Guia Circunferencia
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COLEGIO SANTA CRUZ DEPTO. MATEMATICA O = centro de la circunferencia OA OB OC = = = radio de la circunferencia AB = diámetro de la circunferencia L 1 = recta tangente a la circunferencia L 2 = recta secante a la circunferencia DE = cuerda de la circunferencia LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ÁNGULOS I. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA: Con estos elementos, en la circunferencia, se pueden trazar ángulos que son muy importantes en su aplicación. Estos tienen una relación con los arcos que forman: a) Angulo formado por dos radios. Relación entre el ángulo y el arco : α = » AB b) Angulo formado por dos cuerdas Relación entre el ángulo y el arco : » AC 2 β= c) Los dos ángulos anteriores en una misma circunferencia : Relación entre los ángulos: α = 2β d) Angulo formado por dos cuerdas Medida del ángulo α α = » » BC+AD 2 e) Varios ángulos inscritos formando el mismo arco Relación entre los ángulos: α = β = δ f) Angulo formado por dos secantes Medida del ángulo α α = » » AC - BD 2 L 1 O A B C L 2 D E x B A O α x C A O α β B x O β α δ x C A O β B x B A O α C D x D C O α A B P
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COLEGIO SANTA CRUZ DEPTO. MATEMATICA
O = centro de la circunferencia
OA OB OC= = = radio de la circunferencia
AB = diámetro de la circunferencia
L1 = recta tangente a la circunferencia
L2 = recta secante a la circunferencia
DE = cuerda de la circunferencia
LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ÁNGULOS
I. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA: Con estos elementos, en la circunferencia, se pueden trazar ángulos que son muy importantes en su aplicación. Estos tienen una relación con los arcos que forman: a) Angulo formado por dos radios.
Relación entre el ángulo y el arco : α = »AB
b) Angulo formado por dos cuerdas
Relación entre el ángulo y el arco :
»AC2
β =
c) Los dos ángulos anteriores en una misma circunferencia :
Relación entre los ángulos: α = 2β
d) Angulo formado por dos cuerdas
Medida del ángulo α
α = » »BC+AD
2
e) Varios ángulos inscritos formando el mismo arco
Relación entre los ángulos: α = β = δ
f) Angulo formado por dos secantes
Medida del ángulo α
α =» »AC - BD
2
L1
O
A
B
C
L2
D
E
x
B
A
O α
x
C
A
O α
β B
x O
β α
δ
x
C
A
O
β B
x
B
A
O α
C
D
x
D
C
O α
A
B
P
COLEGIO SANTA CRUZ DEPTO. MATEMATICA g) Angulo formado por dos tangentes
Medida del ángulo α :
α = ¼ ¼ACB - ADB
2
h) Angulo formado por una cuerda y una tangente
Medida del ángulo α :
α = »AB2
i) Angulos que forma una semicircunferencia :
Medida del ángulo α : α = 90°
j) Angulo formado por una secante y una tangente :
Medida del ángulo α :
α = » »AC - AB
2
k) Arcos formados por rectas paralelas que
cortan a una circunferencia
Relación entre arcos » »AB CD=
l) Angulos opuestos de un cuadrilátero inscrito :
Relación entre ángulos :
α + β = 180°
EJERCICIOS 1. Hallar ∠ BAC
2. ∠ y = 112º ∠ x =
x D
C O
α
A
B
P •
• x O
α A
B
x
C
B
O
α A
x
C
O
α
A
B
P
x C
B
O
A
D
x
C
B
O
A D
β
α
x
B
C
O 96º
A
x
C
B
y
x
A
O
β
COLEGIO SANTA CRUZ DEPTO. MATEMATICA
3. ∠ x = 75º y =
4. x = y =
Nota: El radio es Perpendicular a cualquier cuerda
5. α = 72º x = y =
6. y = 140º ∠ BDC =
7. ∠ y = 115º ∠ x =
8. ∠ x = 40º ∠ y =
9. ∠ x = 61º y =
10. x = y =
11. x = y =
12. x = y =
x
C
B
O
A D
x
60º
y x
C
B
O
A
D x 65º
y
x
C
B
O
x A
y
α y
x
C
B
O
D
A
x
C
B O
A
x y
x
D
C
O x
A
B
E y
200º
x
D
C O
x
A
B
E
y
70º
25º
x y
O
x
A
C
B
x
C
B
O
A
D 2x
3x+10º
y
x
D
C O
x
A
B
E y
3x
2x
3x+6
COLEGIO SANTA CRUZ DEPTO. MATEMATICA
13. Dado: AB diámetro del círculo O, BC es un diámetro del círculo O’, círculo O es tangente al círculo O’ en B.
Demuestra que ∠ x = ∠ y
14. AC bisectriz ∠ BAD ∠ BAC = ∠ AEB = ∠ BDC = ∠ ADB =
Nota: 13 y 14 complementarios SEGMENTANDO EL CÍRCULO Teorema 1 : Los dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior son congruentes y determinan ángulos iguales con el segmento que une el punto exterior al centro. AP , BP segmentos tangentes: AP = BP , ∠ OPA = ∠ OPB Teorema 2 : Si se trazan dos rectas secantes desde un punto exterior a una circunferencia, entonces: AP ⋅ BP = PD ⋅ PC Teorema 3 : Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una recta tangente y una recta secante, entonces: AP 2 = PC ⋅ BP Teorema 4 : Si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia, entonces: AE ⋅ BE = CE ⋅ DE
x C
B
O A
O’ x x
y
x
A
C
O
B
E
D 80º
160º
X
A
B
P O
X
A
B
P O
D
C
X
A
P O
C
B
X
A D
O
C B
E
COLEGIO SANTA CRUZ DEPTO. MATEMATICA
EJERCICIOS 15. Según la figura : Si AP = 6 ; BP = 15 y PC = 8 , determinar PD .
16. Según la figura : Si BP = 5 y PC = 20 determina AP
17. En la figura : DE = 5 ; EB = 2⋅ AE ; CD = 15 ; Determina AE
18. En la figura :
OD = 10 ; OE = 8 ; Determina AB
19. En la figura:
AB = 6 , AD = 3 , Determina AC
20. En la figura: AB = 12 , AC = 18 , Determina CD
21. En la figura: AD = DB , EC = 14 , AE = 4 , Determina AD
22. En la figura : OC = 5 , AE = 6 , BD = 4 , Determina AD
X
B
A
P O
D
C
X
A
P O
C B
X
D B
O
A C
E
X
A B
O
D
C
E
X
B
A O
C D
X
B
A
O
C
D
X
B
D
A O
C
E
C
X
B
D
A
O
E
COLEGIO SANTA CRUZ DEPTO. MATEMATICA 23. En la figura: BP = 5 , AB = 3⋅BP , Determina PT
24. En la figura:
PT = 4 6 , AO = 5 , Determina BP
25. Dos cuerdas de una circunferencia se intersectan. Las longitudes de los segmentos de una cuerda son 4 y 6 . Si la longitud de un segmento de la otra cuerda es 3.
¿ Cuál es la longitud del otro segmento ? 26. Dos cuerdas AB y EF se cortan en H . Calcular la medida del segmento EH
sabiendo que AB , EF y AH miden 146 , 142 y 90 cm , respectivamente.
27. En la figura:
CD = DP 21 , BP = 4 , CP = 21 ,
Determina AP
28. En la figura:
AP = 90, AB : BP = 7 : 8, DP = 16 Determina CP
Nota: Números 27 y 28 complementarios
X
B
T
P
O
A
X
B
P
O
B
X A
P
O
C
D
B
X
C
D A O
B P
