Guía Básica - Pï¿½gina Web de CECyTE...

GuíaBásica

Al personal Docente interesado en enriquecer el contenido del presente documento, le agradeceremos hacernos llegar sus comentarios o aportaciones

a los siguientes correos:

[email protected]@cecytebc.edu.mx

GESTIÓNDITORIAL

Clemente Mora González Jefe del Departamentode Fomento Editorial

Leticia Mejia GarcíaCoordinadora de Fomento Editorial

Ulises Ramírez HernándezCoordinador de Diseño Gráfico

Miguel Antonio González VidalesGestión Administrativa

Florita Domínguez VillarealGestión Editorial

Mayra Guzmán GallegoDiseño Gráfico

DIRECCIÓN GENERALAv. Panamá #199 Esquina con Buenos Aires.Col. Cuauhtémoc SurTels. 01 (686) 9 05 56 00 al 08

Correo Electrónico: [email protected]ágina Web: www.cecytebc.edu.mx

CICLO ESCOLAR 2012-2Prohibida la reproducción total o parcialde esta obra incluido el diseño tipográficoy de portada por cualquier medio,electrónico o mecánico, sin el consentimientopor escrito del editor.

José Guadalupe Osuna MillánGobernador del Estado

de Baja California

Javier Santillán PérezSecretario de Educación

y Bienestar Social del Estado

CECYTE BC

Adrián Flores Ledesma Director General del CECYTE BC

Jesús Gómez EspinozaDirector Académico

Ricardo Vargas RamírezDirector de Administración y Finanzas

Olga Patricia Romero CázaresDirectora de Planeación

Argentina López BuenoDirectora de Vinculación

Alberto Caro EspinoJefe del Departamento de Docencia

MUNICIPIO DE MEXICALI

Cristina de los Ángeles Cardona RamírezDirectora del Plantel Los Pinos

Laura Gómez RodríguezEncargada del Plantel San Felipe

Carlos Zamora SerranoDirector del Plantel Bella Vista

Jesús Ramón Salazar TrillasDirector del Plantel Xochimilco

Rodolfo Rodríguez GuillénDirector del Plantel Compuertas

Abraham Limón CampañaDirector del Plantel Misiones

Francisco Javier Cabanillas GarcíaDirector del Plantel Guadalupe Victoria

Román Reynoso CervantesDirector del Plantel Vicente Guerrero

MUNICIPIO DE TIJUANA

Martha Xóchitl López FélixDirectora del Plantel El Florido

María de los Ángeles Martínez VillegasDirectora del Plantel Las Águilas

Amelia Vélez MárquezDirectora del Plantel Villa del Sol

Bertha Alicia Sandoval FrancoDirectora del Plantel Cachanilla

Rigoberto Gerónimo González RamosDirector del Plantel Zona Río

Jorge Ernesto Torres MorenoDirector del Plantel El Niño

Mónica Olivia García BrunnDirectora del Plantel El Pacífico

Efraín Castillo SarabiaDirector del Plantel Playas de Tijuana

Benito Andrés Chagoya MorteraDirector del Plantel Altiplano

Juan Martín Alcibia MartínezDirector del Plantel La Presa

MUNICIPIO DE ENSENADA

Alejandro Mungarro JacintoDirector del Plantel Ensenada

Emilio Rios MaciasDirector del Plantel San Quintín

MUNICIPIO DE ROSARITO

Manuel Ignacio Cota MezaDirector del Plantel Primo Tapia

Héctor Rafael Castillo BarbaDirector del Plantel Rosarito Bicentenario

MUNICIPIO DE TECATE

Guadalupe Castro ValenzuelaEncargado del Plantel Tecate

Dir

ecto

rio

MENSAJE DEL GOBERNADOR DEL ESTADO

Jóvenes Estudiantes de CECYTE BC: La educación es un valuarte que deben apreciar durante su estancia en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, considerando la formación y calidad educativa que les ofrece la Institución y sus maestros.

Por ello, asuman el compromiso que el Gobierno del Estado hace para brindarles educación media superior, a fin de que en lo futuro tengan mejores satisfacciones de vida, y se conviertan en impulsores y promotores del crecimiento exitoso, con la visión que tiene nuestra entidad en el plano nacional.

Esta administración tiene como objetivo crear espacios y condiciones apropiadas para que en un futuro inmediato, el campo laboral tenga profesionistas técnicos de acuerdo al perfil de la industria que cada día arriba a nuestra entidad; por lo que los invito a ser mejores en sus estudios, en su familia y en su comunidad.

En ustedes se deposita la semilla del esfuerzo y dedicación que caracteriza a los bajacalifonianos. Son el estandarte generacional que habrá de marcar la pauta de nuestro desarrollo.Como Gobierno del Estado, compartimos el reto de ser formadores de los futuros profesionistas técnicos que saldrán del CECYTE BC.

Unamos esfuerzos, Gobierno, Sociedad, Maestros y Alumnos, para brindar y recibir una mejor educación en Baja California, ser punta de desarrollo humano, crecimiento industrial y económico, y factor importante del progreso de México.

MENSAJE DEL SECRETARIO DE EDUCACIÓN

Alumno de CECYTE BC:

La educación es una herramienta que aumenta tus oportunidades de desarrollo personal, y permite ampliar tu horizonte de posibilidades de progreso económico y social.

Bajo esa perspectiva, el Gobierno del Estado de Baja California asume con responsabilidad su compromiso con los jóvenes en la tarea de crear espacios educativos en el nivel medio superior, y ofrecerles programas de estudios tecnológicos que les permitan integrarse con competencia a fuentes de trabajo y/o continuar estudios superiores.

El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, es un ejemplo de lo anterior. En las escuelas de esta Institución, los estudiantes pueden encontrar el camino de la superación, y el apoyo para alcanzar las metas que visualizan para forjar su futuro.

Entre esos apoyos se encuentran la publicación y entrega de este material educativo, que el CECYTE BC distribuye, con el objetivo de que lo utilices en beneficio de tus estudios.

La tarea que han desarrollado maestros, alumnos y autoridades aducativas en torno a CECYTE BC, han convertido a esta Institución en un modelo para la formación de generaciones de profesionistas técnicos que demanda el sector productivo que se asienta en la región.

Además de eso, el Colegio se ha destacado por alentar el acercamiento de los padres de familia con la escuela, como una acción tendiente a fortalecer los vínculos que deben existir entre ellos, los docentes y administrativos en el proceso educativo, por ser esta, una responsabilidad compartida.

Por todo esto, te felicito por realizar tus estudios en un plantel del CECYTE BC. Te exhorto a valorar este esfuerzo que hace la sociedad a través de la Administración Estatal, y a que utilices con pertinencia los materiales que se te otorgan para apoyar tu formación profesional.

Adrian Flores Ledesma DIRECTOR GENERAL DEL CECYTE BC

Atentamente

PRESENTACIÓN

El libro que tienes en tus manos representa un importante esfuerzo del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, que a través de sus academias de profesores te proporciona material de calidad para el estudio de las distintas asignaturas que cursarás en tu preparación como Bachiller Técnico.

Los contenidos corresponden a los programas establecidos para cada una de las asignaturas de acuerdo a la reforma integral de la educación media superior, y enriquecidos por las competencias comunes del Sistema Nacional de Bachillerato.

Este ejemplar, encierra conocimientos, aprendizaje, análisis y habilidades que deberás de poner en práctica en tu vida diaria, convertida en una acción educativa más, que el Colegio te ofrece para obtener una mejor formación académica.

Te invitamos a que valores y obtengas el mayor provecho a esta obra, que fue diseñada especialmente para lo más preciado del Colegio: sus Alumnos.

gradecimiento

Un especial agradecimiento a los Docentes y Administrativos de CECYTE BC, que colaboraron e hicieron posible la edición de estas Guías de Aprendizaje Básicas y Material Didáctico.

El Colegio

• Manual de Química •

Aide Araceli Pedraza MendozaPLANTEL COMPUERTASAlejandra Machuca MontijoPLANTEL MISIONES José Manuel Soto LópezGRUPOS PORTALESJuana Ramírez RodríguezPLANTEL XOCHIMILCOMario Iván Hurtado MenaGRUPOS EJIDO PUEBLASergio Alberto Seym GuzmánGRUPOS CENTENARIO • Manual de Biología •

Aide Araceli Pedraza MendozaPLANTEL COMPUERTASAlejandra Machuca MontijoPLANTEL MISIONES José Manuel Soto LópezGRUPOS PORTALESJuana Ramírez RodríguezPLANTEL XOCHIMILCOMario Iván Hurtado MenaGRUPOS EJIDO PUEBLASergio Alberto Seym GuzmánGRUPOS CENTENARIO PRIMER SEMESTRE • Álgebra •

Andrés Sarabia LeyCOORDINADOR DEL COMPONENTE DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICOKarla Grisel Duarte Sarabia COLABORADORA

• Inglés I •

Blanca Belén Torres MedinaPLANTEL LOS PINOSAdriana Cera MoralesGRUPOS PORTALESArturo Sánchez MariscalPLANTEL SAN FELIPEJoaquín Alberto Pineda Martínez Manuel Arvizu RuízCesar Quintero HernándezPLANTEL BELLAVISTA • Química I •

Aide Araceli Pedraza MendozaPLANTEL COMPUERTASAlejandra Machuca MontijoPLANTEL MISIONESJosé Manuel Soto LópezPLANTEL PORTALESJuana Ramírez RodríguezPLANTEL XOCHIMILCOMario Iván Hurtado MenaGRUPOS EJIDO PUEBLASergio Alberto Seym GuzmánGRUPOS CENTENARIO

QUINTO SEMESTRE • Inglés V •

Blanca Lilia Vidal LlamasPLANTEL LOS PINOS

• Física II •

Gilberto Méndez FierrosPLANTEL COMPUERTASJavier Iribe MendozaMaría del Carmen Equihua QuiñonesÁlvaro Soto EscalanteIsrael Cruz MuñozPLANTEL BELLAVISTA

• Ciencia, Tecnología, Sociedad y Valores III •

Fernanda Palacio ZavalaPLANTEL XOCHIMILCOEva Pérez VargasPLANTEL BELLAVISTAClaudia Erika González MendozaGRUPOS PORTALES COORDINACIÓN Y REVISIÓN ACADÉMICA

Alberto Caro EspinoJEFE DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA María Trinidad Salas LeyvaDenisse Samaniego ApodacaCOORDINADORAS DEL COMPONENTE PROFESIONAL

Andrés Sarabia LeyCOORDINADOR DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICA

Arianna Topete FajardoCOORDINADORA DEL COMPONENTE BÁSICO

Beatriz Eugenia Gutiérrez BoneoCOORDINADORA DE DOCENCIA

• Tecnologías de la Información y Comunicación •

Alma Delia Valenzuela MárquezMelchizedec Romero GonzálezOscar David Bustos TorrePLANTEL XOCHIMILCORoberto Rosales ZepedaPLANTEL LOS PINOS • Ciencia, Tecnología, Sociedad y Valores I •

Fernanda Palacio ZavalaPLANTEL XOCHIMILCOCecilia Armida Ante NavarroPLANTEL COMPUERTAS • Lectura, Expresión Oral y Escrita I •

Fernanda Palacio ZavalaPLANTEL XOCHIMILCO TERCER SEMESTRE • Geometría Analítica •

Emma Ayala RodríguezPLANTEL MISIONESAntonio Caro EspinoGRUPOS PORTALESMario Alberto Curiel PoncePLANTEL LOS PINOS

• Inglés III •

Ana Paulina Rodríguez RomoGRUPOS PORTALESEnrique Roberto Rosenberg DíazPLANTEL XOCHIMILCO • Biología •

Aide Araceli Pedraza MendozaClara Angelica Rodríguez SánchezPLANTEL COMPUERTAS • Ciencia, Tecnología, Sociedad y Valores II •

Claudia Ericka González MendozaGRUPOS PORTALESBeatriz Elena Márquez SánchezPLANTEL BELLAVISTA

Álgebra

15

ÍNDICE

COMPETENCIA 1

Operaciones Fundamentales del Álgebra …………………………………………………………………… 17 COMPETENCIA 2 Operaciones con Fracciones Algebraicas …………………………………………………………………… 73 COMPETENCIA 3 Exponentes y Radicales …………………………………………………………………… 101 COMPETENCIA 4 Ecuaciones Lineales o de Primer Grado …………………………………………………………………… 123 COMPETENCIA 5 Ecuaciones Lineales en Dos y Tres Variables …………………………………………………………………… 190 COMPETENCIA 6 Ecuaciones Cuadráticas …………………………………………………………………… 222 ANEXO Aprendiendo a Despejar …………………………………………………………………… 250

17

Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico Notación algebraica Valor numérico de una expresión algebraica Suma y resta de monomios y polinomios

Leyes de los exponentes enteros positivos Multiplicación entre monomios Multiplicación de un monomio y un polinomio Multiplicación entre polinomios

División entre monomios División entre un polinomio y un monomio División entre polinomios

PRODUCTOS NOTABLES Binomios conjugados Producto de dos binomios cualesquiera Binomio al cuadrado Binomio al cubo

Competencia

1 OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA

Explicar las Operaciones Fundamentales del Álgebra

Desarrollo de Productos Notables Factorización de polinomios

Saberes

1

2

4

3

18

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Por factor común Diferencia de cuadrados Trinomio de la forma Trinomio de la forma Trinomio cuadrado perfecto Suma y diferencia de cubos Por agrupación

1. A desarrollar suma de polinomios 2. A practicar la multiplicación de monomios y polinomios 3. A practicar la división entre monomios y polinomios 4. Todo mundo a desarrollar Productos Notables 5. Volviéndonos hábiles en la Factorización

Ejercicios

5

19

Definición de álgebra: Siendo el álgebra una rama de las matemáticas, sus operaciones son las mismas que las de la aritmética, es decir: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. El álgebra es una generalización de la aritmética. La aritmética emplea números para su estudio, pero el álgebra emplea letras y números.

NOTACIÓN Y TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA

LITERALES E INCOGNITAS.- Sabiendo que las letras son los símbolos más conocidos el ser humano, estas fueron tomados para representar valores numéricos, siendo su empleo convencional a determinadas condiciones o principios de los problemas razón que las divide en:

LITERALES.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores que son conocidos o que pueden obtenerse directamente, es decir, los datos dados en un problema se representan par medio de literales.

INCOGNITAS.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores numéricos que se desconocen y que, para ser conocidos, deberán efectuarse operaciones matemáticas.

Saberes

Nombre Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico

Notación algebraica Valor numérico de una expresión algebraica Suma y resta de monomios y polinomios

No. 1

Instrucciones para el alumno

Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor

Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para encontrar el volor númerico de una expresión algebraica, además de desarrollar sumas y restas con expresiones algebraicas

Manera didáctica de lograrlos

Mediante exposición y

tareas

20

VARlABLES Y CONSTANTES.- Todas las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del abecedario: a, b, c, d, e..., etc., se denominan también LITERALES ".

Todas las cantidades desconocidas se expresan por las ultimas letras del abecedario: s, t, u, v, w, x, y, z...se denominan '"INCOGNITAS". De lo anterior hacemos la siguiente observación:

VARIABLE.- Es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de números, es decir, puede cambiar de valor. EJEMPLO:

Si tenemos la función y= 2x, Y si Ie asignamos valores a "x", resulta que el valor de "y" cambiara conforme "Varia" el valor de X", por ejemplo:

Sí x = 1 sí x = 2 sí x = 3

Y =2(1) Y = 2(2) Y = 2(3)

Y=2 y=4 y=6

CONSTANTE.- Es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo, es decir, no pueden cambiar de valor. EJEMPLO: Cualquier numero, por ejemplo "9" siempre será nueve; π = 3.1416 es una constante que representa la razón de la circunferencia de un circulo al diámetro.

Traducción de expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico u viceversa.

Comenzaremos por traducir el lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas. Estas expresiones algebraicas muestran situaciones concretas del mundo real de una manera abstracta.

Tal vez te parezca muy simple lo que vamos a traducir, pero esta sencillez te dará confianza para iniciar nuestro estudio algebraico.

En el lenguaje común o "verbal, se emplean palabras, mientras que en el lenguaje algebraico se emplean letras y símbolos, que permiten reducir las proposiciones verbales en proposiciones algebraicas muy simples y fáciles de comprender.

21

EJEMPLOS:

LENGUAJE COMUN: LENGUAJE ALGEBRAICO: I.- Tres objetos cualesquiera. x .y, z.

2.- La semisuma de dos números 2

a b

3.- La suma de dos veces un numero mas tres veces el mismo 2n + 3n = 5n

número es igual a cinco veces dicho número.

4.- El cubo de un numero menos el doble del mismo número w³ - 2w

LENGUAJE ALGEBRAICO: LENGUAJE COMUN:

Suma de los cuadrados de dos números

2 El doble producto de por el radio

2 ( u – v ) El doble de la diferencia de dos números

El área de un rectángulo es igual al producto

de su largo por su ancho

Identificación de los elementos de una expresión algebraica.

En la notación algebraica es el medio que nos permite conocer los elementos que conforman una representaci6n matemática; por ejemplo:

EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es una representación que se aplica a un conjunto de literales y números que conforman una o más operaciones algebraicas.

, 7 ; 2 5 ; 2 3 ; ; .

En las expresiones algebraicas, las partes que aparecen separadas por el signo (+) o (-) reciben el nombre de Términos algebraicos.

22

El término esta formado por coeficiente (parte numérica), variables (literales o letras), multiplicados entre sí, llamados factores.

Coeficiente Exponentes

7

Literales

Nombre Definición Ejemplo

Monomio (mono = uno) Expresión algebraica que consta de un solo término 5 ; 4 ;

3

Binomio (bi = dos) Expresión algebraica que

consta de dos términos

Trinomio ( tri = tres) Expresión algebraica que consta de tres términos

6 7

Polinomio (poli = muchos, en este caso más de dos)

Expresión algebraica que consta de dos o más términos. En este caso binomio y trinomio son polinomios

2 3 2

Clases de polinomios Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal,

por ejemplo:

2x³ + 7x – 8 , 8

3

53

52

xx

Un polinomio es fraccionario, cuando algunos de sus términos tienen literales como denominadores, por ejemplo:

72

d

c

b

a

23

Un polinomio es racional cuando ninguno de sus términos contienen radicales, par

ejemplo:

2x² + 2xy + y²

Un polinomio es irracional cuando alguno de sus términos contiene algún radical, por

Ejemplo:

823 yx

Los polinomios se ordenan alfabéticamente y se agrupan de exponente mayor a exponente menor, los números constantes se escriben hasta lo último.

Ordenar el siguiente polinomio:

185

518

372

723223

232

yxx

xxyxyy

xyy

Grado de los polinomios

E1 grado de un término en una sola variable es la potencia de la variable. Si dos o

mas variables se hallan en un termino, el grado de término es la suma de las

potencias de las variables.

Ejemplo:

Grado de un término en una sola variable:

6x³ 3er grado.

2x 1er grado.

3³x 1er grado.

-3 grado cero porque 3 3

Grado de un término en varias variables:

72 x³ y³ 6to grado

24

4 x² y³ 5to grado

√3 3er grado

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es una identidad sabemos que la incógnita puede adoptar cualquier valor y la igualdad siempre se cumplirá. Mientras que en una ecuación es necesario encontrar las solución, ya que la incógnita tiene un valor específico. La cantidad de soluciones para la incógnita en una ecuación está dada por el grado absoluto de la expresión algebraica.

Si es de primer grado sólo tiene una solución. Si es de segundo grado tendrá a lo más, dos soluciones reales; es decir, la incógnita puede adoptar dos valores diferentes y la igualdad se cumple.

Si es de tercer grado, tendrá a lo más tres soluciones... y así sucesivamente. Dentro de este tema todavía no estudiaremos el procedimiento para encontrar el valor de la incógnita; ese tema es abordado en los capítulos posteriores.

Lo que por el momento haremos es practicar un sencillo procedimiento: si conocemos el valor de las incógnitas para una expresión algebraica, lo sustituimos en ésta y encontramos el valor numérico.

Ejemplo 1: ¿Cuánto vale la siguiente expresión?

2 3 cuando 2 y 4

Solución: 2 2 3 4 2 4 12 8 12 20

Ejemplo 2: El valor numérico de 2 2 3 2 si 2, 3,

1, 2

Solución: 2 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 3

2 2 2 6 6

2 12 24

: Puede observarse el uso de corchetes para llevar un mejor orden en el

cálculo.

25

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS:

En la aritmética, los números positivos se suman, pero en el álgebra la adición puede realizarse entre números tanto positivos como negativos. La adición en este sistema más amplio de números es llamada a veces adición algebraica.

Para efectuar adiciones con polinomios, se realizan sumandos solo términos semejantes.

Los que se parecen (términos semejantes)

3 y Cada pareja de términos son semejantes ya que tanto las

4 8 letras como los exponentes son los mismos.

18 y 5

y

3 y 5 Cada pareja de términos NO son semejantes, ya que aunque las letras

2 y 5 son iguales, estas NO tienen el mismo exponente.

y Cada pareja de términos NO son semejantes, ya que aunque los

4 y 3 exponentes son iguales, las letras NO son las mismas.

Ejemplo 3: Combine los elementos semejantes

SUMANDO <‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐222 753 aaa =

215a ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ SUMA

26

Ejemplo 4: Sumar la expresión: .743253 22 babbababa

Solución: Puede agrupar los términos semejantes de la expresión, si usted desea de la siguiente manera:

3 3 5

2 7 4

5 4 8

Nota: También pude realizar la suma directamente, combinando elementos semejantes.

Ejemplo 5: Restar zyx 247 de .5911 zyx

MINUENDO ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ZYX 5911

SUSTRAENDO ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ )247( ZYX

11 9 5

7 4 2

ZYX 7134 ‐‐‐‐‐ RESULTADO

Ejemplo 6: Suma y resta con Bolitas

Polinomio Se representa con Círculos

3 3 2

2 1

1

1

1

27

Si queremos sumar los dos polinomios anteriores tenemos:

Suma de polinomios Se representa con Círculos

3 3 2

2 1

5 2 3

5 2 3

Símbolos de agrupación de agrupación

Los símbolos de agrupación los cuales son los paréntesis ( ), los corchetes [ ], y las llaves{ }, son usados para hacer que el significado de ciertas expresiones, sea claro y para indicar el orden en el que las operaciones son realizadas.

Con frecuencia es conveniente quitar los símbolos de agrupación de una expresión, y para este propósito se usan los axiomas y propiedades del sistema de los números reales. Se explica el procedimiento con un ejemplo.

Ejemplo 6: Elimine los símbolos de agrupación y combine los términos

semejantes

222222 3}4)](3)(5[3{3 yxyyxxyxxyxx

Se aplica primero el axioma distributivo a la expresión en los paréntesis para

obtener

222222 3}4]3355[3{3 yxyyxxyxxyxx

Combinando términos semejantes dentro de los corchetes

22222 3}4]352[3{3 yxyyxyxxyxx

1

1

1

28

Eliminando los corchetes

22222 3}43523{3 yxyyxyxxyxx

Combinando términos semejantes dentro de las llaves

2222 3}38{3 yyxyxx

Quitando las llaves

2222 3383 yyxyxx

Combinando términos semejantes nos da el resultado final xyx 82 2

29

I. Relaciona la columna de la izquierda con la columna de la derecha, escribiendo en el paréntesis el número que corresponda

1. 3 4

( ) 3

2. √3 √2 √5

( )

3. 20 18 3 4

( ) √5 0.2

4. 6 7 6 7

( )

5. √5 0.5 0.7

( ) √2 √3 √5

6. 0.3 0.5 0.7 0.1

( ) 11 12

7.

( ) √3 2 5

8. 3 6 9 15 8

( )

( ) 0.2 0.2

( )

( ) 3

( ) 11 12

Ejercicios

Nombre A desarrollar sumas de polinomios No. 1


Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.

Actitudes a formar

Orden Responsabilidad

Manera didáctica de lograrlas

Ejercicios y tareas sobre el tema

Competencias genéricas a desarrollar

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Manera didácticas de lograrlas

Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

30

II. Completa las siguientes operaciones. Utiliza los espacios disponibles:

III. Escribe un polinomio que represente el perímetro de las siguientes figuras. Simplifica los polinomios reduciendo términos semejantes.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

a) b)

31

IV. Escribe un polinomio para cada arreglo de círculos, además encuentra la suma de polinomios.

V. Encuentre la suma indicada en los problemas siguientes:

a) )44()432()3( dcbdcbdcb Resp: dcb 68

b) )144()432()13( 222 xxxxxx

c) )32()23()22( rqprqprqp Resp: rqp 423

d) )36()32()32( yxwyxwyxw

a)

y

y

b)

y c)

32

VI. Sume las tres expresiones en cada uno de los siguientes ejercicios. Sustraiga luego la tercera expresión de la suma de las dos primeras.

a) 7 3 11 ; 14 10 10 ;8 8 13a b c a b c a b c Resp: 15 34 ; 15 8a b c a b c

b) 3 4 ;2 4 7 ;3 5xy yz x x xy yz yz x xy

c) 2 3 7 ; 4 3 5 ;2 3 8r rs s s r rs rs s r Resp: 9 4 6 ;7r rs s r

VII. Quite los símbolos de agrupación y simplifique combinando términos semejantes

a) 4 ( 3) (3 1)x y x Resp: 4x y

b) )2(3)2(2 yxyxyx

c) )32(2)3(2 yxyxyx Resp: yx 25

d) )52(2)3(42 bababa

e) ( ) (2 3 ) ( )x y x y x y Resp: y

f) 1 2 (3 ) 3a b a

g) (3 ) (4 3 )x x x Resp: 3 1x

h) )2(4323 yxxyx

i) xyxxyx )52(3632 Resp: yx 9338

j) )51(34221 aaa

k) yzyzxyx 2)2(422 Resp: zyx 446

l) baabcabcba 532)(2323

33

e) 2 3 5 6 ( ) 5a ab b a ab b a b Resp: 567 baba

f) 10 ( 3) ( 6)x y x y

VIII. Evalúe las expresiones siguientes, dado que 2, 3, 1a b c y 2d

a) 2a b c b) 2a b d c) 6 5a b d

d) 2 3a b c d e) ( 2 )b c d f) 2 2(3 2 )c a b

g) a d

a d

h) 3ab cd

c

i)

3 2

4

b ad

a

Respuestas a algunos ejercicios: a) 9; c) 29; d) 1; f) ‐22; h) 0;

34

LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS

Exponente.- Indica el número de veces que un término deberá aparecer como factor de si mismo; por ejemplo:

a5 = (a) (a) (a) (a) (a)

La expresión a5 se llama potencia y se lee “a quinta”. La representación general es:

n- ésima potencia de a n Exponente (Entero positivo)

a Base

Leyes de los exponentes.- Se establecen cinco leyes fundamentales de los exponentes enteros y positivos, dichas leyes son:

Ley I.- “Cuando dos potencias de la misma base, se multiplican, su resultado es un término de la misma base y con un exponente igual a la suma de los exponentes de las potencias multiplicadas; Es decir:

Saberes

Nombre Leyes de los exponentes enteros positivos Multiplicación entre monomios Multiplicación de un monomio y un polinomio Multiplicación entre polinomios

No. 2



Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar multiplicaciones entre monomios y polinomios


Mediante

exposición y tareas

35

( )m n mna a

( )m m mab a b

m m

m

a a

b b

Ley II.- “Cuando dos potencias de la misma base, se dividen, su cociente es un término de la misma base y con un exponente igual a su diferencia de los exponentes de las potencias divididas”; Es decir:

nm

n

m

aa

a (Si m > n) mnn

m

aa

a

1

(Si n>m)

10 aa

a

a nmn

m

(Si m = n)

Ley III.- “Cuando una potencia base se eleva a un expo9nente, su resultado es un termino de la misma base y con una exponente al que se elevo la potencia”; Es decir:

Ley IV.- “cuando un producto de uno o mas factores se elevan todos ala vez un exponente, su resultado es un producto donde cada factor se eleva al exponente de dicho producto”;Es decir:

Ley V.- “cuando un cociente se eleva aun exponente su resultado es la potencia del dividendo (numerador) y la potencia del divisor (denominador), realizándose finalmente la división”; Es decir:

36

Ejemplo 1:

a) 53232 ))(( uuuu

b) 2242

4

mmm

m

c) 6)3)(2(32)( ccc

d) 6

3

)3)(2(

333

2

8.22

b

a

b

a

b

a

MULTIPLICACIONES DE MONOMIOS

Regla

Se multiplica el coeficiente y a continuación de ese producto se escribe letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos.

Ejemplos 2: a) Multiplicar .32 32 apora

53232 6)3)(2()3)(2( aaaa

b) Multiplicar 3 4

xbaxbaxabba 33211222 12)4)(3()4(3

c) Multiplicar 342 5 ymxporxy

553241342 55)5)(( ymxymxymxxy

d) Multiplicar 32 4 cbaporab nm

32132132 4)4)(1()4)(( cbacbacbaab nmnmnm

37

e) Efectuar la siguiente multiplicación 423222 )()3()2( bcbaab

844362422423222 )1()3()2()()3()2( cbbababcbaab

))()(()1()3()2( 843462432 cbbbaa

8118)1)(27)(4( cba

8118108 cba

f) Efectuar las operaciones indicadas y simplificarlas 23232234 )()3()()2( baabaab

))(27())(16()()3()()2( 646264423232234 baabababaabaab

610610 2716 baba

61043 ba

Multiplicación de Polinomios por Monomios

Reglas para Multiplicar un Monomio por un Polinomio Se multiplican el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso las reglas del signo, y se separan los productos parciales con sus propios signos. En otras palabras, se aplica la Ley Distributiva de la multiplicación.

Ejemplo 3: Multiplicar 3 6 7 4

)4(7)4(6)4(3)4)(763( 222222 axaxxaxxaxxx

234 282412 axaxax

38

2

2

4

763

ax

xx

La operación puede disponerse así 234 282412 axaxax

MULTIPLICACIONES DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS

Regla para Multiplicar dos Polinomios Se multiplican todos los términos del multiplicador por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.

Ejemplo 4: Multiplicar 4 3

Tendremos: 4 4

3 3

4 o sea 4

3 3 4 3 12

12

En el ejemplo siguiente se muestra otra forma de multiplicar.

Ejemplo 5: Multiplicar 4 3 2 5

4 3 5 2 4 5 4 2 3 5 3 2

20 8 15 6

20 23 6

39

Ejemplo 6: El siguiente rectángulo está seccionado y cada sección es el resultado de multiplicar los lados de los rectángulos pequeños. Halla la multiplicación de los polinomios que equivale al área total del rectángulo.

Solución: Primeramente, tenemos que buscar el valor de los lados de cada rectángulo pequeño para que coincida con el área de cada rectángulo pequeño. Por lo tanto:

4

6

Por lo tanto, los lados del rectángulo grande son 4 6 y 5 8

El área total será: 4 6 5 8 20 32 30 48

20

32

30

48

20

32

30

48

4

6

5 8

30

I. Efectúe las operaciones indicadas y simplifique:

1) ))(( 22 aba 2) ))(( 43 aab 3) ))(2( 32 yyx

4) 3 2( )( )a b b 5)

2 2 3( )( )a b a 6) 2 2(2 )(3 )x xy

7) 2 3 43 (2 )x y x y 8)

2 4 23 (4 )( )x x y x y 9) 3 2 3 2(3 )( )x y x y x

10) )2)(4)(7( 23 yxyyx 11) )2)(( 4323 yxzyzx 12) )3)((6 2332 xzyzyx

13) )5)(4)(( 322 yxxyx 14) )25)(3(2 323 baba 15) )5)(4(3 2xyxy

16) 2 2 3 33 (4 )( 9 )a b ab a b 17)

2 3 2( )a b ab 18) 2 2 26 (2 )a b ab

19) 2 2 2 3( ) (2 )a b ab 20)

2 2 3(4 ) ( )ab ab 21) 2 3 3 2( ) ( 8 )x y x y

22) 2 3 2 2 2 3( ) (2 ) ( 5 )xy x yz xz 23)

2 2 3 2 2 4 5 4( ) (8 ) ( 3 )a b abc b c

Ejercicios

Nombre A practicar las multiplicación de monomios y polinomios No. 2Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar






Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Manera didácticas de lograrlas


41

24) 4323222 ))(3()2( cabaab 25)

5243223 )()9()2( bcacaab

26) 2 2 2 32 ( ) ( )a b a b 27)

2 2 2( 2 ) ( ) ( )ax a x 28) 2 2 2 22 ( ) (4 )( )a b a b

Respuesta para algunos de los ejercicios anteriores:

4) 3 3a b ; 5)

5 2a b ; 6) 3 26x y ; 7)

6 46x y ; 8) 7 312x y ; 9)

7 43x y ;

16) 6 6108a b ; 17)

4 7a b ; 18) 4 524a b ; 19)

7 88a b ; 21)12 564x y ;

22) 78820 zyx 23)

8 24 245184a b c ; 26) 2 2 2 32a b a b ; 27)

2 25a x ; 28) 2 22a b

II. Efectué la siguiente multiplicación entre un polinomio y un monomio.

(1) xporxx 23 23 Resp: 4 36 2x x

(2) 322 238 axporyyx

(3) xporxx 2342 Resp: 3 22 8 6x x x

(4) aaa 64 23 por ab3

III. Efectúe las multiplicaciones indicadas. Simplifique cuando sea necesario.

1) 6( 7)x 2) 7( 4)x 3) ( 3)x y

4) 5 (2 3)x y 5) 4 ( 3)x y 6) 22 (3 2 )x x x

7) 26 ( 4 )x x x 8)

23 (3 5 )x x x 9) 3 22 (3 5)x x x

10) 2 22 ( 3 )ab a ab b 11)

2 3 2 2 42 ( 5 3 )a b a a b b

12) 3 2 25 ( 4 )a b ab b a 13)

3 2 22 (2 3 2)ab a b

14) 2 (5 6) 3 ( 4)x x x x 15) 4 ( 4) 2 (2 3)x x x x

42

16) 2 22 (3 4 6) ( 8)x x x x x 17)

2 2 3 2(2 3 4) ( 3 4 )x x x x x x x

Respuestas a los impares: 1) 6 42x ; 3) 3xy x ; 5) 4 12xy x ; 7) 3 26 24x x ;

9) 5 4 36 2 10x x x ; 11)

5 4 3 2 52 10 6a b a b a b ; 13) 3 3 5 34 6 4a b ab ab ; 15) 10x ;

17) 4x

IV. Efectué la siguiente multiplicación entre polinomios.

1. 1..3 apora Resp: 2 2 3a a

2. xyporyx 2..28

3. yxporxy 23..54 Resp: 2 215 22 8x xy y

4. abporba 84..

