GUÍA DE EJERCICIOS PARA LA INTRODUCCIÓN...

UNIVEUNIVEUNIVEUNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMOFACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMOFACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMOFACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

CIENCIAS BÁSICAS

GUÍA DE EJERCICIOS PARA LA INTRODUCCIÓN

2012

RESPONSABLES DE LA GUÍA:RESPONSABLES DE LA GUÍA:RESPONSABLES DE LA GUÍA:RESPONSABLES DE LA GUÍA:

Prof. María Rosa MattaProf. María Rosa MattaProf. María Rosa MattaProf. María Rosa Matta

Lic. Carina JovanovichLic. Carina JovanovichLic. Carina JovanovichLic. Carina Jovanovich

Ing. Rufino IturriagaIng. Rufino IturriagaIng. Rufino IturriagaIng. Rufino Iturriaga

REVISIÓN: Prof. C.P. Carmen Rescala

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

Introducción a las Ciencias Básicas – 2012 Prof. María Rosa Matta-Lic. Carina Jovanovich- Ing. Rufino Iturriaga Supervisión: Prof. Carmen Rescala Página 2

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA “CIENCIAS BÁSICAS” UNIDADES TEMÁTICAS

Unidad 1 : Álgebra y Geometría

Tema 1: Polígonos. Tema 2: Movimientos en el Plano. Tema 3: Teoría de la Proporción. Unidad 2 : Trigonometría. Geometría Analítica del Plano y del Espacio

Tema 4: Nociones de Trigonometría. Tema 5: Geometría Analítica en el Plano. Tema 6: Geometría Analítica en el Espacio. Unidad 3 : Matrices, Determinantes, Sistemas Generales de Ecu aciones Lineales

Tema 7: Matrices, Determinantes, Sistemas De Ecuaciones Lineales. Unidad 4 : Nociones de Física

Tema 8: Introducción. Medición. Vectores. Tema 9: Estática Tema 10: Dinámica Tema 11: Calor y Temperatura Tema 12: Mecánica de los fluidos Tema 13: El estudio del sonido. Acústica.

Unidad 5 : Cálculo infinitesimal .

Tema 14: Funciones. Tema 15: Límite funcional. Tema 16: Continuidad y discontinuidad. Unidad 6 : Cálculo Diferencial.

Tema 17: Derivadas. Tema 18: Diferenciales. Tema 19: Aplicaciones geométricas de la derivada. Tema 20: Variación de funciones. Unidad 7 : Cálculo Integral

Tema 21: Integrales indefinidas. Integrales definidas. Tema 22. Aplicaciones geométricas de la integral definida.



Bibliografía

� ÁLGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Stanley Smith, Randall Charles, John Dossen, Mervin Keedy, Marvin Bittinger. Ed. Addison Wesley Logman. Serie AWLI. México. 1998. � INICIACIÓN A LA MATEMÁTICA UNIVERSITARIA. Pilar García Pineda- José Antonio Nuñez Prado- Alberto Sebastián Gómez. Ed. Thompson. España. 2007. � MATEMÁTICA PARA ARQUITECTURA. Mario de Jesús Carmona y Pardo. Ed. Trillas. México. 2º Edición. 2008. � FÍSICA APLICADA PARA ARQUITECTURA TÉCNICA. José Fernando García Rebull Salgado. Tórculo Ediciones. España. 2005.

C.P. Carmen RESCALA Prof. Titular Ordinaria “Ciencias Básicas”



Introducción

Unidad 1: Conjuntos numéricos. Operaciones en N, N0, Z, Q, R, C. Propiedades. Suma algebraica. Producto. Cociente. Potenciación .Propiedades Radicación. Propiedades Racionalización. Operaciones combinadas.

Unidad 2: Expresiones Algebraicas. Suma. Resta. Multiplicación. División de polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Factoreo (todos los casos). Operaciones con expresiones Algebraicas Fraccionarias: suma, resta, producto, cociente y operaciones combinadas. Logaritmo: .definición, propiedades, ejercicios.

Unidad 3: Ecuaciones. Resolución de ecuaciones de 1º grado. Resolución de problemas de ecuaciones de 1º grado con una incógnita. Resolución de ecuaciones de 2º grado. Resolución de problemas de ecuaciones de 2º grado con una incógnita. Resolución de ecuaciones racionales con una incógnita. Sistemas de ecuaciones lineales. Resolución de sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas. Métodos de resolución: Sustitución, Igualación, Determinantes Gráfico. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales de acuerdo al conjunto solución. Problemas.

Bibliografía

La bibliografía utilizada en la confección de este cuaderno didáctico es:

1) Algebra I. Armando rojo. Editorial “El Ateneo”. Buenos Aires. 5º Edición.1976.

2) Aritmética – Algebra. Tajani Vallejo. Editorial Cesarini Hnos. Buenos Aires. 27º edición. 1980.

3) Matemática 3. Tapia. Editorial Estrada y Cía. S.A. Buenos Aires. 1º edición. 1980.

4) Aritmética y Algebra - 3º curso. Repetto – Linskens – Fresquet. Editorial Kapelusz SRL. Buenos Aires. 3º Edicion. 1950.

5) Aritmética y Algebra – 4º curso. Cabrera – Médici. Establecimiento Gráfico “Tomás Palumbo”. Buenos Aires. 1961.

¿Qué necesitamos saber de Matemática para ingresar a Ciencias Básicas ?



UNIDAD I: CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto: es una agrupación de elementos de una misma especie.

A los conjuntos los denominamos con letra mayúscula y sus elementos con letras minúsculos.

Si un elemento se encuentra en el conjunto A diremos que pertenece ( )∈ a A,

sino diremos que ( )∉ a A.

Los conjuntos pueden ser finitos (que se pueden enumerar todos sus elementos) o infinitos.

Conjunto de Números Naturales

Si incluimos el cero, entonces:

Propiedades: a) El 0 no pertenece a N y si pertenece a

b) son infinitos.

c) tienen primer elemento, pero no último.

d) Un número natural y su siguiente se dicen consecutivos. El conjunto de los números naturales es un conjunto ordenado.

e) Entre dos números naturales consecutivos, no existe otro número natural. El conjunto de los naturales es discreto.

Operaciones:

1) Adición o Suma



2) Multiplicación o Producto

a y n se llaman factores.

