Guía cálculo de área1

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA”

ÁREA DE TECNOLOGÍA COMPLEJO ACADÉMICO EL SABINO

DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA II

GUÍA 2: INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

REALIZADO POR:

PROF: ING. JOSÉ OLLARVES

JUSTIFICACIÓN

Debido al notable bajo rendimiento que se puede apreciar en las asignaturas correspondientes al ciclo básico

en la Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” específicamente en el área de matemática,

nace la necesidad de crear algunas estrategias, técnicas, herramientas, etc., que permitan dar solución al

problema antes mencionado. Es por ello, que en esta oportunidad se ha desarrollado una guía didáctica

dirigida a estudiantes cursantes de la unidad curricular Matemática II. Dicha guía está enmarcada en todo lo

referente al segundo corte y está constituida por teoría, ejercicios tanto resueltos como propuestos de cada

uno de los temas abordados. Con esto se busca facilitar el material de clase a los alumnos, permitiéndoles

obtenerlo con antelación a las sesiones de clases y de esta manera maximizar los tiempos de práctica y la

vinculación con las aplicaciones, además se desea originar un clima de participación masiva y espontanea.

Por otra parte se busca descartar la falta de recursos bibliográficos existente debido al constante crecimiento

de la población estudiantil.

OBJETIVOS:

1. Comprender el proceso de estimación de área bajo una curva con sumas finitas.

2. Comprender el concepto de Integral Definida de una función.

3. Aplicar las propiedades de la Integral Definida y el teorema fundamental del cálculo en el cálculo de

áreas de regiones limitadas por curvas.

4. Aplicar las propiedades de la Integral Definida y el teorema fundamental del cálculo en el cálculo de

volúmenes de sólidos de revolución.

5. Comprender el concepto de la integral impropia.

6. Resolver integrales impropias.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Con el fin de aprovechar al máximo este material es muy recomendable tener conocimientos básicos sobre

funciones de una variable, derivación e integración indefinida

CONTENIDO.

1. Introducción al cálculo de área.

1.1. Definición de la notación sigma.

1.2. Propiedades de la sumatoria.

1.3. Área de una región plana.

2. Integral definida.

2.1. Propiedades de la integral definida.

2.2. Teorema fundamental del cálculo.

2.2.1. Primer teorema fundamental del cálculo.

2.2.2. Segundo teorema fundamental del cálculo.

3. Integrales impropias.

3.1. Integrales impropias con límites de integración infinitos.

3.1.1. Integral impropia con límite superior infinito

3.1.2. Integral impropia con límite inferior infinito.

3.1.3. Integral impropia con límite superior e inferior infinitos.

3.2. Integrales impropias con discontinuidad infinita en el intervalo.

3.2.1. Integral impropia con discontinuidad infinita en el límite inferior

3.2.2. Integral impropia con discontinuidad infinita en el límite superior.

3.2.3. Integral impropia con discontinuidad en un número interior.

4. Integral definida como área de una región plana.

4.1. Área entre curvas en coordenadas rectangulares.

4.2. Área limitada por curvas que se cortan.

4.3. Calculo de aéreas integrando respecto a la variable “Y”

5. volumen de sólidos de revolución.

5.1. Método de los discos

5.2. Método de las arandelas

SUMATORIA: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE ÁREA

4

MATEMÁTICA II

1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE ÁREA

Intuitivamente se puede tener una idea de que el área de una figura geométrica es todo el espacio

que queda encerrado entre los límites de esa figura.

Para calcular el área de algunas figuras se utilizan las fórmulas que aparecen dentro de la tabla de

abajo.

En cada caso, debe reemplazarse los valores conocidos en los problemas expuestos y calcular los

valores pedidos.

CUADRADO

2LA

TRIANGULO

2

hbA

RECTANGULO

hbA

CIRCULO

2rA

PENTAGONO

2

apA

ROMBO

2

dDA

TRAPECIO

h

bBA

2

ROMBOIDE

hbA

En el estudio del área se tratarán sumas de muchos términos, y para ello se introduce una

notación llamada sigma, esta notación requiere el uso del símbolo (), la letra sigma mayúscula

del alfabeto griego.


5

MATEMÁTICA II

1.1.Definición de la notación sigma

Donde m y n son números enteros y se denominan límite superior e inferior de la suma

respectivamente, y m n. El símbolo i recibe el nombre de índice de la suma.

