si es el arco capaz del ngulo y el segmento entonces

es el arco capaz del ngulo y el mismo segmento


* * *

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA

Vamos a dar ahora otra condicin para que cuatro puntos y estn sobre una mismacircunferencia.

Primero consideremos un punto

exterior o interior a la circunferencia y tracemos secantesque pasen por

Vamos probar que cualquiera que sea la secante, el producto es constante. Es decir etctera.

Este producto se llama potencia de

respecto a la circunferencia: Potencia de

Consideremos dos secantes cualesquiera:

En cada caso unamos con y con se forman dos tringulos y Estosdos tringulos tienen el ngulo en

igual y adems el ngulo en es igual al ngulo en

POTENCIA DE UN PUNTO 53

ambos iguales a arco luego los tringulos son semejantes.

De aqu resulta que

luego

* * *

Observacin: Si es tangente a la circunferencia, entonces la potencia de

respecto a la

circunferencia es ya que los tringulos y son semejantes.

Volvamos ahora al problema de un cuadriltero inscriptible. Si es inscriptible,

Recprocamente si el cuadriltero es tal que entonces

y los tringulos

y son semejantes por

tener dos pares de lados proporcionales y el ngulo comprendido igual:

De aqu resulta que Es decir, y estn sobre el arco capaz del ngulo

respecto al segmento luego el cuadriltero es inscriptible.Enunciemos el resultado como un teorema:

TEOREMA 6. Sea un cuadriltero con al menos dos lados opuestos no paralelos, por ejemplo y Si es el punto de corte de estos dos lados, el cuadriltero es inscriptible en una circunferenciasi y slo si


Observacin: Si los dos pares de lados opuestos son paralelos, el cuadriltero es un parale-logramo que ser inscriptible solamente en el caso de que sea un cuadrado o un rectngulo (porqu?).

PROBLEMAS Y EJERCICIOS

1. Construir con regla y comps un tringulo del cual se conoce el ngulo el lado y la altura

Solucin: Se construye el segmento se traza el arco capaz del ngulo respectoal segmento

Ahora se traza una paralela a a distancia , (dos soluciones, una, o ninguna,segn que esta paralela sea secante, tangente o exterior al arco).

2. Conociendo la distancia de un punto

al centro de una circunferencia y conociendoel radio de la circunferencia, pruebe la potencia de es o Solucin:

3. Dos circunferencias son ortogonales si las tangentes en el punto de corte se cortan en

ngulo recto.

a) Pruebe que dos circunferencias son ortogonales si y slo si el cuadrado de la distan-cia entre los centros es igual a la suma de los cuadrados de los radios.Solucin:


Las circunferencias son ortogonales si y slo si la tangente a una de ellas, por elpunto de corte, pasa por el centro de la otra (por qu?). Entonces en el tringulo se tiene .

b) Pruebe que dos circunferencias son ortogonales si y slo si la potencia del centro deuna de ellas, respecto a la otra, es igual al cuadrado de su radio.

4. En cada figura de abajo, calcule los ngulos pedidos.

a) arco ?arco ?

b)

?

arco ?

c) arco ?

d) arco ?

e)

? ?


f ) ?

g) arco

arco ?

h) ?

i) ?

j) arco ?, arco

k) arco ?


l) ?

m) ?

n) arco ?

o) ?

p) ?

q) arco


r) ?

s) ?, ?,arco

t) ?

5. Diga si es verdadero o falso cada uno de los casos mencionados a continuacin:a) Si un paralelogramo est inscrito en una circunferencia, debe ser un rectngulo.b) Si un ngulo inscrito y un ngulo central sub-tienden el mismo arco de circunferen-

cia, deben ser iguales.c) El ngulo formado por dos cuerdas que se intersectan en un crculo es igual (en

grados) a la semidiferencia de las medidas de los arcos intersectados.d) Los ngulos inscritos en el mismo arco de circunferencia son iguales.e) Una recta perpendicular a un radio es tangente a la circunferencia.