V. Efectué las operaciones con polinomios y simplifique:

1) ( 7)( 4)x x 9) 2( 1)((2 2 3)x x x

2) ( 6)( 6)x x 10) 2( 2)( 2 4)x x x

3) ( 1)( 6)x x 11) 2(2 1)(4 2 1)x x x

4) (3 1)(4 3)x x 12) 2 2( 2 )( 2 4 )x y x xy y

5) (3 2 )(3 4 )x x 13) 2 2( 2 1)( 2 1)x x x x

6) (7 3 )(8 5 )x x 14) ( 1)( 3) ( 4)x x x x

7) ( 4 )(3 4 )x y x y 15) (2x+1)(x-2)+ x(x+3)

8) ( 3)( 4)xy xy 16) ( 2)( 4) ( 2)x x x x

Respuestas a los impares: 1) 2 3 28x x ; 3) 2 7 6x x ; 5) 29 6 8x x ;

7) 2 23 16 16x xy y ; 9) 32 3x x ; 11) 38 1x ; 13) 4 24 4 1x x x ;15) 23 2x

43

VI. Los siguientes rectángulos están seccionados y cada sección es el resultado de multiplicar los lados de los rectángulos pequeños. Halla la multiplicación de los polinomios que equivale al área total de cada rectángulo. (Ver ejemplo 6 resuelto de esta sección).

1.

2.

3.

5

5

5

3

24

15

40

25

44

DIVISIÓN DE MONOMIOS

Ejemplos: (1) Dividir 4 2

2

(2) Dividir 5

= 5

(3) Dividir 20 4

= 5

Saberes

Nombre División entre monomios División entre un polinomio y un monomio División entre polinomios

No. 3



Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar divisiones entre monomios y polinomios

Manera didáctica

de lograrlos

Mediante


45

Ejemplo (4) Al aplicar las leyes de los exponentes, simplificar la expresión:

34

2

2

6

x yz

xy

Solución: Podemos simplificar la fracción primeramente antes de aplicar el

exponente exterior.

3 34 3 9 3 9 3

2 3 3 3

2

6 3 3 27

x yz x z x z x z

xy y y y

DIVISIÓN DE POLINOMIOS ENTRE MONOMIOS.

Regla para dividir un polinomio por un monomio. Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos.

Ejemplo 1) Dividir 3 2 23 6 9a a b ab entre 3a.

3 2 2 3 2 2

3 2 2 3 6 9 3 6 9(3 6 9 ) 3

3 3 3 3

a a b ab a a b aba a b ab a

a a a a

Resultado: 2 22 3a ab b

Ejemplo 2) Dividir 3 2 23 2a a b ab

ab

Solución: 3 2 2 3 2 2 23 2 3 2 3

2a a b ab a ab ab a

a bab ab ab ab b

Ejemplo 3) Dividir 2(3 ) (3 )

(3 )

x a a x a

x a

y simplificar

2(3 ) (3 )

(3 )

x a a x a

x a

= 2(3 ) (3 )

(3 ) 3 3(3 ) (3 )

x a a x ax a a x a a x

x a x a

46

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

La división de polinomios respeta la siguiente serie de pasos:

1. Ordenamos los términos de ambos polinomios según las potencias de mayor a menor, o viceversa, de una de las letras comunes a los dos polinomios.

2. Dividimos el primer término del dividendo entre el primero del divisor, con esto obtenemos el primer término del cociente.

3. Multiplicamos el término del cociente del paso anterior por el divisor y se resta del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo.

4. Con lo obtenido en el paso anterior se repiten las operaciones de los pasos 2 y 3 hasta que obtenemos un residuo igual a cero o una expresión algebraica de grado menor que el del dividendo.

5. El resultado se expresa de la siguiente manera:

Ejemplo 1: Dividir 2 31 35 entre 2 7

3 5 cociente

Divisor 2 7 2 31 35 Dividendo

2 7

6 31 35

6 21

10 35

10 35

0 Residuo

El resultado es: 3 5

47

Ejemplo 2: Dividir 2 3 2 entre 3 2

2 3 6

3 2 2 3 2

2 6 4

3 3 2

3 9 6

6 5 2

6 18 12

13 14

El resultado lo expresamos de la siguiente manera:

2 3 6

48

I. Ejercicios: Efectuar la siguiente división entre monomios

(1) 243 214 abentreba Resp: 2 27a b

(2) 4343 baentrecba

(3) nmentrenm 225 Resp: 5

(4) 3232 88 xaentrexa

II. Simplifique aplicando las leyes de los exponentes.

1) 5

2

a

a 2)

3x

x 3)

6

12

a

a 4)

2

8

x

x 5)

10

10

x

x 6)

10

6

b

b 7)

8

10

( )a

a

8) 7

7

( )a

a

9) 8

4

( 1)

( 1)

x

x

10) 6

9

( )

( )

x y

x y

11) 3

3

bx

b 12)

6 4

3 2

x y

x y 13)

2 5

6 10

9

36

a b

a b 14)

8 7

4 9

6

18

a b

a b

15) 3

6

)( a

a

16)

6

2

)(

)(

yx

yx

17) xy

yx3

18) yx

yx2

33

19) 82

62

ba

ba 20)

ca

ba9

25

70

42

Ejercicios

Nombre A practicar las división entre monomios y polinomios No. 3Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









49

21) 85

23

66

44

ba

ba 22)

63

25

8

32

ba

ba

23)

312

96

5

25

ba

ba

24) 4

6

33

a

a 25)

2

2

2

ab

ba

26) 62

5

2a

a

27) 32 5

6

2

4

x y

xy

28) 34 2 7

3 4 72

x y z

x y z

29) 43 2 4

2 3

12

18

x y z

xy z

Respuestas para algunos ejercicios:

1) 3a ; 2) 2x ; 3) 6

1

a; 4)

6

1

x; 5) 1 ; 6) 4b ; 7)

2

1

a ; 8) 1 ; 9) 4( 1)x ; 10)

3

1

( )x y; 11) x ; 12) 3 2x y ; 13)

4 5

1

4a b; 14)

4

23

a

b ; 26)

18

64

a

27) 3

38

x

y; 28)

3

68

x

y ; 29)

8 416

81

x z

III. Efectué las operaciones entre un polinomio y un monomio y simplifique.

1) 2 2

2

x 2) 10 5

5

x 3) 26 3

3

x x

x

4)

3 23x x x

x

5) 6 3

3

ax a

a

6) 3 2

2

7 14

7

x x

x

7)

2 3

2

10 15

5

x y x

x

8) 5 4 3

3

12 18 6

6

x x x

x

9) 3 2 2 3

2 2

36 24

12

x y x y

x y

10) 3 2

2

4 6 8

2

x x x

x

11)

6 4 2 2 4

3 3

2 3

3

x x y x y

x y

12) 26( ) 3( )

3( )

x a x a

x a

13) 2(2 ) (2 )

(2 )

x a x x a

x a

14) 3 2(2 ) (2 )

(2 )

x a x a

x a

50

Respuestas a los impares: 1) 1x ; 3) 2 1x ; 5) 2 1x ; 7) 2 3y x ; 9) 3 2x y ;

11) 3

3

2

3 3

x x y

y y x ; 13) x a

IV. Efectúe las divisiones entre polinomios siguientes:

1) 2 3 2

1

x x

x

2) 2 6

2

x x

x

3) 2 14 48

8

x x

x

4) 28 16 6

2 1

x x

x

5) 29 6 1

3 1

x x

x

6) 212 25 12

4 3

x x

x

7) 216 8 1

4 1

x x

x

8) 222 8 21

4 3

x x

x

9) 3 2

2

4 2 8

4

x x x

x

10) 4 3 2

2

3 2 6 3 2

2

x x x x

x x

11) 3 23 4 6

2 3

x x x

x

12) 3 24 7 21 9

4 3

x x x

x

13) 3 26 11 14 2

2 5

x x x

x

14) 4 2

2

2 11 39 15

3 5

x x x

x x

15) 4 3 2 2 3 4

2 2

2 3 3 5 3

2

x x y x y xy y

x xy y

16) 23

1249 2

x

xx 17)

65

281215 2

x

xx

18) 168

6448122

23

xx

xxx 19)

12

2862

234

xx

xxxx 20)

162

835122

24

xx

xxx

21) )3()73522( 22322344 yxyxxyyxyxyx

Respuestas para algunos ejercicios:

1) 2x ; 2) 3x ; 3) 6x ; 4) 4 6x ; 5) 3 1x ; 6) 3 4x ; 7) 4 1x

8) 2 7x ; 9) 2x ; 10) 23 1x x ; 11) 2 42 1

3 2x x

x

; 12) 2 9

64 3

x xx

13) 2 123 2 2

2 5x x

x

; 14) 22 6 3x x ; 15) 2 22 3x xy y

51

BINOMIOS CONJUGADOS

Si tenemos la multiplicación ¿cómo la resolverías?

Una forma de hacerlo es multiplicando Todos vs. Todos:

Aunque este método nos gusta mucho no es el más rápido, para esto estamos aprendiendo la multiplicación de binomios conjugados. El producto de la suma de dos números (a + b) por su diferencia (a – b) es un producto notable que recibe el nombre de binomios conjugados, y su producto recibe el nombre de diferencia de cuadrados.

Saberes

Nombre PRODUCTOS NOTABLES Binomios conjugados Producto de dos binomios cualesquiera Binomio al cuadrado Binomio al cubo

No. 4



Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar productos notables por inspección

Manera didáctica

de lograrlos

Mediante


52

Binomios conjugados = Diferencia de cuadrados

2 2a b a b a b

Los binomios conjugados son iguales a:

El cuadrado del primer término del binomio

Menos

El cuadrado del segundo término del binomio.

Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios conjugados:

1. 8 3 8 3 8 3 8 3 64 9

2. 5 6 5 6 5 6 25 36

3. 2 2

2 25 3 5 3 5 3 25 9

9 4 9 4 9 4 81 16m n m n m n m n

Producto de trinomios que se pueden resolver como un binomio conjugado

4. 5 5 5 5 25

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CUALESQUIERA

Los términos correspondientes de los binomios byax y dycx son

semejantes. Su producto se obtiene por el procedimiento que se describe aquí

en donde se aplica la propiedad distributiva.

)()())(( dycxbydycxaxdycxbyax

22 bdybcxyadxyacx por distributividad y conmutividad

22 )( bdyxybcadacx ya que adxy+bcaxy = (ad+bc)xy

Por tanto, se tiene

Producto de dos binomios 22 )())(( bdyxybcadacxdycxbyax Al observar el producto de la derecha, se ve que se tiene el producto de dos

binomios con términos semejantes correspondientes al ejecutar los pasos

siguientes:

53

1) Multiplíquense los primeros términos de los binomios para obtener el primer término del producto.

2) Súmense los productos obtenidos al multiplicar el primer término en cada binomio por el segundo en el otro. Esto da el segundo término en el producto.

3) Multiplíquense los segundos términos en los binomios para obtener el tercer término del producto.

Por lo general, el procedimiento requerido para efectuar esos tres pasos es mental, y el resultado puede escribirse sin necesidad de indicar los pasos intermedios. Esto se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1

Obtenga el producto de yx 52 y yx 34

22 15148)34)(52( yxyxyxyx

Obténgase los productos mentalmente

1. xx 42

2. xyxyxxyx 206)45()32(

3. yy 35

El ejemplo anterior está dada en dos variables, pero se aplica también si se

considera que 1y . De hecho, viene siendo bdxbcadacxdcxbax )())(( 2

Ejemplo 2

Encuentre ).53)(2( xx

103)5)(2()]3)(2()5)(1[())(3)(1()53)(2( 22 xxxxxx

54

BINOMIO AL CUADRADO Un binomio al cuadrado es un producto notable, ya que podemos generalizar el

proceso para obtener su resultado.

El cuadrado de la suma de dos términos es igual: 2 2 2( ) 2a b a ab b

Cuadrado del primer término más

Doble producto del primero por el segundo, más

El cuadrado del segundo término.

La solución de un binomio al cuadrado es un trinomio que recibe el nombre

de trinomio cuadrado perfecto. Cuando se trata de una diferencia lo único que cambia es el signo del segundo

término del trinomio.

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual: 2 2 2( ) 2a b a ab b

Cuadrado del primer término, menos

Doble producto del primero por el segundo, más

El cuadrado del segundo término.

Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado

1. 3 8 3 2 3 8 8 9 48 64

2. 3 5 3 2 3 5 5

9 25

3. 32

53

32

232

53

53

94

5 259

55

4. 4 2 3 4 2 3 4 2 2 4 2 3 3

16 16 4 24 12 9

BINOMIO AL CUBO

Un binomio al cubo es un producto notable ya que podemos generalizar el proceso para su solución. Esto significa que el binomio esta multiplicándose por si mismo tres veces:

3a b a b a b a b

Primero multiplicaremos dos binomios ya que como son tres términos, la multiplicación debemos realizarla por partes:

2 2 22a b a b a b a ab b .

Este resultado lo multiplicamos otra vez por el binomio:

2 2 3 2 2 32 3 3a ab b a b a a b ab b

Binomio al cubo = Cubo perfecto

3a b = 3 2 2 33 3a a b ab b

El cubo de un binomio es igual a:

Cubo del primer termino más

El triple producto del cuadrado del

primer termino por el segundo mas

El triple producto del Primer termino

por el cuadrado del segundo mas

Cubo del segundo termino.

56

Si el cubo es la diferencia de dos números el resultado quedaría:

3a b = 3 2 2 33 3a a b ab b

Ejemplos:

1. 2 5 2 3 2 5 3 2 5 5

8 60 150 125

2. 3 2 3 3 3 2 3 3 2 2

27 54 36 8

57

I. Realice los siguientes binomios conjugados:

1. 4 4 2. 7 7 3. 3 2 3 2 4. 6 8 6 8

5. 2 3 2 3 6. 7. 6 4 6 4

8. 4 7 4 7 9. 10.

11. 6 10 6 10 12. 5 3 5 3

13. 7 5 7 5 14. 4 4

Ejercicios

Nombre Todo mundo a desarrollar Productos Notables No. 4Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









58

II. Completa la siguiente tabla:

Binomios conjugados Diferencia de cuadrados

a)

b) 9 25

c) 1 1

d) 4 10 4 10

e) 41

25

f) 9

16254

g) 2 0.2 2 0.2

h) 5 6 5 6

i) 2 3

j) 3 3

k) √2 √3 √2 √3

III. Realice los siguientes ejercicios usando el modelo para el producto de dos binomios cualesquiera.

1. )3)(1( xx 2. )4)(2( xx 3. )2)(3( xx 4. )23)(32( xx

5. )5)(43( xx 6. )32)(14( xx 7. )3)(2( yxyx 8. )32)(53( yxyx

9. )52)(116( dcdc 10. )59)(38( mkmk 11. )74)(103( baba

IV. Completa la siguiente tabla:

Multiplicación de dos binomios cualesquiera con un termino común

Resultados

a) 5 4

b) 15 17 30

c) 5 3

d) √5 6 √5 2

e) √2 1 √2 2 2 3√2

59

V. Obtenga el binomio al cuadrado de las siguientes expresiones:

1. 2)2( x 2. 2)3( x 3. 2)9( x 4. 2)( yx 5. 2)8( yx

6. 2)2( ba 7. 2)32( x 8. 2)54( x 9. 2)510( x 10. 2)25( nm

11. 2)4( m 12. 2)32( yx 13. 2)76( ba 14. 233 )( ba 15. 222 )23( xyyx

16. 2323 )54( abba 17. 2)232( zyx 18. 2)343( cba 19. 255 )( yx

VI. Completa la siguiente tabla:

Binomio elevado al cuadrado Polinomio

a) 3

b) 2 4 4

c) 7 16

d)

VII. Desarrollo los siguientes binomios al cubo:

1. 3)2( ba 2. 2)23( x 3. 3)15( x 4. 3)72( yx 5. 3)64( ba

6. 3)31( y 7. 32)2( y 8. 332 )32( qp 9. 323 )45( nm 10. 3

3

4

3

2

ba

VIII. Completa el desarrollo de los siguientes binomios al cubo

a) 5 2 3 3

___________________________________________________________

b) 3 2 3 3

___________________________________________________________

c) 3 3

___________________________________________________________

60

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Cada uno de los números que se multiplican entre sí para obtener un producto, se llama factor. Algunas veces es deseable escribir un polinomio como el producto de varios de sus factores. Este proceso se llama factorización. En particular, nos ocuparemos de factorizar polinomios con coeficientes enteros. Se dice que un polinomio está factorizado completamente si se expresa como el producto de polinomios con coeficientes enteros y ninguno de los factores de la expresión se puede ya escribir como el producto de dos polinomios con coeficientes enteros. A continuación, consideramos la factorización de algunos polinomios especiales.

I. Factor común. En este proceso se transforma una suma algebraica en un producto de factores, aplicando la propiedad distributiva. Para llevar a cabo este proceso es necesario identificar el factor común en el polinomio. El factor común puede ser un numero o un monomio, o bien un polinomio.

Saberes

Nombre FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Por factor común Diferencia de cuadrados Trinomio de la forma Trinomio de la forma Trinomio cuadrado perfecto Suma y diferencia de cubos Por agrupación

No. 5



Saberes a adquirir El alumno conocerá los distintos tipos de factorización de polinomios.

Manera didáctica

de lograrlos

Mediante


61

Ejemplos:

1) 5 5 5( )x y x y

El numero 5 es el que se repite en ambos términos, es decir, es el factor común. Y

los factores son 5 y (x + y).

2) ( )ax bx cx x a b c

Pude ver que la es la que se repite en todos los términos, es decir, es el factor

común, y los factores son x y (a – b + c).

3) 24 8 2x y xy y = 22 (2 4 1)y x x

El numero 2 y la letra y son los términos que se repiten en todos los términos, por

lo tanto, son comunes, es decir, 2y. Para encontrar el otro factor dividimos el

termino común y la expresión original 24 8 2x y xy y entre 2y, dando como

resultado, 22 4 1x x que representa al segundo factor.

4) Factorizar el polinomio 3 2 2 2 26 12 24x y x y xy

Solución: El máximo factor común es 26xy .

3 2 2 2 2

3 2 2 2 2 22 2 2

6 12 246 12 24 6

6 6 6

x y x y xyx y x y xy xy

xy xy xy

= 2 26 ( 2 4)xy x x

II. Diferencia de cuadrados

El producto de los factores ( )a b y ( )a b es 2 2a b , es decir, la diferencia de

dos términos cuadrados perfectos. Los factores de una diferencia de cuadrados son la suma y diferencia de raíces cuadradas respectivas de dichos cuadrados.

Ejemplo 1) Factorizar 29 4a .

Solución: La raíz cuadrada de 29a es 3a y la de 4 es 2.

62

Por consiguiente, 29 4 (3 2)(3 2)a a a

Ejemplo 2) Factorizar completamente 4 481x y .

Solución: 4 4 2 2 2 281 ( 9 )( 9 )x y x y x y

2 2( 9 )( 3 )( 3 )x y x y x y

Ejemplo 3) Factorizar completamente 46 6x .

Solución: 4 46 6 6( 1)x x

2 26( 1)( 1)x x

26( 1)( 1)( 1)x x x

Ejemplo 4) Factorizar completamente 2 24( 3)x y

Solución: 2 24( 3) [ 2( 3)][ 2( 3)]x y x y x y

( 2 6)( 2 6)x y x y

III. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c. Cuando desarrollamos el producto de binomios con término común obtenemos

como resultado un trinomio de la forma x2 + bx + c. Para factorizar el trinomio,

tenemos que encontrar el par de binomios que lo originaron, siguiendo el siguiente

procedimiento:

1. El primer término de ambos factores será la raíz cuadrada del primer

término.

2. Los otros dos términos deberán cumplir las siguientes condiciones:

Dos números que multiplicados den el valor del tercer termino del

trinomio (c).

Y sumados deben ser igual al coeficiente del segundo término del

trinomio (b).

63

Ejemplo: x2 + 5x + 6.

Dos números que multiplicados nos den x2, es decir, 2x ;. (x ) (x ).

Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (6) y sumados nos

den el coeficiente del segundo termino (5). (x + 3) (x + 2).

Entonces la factorización del trinomio x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2).

Ejemplo: a2 + 9a + 20.

Dos números que multiplicados nos den a2, es decir, 2a ;. (a ) (a ).

Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (20) y sumados

nos den el coeficiente del segundo termino (9). (a + 5) (a + 4).

Entonces la factorización del trinomio a2 + 9a + 20 = (a + 5) (a + 4).

IV. Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c. Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, aplicamos la siguiente regla: El trinomio se factoriza en dos factores binomios cuyos primeros términos son aquellos que multiplicados den como producto el primer termino del trinomio dado; los segundos términos de los binomios son aquellos que multiplicados den lugar al tercer termino del trinomio, pero que el producto de los términos extremos e interiores de los binomios factores, al sumarse algebraicamente den como resultado el termino central del trinomio.

Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios de la forma ax2 + bx + c. a) 3x2 + 14x + 8 = Se determinan los primeros términos de los factores

binomios, siendo aquellos que multiplicados resulte (3x2) el primer termino

del trinomio, dichos términos son (3x)(x); los segundos términos de los

binomios son aquellos que multiplicados den (8) el tercer termino del

trinomio, dichos términos pueden ser (1)(8) y (2)(4), siendo la ultima

proposición la que cumple la condición de que la suma algebraica del

producto de los términos extremos e interiores de los binomios factores

resulte (14x) el termino central del trinomio dado. Por lo que su factorización

es:

3x2 + 14x + 8 = (3x + 2) (x + 4)

64

b) 5x2 - 11x - 36 = Se determinan los primeros términos de los factores

binomios, siendo aquellos que multiplicados resulte (5x2) el primer termino

del trinomio, dichos términos son (5x)(x); los segundos términos de los

binomios son aquellos que multiplicados den (-36) el tercer termino del

trinomio, dichos términos pueden ser (-36)(1), (-18)(2), (-12)(3), (-9)(4), (-

6,6), (36)(-1), (18)(-2), (12)(-3), (6)(-6) y (9)(-4), siendo la ultima proposición

la que cumple la condición de que la suma algebraica del producto de los

términos extremos e interiores de los binomios factores resulte (-11x) el

termino central del trinomio dado. Por lo que su factorización es:

5x2 - 11x - 36 = (5x + 9) (x - 4)

V. El Tri perfecto (trinomio cuadrado perfecto) Para que un trinomio sea cuadrado perfecto, se deben cumplir tres

condiciones:

1. Debe tener tres términos.

2. Debe tener raíz cuadrada exacta el primer y tercer término.

3. La doble multiplicación de la raíz del primer por el tercer término es el segundo término del trinomio original.

Ejemplo: Factoriza: 25 70 49

Primer paso: Verifica que éste sea un trinomio cuadrado perfecto (checando las condiciones).

Sí es un trinomio: 25 70 49

Sí tienen raíz cuadrada exacta el primer y el tercer términos: 5 7

Sí es el mismo resultado del segundo término del trinomio original

70x y la doble multiplicación de la primera raíz y la tercera raíz

2(5x)(7) = 70x

Segundo paso: Coloca el resultado

25 70 49 5 7 Se toma el signo que contiene el segundo

término del trinomio original.

65

VI. Suma y diferencia de cubos La suma o diferencia de cubos es el resultado de la multiplicación de un binomio por un trinomio.

Suma y diferencia de cubos factores

Identificamos como suma de cubos a un binomio cuyos términos son cubos perfectos y tienen signos positivos; cuando poseen signos diferentes se trata de una diferencia de cubos. Los binomios y son suma y diferencia de cubos, respectivamente, debido a que ambos términos son cubos perfectos por tener raíz cúbica: √ y

Ejemplo 1 Factorizar

Solución: El binomio es una suma de cubos porque ambos términos tienen raíz cúbica y signo positivo. Las raíces son: √8 2 y 27 3

Estas raíces son los términos del binomio factor y, de acuerdo con el

modelo escrito arriba, el binomio es: 2 3 .

El trinomio se forma a partir del binomio factor de la siguiente manera: dos de sus términos son el resultado de elevar al cuadrado los términos del binomio

y

El término restante es resultado de la multiplicación de los términos del binomio considerando el signo contrario al que se obtenga

Con signo contrario resulta

El trinomio factor es:

Finalmente, la factorización es:

66

Ejemplo 2 Factorizar

Solución: El binomio es una diferencia de cubos porque ambos términos tienen raíz cúbica y signos diferentes. Las raíces son: √27 3 y √1 1

Estas raíces son los términos del binomio factor y, de acuerdo con el

modelo escrito arriba, el binomio es: 3 1 .

El trinomio se forma a partir del binomio factor de la siguiente manera: dos de sus términos son el resultado de elevar al cuadrado los términos del binomio

y

El término restante es resultado de la multiplicación de los términos del binomio considerando el signo contrario al que se obtenga

Con signo contrario resulta 3

El trinomio factor es:

Finalmente, la factorización es:

VII. Factorización por agrupación.

Con frecuencia, es posible agrupar los términos de un polinomio de tal manera que cada grupo tenga un factor común, entonces el método de factores comunes es aplicable. Se utiliza este método en los ejemplos siguientes.

Ejemplo 1 Factorice byaybxax

Solución: Obsérvese que los dos primeros términos tienen el factor común x , y el tercero

y el cuarto tienen el factor común y . Por tanto, los términos se agrupan como a

continuación se indica )()( byaybxax y se procede como sigue:

)()( byaybxaxbyaybxax con x como factor común del primer

)()( baybax grupo con y como factor común del

))(( yxba segundo grupo y con ba como factor

Común de )( bax y )( bay .

67

Ejemplo 2 Factorice yxyxx 5102 2

Solución: )5(2102 2 xxxx y )5(5 xyyxy así que

)5()5(25102 2 xyxxyxyxx

)2)(5( yxx

Ejemplo 3 Factorice bababa 222 22

Solución: Ya que ))2(2 22 babababa y )(222 baba

Se procede como está indicado a continuación:

)22()2(222 2222 babababababa

)(2))(2( bababa

)22)(( baba

Ejemplo 4 Factorice 222 24 babac

Solución: )2(424 222222 babacbabac

22 )()2( bac

)](2)][(2[ bacbac

)2)(2( bacbac

Ejemplo 5 Factoriza 25 3 10 6a ax a x .

Asociando 2 25 3 10 6 5 10 3 6a ax a x a a ax x .

Para facilitar las operaciones algebraicas, el primer término de un polinomio debe

ser positivo, si es posible. En este caso, el segundo binomio es positivo; entonces

aplicamos la propiedad conmutativa.

25 10 3 6a a ax x

23 6 5 10ax x a a

Factorizando: 3 2 5 2x a a a

Y de nuevo factorizando: 2 3 5a x a

68

Ejemplo 6 Factorizar 12 20 9 15ax bx ay by

12 20 9 15 (12 20 ) (9 15 )ax bx ay by ax bx ay by

12 20 9 15 4 (3 5 ) 3 (3 5 )ax bx ay by x a b y a b

(3 5 )(4 3 )a b x y

I. Factorizar por factor común

1) 4 4x 2) 12 6x 3) 18 27x 4) 3 29 6x x 5) 3 3bx b

6) yzxzxy 826 7) 22 1555 yxyx 8) aa 23 9) ababba 9123 22

10) 2 2xy x y 11) 2 24 8xy x y 12) 2 2 24 12x y x y 13) 2 26 4 10x y xy xy

14) 3 2 32x x y xy 15) 3 2 2 3 2 24 2 6x y x y x y 16) ( ) ( )x a b y a b

17) 3( 3) ( 3)a x a 18) )12()12(4 xxx 19) )()(3 baxba

Ejercicios

Nombre Volviéndonos hábiles en la Factorización No. 5Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









69

II. Factorice completamente por diferencia de cuadrados:

1) 2 16x 2) 2 36x 3) 29 25x 4) 281 x 5) 236 1x

6) 24 81x 7) 22 169 yx 8) 2 49 4x y 9) 4 2 24 9a b c 10) 6 4a b

11) 24 649 yx 12) 46 4981 dc 13) 612 4121 th 14) 64100 64100 yx

15) 2 2 49x y y 16) 8 12 1036 9a b c 17) 4 416 81x y 18) 2 2( 1)x y

19) 4)3( 2 ba 20) 22 )( zyx

III. Completa la siguiente tabla:

Diferencia de cuadrados Binomios conjugados

1.

2. 9 81 3 9 3. 121 144 4. 25 16 5 4

5. 625 529 6. 7. √ √ 8. 3 2 √3 √2

IV. Factorizar los trinomios de la forma siguientes:

1) 2 3 2x x 2) 2 7 12x x 3) 2 8 15x x 4) 2 9 20x x

5) 1892 xx 6) 1072 xx 7) 32122 xx 8) 30132 xx

9) 2 4 21x x 10) 2 12 45x x 11) 2 3 18x x 12) 2 8 12x x

13) 22 3212 yxyx 14) 22 96 yxyx 15) 22 2712 yxyx

16) 2 29 14x xy y 17) 2 211 28x xy y 18) 4 23 10x x 19) 4 27 8x x

20) 8118 24 xx 21) 2)(3)( 2 yxyx 22) 18)3(9)3( 2 yxyx

70

V. Si el área de cada rectángulo está representada por el trinomio correspondiente, determina los lados de cada uno de los rectángulos siguientes. Encuentra también el perímetro de cada rectángulo:

1. 2.

VI. Factorizar los trinomios de la forma siguientes

a) 22 3 1x x b) 23 7 2x x c) 22 7 6x x d) 22 11 5x x

e) 23 4 1x x f)

24 9 2x x g) 22 5 2x x h) 23 11 6x x

i) 24 8 6x x j) 22 15 8x x k) 23 7 6x x l) 24 5 6x x

m) 22 7 4x x n) 24 15 4x x ñ) 24 19 12x x o) 26 5 4x x

p) 26 23 18x x q) 26 7 2x x r) 26 11 4x x s) 26 31 18x x

t) 2 23 16 12x xy y u) 2 23 7 6x xy y v) 2 24 8 5x xy y w) 2 26 5 6x xy y

x) 4 25 8 4x x y) 4 22 5 12x x z) 4 28 29 12x x

VII. Si el área de cada rectángulo está representada por el trinomio correspondiente, determina los lados de cada uno de los rectángulos siguientes. Halla también el perímetro de cada rectángulo:

1. 2.

3 2

7 10

3 8 3

12 17 6

71

VIII. Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

1. 14 49 8. 64 112 49

2. 16 64 9. 16 64 3. 2 1 10. 26 169 4. 4 4 11. 16 8 1 5. 6 9 12. 9 12 4 6. 8 16 13. 18 81 (primero factorice por factor común)

7. 14 49 14. 24 144

IX. Si el área de cada cuadrado está representada por el trinomio cuadrado perfecto correspondiente, determina el lado y el perímetro de los cuadrados siguientes.

1. 2. 3.

X. Completa los espacios en blanco que llevan a la factorización de las expresiones indicadas:

1. 64

Ya que √ ________________ y √64 _____________

La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como:

64 (______________) (____________________________)

2. 8 216

Ya que √8 ________________ y 216 _____________


2 1

6 9

10 25

72

8 216 (______________) (____________________________)

3. 27 125

Ya que 27 ________________ y √125 _____________


27 125 (______________) (____________________________)

4. 343 8

Ya que √343 ________________ y √8 _____________


343 8 (______________) (____________________________)

5. 2 27

Ya que 2 ________________ y 27 _____________


2 27 (______________) (____________________________)

XI. Factorizar por agrupación los siguientes polinomios:

1) ayaxyx 33 2) cycxayax 22 3) bybxayax 4) yxyx 2222

5) byaybxax 6) bybxayax 22 7) bybxayax 362

8) zyxazayax 9) bbybxaayax 666333

10) azzyxayax 63242 11) yxyxx 5252 2 12) yxyxx 4123 2

13) 222 aabba 14) 332 xxx 15) 242 2 xxx

16) 123 xxx 17) 632 23 xxx 18) xxxx 22 234

73

1. Simplificación de fracciones algebraicas 2. Suma y resta de fracciones algebraicas 3. Multiplicación y división de fracciones algebraicas

1. A simplificar fracciones algebraicas 2. A sumar y restar fracciones algebraicas 3. Operaciones con multiplicación y división de fracciones.

Competencia

2 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Simplificación de fracciones algebraicas Suma y resta de fracciones algebraicas Multiplicación y división de fracciones algebraicas Fracciones complejas algebraicas

Saberes

Ejercicios

74

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Se dice que una fracción está en términos mínimos o en su forma más simple si el numerador y el denominador no tienen factor común. Así podemos determinar si una fracción está en sus términos mínimos expresando el numerador y el denominador como productos de sus factores primos. Cualquier factor que aparezca tanto en el numerador como en el denominador, puede entonces ser

removido por división. Esto es,

Nota: Los números a y c en la expresión bc

ac son factores del numerador, no

términos como en a + c. También los números b y c son factores del denominador, no términos.

La fracción cb

ca

no se puede reducir a ninguna forma más simple; no es

igual a b

a ni a 1

1

b

a. Análogamente,

6

5

6

5 b

a

ba

Pero

a

b

a

b

a

a

a

ba

66

5

66

5

6

5

Saberes

Nombre Simplificación de fracciones algebraicas No. 1Instrucciones para

el alumno Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor

Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una fracción algebraica


Mediante exposición y

tareas

75

Para encontrar el máximo factor común, M.F.C., de un conjunto de polinomios, se factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores comunes, cada uno con el mínimo exponente con que aparece en los polinomios dados.

Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador y denominador son monomios, se dividen tanto el denominador entre su máximo factor común.

Ejemplo 1:

Reducir 3

23

54

36

abc

cba a sus términos mínimos.

Solución. El máximo factor común de los monomios cba 2336 y 354abc es abc18 .

Dividiendo numerador y denominador entre 18abc, se obtiene.2

2

3

23

3

2

54

36

c

ba

abc

cba .

Ejemplo 2: Reducir a su mínima expresión. 42

63

220

236

xxy

xyx.

Solución. El máximo factor común es 24 2 xxy .

Al dividir el numerador y denominador entre 24 2 xxy , obtenemos

3

42

42

63

25

9

220

236

x

yx

xxy

xyx

Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador o denominador o ambos son polinomios, se factorizan completamente, se determina su máximo factor común y luego se dividen por este.

Ejemplo 3: Reducir 22

232

12

1830

yx

xyyx a sus términos mínimos.

76

Solución. 22

232

12

1830

yx

xyyx 22

2

12

356

yx

xyxy

Dividiendo el numerador y denominador por 26xy , se obtiene

22

232

12

1830

yx

xyyx 22

2

12

356

yx

xyxy

x

xy

2

35 .

Ejemplo 4: Reducir yxyx

yx423

3

4836

24

a su mínima expresión.

Solución. yxyx

yx423

3

4836

24

xyyx

yx

4312

243

3

Se dividen numerador y denominador entre 12x3 y para obtener

yxyx

yx423

3

4836

24

xyyx

yx

4312

243

3

xy 43

2

.


322

2

x

xx a su mínima expresión.

Solución. Al factorizar el numerador y denominador, obtenemos

1

322

2

x

xx 11

132

xx

xx

Dividiendo el numerador y el denominador, entre su máximo factor común, 1x ,

1

resulta 1

322

2

x

xx

11

132

xx

xx

2 3

1

x

x

1

77

Nota La fracción 1

32

x

x esta reducida; el numerador y el denominador no

poseen ningún factor común.

Notas:

1. ababba

2. 222 ababba 3. 333 ababba

Ejemplo 6:

1

ab

ab

ab

ba

Hay que observar también que b

a

b

a

b

a

.


2

472

3148

xx

xx

.

Solución. 2

2

472

3148

xx

xx

2

32

412

3241

412

3214

x

x

xx

xx

xx

xx

xx 4114

78

I. Reducir las siguientes fracciones a sus términos mínimos:

1. 3

6

x

x 2.

7

2

x

x 3.