( ) ( )( )

a n b a n b

a n b a n a b

× × = × ×

× + = × + ×

( )a n b a n a b× − = × − ×

3) Potenciación

a es la base de la potencia.

n es el exponente.

n aa n≠ Ej: 2

3

3 9

2 8

=

=

( )n n na b a b± ≠ ±

Ej: ( ) ( )

2 22 2 2

2 2

2 3 5 252 3 2 3

2 3 4 9 13

+ = = ⇒ + ≠ +

+ = + =

( )( ): :

n n n

n n n

a b a b

a b a b

× = ×

=

5 3 5 1 3 9 Ej: 2 2 2 2 2n m p n m pa a a a + + + +× × = × × = =

Si :n m>

5 3 5 3 2: Ej: 2 : 2 2 2n m n ma a a − −= = =

Si :n m=

0 0 0 0: 1 0 Ej: 3 1; 20 1; 150 1n m n ma a a a a−= = = ∀ ≠ = = =



1 1 2 1 Ej: 2 2; 20 20; 1870 1870a a= = = =

( )mn n ma a ×=

4) Resta o diferencia a b− a se denomina minuendo.

b se denomina sustraendo.

En el conjunto de los sólo se puede realizar la operación si el minuendo es

mayor o igual que el sustraendo.

Ej: 8 3 5 8 3

4 4 0 4 4

− = >− = =

Si 7 9 ?− = no tiene solución en el conjunto de los números naturales ya que 7 9< .

Para poder resolver una resta donde el minuendo sea menor que el sustraendo, los matemáticos crearon el conjunto de los números enteros que

incluye los números negativos.

Propiedades:

a) El conjunto de los enteros es un conjunto infinito. b) El conjunto de los enteros es un conjunto discreto porque entre dos números

enteros consecutivos no existe otro número entero.

c) El conjunto de los enteros no tiene primer ni último elemento. d) En el conjunto de los enteros todo número es menor que su consecutivo. e) Todo número entero tiene opuesto.

Ej: nº a su opuesto es –a

5 su opuesto es -5

f) El valor absoluto de un número es el mismo número si es positivo, y es su opuesto si es negativo.

Ej: a a

a a

=

− =

3 3

3 3

0 0

=

− =

=



Operaciones de números enteros:

1) Suma y diferencia Para sumar o restar números enteros recordemos cómo extraíamos paréntesis:

� Signo + delante de un paréntesis nos indica que al extraer todos los signos que se encuentran en él permanecen como están:

( )( )5 3 5 3 2

a b c d a b c d+ − + = + − +

+ − = − =

� Signo − delante de un paréntesis nos indica que al extraerlo debemos cambiar todos los signos que se encuentran dentro de él:

( )( )4 2 4 2 6

a b c a b c− − + = + −

− − = + =

� Si el ejercicio consta de paréntesis, corchetes y llaves, recordemos el orden para extraerlos: 1º paréntesis, 2º corchetes y por último las llaves:

( ){ }[ ]{ }

{ }( ) ( )

2 3 5 2 se extrae paréntesis

2 3 5 2 se extrae corchetes

2 3 5 2 se extrae llaves

2 3 5 2 2 3 5 2 5 7 2

− − + − − − + =

= − − + − + + =

= − − − + + =

= + − − = + − + = − = −

2) Producto Al multiplicar dos o más números enteros debemos realizar el producto de los números y de los signos, guiándonos por la siguiente regla:

.

.

.

.

+ + = ++ − = −− + = −− − = +

Ej: ( )

( )2 .4 8

3. 1 .4 12

− = −

− = −

3) División o Cociente Siendo m, n y p números enteros:

: . con 0m n p m n p n= ⇔ = ≠

m se denomina dividendo.

n se denomina divisor.

p es el cociente.



Esta operación sólo es posible en los números enteros si el dividendo es múltiplo del divisor.

� Se llama múltiplo de un número al producto de a por cualquier número:

Ej:

3 2 6

3 2 15 6, 15 y 9 son múltiplos de 3

3 3 9

× = × = × =

� Decimos que m es divisible por n, si se verifica que: : .m n p m p n= ⇔ =

Donde m es múltiplo de n y n es divisor de m.

Debemos tener en cuenta:

) 0 : 0

) : 0 no tiene resultado

) 0 : 0 no está definida

i a

ii a

iii

=

En la división debemos tener en cuenta la misma regla de los signos que en el producto. Sólo cambiamos el signo de multiplicar por el de dividir.

Ej: ( ) ( ) ( )10 :5 2 3 : 1 3− = − − − =

4) Potenciación Para realizar esta operación en el conjunto de los enteros debemos tener en cuenta que: - la base sea un número entero; - el exponente sea un número entero. Si la base 0a > el resultado de la potencia siempre es positivo.

Si la base 0a < el resultado es positivo si el exponente es par y es negativo si el exponente es impar.

Ej:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4

3

3

2 4 1 1

2 2 2 2 8

1 1 1 1 1

− = − =

− = − × − × − = −

− = − × − × − = −

Cuando hablamos de cociente de números enteros planteamos la condición de que el dividendo tenía que ser múltiplo del divisor. ¿Pero si esa condición no se cumple? Ej: 4 : 3 = ? Ya entramos en el conjunto de los números racionales .

Llamaremos número racional a la fracción p q donde p y q son números enteros y p

se denomina numerador y q denominador.



Como una fracción está indicando el cociente entre el numerador y denominador, este último debe ser distinto de 0.

Propiedades:

1. El conjunto de los números racionales es infinito, no posee primer ni último elemento.

2. El conjunto de los racionales es un conjunto denso porque entre dos números racionales existen infinitos números racionales.

3. Llamamos mínima expresión de un número racional a la fracción cuyo numerador y denominador no tienen divisores enteros comunes.

Ej: 16 4.4 4

28 4.7 7= = es la mínima expresión de

16

8.

4. Si efectuamos el cociente de una fracción obtenemos su expresión decimal que consta de una parte entera y una parte decimal con un número infinito de cifras o periódicas.

Ej: 3 2

3:5 0,6 2 :3 0,65 3

= = = =⌢

5. Orden en : Dadas y p r

q s con . 0q s >

Diremos:

( )

4 1 4.5 9.1 20 9

9 51 7

1.8 2.7 8<142 84 1

4 .5 9.1 -20 99 5

> > >

< <

− < − < <

6. El conjunto de números racionales incluye al conjunto de los naturales incluido el cero y los enteros, conservando todas las operaciones y propiedades que se verifican en esos conjuntos numéricos.

Operaciones:

1. Suma y Diferencia i) Si son fracciones de igual denominador: se coloca el mismo denominador y se suman o restan los numeradores según esté indicado.

. .

. .

p rp s q r

q s

p rp s q r

q s

> ⇔ >

< ⇔ <



2 4 6 Ej:

5 5 57 1 6 3.2 3

8 8 8 4.2 4

5 3 2 5 3 2 8 2 6

7 7 7 7 7 7

a c a c

b b b

±± = + =

− = = =

+ − −+ − = = =

ii) Si las fracciones son de distintos denominadores, se encuentra un número que sea múltiplo de todos los denominadores.

. .

.