6. Demuestre que el lugar geomtrico de los puntos

tales que

constante,

es una recta perpendicular a (Use el teorema del coseno).7. Cul es el lugar geomtrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto a dos

circunferencias? Respecto a tres?8. Diga en qu casos los puntos estn sobre una misma circunferencia.


9. Construir con regla y comps un tringulo del cual se conoce:a) Un lado, el ngulo opuesto y la mediana relativa a ese lado (el segmento que une el

punto medio del lado con el vrtice opuesto.)b) Un lado el ngulo opuesto y la diferencia de los cuadrados de los otros dos

lados c) Un lado el ngulo opuesto y la altura relativa al lado

10. Construir con regla y comps un cuadriltero del cual se sabe que es inscriptibley adems se conoce la diagonal el ngulo en y los lados y

11. Pruebe que en todo tringulo, el producto de dos lados cualesquiera es igual al productode la altura relativa al tercer lado por el dimetro de la circunferencia circunscrita.

Solucin: Compare los tringulos y 12. Considere cuatro puntos distintos arbitrarios sobre una circunferencia y

sean los puntos medios de los arcos

Pruebe que

es perpendicular al

13. Dado el radio y el segmento determinar

Respuesta:

14. Se corta una esfera por un plano como en la figura. Conociendo y determine Respuesta:


15. Dadas dos circunferencias de centros y y de radios y cm. Si cm. Calcule la longitud del segmento tangente a ambas circunferencias.

Respuesta: y (dos soluciones)

RESPUESTAS AL EJERCICIO No. 4.a.

b.

c. d. e. f. g. h. i.

j.

k.

l. m. n.

o. p.

q.

r.

s.

t.

CAPTULO 5

PROBLEMAS Y APLICACIONES

En esta gua vamos a dar algunas aplicaciones y problemas sobre lo que hemos estudiadohasta ahora.

MEDIDA DE LA TIERRA

Pitgoras (532 a.C.) ya saba que la Tierra era esfrica, pero fue Eratstenes (276-194 a.C.)quien logr medir por primera vez su radio. Veamos cmo lo hizo.

Eratstenes viva en Alejandra (Egipto) y supo que el da de solsticio de verano a medioda elSol se reflejaba en las aguas de un pozo profundo que haba en la ciudad de Syena (actualmenteAswan). Concluy que los rayos del Sol caan perpendicularmente a Syena ese da, entoncesmidi el ngulo de los rayos del Sol en Alejandra un da de solsticio de verano. Para medir estengulo, midi una torre y su sombra, a medioda y calcul el valor del ngulo: . (Puedeusted decir cmo lo calcul?)

Eratstenes supona que Syena estaba directamente al sur de Alejandra, luego tena la mismahora (consulte un Atlas y ver que esto no es completamente cierto).

Luego quiso medir la distancia de Alejandra a Syena, se inform de que una caravana hacaese viaje en 50 das y calcul que la velocidad media de un camello es de 100 Estadios por da.Luego la distancia sera de 5000 Estadios (un estadio son 185 metros, la longitud del Estadio delos griegos). Con estos datos y considerando los rayos del Sol paralelos entre si, ya que el Solest muy lejos, calcul el radio de la Tierra.

PROBLEMA No. 1. Calcule la longitud del radio de la Tierra que hall Eratstenes.

Respuesta: KmEsta medida es mayor que el radio verdadero. Sin embargo, el razonamiento de Eratstenes

es correcto. Utilizando el mismo mtodo, pero con instrumentos muy precisos se midi el radiode la Tierra del siguiente modo: se midi la distancia entre Tornio (Finlandia) y Ciudad del Cabo(Sur frica), que estn sobre el mismo meridiano y separados por un arco de Conociendoel ngulo formado por los rayos del Sol en ambos lugares, el mismo da y a la misma hora, sedetermin Km.

PROBLEMA No. 2. Halle la distancia rectilnea y la distancia sobre la superficie de la Tierra,que separa a Tornio de El Cabo.

Solucin:61

62 5. PROBLEMAS Y APLICACIONES

Km

Respuesta: Longitud de arco Km.

Distancia Km.