2

5

12

8

x

x 4.

6

3

24

9

x

x

5. 252

34

63

54

cba

cba 6.

386

548

80

64

zyx

zyx 7.

ba

abc2

3

15

20

8.

44 5

73

a b

ab

9. 222

33

6

2

ba

ba 10.

23

32

6

3

ab

ba 11.

2

33

6

3

bax

bax

12. 3

22

216

212

xx

xx

13. 42

223

21

14

yxxy

yxyx

14. 32

2

3216

168

xx

xx

15. baa

abba23

22

44

22

16. 2

22

)3(

9

ba

ba

17. 34

12

2

xx

x 18.

96

24112

2

xx

xx 19.

43

24102

2

xx

xx 20.

94

121122

2

x

xx

21. 143

122

2

xx

xx 22.

3114

2742

2

xx

xx

Ejercicios

Nombre A simplificar fracciones algebraicas No. 1Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









79

Respuestas a los ejercicios anteriores

1. 3x ; 3.

3

2 3x; 5.

cb

a2

2

7

6; 7.

a

c

3

4 3

; 9. b

a

9

2 5

11.

2

)(2 bax ; 13.

2

2

)(3

2

yx

x

; 15.

a

b

2;

17. 3

1

x

x; 19.

1

6

x

x; 21.

13

12

x

x

II. Señalar la respuesta correcta de las siguientes preguntas:

1. Al simplificar la fracción la respuesta correcta es:

a) b) c) d)

2. Al simplificar la fracción el resultado es:

a) b) c) d)

3. La simplificación de la fracción algebraica

es:

a) b) c) d)

80

ADICCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.

La adicción de fracciones algebraicas es semejante a la de fracciones aritméticas. Empezaremos tratando la suma de fracciones algebraicas con denominadores iguales, y luego, extenderemos el análisis a la suma de fracciones algebraicas con denominadores distintos.

FRACCIONES CON DENOMINADORES IGUALES.

Se define la suma de fracciones con denominadores iguales mediante la

relación.

c

ba

c

b

c

a

Esto muestra que la suma de dos fracciones con el mismo denominador es

una fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores, y cuyo denominador

es el denominador común.

Ejemplo 1: Efectuar xx

23

Saberes

Nombre Suma y resta de fracciones algebraicas No. 2



Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar una suma y resta de fracciones algebraicas y simplificarlas


Mediante


81

Solución. xx

23

xx

523

Observación. Para evitar errores al sumar los numeradores, es necesario encerrarlos entre paréntesis, aplicar la ley distributiva y luego efectuar operaciones.

Después de combinar las dos fracciones en una sola, se reducen términos semejantes y la nueva fracción a su mínima expresión.

Ejemplo 2: Efectuar

Solución.

xx

x

x

xx

x

xx 1

2

2

2

33

2

33222

Ejemplo Efectuar 2

2

2

4

x

x

x

Solución. 2

2

2

4

x

x

x

2

2

22

2

24

x

x

x

x.

Ejemplo 3: Efectuar 2

2

2

22

2

2

2

xx

xx

xx

x

Solución.

2

2

2

22

2

2

2

xx

xx

xx

x 2

22

2

22

2

2222

22

2

22

xx

x

xx

xxx

xx

xxx

2

2

12

12

xxx

x.

Ejemplo 4: Efectuar 3114

35

3114

92

2

2

2

xx

xx

xx

xx

82

Solución. 3114

35

3114

92

2

2

2

xx

xx

xx

xx 3114

359

3114

3592

22

2

22

xx

xxxx

xx

xxxx

14

4

314

34

314

34

3114

4122

2

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx.

Observación. La regla para sumar fracciones se puede extender a cualquier número de ellas.

c

a

c

a

c

a 321 c

a

c

a

c

aa

c

an

321 c

aaaa n 321

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS.

Para obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números, se descomponen éstos en sus factores primos y se escriben con sus exponentes respectivos. Luego se toman todas las bases, cada una a su potencia mayor.

Definición. Un polinomio p es el mínimo común múltiplo (m.c.m.), de un conjunto de polinomios, si:

1. Cada polinomio del conjunto divide a p y

2. Cualquier polinomio divisible por todos los polinomios del conjunto, es también

divisible por p.

Para encontrar el m.c.m. de un conjunto de polinomios, se factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores distintos, cada uno a la máxima potencia que aparezca en los polinomios dados.

Ejemplo 1 Determinar el m.c.m. de x2y, xy3 y y2z.

Solución. Los factores literales son x, y y z. La potencia máxima de x es 2, la

de y es 3, y la de z es 1. Por consiguiente, m.c.m. = x2y3z.

Ejemplo 2 Hallar el m.c.m. de 60x3, 72y2 y 80xy.

Solución. 53260 2

83

23 3272

5280 4

Por lo tanto, el m.c.m. de los coeficientes = .720532 24

El m.c.m. de los monomios 23720 yx .

Ejemplo 3 Determinar el m.c.m. de x(-2), (x-3)(x-2) y (x-2)2.

Solución. Los factores distintos son x, (x-2) y (x-3).

La mayor potencia de x es 1, la de (x-2) es 2, y la de (x-3) es 1.

Por consiguiente, m.c.m. = x(x-2)2 (x-3).

Obsérvese que el m.c.m. de (x-3) y (x-5) es (x-3)(x-5).

Ejemplo 4 Encontrar el m.c.m. de x2-x y x2-1.

Solución. Primeramente se factoriza cada polinomio completamente.

12 xxxx

1112 xxx

Por lo tanto, m.c.m. = 11 xxx .

Ejemplo 5 Hallar el m.c.m. de 2x2 + 3x-2 y 2x2-7x+3.

84

Solución.

212232 2 xxxx

312372 2 xxxx

Entonces, m.c.m. = 3212 xxx .

Ejemplo 6 Obtener el m.c.m. 132 2 xx , 21 x y 12 2 xx .

Solución.

112132 2 xxxx

11212

1112

2

xxxx

xxx

Puesto que 11 xx , podemos escribir x1 como 1 x o bien, 1x

como x 1 .

Reacuérdese que .11 xx

Por lo tanto, 112132 2 xxxx

111 2 xxx

A si que, m.c.m. 1112 xxx .

11212 2 xxxx

85

FRACCIONES CON DENOMINADORES DISTINTOS.

Las fracciones se pueden sumar solamente cuando sus denominadores son iguales. Si los denominadores no lo son, se obtienen su mínimo común múltiplo, llamado mínimo común denominador, m.c.d. (no confundir con M.C.D. que significa máximo común divisor). Se cambia cada fracción a una equivalente que

tenga el m.c.d. Como denominador mediante la regla, bc

ac

b

a y luego se

efectúan operaciones. La suma de fracciones algebraicas con denominadores distintos es, por lo tanto, una fracción cuyo numerador es la suma de los denominadores de las fracciones equivalentes, y cuyo denominador es el mínimo común denominador (m.c.d.). La fracción final debe conducirse a sus términos mínimos.

Ejemplo 1 Efectuar xxx 3

26

2

72

Solución. El m.c.d. =6x2.

Escribimos fracciones equivalentes con denominador 6x2 y luego se realizan

operaciones.

xxx 3

26

2

72

xx

x

xxx

x

23

22

6

66

32

372

222 6

22

6

66

6

37

x

x

xx

x

222 6

3617

6

43621

6

226637

x

x

x

xx

x

x

.

Ejemplo 2 Efectuar la operación y simplificar 2

2

3

xx

x

Solución. El m.c.d. = 23 xx .

Al escribir fracciones equivalentes con denominador 23 xx y efectuar luego

la suma, obtenemos.

2

2

3

xx

x

32

32

23

2

xx

x

xx

xx

23

622

23

322 2

xx

xxx

xx

xxx

23

6

xx

x.

86

En vez de escribir fracciones equivalentes con denominador igual al m.c.d. y luego combinar los numeradores de las fracciones, escribimos una sola fracción con el m.c.d. como denominador. Se divide el m.c.d. por el denominador de la primera fracción y luego se multiplica el cociente resultante por el numerador de esa fracción para obtener la primera expresión del numerador. Se repite el procedimiento con cada fracción y se relaciona con los resultados mediante los signos de las fracciones correspondientes.

Ejemplo 3

234

13642092

23

136

34

209

xxx

xxxx

xx

x

xx

x

El numerador no se encuentra factorizado; así no es posible efectuar reducción.

Hay que asegurarse de poner el producto entre paréntesis procedió por el signo

adecuado.

234

521164029 22

xxx

xxxx

234

521164029 22

xxx

xxxx

234

343

234

12133 2

xxx

xx

xxx

xx

24

43

xx

x.

87

Ejemplo 4 Efectuar la operación y simplificar.

222 34

5

492

23

12

2

xxxx

x

xx

x

Solución.

222 34

5

492

23

12

2

xxxx

x

xx

x

xxxx

x

xx

x

14

5

412

23

112

2

Tomamos el m.c.d. 4112 xxx

xxxx

x

xx

x

14

5

412

23

112

2

xxxx

x

xx

x

14

5

412

23

112

2

4112

12523124

xxx

xxxxx

4112

51025386 22

xxx

xxxxx

4112

51025386 22

xxx

xxxxx

4112

121

4112

21 2

xxx

xx

xxx

xx

4

1

4112

121

xxxx

xx.

88

I. Subraya la respuesta correcta de cada una de las siguientes preguntas:

1. Al sumar las fracciones algebraicas el resultado es:

a) b) c) d)

2. Al restar las fracciones el resultado es:

a) b) c) d) 0

3. Al sumar y simplificar las fracciones el resultado es:

a) b) c) 250 d)

Ejercicios

Nombre A sumar y restar fracciones algebraicas No. 2 Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar






Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Manera didácticas de lograrlas


89

4. Al efectuar la simplificación de las fracciones

resulta:

a) b) c) d)

5. Al sumar y simplificar las fracciones resulta:

a) b) c) d)

II. Realizar las siguientes sumas con fracciones con igual denominador:

1. xxx

526 2.

xxx 2

1

2

3

2

7 3.

222

51520

xxx

4. 53

5

53

2

xx

x 5.

22

1

x

x

x

x 6.

32

2

32

23

x

x

x

x

7. 27

27

27

14

x

x

x

x 8.

1

2

1

2

xx

x 9.

2525

34 22

x

xx

x

xx

10. 24

1

24

13

x

x

x

x 11.

52

6

52

43

x

x

x

x 12.

xx

x

xx

x

84

4

84

422

13. 43

3

43

1222

xxxx

x 14.

352352

222

2

xx

x

xx

x

15. 6112

3

6112

322

2

2

2

xx

xx

xx

xx 16.

2323

32

2

2

2

xx

xx

xx

xx

90

Respuesta a los ejercicios impares anteriores

1. x

3; 3. 0 ; 5.

2

1

x; 7. 1; 9. x ; 11. 2 ; 13.

4

2

x; 15.

12 x

x ;

III. Reducir a una sola fracción y simplificar:

1. xxx 5

6

2

73 2.

y

x

y

x

y

x

5

2

2

3 3.

xxx 5

64

3

22 4.

22 2

1

3

133

xxx

5. x

x

x

x

2

2

5

13

6.

x

x

x

x

10

5

4

2

7.

x

x

x

x

7

3

14

67

8.

25

15

3

3

x

x

x

x

9. 2

54

xx 10.

4

5

3

3

xx 11.

32

3

2

xx

x 12.

2

1

32

xx

x

13. 1

1

32

2

xx 14.

1

1

12

2

xx

x 15.

39

62

x

x

x

x 16.

22

32

x

x

xx

x

17. 12

2

472

832

xxx

x 18.

9

18

12

722

xxx

x 19.

45

2

43

2322

xx

x

xx

x

20. 2

4

2

3

4

442

xxx

x 21.

4

1

152

11

127

7222

xxx

x

xx

x


1. x10

7; 3.

215

6028

x

x ; 5.

x

x

10

811 ; 7.

14

5; 9.

2

)1)(3(

x

xx; 11.

)32)(2(

62 2

xx

x;

13. )1)(32(

5

xx; 15.

3x

x; 17.

)4)(12( xx

x

91

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES.

El producto de las fracciones b

a y d

c se define como bd

ac ; o sea bd

ac

d

c

b

a .

Así que el producto de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el

producto de los numeradores, y cuyo denominador es de los denominadores. En

general,

n

n

n

n

b

a

b

a

b

a

bb

aa

b

a

b

a

b

a

b

a

4

4

3

3

21

21

3

3

2

2

1

1

n

n

b

a

b

a

bbb

aaa

4

4

321

321

n

n

bbbb

aaaa

321

321

Nota: Redúzcase siempre la fracción resultante a sus mínimos términos.

Saberes

Nombre Multiplicación y división de fracciones algebraicas No. 3Instrucciones para


Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar una multiplicación o división con fracciones algebraicas


Mediante


92

Ejemplo 1 Encontrar el producto yx

ba2

23

8

27 y

22

2

81

16

ba

yx.

Solución. b

ax

byax

yxba

ba

yx

yx

ba

3

2

818

1627

81

16

8

27322

323

32

3

2

23

Nota: Es más fácil reducir 818

1627

que 648

432, que es el resultado de los productos

de los coeficientes.

Es decir, no se puede multiplicar los números hasta que la fracción haya sido

simplificada.

Ejemplo 2 Simplificar

333

223

2323

3422

9

4

2

3

yx

yx

yx

yx

.

Solución.

333

223

2323

3422

9

4

2

3

yx

yx

yx

yx

3332

2232

2323

3422

3

2

2

3

yx

yx

yx

yx

.

996

464

646

1266

3

2

2

3

yx

yx

yx

yx

·

·

Para multiplicar fracciones cuyos numeradores o denominadores son polinomios, primeramente se factorizan estos completamente. Se consideran las fracciones como una sola, y se dividen los numeradores y denominadores por su máximo factor común para obtener una fracción equivalente ya reducida.

93

Ejemplo 3 Simplificar 3103

16

5112

32

2

2

2

xx

xx

xx

xx.

1 1 1

Solución. 3103

16

5112

32

2

2

2

xx

xx

xx

xx

5133

1213

512

3

x

x

xx

xx

xx

xx.

1 1 1

DIVISIÓN DE FRACCIONES

De la definición de división de fracciones, tenemos que:

a c a d

b d b c .

El resultado anterior muestra como transformar la división de fracciones en una multiplicación de fracciones.

Las fracciones d

c y c

d se llaman inversas multiplicativas o reciprocas.

Nota: La reciproca de la expresión a + b es ba

1 , no ba

11 .

La reciproca de ba

11 es

ba

111

o en forma simplificada,

ab

ab

.

ab

ab

baba

111

111

ab

ab

b

ab

a

abab

ba

ab

ab

11

1

Ejemplo 1 Simplificar b

a

b

a

20

9

5

3 2

2

3

.

Solución. b

a

b

a

20

9

5

3 2

2

3

3

2 2

3 20 4

5 9 3

a b a

b a b

94

Nota: Obsérvese la diferencia entre

bcf

ade

f

e

c

d

b

a

f

e

d

c

b

a y

bce

adf

ce

df

b

a

df

ce

b

a

f

e

d

c

b

a

.

Ejemplo 2 Simplificar 35376

72012

15174

3282

2

2

2

xx

xx

xx

xx.

Solución. 35376

72012

15174

3282

2

2

2

xx

xx

xx

xx

765

7612

534

3412

xx

xx

xx

xx

Poniéndolo como un producto:

1 1 1 1

2 1 4 3 ( 5) 6 71

4 3 5 (2 1) 6 7

x x x x

x x x x

1 1 1 1

Ejemplo 3

2 2 2

2 2 2

24 49 40 36 63 88 72 18 77

54 51 14 27 30 8 8 37 20

x x x x x x

x x x x x x

Solución:

2 2 2

2 2 2

24 49 40 36 63 88 72 18 77

54 51 14 27 30 8 8 37 20

x x x x x x

x x x x x x

Es mejor ponerla toda como un producto

(8 5)(3 8) (3 4)(9 2) (6 7)(12 11)

(6 7)(9 2) (12 11)(3 8) (8 5)( 4)

x x x x x x

x x x x x x

3 4

4

x

x

95

OPERACIONES COMBINADAS Y FRACCIONES COMPLEJAS.

En las secciones anteriores tratamos la adición y sustracción de fracciones, así como su multiplicación y división. En todos los casos la respuesta final fue una fracción en forma reducida. En esta sección se usaran las cuatro operaciones en un solo problema y también se requerirá que la respuesta final sea una fracción reducida.

Cuando no hay símbolos de agrupación en el problema, primero se efectuaran las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. Solamente después de que todas las multiplicaciones y divisiones se han realizado, se efectúan las adiciones y sustracciones.

Ejemplo 1 Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:

132

352

34

62

12

52

2

2

xx

xx

xx

x

x

Solución.

132

352

34

62

12

52

2

2

xx

xx

xx

x

x

112

312

13

32

12

5

xx

xx

xx

x

x

1 1 1

·

1 1 1

312

12235

3

2

12

5

xx

xx

xx 312

17

312

24155

xx

x

xx

xx.

Cuando hay símbolos de agrupación, como en el problema

2

123

2

4

xx

xx

96

se tiene la opción de efectuar primero la multiplicación o bien las operaciones de

los términos, dentro de los paréntesis. Este último es mas sencillo como se ilustra

en los ejemplos siguientes:

Ejemplo 2 Realizar las operaciones indicadas y simplificar:

2

123

2

4

xx

xx

Solución.

2

123

2

4

xx

xx

2

1263

2

42

2

1223

)2(

42 2

x

x

x

xxx

x

x

x

xxx

x

x

x

x

xx

x

x

x

xx3

2

23

2

2

2

63

2

22

.

Ejemplo 3 Realizar las operaciones indicadas y simplificar:

92

9

32

9

xx

xx

Solución.

92

9

32

9

xx

xx

92

992

32

932

x

xx

x

xx

332

923

332

92

32

332

92

992

32

932 22

xx

xx

xx

x

x

xx

x

xx

x

xx

Nota: Puesto que dcba se puede escribir como dc

ba

, podemos expresar

22

443

6113

xxxx en la forma

2

2

443

6113

xx

xx

la cual se llama fracción compleja.

97

Dada una fracción compleja, es posible simplificar el problema como está, en forma de

fracción, o escribirlo en forma de división, y simplificar. A veces puede simplificarse fácilmente

una fracción compleja multiplicando numerador y denominador por el mínimo común múltiplo

de todos los denominadores que intervienen.


18

11

12

78

3

9

4

.

Solución.

2

5

2

5

4442

2732

18

11

12

7

1

728

3

9

4

1

72

18

11

12

78

3

9

4


53

1223

13

135

xx

xx

Solución.

53

1223

13

135

xx

xx

12235313

1351353

53

1223

1

531313

135

1

5313

xxx

xxx

xx

xxx

xxx

1313

453

132313

42353

29913

814353

12109913

135143532

2

2

2

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

98

I. Efectué las siguientes multiplicaciones y simplifique:

1. 27

20

32

39

65

36 2.

128

15

125

58

87

64 3.

x

y

y

x 2

3

2 2

4

9

4. 63

82

42

32 7

21

4

ba

yx

yx

ba 5.

27

8

68

35

3

3

28

16

60

26

39

35

ba

xy

yx

ba

ba

yx 6.

2

3

3

2

2

x

y

y

x

7.

33

332

32

22

2

3

9

4

yx

yx

xy

yx 8.

432

22

24

323

3

5

10

6

yx

xy

xy

yx 9.

204

3

26

3062

2

2

3

x

xx

xx

xx

10. 32

122

42

34

2

xx

yx

yx

xx 11.

158

209

127

962

2

2

2

xx

xx

xx

xx

12. 152

1610

149

21102

2

2

2

xx

xx

xx

xx 13.

xx

xx

xx

xx

1128

1342

1340

9202

2

2

2

Ejercicios

Nombre Operaciones con multiplicación y división con fracciones No. 3Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









99

14. 22

22

22

22

20193

673

3207

5367

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx


1. 2

1; 3.

y

x

2

9; 5.

45

3

9

2

xa

y; 7.

27

4 3xy

9.

4

3x; 11. 1 ; 13.

8

6

x

x;

II. Efectuar las siguientes divisiones con fracciones:

1. 15 45

26 39 2.

56 63 27

38 57 16 3.

2 3

2

10 4

9 27

x x

y y 4.

2 3 3

2 4

17 51

26 13

a b a b

x x

5.

2 3 4

2 6 3

6 15

8 12

a b a b

x y xy 6.

2 4 4 9

4 2 3 6

4 8

9 27

a b a b

x y x y 7.

3 4 3 2

2 2 2 2

x y a b b

a b x y y

8. 2 2 6

3 3

14 4

25 10

a b b

b a a 9.

3 2

2 2 2

4

3 3

x x

x xy x y

10.

3 3 2

2 2 2 1

x x x x

x x x x

11.

2 2

2 2

9 6 27

2 3 10 9

x x x

x x x x

12.

2 2

2 2

2 8 4 4

3 4 6 8

x x x x

x x x x

13.

2 2

2 2

4 12 10 6

7 6 7 8

x x x x

x x x x

14.

2 2

2 2

3 2 6 16

5 4 20

x x x x

x x x x

15.

2 2 2

2 2 2

12 35 18 6 23 18 4 19 12

2 17 36 6 19 36 12 11 36

x x x x x x

x x x x x x

Respuesta e los ejercicios impares anteriores

1. 1

2; 3.

15

2

y

x; 5.

2

2 3

3

5

b

a xy; 7.

2a xy ; 9. 4( )

3

x y; 11.

2

2

9

( 3)

x

x

; 13. 1;

15. (3 2)(4 3)

(2 9)(3 2)

x x

x x

100

III. Efectuar las siguientes fracciones complejas:

1. 1

2

82

33

3

22

2

2

x

xx

xx

x

x 2.

86

168

124

123

32 22

xx

xx

xx

x

x

x

3. 1

11

2

x

x

x 4.

19

26

2

x

x

x 5.

13

11

13

xx

6.

2

21

4

xxx 7.

23

2

3

43

x

xx

xx 8.

12

1

12

1

xx

xx

9.

2

952

1

31

xx

xx 10.

4

1

4

14

4 xxx

x

11.

12

97

12

32

xx 12.

32

33103

32

1143

xx

xx

13.

3

21

2

1

4

3

14.

18

1

36

14

3

8

7

15.

2

2

3114

1112

xx

xx

Respuesta a los ejercicios impares anteriores:

1. 5 1

( 3)( 4)

x

x x

; 3. 1

1x ; 5. 3 ; 7. (3 2)x x ; 9. ( 2)(2 1)x x

11. 4 1

14 2

x

x

; 13. 3

4; 15.

4

4 1

x

x

101

1. Exponentes enteros, negativos y cero 2. Exponentes fraccionarios 3. Operaciones con radicales

1. A practicar los exponentes positivos, cero y negativos 2. A practicar los exponentes fraccionarios 3. A practicar los radicales

Competencia

3 EXPONENTES Y RADICALES

Exponentes positivos, cero y negativos Exponentes fraccionarios Simplificación de radicales Adición y sustracción de radicales Multiplicación y división de radicales

Saberes

Ejercicios

102

EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS, CERO Y NEGATIVOS LEYES DE LOS EXPONENTES

Sea an = a . a . a … a ( n factores)

La cantidad an es llamada la n-ésima potencia de la base a, y n es llamado el exponente.

En este capitulo extenderemos la definición de exponentes para incluir a todos los números racionales. Antes de pasar a nuevos exponentes, sin embargo recordaremos cinco leyes de los exponentes que son validas para los exponentes enteros positivos. La base a y b en el enunciado de las leyes pueden ser cualquier números reales para los cuales no se anule ninguno de los denominadores en consideración.

LEY I

LEY II si Ley III

si Ley IV

Saberes

Nombre Exponentes enteros, negativos y cero No. 1Instrucciones para


Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una expresión que contenga exponentes enteros, negativos y cero


Mediante


103

si Ley V 0

Ahora determinaremos qué significado hay que darle al símbolo a0. Si la Ley II ha de ser válida cuando m = n, tenemos

Esta división nos dará, de acuerdo con la Ley II, un exponente nulo. Pero cualquier número distinto de cero dividido por sí mismo tiene como cociente a 1. Esto nos conduce a definir el exponente cero de la siguiente manera:

Ley VI

Dividiendo ambos miembros de esta ecuación por an, tenemos

Ley VII

Miscelánea de problemas resueltos

Ejemplo 1: 3 · 3 3 3 243 Ejempo 2: 3 3 3 729

Ejemplo 3: 4 · 5 20 1 Ejemplo 4: 3 3

Ejemplo 5: 3 3 3 3 1

Ejemplo 6:

Ejemplo 7: 4 2 16 8 128

Ejemplo 8:

0aaa

a nnn

n

0a

104

Ejemplo 9:

Ejemplo 10:

Ejemplo 11:

105

I. Encuentre el valor de cada una de las expresiones, usando las leyes de

los exponentes.

1. 22 . 23 2. (23)2 3. 4‐1

4. (‐ 4)0 5. (2a)0 6. 3‐3

7. 52 . 5‐3 8. (52)‐2 9. (2 . 3)‐2

10. (4‐2)‐2 11. (‐3)‐2 12. (3 . 8)0

13.

1

7

1

14.

1

3

2

15. (2 . 70)‐4

Ejercicios

Nombre A practicar los exponentes positivos, cero y negativos No. 1Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









106

II. Simplifique cada expresión realizando las operaciones indicadas y dejando el resultado sin exponentes negativos o nulos.

16. (2xy)‐2(3xy3) 17. (x2y‐2)‐1(x3y0)2 18. (a b‐3)(a‐1b‐1)‐1

19. 22

12

ba

ba 20.

ba

ba41

221

2

3

21.201

322

10

5

ba

ba

22.

2

2

23

73

7

x

z

yz

x 23.

363

354

4

8

yx

yx 24.

32

23

5

10

yx

xy

25.

2

10

23

2

r

qp 26.

3

1

42

pq

qp 27.

1

2

03

r

qp

28. 1

11

2

32

29.

11

11

12

12

30. 1

11

3

53

31.

2 2

1 1

x y

x y

32.

2

2 2

y

x y

33.

2 2

2( )

x y

xy

Solución a los ejercicios impares anteriores:

1. 32 ; 3. 1

4; 5. 1 ; 7. 1

5; 9.

1

36; 11.

1

9; 13. 7 ; 15.

1

16; 17.

4 2x y

19. b ; 21. 2 52

5

a b ; 23.

3

3

8x

y; 25.

6 4

2

p q

r; 27.

2

3

r

p; 29. 3 ; 31.

2 2

1

xy x y

33. 2 2x y

107

EXPONENTES FRACCIONARIOS

En esta sección vamos a extender la idea de exponentes para incluir todos los números racionales. Sin embargo, antes de introducir los exponentes fraccionarios, necesitamos considerar la siguiente definición.

Definición. Si a y b son dos números tales que la n-ésima potencia de a

(siendo n un entero positivo) es igual a b, entonces a es llamada la n-

ésima raíz de b.

De acuerdo con esta definición, las ecuaciones

22 = 4, (-2)2 = 4, 33 = 27, (-3)3 = -27

muestran que +2 y - 2 son raíces cuadradas de 4, que 3 es una raíz cúbica de 27. Puesto que cuatro tiene dos raíces cuadradas, podría uno preguntarse cuántas raíces n-ésimas tiene un número. Aunque la demostración aparece posteriormente, enunciamos ahora que todo número no nulo tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, a y así sucesivamente. Pero algunas de estas raíces se refieren a un nuevo sistema numérico. Este nuevo sistema numérico, que introduciremos después, no es naturalmente el sistema de los números reales. Vemos de inmediato que un numero negativo no tiene raíz real de orden par (cuadrada, cuarta, sexta y así sucesivamente). Esto es cierto porque cualquier potencia par de un nuecero positivo o negativo es número positivo. ahora deseamos concentrar nuestra atención solamente en los

Saberes

Nombre Exponentes fraccionarios No. 2Instrucciones para


Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una expresión que contenga exponentes fracciopnarios


Mediante


108

números reales. Diferiremos para después, por tanto, la consideración de números y raíces de números que son reales.

En lo que se refiere a las raíces de los números, escribimos los siguientes enunciados, pero sin demostración:

1. Un numero positivo tiene exactamente dos raíces pares reales, siendo una

de ellas positiva y la otra negativa.

2. Un número positivo o negativo tiene exactamente una raíz de orden impar,

siendo el signo de la raíz igual al signo del número.

3. Un número negativo no tiene raíces reales de orden par.

Si n es un número entero positivo, par, la raíz positiva n-ésima principal de a. Cuando n es impar, la raíz n-ésima real de un numero positivo o negativo a es llamada la raíz n-ésima principal. La raíz n-ésima principal de un numero se denota por .n a El símbolo n a es llamado un radical, a es llamado el radicando y n es llamado el índice, u orden del radical. Estamos excluyendo de nuestra consideración el caso en que el radicando es negativo y el índice es un número par.

Tenemos a continuación algunos ejemplos de raíces principales

,636 ,283 ,3814 2325

Observamos que -6 es raíz cuadrada de 36 y de -3 es una raíz cuarta de 81, pero

ninguna es raíz principal. El negativo de la n-ésima raíz principal de un numero

a se denota por n a . Por tanto, 3814 .

Estamos ahora en posición de de considerar exponentes de la forma m/n, donde m es un entero positivo o negativo y n es un entero positivo. Tomamos en primer lugar m = 1 y buscamos una interpretación de .1 na Si la Ley III ha de ser valida, tenemos

109

En esta ecuación muestra la n-ésima potencia de de na1 es igual a a, o bien,

que na1 es una n-ésima raíz de a. Especificando esta raíz como la n-ésima

raíz principal de a, tenemos por definición / √

En esta definición a puede ser cualquier numero real cuando n es impar, pero excluimos los valores negativos de cuando n es par.

Aplicando la Ley III nuevamente, con el entero m 1, tenemos

√

y, además,

√

Resumiendo, tenemos la siguiente definición:

Si m/n es un número racional con n positivo, entonces

√ √

La forma n ma significa la n-ésima raíz principal de am, y la forma mn a significa la m-ésima potencia de la raíz n-ésima principal de a. En cada forma el denominador n del exponente indica una raíz y el numerador m indica una potencia. Sin embargo, nuevamente notamos, que n representa aquí a cualquier entero positivo y m representa a cualquier entero positivo o negativo.

Iniciamos nuestro estudio de exponentes definiendo exponentes enteros positivos y estableciendo las cinco leyes de operación. Extendemos entonces las definiciones para incluir a todos los números racionales. Aunque demostraciones completas de las leyes de los exponentes se hicieron tan solo para los exponentes enteros de positivos, es puede demostrar que las leyes son validas para todos los exponentes racionales.

Suponiendo que la Ley III es valida para los exponentes racionales, podemos demostrar que un exponente fraccionario puede reducirse a términos mínimos. Así si m, n y c son enteros, n y c son no nulos, tenemos

110

Ejemplo 1. 4288 22332 o también 8 √8 √64 4

Ejemplo 2.

27

1

3

1

81

181

334

43 .

Ejemplo 3.

823232 33553 .

Ejemplo 4.

224543313545314335 yxyxyxyx .

Ejemplo 5.

c

ba

cb

a

cb

a

2

44 3132

31

322121

232

34

.

111

I. Encuentre el valor de cada expresión.

1. 2116 2. 254 3.

3164

4.

32

27

8

5.

23

9

4

6.

41

81

16

7. 5432 8. 4415 9. 4415

II. Simplifique cada expresión, dejando los resultados sin exponentes negativos o nulos.

10. 3432 xx 11.

5354 xx 12. 3432 xx

13. 3223 55 14.

6141 xx 15. 112 yx

Ejercicios

Nombre A practicar los exponentes fraccionarios No. 2Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









112

16. 4852y 17. 4431 yx 18.

3/ 2 1 3/ 2

5/ 2 5/ 2 1/ 2

9

4

a b

a b

19. 214121

324331

16

27

ba

ba

20.

51 2 3 5

0 2 5

x y

x y

21. 353131

322123

8

4

yx

yx


1. 1

4; 3.

1

4 ; 5.

27

8; 7. 16 ; 9. 5 ; 11.

1/5x ; 13. 5/65 ; 15.

2

y

x;

17. 4 3x y ; 19.

1/ 63

4

ab ; 21.

5/64x

y

LEYES DE LOS RADICALES

De los reyes de los exponentes pueden obtenerse ciertas leyes útiles de radicales. Damos aquí una lista de 6 leyes para radicales que son consecuencia inmediata de las leyes correspondientes para exponentes, que aparecen en la columna de la derecha. en estas formulas imponemos la restricción de que c, m y n sean enteros positivos, e imponemos la restricción d que a y b, sean tales que

Saberes

Nombre Operaciones con radicales No. 3Instrucciones para


Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una expresión que contenga radicales, además de realizar operaciones con radicales.


Mediante


113

no se anule dominador alguno y tales que ningún radical de orden par tenga radicándoos positivos.

I. aaan

nn n aaannnn 11

II. nnn baab nnn baab 111

III. n

n

n

b

a

b

a

n

nn

b

a

b

a1

11

IV. n mcn cm aa

nmcncm aa

V. nmn m aa mnnm aa 111

VI. nq npmqq pn m aaa nqnpmqqpnm aaa /

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Estas leyes pueden emplearse para hacer cambios necesarios en los radicales, de los cuales los más comunes son:

1. Remover factores del radicando.

2. Remover el denominador de un radicando.

3. Expresar un radical dentro de un signo radical.

4. Incluir a un factor dentro de un signo radical.

Un radical se dice que esta en su forma más simple cuando se han llevado a cabo, y hasta donde es posible, las operaciones 1,2 y 3. La operación 2 es llamada racionalizando el denominador.

114

En los ejemplos ilustrativos y ejercicios siguientes, supondremos que todos los números literales son positivos.

Ejemplo 1. Simplifiquemos los radicales 2375 ba y 73 8 yx .

Solución,

aabaabababa 353532575 22223

323 633 7 228 yxyxyxyxyx .

Ejemplo 2. Racionalicemos los denominadores de

5

2 y 3

22x

b

105

1

5

10

25

10

25

10

5

2

33

3 3

3

33

32

42

1

2

4

8

4

8

4

2bx

xx

bx

x

bx

x

bx

x

b .

Ejemplo 3. Reduzcamos el orden de los radicales

4 225a y 6 938 yx

Solución,

aaa 5525 4 24 2

xyyxyxyyx 2228 36 336 93 .

115

Ejemplo 4. Incluyamos el coeficiente de

24

112

xx ,

con la potencia apropiada, dentro del signo radical.

Solución.

144

114

4

112 2

22

2

x

xx

xx .

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES

Radicales del mismo orden y mismo radicando son llamados radicales semejantes. Una suma algebraica de radicales semejantes puede ser expresada como un radical sencillo usando la ley distributiva. Radicales no semejantes se transforman en radicales equivalentes que son semejantes mediante las simplificaciones pertinentes. Radicales que no se pueden expresar como radicales semejantes pueden sumarse interponiendo entre ellos un signo de ( + ), pero su suma no puede escribirse como un radical único.

Ejemplo 1. √20 √45 √80 4 5 9 5 16 5

2√5 3√5 4√5 √5

Ejemplo 2.

2√18 6 √4 2 9 2 6 √2

22326

24 .

