GUÍA EXAMENEXTRAORDINARIOMATEMÁTICAS IV

Turno vespertino – Mayo 2018

GUÍA VIGENTE

Hoja de asesorías

Es requisito que algún profesor de la academia de Matemáticas delturno vespertino revise el correcto avance de tu guía, con lafinalidad de que llegues lo mejor preparado para presentar elexamen extraordinario.

Bloque I:

Fecha: ________________ Firma del profesor: _____________________

Bloque II:

Fecha: ________________ Firma del profesor: _____________________

Bloque III:

Fecha: ________________ Firma del profesor: _____________________

Bloque IV:

Fecha: ________________ Firma del profesor: _____________________

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las ordenadas). i) Clasificación de funciones:

- Crecientes y decrecientes.

- Continuas y discontinuas. - Uno a uno, sobreyectivas y biyectivas.

2.

𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 1, 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒: 𝒇(−𝟐) Entonces sustituimos 𝑓(−2) en la función dada como sigue:

𝑓(−2) = (−2)2 + 2(−2) − 1 = 4 − 4 − 1 = −1

j) Intervalos (abierto y cerrado) k) Prueba de la línea vertical. l) Prueba de la línea horizontal.

- Algebraicas (constantes, identidad, lineales, cuadráticas, cúbicas polinomiales, racionales e irracionales) y trascendentes.

1. Investiga los siguientes conceptos y anota un ejemplo de cada uno, incluir gráficas.

Real las siguientes funciones según corresponda. Ejemplo 1)

Entonces: 𝒇(−𝟐) = −𝟏

a) Relación. b) Función c) Dominio d) Rango, contradominio y/o imagen. e) Variable y constante f) Variable dependiente y variable independiente g) Regla de Correspondencia h) Gráfica (plano cartesiano, coordenada, eje de las abscisas y eje de

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Ejercicio 1: Sea la siguiente función halle el valor que se pide:

𝑎. − 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 + 1, 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒: 𝑓(−1), 𝑓(3), 𝑓(5)

𝑏. − 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1, 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒: 𝑓(1), 𝑓(0), 𝑓(5).

𝑐. − 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) =𝑥 + 2

𝑥 − 3, 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒: 𝑓(1), 𝑓(−3), 𝑓(0).

𝑑. − 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) =𝑥2 + 𝑥 − 1

𝑥 + 3; 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒: 𝑓(1), 𝑓(−2), 𝑓(5), 𝑓 (

1

4).

𝑒. − 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑡) = 2𝑡3 + 𝑡 − 4, 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒: 𝑓(1), 𝑓(2), 𝑓(3) + 𝑓(−1).

𝑓. − 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) , 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒: 𝑓(30°), 𝑓(60°), 𝑓(60°) + 𝑓(120°)

Dominio de una función: Ejemplo 2) ¿Cuál es el dominio de la siguiente función?

𝑓(𝑥) =𝑥 + 3

𝑥 − 1

Para hallar el dominio de la siguiente función (racional), tenemos que buscar los valores que evitan que el denominador valga cero, para esto igualamos a cero el denominador de la función dada, entonces: Igualando a cero el denominador de la función: 𝑥 + 1 = 0 Resolviendo la ecuación, 𝒙 = −𝟏; Entonces el dominio de la función es: 𝒙 ≠ −𝟏 = − {−𝟏} Ejercicio 2: Encuentre el dominio de cada una de las funciones siguientes:

𝑎. − 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 𝑏. − 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥 − 2 𝑐. − 𝑓(𝑥) =𝑥+3

𝑥

5

𝑑. − 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥+3

𝑥−2 𝑒. − 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 𝑓. − 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 5)2

𝑔. − 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 ℎ. − 𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥2−1 𝑖. − 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 1)2 + 3 𝑗. − 𝑓(𝑥) =

𝑥−7

𝑥+3

Inversa de una función:

Ejemplo 3) Hallar la inversa de la siguiente función 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 4)2 + 6: Usando la regla de los cuatro pasos. Paso 1: 𝑓(𝑥) se hace 𝑦; 𝑦 = (𝑥 − 4)2 + 6 Paso 2: cambiamos "𝑥" por "𝑦" y "𝑦" por "𝑥"; 𝑥 = (𝑦 − 4)2 + 6 Paso 3: Despejamos a "𝑦";

𝑥 − 6 = (𝑦 − 4)2; √𝑥 − 6 = 𝑦 − 4; √𝑥 − 6 + 4 = 𝑦 Paso 4: 𝑦 se vuelve 𝑓−1(𝑥); por lo tanto, la inversa es:

𝒇−𝟏(𝒙) = √𝒙 − 𝟔 + 𝟒

Ejercicio 3: Hallar la inversa de la cada una de las siguientes funciones:

𝑎. − 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 𝑏. − 𝑓(𝑥) =𝑥+3

2 𝑐. − 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5

𝑑. − 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 6 𝑒. − 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 10 𝑓. − 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1 − 3

𝑔. − 𝑓(𝑥) = 3 − √7 − 𝑥 ℎ. − 𝑓(𝑥) =2𝑥+1

𝑥−3 𝑖. − 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑗. − 𝑓(𝑥) =4

𝑥 + 1

6

Ejemplo 4)

De la siguiente función lineal 𝑓(𝑥) =1

3𝑥 + 2; graficar la función, que de

acuerdo al modelo de la función lineal 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑎0

Primero identificamos el valor del coeficiente principal:𝑎 =1

3; haciendo

𝒂 = 𝒎 =𝟏

𝟑=

𝒚

𝒙

A continuación el coeficiente constante: 𝑎0 = 2; este valor nos da la ubicación del punto sobre el eje de las y. La gráfica queda así:

7

Ejercicio 4: Graficar cada una de las siguientes funciones lineales.

𝑎. − 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 𝑏. − 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 2 𝑐. − 𝑓(𝑥) = −3

4𝑥 + 3

𝑑. − 𝑓(𝑥) = −5

4𝑥 − 6 𝑒. − 𝑓(𝑥) =

5

2𝑥 − 3 𝑓. − 𝑓(𝑥) = 4𝑥 +

1

2

𝑔. − 𝑓(𝑥) =1

2𝑥 +

1

4 ℎ. − 𝑓(𝑥) =

5

4𝑥 𝑖. − 𝑓(𝑥) = −

1

6𝑥 𝑗. − 𝑓(𝑥) = 𝑥

1.- Un ciclista parte del kilómetro 10 de una carretera a una velocidad constante de 20 kilómetros hora. a) Halla la expresión algebraica de la función que relaciona el punto kilométrico de la carretera con el tiempo transcurrido desde el inicio. b) Representa la función en una gráfica. 2.- Se ha realizado una campaña de vacunación en una comunidad autónoma. Los gastos de distribución son 600 euros y los gastos de vacunación son 5 euros por cada vacuna puesta. a) Determina la expresión algebraica de esta función. b) Representa la función con una gráfica. Para colaborar con las personas sin techo, una ONG elabora un periódico de reparto callejero. Cada vendedor recibe un fijo de 25 euros al mes y, además, 50 céntimos por ejemplar vendido. a) Escribe la fórmula y representa la gráfica de la función que relaciona el número de periódicos vendidos con el dinero recibido al mes. b) ¿Cuántos ejemplares tiene que vender un “sin techo” para cobrar en un mes 185 euros? 3.- Juan recibe una factura mensual de 100 minutos de teléfono. Dos nuevas compañías telefónicas le realizan las siguientes ofertas.

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a) ¿Cuál es más beneficiosa para Juan? b) ¿Existe algún número de minutos consumidos en el que la factura sea la misma en las dos compañías? 4.- La siguiente gráfica muestra el recorrido que sigue una persona a lo largo del día. a) Indica la fórmula de la función de cada tramo.