1 5 1.3 5.2 3 10 13Ej:

2 3 6 6 63 2 3.5 2.4 15 8 7

4 5 20 20 201 2 7 1.6 2.2 7.3 6 4 21 10 21 11

2 6 4 12 12 12 12

p r p s r q

q s q s

++ =

+ ++ = = =

− −− = = =

+ − + − −+ − = = = = −

(Dividimos cada denominador por 12 y al resultado lo multiplicamos por el numerador.)

iii) Si los números racionales están expresados como decimales, debemos encolumnar las partes enteras y las decimales y recién ahí sumar o restar

Ej:

2,71 153,07

15,30 12,91

18,01 140,16

+ −

2. Producto y Cociente

i) Para multiplicar fracciones: a c a c

b d b d

×× =×

. Es decir, realizamos el producto de

los numeradores sobre el producto de los denominadores.

Ej: ( )

7 1 7 1 7

5 3 5 3 151 41 4 4

7 5 7 5 35

×× = =×

− × − × = = − ×



ii) Cada número racional no nulo tiene su inverso multiplicativo.

Si su inverso es 1 11 y 1m m m

m− −= × = .

Ej: Si m es 2, su inverso es 1

2. Si

5

3m = − su inverso es

3

5− .

iii) Para dividir fracciones se realiza el producto del dividendo por el inverso del divisor.

( )

:

2 22 3 2 2 4Ej: :

5 2 5 3 5 3 15

a c a d

b d b c= ×

− ×− = − × = = −

×

3. Potenciación i) Potencia de exponente entero positivo

n n

n

a a

b b =

Ej: ( )

2 2

2

33

3

1 1 1

3 3 9

22 8

5 5 125

= =

− − = = −

ii) Potencia de exponente entera negativo

2 2 2

2

2 3 3 9Ej:

3 2 2 4

n n n

n

a b b

b a a

−

−

= =

= = =

4. Radicación

Si entonces nn

nn

pp r r p

q s s qq

= = ⇔ =

Ej: 3 33

333

27 27 3 3 3 27

8 2 2 2 88

= = ⇔ = =

n es el índice del radical y p

q es el radicando.



i) Si p

q es positivo, para cualquier n

p

q es positiva. Ej:

4 2

25 5=

ii) Si p

q es negativo y , n

p

q es negativa. Ej:

3

33

64 64 4

27 327

− − −= = porque ( )34 64− = −

iii) Si p

q es negativo y , no tiene solución en este campo numérico.

Ej: 64

?25

− = Ningún número entero elevado al cuadrado da por resultado ( )64− .

iv) Si

nn s n

s sp p p

q q q

= =

En una potencia de exponente fraccionario el numerador pasa a ser exponente y el denominador índice de la raíz.

Ej:

2 22 3 23

33

1 1 1 1 1

8 8 2 48

= = = =

5. Simplificación de Radicales i) Si el radicando es una potencia igual al índice de la raíz, se simplifica índice y exponente.

( )3 33 8 2 2

nnnn a a=

= =

ii) Si el radicando está compuesto por varias potencias, se divide potencia e índice por el común divisor.

4 2 4 2 2 22 .3 2 3 2 .3 4.3 12= = = =



6. Extracción fuera del radical

Para poder extraer el radical es necesario que el radicando esté compuesto por

factores y exista por lo menos una potencia de grado mayor o igual al índice.

2 4 4 2 248 6.8 3.2.2.4 3.2.2.2 3.2 3 2 2 3 4 3= = = = = = =

7. Multiplicación de radicales

i) Si son de igual índice.

3 3 3 3

. .

Ej: 3 9 3.9 27 3

n n na b a b=

= = =

ii) Si son de distintos índices: se saca un común índice.

( ) ( )

( )

3 23 3 9 2 9 26 6 63 66

34 3 3 4 9 412 123 12

. .

2 . 3 2 . 3 2 .3

a b a b a b a b= = =

= =

8. Racionalización de denominadores

i)

( )2

1 1. 2 2 2

22 2. 2 2= = =

ii) 2 2 2 24 4 4 4

42 3 2 3 2 2 3 24 4 4 4 4 4

2 2. 2. 2. 2.

.

a b a b a b a b

aba b a b a b a b a b a b= = = =

IMPORTANTE: La potencia y la radicación NO son distributivas con

respecto a la suma yo la diferencia.

2 2 2 2

2

3

3 3 33

1 2.3 1 7 7 212

3 2 3 3 9

7 1 7.4 1 27 27 3

2 8 8 8 28

+ + = = = =

−− = = = =



iii) ( )

( ) ( )( )

( )2 22

11 a b a b a b

a ba b a b a b a b

+ + += = =−− − + −

iv) ( )

( )( )( )

( ) ( )( )

2 2

2 2 22 a b a b a b

a ba b a b a b a b

− − −= = =

−+ + − −

Números Irracionales

Cuando a un número no lo podemos expresar como número entero, fracción o decimal con cifras derivadas finitas o periódicas, entonces no es racional sino irracional.

Un número es irracional si su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Lo simbolizamos con I.

Ej: 2 1,414213562...

3,141592654...π=

=

Números reales

El conjunto de los números reales es la unión de los racionales y los irracionales.

Como veremos, el conjunto de los reales incluye a todos los conjuntos estudiados hasta ahora, los cuales conservan todas las operaciones y propiedades. Además se pueden realizar otras operaciones que no se verifican en los otros conjuntos.

Sólo las raíces de radicando negativos e índice par no se verifican en el conjunto de los números reales.

El conjunto de los números reales es infinito y denso.

Los números reales los representamos en una recta (conjunto de infinitos puntos) que llamamos recta real, espacio de una dimensión o eje x, el punto que corresponde al cero es el origen. Los valores positivos se colocan a la derecha del origen en orden creciente y los negativos, a la izquierda del origen en orden decreciente.

... ...

0 -∞ ∞

-3/2

1

-1/2

-1 -2

-5/2

2

1/2 3/2 5/2



Resolver las siguientes operaciones

( ) ( ){ }( ) ( ){ }

1) 25 6 5 3 8 3 2

2) 2 9 6 2 7 4 7 5 1 3

1 7 33)

12 2 4

3 1 4 24)

5 3 5 5

1 4 1 1 15) 3 5 1 6 2

2 3 2 2 3

+ + − − − − =

− − + − − + − − − + − + =

− − + =

− − − − + =

− − + − + − − − + + − =

Operaciones combinadas

22

2 2

3

2

1) 15 12 :3 2 6 :3

2 1 22) 6. 5

3 5 3

1 3 53) 2. 1 : 3 .

3 5 3

4122

324) :3 1

1 14 3

1 2 6 1 1. .