116

Ejemplo 3.

√2 3√16 √2 √2 – 6 √2 √2

6 √2 √2

Los radicales no semejantes 3 2a y a2 no pueden combinarse en un

radical único.

Ejemplo 4.

abab

aba

abba

b

b

a

1111.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES.

Para multiplicar radicales de órdenes distintos, es necesario explicarlos como radicales equivalentes del mismo orden. El orden de los nuevos radicales deberá ser el M.C.M. de los órdenes de los radicales originales. El orden de un radical puede elevarse (formula IV. Sec. 7-4) multiplicando el orden del radical y el exponente del radicando por el mismo entero positivo mayor que 1.

Ejemplo 1. Multipliquemos 2 √2 por 5 √3

Solución.

33 33 23 6106103522 bababaa .

Ejemplo 2. Encontremos el producto 5345332 .

Solución. Los binomios tienen cantidades semejantes, y multiplicamos de la

manera usual.

2√3 3√5 4√3 √5 8√9 2√15 12√15 3√25

117

8 3 10√15 3 5

15109 .

Ejemplo 3. Encontramos el producto de 35 y 3 26 .

Solución. Expresamos primero cada radical como un radical de orden 6, que es el mínimo común múltiplo de los órdenes de los radicales dados. Así,

66 236 26 33 10830233023302635

En la multiplicación, los radicales de dos órdenes distintos deben ser primero convertidos en radicales del mismo orden. Consideramos la división de dos radicales como completa cuando el cociente no tenga radicales en el denominador y el radical del numerador, si lo hay, esta expresado en su forma más simple. El proceso de quitar radicales de un denominador es llamado racionalización del denominador.

Ejemplo 4. Encontremos el cociente de √6 entre √5 .

Solución.

305

1

55

56

5

6

5

6

,

o, alternativamente,

305

1

5

30

5

5

5

6 .

Ejemplo 5. Encontramos el cociente de 6 √5 dividido por 22 .

Solución.

. 66 36 233

2002

3

4

256

2

2

22

56

22

56

118

De otro modo, convirtiendo a exponentes fraccionarios, tenemos

66 326362

2121

2131

21

31

2002

325

2

3

4

256

222

256

22

56

.

Cuando el divisor es un binomio que contiene un radical de segundo orden en uno o ambos términos, racionalizamos el denominador multiplicando el dividendo y divisor por expresión adecuadamente elegida. Para este propósito, observamos que el producto de ba y ba es una expresión radical a – b. Por tanto, un factor de racionalización del tipo en consideración se obtiene cambiando el signo de uno de los términos del divisor.

Ejemplo 6. Dividamos 3223 por 3324 .

Solución.

5

66

2732

18624

3324

3324

3324

3223

3324

3223

119

I. Exprese cada uno de los siguientes radicales en su forma más simple.

1. 12 2. 3 16 3. 2420 ba

4. 3 4248 yx 5. 3 5464 yx 6. 54 432 yx

7. 3

2 8.

a5

3 9. 3

9

8

10. 3

4

3 11. 4

27

2 12. 33

2

x

13. 3

3

2

y

x 14. 3

4

4

9

2

y

x 15. 4

34

b

c

Ejercicios

Nombre A practicar con los radicales No. 3Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









120

16. 43

3

8a 17. 4 9 18. 44 81x

19. 6 96 8x y 20.

8 46 81x y 21. 42

9

x

II. Dando el coeficiente el exponente apropiado, inclúyalo dentro del signo radical.

23. 2 3 24. 2x y 25. 2

42

4

xx

x

26. 5

2

3 2

9

a x

x a ; 27.

33a b

b a 28. 2

1 12

4a

a

III. Emplee las leyes de radicales adecuadas para expresar cada uno de los radicales repetidos como un radical único.

29. 3 3 30.

3 3a 31.32 16


1. 2 3 ; 3. 22 5a b ; 5.

234xy xy ; 7. 1

63

; 9. 323

3; 11. 41

63

;

13. 23118

3xy

y; 15. 41

42

bcc

; 17. 3 ; 19. 2xy y ; 21. 1

3xx

23. 12 ; 25. 4 x ; 27. 3ab ; 29. 6 3 ; 31. 62 2

IV. Simplifique los radicales en cada uno de los siguientes problemas y combine entonces todos los radicales semejantes.

1. 183250 2. 122775 3. 28 3 63 112

4. 12475220 5. 286350 6. 8

122

2

1

121

7. 1227

13

3

1 8. 60

5

35

3

53 9. 3 3 32 16 54 50

10. 333 548116 11. xxx 21838 3

12. xyyxxy 33 164 13. 3642 753123 yxyxyx

14. 3 443 43 16542 baabab 15. 3 623 353 2 81243 babaa

16. 3 43 316 54 24a a a 17. 3 3 32 4 2 52 2 16ab a b ab

18. 2 34 25 20 5a a a 19. 62 2 343 9 27a a a

20. 66 343 2 4 4 6 8a a a 21. 1 2

2 2

x

x x


1. 4 2 ; 3. 7 7 ; 5. 5 2 5 7 ; 7. 2 3 ; 9. 3 37 2 50 ; 11. (2 8) 2x x

13. 2 3(2 15 ) 3x x x y y ; 15. 32 2(1 2 3 ) 3ab b a ; 17.

3 2(1 2 ) 2a b ab

19. 3a ; 21. 3

22

xx

x

V. Multiplique como se indica y simplifique el resultado.

1. 72 2. 2872 3. 3053

4. 32 218 xyyx 5. 33 96 6. 3 23 43 aa

7. 33 2 416 aba 8. 3 23 9. 3 32

10. 4 82 11. 43 xxx 12. 33 322

122

13. 43 432 14. 332432 15. aa 33

16. Encuentre el valor de 762 xx si 23x

17. Encuentre el valor de 12 2 xx si 12 x

18. Encuentre el valor de 52 xx si 23

VI.. Efectué las divisiones y exprese cada resultado en su forma más simple.

19. 763 20. 3311 21. xx 287 2

22. aa 315 4 23. 35220 xx 24. 33 4108

25. 3 23 272 aa 26. 33 4 415 xx 27. 3 33

28. 393 29. 3 22 baab

30.5

3515 31.

53

1

32.

23

1

33.

25

2

34. 57

57

35. 532

354

36. 2372

2273


1. 14 ; 3. 15 2 ; 5. 33 2 ; 7. 34a b ; 9. 6 72 ; 11. 12x x 13.

32 3 ;

15. 9 a ; 17. 6 3 2 ; 19. 3 ; 21. 1

2x ; 23.

1

x 25. 3 21

28aa

27. 6 3 ; 29. 6 5 41a b

a; 31.

3 5

4

; 33.

5 2 2

23

35.

9 15 26

7

123

1. Resolución de ecuaciones lineales en una variable

2. Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación lineal

1. A practicar las ecuaciones lineales

2. A resolver problemas en palabras por medio de una ecuación lineal

Competencia

4 ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

Explicar los algoritmos necesarios para resolver una ecuación lineal

Problemas en palabras que se resuelven por medio de una ecuación lineal o de primer grado

Saberes

Ejercicios

124

ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE

ECUACIÓN. El enunciado en que dos cantidades son iguales es llamado una ecuación. La manera acostumbrada de escribir una ecuación es la de colocar el símbolo (que se lee “es igual a”) entre las dos cantidades iguales. Una ecuación tiene, entonces dos miembros, el izquierdo y el derecho. Las ecuaciones comprenden usualmente una o más letras que son vistas como variables o incógnitas. Los números que al sustituir a las variables hacen iguales a los dos miembros de la ecuación se dice que satisfacen a, o que son una solución de, la ecuación. La totalidad de las soluciones es llamada el conjunto de soluciones.

Esto es una ecuación:

2x – 5 = x + 3

Primer miembro Segundo miembro

Ejemplo de raíz o solución de una ecuación

Es el valor o valores de la incógnita que hacen cierta la ecuación.

Así la raíz de 3x – 9 = 5x – 23 es x = 7

Porque: 3(7) – 9 = 5(7) – 23

12 = 12

Saberes

Nombre Resolución de ecuaciones lineales en una variable No. 1Instrucciones para


Saberes a adquirir El alumno comprenderá los algoritmos necesarios para resolver una ecuación de primer grado o lineal.


Mediante


125

De igual manera las raíces de 7 10 0 son 2 y 5

porque: 2 7 2 10 0 5 7 5 10 0

4 – 14 + 10 = 0 25 – 35 + 10 = 0

- 14 + 14 = 0 - 35 + 35 = 0

0 = 0 0 = 0

Ecuación Identidad

Es una igualdad que es cierta para cualquier valor numérico que se le asigne a la literal (o literales); es una igualdad absoluta.

Por ejemplo: 4 6 10 (para cualquier valor de se cumple la

igualdad).

Ecuación Literal

Es aquella en la que algunas o todas las cantidades conocidas están

representadas por letras.

Por ejemplo: 0.

OPERACIONES CON ECUACIONES

1.- Si a cada miembro de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad, la ecuación sigue siendo cierta.

2.- Si cada miembro de una ecuación se multiplica por un mismo numero, la ecuación sigue siendo cierta.

3.- Si cada miembro de una ecuación se divide entre un mismo numero (excepto cero) la ecuación sigue siendo cierta.

En esta sección resolveremos ecuaciones de la forma, o que son reducibles a la forma 0 donde representa a cualquier número y a cualquier número distinto de cero. Esta ecuación es de primer grado en y es llamada una ecuación lineal.

126

Ejemplo 1. Resolvamos la ecuación 4 10 1 2 .

4 10 1 2 Ecuación dada

4 10 2 10 1 2 2 10 sumando 2 10

6 9 reuniendo términos

ó 1.5 dividiendo por 6

Verificación: Sustituimos 1.5 por en cada miembro de la ecuación dada y encontramos,

4 1.5 10 1 2 1.5

6 10 1 3

4 4

Ejemplo 2. Resolver: 4 13

Multiplicamos por 2 ambos lados 2 4 2 13

5 8 2 26

Sumando 2 8 a ambos lados 5 8 2 8 2 26 2 8

3 18

Dividiendo entre 3 6

Verificación: 4 6 13

15 4 6 13

19 19

127

Transposición de términos

Por los ejemplos anteriores se ve que puede suprimir un término cualquiera en un miembro, siempre que se agregue al otro su simétrico.

Esto equivale a afirmar que puede pasarse un término de un miembro a otro respetando la siguiente regla:

Si el término esta sumando pasa restando

Si el término esta restando pasa sumando

Si el término multiplicando pasa dividiendo

Si el término esta dividiendo pasa multiplicando

A esto se le llama transposición de términos.

Intercambio de miembros

Es recomendable que los términos que contengan la incógnita se pongan siempre en el primer miembro de la ecuación:

Así, las ecuaciones 25 = 3x ‐ 4 y 12 = 2x + 3

Conviene escríbirlas 3x – 4 = 35 y 12x + 3 = 12

+ ‐

‐ +

X

÷ X

÷

128

Cambio de signo

En una ocasión cualquiera se puede cambiar los signos de todos sus

términos, lo que equivale a multiplicarlos por (- 1), con lo cual la igualdad no se

altera. Esto es de gran utilidad según se ve continuación:

Forma original Forma preferible

‐2x + 5 = ‐ 25 2x – 5 = 25

‐ 8x ‐ 3 = x – 6 8x + 3 = ‐x + 6

Ejemplo 3.

Comprobación:

7x – 5 = 3x – 25 7(‐5) ‐5 = 3(‐5) ‐25

7x – 3x = ‐25 + 5 ‐35 ‐5 = ‐15 ‐ 25

4x = ‐20 ‐40 = ‐40

20

4x

Ejemplo 4.

Resuelve: Comprobación:

16x – 192 = 0 16 (12) – 192 = 0

16x = 192 192 ‐ 192 = 0

192

16x 0 = 0

x = ‐5

x = 12

129

Ejemplo 5.


X = 300+11x (‐30) = 300 + 11 (‐30)

X ‐ 11x =300 ‐30 = 300 ‐ 330

‐10x = 300 ‐30 = ‐30

10x = ‐300

300

10x

X= ‐30

Ejemplo 6.

Resuelve: comprobación:

2z + 96 = 15z – 8 ‐ 5z 2(13) + 96 = 15 (13) – 8 – 5 (13)

2z + 96 = 10z – 8 26 + 96 = 195 – 8 ‐ 65

2z ‐ 10z= ‐8 – 96 122 = 122

‐8z = ‐104

8z = 104

104

8z

Z = 13

130

Ejemplo 7.


5c – 9 + c = 2c – 73 5(‐16) – 9 + (‐16) = 2(‐16) ‐73

6c – 9 = 2c – 73 ‐80 – 9 – 16 = ‐32 ‐ 73

6c ‐ 2c = ‐ 73 + 9 105 = 105

4c = ‐64

64

4c

C = ‐16

Ejemplo 8.


y – 2 = ‐5(39 ‐ y)‐ 3 49 ‐ 2 = ‐5 (39‐49) ‐3

y – 2 = ‐195 + 5y ‐ 3 47 = ‐5 (‐10) ‐3

y – 2 = ‐ 198 + 5y 47 = 50 ‐ 3

y‐ 5y = ‐ 198 + 2 47 = 47

‐4y = ‐196

4y = 196

196

4y

y=49

131

Ejemplo 9.


84 ‐ 19y = ‐ 7 (60 + y) 84 – 19 (42) = ‐7 (60+42)

84 ‐ 19y = ‐ 420 ‐ 7y 84 – 798 = ‐7 (102)

‐19y + 7y = ‐ 420 – 84 ‐714 = ‐714

‐12y = 504

504

12y

y = 42

Ejemplo 10.


5(4x ‐ 7) ‐ (3x ‐ 1) 2 = ‐5 5 (4 (2) – 7) ‐ (3 (2 ) – 1) 2 = ‐5

20x – 35 ‐ 6x + 2 = ‐5 5 (8 – 7) – (6 – 1) 2 = ‐5

14x – 33 = ‐5 5(1) – 2(5) = ‐5

14x = 28 5 ‐ 10 = ‐5

‐5 = ‐5

2

132

ECUACIONES QUE CONTIENEN QUEBRADOS

Cuando una ecuación contiene quebrados, se transforman en otra equivalencia que tenga forma entera, multiplicando ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.

Ejemplo 11. Resuelve la siguiente ecuación:

3 335 100

4 5

x x m.c.m. de 4 y 5 = 20

3 320 35 20 100

4 5

x x Comprobación:

15x – 700 = 2000 – 12x 3*100 3*100

35 1004 5

15x + 12x = 2000 + 700 75 – 35 = 100 ‐60

27x = 2700 40 40

Ejemplo 12. Resolver la siguiente ecuación:

5 354

2 7 4

x x x m.c.m. de 2,7 y 4 = 28

5 3

28 28 542 7 4

x x x Comprobación:

14x – 20x = ‐1512 + 21x 56 5*56 3*56

542 7 4

15x ‐ 20x ‐ 21x = ‐1512 28 – 40 = ‐54 + 42

‐27x = ‐1512 ‐12 ‐12

X= ‐1512/‐27

X = 56

X = 100

133

Ejemplo 13. Resolver la ecuación

El m.c.m. de 5, 4 y 2 es 20

20 20 que resulta,

4 3 2 5 2 1 10

12 8 10 5 10

2 7 7/2

Ejemplo 14. Resolvamos la ecuación para para .

3 2 5 4 reuniendo términos

3 2 5 4 factorizando

Ejemplo 15. Resolver la ecuación: 3 2 3 4 3 2 6

Solución: 9 12 6 8 9 12 4 6 Desarrollando productos

9 6 8 9 12 4 6 Quitando paréntesis

18 18 Simplificando términos

1

134

I. Resuelve las siguientes ecuaciones y compruébala cada una.

1. 8 8 4 5 2. 720 2157

3. 3 4 4. 4 3

5. 3 7 5 9 6. 3 15 8

7. 23 3 3 7 8. 7 11 2

9. 8 2 1 2 5 10. 10 5 2 4 4 3

11. 7 2 9 6 4 3 12. 12 22 3 2 13

13. 2 7 8 7 2 26 14. 5 2 1 25 3 3

15. 3 7 2 11 4 2 3 16. 9 1 7 3 38 0

17. 5 8 3 3 2 4 3 18. 6 17 13 1 4

Ejercicios

Nombre A practicar con las ecuaciones lineales No. 1Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









135

19. (5 )(2 ) ( 3) 0x x x x 20. 4(4 3) 3(7 6 ) 16x x x

21. 3 1 2 2

2 6 3 3

x x 22.

1 1

3 4 3 4

x x

23. 3 4 1

4 3 2 3

x x 24.

5 1 2 1

4 12 3 2

x x

25. 3 1 2

66 3

x x 26.

51

4 8

x x

27. 3 1 2 3

12 3

x x 28.

4 2 3 1

3 4 12

x x

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 3 38. 2

39. 1 40.

41. 42.

43. 0.08 (x + 20) – 0.03x = 2.4 44. 0.08x – 0.03(21,000 –x) = 800

45. 0.07 12,000 0.08 600 46. 0.06 60,000 0.08 520

47. 0.25 0.1 12,000 375 48. 0.05 0.06 20,000 1080

49. 2 3 2 5 2 1 0 50. 3 4 4 3 3 2 5 19

51. 2 4 1 2 3 8 52. 2 3 2 3 6

136

Respuesta a los ejercicios impares: 1 3; 3 2; 5 1; 7

9 ; 11 ; 13 4; 15 1; 17 ; 19 ;

21 1; 23 4; 25 5; 27 3; 29 5; 31 2

33 6; 35 2; 37 ; 39 7; 41 5

43) 16; 45) 1600; 47 4500; 49) 2; 51 1

II. Subraya la respuesta de cada una de las siguientes preguntas:

1. El valor de al resolver la ecuación 5 6 31 es:

A) 5 B) 4 C) 5 D) 6

2. Al resolver la ecuación 11 6 6 20 8 el valor de es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

3. El valor de en la ecuación 13 3 4 3 8 es:

A) 1 B) 3 C) 2 D) 1

4. La solución de la ecuación 2 3 1 11 8 es:

A) 1 B) 5 C) 2 D) 3

137

5. La solución de la ecuación 10 5 18 7 5 3 es:

A) 2 B) C) 3 D)

6. El valor de en la ecuación 4 3 3 2 6 7 2 5 2

A) 1 B) C) 1 D)

7. El valor de en la ecuación 9 1 13 es:

A) 3 B) 1 C) 6 D) 4

8. El valor de en la ecuación

A) 1/2 B) 3/4 C) 8/5 D) 5/3

9. Resuélvase la siguiente ecuación para " " :

A) 1/8 B) 2/3 C) 1/4 D) 2/3

10. Resuélvase para " " la siguiente ecuación:

A) 3/2 B) 2/3 C) 1/2 D) 3/2

138

III. rucigrama algebraico

Aquí encontrarás un crucigrama muy divertido. Para llenarlo tendrás que resolver 17 ecuaciones de primer grado.

¡Anímate!

Verticales Horizontales

1) 3x + 2 = 32 3) 7x – 4 = 171 2) x/5 = 16 4) 8x – 920 = 7,080 3) 2x + 8 = 440 6) ½ x + 8 = 88 5) 2x - 9 = x + 18 7) 5x = 35,745 8) 9x + 9 = 900 10) 4x – 4 = 3x + 6 9) ¼ x - 2 = 250 11) 5/2 x + 40 = 500 13) x/3 - 11 = x - 233 12) x/9 – 43 = 1,000 15) x + 5 = 2x - 80 14) x/7 – 5 = 0

16) 5x – 4x + 3x + 8 = 8

¿Qué tal, resultó divertido?

139

IV. Con el perímetro dado, encontrar el valor de la incógnita.

i. Hallar el valor de si el perímetro del rectángulo es 38 cm

3 1

ii. Si el perímetro del cuadrado es 68 cm, hallar el valor de .

4 1

iii. Si el perímetro del triángulo isósceles es de 29 cm, hallar el valor de .

3 2

2 1

140

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN PALABRAS CON EL USO DE ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE

Los problemas planteados con palabras son enunciados que exprersan relaciones entre cantidades numéricas. Nuestro objetivo es traducir la expresión del problema a una ecuación algebraica que pueda resolverse por medios conocidos.

Para resolver un problema planteado con palabras, se procede como sigue:

1. Se determina la cantidad incógnita y se le representa con una variable. 2. Todas las demás cantidades incógnitas se deben expresar en términos de

la misma variable. 3. Se traducen los enunciados del problema relativos a la variable a una

ecuación algebraica. 4. Se resuelve la ecuación para la incógnita y luego se encuentran las otras

cantidades requeridas. 5. Se comprueba la respuesta en el problema original planteado con palabras,

no en la ecuación.

Las siguientes son ilustraciones de ciertas frases y problemas verbales y sus equivalentes algebraicos:

1. Un número aumentado en 5.

Saberes

Nombre Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación lineal

No. 2



Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para plantear una ecuación lineal que resuelva un problema práctico en un contexto determinado.


Mediante


141

2. Un número disminuido en 7

7

3. Un número supera en 4 a otro Primer número segundo número

4

4. Un número es 2 unidades menor que otro Primer número segundo número

2

5. La suma de dos números es 30 Primer número segundo número

30

6. Tres enteros consecutivos Primer número segundo número tercer número

1 2

7. Tres enteros impares consecutivos Primer número segundo número tercer número

2 4

8. Tres enteros pares consecutivos Primer número segundo número tercer número

2 4

9. Un número es la mitad de un segundo número Primer número segundo número

142

10. Un número es el triple del otro Primer número Segundo número

3

11. Un número es cuatro unidades menos que el doble de un segundo número Primer número Segundo número

2 4

12. Un número supera en 6 al triple de un segundo número Primer número Segundo número

3 6

13. El número supera en 6 al número b.

6 o bien 6

14. El número es 10 unidades menor que el número b

10 o bien 10

15. Un 6% de impuesto sobre dolares.

Impuesto = 6% 6 o

16. Un descuento se 15% sobre dolares

15% 15 o bien

17. El valor en dólares de billetes de cinco dólares:

Valor = 5 $5

18. La cantidad de plata contenida en libras de una aleación de plata al 6%.

Cantidad de plata = 6% libras

19. La cantidad de alcohol en 5 galones de una solución de alcohol al

80%.

143

Cantidad de alcohol = 80% 5 galones

20. Si Roberto puede caminar millas por hora, ¿qué distancia recorrerá en 3

horas?

En problemas de velocidad usaremos la fórmula que al despejar la distancia

nos dá , por lo tanto el problema queda:

millas

21. Si Lorena conduce a 55 millas por hora, ¿Qué distancia puede recorrer en

horas?

Distancia =

22. Rafael puede viajar en su bicicleta a una velocidad promedio de 15 millas

por hora ¿Cuánto demorará en recorrer millas?

Tiempo =

23. La anchura de un rectángulo es de pies. ¿Cuál es el perímetro si la

longitud es el doble de su anchura? Anchura Longitud

Perímetro = 2 veces el ancho + 2 veces el largo

Perímetro =2 2 2 2 4

144

24. La anchura de un rectángulo es de pies. ¿Cuál es el área del rectángulo

si su longitud mide 4 pies más que su anchura? Anchura Longitud

pies 4 pies

Área = 4 pies cuadrados

EJEMPLO 1

Pedro tiene un trabajo en donde gana $150,000 anuales, que incluye un bono de $12,000 al final del año. Si recibe un pago quincenal, ¿Cuál es el ingreso bruto en cada cheque?

Con palabras

Ingreso por año= 24 pagos + bono

¿Qué conoces?

Ingreso por año= $150,000

Bono = $12,000

¿Qué quieres?

Cantidad en cada cheque = x

Ecuación

150,000 = 24x + 12,000

150,000 12,00024

$5,750.

Solución

Despejamos el valor de x de la ecuación

anterior,

El ingreso por cada cheque es de $5,750

145

EJEMPLO 2

Enrique invitó al Cinépolis a su esposa y durante la función compraron dos refrescos del mismo precio y dos bolsas de palomitas de $25 cada una. Si Roberto gastó $90 en total, ¿cuánto costó cada refresco?

Con palabras

Gasto total = 2 bolsas de palomitas de $25

cada una + 2 refrescos

¿Qué conoces?

Gasto total = $90

Costo de las palomitas = (2)($25) = $50

¿Qué quieres?

Precio de cada refresco = x

Ecuación

$90 = $50 + 2x

90 502

$20.00

Solución

Despejando x, tenemos:

Cada refresco costo $20.00

146

EJEMPLO 3

Karla invierte $120,000 en dos cuentas diferentes, de forma que en una de ellas le pagan el 6% y en la otra 5% anual de interés simple. Si el interés total es de $6,800 al año, ¿cuánto dinero esta invertido en cada una de las cuentas?

Con palabras

Interés total generado por $120,000 dividido

en dos cuentas.

¿Qué conoces?

Dinero invertido = $120,000 Tasa de interés de una cuenta = 6% Tasa de interés de la otra cuenta = 5% Interés total recibido = $6,800

¿Qué quieres?

Cantidad invertida al 6% = x Cantidad invertida al 5% = $120,000 ‐‐ x

Ecuación

0.06x + 0.05 (120,000 – x) = 6,800

0.06 6000 0.05 6800

0.01 6000 6800

0.01 6800 6000 800

8000.01

80,000

120,000 120,000 80,000 40,000

Solución

Silvia ha invertido $80,000 al 6% y $40,000 al

5%.

147

EJEMPLO 4

Un albañil puede hacer una obra en 4 días y otro en 5 días, ¿en cuánto tiempo terminaran la obra juntos?

Con palabras

Tiempo total de la obra = Tiempo empleado

por los albañiles trabajando juntos.

¿Qué conoces?

Tiempo del albañil 1 = 4 días

Tiempo del albañil 2 = 5 días

¿Qué quieres?

Tiempo total de la obra = x

4 51

Ecuación

El ritmo de trabajo de un albañil es de y el

del otro , por lo tanto, entre ambos

terminan el 100% de la obra en

4 51

5 4 20

Solución

2.222 días

El tiempo total para terminar la obra entre

ambos albañiles es de 2.222 días.

148

EJEMPLO 5

Un automóvil recorre una distancia del D.F. a Acapulco a una velocidad promedio de 120 Km/hr y de regreso viaja a una velocidad promedio de 90 Km/hr. Si todo el recorrido tomo 7horas. ¿cuál es la distancia del D.F. a Acapulco?

Con palabras

Tiempo total del viaje = Tiempo de ida +

tiempo de regreso

¿Qué conoces?

Velocidad promedio de ida = 120 Km/hr Velocidad promedio de regreso = 90 Km/hr Tiempo total del viaje = 7 hrs

¿Qué quieres?

Distancia del D.F. a Acapulco = x

120 907

Ecuación

La relación de velocidad es , entonces el

tiempo t es , luego, el tiempo de ida es

y el de regreso . Por lo tanto,

120 907

90 120 75,600

75,600210

360 .

Solución

La distancia del D.F. a Acapulco es de 360

Kms.

149

MÁS PROBLEMAS RESUELTOS

Problemas que se refieren a números

1. Cuales son los tres números consecutivos cuya suma es igual a 48?

Primer número: x

Segundo numero: x + 1

Tercer número: x + 2

Condición: (x) + (x+1) + (x+2) = 48

x + x + 1 + x + 2 = 48

3x + 3 = 48 Los tres números

3x = 48 – 3 son 15, 16 y 17.

3x = 45

x = 45 / 3

x = 15

2. Cuál es el número que aumentando en 20 se triplica? Número pedido a

condición:

X + 20 = 3x

X – 3x = -20

-2x = -20

2x = 20 por lo tanto x = 10

150

3. La tercera parte de un número es 7 unidades menor que la mitad de él.

Encontrar el número.

Solución Sea el número =

7

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por 6, obtenemos

2 42 3

42 El número es 42.

4. Un número es el quíntuplo de otro. La suma de ambos es 90. Determinar

los dos números.

Solución primer némero segundo número

5

5 90

6 90 Primer número = 5 15 75

15 Segundo número = 15

5. Hallar dos números cuya suma sea 27 y que el séxtuplo del menor supere

en 9 unidades al triple del mayor.

Solución: Número menor Número mayor

27

6 3 27 9

6 81 3 9

9 90 Número menor = 10

10 Número mayor = 27-10 = 17

151

6. Encontrar dos enteros pares consecutivos tales que el cuádruplo del mayor

sea 8 unidades menos que el quíntuplo del menor.

Solución primer entero par segundo entero par

2

4 2 8 5

4 8 8 5 Primer entero par = 16

16 Segundo entero par = 16 + 2 = 18

7. La suma de tres números es 63. El segundo número es el doble del primero

y el tercero supera en tres al segundo. Encontrar los números.

Solución Primer número Segundo número Tercer número

2 2 3

2 2 3 63

5 3 63 Primer número = 12

5 60 Segundo número = 2 12 24

12 Tercer número = 24 + 3 = 27

152

Problemas de porcentaje

A veces la relación entre dos números se expresa como un porcentaje. Tanto por ciento significa “por cada cien” y se representa por el símbolo %. De esta manera

45% 45 100 45

2 % 2 100

300% 300 100 300

Para determinar qué tanto por ciento es un número de otro, se divide el primer número entre el segundo, se multiplica el cociente por 100% y se simplifica.

Obsérvese que 100 % = 100 100 1.

1. ¿Qué tanto por ciento es 24 de 40?

Solución 100% % 60%

2. ¿Qué tanto por ciento es 238 de 350?

Solución 100% % 68%

Para expresar un número como tanto por ciento, se multiplica el número por 100% y se simplifica.

153

3. Escribir 4 como un tanto por ciento

4 4 100% 400%

4. Expresar como un tanto por ciento.

Solución 100% % 64 % 64.04%

Para obtener un porcentaje de cualquier número, se cambia el símbolo de

tanto por ciento a , luego se multiplica pór el número y se simplifica.

5. ¿Cuál es el 70% de 48 ?

Solución 70% 48 70 48 33.6

6. ¿A qué es igual el 9 % 360 ?

Solución 9 % 360 9 360 360 33.3

La mayoría de los problemas de negocios y mezclas se relacionan con

porcentajes. En esta sección tratamos problemas de negocios.

Cuando se realizan depósitos de dinero en un banco, la cantidad que se

deposita se llama capital o principal y se denota por P.

La tasa de interés anual se denota por .

El interés que se recibe está representado por .

El interés recibido al cabo de un año es el producto del capital y la tasa de

interés.

La fórmula anterior es útil en la solución de problemas de tanto por ciento.

154

7. El precio de venta al menudeo de una máquina de coser es de $360

dólares. Si se ofrece en venta de $297, ¿cuál es el porcentaje de

reducción?

Solución Reducción de precio = 360 – 297 = 63.

Porcentaje de reducción = 100% % 17.5%

8. ¿A qué es igual el impuesto sobre un artículo que costó $540 si la tasa de

impuesto es de 6 % ?

Solución Impuesto = 6 % 540 540 $35.10

9. ¿En cuánto se venderá un refrigerador si el precio marcado es de $760 y la

tienda ofrece un 12% de descuento?

Solución Descuento = 12% 760 $91.20

Precio de venta = 760 – 91.20 = $668.80

10. Al Sr. Noble le costó $17,466 comprar un coche, incluido un 6.5% de

impuesto de venta. ¿Cuál era el precio de venta del coche antes de agregar

el impuesto?

Solución Sea el precio de venta del coche sin impuesto =

Impuesto = 6.5%

Precio de venta sin impuesto más impuesto igual a precio de venta total

6.5% 17,466

17,466

1000 65 17,466,000 (Se multiplica por 1000)

1065 17,466,000

16,400 Precio de venta sin impuesto $16,400

155

11. El precio de venta de una caja fuerte es de $350 luego de aplicar un 30%

de descuento. ¿Cuál es el precio regular de la caja fuerte?

Solución Sea el precio regular =

Descuento = 30%

El precio de venta es igual al precio regular menos el descuento

30% 350

350 (Se multiplica por 100)

100 30 35,000

70 35,000

500

Precio regular de la caja fuerte = $500

Definición Margen de utilidad es la cantidad que se agrega al costo de un

artículo para determinar el precio de venta de tal artículo. El margen de utilidad se

expresa normalmente como un tanto por ciento del costo o del precio de venta.

12. Un radio costó $80. ¿Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es

del 20% de dicho precio?

Solución Sea el costo cuando el margen de utilidad se calculo sobre el

costo, pero si dicho margen se calcula sobre el precio de venta, éste se

denota por .

Sea el precio de venta =

Margen de utilidad = 20%

El precio de venta menos el margen de utilidad es igual al costo.

20% 80

80 (Se multiplica por 100)

100 20 8000

80 8000

100 Precio de venta $100

156

13. El precio de venta de un equipo de tiro es de $584. ¿Cuál es el costo si la

utilidad es del 25% del mismo?

Solución Sea el costo =

Utilidad = 25%

Costo más utilidad sobre el costo es igual al precio de venta.

25% 584

584 (Se multiplicac por 100)

100 25 58,400

125 58,400

467.20

Costo = $467.20

14. Dos sumas de dinero que totalizan $20,000 ganan, respectivamentye, 5% y

6% de interés anual. Encontrar las cantidades si juntas ganan $1080.

Solución Primera cantidad Segunda cantidad

Capital 20,000

Tasa 5% 6%

Interés 5% 6%

5% 6% 20,000 1080

20,000 1080 (Se multiplica por 100)

5 6 20,000 108,000

5 120,000 6 108,000

12,000

Cantidad invertida al 5% = $12,000

Cantidad invertida al 6% = $8,000

157

15. Una persona realizó dos inversiones de un total de $10,000. En una de las

inversiones obtuvo un 10% de utilidad, pero en la otra tuvo una pérdida de

12%. Si la pérdida neta fue de $540, ¿Qué cantidad tenía en cada

inversión?

Solución Primera inversión Segunda inversión

10,000

Ganancia de 10% Pérdida de 12%

Cantidad ganada = 10%

Cantidad perdida = 12% 10,000

Cantidad perdida menos cantidad ganada igual a perdida neta.

12% 10,000 10% 540

10,000 540 (Se multiplica por 100)

12 10,000 10 54,000

120,000 12 10 54,000

3000

Primera inversión = $3000

Segunda inversión = $7000

16. El interés anual producido por $24,000 supera en $156 al producido por

$17,000 con una tasa anual de interés 1.8% mayor. ¿Cuál es la tasa anual

de interés aplicada a cada cantidad?

Solución Capital $24,000 $17,000

Tasa % 1.8%

24,000 % 17,000 1.8 % 156 (Se multiplica por 100)

158

24,000 17,000 1.8 15,600

24,000 17,000 30,600 15,600

7000 46,200

6.6

Las tasas de interés son 6.6% y 8.4%

Prolemas de mezclas

1. ¿Cuántos litros de agua deben agregarse a 6 litros de una solución de

sal al 8% y agua, para producir otra solución al 5% de sal?

Solución Una solución de sal al 8% significa que el 8% es ésta es

sal y el 92% agua.

Dicha cantidad en la solución original más la cantidad en el agua

agregada debe ser igual a la cantidad de sal en la solución final.