Ejemplo:

1)

2)

.

1.2.Propiedades de la sumatoria

,CnCn

mi

tetanconscualquieresCdonde

n

mi

n

mi

ifCifC

tetanconscualquieresCdonde

n

mi

n

mi

n

mi

xgxfxgxf

2

1

nni

n

mi

6

1212

nnni

n

mi

4

1 223

nni

n

mi

nfnfmfmfmfifn

mi

121

14941321 2223

1

2 i

i

217851280

341

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

118

3

,k

k


6

MATEMÁTICA II

1.3.Área de una región plana:

Considere la región R del plano acotada por el eje x, y las rectas ax y bx y la curva cuya

ecuación es xfy , donde xf es una función continua en b,a

figura 1

Para hallar la medida del área de la región R, primero se divide el intervalo cerrado b,a en

n-sub-intervalos, tales sub-intervalos se consideran de igual longitud y se denominan x , donde

nabx .

Los extremos de estos sub-intervalos se denotan por n,n xx,,x,x,x 1210

Donde bx,xiax,,xiax,,xax,ax nni 1110

Denótese el i-ésimo sub-intervalo por ii x,x 1 .

Como f es continua en b,a , entonces f es continua en cada sub-intervalo cerrado. Por el

teorema del valor extremo sabemos que existe un número en cada sub-intervalo para el cual f

tiene un valor mínimo absoluto. Sea ic este número en el i-ésimo sub-intervalo, de tal modo que

icf es el valor mínimo absoluto de f en cada sub-intervalo

figura 2

Δxcf i

n

inS

1

nSA


7

MATEMÁTICA II

Si f es continua y creciente en [a, b] el valor mínimo absoluto de f en el i- ésimo sub intervalo

(xi-1, xi) es f (xi-1). Por lo tanto.

figura 3:

Si f es continua y creciente en [a, b] el valor máximo absoluto de f en el i- ésimo sub intervalo

(xi-1, xi) es f (xi-1). Por lo tanto.

figura 4: En ambos casos conforme aumente el número de n- sub intervalos, el área calculada se aproxima

más al área real de la región.

xxfAn

ii

nlim

11

xxfAn

ii

nlim

1


8

MATEMÁTICA II

cuadradasunidadesA

nnlim

nnn

nlimA

nnnnnn

nlimnnn

nnn

nlimA

nnnnnn

nlimii

nlimA

n

iil imnn

ilimnn

ilimA

nn

nn

n

n

i

n

i

n

in

n

in

n

in

n

in

9

009

6

27

2

279

623

27

623

271

6

3227

2

12

6

1212712

27

2712

391

331

2

23

3

223

3

23

3

3111

23

13

2

12

2

1

2

Ejercicios resueltos

1. Determine el área de la región acotada por la curva de 2xy , el eje x , y las rectas 0x y

3x , rectángulos inscritos

figura 5

Rectángulos inscritos

Dividimos 30, en n sub intervalos, cada uno de longitud x

nnn

abx

303

31100 ni

x,xiax,xiaix,x Como la función f es creciente en el intervalo cerrado [0, 3], el valor mínimo absoluto de f en

el i-ésimo sub intervalo es por lo tanto.

n

i

n

inn

ifxxfA

11

3311ι

ii x,x 1 1-ixf


9

MATEMÁTICA II

Nota: resuelva el ejercicio anterior aplicando rectángulos circunscritos

2. Determine el área de la región acotada por la curva de xy 2 , el eje x , y las rectas 1x y

4x , rectángulos circunscritos

figura 6

Dividimos [1,4] en n sub intervalo, cada uno de longitud x.

411 110 nx,x x,xix,x

i

nnx

314

Como f es creciente en [1,4], el valor máximo absoluto de f en el i-ésimo sub intervalo

ii x,x 1 es ixf por lo tanto.

cuadradasunidadesA

nn

nn

nA

nn

nn

ni

nnA

innn

in

A

xxixxA

limlim

limlim

limlim

limlim

nn

n

n

i

n

in

n

in

n

in

n

ini

n

in

15

0969

962

3

2

36

2

13631

6

31

63312

1

2

11

11

11

f


10

MATEMÁTICA II

3. Determine el área de la región acotada por la curva de 29 xy , el eje x , y las rectas 0x

y 3x , para n = 3 empleando rectángulos circunscritos.