5.- En una etapa con final en alto un escapado está a 8 km de la meta y circula a 10 km/h. Un segundo corredor se encuentra a 10 km del final corriendo a 15 km/h. ¿Alcanzará el segundo corredor al escapado si mantienen las velocidades ambos corredores? En caso afirmativo, ¿Cuánto tardarán y a qué distancia de la meta se encontrarán? En mismo gráfica represente las posiciones de ambos corredores. 6.- Esta tabla muestra lo que cuesta imprimir una hoja publicitaria en una imprenta: Nº DE EJEMPLARES

50 100 200 500

COSTO (€) 2.25 3 4.5 9

a) ¿Cuánto costaría imprimir un solo ejemplar? ¿Y 1 000 ejemplares? b) Halla la expresión analítica de la función número de ejemplares-costo. c) Represéntala gráficamente como si fuera continua. 6.- La temperatura de fusión del hielo en la escala centígrada es 0 °C, y en la Fahrenheit es 32 °F. La ebullición del agua es 100 °C, que equivale a 212 °F.

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a) Encuentra la función lineal que nos da la relación entre las dos escalas y represéntala en una gráfica. b) Expresa en grados Fahrenheit las siguientes temperaturas: 25 °C; 36,5 °C; 10 °C. c) Pasa a grados centígrados 86 °F y 63,5 °F.

Ejemplo 5) Graficar la siguiente función cuadrática.

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 Recordemos que una función cuadrática tiene como modelo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; Entonces de la dada Primero determinamos, el coeficiente principal y constante: 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙: 𝒂 = 𝟏 > 𝟎, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎. 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝒄 = 𝟑; 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑷(𝟎, 𝟑) Ahora encontramos las coordenadas del vértice 𝑉(𝑘, 𝑘):

Determinando ℎ = −𝑏

2𝑎; donde. ℎ = −

−4

2(1)=

4

2= 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠. 𝒉 = 𝟐

A continuación encontramos 𝑘, sustituimos a 𝑘 en la función dada como sigue 𝑘 = (2)2 − (2) + 3 = 4 − 2 − 3 = −1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝒌 = −𝟏 Por lo tanto el vértice es: 𝑽(𝟐, −𝟏) Ahora hacemos una tabla de valores como sigue asignando valores a 𝑥, y procedemos a encontrar los valores de 𝑦

𝑥 𝑓(𝑥) -1 8 0 3 1 0 2 -1 3 0 4 3 5 8

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La gráfica queda así:

Por último encontramos donde la función corta al eje 𝑥 Hacemos 𝑓(𝑥) = 0, entonces 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 y resolviendo la ecuación por fórmula general

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−(−4) ± √(−4)2 − 4(1)(3)

2(1)

𝑥 =4 ± 2

2

Resolviendo para

𝑥1 =4 + 2

2= 3, 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥2 =

4 − 2

2= 1

La función corta al eje 𝑥 en los puntos (3, 0) 𝑦 (1, 0) Ejercicio 5: 𝑎. − 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 − 2 𝑏. − 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 25 𝑐. − 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 7𝑥 − 2

𝑑. − 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 12𝑥 𝑒. − 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥 + 7 𝑓. − 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 4

𝑔. − 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 3 ℎ. − 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 𝑥 − 1 𝑖. − 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 4𝑥 + 4

𝑗. − 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 33𝑥 + 72 𝑘. − 𝑓(𝑥)3

4𝑥2 +

1

2𝑥 −

1

2 𝑙. − 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥 − 1

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Transformación de la forma general [(𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄)]a la forma estándar [(𝒇(𝒙) = 𝒂(𝒙 − 𝒉)𝟐) + 𝒌] las siguientes funciones cuadráticas.