Cantidad original Cantidad agregada Cantidad final

6 litros 6

8% 0% 5%

8% 6 0% 5% 6

6 6 (Se multiplica por 100)

8 6 0 5 6

48 0 5 30

5 18

3.6 Deben agregarse 3.6 litros

159

2. ¿Cuantos litros de un líquido que contiene 74% de alcohol se debe

mezclar con 5 litros de otro liquido que contiene 90% de alcohol, se

desea una mezcla de 84% de alcohol?

Numero de litros de la solución de 74% de alcohol que debe emplearse = x

Numero de litros de alcohol aportados por la solución al 74% = 0.74x

Numero de litros de alcohol aportados por la solución al 90% = 0.90 (5)=4.5

Numero de litros en la mezcla = x + 5

Numero de litros de alcohol en la mezcla = 0.84(x+5)

0.74x + 4.5 = 0.84( x+5)

0.74x + 4.5 = 0.84x + 4.2

0.74x – 0.84 = 4.2 – 4.5

- 0.10x = -0.3

0.3

0.10x x = 3 litros.

3. Un hombre mezcló 48 onzas de una solución de yodo al 4% con 40

onzas de una solución al 15% de la misma sustancia. ¿Cuál es el

porcentaje de yodo en la mezcla.

Solución Consideremos la cantidad de yodo en la solución

Primera solución Segunda solución Mezcla

48 onzas 40 onzas 88 onzas

4% de yodo 15% de yodo % de yodo

4% 48 15% 40 % 88

160

48 40 (88) (Se multiplica por 100)

4 48 15 40 88

192 600 88

792 88

9

La mezcla es una solución al 9% de yodo

4. Carlos mezcló una aleación de aluminio al 48% contra otra al 72% para

producir una aleación de aluminio al 57%. Si hay 20 libras más de la

aleación al 48% que de la aleación al 72%, ¿Cuántas libras hay en la

aleación total?

Solución 20 2 20

48% 72% 57%

48% 20 72% 57% 2 20 (Se multiplica por 100)

48 20 72 57 2 20

48 960 72 114 1140

6 180

30

El peso de la mezcla total = 2(30) + 20 = 80 libras

161

Problemas de valor monetario

1. Elena tiene $4.45 en monedas de 10¢ y 25¢. Si dispone en total de 28

monedas, ¿Cuántas tiene de cada clase?

Solución Monedas de 10¢ Monedas de 25¢

monedas

La suma de los valores de las monedas es igual a la cantidad total de

dinero

(Nota: 445, no 4.45)

Número de monedas de = 17

Número de monedas de

2. Ramona compró $10.60 dólares de estampillas de con un

total de 52 estampillas. Si la cantidad de estampillas de que compró es

el cuádruplo de la de , ¿Cuántas estampillas de cada clase compró?

162

Solución 10¢ 15¢ 25¢

52 5 estampillas 4

La suma de los valores de las clases individuales de estampillas es igual a

la cantidad total.

10 15 52 5 25 4 1060 (Nota: 1060, no

10.60)

10 780 75 100 1060

35 280

8

Número de estampillas de 10¢ = 8

Número de estampillas de 15¢ = 52 – 5(8) = 12

Número de estampillsa de 25¢ = 4(8) = 32

3. Un carnicero mezcla 2 clases de carne molida, una de 189¢ la libra y otra

de 129¢. Si la combinación pesa 450 libras y se vende a 145¢ cada una,

¿Cuántas libras de cada clase forman la mezcla?

Solución 189¢ por libra 129¢ por libra 145¢ por libra

libras libras

La suma de los precios de las clases individuales es igual al precio de la

mezcla

189 129 450 450 145

189 58,050 129 62,250

60 7200

120

Número de libras a 189¢ 120

Número de libras a 129¢ 330

163

Problemas de Movimiento

La distancia recorrida, en kilómetros, es igual al producto de la velocidad, en

kilómetros por hora, por el tiempo, en horas. En símbolos,

1. Dos automóviles que se encuentran a una distancia de 375 km entre sí y

cuyas velocidades difieren en 5 km por hora, se dirigen el uno hacia el otro.

Se encontrarán dentro de 3 horas. ¿Cuál es la velocidad de cada

automóvil?

Solución Primer auto Segundo auto

Velocidad / 5 /

Tiempo 3 3

Distancia 3 3 5

Las sumas de las distancias recorridas es igual a 375 kilómetros

3 3 5 375

3 3 15 375

6 360

60

Velocidad del primer auto 60 / ; velocidad segundo auto 65 /

164

2. Dos automóviles parten de un mismo lugar y viajan en direcciones

opuestas. El primer automóvil hace un promedio de 55 km por hora,

mientras el segundo tiene uno de 65 km por hora. ¿En cuántas horas se

encontrarán a 720 kilómetros entre sí?

Solución Primer auto Segundo auto

Velocidad 55 km/h 65 km/h

Tiempo x hr x hr

Distancia 55 65

La suma de las distancias recorridas es igual a 720 kilómetros.

55 65 720

120 720

6

Tiempo en el que los autos estarán a una distancia de 720 kms entre sí 6

3. Un avión de reacción que vuela a una velocidad de 650 kms por hora va a

alcanzar a otro que lleva una delantera de 4 horas y está volando a una

velocidad de 400 kms por hora. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar

el segundo?

Solución Primer avión Segundo avión

Velocidad 650 400

Tiempo 4

Distancia 650 400 4

El primer avión alcamzará al segundo cuando ambos hayan recorrido la misma

distancia

650 400 4

650 400 1600

165

250 1600 6

El tiempo requerido es 6 , o 6 , 24

Problemas de Geometría

El perímetro de un cuadrado es igual a cuatro veces la longitud de su lado.

El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitus de su lado.

El perímetro de un rectángulo es igual al doble de su base más el doble de su altura.

El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

El área de un triángulo es igual a un medio del producto de la base por la altura.

Se dice que dos ángulos son complementarios si su suma es 90°.

Dos ángulos son suplementarios si su suma es 180°.

1. La base de un rectángulo es 3 pies menor que el doble de la altura, y el

perímetro es de 42 pies. Obtener las dimensiones del rectángulo.

Solución Véase la figura de este problema

Altura Base 2 3

2 3

2 2 2 3 42

2 4 6 42

6 48

8

Altura del rectángulo = 8 pies; Base del rectángulo 2 8 3 13 pies

166

2. La base de una pintura rectangular es 8 pulgadas menor que el doble se

su altura. Si el marco tiene 4 pulgadas de ancho y un área de 816 pulgadas

cuadradas, hallar las dimensiones de la pintura sin el marco.

Solución Véase la figura de este problema.

Altura Base Área

Sin marco . 2 8 . 2 8

Con marco 8 . 2 2 8

x x+8

2x-8

2x

El área de la pintura incluyendo el marco, menos el área de la pintura sin

este último,

es igual al área del marco.

2 8 2 8 816

2 16 2 8 816

24 816

34

Altura de la pintura = 34 pulgada

Base de la pintura = 2(34) – 8 = 60 pulgadas

167

3. La suma de la base y la altura de un triángulo es 28 pies. Encontrar el área

del triángulo si su base es 8 pies menos que el doble de su altura.

Solución Base Altura

2 8

2 8 28

2 8 28

3 36

12

2 12 8 16

12

Á 16 12 96

Problemas en donde se realiza un trabajo

1. La persona A puede hacer cierto trabajo en 8 hr, la persona B en 10 hr,

y la persona C en 12 hr. ¿Cuánto tiempo tomará efectuar el trabajo si A

y B se ponen a trabajar durante 1 hr y A y C terminan después?

Solución: Las partes del trabajo que realizan en una hora A, B y C son 1

8 , 110 , 1

12, respectivamente. La contribución de cada trabajador

es la parte que hace en una hora multiplicada por el número de horas

que trabaja. Si designamos con el número total de horas requeridas

168

para hacer el trabajo, entonces A trabaja horas, B trabaja 1 hora y C

trabaja 1 hr. Por tanto,

= parte del trabajo hecho por A

= Parte del trabajo hecho por B

= Parte del trabajo hecha por C

El trabajo total se completa sumando estas partes y, por tanto;

1

15 12 10 10 120

25 118

4 hr.

Por lo tanto, requerido es 4 hr.

2. Un recipiente, alimentado por 3 llaves, puede ser llenado en 30 minutos

por la primera, en 20 minutos por la segunda y en 40 minutos por la

tercera, ¿en cuánto tiempo llenarán el recipiente las 3 llaves juntas?

Tiempo que tardan las 3 llaves juntas: x

La primera llena en x minutos: 1

30* (x) =

30

x

La segunda llena en x minutos 1

20 *(x) =

20

x

La tercera llena en x minutos: 1

40*(x) =

40

x

169

Condición: 30

x + 20

x + 40

x = 1 (Se iguala a 1 porque se realiza un

trabajo)

4x + 6x + 3x = 120

13x = 120

9.23

170

RALACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON LA FUNCIÓN LINEAL

Hay ecuaciones lineales que únicamente depende de una incógnita; se les conoce como ecuaciones lineales con una incógnita 2 5 2 y con tres 3 5 11 .

LLaass eeccuuaacciioonneess ddee pprriimmeerr ggrraaddoo ttiieenneenn iinnccóóggnniittaass eelleevvaaddaass aa llaa ppootteenncciiaa 11 yy nnoo ssee

mmuullttiipplliiccaann ppoorr ffaaccttoorr;; ssii ssuucceeddiieerraa eessttoo ssee ccoonnvveerrttiirrííaann eenn eeccuuaacciioonneess ddee sseegguunnddoo

ggrraaddoo..

EEJJEEMMPPLLOO Una compañía de telefonía móvil define un costo de $4 por minuto de llamada. Establezcamos una expresión matemática para esta situación.

SSOOLLUUCCIIÓÓNN

aa.. Datos

Costo de la llamada: $4 por minuto. El siguiente cuadro presenta pares ordenados y puedes reconocer que los minutos están relacionados con el incremento del costo.

Referencia Minutos (x) Costo (y)

Al minuto 0 el costo es $0. 0 4(0)= 0


Al minuto 2 es costo es $8. 2 4(2)= 8


… … …

Al minuto x el costo se representa con la ecuación: y=4x. x 4x

bb.. Análisis

La ecuación 4 muestra dos variables: y es el costo total y x es el número de

minutos. La combinación de ambas describe la relación existente entre el costo y el tiempo en minutos cuando se habla por el teléfono móvil. Su representación gráfica se muestra a continuación.

PRECIO DE LAS LLAMADAS

171

Como puedes ver en la grafica de la página anterior se define una recta creciente, y esto quiere decir que cuanto más hable el usuario, mayor será el costo. En la gráfica se nota que existe el conjunto de números en y el conjunto de números en . A la variable , denominada dependiente, la podemos representar con , es decir

. A cada elemento del conjunto de números en le corresponde uno y sólo uno del conjunto de números en . Cuando una relación de pares ordenados se rige por estas condiciones se conoce como función. Comprueba qué efecto tendría la gráfica si un elemento estuviera relacionado al mismo tiempo con dos o más números. Al primer conjunto (minutos) lo denominamos dominio de la función. Cada uno de los elementos del dominio de la función tiene una imagen en el segundo conjunto (costo). Al conjunto de todas las imágenes se le llama rango o contradominio de la función.

cc.. Síntesis Interpretativa En este caso se formaron las parejas: (0, 0), (1, 4), (2, 8), (3, 12),…, , . La variable es cualquier número natural que represente el número de minutos, y es cualquier número natural que represente el costo. Veamos una representación gráfica de esta correspondencia.

172

UUnnaa ffuunncciióónn eess uunnaa ccoorrrreessppoonnddeenncciiaa eennttrree ddooss ccoonnjjuunnttooss ddee nnúúmmeerrooss,, ddee mmaanneerraa qquuee aa ccaaddaa

vvaalloorr ddeell pprriimmeerr ccoonnjjuunnttoo oo ddoommiinniioo llee ccoorrrreessppoonnddee uunn úúnniiccoo vvaalloorr ddeell sseegguunnddoo ccoonnjjuunnttoo ((oo

nniinngguunnoo)),, qquuee llllaammaammooss iimmaaggeenn oo ccoonnttrraaddoommiinniioo..

Una forma de interpretar una función es como si fuera una fábrica: la materia prima es el dominio que pasa a través de la fábrica y entrega un producto (rango).

Si consideramos la correspondencia de los pares ordenados (5, 25), (‐3, 2), (5, 0), (1/2,

2 , (√2, ½), podemos reconocer que un valor del dominio se relaciona más de una vez

con elementos del contradominio (5, 25) y (5, 0). En estas condiciones no se habla de

función, sino de relación.

3

0

1

2

3

0

1

2

Dominio Imagen o contradominio

3

5

0

2

√2

25

12

√2 12

173

Resolver los siguientes problemas en palabras:

A) Problemas que se refieren a números 1. Si a un número se le suma 15, el resultado es 21. Determine el número

2. Cuando se resta 11 de cierto número, el resultado es 52. Obtenga el

número.

3. Si al doble de un número se le aumenta 7, resulta 35. Halle el número.

4. El triple de un número disminuido en 19 es 53. Determine el número.

5. Ocho veces un número es 30 unidades más que 6 veces el mismo.

Encuentre el número.

6. Si a siete tantos de un número se le suma 6, resulta el número

aumentado en 24. Obtenga el número.

7. El tercio de un número, sumado con su cuarta parte da 35, ¿Cuál será el

número?

Ejercicios

Nombre A resolver problemas en palabras por medio de una ecuación lineal

No. 2



Actitudes a formar









174

8. Dos terceras partes de un número exceden a la mitad de él en tres

unidades. Encuentre el número.

9. La suma de dos números es 24. Uno de ellos es el triple del otro.

Obtenga ambos.

10. Un número supera en 7 a otro número. Determine los dos si su suma es

29.

11. Un número es 40 unidades menor que otro. Obtenga ambos si su suma

es 280.

12. Un número es de otro número y la suma de ambos es 126. Encuentre

los números.

13. Un número es de otro y la suma de ambos es 230. Hállelos.

14. La suma de dos números es 48. El cuádruplo del menor es igual al

doble del mayor. Encuentre los números.

15. Un número es 3 unidades menor que otro. Determine ambos si el

cuádruplo del menor es una unidad menos que el triple del mayor.

16. La mitad de un entero es igual a dos quintos de otro. Obtenga los dos si

su suma es 27.

17. Un entero supera en 4 a otro. Encuentre ambos si un cuarto del menor

es igual a un quinto del mayor.

18. La suma de tres números es 44. El segundo es el doble del primero, y el

tercero es 4 menos que el primero. Hállelos.

19. La suma de tres números es 78. El segundo es el doble del primero, y el

tercero es el triple del primero. Obtenga los números.

20. Halle tres enteros consecutivos tales que la suma del primero y el

segundo supere en 20 al tercero.

21. Encuentre tres enteros consecutivos tales que la suma del segundo y el

tercero sea 9 unidades menor que el triple del primero.

Respuesta de los impares: 1) 6 ; 3) 14; 5) 15; 7) 60; 9) 18,6; 11) 120,160

13)92,138 15) 8,11; 17) 20,16; 19) 13,26,39; 21) 12,13,14

175

B) Problemas de porcentaje 1. Cierto automóvil se vendió en $16,000 dólares hace dos años. El mismo

modelo se vende este año en $18,000. ¿Cuál es el porcentaje de

aumento en el precio de compra?

2. Margarita obtiene en sus exámenes un total de 240 puntos de 320

posibles. ¿Cuál es su calificación porcentual?

3. El precio por libra de cierto corte de carne es $2.52 dólares en el año

presente. Si el precio correspondiente fue de $2.40 el año pasado, ¿cuál

es el porcentaje de aumento del precio por libra?

4. Si se asignan 8.4 millones de barriles de petróleo diarios para el

consumo de cierto país y solamente se utilizan 6.3 millones, ¿qué

porcentaje de la asignación no se consume?

5. Mirna gasta $75 dólares a la semana en alimentos. ¿Cuánto deberá

gastar a la semana si su precio aumenta 8%?

6. Mauricio gana $2100 dólares al mes. ¿Cuánto ganará mensualmente si

su salario se incrementa 6%?

7. El ingreso bruto de una empresa es de $450,000. ¿Cuál es el nuevo

ingreso si las ventas aumentan 12%?

8. Una casa se vendió en $168,500 dólares. ¿Cuánto recibe el propietario

si el corredor de bienes raíces tiene una comisión del 6% sobre el precio

de venta?

9. Este año, la depreciación de un automóvil es de $2260.8 dólares en

base a una tasa de depreciación del 12%. ¿Cual era el precio del auto?

10. Un corredor de bienes raíces recibió una comisión de $31,440 por la

venta de una casa en Los Ángeles. ¿En cuanto se vendió la casa si el

corredor cobró un 6% del precio de la venta?

11. El descuento aplicado a un equipo estereofónico fue de $1164.6 en

base a una tasa del 18%. ¿Cuál era el precio normal del equipo?

12. Paty compró un abrigo de pieles con un impuesto del 6.5% incluido, en

$8903. ¿Cuál fue el precio del abrigo sin impuesto?

176

13. El señor Eduardo compró un televisor a color con un impuesto del 6.5%

incluido, en $788.1. ¿Cuál es el precio de venta del televisor antes de

aplicar el impuesto?

14. ¿En cuanto se venderá un sofá si su precio normal es de $840 y la

tienda ofrece un 15% de descuento?

15. Un equipo de aire acondicionado fue vendido en $345 luego de aplicar

un 25% de descuento. ¿Cuál era el precio normal del equipo?

16. ¿Cuál es el precio normal de un traje si se ha vendido en $245 luego de

aplicar un 12.5% de descuento?

17. El costo de un alimentador para aves es de $45 y su precio de venta es

de $63. ¿Cuál es el margen de utilidad sobre el costo?

18. El costo de una botella de licor es $19.25 y su precio de venta es de

$25. ¿Cuál es el margen de utilidad sobre el precio de venta?

19. El precio de venta de un reloj es de $126. ¿Cuál es el costo si el margen

de utilidad es de 40% del costo?

20. El precio de venta de una estufa eléctrica es de $756. ¿Cuál es el costo

si la ganancia es el 35% del costo?

21. El costo de una alfombra es de $581. ¿Cuál es el precio de venta si el

margen de utilidad es es 30% del precio de venta?

22. El costo de un automóvil es de $7320. ¿Cuál es el precio de venta si el

margen de utilidad es el 25% del precio de venta?

23. Dos sumas de dinero que totalizan $30,000 ganan, respectivamente, 6%

y 9% de interés anual. Encuentre ambas cantidades si, en conjunto,

producen una ganancia de $2,340.

24. Dos sumas de dinero que totalizan $45,000 ganan, respectivamente,

6.8% y 8.4% de interés anual. Halle ambas cantidades si juntas dan una

ganancia de $3,524.

25. Ines tiene $10,000 invertidos al 6%. ¿Cuánto debe invertir al 7.5% para

que el interés de ambas inversiones le den un ingreso de $2,400?

26. Juan tiene $9,000 invertidos al 7%. ¿Cuánto debe invertir al 9.2% para

que el interés de ambas inversiones le den un ingreso de $4,862?

177

27. La Sra. López invirtió dos sumas iguales de dinero, una de 5.25% y la

otra de 7.75%. ¿Cuánto invirtió en total si su ingreso por interés fue de

$1040?

28. El Sr.Rico realizó dos inversiones cuiya diferencia es de $18,000. La

inversión menor es al 7.8% y la mayor al 8.6%. determine las cantidades

invertidas si el ingreso anual total por intereses es de $2,860.

29. El Sr. Braulio invirtió una parte de $40,000 al 6.2% y el resto al 7.4%. Si

su ingreso por la inversión al 7.4% fue de $1,328 más que el de la

inversión al 6.2%, ¿qué tanto estaba invertido en cada tasa?

Respuesta a los problemas impares: 1) 12.5%; 3) 5%; 5) $81; 7) $504,000;

9) $18,840; 11) $6,470; 13) $740; 15) $460; 17) 40%; 19) $90; 21) $830

23) $12,000 a 6%; $18,000 a 9%; 25) $24,000; 27) $16,000;

29) $12,000 a 6.2%; $28,000 a 7.4%

C) Problemas de mezclas 1. ¿Cuántos galones de agua deben agregarse a 2 galones de una solución

de sal al 10% y agua, para producir una solución al 4%?

2. ¿Cuántas onzas de alcohol deben añadirse a 100 onzas de una solución al

12% de yodo en alcohol para obtener una solución al 8% de yodo?

3. ¿Cuántos litros de una solución de sal al 30% deben agregarse a 10 litros

de igual solución al 16% para producir una al 20%?

4. ¿Cuántas onzas de una solución de yodo al 16% deben añadirse a 60

onzas del mismo tipo de solución al 3% para obtener una al 8%?

5. ¿Cuántas pintas de una solución con desinfectante al 4% deben agregarse

a 20 pintas de otra igual al 30% para obtener una al 12%?

6. ¿Cuántos litros de una solución de ácido al 80% deben añadirse a 15 litros

de igual solución al 6% para hacer una al 20%?

178

7. Un hombre mezcló 100 libras de una aleación de cobre al 90% con 150

libras del mismo tipo de aleación al 60%. ¿Cuál es el porcentaje de cobre

en la mezcla?

8. Un platero mezcló 20 kilogramos de una aleación de plata al 70% con 55

kilogramos de la misma aleación al 40%. ¿Cuál es el porcentaje de plata en

la mezcla?

9. Susana mezcló 800 gramos de una solución de yodo al 6% con 700 gramos

de una solución del yodo al 9%. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la

mezcla?

10. Jaime mezcló 45 litros del mismo tipo de solución al 18% con 60 litros de

una al 32%. ¿Cuál es el porcentaje de ácido en la mezcla?

11. Rodrigo mezcló 60 libras de una aleación de aluminio al 30% con 140 libras

de la misma aleación. ¿Cuál es el porcentaje de aluminio en la segunda

aleación si la mezcla es de 65% de aluminio?

12. Un químico mezcló 200 gramos de una solución de yodo al 30% con 500

gramos de otra solución de yodo. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la

segunda solución si la mezcla es de 20% de yodo?

13. Margarita mezcló 30 litros de una solución desinfectante al 46% con 55

litros de otra. ¿Cuál es el porcentaje de desinfectante en la segunda si la

mezcla contiene 24% de desinfectante?

14. René mezcló 42 kilogramos de una aleación de cobre al 80% con 78

kilogramos de otra aleación. ¿Cuál es el porcentaje de cobre en la segunda

aleación si la mezcla es de 57.25% de cobre?

15. Julia mezcló una aleación de plata al 40% con otra, al 90%, para hacer una

al 75%. Si hay 20 onzas más de la aleación al 90% que la de 40%,

¿Cuántas onzas hay en la mezcla total?

16. Un agricultor mezcló un fertilizante que contiene 20% de nitrógeno con otro

de 60% para hacer un fertilizante con 34% de nitrógeno. Si hay 36 kg

menos del fertilizante de 60% que del de 20%, ¿Cuántos kilogramos hay en

la mezcla total?

179

17. Una planta procesadora de alimentos desea producir 1020 litros de salsa de

tomate con 30% de azúcar. Si tienen una salsa con 16% de azúcar y otra

con 50%, ¿Qué cantidad de cada clase de salsa deben de emplear?

Respuesta a los problemas impares: 1) 3 galones; 3) 4 litros; 5) 45 pintas; 7) 72%;

9) 7.4%; 11) 80%; 13) 12%; 15) 50 onzas; 17) 600 litros al 16%; 420 litros al 50%

D) Problemas de valor monetario 1. Pedro tiene $3.40 en monedas de 5¢ y 10¢. Si dispone en total de 47

monedas, ¿cuántas de cada clase posee?

2. Rosa tiene $4 en monedas de 5¢ y 25¢. Si posee un total de 32 monedas,

¿cuántas tiene de cada clase?

3. Raymundo tiene $7.60 en monedas de 10¢ y 25¢. Si en total dispone de 40

monedas, ¿cuántas de cada clase posee?

4. Leonor tiene 6 monedas más de 25¢ que de 10¢. Si el valor total es de

$9.20, ¿cuántas tiene de cada clase?

5. Raquel posee 8 monedas más de 5¢ que de 10¢. Si el valor total es de

$3.10, ¿cuántas monedas de cada clase posee?

6. Gerardo compró $8.7 dólares de estampillas de 15¢ y 25¢. Si adquirió 42

de éstas en total, ¿cuántas de cada clase compró?

7. Ramiro tiene 99 dólares en billetes de $1, $5 y $10. Hay 26 de ellos en total

y la cantidad de billetes de $1 es el doble de la de $5. ¿cuántas tiene de

cada clase?

8. Alma tiene $13 dólares en monedas en monedas de 5¢, 10¢ y 25¢. Si en

total posee 92 monedas y el número de éstas de 10¢ es el doble del de 5¢,

¿cuántas posee de cada clase?

180

9. Nora tiene el doble de monedas de 25¢ que de 5¢ y tiene 3 más de 5¢ que

de 10¢. Si el valor total de las monedas es $8.15, ¿cuántas tiene de cada

clase?

10. Naty compró $9.20 dólares de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de

50. Si la cantidad de las de 25¢ que compró es el doble de la

correspondiente a las de 15¢, cuántas estampillas adquiró de cada clase?

11. Eduardo compró $5.75 dólares de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un

total de 39. Si la cantidad de estampillas de 15¢ es el triple de las de 10¢,

¿cuántas consiguió de cada clase?

12. Doroteo compró 11 dólares de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total

de 58. Si la cantidad de 25¢ es el cuádruplo de las de 15¢, ¿cuántas obtuvo

de cada clase?

13. Un abarrotero mezclal 2 clases de nuez, una vale $2.59 la libra y, la otra,

$3.99. Si la mezcla pesa 84 libras y vale $3.09 la libra, ¿cuántas libras de

cada clase utiliza?

14. Un tendero mezcla 2 clases de grano de café, uno vale $2.79 la libra y el

otro $3.09. Si la mezcla pesa 400 libras y se vende $3.09 la libra, ¿cuántas

libras de cada clase de grano emplea?

15. Un confitero mezcla caramelo que vale 139¢ la libra con otro a 84¢ la libra.

Si la mezcla pesa 240 libras y se vende a 177¢ la libra, ¿cuántas libras de

cada clase de caramelo usa?

16. ¿Cuántas libras de té de $4.59 la libra deben mezclarse con 27 libras de un

té de $3.79 la libra para producir una mezcla con un precio de $3.99 la

libra?

17. Micaela compró $13.55 de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de

62. Si hay 2 estampillas más de 15¢ que el doble de las de 10¢, ¿cuántas

adquirió de cada clase?

18. Roque compró $10.70 de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de 53.

Si el número de las de 25¢ es 4 menos que el quíntuplo de las de 10¢,

¿cuántas consiguió de cada clase?

181

19. Soila Jhonson tien $7 dólares en monedas de 5¢, 10¢ y 25¢. Si posee 39

en total y hay 5 más de 25¢ que el doble de las de 10¢, ¿cuántas monedas

de cada clase hay?

20. Bruno dispone de $20 dólares en monedas de 10¢, 25¢ y 50¢. Si en total

tiene 110 y hay 2 menos de 10¢ que el séxtuplo de las de 50¢, ¿cuántas

posee de cada clase?

21. La recaudación por la venta de 35,000 boletos para un partido de futbol

americano fue de $305,500.00. Si se vendieron a $8 y $11, ¿cuántas de

cada clase fueron vendidos?

Respuesta a los problemas impares:

1) 26 monedas de 5¢; 21 de 10¢ 13) 54 libras a $2.59 y 30 libras a $3.99

3) 16 monedsa de 10¢; 24 de 5¢ 15) 144 libras a 139¢; 96 libras a 84¢

5) 26 monedas de 5¢; 18 de 10¢ 17) 5 de 10¢; 12 de 15¢; 45 de 25¢

7) 14 de $1; 7 de $5; 5 de $10 19) 7 de 5¢; 9 de 10¢, 23 de 25¢

9) 13 monedas de 5¢; 10 de 10¢; 26 de 25¢ 21) 26,500 a $8; $8,500 a $11

11) 8 de 5¢; 24 de 15¢; 7 de 25¢

E) Problemas de Movimiento 1. Dos grupos de boy scouts que se hallan a 25 millas entre sí, decidieron

acampar juntos en cierto punto intermedio. Si uno de los grupos camina

1/3 de milla por hora más aprisa que el otro y se encuentran en 3 horas,

¿cuál es la velocidad de cada grupo?

2. Dos automóviles que están a una distancia de 464 millas entre sí y

cuyas velocidades difieren en 8 mph, se dirigen el uno hacia el otro. Se

encontrarán dentro de 4 horas. ¿Cuál es la velocidad de cada

automóvil?

182

3. Dos automóviles parten del mismo lugar y viajan en direcciones

opuestas. El primer auto hace un promedio de 45 mph y el segundo,

tiene uno de 50 mph. ¿En cuántas horas se encontrarán a 570 millas

entre sí?

4. Dos coches parten de un mismo punto en direcciones opuestas. Uno de

ellos hace un promedio de 6 mph más que el otro. Determine las

velocidades de ambos sí al cabo de 5 horas se encuentran a 528 millas

entre sí.

5. Un avión a reacción que vuela a una velocidad de 750 mph va a

alcanzar a otro que partió dos horas antes y que vuela a una velocidad

de 500 mph. ¿A qué distancia del punto de partida encontrará el primer

avión al segundo?

6. Un automóvil parte a una velocidad de 50 mph. Un segundo sale 3

horas más tarde a una velocidad de 65 mph para alcanzar al primero.

¿En cuántas horas alcanzará el segundo auto al primero?

7. Un hombre cabalgó de ida a una velocidad de 30 mph y de regreso a

una velocidad de 35 mph. Su viaje redondo duró 6 horas. ¿Qué

distancia recorrió?

8. Bertha condujo su automóvil 48 minutos a cierta velocidad. Una

descompostura la obligó a reducirla en 30 mph por el resto del viaje. Si

la distancia total recorrida fue de 65 millas y le tomó 2 horas y 3 minutos,

¿qué distancia manejó a la velocidad baja?

9. Enrique manejó 40 millas. En las primeras 20 hizo un promedio de 60

mph y condujo las restantes 20 a una velocidad promedio de 40 mph.

¿Cuál fue la velocidad promedio del recorrido total?

10. Un hombre manejó 20 millas a una velocidad media de 30 mph y las

siguientes 80 a la de 60 mph. ¿Cuál fue la velocidad promedio del

recorrido total?

11. Samuel viajó en autobús a una ciudad a 60 millas de distancia y regresó

a casa en su bicicleta. El autobús viajó al doble de la velocidad de la

183

bicicleta y el viaje redondo duró 4 horas. ¿A qué velocidad viajó

Samuel en su bicicleta?

Respuesta a los problemas impares: 1) 4 ; 4 ; 3) 6 h; 5) 3,000 millas;

7) 105 millas; 9) 48 mph; 11) 20 mph

F) Problemas de Geometría 1. La base de un rectángulo mide 6 pies más que su altura y el perímetro

es de 96 pies. Encuentre las dimensiones del rectángulo.

2. La altura de un rectángulo mide 8 pies menos que la base. Si el

perímetro del rectángulo es de 60 pies, halle las dimensiones de éste.

3. La base de un rectángulo es el triple de la altura, y el perímetro es de

256 pies. Obtenga las dimensiones del rectángulo.

4. La base de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de la altura, y el

perímetro es de 146 pies. Determine las dimensiones del rectángulo.

5. La base de un rectángulo mide 7 pies menos que el doble de la longitud,

y el perímetro es de 58 pies. Encuentre el área del rectángulo.

6. La base de un rectángulo mide 10 pies más que el doble de su altura y

el perímetro es de 170 pies. Halle el área del rectángulo.

7. Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 3 pulgadas

cada uno y los otro dos disminuyen 2 cada uno, el área aumenta en 8

pulgadas cuadradas. Encuentre el lado del cuadrado.

8. Si dos lados opuestos de un cuadrado aumentan 5 pulgadas cada uno y

los otros dos disminuyen 3 cada uno, el área se incrementa en 33

pulgadas cuadradas. Obtenga el lado del cuadrado.

184

9. Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 6 pulgadas

cada uno y los otros dos lados disminuyen 4 cada uno, el área

permanece constante. Determine el lado del cuadrado.

10. Si dos lados opuestos de un cuadrado aumentan 10 pulgadas cada uno

y los otros dos disminuyen 8 cada uno, el área decrece 20 pulgadas

cuadradas. Hallar el lado del cuadrado.

11. La base de un cuadrado sin marco mide el doble de su altura. Si el

marco tiene 2 pulgadas de ancho y su área es de 208 pulgadas

cuadradas, encuentre las dimensiones del cuadrado sin marco.

12. La base de una pintura sin marco es 3 pulgadas menos que el doble de

su altura. Si el marco tiene 1 pulgada de ancho y su área es de 34

pulgadas cuadradas, ¿cuáles son las dimensiones de la pintura sin

marco?

13. Un edificio ocupa un terreno rectangular que mide de largo 30 pies

menos que el doble de su ancho. La banqueta que rodea el edificio tien

10 pies de anchura y un área de 4,600 pies cuadrados. ¿Cuáles son las

dimensiones del terreno que ocupa el edificio?

14. Una construcción se asienta en un terreno rectangular que mide de

largo 10 pies menos que el doble de su ancho. La banqueta que rodea

la construcción tiene 8 pies de anchura y su área es de 2,496 pies

cuadrados. Determine las dimensiones del terreno de la construcción.

15. La longitud de un edificio es de 20 pies menos que el doble de su

anchura. El alero de la azotea es de 2 pies de ancho en todos los lados

del edificio y su área es de 536 pies cuadrados. Si el costo del techo por

pie cuadrado es de $3.60, determine el costo total del techo.

16. La longitud de un cuarto es de 9 pies menos que el doble de su anchura.

La alfombra del cuarto está a 1.5 pies de las paredes. El área de la parte

descubierta del piso es de 99 pies cuadrados. Si el costo de una yarda

cuadrada de la alfombra es de $162, obtenga el costo total de la

alfombra. (1 yarda = 3 pies)

185

17. Un lado de un triángulo mide el doble de otro. El tercer lado ed de 6

pulgadas y el perímetro es de 18. Encuentre la longitud de cada uno de

los lados.

18. La suma de la base y la altura de un triángulo es 35 pies. Encuentre el

área del triángulo si su base mide 10 píes menos que el doble de su

altura.

19. La suma de la base y la altura de un triángulo es 62 pies. Encuentre el

área del triángulo si su altura mide 22 pies menos que el doble de su

base.

Respuesta a los problemas impares: 1) 21 pies, 27 pies; 3) 32 pies, 96 pies; 5) 204 pies

cuadrados; 7) 14 pulgadas; 9) 12 pulgadas; 11) 32 pulgadas, 16 pulgadas; 13) 130 pies, 80 pies; 15)

$16,329.60; 17) 4 pulg, 6 pulg, 8 pulg; 19) 476 pies cuadrados.

G) Problemas donde se realiza un trabajo 1. Una llave llenaría un tanque en 10 horas, y otra llave lo llenaría en 15

horas. Estando el tanque vació, ¿en cuanto tiempo se llenara, si se abren

las dos llaves a la vez?

Resp: 6 horas

2. Un hombre puede hacer cierto trabajo en 21 hr, otro hombre puede hacer el

trabajo en 28 hr, y un muchaco puede hacer el trabajo en 48 hr. Encuentre

cunto tiempo necesitaría para hacer el trabajo si los tres trabajaran juntos.