figura 7

Dividimos la región en 3 rectángulos cada uno de longitud x

13

03

x

figura 8

Como f es decreciente en [0,3], el valor máximo absoluto de f en el i-ésimo sub intervalo

ii x,x 1 es 1ixf por lo tanto.

n

ii xxfA

11

11 11 ixxix ii

CuadradasUnidades,A

iifA

ii

0644958139129119

191

222

3

1

23

1


11

MATEMÁTICA II

Resuelva el ejercicio anterior usando un número de rectángulos igual a 6 y haga un análisis de los

resultados

Ejercicios propuestos

1. Dada f (x) en el intervalo [a, b]. Aproxime el área bajo la curva en el intervalo dado usando el

número de rectángulos indicados. Luego para las mismas funciones varié el valor de n y haga

un análisis de los resultados.

F(x) = x

2, en [0,1]

N Área

3

-

-

F(x) = 3x – 2, en [1, 4]

N Área

4

-

-

F(x) = x

3 – 1, en [-1,1]

N Área

10

-

-

F(x) = 4 – x

2, en [-2,2]

N Área

8

-

-

2. Calcule el valor preciso del área para las funciones dada en el ejercicio anterior

determinado.

INTEGRAL DEFINIDA

12

MATEMÁTICA II

b

a

a

b

dxxfdxxf

0a

a

dxxf

n

iii

b

axwflim

10

dxxf

2. INTEGRAL DEFINIDA: Si f está definida en el intervalo cerrado ba , , entonces la integral definida de f de ba , está

dada por:

Si el límite existe Donde:

: es el signo de integración

a : Limite inferior de integración

b : Limite superior de integración

f (x): es el integrando o función a integrar

dx: se lee diferencial de x, indica cual es la variable de la función que se integra.

2.1.Propiedades de la integral definida:

a) Si f está definida en x=a, entonces

b) Si f es integrable en ba , , entonces

c) Si f(x) > 0 y continua en [a , b] , entonces

Y si f(x) < 0 en todo [a , b], entonces

0dxxf

b

a

0dxxf

b

a

INTEGRAL DEFINIDA

13

MATEMÁTICA II

dxxgdxxfdxxgxf

b

a

b

a

b

a

b

a

b

c

c

a

´dxxf dxxfdxxf

b

a

dxxfkdxxfk

b

a

xfxF

b,a,

x

a

x todo paradxxfxF

d) Si f es integrable en los intervalos cerrados delimitados por a, b y c, entonces

e) Si f y g son dos funciones integrables en el intervalo ba , , entonces la función f`+ g es

integrable en ba ,

f) Si xgxf para cada , entonces

g) SI f es integrable en el intervalo cerrado ba , y k es una constante ,entonces la función

kf es integrable en ba ,

2.2.Teorema fundamental del cálculo

2.2.1. Primer teorema fundamental del cálculo.

Sea f una función continua en el intervalo cerrado b,a y sea la función f definida por:

Entonces F es una anti derivada de f en b,a , entonces, esto es

b,ax

b

a

b

a

dxxgdxxf

INTEGRAL DEFINIDA

14

MATEMÁTICA II

aFbFdxxf b

a


Calcular la siguiente derivada

1.

xdtt

dx

d

0

2 1

Solución:

Con 12 ttf , se tiene

11 2

0

2 xtdx

dx

2.2.2. Segundo teorema fundamental del cálculo.

Sea f una función continua en el intervalo cerrado b,a , si F es una anti derivada de f en b,a ,

entonces.


Calcular las siguientes integrales definidas

1.

2

1

3 52 dxx 2.

1

231x

dx

1.

2

1

3 52 dxx

Solución:

512

2

2515

2

125

2

25

252

442

1

2

1

43 ,x

xdxx

INTEGRAL DEFINIDA

15

MATEMÁTICA II

2.