Sabemos que la Tierra no es exactamente esfrica; tiene una forma bastante irregular, como lade la figura de abajo. Se ha medido con precisin, usando satlites artificiales, su forma exacta.Hoy da se aceptan las siguientes medidas.Radio en los Polos KmRadio en el Ecuador Km

DISTANCIA DE LA TIERRA A LA LUNA

Ahora que conocemos el radio de la Tierra (suponindola esfrica) podemos medir la distan-cia de la Tierra a la Luna.

Con la ayuda de un telescopio en Tornio podemos medir el ngulo que forma la Luna (oun crter de la Luna cerca de su centro) con la direccin sur, llammosla . El mismo da y a lamisma hora en Ciudad del Cabo un ayudante mide el ngulo

de la Luna con la direccin norte.

PROBLEMA No. 3. Calcule la distancia suponiendo conocidos los ngulos y .

Solucin:1. Con los datos que tiene puede calcular la distancia Tornio-El Cabo. ( Km)2. Del tringulo Tornio-El Cabo la Luna conoce un lado y los dos ngulos adyacentes:

y (por qu?). Entonces puede calcular la distancia Tornio-Luna (cmo

lo hace?).

DISTANCIA DE LA TIERRA AL SOL 63

3. Del tringulo - - conoce: y el ngulo comprendido (por qu?), puede calcularla distancia (cmo lo hace?).

4. Finalmente Si conociramos el valor exacto de los ngulos y

obtendramos Km

aproximadamente, ya que la rbita de la Luna es elptica, su distancia a la Tierra varade Km hasta Km. El valor es la distancia media.

RADIO DE LA LUNA

Si medimos con un telescopio el dimetro aparente (paralaje) de la Luna cuando sta se encuen-tra cerca del Zenit en una noche muy clara para evitar la distorsin producida por la atmsfera,obtendremos un ngulo de

PROBLEMA No. 4.

1. Calcule el radio de la Luna.

Respuesta: Aproximadamente 1670 Km.2. Con qu ngulo aparente (paralaje) vio Armstrong a la Tierra cuando estuvo de paseo

por la Luna?Respuesta: Aproximadamente

DISTANCIA DE LA TIERRA AL SOL

Aristarco de Samos (310-230 a.C.), fue el primero en medir las distancias de la Tierra al Sol yde la Tierra a la Luna. Como l muri 46 aos antes del nacimiento de Eratstenes, no conoci lamedicin del radio de la Tierra que hizo ste.

En realidad Aristarco dio estimaciones, comparando la distancia Tierra-Luna con el radio dela Tierra, aunque l no tena una estimacin de este radio. Tambin estim la distancia Tierra-Sol,comparndola con la distancia Tierra-Luna. Concretamente, l demostr que la distancia del Sola la Tierra es mayor que dieciocho veces la distancia Tierra-Luna, pero menor que veinte vecesesta misma distancia.

Tambin dio estimaciones bastante precisas de las razones entre los radios del Sol, la Tierray la Luna. Public este trabajo en un libro con el ttulo Sobre los tamaos y distancia del Sol y de laLuna cuyo texto se conserva completo y est traducido al ingls en el libro Aristarchus of Samosde Sir Thomas Heath (Oxford at the Clarendon Press), existente en la biblioteca de la U.S.B.

La medicin de la distancia Tierra-Sol que hizo Aristarco se basa en que cuando la Luna esten cuarto creciente, el Sol ilumina la mitad de la Luna ya que sus rayos son casi paralelos entresi, porque est muy lejos, y adems el ngulo Sol-Luna-Tierra es recto en la Luna.

PROBLEMA No. 5. Calcule la distancia sabiendo que el ngulo mide cuan-do la Luna est en cuarto creciente.


Respuesta: 150000000 Km aproximadamente.

El trabajo de Aristarco es notable, por su rigor cientfico y por las escasas herramientas que ltuvo a su alcance. Adems de no disponer de instrumentos de precisin, los griegos no conocanla trigonometra como nosotros la conocemos hoy da. Aristarco no trabajo con ni tenatablas trigonomtricas. Es muy instructivo leer, como diversin en ratos libres, parte de su libro.