Ejemplo 6 Transforma la función cuadrática siguiente 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 24𝑥 + 38 a la forma estándar y luego grafícala. Para transformar la función a la forma estándar completamos el trinomio cuadrado perfecto como sigue

𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 24𝑥 + 38 = 3(𝑥2 + 8𝑥) + 38 = 3 (𝑥2 + 8𝑥 + (8

2)

2

) + 38 − 3 (8

2)

2

𝒇(𝒙) = 𝟑(𝒙 + 𝟒)𝟐 − 𝟏𝟎; forma estándar. De aquí obtenemos las coordenadas del vértice 𝑽(−𝟒, −𝟏𝟎) Ahora encontramos los ceros de la función, haciendo 𝑓(𝑥) = 0 Donde 𝑥 = 0 y sustituyendo en la función estándar 3(𝑥 + 4)2 − 10 = 0, ecuación a resolver

𝒙 = ±√𝟏𝟎

𝟑− 𝟒;

Resolviendo para

𝒙𝟏 = √𝟏𝟎

𝟑− 𝟒 ≈ −𝟐. 𝟏𝟕; 𝒙𝟐 = −√

𝟏𝟎

𝟑− 𝟒 ≈ −𝟓. 𝟖𝟐

La función corta al eje 𝑥 en los puntos: (√𝟏𝟎

𝟑− 𝟒, 𝟎) y (−√

𝟏𝟎

𝟑− 𝟒, 𝟎)

La función corta el eje 𝑦, cuando 𝑥 = 0 𝑦 = 3(0 + 4)2 − 10 = 38, entonces corta al eje (𝟎, 𝟑𝟖) Por último hacemos una tabla de valores como sigue.

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𝑥 𝑓(𝑥) -7 −17 -6 2 -5 -7 -4 -10 -3 −7 -2 2

−1 -17

𝑎. − 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 𝑏. − 𝑓(𝑥) = −5𝑥2 − 15𝑥 𝑐. − 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 − 21 𝑑. − 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 8𝑥 + 15 𝑒. − 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 14 + 61 𝑓. − 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 10𝑥 − 14 𝑔. − 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 6𝑥 + 1 ℎ. − 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 − 20𝑥 + 29 𝑖. − 𝑓(𝑥) = 6𝑥2 + 48𝑥 + 99

Ejemplo 7)

Bosqueja la siguiente función 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)2 Para bosquejar la función primero identificamos que es una función de grado 3, y que además tiene un raíz simple y una raíz doble y que por el

Ejercicio 6: Transforma a la forma estándar y luego grafica cada una de las siguientes funciones cuadráticas.

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coeficiente principal 𝑎 = 2 tiene la forma que sigue, su rama izquierda decrece y su rama derecha crece, como sigue: 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥 + 1)2 Haciendo 𝑥 − 3 = 0 y resolviendo la ecuación 𝑥 = 3, aquí se tiene una raíz simple. Haciendo 𝑥 + 1 = 0 y resolviendo la ecuación 𝑥 = −1, aquí se tiene una raíz doble por la potencia al cuadrado; aquí entonces la función besa o roza al

𝑎. − 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) 𝑏. − 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)2(𝑥 + 1) 𝑐. − 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)2(𝑥 − 4)(𝑥 − 3) 𝑑. − 𝑓(𝑥) = 3(𝑥 − 5)(𝑥 + 3)(𝑥 − 4) 𝑒. − 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 5)(𝑥 + 2)(𝑥 − 6) 𝑓. − 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 5)2(𝑥 − 2)2 𝑔. − 𝑓(𝑥) = −2(𝑥 + 3)(𝑥 + 5)(𝑥 − 1)(𝑥 + 6) ℎ. − 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 5)(𝑥 + 2)

eje 𝑥. La gráfica que de la siguiente manera Ejercicio 7: Bosqueja la gráfica de cada una de las siguientes funciones polinomiales de grado tres y cuatro.