1

231x

dx

Solución:

07072

5

18

1

8

1

122

1

112

1

12

1

1

1

222

1

223

,xx

dx


Resuelva y evalué cada una de las siguientes integrales.

a.-

0

2

63 dxx b.-

4

0

4

53 dx

xx c.-

1

0

2

5dt

ttt

d.-

0

)( dSen e.- 3

0

2

dSec f.-

1

2

2

2dr

r

g.- 4

3

4

)()(

dxxTgxSec h.-

0

)(1 dxxCos i.- 0

2

2 )(

dCos

j.-

3

3

2 )(

dxxSen k.-

2

2

2 )(8

dyySeny l.-

2

1

2

drr

rr

m.-

4

2

321 dxx n.-

1

0

2 1dyyy ñ.-

2

12 82

dxx

x

o.-

1

1

32 13 dxxx p.-

4

0

2332 dttt q.-

3

0

1dyy

r.-

3

14 y

dy s.-

e

dxx

LnxSen

1

)( t.-

2/2

0

24 x

dx

u.-

2/2

0

24 x

dx v.-

e

x

dx

1

w.-4

1

dyLny

x.- dz

zz

z

3

1 33

12 y.- dxxxsen

2/

0

)3cos()3(2

z.- dyyy

4

0

12

INTEGRALES IMPROPIAS

16

MATEMÁTICA II

3. INTEGRALES IMPROPIAS

Este tipo de integrales son una clase especial de las integrales definidas, se clasifican en dos

tipos: integrales impropias con límites de integración infinitos e integrales impropias con

discontinuidad infinita en el intervalo

3.1.Integrales impropias con limites de integración infinitos

3.1.1. Integral impropia con límite superior infinito

Si f es continua para todo x a, entonces

Si el límite existe

figura 9

3.1.2. Integral impropia con límite inferior infinito

Si f es continua para todo x b, entonces

Si el límite existe

figura 10

3.1.3. Integral impropia con límite superior e inferior infinitos

Si f es continua para todos los valores de x y c es cualquier número real, entonces

Si los dos límites existen

a bdxxflimdxxf

b

a

b b

a- adxxflimdxxf

- badxxflimdxxflimdxxf

b

c

c

a


17

MATEMÁTICA II

3.2.Integrales Impropias con discontinuidad infinita en el intervalo

3.2.1. Integral impropia con discontinuidad infinita en el límite inferior

Si f es continua para toda x del intervalo semiabierto (a, b], y

xflim

at, entonces

3.2.2. Integral impropia con discontinuidad infinita en el límite superior.

Si f es continua para toda x del intervalo semiabierto [a, b), y

xflim

bt, entonces

3.2.3. Integral impropia con discontinuidad en un número interior

Si f es continua en toda x del intervalo [a, b] excepto en c, donde a < c < b, y si

xflimcx

,

entonces

Cuando los limites en todos los casos anteriores, existen, se dice que la integral es convergente,

en caso contrario, se dice que la integral es divergente.

Ejercicios resueltos.

.

En los siguientes ejercicios determine si la integral es convergente o divergente.

2.

0

x dxe 2.

2

-2

dx

x4

dx 3.

dxx

4. 4

0x

dx 5.

2

124 x

dx 6.

2

021x

dx

b

tat

b

a

dxxflimdxxf´

t

abt

b

a

dxxflimdxxf´

b

t

t

a

b

a

dxxfdxxfdxxf

ctctl imlim


18

MATEMÁTICA II

1.

0

x dxe

Solución:

1

1111

000

0

x

bb

x

0

x

dxe

limlimdxedxe o

eee

limb

b

x

b

b

La integral converge.

2.

2

-2

dx

x4

dx

Solución:

2

1

02

1

4

1

2

1

4

122

2

-2

2

2

-2

x4

dx

x4

dx

x4

dx

alim

xlimlim

aaaaa

La integral converge

3.

dxx

Solución:

2222

22

0

20

2 aaxxb

ababa

b

0b

0

aa

limlimlimlim

dxxlimdxxlimdxx

Como ninguno de los dos limites existe, entonces la integral diverge.


19

MATEMÁTICA II


En los siguientes ejercicios, explicar por qué es impropia la integral (en caso de serlo) y

determinar si es convergente o divergente. En caso de convergencia, diga su valor.

1. 0

dxe x 2. 1

dxxe x 3.

1 1

1dx

x 4.

2

0 32

1

3dx

x

5. 4

0 xx

dx 6.

e

dxx

xLn3

2 )( 7.

6

0 32

2 4

2dx

x

x 8.

52

Lnxx

1dx

9.

dxex x32 10.

0

25

2 1

dx

x

x 11.

8

13

1dx

x 12.

4 xx

dx

13.

1

nxx

1dx

L 14.

0

2 dxxe x 15. 1

0

dxx

e x

16.

9

0 23

9

1dx

x

17.

2

31

1dx

x 18.

5 23

1

1dx

x 19.

e

x

dx

1

20. dxxe ex

1

0

)(

21.