3. LA persona A puede pintar una casa en 10 días y la persona B puede pintar

una casa en 12 días. ¿Cuánto tiempo tomaría pintar la casa trabajando los

dos hombres conjuntamente?

4. Un trabajador voluntario requirió 2 horas para escribir la dirección de un

grupo de sobres para un fondo de cariadad, mientras que el segundo

trabajador requirió tres horas para el mismo grupo de sobres, ¿cuánto

186

tiempo tomaron los 2 trabajadores para escribir la dirección a un grupo

similar de sobres?

5. Un trabajador de mantenimiento necesitó 8 horas para lavar las ventanas

de cierto edificio. El mes siguiente su ayudante tomó 10 horas para lavar las

ventanas. Si los dos trabajadores lo hicieran juntos, ¿cuánto tiempo tomaría

en lavar las ventanas?

6. Un tanque puede llenarse con u tubo en 9 hr y con otro tubo en 12 hr. Si el

tanque está vacío al empezar, ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque de

agua sí está saliendo el agua por un tercer tubo a una razón de 16 de la

capacidad del tanque por hora?

7. Una persona A puede hacer cierto trabajo en 4 hr, B puede hacer la tarea

en 6 hr, y C puede hacer la tarea en 8 hr. ¿Cuánto tiempo llevaría hacer la

tarea si A y B trabajan una hora y después B y C terminan el trabajo?

Respuesta a los problemas impares: 1) 6 hr; 3) 5 días; 5) 4 horas; 7) 3 hrs

187

H) En cada una de las siguientes situaciones completa los datos que faltan en la tabla para encontrar la solución.

1. Las medidas de un cartel. Un anuncio tiene impresa su parte central con forma rectangular, que mide 100 por 140 centímetros y está enmarcada con una banda de ancho constante. El perímetro del cartel es 1.5 veces el del área impresa. ¿Cuál es el ancho de la banda, y cuáles son las dimensiones del cartel?

Imagen del problema

Datos

Perímetro del área impresa = (2)(100) + (2)(140) = 480

Perímetro del cartel = 1.5 veces el perímetro del

área impresa = 720

Lo que se pide

Ancho de la banda = x

Dimensiones del cartel = (100 + 2x)(140 + 2x)

Perímetro = 2(100 + 2x) + 2(140 + 2x)

Ecuación

Solución

Ancho de la banda =

Dimensiones del cartel =

188

2. Que tan alto es el edificio. Se desea calcular la altura de un edificio y, para tal fin, una persona de 1.80 m mide la sombra que proyecta el edificio y ésta resulta ser de 10 m, mientras que su propia sombra es de 1 m. ¿Cuál es la altura h del edificio?

3.

Imagen del problema

Datos

Sombra del edificio =

Sombra de la persona =

Altura de la persona =

Lo que se pide

Altura del edificio =

101.80

1

Ecuación

Considerando las razones entre triángulos

Solución

Altura del edificio =

189

II)) AACCTTIIVVIIDDAADD GGRRUUPPAALL Formen grupos de trabajo de cuatro a cinco estudiantes y desarrollen los siguientes cálculos. Respondan en una hoja aparte y presente su información al grupo.

1. En un café internet el costo por utilización del servicio es $0.20 por minuto. aa.. Expresen mediante una función entre el costo y el tiempo, y grafiquen la función. bb.. ¿Cuál es el costo por hora de servicio? cc.. Si el dueño del establecimiento tiene 5 computadoras para el servicio y abre 9 horas al día, ¿Cuánto es el máximo que obtendría de ganancia por día?

2. En un billar el costo por jugar en una mesa es de $35 por hora. aa.. ¿Cuál es el costo por jugar t horas? bb.. ¿Cuál es la utilidad máxima que obtendría el dueño, del establecimiento por esa mesa, si abre 12 horas diarias. cc.. ¿Cuál es la utilidad que obtendría el dueño, si tiene 10 mesas? dd.. Si 2 jugadores ocupan la mesa y pagaron $180, ¿Cuánto tiempo jugaron?

190

1. Ecuaciones lineales en dos y tres variables Método Gráfico Método por Suma y Resta Método por Igualación Método por Sustitución Método por Determinantes

2. Problemas en palabras que dan lugar a un sistema de ecuaciones lineales.

1. A resolver ecuaciones lineales en dos y tres variables 2. A resolver problemas cotidianos que dan lugar a un sistema de ecuaciones

lineales.

Competencia

5 ECUACIONES LINEALES EN DOS Y TRES VARIABLES

Explicar los distintos métodos que existen para resolver una ecuación lineal en dos o tres variables.

Resolución de problemas en palabras que dan lugar a una ecuación lineal en dos o tres variables.

Saberes

Ejercicios

191

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables

Los elementos del conjunto solución de una ecuación lineal constituyen una cantidad infinita de parejas ordenadas que pueden representarse gráficamente con una línea recta.

Cuando de dibujan las gráficas de dos ecuaciones lineales en dos variables en un sistema de coordenadas cartesianas surge una de las siguientes posibilidades:

1. Las dos rectas coinciden 2. Las rectas no se intersecan; en tal caso se llaman rectas paralelas 3. Las rectas se intersecan precisamente en un punto.

Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables

Muchas veces se requiere encontrar la solución común, o conjunto solución común de dos o más ecuaciones que forman un sistema de ecuaciones.

DEFINICIÓN: El conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones en dos variables que tienen la forma y es el conjunto de todas las parejas ordenadas de números que constituyen soluciones comunes a las dos ecuaciones. Es la intersección del conjunto solución de una de las ecuaciones con el de la otra.

Saberes

Nombre Ecuaciones lineales en dos y tres variavles No. 1Instrucciones para


Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una expresión que contenga exponentes fraccionarios


Mediante


192

1. Cuando las dos rectas se intersecan exactamente en un punto, el conjunto solución del sistema es la pareja ordenada formada por las coordenadas del punto de intersección.

2. Cuando las dos rectas coinciden, lo cual significa que al dibujarlas una recta queda sobre la otra, el conjunto solución del sistema es el de cualquiera de las ecuaciones.

3. Cuando las dos rectas no se intersecan, el conjunto solución del sistema es el conjunto vacio .

Algunos de los métodos de solución son los siguientes:

1. Solución Gráfica

2. Solución por Suma y Resta

3. Solución por igualación

4. Solución por Sustitución

5. Solución por Determinantes

I. Solución grafica

Ejemplo 1 Resolver el siguiente sistema:

2x + y = 16………………..1

x + y = 10………………..2

Se procede como sigue:

En la ecuación (1) despejamos el valor de (y), colocando esta incógnita es

función de (x) como a continuación se indica:

y = 16 – 2x

Ahora efectuamos una tabulación (damos valores a x y vemos que valores adopta

y).

193

En la ecuación (2) también despejamos a (y) y tabulamos:

Tabulaciones

A continuación, graficamos ambas ecuaciones (ambos lugares geométricos) en un

sistema de ejes coordenados:

La solución grafica del sistema de ecuaciones simultaneas esta dada por el

punto de intersección entre ambas rectas.

Solución: x = 6 y = 4

Comprobación: 2(6) + (4) = 16

194

II. Solución por suma o resta

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de

eliminación por suma o resta, se aplica el siguiente procedimiento:

1. Multiplicamos los dos miembros de una ecuación, o de ambas, por factores

tales que igualen los coeficientes de una misma incógnita.

2. Sumamos las ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y las

restamos si son del mismo signo.

3. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior, con lo cual obtenemos el

valor de una incógnita.

4. Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos

para la otra incógnita.

Ejemplo 2 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y = 4 ecuación 1

+ x – y = 2 ecuación 2

Sumamos ambas ecuaciones

2x = 6 3

Sustituimos en 1: Podemos hacer la comprobación

(3) + y = 4 x + y = 4 3 + 1 = 4

y = 4 – 3 x – y = 2 3 – 1 = 2

y = 1 Solución: x = 3, y = 1

195

Ejemplo 3 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultaneas:

X + 2y = 5………………….1

X + y = 4………………….2

Multiplicamos la ecuación 2 por (- 1) y la sumamos a la ecuación 1. Nota: Usted tiene la libertad de eliminar cualquiera de las variables, según sea su preferencia.

X + 2y = 5 Sustituyendo y = 1 en ec. (2) Comprobación:

‐x –y = ‐4 1 4 Ecuación (1): 3 2 1 5

y = 1 4 1 3 5 5

Solución: , Ecuación (2): 3 1 4

4 4

Ejemplo 4 Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas:

15 20 10 ………………….1

25 30 80 …………………..2

Multiplicamos la ecuación 1 por 3 y la ecuación 2 por 2 y luego las sumamos:

45 60 30

50 60 160

95 190

2

Sustituimos en ecuación 1 (porque es mi elección, pudiera ser la ecuación 2)

15 2 20 10

20 10 30

20 20 por lo tanto 1

196

III. Solución por igualación

Para resolver un sistema de dos ecuaciones simultaneas, eliminando por el

método de igualación, aplicamos el siguiente procedimiento:

1. Despejamos en cada ecuación la incógnita que se quiere eliminar.

2. Igualamos las dos expresiones del paso anterior.

3. Resolvemos la ecuación resultante de la igualación, con lo cual obtenemos el

valor de una de las incógnitas.

4. Sustituimos el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor

de la otra incógnita y resolvemos para ella.

Ejemplo 5. Resuelve:

X + y = 12 (1

X – y = 8 (2

Despejamos a x en ambas ecuaciones e igualamos:

De 1: x = 12 – y de 2: x = 8 +y

Por lo tanto: Como: 12 Comprobación

12 –y = 8 + y 12 2 (10) + (2) = 12

‐y –y = 8 – 12 10 12 = 12

‐2y = ‐ 4 (10) – ( 2) = 8

2y = 4 8 = 8

y = 2

197

Ejemplo 6 Resolver el sistema: 3 2 12 ecuación 1

5 3 1 ecuación 2

Aunque pudiera despejar la x , elijo despejar la “ y “ por ilustración al alumno:

De ecuación (1): 2 12 3 De ecuación (2): 3 1 5

(Se multiplicó por -1) 3 5 1

Igualamos:

Multiplicamos por el m.c.m. = 6 6 6

Lo cual nos da: 3 12 3 2 5 1 Al sustituir x = 2 en la

36 9 10 2 ecuación (1) despejada:

38 19 3

2 Solución: ,

198

IV. Solución por sustitución:

El procedimiento es el siguiente:

1. Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones.

2. Sustituimos la ecuación que representa su valor en la otra ecuación.

3. Resolvemos la nueva ecuación con lo cual se obtiene el valor de la incógnita

no eliminada.

4. Sustituimos el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la

otra incógnita, y resolvemos la ecuación resultante.

Ejemplo 7 Resuelve: x + y = 23………………… (1

x – y = 7………………… (2

Despejamos el valor de y en la ecuación 1:

y = 23 – x …………………… (3

El valor de y obtenido en la ecuación 3 se sustituye en la ecuación 2:

x – (23 – x) = 7

x – 23 + x = 7 Sustituimos x = 15 en ecuación (3)

2x = 7 + 23 23 15 8

2x = 30 x = 15 Solución: ,

199

Ejemplo 8 Resolver por sustitución el sistema:

4 9 12 ……………….. 1

2 6 1 ……………….. 2

De la primera ecuación, y la sustituimos en la segunda ecuación:

2 6 1

6 1

Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por 2, obtenemos

9 12 12 2

21 14

Sustituyendo en resulta:

Solución : y

200

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON MÁS DE DOS INCÓGNITAS

Para resolver estos sistemas se pueden escoger cualquiera de los métodos vistos anteriormente.

Ejemplo 9 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:

2x – 6y – 5z = ‐11…………………. (1

10x + 9y – 3z = 50………………… (2

4x – 8y + z = 15…………………. (3

Elijo eliminar a (y) de las ecuaciones 1 y 2, multiplicamos la ecuación 1 por 9 y la

ecuación 2 por 6 y sumamos ambas expresiones:

+ 18x – 54y – 45z = ‐ 99

60x + 54y – 18z = 300

78x ‐ 63z = 201…………….. (4

Ahora multiplicamos la ecuación 2 por 8 y la ecuación 3 por 9 y las sumamos:

80x + 72y – 24z = 400

+ 36x – 72y + 9z = 135

116x ‐ 15z = 535 ………. (5

Ahora hagamos simultáneas las ecuaciones 4 y 5. Eliminemos a z multiplicando la ecuación 4 por (- 15) y la ecuación 5 por 63 y luego sumemos:

‐1170x + 945z = ‐ 3015

7308x – 945z = 33705

6138x = 30690

201

30690

6138x por lo tanto 5

Sustituimos en 5: Sustituimos en 1:

116(5) –15z = 535 2(5) – 6y – 5(3) = ‐11

580 – 15z = 535 10 – 6y – 15 = ‐ 11

‐15z = 535 – 580 ‐6y ‐5 = ‐11

‐15z = ‐ 45 ‐6y = ‐11+5

15z = 45 ‐6y = ‐6

z = 3 y = 1

Solución: , ,

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS POR DETERMINANTES (Regla de Cramer)

Antes de entrar a la resolución de ecuaciones simultaneas por determinantes,

veamos que es un determinante y como se resuelve.

Determinante de segundo orden. Es la ordenación cuadricular de 4 números

y se desarrolla de la manera siguiente.

Calcula el valor del siguiente determinante:

3 52 7

3 7 5 2 21 10 31

202

Determinante del tercer orden. Es una ordenación cuadricular de números, que consta de 3 columnas y 3 renglones .

El desarrollo de un determinante de tercer orden es el siguiente: (Se repiten las dos primeras columnas)

- - - + + +

Calcula el valor del siguiente determinante:

2 6 5

10 9 34 8 1

2 6 5

10 9 34 8 1

2 6

10 94 8

2 9 1 6 3 4 5 10 8

5 9 4 2 3 8 6 10 1

2 9 1 6 3 1 5 10 8 5 9 4 2 3 8 6 10 1

18 72 400 180 48 60 682

El determinante vale

203

Veamos ahora la aplicación de los determinantes a la resolución de sistemas de

ecuaciones simultáneas. El procedimiento es el siguiente:

1. Se ordenan las ecuaciones de tal modo que las constantes aparezcan en el

miembro de la derecha y las variables en el de la izquierda.

2. Calculamos el valor del determinante formado por la ordenación cuadricular de

los coeficientes de las incógnitas; a dicho determinante le llamaremos ∆ (delta).

3. En el determinante ∆ sustituimos la primer columna (correspondiente a los

coeficientes de la primer incógnita por la columna de las constantes de las

ecuaciones y calculamos el valor de este nuevo determinante al cual le

llamaremos ∆x (delta equis).

Si sustituimos la segunda columna en delta por la columna de las constantes,

entonces tendremos a ∆y (delta ye) y así sucesivamente

Aplicando la siguiente formula (regla de Cramer)

∆

∆,

∆

∆,

∆

∆

Nota: Si en lugar de x, y, z las incógnitas tuvieran otras literales, únicamente

haremos las modificaciones pertinentes.

Ejemplo 10 Resuelve por determinantes el sistema siguiente:

2X + 3Y = 8

3X ‐ Y = 1

∆ 2 33 1

2 1 3 3 2 9 11

∆ 8 31 1

8 1 3 1 11

204

∆ 2 83 1

2 1 3 8 22

11

111

xx

222

11

yy

Ejemplo 11 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas por determinantes:

2x – 6y – 5z = ‐11…………………. (1

10x + 9y – 3z = 50………………… (2

4x – 8y + z = 15…………………. (3

∆2 6 5

10 9 34 8 1

682 Nota: El alumno debe verificar el valor de los determinantes

Por lo tanto, la solución es:

∆11 6 5

50 9 315 8 1

3410 ∆

5

∆2 11 5

10 50 34 15 1

682 ∆

1

∆2 6 11

10 9 504 8 15

2046 ∆

3

X = 1

Y = 2

205

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES QUE CONTIENEN SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN Y FRACCIONES

Cuando alguna o ambas ecuaciones contienen símbolos de agrupación, se aplica la ley distributiva para eliminarlos. Se escriben ecuaciones equivalentes de la forma

y, luego, se resuelve.

Ejemplo 12 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3 2 4 13 y 5 2 3 19

Solución: Se simplifican ambas ecuaciones separadamente:

3 2 4 13 5 2 3 19

3 3 2 8 13 10 5 3 19

11 13 ……………. Ec. (1) 7 5 19 ………………Ec. (2)

Resolvemos ahora el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2)

7 77 91 Ec. (1) multiplicada por 7

7 5 19

72 72

1

Sustituyendo 1 en la ecuación (1) tenemos,

11 1 13

2

El resultado es ,

206

Ejemplo 13 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

7 ; 13

Solución: Multiplicamos la primera ecuación por 4, y la segunda por 12, lo cuál da:

2 3 28 10 20 30 280

9 10 156 3 27 30 468

47 188

4

Sustituyendo 4 en cualquier ecuación da:

2 4 3 28 12

207

EJERCICIOS

I. Resuelve por método grafico los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:

1. 4

2

x y

x y

2. 3

1

x y

x y

3. 5

1

x y

x y

4. 3 2 7

3 5

x y

x y

5. 3 4

3 2

x y

x y

II. Resuelve por el método de eliminación por suma o resta los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:

6. 2

2 1

x y

x y

7. 4 6

3 1

x y

x y

8. 2 6

3 8

x y

x y

9. 6 7 10

8 13 6

x y

x y

10. 2 3

3 2 8

x y

x y

11. 3 2

3 5 6

x y

x y

12. 2 7 26

5 9

x y

x y

13. 5 2 3

7 3 10

x y

x y

14. 4 3 6

3 5 19

x y

x y

Ejercicios

Nombre A resolver ecuaciones lineales en dos y trtes variables No. 1Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









208

III. Resuelve por método de eliminación por igualación los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:

15. 5 1

3 7

x y

x y

16. 2 2

3 7

x y

x y

17. 5

4 10

x y

x y

18. 4 5 2

5 3 21

x y

x y

19. 2 11 67

2 5 20

y x

x y

20. 3 7 2

7 8 2

x y

x y

21. 4 3 5

3 2 3

x y

x y

22. 2 3 5

3 4 18

x y

x y

IV. Resuelve por el método de eliminación por sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:

23. 3 0

2 5

x y

x y

24. 4 5

3 4 17

x y

x y

25. 5 7

5 3 3 2

y x

x y x

26. 3 2

3 5 6

x y

x y

27. 7 6 17

3 18

x y

x y

28. 37

2 3 31 13

x y

x y x y

29. 2 6

2 4 3

x y y

x y y

V. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos de eliminación:

30.

12

2 2 2 3

3 7

x y z

x y z

x y z

31.

2 4 2 0

3 5 3 4

7 2 7

x y z

x y z

x y z

32.

3 2 9

4 3 19

2 8

x y z

x y z

x y z

33.

7

1

3

x y z

x y z

y z x

34. 2 9

5 2 6

x y z

x z y

x y z

35.

14

6

(4 )

x y z

x y z

y x z

VI. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas por el método de determinantes.

36. 2 4

3 4 1

x y

x y

37. 3 5

2 3 7

x y

x y

38. 4 3 2

4 0

x y

x y

39.

3 2 4 1

4 5 2

2 3 6

x y z

x y z

x y Z

209

VII. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos que usted quiera.

40 2 3 3 2 4 0 41. 3 2 3 2

4 1 4 3 2 2 4

42. 4 1 3 2 19 43. 3 2 7 2

5 4 3 9 4 6 7 26

44. 3 2 2 3 4 45. 2 3 4 3 2 7 35

7 2 4 17 2 3 7

46. 3 2 2 2 26 47. 3 2 2 3 4

2 3 2 22 4 3 2 2

48. 3 2 3 4 3 11 49. 5 3 2 2 5 21

6 4 21 2 2 9

50. 51.

52. 53.

VIII. Aquí tienes más ecuaciones para que practiques por el método que

gustes:

54. 3 0 55. 4 5 56. 4 3 57. 3 1

2 5 3 4 17 2 3 2 7

210

58. 2 3 59. 2 12 60. 2 4 61. 3 1

3 3 9 6 19 3 2 27 2 3

62. 2 3 12 63. 7 6 17 64. 3 1 65. 5 1

4 5 20 3 18 7 6 11 4 1

66. 2 2 67. 1 68. 4 6 7 69. 15 9 5

6 7 8 2 3 5 3 5 6 8 7

70. 8 3 8 83 71. – 2 2 1 72. 2 5 18

7 5 7 126 5 4 16 7 5 5 83

4 4 3 17 8 4 2 10 9 5 7 99

73. – 3 5 9 61 74. – 5 5 67 75. – 3 3 7 33

5 4 7 64 2 9 9 21 4 9 9 128

6 8 15 8 9 8 96 3 5 5 45

Solución a los ejercicios impares anteriores:

1. 3, 1x y ; 3. 3, 2x y ; 5. 1, 1x y ; 7. 1, 2x y ; 9. 4, 2x y

11. 2, 0x y ; 13. 1, 1x y ; 15. 1, 4x y ; 17. 2, 3x y ;

19. 5, 6x y ; 21. 1, 3x y ; 23. 1, 3x y ; 25. 2, 1x y ;

27. 5, 3x y ; 29. 3, 0x y ; 31. 1, 2, 3x y z ; 33. 4, 2, 5x y z

35. 10, 5, 1x y z ; 37. 2, 1x y ; 39. 1, 3, 1x y z

41. 2, 4; 43. 4, 2; 45. 1, 2; 47. 2, 2;

49. 1, 4; 51. 8, 3; 53. 15, 15 55. 3, 2

57. 1, 2 59. 2, 7; 61. , 63. 5, 3

65. , 67. , 69. , ; 71. 1, 2, 3;

73. 6, 5, 2; 75. 5, 9, 3

211

PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS O MÁS INCÓGNITAS

Muchos problemas con enunciado contienen más de una cantidad desconocida; con frecuencia la ecuación que se plantea en la resolución del problema resulta ser más sencilla si se introduce más de una incógnita. Sin embargo, antes de que el problema esté completamente resuelto, el número de ecuaciones originadas tiene que se igual al número de incógnitas empleadas.

1. Un arrendatario recibió $ 1,200 de alquiler de dos residencias en 1 año; el

precio del alquiler de una de ellas era de $10 por mes más que la otra.

¿Cuánto recibió el arrendatario por mes por cada una si la casa más cara

estuvo desocupada 2 meses?

Solución: Sea,

el alquiler mensual de la casa más cara,

el alquiler mensual de la otra, entonces

Saberes

Nombre Problemas en palabras que dan lugar a un sistema de ecuaciones lineales

No. 2



Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para resolver un problemas cotidiano empleando una ecuación lineal en dos o tres variables.


Mediante


212

10 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (1)

ya que una tenía un costo de $10 por mes más que la otra. Además, ya que la primera casa fue alquilada durante 10 meses y la otra por 12 meses, se sabe que 10 12 es la cantidad total recibida. De aquí que,

10 12 1200 ‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (2)

Ahora, se tienen las ecuaciones (1) y (2) con las incógnitas y ; se

resolverán simultáneamente por eliminación de y. El resultado es como sigue:

12 12 120 ecuación (1) por 12

10 12 1200

22 1320 Sustituyendo 60 por x en ecuación (1) da:

De este modo 60 60 10 50 50

Por tanto, la renta mensual fue de $60 y $50, respectivamente.

2. Un comerciante de tabaco mezcló un grado de tabaco que vale $1.40 por libra con otro que vale $1.80 por libra a fin de obtener 50 libras de una mezcla que vendió a $1.56 por libra. ¿Qué peso de cada calidad fue empleado?

Solución: Sea,

el número de libras del de $1.40 empleado

el número de libras del de $1.80 empleado

Entonces

50 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (1)

Ya que había 50 libras en la mezcla. Asimismo, 1.40 es el valor en dólares con la

primera calidad, 1.80 es el valor en dólares con la segunda calidad y también

tenemos que 1.56 50 78 es el valor en dólares de la mezcla. Por tanto,

1.40 1.80 78 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (2)

213

Ya que (1) y (2) son las ecuaciones requeridas, podemos resolverlas como sigue:

1.40 1.40 70 ecuación (1) por 1.40

1.40 1.80 78

0.40 8

.

20

Sustituyendo 20 por en la ecuación (1), se obtiene 20 50 30

Por lo tanto, el comerciante utilizó 30 libras de $1.40 y 20 libras de $1.80 en la mezcla.

3. El doble de un número supera en 9 al triple de otro, mientras que 12 veces

el segundo excede en 12 unidades al séptuplo del primero. Hallar ambos.

Solución: Primer número Segundo número

2 3 9 2 3 9 ecuación (1)

12 7 12 7 12 12 ecuación (2)

Resolviendo el sistema tenemos que,

8 12 36 ecuación (1) por 4

7 12 12

48

48

Al sustituir x por 48 en cualquier ecuación resulta 29

Los números son 48 y 29

214

4. Catalina invirtió parte de su dinero al 8% y el resto al 12%. El ingreso obtenido por ambas inversiones totalizó $2,240. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso hubiera totalizado $2,760. ¿Qué cantidad de dinero había en cada inversión?

Solución: Inversiones originales Inversiones intercambiadas

x al 8% ; y al 12% x al 12% ; y al 8%

0.08 0.12 2240 0.12 0.08 2760

8 12 244,000 12 8 276,000

2 3 61,000 …….. (1) 3 2 69,000 ………..(2)

Al resolver las ecuaciones (1) y (2) tenemos,

4 6 122,000 ecuación (1) por 2

9 6 207,000 ecuación (2) por 3

5x = 85,000

x = 17,000

Sustituyendo x por 17,000, se obtiene 9,000

Las inversiones son $17,000 y $9,000

215

5. Si la base de un rectángulo disminuye 2 pulgadas y la altura aumenta 2, su

área se incrementa en 16 pulgadas cuadradas. Si la base aumenta 5

pulgadas y la altura disminuye 3, el área aumenta 15 pulgadas cuadradas.

Encontrar el área del rectángulo original.

Solución: Sea la altura del rectángulo en pulgadas = x

Sea la base del rectángulo en pulgadas = y

Primero: Segundo:

2 2 16 5 3 15

2 2 4 16 5 3 15 15

2 2 20 5 3 30 ……… ec. (2)

10 …… ec. (1)

Resolviendo las ecuaciones obtenidas,

3 3 30 ec. (1) por 3

5 3 30

2 60

30

Sustituyendo x por 30 obtenemos y = 40

Por consiguiente, el área del rectángulo original 30 40 1200

6. Si una solución de glicerina al 40% se agrega a otra al 60%, la mezcla resulta al 54%. Si hubiera 10 partes más de la solución al 60%, la mezcla sería al 55% de glicerina. ¿Cuántas partes de cada solución se tienen?

Solución: Primero : Sean

40% 60% 54%

40% 60% 54%

216

40 60 54

14 6 0 que al dividirla entre 2

7 3 0 Ecuación 1

Segundo: Sean 10 10

40% 60% 55%

40% 60% 10 55% 10

40 60 10 55 10

40 60 600 55 55 550

15 5 50

3 10 Ecuación 2

Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 tenemos:

7 3 0 7 3 0

3 10 x (‐3) 9 3 30

Sumando resulta 2 30

15

Al sustituir por 15, obtenemos 35

Las partes correspondientes a las soluciones de glicerina son 15 y 35

7. Una caja registradora contiene $50 en monedas de 5 centavos, de diez centavos y 25 centavos. En total son 802 monedas, siendo 10 veces mayor el número de las de 5 centavos que el de las de 10 centavos. Encontrar cuantas monedas hay de cada valor.

Numero de monedas de 5¢ = x

Numero de monedas de 10¢ = y

Numero de monedas de 25¢ = z

217

Condiciones:

.05x + .1y + .25z = 50 ………………. Ecuación (1)

x + y + z = 802 ……………… Ecuación (2)

x = 10y ……………… ecuación (3)

En esta ocasión decidimos resolver el sistemas por determinantes:

15.205.25.5.21.0

101

11

1.05.

0101

111

25.1.05.

150505000200500

100

1802

1.50

0100

11802

25.1.50

x

Por lo tanto, 70015.2

1505

x

x

Sustituimos en 3: 10y = 700 y = 70

Sustituimos en 2: (700) + (70) + z = 802 z = 32

700 monedas de 5¢

70 monedas de 10¢

32 monedas de 25¢

218

I. RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS USANDO UN SISTEMA LINEAL EN DOS VARIABLES

1. El doble de un número supera en 9 al triple de otro, mientras que 12 veces el segundo excede En 12 unidades al séptuplo del primero. Hallar ambos.

2. El doble de un número es 4 unidades menor que otro, mientras que el quíntuplo del primero es 3 unidades menor que el doble del segundo. Halle los dos números.

3. El triple de un número supera en 1 a otro, mientras que el quíntuplo del primero es 4 unidades menor que el doble del segundo.. Encuentre ambos números.

4. Marcos invirtió parte de su dinero al 12% y el resto al 15%. El ingreso por

ambas inversiones totalizó $3000. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso habría totalizado $2940. ¿Qué cantidad tenía en cada inversión?

5. El precio del boleto de avión México-Guadalajara es de $850 para adulto y de

$500 para niño. Si se vendieron un total de 50 boletos y se obruvieron ingresos por $36,900, ¿cuántos adultos y cuántos niños viajaron en el avión?

Ejercicios

Nombre A resolver problemas cotidianos que dan lugar a un sistema de ecuaciones lineales.

No. 2



Actitudes a formar









219

6. El restaurante Los Comales paga a sus camateros $500 a la semana más las

propinas que promedian $100 por mesa. El restaurante Las Cacerolas paga $1,000 a la semana pero las propinas promedian sólo $50 por mesa. ¿Cuántas mesas " " tendría que atender un mesero de modo que su salario semanal " " fuera el mismo en ambos restaurantes?

7. Una notaria cobra $3500 por elaborar un título de propiedad y $2000 por el

acta constitutiva de una empresa. En un mes realizó un total de 22 operaciones que representaron un ingreso de $53,000 por estos conceptos, pero en sus registros no se anotó cuántos títulos de propiedad y cuántas actas constitutivas se elaboraron y ahora se requiere conocer esos datos; Obténlos a partir de la información requerida.

8. Si 6 libras de naranjas y 5 libras de manzanas cuestan $4.19 dólares, mientras que 5 libras de naranjas y 7 de manzanas cuestan $4.88 dólares, determina el presio por libra de cada fruta.

9. Si 5 libras de almendras y 4 de nueces cuestan $30.30 dólares, mientras que 8

libras de almendras y 6 de nueces cuestan $47.20 dólares, determinar el precio por libra de cada producto.

10. Si 12 libras de papas y 6 de arroz cuestan $7.32 dólares, mientras que 9 libras

de papas y 13 de arroz cuestan $9.23 dólares, ¿cuál es el precio por libra de cada producto?

11. Si 10 paquetes de maíz y 7 de chícharos cuestan $12.53, mientras que 7 de

maíz y 9 de chícharos cuestan $12.52 dólares, halle el precio por paquete de cada producto.

12. Si la longitud de un lote rectangular disminuye 10 pies y la ancura aumenta 10, el área del lote se incrementa en 400 pies cusdrados. Si la longitud aumenta 10 pies y la anchura disminuye 5, el área del lote permanece constante. Halle el área del lote original.

13. Si la base de un rectángulo aumenta 2 pulgadas y la altura disminuye 2, el área disminuye 16 pulgadas cuadradas. Si la base disminuye 1 pulgada y la altura aumenta 2, el área se incrementa en 20 pulgadas cuadradas. Determine el área original del rectángulo.

220

14. Un ganadero ha vendido 60 terneras y 240 ovejas a un comprador por $17,160 dólares, y con los mismos precios ha vendido 40 terneras y 180 ovejas por $12,240. Encuentre los precios por cabeza de cada una de las especies de animales vendidos.

15. Un hombre tiene dos inversiones, una que le deja anualmente un interés de 3% y otra de 4%. El ingreso anual total causado por las inversiones es $170. Si se intercambiaran las razones de interés, el interés total anual sería de $180. Encuentre el monto de cada inversión.

16. Si una aleación de plata al 8% se combinara con otra al 20%, la mezcla contendría 10.4% de plata. Si hubiera 10 libras menos de la aleación al 8% y 10 más de la aleación al 20%, la mezcla resultaría al 12.8% de plata. ¿Cuántas libras de cada aleación se tienen.

17. Si una solución de ácido al 20% se agrega a otra al 50%, resulta una mezcla al 38%. Si hubiera 10 galones más de la solución al 50%, la nueva mezcla resultaría al 40% de ácido. ¿Cuántos galones se tiene de cada solución?

18. Una empresa constructora cobra $350 por elaborar un plano y $600 por un diseño. En un año registró haber efectuado 420 operaciones que representaron un ingreso de $207,000, ¿cuántos planos elaboró?

19. El precio de entrada a un espectáculo es $40 por adulto y $10 por niño. Si se vendieron en total 450 boletos y se obtienen ganancias por $9000, ¿cuántos niños entraron al espectáculo?

II. RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS USANDO UN SISTEMA LINEAL EN TRES VARIABLES

20. Encuentre tres números tales que la suma del primero y segundo es 67, la suma del primero y tercero es 80, y la suma del segundo y el tercero es 91.

21. La suma de tres ángulos de un triángulo es 180°. La suma de dos de los ángulos es igual al tercer ángulo y la diferencia de los dos ángulos es igual a 2/3 del tercer ángulo. Encuentre los ángulos.

221

22. Un hombre realiza tres inversiones de un total de $24,000 con razones de interés de 6%, 7% y 8% anual. El ingreso tatal anual es de $720 y el ingreso de la inversión al 7% es $40 menos que el ingreso combinado de las otras dos inversiones. Encuentre el monto total de cada inversión.

23. La biblioteca de una escuela gastó $895 en la compra de 40 libros en total,

correspopndientes al las asignaturas de matemáticas, geografía e inglés. En la “Librería Cristal” los precios son: $28 cada libro de matemáticas, $25 de geografía y $15 el de inglés. Si los hubiera comprado en la “Librería Quijote” habría gastado $915 en la adquisición del mismo número de libros, pero a un precio de $31 cada libro de matemáticas, $24 de geografía y $14 el de inglés. ¿Cuántos libros de matemáticas, geografía e inglés se adquirieron?

24. Armando ha pagado en el supermercado un total de 1560 pesos por 240 litros

de leche, 60 kg de azúcar y 120 litros de aceite. Calcula el precio de cada artículo, sabiendo que 10 litros de aceite cuestan el triple de 10 litros de leche y que 10 kg de azúcar cuestan igual que 40 litros de aceite más 40 litros de leche.

25. En la caja fuerte del abuelo hay 50,000 pesos en billetes de $50, $100 y $200.

En total son 802 billetes, siendo 10 veces mayor el número de los de cincuenta que los de cien pesos. Ayuda a mi abuelo a descifrar cuántos billetes hay en cada denominación.