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𝑖. − 𝑓(𝑥) = 𝑥2(𝑥 − 3)2 𝑗. − 𝑓(𝑥) = −4(𝑥 + 5)(𝑥 − 2)2 𝑘. − 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1)(𝑥 − 4)/(4𝑥 + 1) Ejemplo 8) a.- Encuentra la función polinomial que corta al eje 𝑥 con los siguientes ceros. 𝑥 = −2, 1, 3 b.- Bosqueja a la función. Para encontrar el modelo funcional hacemos lo siguiente 𝑥 = −2; despejando a 𝑥, queda: 𝑥 + 2 = 0 𝑥 = 1; despejando a 𝑥, queda: 𝑥 − 1 = 0 𝑥 = 3; despejando a 𝑥, queda: 𝑥 − 3 = 0 Escribimos: 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 Ejercicio 8: Encuentra el modelo funcional que corta al eje 𝑥 en los ceros siguientes 𝑎. − 0, 1, 3, 5 𝑏. − − 3, 0, 3 𝑐. − 0, −1, −2 𝑑. − − 2, −1, 0, 1 𝑒. − − 2, −1, 3 𝑓. − 2, 3, 4 𝑔. − − 6, −4, 2 ℎ. − − 5, 0 , 5 𝑖. − 2, 6, 9 𝑗. − − 4, −1, 0, 3

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Ejemplo 9) De la siguiente función 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6,

encuentra los ceros de la función con el eje 𝑥, bosqueja su gráfica.

Para empezar buscamos donde la función corta al eje 𝑥, es decir las raíces reales. Recordemos que la función cúbica tiene como modelo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑; en donde identificamos al; donde el coeficiente principal es: 𝒂 = 𝟐 > 𝟎, y al coeficiente constante es: 𝒅 = 𝟔 tanto al coeficiente principal, como al coeficiente constante le buscamos

sus divisores, tanto positivos como negativos, así como, el cociente 𝑑

𝑎

divisores

𝑑 = 6 ±1 ±2 ±3 ±6

𝑎 = 1 ±1

𝑑

𝑎 ±1 ±2 ±3 ±6

Ahora buscamos el número de raíces reales tanto positivas; como negativas, para esto usamos la regla de los signos de Descartes. Cada raíz es un corte con el eje 𝑥 (cero de la función). Entonces las raíces reales positivas son: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6, Tomamos los signos de los coeficientes de la función cúbica y observamos los cambios de signo, y por cada cambio de signo existe una real de signo positivo.

+ − − +

Cambio de

signo

Cambio de

signo

16

Como observamos hay dos cambios de signo, entonces hay 2 raíces reales positivas Para saber el número de raíces reales negativas hacemos lo siguiente cambiamos 𝒙 𝑝𝑜𝑟 − 𝒙 y sustituimos en la función original 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 − 2(−𝑥)2 − 5(−𝑥) + 6 𝑓(−𝑥) = −𝑥3 − 2𝑥2 + 5𝑥 + 6 Ahora tomamos los signos de la función obtenida

− − + +

Como observamos hay un cambio de signo, entonces hay 1 raíz real negativa. En resumen: corta al eje 𝑥 del lado positivo y una vez del lado negativo Ahora vamos a encontrar los valores de 𝑥 por donde pasa la función. Usando la división sintética para hallar dichos valores Empezamos por averiguar cuando 𝒙 = 𝟏

1

−2 −5 +6 𝟏 1

−1

−6

1

−1 −6 0

Ahora cuando 𝒙 = 𝟑

1

−2 −5 +6 𝟑 3

3

−6

1

1 −2 0

Ahora cuando 𝒙 = −𝟐

1

−2 −5 +6 −𝟐 −2

+8 −6

1

−4 +3 0

Cambio de

signo

La función pasa cuando 𝑥 = 1,

entonces, corta en el punto (1, 0)

La función pasa cuando 𝑥 = 3,

entonces, corta en el punto (3, 0)

La función pasa cuando 𝑥 = 2,

entonces, corta en el punto

(−2, 0)

17

Por lo tanto la función bosquejada así Ejercicio 9: Bosqueja las siguientes funciones cúbicas 𝑎. − 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 + 9 𝑏. − 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 𝑐. − 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥2 − 𝑥 − 6 𝑑. − 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 4𝑥2 + 3𝑥 + 1 𝑒. − 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 13𝑥2 − 𝑥 + 12 𝑓. − 𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 2𝑥2 + 11𝑥 + 12 𝑔. − 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 4𝑥2 − 35𝑥 + 12 ℎ. − 𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 2𝑥3 + 13𝑥2 − 14𝑥 − 24 𝑖. − 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 12𝑥2 − 52𝑥 + 60 𝑗. − 𝑓(𝑥) = −3𝑥3 + 18𝑥2 − 15𝑥