02

1x

1dx 22. dxe x

0

3 23. dxx x

0

2

5 24.

5

1x

dx

25.

0

2 1x

dx 26. dxe

x

27. dx

x

dx

9

3

3

2

28.

e

xx

dx

ln

29.

1

0

1 x

dx 30.

4

0

216 x

dx 31.

2

0

tan d 32.

2

1

2 1xx

dx

33. dxx

e x

0

34.

0

22 1x

dx 35.

0

1 a

ax dxe 36.

1

21 2

3

x

dx

37.

a

xa

dx

0

222 38.

a

a

ax

dxx3

03 222

32

9 2

39.

0

2222 abxba

dx 40.

3 29 x

xdx

41.

2ttLn

dt 42.

42x

xdx 43.

3

029 y

ydy 44.

12xe

dxxL

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

20

MATEMÁTICA II

b

a

Area dxxf

4. Integral definida como área de una región plana

Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado b,a , el área de la región limitada por la

grafica de f, el eje x y las rectas x=a y x=b viene dado por.

figura 11 Ejercicios resueltos

1. Determinar el área de la región acotada por el grafico de la función 2xy , el eje x y las

rectas x= 1 y x=3

figura 12

cucu

xArea ...dxx2 668

3

26

3

1

3

3

3

333

1

33

1


21

MATEMÁTICA II

2. Determinar el área de la región acotada por el grafico de la función 24 xxy , el eje x y

las rectas x= 0 y x=4

figura 13

cucux

xArea .,.dxx-4x 2 67103

32

3

002

3

442

32

32

32

4

0

32

4

0

Si f es continua y negativa en el intervalo cerrado ba , , el área de la región limitada por la

grafica de f, el eje x y las rectas x=a y x=b viene dado por.

figura 14

b

a

b

a

Area

Area

dxxf

dxxf


22

MATEMÁTICA II

Ejercicio resuelto.

1. Determinar el área de la región acotada por el grafico de la función 162 xxy , el eje x

y las rectas x= 1 y x=5

figura 15

4.1.Área entre curvas en coordenadas rectangulares

Sea xgyexfy dos funciones continuas en el intervalo cerrado ba , y xgxf

para todo bax , . El área de la región acotada por las curvas xgyexfy y las rectas

x=a y x=b está dada por.

figura 16

b

a

Area dxxgxf

CuadradasUnidadesA

oA

A

xxx

dxxxA

3

104

3

4113

3

1575

3

125

1133

1553

3

5

33

16

23

23

5

1

235

1

2


23

MATEMÁTICA II

Ejercicio resuelto.

Calcular el área de la región acotada por las graficas de 22 xy , xy y las rectas x=0 y

x=1

figura 17

4.2.Área limitada por curvas que se cortan.

figura 18

Si las curvas se cortan en el intervalo es necesario hallar los puntos de corte entre ellas, esto se

logra igualando las expresiones algebraicas de ambas funciones.

Y resolviendo la ecuación resultante.

uc

6

1701Area

dx2xxdxx2xArea 22

022

0

312

2

1

3

223

2323

1

0

231

0

1

0

xxx

xgxf


24

MATEMÁTICA II

Ejercicio resuelto

Calcular el área de la región comprendida entre las graficas de 22 xy y xy

figura 19

Primero se determinan los puntos de corte igualando las funciones

12

012

02

2

2

2

xyx

xx

xx

xx

CuadradasUnidadesAA

xxx

A

dxxxdxxxA

2

942

3

82

2

1

3

1

222

2

3

212

2

1

3

12

23

22

23231

2

23

1

2

21

2

2


25

MATEMÁTICA II

Si la región a calcular está por debajo del eje x, se calcula de la siguiente forma.

figura 20

Teniendo en cuenta que gxf

Ejercicio resuelto.

Determine el área de la región limitada por las curvas 162 xxy y 116 2 xxy

Solución:

51

51

056

010122

16116

2

2

22

xyx

xx

xx

xx

xxxx

figura 21

CuadradasUnidadesAxxxA

dxxxdxxxxxA

3

64106

3

2

1012216116

5

1

23

5

1

25

1

22

b

a

Area dxxgxf

xf

xg


26

MATEMÁTICA II

4.3.Calculo de aéreas integrando respecto a la variable “Y”

Para calcular el área de la región limitada por las graficas de f y g y las rectas y=c y y=d se

resuelve la ecuación.

d

c

dyygyfA

figura 22

Teniendo en cuenta que f y g son continuas en [c, d] y que además ygyf para todo d,cy

Ejercicio resuelto.