3 6 4 2 25)

3 11

4 3

−

−

− + + =

− − + − =

+ − =

+− − = + +

+ =

− −

Aplicar propiedades de la potenciación

2 3

32

3 4 2

1 1 11)

2 2 2

3 12)

4 2

2 2 23) :

3 3 3

−

− + − − − =

+ =

=



( )

22 3

1 6

2

274)

81

5) 3 2

x y

x y

a b

− −

=

+ =

( ) ( )2 3 2 36) 4 3 . 4 3x y x y+ − =

Decir si son V o F las siguientes identidades y justificar las opciones falsas:

a) (a2)4 = a8 e) (x.y)2 = x2. y2

b) a.a = a2 f) (a − b)2 = a2 − 2.a.b

c) a0 = a g) (a. a5): a2 = a8

d) a2. a3. a5 = a

-10

Aplicar propiedades de la radicación

( ) ( )

7 12

515

13 6

3 34

1 3

3 1 32 5 3 5

641)

243

12) 2 .

4

2 1253) . 25 .

5 36

64 44)

27 3

5) 0,01 0,01

a b

c

y y x

x y xyz y

−

−

=

=

=

− − =

Racionalizar

23

21)

33

2) 5

1 33)

1 3

3 24)

3 5

3 2 2 35)

3 2

xy

=

=

− =+

=+− =−



UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Expresión algebraica: es una expresión matemática, donde se combinan números y letras.

Monomio: es la expresión algebraica en que pueden intervenir todas las operaciones, menos la suma y la resta.

Ej: 2 31 5

2a b mp x−

Consta de tres partes: - el signo

- el coeficiente (o parte numérica)

- parte literal (letras)

�

�

2 23

5

coeficiente

signo parteliteral

a m x

−

−−��

Monomios semejantes: si dos o más monomios tienen exactamente la misma parte literal, son monomios semejantes.

Polinomios: es la suma o resta de monomios.

Ej: 2

12

32 1

5 3

ab p

a b mp a

−

− + − +

Polinomio ordenado: un polinomio se dice ordenado con respecto a las potencias crecientes de una de sus letras cuando ésta figura en cada término elevada a una potencia menor que el término anterior.



Ej:

4 2

5 3

1 25

2 31

53

a a a

x x x

− +

− + −

Polinomio completo: un polinomio se dice completo con respecto a la potencia de una de sus letras cuando, una vez ordenado figuran todas las potencias de esa letra.

Ej:

4 3 2

3 2

1 32 2

2 21

0 32

x x x x

x x x

− + − +

+ + −

Valor numérico de una expresión algebraica: el valor numérico es el número real que se obtiene al reemplazar las letras que intervienen por números reales determinados y efectuar las operaciones indicadas.

Ej: 2

2

2 con 2

2.2 2.4 8

a a= =

= =

Operaciones

Suma o resta de monomios : sólo se pueden sumar o restar monomios semejantes, es decir con la parte literal exactamente iguales.

Ej:

Producto y cociente de monomios : Se multiplican o dividen la parte numérica y para resolver la parte literal tenemos en cuenta lo visto en la Unidad I, en producto y cociente de igual base.

Ej: ( )( ) ( )

2 3

4 2 3 1

1 22 .

3 3

8 : 2 4

a b ac a bc

p q pq p q−

− = −

− = −

2 2 2

2

2 5 7

15 no se pueden restar

2

a m a m a m

xy x y

+ =

−



Suma y resta de polinomios : es aconsejable colocar los monomios semejantes en columnas.

( ) ( )3 3 3 3 3

3 3

3 3 3

3 3 3

3 2 3 2 5 7

3 2 3

2 5 7

3 4

ax a x a ax a x

ax a x

ax a x a

ax a x a

+ − + − − + =

+ −− − + +

− + +

Producto de polinomios :

( ) ( )3 3 2

3 3

2

3 3 5 2

2 4 4 2

3 3 5 2 2 4 4 2

3 2 3 . 2 5

3 2 3

2 5

6 4 6

15 10 15

6 4 6 15 10 15

ax a x a ax

ax a x

a ax

a x a x a

a x a x ax

a x a x a a x a x ax

+ − − +

+ −× − +− − +

+ + −− − + + + −

División de polinomios :

� Para dividir: el polinomio dividendo debe estar ordenado y completo y el polinomio divisor debe estar ordenado.

� Para poder dividir la potencia de la parte literal del dividendo debe ser mayor o igual que la del divisor.

( ) ( )3 4 2

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3 2

2

2

Ej: 2 5 : 3 6

2 0 0 5 3 6

3 6 9

6 0

3 6

9 6 5

9 27 54

33 49resto

a a a a

a a a a a a

a a a a a

a a a

a a a

a a

a a

a

− + − +

+ + + − + −− − + − +

− + +

+ −− −

− − ++

��

+



Regla de Ruffini : nos permite dividir polinomios si y sólo si el polinomio divisor es de

la ( )x a± (siendo a un número cualquiera).

Aquí también (como en toda división de polinomios) al polinomio dividendo lo debemos ordenar y completar.

( ) ( )( ) ( )

4 2

4 3 2

2 2 : 1

2 0 0 2 : 1 1; 1

x x x

x x x x x a a

− − −

+ − + − − = − − =

�

2 0 1 0 2

1 2 2 1 1

2 2 1 1 1resto

− −

−

Teorema del Resto : para aplicarlo el polinomio divisor debe ser de la forma

( )x a± igual que es Ruffini. Nos permite conocer sólo el resto del cociente sin

realizar la operación, reemplazando en el polinomio dividiendo la parte literal por

( )a− .

( ) ( )( ) ( )

4 2

4 2

Ej: 2 2 : 2 2; 2

T del R: 2 2 2 2 2.16 2 4 32 6 26 resto

x x x a a− − + = − =

− − − − = − − = − =

Ejercicios:

Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:

2 2

2

1) para 3 6

1

x

x y z y R

z

=− + = = − = − = −

2 2 3

11 9

2) 2 para 2 8 2

2

a

a b ab c b R

c

=− + = = = − = −

-a

Una potencia menos que la

( ) ( )�

4 2 3 22 2 : 1 2 2 1x x x x x x∴ − − − = + + +



2

1

13 2 5 53) para

4 2

0

x

yx yR

mm n

n

= = −− + = = =− =

3

3 2

11554) para 12

2 23 1

mm n n

Rxx yy

−

= == = = = −

Resolver las siguientes operaciones con polinomios.

( )

( ) ( )

4 3 4 4 3 4 3 4

3 3 3 2 3

2 2 2

3 2 2 3

1 31) 2 5 1

2 4

16 16 12) 2 3 5 8 4

5 5 4

1 5 13) 2 2

9 2 9

2 24) 3 9 9

5 5

5) .

6)

ab ac bc ac bc ab

a a b x a a b x a b x

a b a a b b

m mn n mn n

m m n mn n m n

− + − + + − + =

− − + − − + + − + =

− − + − =

− − + − − + =

+ + + − =

2 22 3 1 1 .

5 2 4 2x xy y x y

+ + − =

( )

( )

2 2

2 2 2 2

4 2 3

5 3 2

1 17) 2 . 2

3 3

1 1 1 18) .