La manera de medir en el problema anterior es en la prctica difcil porque el ngulo no se puede medir directamente. La distancia se ha medido, con mtodos trigono-mtricos utilizando la rbita de Marte o del asteroide Eros. Tambin se han medido las distancias

y con tcnicas no trigonomtricas. Por ejemplo, se ha medido con mucha precisin ha-ciendo rebotar un rayo Lser sobre un reflector dejado sobre la superficie de la Luna y midiendoel tiempo que tarda en recibirse el eco.

DISTANCIA DEL SOL A UNA ESTRELLA

Conociendo la distancia podemos intentar medir la distancia del Sol a una Estrella.Suponiendo que la rbita de la Tierra es circular podemos medir el ngulo un da. Luego, 6meses despus cuando la Tierra est en el extremo opuesto del dimetro, medimos el ngulo

.

Aunque el dimetro de la rbita de la Tierra es muy grande, resulta pequeo comparado conla distancia a una estrella, los ngulos y

sern casi iguales, necesitaremos instrumentos muy

finos.

DISTANCIA DEL SOL A UNA ESTRELLA 65

PROBLEMA No. 6. Haga los clculos tericos necesarios para calcular la distancia .Frecuentemente se usa tambin el mtodo ilustrado en la figura, llamado Paralaje Heliocn-

trico.

Cuando la Tierra esta en la posicin se observa la estrella que se quiere medir, y se tomacomo referencia una estrella ms lejana

que est en la misma direccin de

Cuando la Tierra

esta en la posicin se mide el ngulo

que forma las direcciones de

y de

Entonces sepuede resolver el tringulo rectngulo

Como las distancias astronmicas son muy grandes hay que usar unidades de distanciasmuy grandes tambin.Las Unidades ms frecuentes son:

1. Unidad Astronmica, es la distancia TS =150000000 Km.2. Ao Luz, es la distancia que recorre la luz en un ao.

( la velocidad de la luz 300000 Km/seg).3. Parsec, es la distancia a la cual se encontrara una estrella hipottica si el ngulo

de la

figura anterior fuese 1 segundo.PROBLEMA No. 7.1. Calcule el valor de 1 Parsec en Kilmetros.

Respuesta: Km2. La estrella ms cercana al Sol se llama -Centauro. Sabiendo que el ngulo

corres-

pondiente a esta estrella es 0,762 segundos, calcule la distancia de -Centauro al Sol enParsec.

Respuesta: 1,31 ParsecBIBLIOGRAFA

1. Dixon Dynamical Astronomy Prentice Hall.2. Heath Aristarchus of Samos Oxford U. Press.


AUTOEVALUACIN

Universidad Simn BolvarDepartamento de MatemticasPuras y Aplicadas

MA-1511Autoevaluacin de los captulos 1 al 5

Sus respuestas las puede verificar en el Apndice, en la pgina 303.

1. En la figura se muestra un sistema derectas paralelas horizontales y dos rectasoblicuas, as como los puntos de intersec-cin.

Diga cual de las siguientes igualdadesno es cierta en general:

A

B

C

D

E

F Ninguna!

2. En la figura se presentan los segmentos: , , y , que miden , , y respectivamente.

Entonces la medida es igual a:


AUTOEVALUACIN 67

3. Una persona de 1,80 metros de estaturadesea medir la altura de un rbol sa-biendo que a una distancia de 8 metros elextremo superior se observa bajo un n-gulo de

respecto a la horizontal. En-tonces la altura medida en metros esten el intervalo:


4. El piloto de un avin observa que el n-gulo de depresin de una luz situadaexactamente bajo su lnea de vuelo es de radianes. Dos minutos ms tarde elngulo de depresin es de radia-nes. Si est volando horizontalmente y si-guiendo una lnea recta a 240 Km/h., en-tonces la altura de vuelo expresada en ki-lmetros est en el intervalo:


5. Desde un punto en la superficie deun planeta caen los rayos solares perpen-dicularmente sobre la superficie. Desdeotro punto en la superficie del planetalos rayos solares caen formando un n-gulo . La longitud del arco es Km. Entonces el radio (medido enkilmetros) de ese planeta est en el in-tervalo:


6. En un tringulo , el ngulo en esel doble del ngulo en . Si y ,calcule el lado .



7. El crculo de la figura tiene radio . El ar-co (sentido antihorario) abarca unngulo al centro de , y el ngulo en

es . Halle la longitud del arco (sentido antihorario) en trminos de .