Determine el parea de la región limitada ´por las curvas xy 22 y 04 xy

Solución:

figura 23

UC

yy

ydy

yyA 18

6

224

2

2

6

444

2

4

64

224

32324

2

324

2

2


27

MATEMÁTICA II


Dibuje y calcule el área de la región que se encuentra limitada por:

a) El eje x, el intervalo 4,2 y la curva 24 xxy

b) El eje x y la curva 26 xxy

c) La curva 23 yx y el eje y

d) La curva 322 yyx y el eje y

e) El eje x y la curva 24xxy

f) El eje x y la curva xxy 62

g) El eje x y la curva 1522 xxy

h) El eje x y la curva 228 xxy

i) La curva 22 xy y la recta xy

j) La curva24 yx y el eje x.

k) El eje y, la curva 62 xy , 2x

l) La curva 22 yx y la recta 1 xy

m) Las curvas 26 xy , 32 xy

n) Las curvas xy 12,

23 yx

o) La curva 228 yyx , las rectas 1y ; 3y

p) La curva 2xy ;

25 xy

q) Las curvas 22 xy , 26 xy


28

MATEMÁTICA II

5. volumen de sólidos de

revolución

5.1. Método de los discos.

Sea f una función continua en el intervalo

cerrado [a, b], y f(x) 0 para toda x en [a,

b].si S es el sólido de revolución obtenido al

gira alrededor del eje x la región limitada por

la curva y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x

= b, si V unidades cubicas es el volumen de

S, entonces

5.2.Método de las arandelas

Sean f y g dos funciones continuas en el

intervalo cerrado [a, b] tales que f(x) g(x) 0

para toda x en [a, b]. si V unidades cubicas es

el volumen del solido de revolución generado

al girar alrededor del eje x la región limitada

por las curvas y = f(x) e y = g(x) y las rectas

x = a y x = b, entonces

figura 24

figura 25

figura 26

b

a

n

iii

dxxf

xwflimV

2

1

2

0


29

MATEMÁTICA II

figura 27

Ejercicios resueltos.

1. Determine el volumen del solido generado al girar alrededor del eje x la región limitada

por 3

1x

y y las rectas 0x y 12x

Solución:

figura 28

figura 29

CubicasUnnidades

xxxdx

xxdx

xV

12427

12

3

1212

27393

21

31

32

12

0

3212

0

212

0

2

b

a

dxxgxf 22

n

iii

2i

2i

0ΔxΔwgwfπlimV


30

MATEMÁTICA II

2. Determine el volumen del solido generado al girar alrededor del eje Y la región acotada

por la función xy , 0y y 4x

Solución:

figura 30 figura 31

2yxxy

CubicasUnidades

yydyydyyV

5

128

5

2216

516164

5

2

0

52

0

42

0

222

Ejercicios propuestos:

En los siguientes ejercicios, determine el volumen del solido generado al rotar entorno a la recta

especificada, la región acotada por las funciones dadas.

1. 22xy ; y = 0 y x = 5, alrededor del eje x, y alrededor del eje y.

2. 3xy ; xy , alrededor del eje x, y alrededor del eje y.

3. xy 22 , el eje de las x y la recta x = 2, alrededor del eje x.

4. 29 yx ; y = x -7, alrededor de x = 4.

5. 1 xy ; x = 5; y = 0, alrededor de y = 3

6. 3xy ; y = x, alrededor del eje x, y alrededor del eje y.

7. 4

2xy , x = 4, y = 0, alrededor del eje x

8. 22 xy ; xy , alrededor del eje x, y alrededor del eje y.


31

MATEMÁTICA II

9. Encuentre el volumen del solido generado cuando la región indicada se gira alrededor del

eje o recta especificado.

(a) En el eje x (b) Recta

(c) Eje de las x (d) Eje de las y


32

MATEMÁTICA II

Aplicaciones

La integral definida tiene innumerables aplicaciones entre las que se encuentran el cálculo de

áreas y volúmenes, vistas anteriormente, sin embargo también tiene aplicaciones que van

dirigidas a la física, química, economía, entre otros, de las cuales veremos algunas a continuación. Aplicaciones a la física

Espacio recorrido en un movimiento rectilíneo.