2 5 2 5

1 5 1 3 39) : 1

2 4 8 8 2

510) 12 : 6 5 3

3

x x

a b a b

x x x x x

x x x x

+ + =

− − =

+ + + + + =

− + + − =



Aplicar Regla de Ruffini

( )

( )

3

8 6 4

11) 4 1 :

2

3 7 92) 3 : 1

2 4 4

x x x

x x x x x

− + − + =

− + − + − =

Calcular directamente el resto

( ) ( )2 4

3 2

1) 2 5 12 5 : 2

1 17 7 3 12) :

2 4 5 10 2

x x x x

x x x x

− + − + =

− + + − =

Desarrollar las siguientes expresiones notables

( )

( )

( ) ( )

222 3

33

11) 3 2) 5

2

13) 1 4) 2

2

4 45) . 6) 1 . 1

5 5

a x

m x

x x x x

+ = − =

− = + =

+ − = + − =

Factoreo :

factorear un polinomio es transformarlo en un producto. El factoreo no siempre es posible, los polinomios que pueden factorearse presentan características, según las cuales se agrupan en los siguientes casos.

1) Factor común

Ej: 2 1

2 6 2 1 33 3

a ab ac a b c + − = + −

2) Descomposición en grupos de igual número de términos con un factor común

en cada grupo. Ej: 3 2 2 3x ab nx bx an a− + − + +

Agrupo todos los términos que tienen “x” y por otro lado los que tienen “a”.



( ) ( )3 2 2 3x nx bx ab an a+ − + − + +

Extraigo el factor común de cada grupo.

( ) ( )3 2 2 3x n b a b n+ − + − + +

Los paréntesis son iguales, y son factores de cada término, entonces los extraigo como factor común.

( ) ( )3 2 .n b x a+ − + y queda factoreado el polinomio dado.

3) Trinomio cuadrado perfecto

Ej: ( )� � ( )

2

22 2

2.2. .2

4 4 2a ba

a ab b a b− + = −

4) Diferencia de cuadrados

� ( )�

222

2 4 2 2

5

2

25 5 5

4 2 2b

a

a b a b a b

− = + −

5) Suma o diferencia de igual base Son polinomios de la forma: o n n n nx y x y+ −

Ej: 3 3 38 2x x+ = +

Veamos si 3 8x + es divisible por 2x + . Aplicamos el Teorema del Resto:

( )33 8 2 8 8 8 0x + = − + = − + = . El resto es cero, entonces es divisible.

Aplicamos Ruffini:

( ) ( )3 20 0 8 : 2

1 0 0 8

2 2 4 8

1 2 4 0

x x x x+ + + +

− − −

−

2

2

a

a

=− = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 28 : 2 2 4 8 2 4 . 2x x x x x x x x+ + = − + ⇒ + = − + +

queda factoreado.

De esta manera podemos proceder con cualquiera de las expresiones

mencionadas, excepto con ( )n nx y+ cuando n es par.



Ejercicios:

Extraer factor común:

3 3 5 2

3 5 2

2 3 2

1) 4 10 24

2 3 12)

5 10 53 9 27

3) 2 4 8

ay a y ay

xy y yz

xy x y xy

− + =

− + =

+ − =

Descomponer en grupos de igual número de términos y factorear.

3 2

2 2

2 2

1) 1

1 1 2 22)

3 3 3 3

3) 9 3 15 5 6 2

a a a

a m abm a n abn

a x ax a x am mx

− + − =

+ − − =

− + − + − =

Verificar si las expresiones siguientes son trinomios cuadrados perfectos. Factorear.

2

8 4

4 6 2 3

1) 16 8

1 92)

9 4

3) 16 8 1

x x

m m

m n m n

− + =

− + =

+ + =

Factorear las siguientes diferencias de cuadrados.

2 4

12 6

4 8

1) 4 9

12) 169

49

3) 25 100

a b

x y

m n

− =

− =

− + =

Suma o diferencia de potencias de igual grado.

2

3

1) 32

12)

8

x

x

+ =

− =

73) 1a − =



Combinar los distintos casos de factoreo.

2 2

2 3 2

3 2 3 2 2 2

1) 5 10 5

2) 8

1 1 1 13)

2 8 2 8

x xy y

x y x

a x a y ax ay

− + =+ =

− − + =

Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias

Reducir a la su mínima expresión.

( )( )

2

2

2

2

2 2

2

2 2 2 2

4 2

2 3

3 2

2 2 4 2 2 4

2

5 51)

1

1 4 42)

43 2 6

3) 2 3

15 6 10 44)

25 4

3 2 1 2 3 15)

4 2 83 2

6) 2

17) . .

1

81 818) :

2

2 39)

9 16 3

x

x

a a

a axy x y

x y

x xy bx by

x y

x x x x

x x x x

m mn n m n

a ax ax x

ax a a a

x x x

x y x x y y

x

− =+

+ + =−

− + − =+ −

− + − =−

− − + ++ − + =

− =− + −− − =

− +− − =− − +

+−

1:

4 3 4

10)

x x

x y x y

x y x yx y x y

x y x y

= + +

− +−+ − =+ −−− +



Logaritmos

Siendo 0 y 1b b> ≠ ; con 0a > , se dice que log xb a x b a= ⇔ = .

(Logaritmo en base b del número a es igual a x si y sólo si b elevado a la x es igual a a.)

Ej:

42

23 2 33

log 16 4 2 16

3log 27 3 3 27

2

= ⇔ =

= ⇔ = =

Propiedades

( )( )

1) log . log log

2) log : log log

3) log .log

a a a

a a a

na a

m n m n

m n m n

m n m

= +

= −

=

Ejercicios:

Calcular

( ) ( )

2 5

36 2

3

2 2

2 35 2

1) log 8 2) log 25

13) log 4) log 4

3627

5) log 4 6) log 3125

7) log 4.8.16 8) log 64 :16

9) log 125 10) log 64

xx

= =

= =

= =

= =

= =



UNIDAD 3: Ecuaciones

Ecuaciones de Primer Grado

Analicemos las siguientes igualdades:

3 4 2 7 2 igualdades numéricas

4 7 11

+ + = + + =

( )( )2 2 2

2 2 igualdades algebraicas

2

a b a ab

a b a ab b

+ = +

− = − +

Analicemos el siguiente cuadro:

Igualdad

Algebraica

Identidad Ecuación

Se verifica para cualquier

valor dado a sus letras

Se verifica para algunos

valores dados a sus letras

Ejemplo:

( )( )2 2a b a b a b− = + −

Ejemplo: 2 3 5x − =

La letra que aparece en la

ecuación se llama incógnita



La solución a la ecuación es el valor que al sustituirlo por la incógnita hace cierta la igualdad.

Ecuación lineal se denomina a la igualdad donde la incógnita tiene como exponente 1.