A B C

D E F Ninguna!

8. El crculo de la figura tiene radio .Los arcos

y (sentido antihorario)

abarcan ngulos al centro de y respectivamente. Halle la medida del n-gulo .


9. Suponga que un astronauta ve la Tierradesde la superficie de la Luna abarcandoun ngulo aparente . Supongatambin que el radio de la Tierra es de kilmetros. Sea la distancia entrela superficie de la Luna y la superficie dela Tierra que se puede hallar con esos da-tos. Entonces la distancia (medida enmiles de kilmetros) est en el intervalo:


10. Una grua tiene un brazo de 15 metrosde largo. El extremo del brazo se eleva metros cuando su ngulo de elevacin(respecto a la horizontal) cambia de a . Entonces la distancia est en elintervalo:


CAPTULO 6

CONCEPTOS BSICOS EN EL ESPACIO

INTRODUCCIN

El propsito de esta gua es desarrollar de manera intuitiva algunos conceptos bsicos en elespacio. Concretamente, primero hablaremos de relaciones de incidencia y paralelismo entrerectas, planos y puntos del espacio y luego sobre la idea de ngulo.

En este curso de Geometra MA1511, se ha adoptado un punto de vista puramente intuitivo.Desde el punto de vista lgico, la Geometra se desarrolla a partir de ciertos axiomas que sonverdades intuitivamente obvias, o que aceptamos como obvias, y cualquier otra proposicindebe ser demostrada a partir de esos axiomas. Algunas de las proposiciones que mencionamosaqu pueden ser tomadas como axiomas y otras como teoremas, al estudiante interesado en eldesarrollo lgico y formal de la Geometra le recomendamos el libro de P. Puig Adam: GeometraMtrica, Tomo 1.

Las relaciones de incidencia y paralelismo que mencionamos arriba son relaciones del tipo:estar en, pasar por, cortar, es paralelo a, etc. Algunos ejemplos son los siguientes:

1. Por dos puntos distintos del espacio pasa una nica recta.2. Por tres puntos distintos del espacio pasa un plano nico.3. Si dos puntos de una recta estn en un plano toda la recta est contenida en ese plano.4. Dos rectas que se cortan en el espacio determinan un plano nico. Esta proposicin

puede ser deducida de (2.) y (3.) como un teorema, ya que si tenemos dos rectas que secortan en tomamos dos puntos y en cada una de ellas, distintos de Entoncespor (2.) existe un plano nico, que pasa por y Por (3.) este plano contiene a larecta que pasa por y y a la recta que pasa por y

5. Una recta y un plano pueden ocupar una de las siguientes posiciones relativasa) est contenida en

b) corta a en un nico punto69

70 6. CONCEPTOS BSICOS EN EL ESPACIO

c) no corta a

En este ltimo caso decimos que es paralela a 6. Dos planos distintos en el espacio y puede ocupar una de las siguientes posiciones

relativasa) y se cortan segn una recta

b) y no se cortan nunca. En este caso decimos que son paralelos.

7. Dos rectas distintas y en el espacio pueden ocupar una de las siguientes posicionesrelativas:a) y se cortan en un punto. En este caso son coplanarias: estn en un plano

INTRODUCCIN 71

b) y estn en un mismo plano y no se cortan. En este caso decimos que sonparalelas.

c) y no se cortan y no hay ningn plano que las contenga.