Para un objeto con movimiento rectilíneo la función posición, ts , y la función velocidad, tv , se

relacionan por dttvts

De esto y del teorema fundamental del cálculo se obtiene 12

2

1

2

1

tststsdttv

t

t

tt

figura 32

La posición del objeto en el instante t1 está expresada por s(t1) y s(t2) es la posición en el

instante t2, la diferencia s(t2) - s(t1) es el cambio de posición o desplazamiento del objeto

durante el intervalo de tiempo [t1, t2].

Un desplazamiento positivo significa que el objeto está más hacia la derecha en el instante que

en el instante , y un desplazamiento negativo significa que el objeto está mas hacia la izquierda.

En el caso en que 0 en todo el intervalo de tiempo , el objeto se mueve en la

dirección positiva solamente de este modo el desplazamiento es lo mismo que la

distancia recorrida por el objeto.

figura 33


33

MATEMÁTICA II

En el caso en que v(t) 0 en todo el intervalo de tiempo, el objeto se mueve en la dirección

negativa solamente, por tanto, el desplazamiento s(t2) - s(t1) es el negativo de la distancia

recorrida por el objeto.

En el caso en que v(t) asuma valores tanto positivos como negativos durante el intervalo de

tiempo [t1, t2], el objeto se mueve hacia adelante y hacia atrás y el desplazamiento es la distancia

recorrida en la dirección positiva menos la distancia recorrida en la dirección negativa. Si quiere

encontrarse la distancia total recorrida en este caso (distancia recorrida en la dirección positiva

más la distancia recorrida en la dirección negativa) debe integrarse el valor absoluto de la función

velocidad, es decir:

Distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo [t1, t2] 2

1

t

t

dttv

Ejercicio resuelto

Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es

v(t) = t2 - 2t metros por segundo. Halle:

a) el desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.

b) la distancia recorrida durante ese tiempo.

Solución:

a) 03

2

3

0

233

0

23

0

t

tdtttdttv

Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posición en el instante t = 3 que en el

instante t = 0.


34

MATEMÁTICA II

b) La velocidad puede escribirse como v(t) = t ( t - 2) de modo que v(t) 0 si 2 t 3 y la

velocidad es negativa si 0 t 2.

La distancia recorrida es:

3

84

3

8994

3

8

33

22

3

2

23

2

0

233

0

3

2

22

0

23

0

tt

tt

dtTV

ttdtttdtTV

Podemos asegurar que la distancia recorrida es de

metros.

Solución de algunos ejercicios propuestos

35

MATEMÁTICA II

Ejercicios resueltos de integral definida

1.

Solución

62622

3060

2

36

2

363 22

0

2

20

2

xxdxx

2.

Solución

25

4240

25

10

2

34

25

14

2

3

25

1

2

3

53 5252

4

0

524

0

4

xxdx

xx

3.

Solución

100

330

25

2

4

01

25

2

4

1

25

2

425

25

2

455

24

24

1

0

24

1

0

41

0

23

31

0

2

t

tt

tdt

ttdt

ttt

4.

Solución

21100

0

coscoscosd)(Sen

0

2

63 dxx

4

0

4

53 dx

xx

1

0

25

dtt

tt

0

d)(Sen


36

MATEMÁTICA II

5.

Solución

303

30

3

0

2

gtangtanTangdSec

6.

1

22

2dr

r

Solución

1122

2

1

2222

21

2

1

2

11

2

21

22

r

rdrrdr

r

7.

Solución

222244

343

4

43

4

secsecxsecdx)x(Tg)x(Sec

8.

Solución

001

00

sensenxsenxdx)x(Cos

3

0

2

dSec

4

3

4

dx)x(Tg)x(Sec

0

1 dx)x(Cos


37

MATEMÁTICA II

9.

Solución

10.

Solución

333

33

2

2

32

2

2

3

2

3

1

3

1

223

8

223

8

3

88

coscos

ycosydy)y(Seny

11.

Solución

082360807

90

5

120

3

44

7

94

5

124

3

4

7

9

5

12

3

4912432

753753

4

0

7534

0

6424

0

23

,

tttdttttdttt

42

22

1

202

2

10

2

1

22

1

2

121

2

1

2

210

2

0

2

0

2

0

2

2

sensen

sendcosdcos

d)(Cos

0

2

2

d)(Cos

2

2

28

dy)y(Seny

4

0

2332 dttt


38

MATEMÁTICA II

12.