Ej: 2 3x + = 1 1

12x

+ =

1 3 9

5 3

x x+ −=

Resolución

Dada 2 3 5x + = tenemos dos formas de resolución

( ) ( )2 3 3 5 3

2 2

1 12. 2

2 21

x

x

x

x

+ + − = + −=

=

=

2 3 5

2 5 3

5 3

21

x

x

x

x

+ == −

−=

=

En ambos casos se deben realizar las operaciones necesarias sin contradecir la igualdad. Hallando el valor de la incógnita, siempre es recomendable verificar reemplazándola en la ecuación y verificando la igualdad.

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita están asociadas a funciones lineales, por lo tanto su representación gráfica es una recta.

Ej: 2 1 función linealy x= + →

2 1 0 es su ecuación es asociadax + =

Hallar el valor de x:

Aplicando propiedades “Despejando”



2

1) 2 5 4 2 Rta: 3 2

2) 2 14 9 6 12 Rta: 2

53) 9 1 12 0 Rta: 2

4

2 3 44) Rta: 2

4 22 1

5) Rta: 33 5 4

1 36) Rta: 4

2 23 5 3 2

7) Rta: 21 2

4 28) 2 Rta: 1

4 21

9)

x x x

x x x x

x x x

x xx

x x xx x

xx xx x

xx x

x xx

x x

x

− = − = −+ − = − =

− + = = −

+ −= =

+ ++ + = =

= =− +− −= =− +

= − =− +

− ( )

2

1 14 Rta: 7 2

21 1 1

10) 0 Rta: 1 41 1 1

x xx x

x xx

x x x

+ = = −

+ −− + = = −− + −

Problemas de aplicación

1) Si a un número se le suma su tercera parte y a este resultado se le resta el mismo número amentado en 5, se obtiene 1. ¿Cuál es dicho número? Rta: 45

2) La suma de 4 números consecutivos es 402. ¿Cuáles son los números? Rta: 99, 100, 101, 102.

3) Si las longitudes de los lados de un triángulo son (en cm) 2; 2 5; 3 1;x x x+ + + y sabemos que su perímetro es de 10 cm. ¿Cuánto mide cada lado?

Rta: 7 17

; ; 23 3

4) La suma de 3 números pares consecutivos es 102. ¿Cuáles son los números? Rta: 32, 34, 36

5) Siendo 36,20m el perímetro de un rectángulo y 8,20m uno de sus lados. ¿Cuál es la longitud del otro lado?

Rta: 9,90m



Ecuaciones de Segundo Grado

La ecuación 2 0ax bx c+ + = donde a, b y c son números reales y 0a ≠ se llama ecuación cuadrático o de segundo grado en la variable x.

Para resolverla utilizamos la siguiente fórmula:

2 4

2

b b acx

a

− ± −=

La cantidad ( )2 4b ac− se llama discriminante de la ecuación y su signo determina la

naturaleza de sus raíces (soluciones).

Si 2 4 0 b ac− > ⇒ las raíces son reales y diferentes.

Si 2 4 0 b ac− = ⇒ las raíces son reales e iguales.

Si 2 4 0 b ac− < ⇒ las raíces son imaginarias.

Si , , y 0a b c ≠ ecuación completa. Ej: 2 4 1 0x x− + =

Si y 0 0a b c≠ ∧ = ecuación incompleta. Ej: 2 4 0x x− =

Si y 0 0a c b≠ ∧ = ecuación incompleta. Ej: 2 1 0x + =

La ecuación cuadrática es la asociada a una función cuadrática: 2y ax bx c= + + y

su gráfica es una parábola.

Resolver:

( ) ( )

( ) {

( ) ( )

( )

12 2

2

12

2

1

2

1

2

2

1 2

2 2 1

2

12

21) 3 2 2 Rta:

1

52) 6 5 0 Rta:

1

13) 5 2 1 3 Rta:

3

024) 2 Rta:

31 1

25) 0 Rta: 2

31

6) 2 4 3 Rta: 7 3

17) 3 4 2 Rta:

3

xx x x

x

xx x

x

xx x x x

x

xx

xx x

xx x

xx

x xx

xx x

=+ = + =

=− + = =

= −+ = + − = −

=− = = −+ −

+= = = −

= −+ = + = −

=+ = −

2

12

31

23

i

x i

+ = −



Reconstruir las ecuaciones que tienen por raíces:

1 1

2 2

1 1

22

2 31) 2)

3 4

12

23) 4) 53

42

x x

x x

x x

xx

= = − = =

= − = − = − = −

Problemas: 1) ¿Cuál es el número natural que sumado al cuadrado de su consecutivo da

109? Rta: 9 2) Si al triplo de un número se le suma la mitad de su cuadrado, se obtiene

el duplo del mismo número. ¿Cuáles son los números que cumplen esa condición?

Rta: 0 y -2

3) La superficie de un triángulo es de 60cm2. ¿Cuál es la altura sabiendo que tiene 2cm más que la base?

Rta: 12cm

4) La superficie de un rectángulo es de 108cm2. Sabiendo que uno de los

lados es igual a los 4

3 del otro, calcular las dimensiones del rectángulo.

Rta:9cm y 12cm

5) Con una hoja de cartón de forma cuadrada se quiere construir una caja sin tapa, para la cual se sacan cada ángulo de dicho cartón, un cuadrado de 2,5cm de lado. Calcular la longitud del lado de la hoja sabiendo que la caja construida tiene un volumen de 90cm3.

Rta: 11cm

Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado

Ej: 1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ = + =

Normalmente lo llamamos Sistema de 2x2 y con la llave indicamos que buscamos la solución de ambas ecuaciones simultáneamente.

Analíticamente son varios los métodos que podemos emplear para resolverlos.



Método de Sustitución

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones. 2. Reemplazamos la incógnita despejada en la otra ecuación. 3. Resolvemos esta última ecuación simplemente como una ecuación lineal con

una incógnita.

Ej: 2

2 5

x y

x y

+ = + =

1º) 2y x= −

2º) ( )2 2 5x x+ − =

3º ) 2 2 5

2 5

3

x x

x

x

+ − =+ =

=

si 2 y 3

2 3

1

y x x

y

y

∴ = − == −

= −

Método de Igualación Consiste en despejar de ambas ecuaciones del sistema la misma incógnita y luego

igualar las expresiones obtenidas.