Respuesta a los problemas impares anteriores:

1) Los números son 48 y 29; 3) 6 y 17; 5) 34 adultos, 16 niños; 7) 6 titulos de

propiedad, 16 actas contitutivas; 9) Almendras a $3.50, nueces a $3.20;

11) Maiz a 63¢, chícharos a 89¢; 13) 160 pulgadas cuadradas; 15) $3000 al 3%, $2000 al

4%; 17) 20 galones, 30 galones, 19) 300 niños; 21) 15°, 75°, 90°;

23) 15 de matemáticas, 10 de geografía y 15 de inglés; 25) 690 de $50, 69 de $100, 43 de

$200 pesos.

222

1. Métodos de solución de una ecuación cuadrática o de segundo grado Métodos de solución:

Gráfico Factorización Completando el trinomio cuadrado perfecto Fórmula General

Ecuaciones con radicales Ecuaciones reducibles a una de segundo grado Ecuaciones que dan lugar a ecuaciones cuadráticas

2. Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación cuadrática.

1. A resolver ecuaciones en forma cuadráticas 2. A resolver problemas en palabras por medio de ecuaciones de segundo

grado

Competencia

6 ECUACIONES CUADRÁTICAS

Métodos de solución de una ecuación cuadrática Ecuaciones que se reducen a una ecuación

cuadrática Problemas en palabras que se resuelven con una

ecuación cuadrática

Saberes

Ejercicios

223

ECUACIONES CUADRÁTICAS.

Definición

Una ecuación con una sola incógnita es de segundo grado o cuadrática cuando después de reducida a su más simple expresión, el más alto grado de la incógnita es 2.

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Toda ecuación de segundo grado con una incógnita puede reducirse en

forma general:

En donde a es el coeficiente de la incógnita al cuadrado, b es el coeficiente de la incógnita a la primera potencia y c es el termino independiente.

Ecuación cuadrática completa

Una ecuación de segundo grado es completa cuando consta de 3 términos: uno en que aparece la incógnita al cuadrado, en otro en que aparece la incógnita a la primera potencia y en un término independiente.

Saberes

Nombre Métodos de solución de una Ecuación Cuadrática o de Segundo Grado

No. 1



Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para resolver una ecuación cuadrática por cualquier método.


Mediante


ax2 + bx + c = 0

224

Ecuación cuadrática incompleta:

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando carece del término independiente o del término con la incógnita a la primera potencia.

Cuadráticas puras y cuadráticas mixtas

Es cuadrática pura ax2 + c = 0

ax2 + bx = 0

Son cuadráticas mixtas

ax2 + bx + c = 0

RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS PURAS

En todas las cuadráticas puras, la incógnita es igual a más menos la raíz cuadrada del cociente del término independiente cambiado de signo entre el coeficiente de x2 .

Ejemplo 1:

Resuelve la siguiente ecuación:

2x2 + 7 = 194

5 2

x

8x2+ 28 = 5x2 + 76 (se multiplicó la ecuación anterior por 4)

8x2‐ 5x2 + 28 – 76 = 0

3x2‐48 = 0

√16 4

La solución es 4 ; 4

225

RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS INCOMPLETA

La ecuación de segundo grado en que falta el término independiente tiene una raíz nula (igual a cero), y la otra es igual al cociente formado por el coeficiente del termino en x con signo contrario entre el coeficiente de x2.

ax2 + bx = 0 0

x(ax + b) = 0 Esta es otra solución

Esta es una solución

Ejemplo 2:


x2 – 9x = 0 Igualamos cada factor a cero

x(x – 9) = 0 0 9 0

9

RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS COMPLETAS.

Métodos para resolver cuadráticas mixtas incompletas

Método

Gráfico

Factorización

Completando

el cuadrado

Por Fórmula

General

0

226

Resolución de cuadráticas mixtas completas por el método grafico

Procedimiento:

1. Igualamos la cuadrática a una nueva variable (y)

2. Tabulamos: dando valores a x calculamos los valores que adopta y.

3. Graficamos.

4. Los valores de x para los cuales y vale cero, serán las raíces solución

de la ecuación.

Ejemplo 3: Resolver por el método gráfico 2 8 0

1. Sea 2 8

2. Se hace hace una tabla de valores de que corresponden a los valores asignados de conforme se muestra en la siguiente tabla:

3. Usar los pares de valores que aparecen en la tabla como coordenadas de los puntos en el sistema de coordenadas rectangulares.

4. Dibujar la curva a través de estos puntos. La gráfica resultante es una parábola. Ver la figura.

Las soluciones o raíces de la ecuación son los puntos en donde 0, ya que esto conduce a la ecuación original 2 8 0 . En la tabla podemos ver que las raíces son:

y

227

Resolución de cuadráticas mixtas completas por factorización

Procedimiento:

1. Factorizamos la ecuación.

2. Igualamos cada sector a cero y resolviendo para la incógnita en cada

caso obtenemos las raíces de la ecuación.

Ejemplo 4: Podemos comprobar el resultado de la ecuación anterior,

resolviéndola por factorización.

2 8 0

4 2 0

4 0 2 0

4 2

4 2

Ejemplo 5:


0352 2 xx

(x – 3) (2x + 1) = 0 31 x

x – 3 = 0 2

12 x

2x + 1 = 0

228

Resolución de cuadráticas mixtas completando el cuadro

Ejemplo 6:


x2 + 6x – 16 = 0

1. Cambiar el término independiente al segundo miembro:

x2 + 6x = 16

2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado (la mitad de 6 es 3, que el cuadrado de 9, por lo tanto,

x2 + 6x + 9 = 16 + 9

x2 + 6x + 9 = 25

3. Como el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un binomio al cuadrado:

2( 3) 25x

4. Sacamos raíz cuadrado a ambos lados de la ecuación, y obtenemos:

3 5

3 5

Por lo tanto las raíces son:

3 5

3 5

229

Ejemplo 7:


2x2 + 9x – 5 = 0

En este caso, primero dividimos la ecuación entre 2 para que el coeficiente de x2

sea la unidad.

0

1. Cambiar el término independiente al segundo miembro:

2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de x elevado al cudrado: (la mitad de es /

/ que al elevarlo al cuadrado da .

3. Como el lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un binomio al cuadrado:

4. Sacamos raíz cuadrado a ambos lados de la ecuación, y obtenemos

Por lo tanto las raíces son:

5

230

Resolución de cuadráticas mixtas completas por formula general

Deducción de la formula general. La formula general se deduce al resolver la

ecuación literal.

2 0ax bx c

Por el método de completar cuadrado:

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

a

bac

a

bx

a

b

a

c

a

bx

a

bx

a

cx

a

bx

a

cx

a

bx

2

4

2

2

4

2

4

4

2

4

4

2

44

0

2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

Formula general

a

acbbx

2

42

231

La naturaleza de las raíces puede deducirse a partir del valor numérico del

radicando (b2- 4ac), también llamado discriminante, de acuerdo con las siguientes

reglas:

1. Si (b2 -4ac) > 0. y además cuadrado perfecto, acb 42

Es racional: las raíces son reales, desiguales y racionales.

2. Si b2 -4ac)> 0, ser cuadrado perfecto, acb 42

Es irracional; las raíces son reales, desiguales e irracionales

3. Si (b2 -4ac) = 0, las raíces son reales e iguales y cada raíz vale –

b/2a.

4. Si (b2 – 4ac) < 0, entonces acb 42 es imaginario: las raíces son

complejas.

Ejemplo 8:

x2 – 8x + 15 = 0

X = a

acbb

2

42

h

; ;

X = )1(2

)15)(1(4)8()8( 2

2

282

48

2

60648

x

x

x

32

6

52

10

2

1

x

x

232

Ejemplo 9: Resolver la ecuación cuadrática siguiente:

5x2 – 24x -5 = 0

10

10057624

)5(2

)5)(5(4)24()24( 2

x

x

5

ECUACIONES QUE COMPRENDEN RADICALES DE SEGUNDO ORDEN

Ejemplo 10: Resuelve la siguiente ecuación

032122 2 xxx

Cambiamos el segundo miembro de la ecuación a los términos que no tienen

radical.

122 2 xx = 2x -3

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

2x2- 2x +1 = (2x -3)2

2x2 -2x +1 = 4x2 -12x +9

2x2- 2x +1 - 4x2 +12x -9 = 0

- 2x2 +10x -8 = 0 multiplicando por -1 y dividiendo entre 2

x2-5x +4 = 0

102624

1067624

x

x

233

(x-4)(x-1) = 0

x -4 = 0 x = 4 x-1=0 x = 1

¡Muy importante!

Los valores obtenidos no significan que sean las soluciones pedidas. Tenemos

que comprobar estos valores sustituyéndolos en la ecuación original, debido a que

se pudieron ver introducido raíces extrañas.

Comprobación:

Al sustituir el valor de x = 4 en la ecuación original nos da:

22(4) 2(4) 1 2(4) 3 0

32 8 1 8 3 0

25 5 0

0 0

Podemos ver que si se cumple la igualdad, por lo tanto x = 4 si es solución.

Al sustituir el valor de x = 1 en la ecuación original nos da:

22(1) 2(1) 1 2(1) 3 0

2 2 1 2 3 0

1 1 0

2 0

Podemos ver que obtenemos un absurdo, por lo tanto x = 1 no es solución.

234

ECUACIONES REDUCIBLES A UNA DE SEGUNDO GRADO

Ejemplo 11: Resuelve

3x4 = 2x2 + 1

Hacemos la sustitución z = x2 quedando:

3z2 = 2z + 1

3z2 - 2z – 1 = 0

z = 6

1242

)3(2

)1)(3(4)2()2( 2

1 z2 = 3

1

Pero, x2 = z, por lo tanto: 1

1 Son cuatro soluciones.

Ejemplo 12: Resuelve

8x6 = 19x3 +27

Sustitución: x3 = z

8z2 = 19z +27

8z2 -19z – 27 = 0

19 19 4 8 27

2 819 √361 864

1619 35

16

19 3516

5415

278

19 3516

1616

1

235

Pero como tenemos:

; sacando raíz cúbica a ambos lados da: primera solución

1; sacando raíz cúbica a ambos lados da: √ 1 1 segunda solución

ECUACIONES QUE DAN LUGAR A ECUACIONES CUADRATICAS

Cuando una ecuación contiene fracciones puede escribirse en una forma más simple si ambos miembros de la ecuación se multiplican por el mínimo común denominador (m.c.d.) de las fracciones presentes en la ecuación.

Si una ecuación se multiplica por un polinomio en la variable, la ecuación resultante podría no ser equivalente a la original. Esto significa que la ecuación resultante puede poseer raíces que no satisfacen la ecuación original. Los valores obtenidos para la variable que satisfagan la ecuación original, son las raíces de esta. En otras palabras tenemos que comprobar los resultados obtenidos sustituyendo en la ecuación original.

EJEMPLO 13.

Resolver la ecuación 6 4 .

Solución: Se multiplican ambos miembros de la ecuación por 3 .

6 3 15 4 3

6 18 15 4 12

6 12 0

3 4 2 3 0

3 4 0, esto es, y también 2 3 0, esto es,

236

Al comprobar en la ecuación original,

Para 6 4 Para 6 4

8 12 4 9 5 4

4 4 4 4

Por lo tanto el conjunto solución es: ,

EJEMPLO 14. Resolver

Solución: Primeramente factorizamos los denominadores

Se multiplican ambos miembros por 2 3 4 y nos queda,

10 4 3 3 12 2

Que al hacer las operaciones y simplificar 10 25 15 0

2 5 3 0 Se dividió la ecuación anterior 5

2 3 1 0

2 3 0, es decir o bien 1 0, es decir 1

El conjunto solución es: , 1

La comprobación se deja como ejercicio.

237

I. Resuelve para x las siguientes ecuaciones por el método de factorización:

1. 0 2. 3 0 3. 2 0 4. 7 0

5. 4 0 6. 5 0 7. 2 3 0 8. 3 2 0

9. 3 6 0 10. 2 4 0 11. 10 15 0 12. 6 4 0

13. 1 0 14. 4 0 15. 9 0 16. 36 0

17. 2 0 18. 12 0 19. 4 3 0 20. 9 2 0

21. 0 22. 0 23. 4 0

24. 2 9 0 25. 7 12 0 26. 5 4 0

27. 6 8 0 28. 2 15 0 29. 5 36

30. 10 24 31. 9 18 32. 4 4 0

33. 6 9 0 34. 8 16 0 35. 10 25 0

36. 2 1 0 37. 2 6 8 0 38. 4 4 8 0

Ejercicios

Nombre A resolver ecuaciones en forma cuadrática No. 1Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









238

39. 3 12 9 0 40. 2 3 2 0 41. 3 5 2

42. 4 3 1 43. 4 4 3 44. 3 8 3

45. 6 1 46. 6 35 6 47. 3 12 5

48. 6 12 49. 9 4 12 50. 4 12 9 0

51. 9 6 1 0 52. 2 3 0 53. 9 18 0

54. 2 6 0 55. 2 7 4 0 56. 6 11 3 0

II. Resuelva para las siguientes ecuaciones completando el cuadrado:

1. 2 3 0 2. 7 6 0 3. 3 10 0

4. 12 0 5. 7 30 0 6. 3 18 0

7. 14 15 8. 4 21 9. 14 24

10. 72 11. 4 4 12. 6 9

13. 6 8 0 14. 2 15 0 15. 5 36

16. 8 4 17. 0 18. 2 3 0

19. 3 5 0 20. 2 7 21. 2 3 1 0

22. 2 1 23. 2 5 2 24. 4 1 5

25. 3 32 20 26. 3 8 14 27. 5 13 6 0

28. 4 24 35 29. 4 3 8 30. 9 2 3

31. 4 9 12 0 32. 1 2 0 33. 3 2 0


1) 3,1 3) 2,5 5) 3,10 7) 1,14 9) 12,2 11) 2, 2

13) 4,2 15) 9, 4 17) 1,0 19) , 0 21) 1, 23) 2,

25) , 8 27) 2, 29) , 31) , 33) √

239

III. Resuelve las siguientes ecuaciones mediante la fórmula cuadrática:

1. 2 0 2. 3 0 3. 3 5 0 4. 8 3 0

5. 6 0 6. 4 3 0 7. 4 0 8. 36 0

9. 2 0 10. 8 0 11. 12 0 12. 18 0

13. 4 1 0 14. 9 25 0 15. 2 3 0 16. 3 1 0

17. 5 6 0 18. 3 7 0 19. 2 9 0 20. 25 4 0

21. 4 9 0 22. 8 7 0 23. 3 4 0

24. 5 24 0 25. 7 12 0 26. 6 0

27. 9 20 0 28. 6 16 0 29. 2 8 0

30. 4 32 31. 3 18 32. 2 2

33. 2 4 34. 4 4 35. 2 3

36. 4 4 37. 6 9 0 38. 36 12

39. 6 10 19 40. 18 27 4 0 41. 6 2 0

42. 8 14 15 43. 9 3 20 44. 2 17 36

45. 12 9 31 46. 10 9 9 0 47. 24 21 65

48. 8 30 27 49. 3 10 6 0 50. 2 4 3 0

51. 3 6 2 0 52. 5 9 3 0 53. 9 1 6 0

54. √2 5 55. √3 4 56. √5 2

57. √7 5 58. 2√3 1 59. 3√2 8

240

Respuestas a los problemas impares anteriores:

1) 2,0 3) 0, 5) , 0 7) 2, 2 9) √2, √2

11) 2√3, 2√3 13) , 15) √ , √

Se racionalizó el denominador

17) √ , √

Se racionalizó 19) √ , √

Se racionalizó 21) ,

23) 4,1 25) 4, 3 27) 4,5 29) 2,4 31) 3,6

33) 1 √5, 1 √5 35) √ , √

37) 3, 3 39) ,

41) , 43) , 45) , 47) , 49) √ , √

51) √ , √

53) , 55) √ √ , √

57) √ √ , √ √

59) 4√2, √2

IV. Contesta cada una de las siguientes preguntas:

1. Si el área del triangulo siguiente es 48 , ¿Cuál valor de " " ?

4

241

2. Si se sabe que el perímetro del triángulo mostrado es de 74 unidades, ¿cuál de las

opciones es un valor de que satisface la condición del problema?

2 5

2 13 7 2 1

A) B) C) 2 D)

3. Si la resta de las áreas de los rectángulos es de 816 , ¿cuánto vale ?

60

20

V. Resuelva las siguientes ecuaciones. Verifique el resultado.

1. √ 5 3 2. √ 7 2 3. √6 8 4. √5 6 2

5 . √4 4 6. √3 2 5 7. √ 3 √ 1 3

8. √2 13 √ 10 1 9. √ 2 √ 5 1 10. √2 11 √ 2 2

242

10 . 4 5 1 0 11. 10 9 0 12. 3 5 12 0

13 . 7 12 0 14. 4 10 2 0 15. 2 7 4 0

Solución a los problemas de número impar: 1) 2; 3) 2,4; 5) 4; 7) No hay solución; 9) 6

11 . 1, 3 ; 13. √3 , 2 ; 15. 2, tiene solo dos soluciones reales.

VI. Resuelva las siguientes ecuaciones que dan lugar a una ecuación cuadrática:

1. 2 2. 3 4 3. 6 5

4. 12 8 0 5. 1 6. 3

7. 4 5 8. 2 1 9. 5 6

10. 2 1 11. 1 12. 6

13. 5 14. 5 15. 3

16. 1 17.

18. 19.

20. 21.

22. 23.

243

24.

25.

Respuesta a los ejercicios con número impar:

1. 2,4 3. , 5. 1 √3, 1 √3 7. , 3 9. 2,4

11. 1 √2, 1 √2 13. , 1 15. 2,5 17. 1,2 19. 3, 2

21. 2 √6, 2 √6 23. 2,3 25. 1,2

244

Ejemplo 1. La suma de dos números naturales es 48 y la diferencia de sus cuadrados supera en 36 al producto de los números. Encontrar ambos números.

Solución: Primer número Segundo número

48

Planteamiento: 48 36 48

2304 96 36 48

48 2340 0

78 30 0

78 0, esto es, 78

O bien 30 0, es decir, 30

Los números son 30 y 48 30 18.

Se elimina ‐78 porque no es un número natural.

Saberes

Nombre Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación cuadrática

No. 2



Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para plantear un problema cotidiano que lleve a su solución por medio de una ecuación cuadrática.


Mediante


245

Ejemplo 2. La diferencia de dos números naturales es 8 y la diferencia de sus recíprocos es . Hallar los números.

Solución Primer número Segundo número

8

Planteamiento: Nota:

77 8 77 2 8

77 616 77 2 16

2 16 616 0

8 308 0

22 14 0

22 0, esto es, 22

14 0, o sea, 14

Los números son 14 y 14 8 22

Se elimina 22, puesto que no es número natural

Ejemplo 3. Una persona realizó un trabajo por $192 dólares. El trabajoEl trabajo le llevó 4 horas más de lo que suponía y entonces ganó $2.40 menos por hora de lo previsto. ¿En cuánto tiempo se suponía que llevaría a cabo ese trabajo?

Solución: Sea horas el tiempo esperado para efectuar el trabajo.

Razonamiento: La tarifa horaria que esperaba recibir, menos $2.40 es igual a la tarifa horaria

real que ganó la persona.

Planteamiento: 2.40

192 4 2.4 4 192

192 768 2.4 9.6 192

2.4 9.6 768 0

4 320 0

246

20 16 0

20 0, es decir, 20

O bien 16 0, o sea, 16

El tiempo esperado para realizar el trabajo es 16 horas. Se elimina 20 porque carece de sentido.

Ejemplo 4. La base de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de su altura. El área del rectángulo es de 448 pies cuadrados. Encontrar las dimensiones del rectángulo.

Solución:

Altura Base

2 4

Planteamiento: 2 4 448

2 4 448 0

2 224 0

16 14 0

16 0, esto es, 16

O bien 14 0, es decir, 14

La altura del rectángulo es 14 pies y su base es 2 14 4 32 pies.

247

Resuelve los siguientes problemas en palabras que llevan al planteamiento de una ecuación de segundo grado para su solución.

1. El producto de dos números naturales consecutivos supera en 2 al séxtuplo del siguiente número consecutivo. Encuentre los dos primeros números.

2. El producto de dos números pares consecutivos es 10 unidades menor que 13 veces el siguiente número par. Halle los dos números.

3. La suma de dos números es 21 y de sus cuadrados es 225. Obtenga los dos números.

4. La suma de dos números es 25 y la de sus cuadrados es 317. Encuentre los números.

5. La diferencia de dos números naturales es 8 y la suma de sus cuadrados es 194. Halle los números.

6. La diferencia de dos números naturales es 9 y la suma de sus cuadrados es 305. Obtenga los números.

7. La suma de dos números naturales es 17. La diferencia de sus cuadrados supera en 19 al producto de los números. Determine dichos números

Ejercicios

Nombre A resolver problemas con palabras por medio de ecuaciones de segundo grado

No. 2



Actitudes a formar









248

8. La suma de dos números es 28 y la de sus cuadrados es 16 menos que el triple del producto de los números. Halle los números.

9. La suma de dos números es 14 y la de sus recíprocos es . Obtenga los números.

10. La diferencia de dos números naturales es 4 y la suma de sus recíprocos es . Obtenga los números.

11. La diferencia de dos números naturales es 6 y la de sus recíprocos es . Halle los números.

12. Una excursión geológica costó $120 dólares. Si hubieran ido 3 estudiantes más, el costo por estudiante habría sido $2 dólares menos. ¿Cuántos estudiantes fueron a la excursión?

13. Una excursión a esquiar costó $300 dólares. Si hubieran sido 3 miembros menos en el club, el costó por persona habría sido $5 dólares más. ¿Cuántos miembros hay en el club?

14. Un hombre pintó su casa por $800 dólares. El trabajo le llevó 20 horas menos de lo que se suponía y entonces ganó $2 dólares más por hora de lo previsto. ¿En cuánto tiempo se suponía que pintaría la casa?

15. Una persona realizó un trabajo por $90 dólares. Empleó 3 horas más de lo que se suponía y entonces gano $5 dólares menos por hora de lo que esperaba. ¿En cuánto tiempo se suponía que llevaría a cabo el trabajo?

16. La base de un rectángulo mide 4 pies más que su altura y el área es de 192 pies cuadrados. Encuentre las dimensiones del rectángulo.

17. La base de un rectángulo mide 3 pies más que el doble de su altura y el área es de 189 pies cuadrados. Halle las dimensiones del ractángulo.

18. Un hombre desea construir una caja metálica abierta. Las caja debe tener una base cuadrada, los lados de 9 pulgadas de altura y una capacidad de 5,184 pulgadas cúbicas. Determine el tamaño de la pieza cuadrada de metal que debe comprar para construir la caja.

19. Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros lados opuestos se disminuye 2 pies, el área del rectángulo resultante supera en 32 pies cuadrados al área del rectángulo original. Encuentre la longitus del área del cuadrado.

20. Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se incrementa 5 pulgadas más que el doble del lado del cuadrado, y cada uno de los otros lados opuestos se disminuye en 7 pulgadas, el área del rectángulo resultante supera en 55 pulgadas cuadradas al área del cuadrado inicial. Halle la longitus del lado del cuadrado.

249

Respuesta a los problemas de número impar:

1) 7;8 3) 9;12 5) 5;13 7) 6;11 9) 6;8 11) 12;18 13) 15 miembros 15) 6 hrs.

17) a = 9 pies, b = 21 pies 19) 8 pies

250

ANEXO

A P R E N D I E N D O A D E S P E J A R

I. Resuélvase las ecuaciones siguientes para la variable indicada.

1) Despéjese a

3

3

3

3

3

2) Despéjese r

1

1

1

251

3) Despéjese b

2

2

2

2

4) Despéjese s

5) Despéjese r

3 4

34

34

252

6) Despéjese r

4

4

4

4 4

4 4

4 4

4 4

4

2

7) De la ecuación de la constante universal de los gases (R); despejar la presión (P):

8) De la formula de fuerza gravitacional (F), despejar masa m

′

′

′

253

′

9) De la formula de distancia (d), despejar aceleración (a):

12

12

2

2

10) De la formula de fuerza recuperadora de un Movimiento Armónico Simple (MAR), despejar T:

4

4

4

4

Simplificando:

2

254

EJERCICIOS

a) De la formula de aceleración (a) , despejar v

b) De la ecuación de dilatación lineal; Longitud final L es igual a longitud inicial L mas el coeficiente de dilatación térmica (α) por el diferencial de temperatura t t ; despejar la temperatura final t :

c) De la ley de Coulomb, despejar la distancia r:

′

d) De la relación de resistencia en paralelo, despejar la resistencia 1 1 1

e) El área de un cilindro está dada por 2 . Resuelva para h y r.

f) El nivel de energía de un objeto es . Resuelva para la

variable m.

g) La fórmula que mida la velocidad de oscilación de una masa en un resorte es:

Donde k, es la constante del resorte. A es la amplitud o desplazamiento máximo de la masa, x es la distancia a la masa que se mueve. Despejar A.

h) La formula , aparece en el estudio de la mecánica de fluidos. Despeje para la variable r y .

Inglés 1

3

Index

Welcome, Teacher …………………………………………………… 5Welcome, Student …………………………………………………… 7 Unit One …………………………………………………… 9

• Personal pronouns …………………………………………………… 10

• Verb to be …………………………………………………… 10

• Wh questions …………………………………………………… 17

• Possesives adjectives …………………………………………………… 19

• Qualify adjectives …………………………………………………… 20

• Verb have …………………………………………………… 23

• Indefinite articles …………………………………………………… 26

• Singular and Plural nouns …………………………………………………… 33 Unit Two …………………………………………………… 38

• Simple Present …………………………………………………… 40

• Prepositions of time …………………………………………………… 59

• Prepositions of place …………………………………………………… 61

• Demostratives adjectives …………………………………………………… 65

• There is, There are …………………………………………………… 72 Unit Three

…………………………………………………… 77

• Present continuous …………………………………………………… 79

• Likes and Dislikes …………………………………………………… 87

• Can, Can’t …………………………………………………… 93

4

• Adverbs of Frecuency …………………………………………………… 98

• Comparatives …………………………………………………… 102

• Superlatives …………………………………………………… 102 BIBLIOGRAPHY …………………………………………………… 114

5

Dear Teacher,

It is our aim that with this English Guide I, the learning experience will be an enjoyable and rewarding one both for you and your students. In the present curriculum, according to the new high school program based on competences, your role is to guide and facilitate learners to become more independent, and to gain the ability to reflect and construct knowledge, not only to become competent in English, but also competent learners.

English Guide I, adopts the principles of experiential learning in which students are exposed to real life texts and communications. Through this experience, they have opportunities to analyze and gain knowledge by tackling scenarios, with the guidance and direction of their teacher.

We recommend that if you don’t have enough time to finish the exercises in class, ask your students to do them at home. Follow these tips:

Variety: Change games and activities regularly.

Repeat and check: Check the content and give regular feedback. Do it at the beginning and at the end of your class.

Never: Tell students that they have failed or that they are the worst students you have ever taught.

Elaborate: your own material, include puppets, drawings, bingo, Pictionary, magazines, etc. Surprise your students by taking an odd object or an amazing activity that could raise curiosity among them.

6

Avoid: The use of abstract concepts, they can be confusing. Use simple things according to the level of students understanding.

Reaffirm: PLEASE and THANK YOU at any moment. Be positive and polite to your class, a friendly atmosphere between teacher’s students is more appropriate for learning to take place.

Involve: Always shy students in activities and games.

When you are writing on the whiteboard maintain eye contact and verbal communication with your students.

The authors

7

Dear Student

Welcome to English!

With English Guide I you will continue to learn and use English in a variety of situations with native and non-native speakers while participating in “social practices” of language. For example, you will be able to talk about your life project’s plans, etc.

In the Self evaluation section you have opportunities to evaluate how you are doing and where you need more practice.

The verb lists at the end of the book will help you in grammar exercises.

Do your own Pictionary. Use it to learn and record new vocabulary and learn new ways to remember it.

Collect the written work you do during the semester. Use this material to reflect on your progress and improve your work.

It is important to practice English outside of the classroom. Chat in English with people from other countries, watch TV, listen to music and read lyrics or read stories in English that you really like and enjoy.

The authors

9

Has a personal opinion about different topics

To enable students to talk, Base on their realities, experiences and all the areas such : personal, professional, beside development writing, reading,listening and conversation to become more successful.

UNIT 1:

LANGUAGE FOCUS

Personal pronouns, verb to be, wh questions, possesives adjectives, qualify adjectives, verb have, has, indefinite articles, singular and plural

Social practices

Moral Value Communication: is the sharing of ideas and information. Respecting each other

Unit Purpose

10

How do you introduce yourself?

Greet your classmates in English .

What do you say to them when you meet them?_______________________________________________________________________________________________________________________________.

What do you say when you leave?____________________________________________________________________________________________.

Write down the phrases they tell you.______________________________________________________________________________________________________

Match the pronouns with the correct picture.

1.I 5. We

2.You 6. You(2)

3.He 7.They

4.She 8. It

11

Write and spell.

Complete with the correct personal pronouns.

Note. In English:

YOU singular

YOUplural

Example:

You are Sam.

You are Sam and Luis.

Answer these questions

1. What’s your name?_______________________________________________

2. What’s your address?_____________________________________________

3. What’s your phone number?_______________________________________

4. Where are you from?______________________________________________

1. Paola and I:_______________

2. Lola, Christina and

Freddy:___________

3. Bertha:_______________

4. Carlos:_________________

12

ROLE PLAY Interview a famous person. Make up addresses, phone numbers, and

cities. Use your imagination! Practice with another students. Then present your role play to the class.

Brad Pitt Miley Cyrus Chicharito Felipe Calderon

A: What’s your name?

B: My name is

A: _________________________address?

B:___________________________________

_____________________________________

______.

A: ________________________phone

number?

B: _________________________________.

A: Where are you from?

B:___________________________________

13

Match the questions and answer.

My learning experience

Look at the list of objectives of language objectives in the unit. Draw or .Write example.

Language Agree? Examples I can introduce myself and others.

1. 2.

I can use personal pronouns

1. 2.

I can ask or give personal information, including the spelling.

1. 2.

Vocabulary

1. What’s your name? It’s 332-345-23453 2. What’s your address? It’s [email protected] 3. What’s your phone number? I’m from Mexico 4. What’s your e-mail address? I’m Juan Romero 5. Where are you from? It’s 345 Tepic Street

NitziaAlberto Laura Lizbeth

Antonio Sergio

Paul

Karla and Pedro

14

Complete these sentences using the professions or the name of the person.

1. Sergio is a______________________________. 2. ______________________________ are factory workers. 3. Perla is a great ____________________. 4. _______________ is a hairdresser. 5. Lorena is a lovely ___________________. 6. ______________ is a god bricklayer. 7. Lizbeth is a _______________________. 8. _____________________is a secretary. 9. Paul is a _________________________. 10. Antonio is a_________________________.

Write these family words on the picture. ( grandfather/ grandmother/ mother/son/daughter/father)

Housewife babysitter

Lorena

David

Perla

15

Make a circle on the professions that you find in this word search.

PROFESSIONS

Q N C T H K D C I W S Y L A Y E I D J R U L W E A E O Y N S S Z L U L G O Q E R M J B A I G R K R T P R E E Q R Q T G U Y V B C R P R E Y A L K C I R B N L V J T B D H D N O V M D T T O K J E T A B P A A L E R P W V D R R E O K P Y N V E T M V T R E G A U L I A O R R L C A Z U D F D S E S K H U C P C F A C R G T F S X P I D M S I L I L T N C Y O E O S V B H J N R R E P A U D M L N K V F S I D G T I E Y E R N M E T I E W X K V B S M K X Z J Z A F B J I C O A C N E T O S E Y Q O A Q T E I R O T C O D H U X P A M A H U E J R L Y G B Z T O X X A D L J Y T P F K E F U B N H S C D M M E N T F T B E A R P B T W A I T R E S S S H I Z M P T M E K M J B R A A E R P G G C D C P Y K J L P X Q O Q B R G R G N Q O B H D X U Y C A Y Q P M P Y G B M V H E P J G V E Y T R V V X Z X Y S G F A Y W V U Y D I

16

House Vocabulary

1. Bedroom 2. bathroom 3. laundry room

4.Living room 5. kitchen 6. attic

7. basement 8. yard 9. dining room

6

4

5

1 2 3

7

8

9

17

Where are you at?

Am I

he

Where is she

It

Are we

You

they

Where are you? Where are you?

Am I

he

Where is she

It

Are we

You

they

I am I’m

He is He’s

She is She’s

It is It’s in the kitchen

We are We’re

You are You’re

They are They’re

Where are

you? I am in the

kitchen.

18

Where are Maria and her children? Where are Mr. and Mrs Lopez? Where is Samantha? Where is Ivan’s cat? ____________ are Karla and Jake? _______________ monkey? ___________________________ _________________________ ___________________________. _________________________. __________________ Alice? ________________________.

19

Possessive Adjectives

Pronouns Possessive Adjectives

I MY

YOU YOUR

HE HIS

SHE HER

IT ITS

WE OUR

YOU YOUR

THEY THEIR

Complete the sentences with the correct possessive adjectives

1. He is Justin. His name is Justin. 2. We are Richard and Elizabeth. _________ names are Richard and

Elizabeth. 3. You are Lucy. ___________names is Lucy. 4. She is Vivian,___________name is Vivian. 5. They are Diego and Marcus. _________ names are Diego and Marcus. 6. You are Alvaro and Charlie. ____________ names are Alvaro and

Charlie.

20

Describing people and things

Vocabulary

Young old heavy /fat thin new old

Ugly handsome single married

Ugly beautiful/pretty small / little large / big cheap expensive

Noisy quiet

21

Reading Read the descriptions and circle the describing words.

1. My friend is Josie. She’s from Amsterdam in Holland, and she’s twenty –two

years old. She’s really tall, and she has really long arms and legs. She has

beautiful green eyes.

2. My friend’s name is Hao Cheng. He’s from China. He has short, dark hair and

dark eyes, and he’s tall. He has a big nose and lives in a small apartment.

3. My friend is Elisa. She is from Vancouver, in Canada. She’s seventeen years old

and she has long dark hair and brown eyes. But she has very noisy neighbors.

4. My friend’s name is Simon. He is from England. He is short and he is married

with Estela. Estela is a young woman. She is very smart. She likes the food at

the Plaza restaurant because is cheap.

Answer True or False

T F 1. Josie is very short. 2. Elise is Canadian. 3. Estela likes expensive

Restaurant. 4. Hao Cheng has a long

nose. 5.Elisa has quiet neighbors. 6. Simon is married.

22

Ask your classmates about their friends, bedrooms, family, etc by asking about descriptions

Example: A: Is your computer old? B: No. It’s new A: Are your shoes expensive? B: Yes, they are

Things that you can ask them

House Bedroom Boyfriend / girlfriend Neighbors Brother / sister Facebook/ hotmail account I-pod Family ______________________ ______________________ ______________________ ______________________

Match the opposites:

1. Large a. Thin 7.tall g. heavy

2. Heavy b. Rich 8.difficult h. old

3. single c. beautiful 9.new i. ugly

4. ugly d. small 10.handsome J .big

5. poor e. young 11.thin k. easy

6. old f. married 12.little l. short

23

Verb To Have Study the charts

I have two brothers. They have long hair

Our class has good English teachers.

Subject Affirmative Negative Yes/No question

I / you I have two brothers.

You don’t have two brothers.

Do you have two brothers?

He / she / it He has long hair. She doesn’t have long hair.

Does it have long hair?