Ejemplo 10)

De la siguiente función racional 𝑓(𝑥) =𝑥+3

𝑥−1; encuentra:

El dominio y rango de la función. La posición de las asíntotas (si existen) horizontal y vertical. Los puntos de intersección con los ejes.

Dominio y codominio de la función Igualamos a cero la función denominador: 𝑥 − 1 = 0 y resolviendo la ecuación queda 𝑥 = 1.

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Por lo tanto el dominio es: 𝒙 ≠ 𝟏 = − {−𝟏} Posición de las asíntotas

Asíntota vertical: 𝑥 = 1 Asíntota horizontal: De la función original, cambiamos a 𝑥 por 𝑦 y a 𝑦 por 𝑥, y sustituimos en la función quedando

𝑥 =𝑦+3

𝑦−1;

La posición de la asíntota es cuando: 𝑦 − 1 = 0, entonces 𝑦 = 1 Posición horizontal: 𝑦 = 1

Ceros de la función Con el eje 𝑥: Haciendo 𝑓(𝑥) = 0, y sustituyendo en la función

0 =𝑥 + 3

𝑥 − 1; 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑥

0(𝑥 − 1) = 𝑥 + 3 0 = 𝑥 + 3; despejando a 𝑥; 𝑥 = 3, entonces la función corta al eje 𝑥 en el punto (3, 0). Con el eje 𝑦: Haciendo 𝑥 = 0, y sustituyendo en la función

𝑦 =0+3

0−1=

3

−1= −3, entonces la función corta al eje 𝑦 en el punto (0, −3)

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Ejercicio 10: Para cada una de las funciones:

Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica con los ejes coordenados.

Halla las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas (si existen):

Halla el dominio y el rango.

𝑎. − 𝑓(𝑥) =𝑥−4

𝑥+2 𝑏. − 𝑓(𝑥) =

2𝑥−1

𝑥−3 𝑐. − 𝑓(𝑥) =

𝑥+3

2𝑥+1 𝑑. − 𝑓(𝑥) =

𝑥2−1

𝑥−2

𝑒. − 𝑓(𝑥) =𝑥2−𝑥−2

𝑥2−𝑥−6 𝑓. − 𝑓(𝑥) =

𝑥2+2𝑥−3

𝑥+1 𝑔. − 𝑓(𝑥) =

𝑥

𝑥2−1 ℎ. − 𝑓(𝑥) =

1

𝑥+3

𝑖. − 𝑓(𝑥) =𝑥−2

𝑥2+2𝑥−3 𝑗. − 𝑓(𝑥) =

2−𝑥

4−𝑥

Ejemplo 11) Grafica la siguiente función exponencial

20

𝑓(𝑥) = 4𝑥 , 𝑢𝑠𝑎 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 3 Para hacer la gráfica sustituimos los valores en la función

𝑥 𝑓(𝑥)

−3 1

64

−2 1

16

−1 1

4

0 1

1 4

2 16

3 64

Ejercicio 11: Grafique cada una de las siguientes funciones exponenciales

𝑎. − 𝑓(𝑥) = 2𝑥 , 𝑐𝑜𝑛: − 3 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑏. − 𝑓(𝑥) = (3

5)

𝑥

, 𝑐𝑜𝑛: − 3 ≤ 𝑥 ≤ 3

𝑐. − 𝑓(𝑥) = −4𝑥 , 𝑐𝑜𝑛: − 3 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑑. − 𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥 𝑒. − 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1, 𝑐𝑜𝑛: −4 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑓. − 𝑓(𝑥) = 2(2)𝑥 , 𝑐𝑜𝑛: − 2 ≤ 𝑥 ≤ 3