Ej: 2

2 5

x y

x y

+ = + =

2

5 2

2 5 2

y x

y x

x x

= −= −− = −

2 2 5

2 5

x x

x

− + =+ =

5 2

3

x

x

= −

=

2

2 3

1

y x

y

y

∴ = −= −

= −

Método de los Determinantes Dado el siguiente sistema:

ax by c

dx ey f

+ = + =



Llamaremos determinante principal o determinante del sistema:

a bae db

d e∆ = = −

Para poder resolver por este método el determinante debe ser distinto de cero.

c bx ce fb

f e

a cy af dc

d f

∆ = = −

∆ = = −

xx

∆=∆

e y

y∆=∆

Ej:

2

2 5

1 11.1 2.1 1 2 1 0

2 1

2 12.1 5.1 2 5 3

5 1

1 21.5 2.2 5 4 1

2 5

33

1 3 e 11

11

x y

x y

x

y

xx

x yy

y

+ = + =

∆ = = − = − = − ≠

∆ = = − = − = −

∆ = = − = − =

∆ − = = = ∆ − = = −∆ = = = −∆ −

Clasificación de los sistemas de ecuaciones según sus soluciones

Sistemas

Incompatible

(No tiene

solución)

Compatible

(Tiene solución)

Determinado

(Tiene solución

única)

Indeterminado

(Tiene infinitas soluciones)



Interpretación geométrica de las soluciones de un sistema de 2x2

Un sistema de 2x2 representa geométricamente dos rectas y lo que gráficamente vamos a analizar es la intersección o no.

Resolver analíticamente y gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones.

{

3 3 5 11) Rta:

3 2 5 1

5 9 22) Rta:

2 8 4 1

7 33) Rta:

1 4

04) Rta: 0

2 15)

2 1

x y x

x y y

x y x

x y y

x y x

x y y

x yx y

x y

y x

y x

− = = − = = −

− = = − = − =

+ = = = − =

+ == = − =

= − = +

Problemas:

1) Para cercar un campo rectangular de 750m2 se han utilizado 110m de cerca. Calcular las dimensiones del campo.

Rta: 30; 25x y= =

2) En una jaula hay conejos y palomas, pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

Rta: 12 conejos y 23 palomas

3) Hallas 2 números tales que la suma de sus inversos sea 5 y que la diferencia de sus inversos sea 1.

Rta: 1 1

y 3 2

4) José le dice Marta: “Mi colección de discos compactos es mejor que la tuya ya que si te doy 10 de los míos tendríamos la misma cantidad”. Marta le responde: “Tienes razón, sólo te faltan 10 para tener el doble”. ¿Cuántos discos tiene cada uno?

Rta: 30 discos Marta y 50 discos José.



5) Compré un celular y me costó $120. Si pagué con billetes de $5 y de $2. ¿Con cuántos billetes de cada clase pagué?

6) Un fabricante de focos bajo consumo gana $0,30 por cada uno que sale de fábrica, pero pierde $0,40 por cada uno que sale defectuoso. Un día en el que fabricó 2100 focos, obtuvo de beneficio $484,40. ¿Cuántos focos buenos y cuántos defectuosos fabricó ese día?

Rta: 1892, 208x y= =

APLICACIONES DE ÁLGEBRA A ARQUITECTURA

Movimiento en el Plano

En cada uno de estos giros señala el centro de giro, poniéndole la letra O y el ángulo de giro

escribiendo sus valores aproximados.

Escribe los vértices homólogos de ABCD llamándoles A’B’C’D’

Proporcionalidad

1) Un rectángulo tiene sus lados en proporción φ. Encontrar las longitudes de los lados

si el perímetro es igual a 450 cm. Un segundo rectángulo mantiene la misma

proporción y presenta una superficie de 12.100 cm2.

90º

O

45º

O



• ¿Cuál de los dos tiene mayor perímetro?

• ¿Cuál de los dos presenta mayor área?

Rta: Rectángulo 1: Sup 1 = 11951 cm2; Per 1 = 450 c m.

Rectángulo 2: Sup 2 = 12100 cm2; Per 2 = 4 52,8 cm

2) Se desea construir una vivienda con techo rectangular que responda a la proporción áurea, tal como se muestra en el dibujo. En dicho techo se deja un espacio con forma de rombo que será cubierto con material traslúcido para obtener iluminación natural. ¿Qué porcentaje de superficie total del techo corresponde a la superficie traslúcida? Rta: 41,95%

Trigonometría

Un observador contempla la parte superior de un edificio a 212 m por encima del nivel de sus ojos a un ángulo de elevación de 19º10´. ¿A qué distancia se encuentra el observador del edificio?

Rta:

El observador se encuentra a una distancia aproximada de 610 metros.

19º10´

2 1 2

x



Hipérbola

El esquema representa la zona destinada a los sanitarios de un boliche. Se desean conocer los elementos necesarios para poder calcular el área de circulación entre los sanitarios femeninos y masculinos. Las paredes de dichos sanitarios fueron proyectadas según la siguiente ecuación: 9x² - 16y² = 1

Rta: Sup=48m²

Recta en el Plano

En el siguiente plano de una ciudad se muestra la intersección de dos avenidas principales muy transitadas de coordenadas: A= (10;-2) B= (7; 6 ) C= ( -1 ; 8) D= (-2; 3)

X

y

A

C

D

B

y

x Sanitario

femeninos

Sanitario

masculinos

s.



Se pide calcular:

a) Las rectas: AC y BD. Rtas: 1178

1110 ++++−−−−==== xy ;

311

31 ++++==== xy

b) La distancia entre B y A. Rta: d=8,54

Matrices

Una empresa construye departamentos en un edificio, el Dpto A, es de un dormitorio, el Dpto B, de dos dormitorios y el Dpto C, de tres dormitorios; en los primeros colocarán pisos de cerámicos, en los segundos, pondrán pisos de parqué en los dormitorios y de cerámicos en el resto del dpto, en los otros dptos, pisos de parqué. Los metros cuadrados que se necesitan para cubrir las superficies, se muestran en la siguiente tabla:

A B C

Piso de Cerámicos 40 20 0

Piso de Parqué 0 35 80

Representar la tabla en forma matricial:

Rta:



APLICACIONES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO A ARQUITECTURA

Funciones

Un comercio tiene la siguiente lista de precios por kilo de yeso para mayoristas: $0,45 para cantidades menores a 100 kg; $0,30 para cantidades hasta 500 kg, y $0,25 si la compra excede este peso. Definan la función p(x), siendo p el precio y x la cantidad de yeso en kg. Indiquen el dominio de p(x) y represéntenla gráficamente.

Rtas : Dominio = R

Imagen = {0,45} U {0,30} U {0,25}

Gráfico (Nota: los ejes tienen escalas diferentes)

Límite de funciones

La ganancia obtenida por una empresa por la construcción de una plaza pequeña está dada

por la función , donde g es la ganancia en miles de dólares y x la

cantidad de plazas construidas. Hallar el límite de la función para determinar la ganancia aproximada de construir 5 (cinco) plazas: Rta:

La ganancia es de aproximadamente 75.000 dólares

0,25

0,30

0,45

100 500

y

-

-x x



Derivadas

Se quiere cercar un terreno rectangular de 800 m2 de superficie dividiéndolo en dos partes iguales, una parte tendrá rosas y la otra parte sólo césped, con cercas paralelas a los lados. Determinar la cantidad mínima de metros de cerca necesarios.