En este caso decimos que se cruzan.8. a) Por un punto

exterior a un plano se pueden trazar un nico plano paralelo a

b) Por un punto

exterior a un plano se pueden trazar infinitas rectas paralelas a ,todas ellas estarn contenidas en .

c) Por un punto

exterior a una recta se puede trazar una paralela nica. Esa para-lela estar en el plano determinada por y


Hablemos ahora de ngulos en el espacio. Un caso particular, pero muy intuitivo es laperpendicularidad: diremos que una recta que corta a un plano en un punto esperpendicular al plano, si lo es a todas las rectas de que pasan por

Si la recta no es perpendicular a formar ngulos distintos con cada recta de que pase por No es claro lo que llamaramos ngulo en este caso, vamos a convenirque el ngulo de la recta y el plano es el menor de todos estos ngulos. En la figurade abajo, ser el ngulo de y

Dos planos que se cortan dividen al espacio en cuatro regiones llamadas ngulosdiedros. La idea de ngulo es bien clara en este caso. La medida de este ngulo es lamedida del ngulo que forman dos rectas perpendiculares a la arista por un mismopunto y situados en cada uno de los planos.

Si tenemos un ngulo diedro y trazamos un tercer plano que corte a la arista en unpunto

dividimos al espacio en 8 regiones, cada una se llama angulo triedro, las rectas

INTRODUCCIN 73

interseccin de los planos se llaman aristas, el punto vrtice y los planos se llaman ladoso caras del ngulo triedro.

La idea del ngulo tambin es clara aqu, sin embargo no podemos dar un nmeroque sea su medida. Podemos medir cada uno de los ngulos formados por las aristas,daremos la medida de un triedro por tres ngulos que son los ngulos de suscaras

Igualmente, podemos hablar de ngulo poliedro: es una de las regiones del espaciodeterminadas por varios planos que se cortan en un punto

(vrtice). Las rectas de

interseccin de dos de ellos se cortan tambin en

Podemos medir cada uno de los ngulos de las caras

* * *Hasta ahora hemos enunciado proposiciones y conceptos que son ms o menos ob-

vios intuitivamente, por eso no nos hemos preocupado mucho en demostrarlos o jus-tificarlos. Vamos ahora a probar dos teoremas referentes a relaciones mtricas en losngulos poliedros, relaciones entre las medidas de los ngulos poliedros.

Hagamos un parntesis para decir lo que significa probar un teorema: Se tiene unaconjetura, algo que se cree que puede ser cierto, entonces a partir de proposiciones que


sabemos que son ciertas, porque ya las hemos demostrado (otros teoremas), o que toma-mos por ciertas desde el principio (Axiomas) y utilizando mtodos deductivos debemosllegar a que nuestra hiptesis original tambin es cierta.

Enunciemos ahora el primer teorema:

TEOREMA 7. En todo ngulo poliedro, el ngulo de una cualquiera de las caras es menor que lasuma de los dems

Hagamos otro parntesis sobre el mtodo de demostracin:Observe que el teorema se refiere a cualquier ngulo poliedro, cualquiera que sea el nmero

de sus caras. Podramos pensar esto como una sucesin de teoremas: En todo triedro, el ngulode una cara es menor que la suma de los otros dos. En todo ngulo poliedro de cuatro caras,el ngulo de una de ellas es menor que la suma de los otros tres. En todo ngulo poliedro de 5caras,..., etc., etc.

Este tipo de teorema se presta a ser probado por el llamado principio de Induccin: suponga-mos que tenemos una proposicin que depende de un nmero entero. Podemos pensarla comouna sucesin de proposiciones ordenadas igual que los nmeros enteros, y queremos probar quees verdadera cualquiera que sea el nmero entero. En nuestro caso el nmero entero es el nme-ro de caras del ngulo poliedro.

Un mtodo de probarlo es el siguiente:

a. Probamos que la proposicin es verdadera para un entero fijo b. Probamos que si la proposicin es cierta para un entero cualquiera tambin es cierta

para el entero siguiente

Entonces la proposicin es cierta para todo entero ya que por (a) es cierta para por (b)es cierta para Por (b) de nuevo, es cierta para etc.

En nuestro teorema el entero ser que corresponde al caso del triedro, vale la pena enun-ciar esto como un teorema aparte. Aqu termina el parntesis.

TEOREMA 8. En todo triedro el ngulo de una cara cualquiera es menor

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