Solución

330

143444

31

3

1

LnLn

LnLnyLnuLnu

du

y

dy

13.

143

19

3

16

1023

10

3

2142

3

14

3

2

123

1

3

212

3333

4

0

334

0

yydyyy

3

14 y

dy

dyyy 4

012

dydu

dydu

yu

iablevardecambio

4


39

MATEMÁTICA II

| Ejercicios resueltos de integral impropia

1.

Solución

eeeeeeeee

blim

ee

xlimexelimexe

dxeexdxxe

evdxdu

edvxudxxelimdxxe

bbb

b

xxb

bxx

b

xx

xxx

x

xb x

b

x

220

21111

1

11

11

11

la integral converge

2.

Solución

Divergeegralintlat

lim

xlimxlim

dxxlim

x

dxlim

xx

dxlim

xx

dx

t

tttt

tttttt

12

4

2

22

0

4

0

4

21

0

4 23

0

4

230

4

0

4

0

1

dxxe x

4

0 xx

dx


40

MATEMÁTICA II

e

x

dx

1

3.

Solución

122222222

2

2

1

1

0

1

0

1

0

1

0

eeeelimelimedue

x

dxdu

dxx

duxudxx

elimdx

x

e

t

tt

x

t

uu

t

x

t

x

4.

10111

1

LneLnxLn

x

dx ee

La integral no es impropia

1

0dx

x

e x


41

MATEMÁTICA II

Ejercicios resueltos de cálculo de área

r) El eje x, el intervalo 4,2 y la curva 24 xxy

CuadradasUnidadesdxx

xdxxxA3

16

3

222

3

442

324

32

32

4

2

4

2

32

4

2

2

b) La curva 23 yx y el eje y

303 2 yy

CuadradasUnidades

yydyyA

34333333

3

333

3

333

333

333

3

33

3

2


42

MATEMÁTICA II

c) El eje x y la curva 24xxy

d)

410

04104 2

xyx

xxxx

CuadradasUnidades,x

xdxxxA 0100

3

4

2

041

3

4

2

41

3

4

24 3

23

241

0

324

1

0

2

d) El eje y, la curva 62 xy , 2x

C.Ux

xdxxA

3

28

3

2812

3

806

3

026

3

26

36

332

0

32

0

2


43

MATEMÁTICA II

Ejercicios resueltos de volumen de sólidos de revolución

1. 22xy ; y = 0 y x = 5, alrededor del eje x, y alrededor del eje y.

Solución a

C.UxdxxdxxV 250055

4

5

442 5

5

0

55

0

45

0

22

Solución b

C.Uy

ydyy

dyy

V 6254

505025

425

225

25

250

0

250

0

50

0

22


44

MATEMÁTICA II

y = , el eje de las x y la recta x = 2, alrededor del eje x.

C.UxdxxdxxV 16244822 22

0

22

0

2

0

2

; Alrededor de .

yyyy

dxyyy

dxyyyydxyyV

3273

19

5321419

4914188179

2351

2

24

1

2

2421

2

22

2

45

MATEMÁTICA II

BIBLIOGRAFÍA

EDWARDS Y PENNEY. Cálculo con geometría analítica. Cuarta Edición. Editorial Prentice may

Hispanoamericana.

LARSON/HOSTETLER/EDWARDS. Cálculo. Volumen 1. Sexta Edición. Editorial Mc Graw

Hill.

PURCELL/VARBERG/Rigdon. Cálculo con geometría analítica. Octava Edición.

SMITH, Robert/ MINTON, Roland. Cálculo. Volumen 1. Primera Edición. Editorial Mc Graw Hill

THOMAS/ FINNEY. Cálculo una variable. Volumen 1. Novena Edición. Editorial Addison

Wesley Longman.

SAENZ JORGE. Cálculo Integral con funciones trascendentes tempranas.

Direcciones Web

http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T11.pdf

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Area.htm

http://thales.cica.es/files/glinex/practicas-glinex05/matematicas/integral/practica.pdf

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Ejdefinida.htm#volver

http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T11.pdf

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Area.htm

http://thales.cica.es/files/glinex/practicas-glinex05/matematicas/integral/practica.pdf

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Ejdefinida.htm#volver

Guía cálculo de área1

Documents

Transcript of Guía cálculo de área1