Rta:

La cantidad mínima de metros de cerca que se necesita es: 139 metros.

Integrales

Un terreno tiene un Forma no convencional y se encuentra delimitada por cuatro calles. No conoce más que algunas dimensiones, pero sabe que una de las calles responde a la ecuación de la recta y = -x + 10, otra se corresponde con el eje OX y las calles laterales serán x = 2 y x = 8.Encontrar mediante el cálculo de área por integración, la superficie encerrada entre las cuatro calles. Rta:

La superficie encerrada entre las cuatro calles es de 30 m2

rosas céspe

x

x

y y y



EJERCICIOS DE FÍSICA PARA ARQUITECTURA

EJ. N°1: Realizar las siguientes reducciones:

• 34m a cm..........................3400.cm

• 54m a mm.........................54000.mm

• 45m a Km.........................0,045.Km

• 20m3 a cm³.......................20000000.cm³

• 10000cm2 a m².................1.m²

• 900Kg a tn........................0,9.tn

El ejercicio 1 plantea la reducción de unidades. A un costado de cada ítem se coloca el resultado pertinente y para llegar al mismo se procederá de similar manera a los casos anteriores, es decir, multiplicando por las equivalencias correspondientes.

cmm

cmm .3400

.1

.100..34 = mm

m

mmm .54000

.1

.1000..54 =

Kmm

Kmm .045,0

.1000

.1..45 = 3

3

33 .7.2

.1

.1000000..20 cme

m

cmm +=

2

2

22 .1

.10000

.1..10000 m

cm

mcm = tn

Kg

tnKg .9,0

.1000

.1..900 =

EJ. N°2 : Dos fuerzas F1 y F2 actúan sobre un punto, F1 es de 8 N y su dirección forma un

ángulo de 60° por encima del eje x en el primer cuadrante, F2 es de 5 N y su dirección

forma un ángulo de 53° por debajo del eje x en el cuarto cuadrante, determinar:

a) Las componentes de la resultante.

b) La magnitud de la resultante.

c) La magnitud de la diferencia F1- F2



Rtas: Analíticamente, las fuerzas se calcularán cuales:

a) NsenNsenNRy

NNNRx

94,2º53.5º60.8

7º53cos.5º60cos.8

=−==+=

b)

NR

NNR

RyRxR

59,7

.94,2.7 2222

22

=+=

+=

c)

NFFR

NNR

NsenNsenNRy

NNNRx

99,9

.94,9.99,0

94,9º53.5º60.8

99,0º53cos.5º60cos.8

21

2222

=−=+=

=+==−=

EJ. Nº3: Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 900cm/seg durante un

tiempo de 9seg, y luego con velocidad media de 48dm/seg durante 8seg, siendo ambas

velocidades de la misma dirección y sentido:

a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 17seg?

b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?

Se calculan las distancias parciales, posteriormente se hace la conversión de unidades que permita sumar ambas para tener el espacio total que se aha recorrido y ese valor es dividido por el tiempo total empleado, de manera que se tiene como resultado de la relación, la velocidad media.

Rtas:

mmme

mdmsegseg

dm

mcmsegseg

cm

rec 4,1194,3881

4,383848.48

8181009.900

=+=

==

==

seg

m

seg

m

t

xvm 02,7

17

4,119 ==∆∆=

60º

53º



EJ. Nº4: ¿De qué sustancia está lleno cada cubo? Sabemos que miden 3cm de arista.

Rtas:

En primer lugar se buscará el volumen del cubo, que se halla como la arista elevada a la tercera potencia:

( ) 33 .27.3 cmcmVc ==

Con este valor de volumen se pueden calcular los valores de densidad a partir de los datos de densidad que se han provisto:

a) ⇒=⇒=⇒33

.89,0.27

.03,24.03,24

cm

g

cm

gg ρρ BENCINA

b) ⇒=⇒=⇒=33

.26,1.27

.02,34.02,34.03402,0

cm

g

cm

ggKg ρρ GLICERINA

c) ⇒=⇒=⇒33

.9,0.27

.3,24.3,24

cm

g

cm

gg ρρ AMONÍACO

d) ⇒=⇒=⇒33

.8,1.27

.6,48.6,48

cm

g

cm

gg ρρ ARENA

EJ. Nº5: ¿A cuántos grados Fahrenheit y Kelvin equivalen 76ºC?

Rta: Se transformará la temperatura dato que es de 76ºC a sus equivalentes en las escalas Farenheit y Kelvin, para lo cual se expresan primero las correspondientes fórmulas de conversión:

100

15,273

180

32º

100

º −=−= KFC a partir de la cual se deducen las fórmulas necesarias que

serán de utilidad en adelante.

( )32º9

5º −= FC 32º

5

9º += CF 15,273º += CK 15,273º −= KC



Para los casos de transformaciones de ºF a K se recomienda pasar primero a ºC para luego hacer la conversión definitiva.

FFCF º8,1683276.5

9º32º

5

9º =+=⇒+=

KKCK 15,34915,2737615,273º =+=⇒+=

EJ. Nº6: Calcular la cantidad de calor que se transmite por unidad de tiempo a través de

una ventana de 2m2 de superficie y espesor de 0,5cm. La temperatura interior es de 20ºC y

la exterior de 5ºC. (λ=2,5 x10-4 Kcal/m s ºC).

Rta: A partir de la fórmula de flujo de calor se lo puede calcular de manera directa, debido a que se cuenta con todos los datos:

( )m

CCm

Chm

KcalQ

e

tSQ

05,0

º5º20.2.

.º.10.5,2.. 24** −=⇒

∆= −λ

h

KcalQ

h

KcalQ 15,0.

05,0

15.2.10.5,2 *4

* =⇒=−

EJ. Nº7: Se aplica una fuerza de 5Kgr a una superficie de 3cm2 y otra de 30Kgr sobre una

superficie de 12cm2. ¿Cuál de las dos presiones es mayor?

Rta: Se resuelve a través de la fórmula elemental:

221

11 .667,1

3

.5

cm

Kgr

cm

Kgr

S

FP ===

222

22 .5,2

12

.30

cm

Kgr

cm

Kgr

S

FP ===

De las cuales se nota que la segunda situación es la que representa una mayor presión.

CELSIUS FARENHEIT KELVIN

0ºC

100ºC

-273,15ºC

273,15K

373,15K

0K

212ºF

32ºF

-469,57ºF



EJ. Nº8: Por un caño de 2” de diámetro, circula agua a una velocidad de 20 cm/seg. ¿Qué

volumen de agua pasó en 25 seg?

Rta: Se usa la fórmula de volumen:

tAvtQV ∆=∆= ... segcm

seg

cmV 25.

4

08,5..20

22π=

ltV

cmV

13,10

.15,10134 3

==

GUÍA DE EJERCICIOS PARA LA INTRODUCCIÓN...

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