We / you / they You have big houses.

We don’t have a big house.

Do they have a big house?

24

Fill in the blanks using Have / has

1. -My parents______a beautiful house in the city.

2.- I_______a fantastic apartment in Toronto.

3.- My father_______ a new job.

4.- My brother________a lot of friends.

5.- They________an English test tomorrow.

6.- This woman_______ seven children.

7.- We_________ a lot of money.

8.- They_______an ugly monster.

9.- My cousin_______ a new girlfriend.

25

Look at these pictures of rooms for a minute. Take turns describing the rooms. \ 1._______________________________________________________________

________________________________________________________________

___________________________________________________________.

2._______________________________________________________________

________________________________________________________________

__________________________________________________________.

3._______________________________________________________________

________________________________________________________________

_________________________________________________________.

4._______________________________________________________________

________________________________________________________________

_____________________________________________________________.

Daniel

Sofia

Scarlett

Mary

1

3

2

4

26

"A, AN, THE" DEFINITE AND INDEFINITE ARTICLES IN ENGLISH

Here are the basic rules for when to use "A, An or The":

a = indefinite article (not a specific object, one of a number of the same objects) with consonants Eric has a dog. Gregory works in a factory.

an = indefinite article (not a specific object, one of a number of the same objects) with vowels (a,e,i,o,u) Can I have an apple? Donata is an English teacher.

the = definite article (a specific object that both the person speaking and the listener know) The car over there is fast. The teacher is very good, isn't he?

The first time you speak of something use "a or an", the next time you repeat that object use "the". I live in a house. The house is quite old and has two bedrooms. I ate in a Vietnamese restaurant. The restaurant was not very clean.

DO NOT use an article with countries, states, counties or provinces, lakes and mountains except when the country is a collection of states such as "The United States". My uncle lives in Cumbria near Lake Windermere. They live in Bristol.

Use an article with bodies of water, oceans and seas - I live on a small island in the Baltic Sea.

27

DO NOT use an article when you are speaking about things in general I like Indian tea. Simon likes reading books about linguistics.

DO NOT use an article when you are speaking about meals, places, and transport He has breakfast at home. I go to university. Magda comes to work by taxi.

ANSWER WITH THE CORRECT INDEFINITE ARTICLE

I am from Winchester, Hampshire. Winchester is -- city in -- United

Kingdom. I live in -- town called -- Taunton which is on -- River

Tone. I live in -- house in -- quiet street in the countryside. --

street is called "Hudson Street" and -- house is old - more than 100 years old! I

am -- English lecturer at -- college near -- centre of --

town. I like -- books, music and taking -- photographs. I usually have -- lunch at college. I usually go -- home by -- car. We have all

kinds of food in -- England. I like -- Polish food very much. Sometimes, I

go to -- Polish restaurant in Bath. -- restaurant is called "Magda's". -- Polish food is delicious!

WRITE THE CORRECT ANSWER

a, an, the, zero

1. Robert and Jessica went to ___ party last night. Answ er

2. Can you tell me how to get to ___ cinema from here? Answ er

28

3. ___ college is closed today. Answ er

4. Gregory is one of ___ strangest people I know. Answ er

5. I recommend you try ___ tomato soup at this restaurant. Answ er

6. ___ beer is good for you. Answ er

7. Would you like to see ___ film? Answ er

8. ___ apple a day keeps ___ doctor away. Answ er

9. I can't believe I failed ___ yesterday's test! Answ er

10. Do you have ___ dictionary that I can borrow? Answ er

means one only, it is said to be singular. Examples: boy, girl, book, church, box

29

PLURAL NOUN DEFINITION: When a noun means more than one, it is said to be plural. Examples: boys, girls, books, churches

Rule #1 The plural of nouns is usually formed by adding - s to a singular noun.

lamp lamps cat cats fork forks flower flowers pen pens

Exercise: Write the plural of each of these nouns

chair star farm storm door rock owner paper cup

Rule #2 Nouns ending in s, z, x, sh, and ch form the plural by adding - es.

moss mosses buzz buzzes box boxes dish dishes church churches

Exercise: Write the plural of each of these nouns

dress brush hex wish class fox cross bench bush ax grass mantis

SPECIAL NOTE: If you add - s to such nouns as fox, bush, and bench, you will find that you canno

pronounce them without making an additional syllable. This is why such nouns form the plural by adding - es.

30

QUICK REVIEW

Exercise: Tell if the following nouns are singular or plural box cats slipper forks books chair desk houses paper wagon lamps shoes garden horses dress dog carts kitchen pony glass

Exercise: Write the plural of the following nouns chair star pencil girl boy ax bush coat tree bench sketch owner touch latch mug

Exercise: Write the singular of the following nouns bells churches wagons coals pictures clocks boxes kitchens basins chairs days houses pencils trees tables

Rule #3 Nouns ending in - y preceded by a consonant is formed into a plural by changing - y to - ies. Examples: lady, ladies; city, cities; army, armies

Exercise: Write the plural of the following words fly baby pony injury cherry lady beauty story history berry city sky duty study theory

31

Rule #4 Nouns ending in y preceded by a vowel form their plurals by adding - s. Example: boy, boys; day, days

Exercise: Write the plural of the following words day toy essay turkey chimney play joy valley alley volley

Rule #5 Most nouns ending in o preceded by a consonant is formed into a plural by adding es. Example: hero; heroes; grotto, grottoes

Exercise: Write the plural of the following words motto calico buffalo hero potato cargo volcano grotto mosquito* tomato halo* tornado* buffalo* portico* veto

*may add - s or - es

The following are among those that add s only canto solo piano lasso halo memento albino sirocco

SPECIAL NOTE: Most nouns ending in o preceded by a vowel is formed into a plural by adding - s. Example: folio, folios; cameo; cameos; studio, studios; portfolio, portfolios

Rule #6 Some nouns ending in f or fe are made plural by changing f or fe to - ves. Example: beef, beeves; wife, wives

Exercise: Write the plural of the following words calf self leaf sheaf life

32

loaf shelf half wolf knife elf half thief wife gulf chief dwarf* proof turf

The following form their plurals by adding - s. chief, chiefs fife, fifes mischief, mischiefs hoof, hoofs roof, roofs grief, griefs kerchief, kerchiefs safe, safes

IRREGULAR PLURALS

man, men foot, feet mouse, mice woman, women tooth, teeth louse, lice child, children ox, oxen goose, geese

The following nouns have no singular: scissors

oats

tongs

dregs

trousers pinchers bellows snuffers cattle shears measles mumps victuals tweezers vespers

Some nouns are always singular. Some of these nouns may be used in the plural when different kinds are meant as sugars, coffees, cottons

gold silver wheat corn molasses copper sugar cotton

Singular nouns use this and that.

Plural nouns use these and those.

33

WRITE THE CORRECT FORM OF THE NOUNS (SINGULAR OR PLURAL).

1. They ate some (tomato) tomatoes .

2. You can put (sugar) in your tea.

3. We have to buy new (furniture) .

4. I need to wash my (hair) .

5. We had lots of (fun) .

6. The Milfords have a lot of (money) .

7. How many (people) were at the cinema with you?

8. Could you give some (information) on your project?

9. In this hotel, (family) are very welcome.

10. Those (man) seem to be very tired.

CHOOSE THE CORRECT ANSWER

1. The plural of "key" is A. ? keys

B. ? keyies

C. ? keies

D. ? keyes

2. The plural of "church" is A. ? churchs

B. ? churchies

C. ? churches

D. ? churies

3. The plural of "way" is A. ? waies

B. ? wayes

34

C. ? wayses

D. ? ways

4. The plural of "box" is A. ? boxs

B. ? boxies

C. ? box

D. ? boxes

5. The plural of "enemy" is A. ? enemys

B. ? enemies

C. ? enemyes

D. ? enemes

6. The plural of "baby" is A. ? babys

B. ? babies

C. ? babyes

D. ? babyses

7. The plural of "line" is A. ? lines

B. ? linies

C. ? lins

D. ? linses

8. The plural of "wish" is A. ? wish

B. ? wishies

C. ? wishs

D. ? wishes

35

9. The plural of "show" is A. ? showes

B. ? showies

C. ? showers

D. ? shows

10. The plural of "loss" is A. ? loss

B. ? lossies

C. ? losses

D. ? lossys

SELF- EVALUATION APPLY THE GRAMMAR THAT YOU HAVE LEARNED IN THE PREVIOUS EXERCISES TO DO BROCHURES, MIND MAPS, AND CONCEPT MAPS

36

NOW ANSWER THIS

ENGLISH CLASS DATE_____________________________________________

THIS IS MY EVALUATION OF MY PROGRESS THIS MONTH

I

LEARNED:_____________________________________________________________

_______

______________________________________________________________________

________

THE MOST INTERESTING THING I LEARNED

WAS:_________________________________________________________________

______________________________________________________________________

___________________

I HAD DIFFICULTY

WITH:__________________________________________________________

I WOULD LIKE TO LEARN MORE

ABOUT:____________________________________________

37

LET’S SEE HOW YOUR ENGLISH SKILLS WERE IN THIS UNIT?

LISTENING SPEAKING READING WRITING Excellent VOCABULARY, GRAMMAR STRUCTURE CONVERSATION

Excellent VOCABULARY, GRAMMAR STRUCTURE CONVERSATION



Good UNDERSTAND EVERYTHING BUT DO NOT TALK FLUENTLY




Regular UNDERTANDING BUT NOT TALKING




Need to improve DO NOT UNDERSTAND AND TALKS ONLY WORDS CAN HARDLY COMPLETE ASENTENCE




38

Listen, and communicate in different contexts

To enable students to talk fluently

Base on their realities, experiences and all the areas such : personal, professional, beside development writing, reading,listening and conversation to become more successful.

UNIT 2:

LANGUAGE FOCUS

Simple present, prepositions of time, prepositions of place, demostrative adjectives, there is, there are

Social practices

Moral Value Working by teams: is a result of feeling part of something larger than yourself.

VOCABULARY PREVIEW

Unit Purpose

39

Undressing Amazed Kneecaps Prefer Astonishment Trousers Tossed Hate Attitude Pavement Platform Brooch Taste Fright Dawn Poison Remember Grumpy Understand Appear

40

PRESENT SIMPLE

APPLICATION 1: Facts and Generalizations The first and most important use of the Present Simple is to talk about things we

believe are (or are not) true. It's also used to generalize about somebody or something. Examples:

It is a big dog. Lucy talks a lot. Ottawa is the capital city of Canada. The Elephant doesn't fly. Parrots don't smoke cigarettes. Sydney is the capital city of Germany. (Remember: the sentence doesn't have

to be true)

EXPLANATION In the following picture, you can see that "The Earth goes around the Sun". Why is this in Present simple? Because the sentence expresses a fact, something that is true (in this case, it is right: the Earth really goes around the Sun).

41

APPLICATION 2: Habits and Routines We also use this tense to indicate that an activity is a habit or a

routine. In this case we often used the frequency adverbs (but we are going to talk about this topic later).

Examples:

We leave for school at 6:30 every morning. Marc often meets with his friends after school. We usually play football on Saturday.

To understand this use better, watch the following:

EXPLANATION In this picture, you can see a boy playing baseball, if you ask him, when do you play? He can answer you: "I play baseball every Friday".

Why is this in Present Simple? Because the boy talks about a habit, something that he does regularly.

APPLICATION 3: Permanent Situations Use the Present Simple to talk about situations in life that last a relatively long time. Examples: I don’t eat beef. He works as a fireman. Diana drives a Porsche.

Mary doesn't teach math at high school.

42

APPLICATION 4: State Verbs You should use the Present Simple with state verbs. Some English verbs, which we call state, non-continuous or stative verbs, aren’t used in continuous tenses (like the present continuous, or the future continuous). These verbs often describe states that last for some time. Here is a list of some common ones:

State Verb List (VOCABULARY)

Like Know Belong Love Realize Fit Hate Suppose Contain Want Mean Consist Need Understand Seem Prefer Believe Depend Agree Remember See Mind Taste Smell Appear Look Sound Own Examples:

I like swimming. We know this man.

Speaker 1: Ronaldinho, do you like football? (Use 4)

Ronaldinho: Yes, I do. APPLICATION 5: Fixed / Official arrangements Use the Present Simple to talk about events that we can't change (for example, an official meeting or a plane departure).

Examples:

The meeting starts at 4 pm. The bus leaves at the noon. When does the plane take off?

43

APPLICATION 6: Narrations The Present Simple is also used in narrations (e.g. to tell a story or a joke). Examples:

A man goes to visit a friend and is amazed to find him playing chess with his dog. He watches the game in astonishment for a while [...]

A young couple, just married, was in their honeymoon suite on their wedding night. As they were undressing for bed, the husband--- who was a big hurly man--- tossed his trousers to his bride and said, “Here, put these on.” She put them on and the waist was the twice the size of her body. “I can’t wear your trousers,” she said. “That’s right,” said the husband, and don’t you ever forget it. I’m the man who wears the pants in this family.” With that she flipped him her panties and said, “Try these on.” He tried them on and found he could only get them on as far as his kneecaps. “Hell,” he said. “I can’t get into your panties!” She replied, “That’s right, and that’s the way it’s going to stay until your attitude changes.”

44

GRAMMAR

Forming a sentence in the Present Simple is easy. To form a declarative

sentence, all you need is the subject of the sentence (e.g. I, you, he, a dog) and the verb (e.g. be, talk, swim). Questions and negative sentences are only a little more difficult, because they require an auxiliary verb. AFFIRMATIVE SENTENCES

Subject Verb Complement I work as a nurse.

He She works* as a firefighter.

It Robert Mayra

We You Work on Sunday night. They

My dad and Karen

*The spelling for the verb in the third person differs depending on the ending of that verb: 1. For verbs that end in -O, -CH, -SH, -SS, -X, or -Z we add -ES in the third person.

go – goes catch – catches wash – washes kiss – kisses fix – fixes buzz – buzzes

2. For verbs that end in a consonant + Y, we remove the Y and add -IES. marry – marries study – studies carry – carries worry – worries

NOTE: For verbs that end in a vowel + Y, we just add -S. play – plays enjoy – enjoys say – says

45

Present simple positive exercises. Match the pronoun with the correct form of the verb.

I drinks water. You plays basketball. He play baseball. She drink juice. It dance salsa. We plays with a ball. You drink beer. They dance in the school.

Fill in the blanks with the correct form of verbs given:

1. I ____________ (read) a very interesting book now.

2. Joanne ____________ (work) eight hours a day.

3. Tonight we ____________ (watch) a play at the theater.

4. Mayra ____________ (know) him very well.

5. My wife ____________ (like) coffee for breakfast.

6. Your train ____________ (leave) at 17.25 from platform 3.

7. My whole family _______________(go) to church once a week.

8. My wife and I _________________(go) to the beach in the summer.

9. Rain seldom ________________(fall) in the Sahara.

10. Leap year __________________(come) every four years.

11. My grandfather ________________(grow) tomatoes in his garden.

12. The children ______________________(leave) for school right now.

13. The weather _____________(get) very cold in Moscow in the winter.

14. Many birds of Europe _____________(fly) south to Africa every winter.

46

15. The children __________________(leave) at 8:30 every morning of the week.

Present Simple Other Verbs Positive Exercise.

Make positive present simple sentences:

1. (They / often watch TV)

__________________________________________________________________

2. (You / hate mushrooms)

__________________________________________________________________

3. (He / visit her grandmother every Christmas)

__________________________________________________________________

4. (We / use the Internet every evening)

__________________________________________________________________

5. (Michael / go swimming twice a week)

__________________________________________________________________

6. (Karen / hate waiting for the bus)

__________________________________________________________________

7. (Robert and Jimmy / want to go out tonight)

__________________________________________________________________

8. (You / usually stay at home on Fridays)

__________________________________________________________________

9. (I / love driving fast cars)

__________________________________________________________________

10. (We / often have parties)

__________________________________________________________________

47

11. (He / take a piano lesson every Monday)

__________________________________________________________________

12. (They / like watching French films)

__________________________________________________________________

13. (I / go to bed very early)

__________________________________________________________________

14. (You / always eat breakfast)

__________________________________________________________________

15. (We / often arrive late)

__________________________________________________________________

16. (She / live in Beijing)

__________________________________________________________________

17. (Dorothy / work in a school)

__________________________________________________________________

18. (He / read a lot of novels)

__________________________________________________________________

19. (the king / like his dogs)

__________________________________________________________________

20. (You / cook almost every night)

__________________________________________________________________

48

Homework: play the game in this link for more practice, http://www.eslkidsworld.com/Interactive%20games/present%20simple%20tense%20quiz.html

Reading comprehension

A Christmas Present

Read the text and answer the questions.

A Special Christmas Present Danny wants to buy a Christmas present for a very extraordinary

person, his mother. Danny's father gives him $5.00 a week pocket money and Danny puts $2.00 a week into his bank account. After three months Danny takes $20.00 out of his bank account and goes to the

shopping center. He looks and looks for a perfect gift. Suddenly he sees a beautiful brooch in the shape of his favorite pet. He says to

himself, "My mother loves jewelry, and the brooch costs only $17.00." He buys the brooch and takes it home. He wraps the present in Christmas paper and places it under the tree. He is very excited and he is looking forward to Christmas morning to see the joy on his mother's face.

But when his mother opens the present she screams with fright because she sees a spider.

Answer the questions.

1. What does Danny want to buy his Mother? A. ? a special birthday present

B. ? a Christmas present

C. ? a spider ring

2. Who does Danny get his money from? A. ? his pet

49

B. ? his mother

C. ? his father

3. How much money does Danny take to the mall? A. ? $20.00

B. ? $5.00

C. ? $17.00

4. What does Danny buy his mother? A. ? a ring

B. ? a brooch

C. ? a spider

5. What does Danny do with the present when he takes it home? A. ? he gives it to his mother

B. ? he wraps it in Christmas paper

C. ? he is very excited

6. Why does Danny's mother scream? A. ? because the present is beautiful

B. ? because she doesn't like Christmas presents

C. ? because she thinks she sees a real spider

7. Why does Danny buy a spider brooch? A. ? spiders are his favorite pet

B. ? he loves Christmas

C. ? to scare his mother

8. Where does Danny put the present on Christmas Eve? A. ? under his pillow

B. ? under a spider

C. ? under the Christmas tree

50

GRAMMAR Negative Sentences in the Simple Present Tense

To make a negative sentence in English we normally use Don't or Doesn't with all verbs EXCEPT To Be and Modal verbs (can, might, should etc.).

Affirmative: You speak French. Negative: You don't speak French.

You will see that we add don't between the subject and the verb. We use don't when the subject is I, you, we or they.

Affirmative: He speaks German. Negative: He doesn't speak German.

When the subject is he, she or it, we add doesn't between the subject and the verb to make a negative sentence.

Negative Contractions Don't = Do not Doesn't = Does not

I don't like meat = I do not like meat. Word Order of Negative Sentences

Subject don't/doesn't Verb* The Rest of the sentence

I You We they

don't have / buy

eat / like etc. cereal for breakfast

He She

it

doesn't

* Verb: The verb that goes here is the base form of the infinitive = The infinitive without TO. Examples of Negative Sentences with Don't and Doesn't:

You don't speak Arabic. John doesn't speak Italian.

51

We don't have time for a rest. It doesn't move. They don't want to go to the party. She doesn't like fish.

Present Simple Negative Exercises, Circle don’t or doesn’t to complete the following sentences.

1. He don't / doesn't live in Mexico.

2. She don't / doesn't work in a bank.

3. I don't / doesn't play golf once a week.

4. Ron don't / doesn't listen to the radio.

5. We don't / doesn't speak French.

6. You don't / doesn't drink coffee in the morning.

7. My cat don't / doesn't sleep at night.

8. His car don't / doesn't work.

9. Rosy don't / doesn't eat meat.

10. I don't / doesn't understand you.

Make negative present simple sentences:

1. (I / not / like coffee)

___I don’t like coffee _____________________________________________

2. (I / not / live in Paris)

__________________________________________________________________

52

3. (she / not / come from Spain)

__________________________________________________________________

4. (John / not / work in a bank)

__________________________________________________________________

5. (they / not / get up at eight o’clock)

__________________________________________________________________

6. (we / not / go to the cinema every Friday)

__________________________________________________________________

7. (you / not / read the newspaper every day)

__________________________________________________________________

8. (he / not / go to school in France)

__________________________________________________________________

9. (we / not / watch TV in the evening)

__________________________________________________________________

10. (I / not / have a shower in the morning)

__________________________________________________________________

11. (she / not / drink tea every afternoon)

__________________________________________________________________

12. (they / not / visit their parents at the weekend)

__________________________________________________________________

13. (you / not / study English very often)

__________________________________________________________________

14. (it / not / rain here)

__________________________________________________________________

15. (we / not / go out on Tuesday nights)

53

__________________________________________________________________

16. (he / not / like cabbage)

__________________________________________________________________

17. (the sun / not / go round the earth)

__________________________________________________________________

18. (she / not / play the piano)

__________________________________________________________________

19. (I / not / smoke)

__________________________________________________________________

20. (Julie and Lucy / not / play football)

__________________________________________________________________

54

GRAMMAR Questions in the Simple Present Tense

To make a question in English we normally use Do or Does. It has no translation in Spanish though it is essential to show we are making a question. It is normally put at the beginning of the question.

Affirmative: You speak English. Question: Do you speak English?

You will see that we add DO at the beginning of the affirmative sentence to make it a question. We use Do when the subject is I, you, we or they.

Affirmative: He speaks French. Question: Does he speak French?

When the subject is he, she or it, we add DOES at the beginning to make the affirmative sentence a question.

We DON'T use Do or Does in questions that have the verb To Be or Modal Verbs (can, must, might, should etc.) FORM

Do/Does Subject Verb* The Rest of the sentence

Do I

you we

they have / need

want etc. a new bike?

Does he she

it

*Verb: The verb that goes here is the base form of the infinitive = The infinitive without TO.

Examples of Questions with Do and Does:

Do you need a dictionary? Does Mary need a dictionary? Do we have a meeting now? Does it rain a lot in winter?

55

GRAMMAR Short Answer with Do and Does. In questions that use do/does it is possible to give short answers to direct questions as follows:

Sample Questions Short Answer (Affirmative)

Short Answer (Negative)

Do you like chocolate? Yes, I do. No, I don't.

Do I need a pencil? Yes, you do. No, you don't.

Do you both like chocolate? Yes, we do. No, we don't.

Do they like chocolate? Yes, they do. No, they don't.

Does he like chocolate? Yes, he does. No, he doesn't.

Does she like chocolate? Yes, she does. No, she doesn't.

Does it have four wheels? Yes, it does. No, it doesn't.

WH- questions (using words such as “what”, “when”, and “where”) are also

created by putting the auxiliary do before the subject. Then, you add the WH- word at the beginning.

WH

Word Do/Does Subject Verb* The Rest of the

sentence

What Why When Who Where How Which

Do

I you we

they have / needwant etc. to buy?

Does he she

it

56

Present Simple Question Exercises Fill in the blanks with Do or Does to complete the questions.

1. ______________ Peter go to school every school?

2. ______________ Lisa like lasagna?

3. ______________ she know much English?

4. ______________ he swim every morning?

5. ______________ farmers grow rice?

6. ______________ your sister write a letter?

7. ______________ he work in the office?

8. ______________ Marcos sing well?

9. ______________ they buy a new schoolbag?

10. _____________ the boys drink coca cola?

11. _____________ Roly work hard?

12. _____________ it fly in the sky?

13. _____________ the baby cry every night?

14. _____________ you sleep here?

15. _____________his father give him some money?

57

Present Simple Question Exercises Put the words in the correct order to make a question.

1. in / when / up / ? / morning / get / the / do / you

________________________________________________________________________________

2. university / ? / sister / study / what / your / does / at

________________________________________________________________________________

3. sport / play / does / any / she / ?

________________________________________________________________________________

4. music / what / like / you / do / ?

________________________________________________________________________________

5. magazines / read / any / you / do / ?

________________________________________________________________________________

6. friend / live / town / your / your / does / best / in / ?

________________________________________________________________________________

7. cinema / the / you / go to / do / ?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

58

Answer the following questions with short answers.

1. Do you play the guitar? ___________________________

2. Does your teacher like sports? _____________________

3. Do they collect stamps? __________________________

4. Does she work on Sunday? _______________________

5. Does your dog like vegetables? ____________________

6. Do I look beautiful? ______________________________

PREPOSITIONS OF TIME AT, ON, IN

A preposition is a word used to show the relationship of a noun to something else, usually a location in space or time. The word or phrase that the preposition introduces is called the object of the preposition. Time prepositions are used to clarity what time an event happened or will happen. Prepositions usually come before nouns or pronouns. Prepositions never come before a verb. List of Time Prepositions Examples: I am going to meet him at three o'clock. I was born in June. I finished my work on Monday. Structure AT: at + particular time: dawn, midday, noon, night, midnight, nine o'clock etc.. Example: I arrive home at dawn. at + the + a particular time in a week/month/year: start/end of the week/month/year, weekend. Example: I will travel at the start of July. at + calendar festival season: Christmas, New Year, Easter etc.. Example: she always comes at Easter. at + meal: breakfast, lunch, mid-morning, tea, dinner, supper etc.. Example: Mary talks with me at breakfast.

59

Structure ON: on + day of the week: Monday, Tuesday, Wednesday etc. Example: The party will be on Thursday. on + particular part of a day: Friday morning, Saturday afternoon. Example: Karen was there on Sunday evening. on + particular date: 25 July 2001, 4 January. Example: The wedding is going to be on 19 March. (On the nineteenth of March is how this date is read aloud or said in conversation). on + calendar festival day: Christmas Day, Palm Sunday. Example: Robert visits me on Easter Sunday.

PREPOSITIONS OF TIME

AT, ON, IN Structure IN: in + the + a part of a day: the morning, the afternoon, evening. Example: I study French in the afternoon. in + month: January, February, March, April, May etc.. Example: Mary is going to travel in June. in + season of the year: Spring, Summer, Autumn. Example: It snows in winter. in + specific year: 1988, 1989, 1990 etc.. Example: My son was born in 1999. in + the + a specific century: nineteenth century. Example: The first word war was in the twentieth century. in + historical period of time: the Dark Ages, Pre-historic Times. Examples: Torture was common in the middle Ages.

60

Preposition of time exercises. (AT, ON, IN) Fill in the gaps with at, on, or in.

1. I hate doing the shopping ___________ Saturdays.

2. She passed her driving test ___________ March.

3. Valencia is too hot for me ___________ summer.

4. ___________ Sunday mornings I have coffee and toast for breakfast and read the newspaper.

5. ___________ Monday and Wednesday evenings I go to English class.

6. We're planning to go skiing ___________ Easter.

7. It's ridiculous. The bank closes ___________ 2:30 pm.

8. Jim had a terrible journey to Wales ___________ Christmas Eve 2003.

9. ___________ 1492 Columbus sailed the ocean blue.

10. Some people study best ___________ night but I prefer the morning.

11. I love watching the James Bond film ___________ Christmas Day.

12. I normally phone my girlfriend ___________ 10 o'clock every evening.

13. I hate going out ___________ the week.

14. We usually go out for dinner ___________ the weekend.

15. She's always very grumpy first thing ___________ the morning.

61

For more practice try this link:

http://www.eslgamesworld.com/members/games/grammar/walk%20plank/prepositions%20of%20time/prepositions%20of%20time.html

PREPOSITIONS OF PLACE NEXT TO, ACROSS FROM, BETWEEN. Preposition of place show the positional relationships that different objects have. Next to: means at the side of. Example: In this picture my brother is next to me.

Across from: means opposite or facing.

Example:

Cronin park is across from the Tarbox School

at the intersection of Alder and Juniper

Streets.

Between: indicates separation of two things, or in the center of two things.

Example:I am happy between the trees.

62

PREPOSITIONS OF PLACE BEHIND, AROUND THE CORNER.

Behind means in the rear of, left in the past, at the back, or last.

Example: The man is behind the chair.

Around means on another side of Example: The Bank is around the corner.

63

Now is your turn to practice, let’s start.

Preposition of place exercises. Look at the map and complete the sentences with next to, across

from, between, behind, and around the corner.

1. The police station is _____________________ the bank and the store.

2. The drug store is ___________________________ the police station.

3. The school is ___________________________ the restaurant.

4. The train station is ______________________ the school.

5. The drug store is __________________________ the movie theater and the post office.

6. The restaurant is ______________________________from the movie theather.

64

7. The school is ____________________________________ the post office.

Preposition of place exercises. Find the mistake and correct the sentence.

1. The library is between the post office and the school.

________________________________________________________________________

2. The school is next to the supermarket.

________________________________________________________________________

3. The store is around the corner from the movie theater.

________________________________________________________________________

65

4. The church is behind the movie theater.

________________________________________________________________________

5. The hospital is between First and Second Street.

_______________________________________________________________________

DEMONSTRATIVE ADJECTIVES THIS, THAT, THESE AND THOSE.

In English the demonstrative adjectives are used to indicate specific items in

relation to ourselves. The demonstrative adjectives are THIS, THAT, THESE AND

THOSE. They indicate not only a specific item or items but also where they are in

relation to the speaker (near or far).

ADJECTIVE: describes a noun.

In the following sentences, the words in bold all function as adjectives, since they all describe the noun "book."

Give me the red book. Give me the big book. Give me that book. Give me this book.

Notice that adjectives answer the question "Which?" in relation to the nouns that they modify. (Which book? The red book. The big book. That book. This book.)

This indicate something singular and near to the speaker.

That indicate something singular and far to the speaker.

These indicate more than one thing and near to the speaker.

Those indicate more than one thing and far to the speaker.

66

Examples:

This apartment needs to be painted. (this is a demonstrative adjective to indicate which apartment) He lives in this house

How much is that bag? That book is interesting.

Would you like these oranges? These pencils are yours.

Those books are old. Please give me those clothes.

DEMONSTRATIVE ADJECTIVES THIS, THAT, THESE AND THOSE.

The demonstrative adjectives do not change in Negative sentences. Use them as in affirmative sentences, but do not forget to match the number and distance from the speaker of the adjective with the noun pointed at. Examples: This dress is not black. These letters were not on my desk yesterday. That pen is not yours. Those teachers did not work here last year. Demonstrative adjectives are used in Simple present or Simple past questions. Examples: Does that jacket protect you from this weather? Do these shoes match my dress? Does that bookstore sell bilingual dictionaries? Did you take this belt from my closet? Do those baseball players know about the food poisoning?

67

Demonstrative adjectives exercise. Write the correct demonstrative.

THIS or THESE

1. _____________ book 2. _______________ house

3. _____________ house 4. _______________ books

5. _____________ parties 6. _______________ jeans

7. _____________ families 8. _______________ party

9. _____________ woman 10. ______________ men

11. ____________ jean 12. ______________ child

13. ____________ answers 14. ______________ teeth

Demonstrative adjectives exercise. Write the correct demonstrative. THAT or THOSE

1. __________ desk is mine.

2. __________ is a good answer.

3. __________ questions are too difficult.

4. __________ isn't a nice thing to say.

5. __________ dogs bark all day.

6. __________ dress is short.

7. __________ birds sing in that tree every morning.

68

Demonstrative adjectives. THIS or THAT, Complete the sentences.

_________ is a car.

__________ is a kite.

__________ is an apple.

_________ is a ball.

8. __________ letter is for Jill.

9. __________ windows are open.

10.

__________ cars go fast.

69

__________ is a book.

_________ is a computer.

_________ is a tree.

_________ is a tent.

_________ is a TV.

_________ is a lamp.

__________ is a sofa.

70

Demonstrative adjectives exercise. Select the sentence that correctly changes the subjects and verbs

from the singular to plural.

1. Is this cake ready?

a) Are these cakes ready?

B) Is these cakes ready?

C) Are ready this cakes?

2. That blouse does not need to be altered.

a) These blouses does not need to be altered.

b) Those blouses do not need to be altered.

c) Those blouses does not need to be altered.

3. Is that radiator working? a) Are those radiators working? b) Is this radiator working? c) Are these radiators working? 4. This picture is ours. a) Those pictures are ours. b) These pictures are ours. c) That picture is ours.

THERE IS / THERE ARE

We use there is / there are to say that something exists (or does not exist). The real subject usually comes after There is / There are. Use “there is” for singular nouns and thing as you cannot count.

71

Examples:

There is an apple on the desk. There is oil on the pavement. Use “there are” for plural nouns.Examples: There are 600 students in this school.

There are four windows in my room.

Negative sentences

To say the opposite, (the negative form of this structure), use isn’t (is + not) or aren’t (are + not)

Examples:

There isn’t an orange on the table. There isn’t ice on the lake. There aren’t chairs in this room. Interrogative sentences As almost always happens in English, to make questions with this structure change the order of the sentence at the beginning.

Example: Is there a Post office near hear? Are there two telephone lines in this office? Yes /no answers: Yes, there is. No, there isn’t Yes, there are. No, there aren’t.

72

THERE IS / THERE ARE Exercises. Write

There is or There are in the

following sentences.

THERE IS / THERE ARE Exercises. Make questions using Is / Are there …….? and answer them..

1. tigers / Canada ____________________________________?

___________________________________________________

2. Penguins / Brazil ___________________________________?

___________________________________________________

3. a fridge / kitchen

____________________________________?__________________

1. ______________a magazine on the floor.

2. ______________four chairs in the room.

3. ______________seven days in a week.

4. ______________a drink in the fridge.

5. ______________a magazine on the floor.

6. ______________four chairs in the room.

7. ______________seven days in a week.

8. ______________a drink in the fridge.

73

4. a chair / bathroom

___________________________________?__________________

5. lions / Uganda ______________________________________

?__________________

6. a bus stop / your street

________________________________?__________________

7. Elephants / Thailand

__________________________________?__________________

THERE IS / THERE ARE Exercises. Look at the picture below and write affirmative and negative

sentences using There is or There are.

There is or there are

1. __________________________________________________________________

2. __________________________________________________________________

74

3. __________________________________________________________________

4. __________________________________________________________________

5. __________________________________________________________________

There isn’t or There aren’t

1. _________________________________________________________________

2. _________________________________________________________________

3. _________________________________________________________________

4. _________________________________________________________________

5. _________________________________________________________________

SELF- EVALUATION

APPLY THE GRAMMAR THAT YOU HAVE LEARNED IN THE PREVIOUS EXERCISES TO COMPLETE THE BROCHURES, MIND MAPS, AND CONCEPT MAPS

75

NOW ANSWER THIS



I

LEARNED:_____________________________________________________________

_______

______________________________________________________________________

________


WAS:_________________________________________________________________

______________________________________________________________________

___________________

I HAD DIFFICULTY

WITH:__________________________________________________________


ABOUT:____________________________________________

76


















77

Has a personal opinion about different interest

UNIT 3 :

LANGUAGE FOCUS

Present continuous, likes and dislikes, can,can’t, adverbs of frecuency, comparatives and superlatives

Social practices

Moral Value SERVICE: organize a community clean-up

volunteer at a local nonprofit attend a charity

take a class that requires service learning

tutor local children

Unit Purpose

To enable students to talk fluently Base on their realities, experiences and all the areas such : personal, professional, beside development writing, reading,listening and conversation to become more successful.

78

Beautiful Happy Big Small

Thin Thick New Old

Noisy Quiet Cold Hot

Fat Intelligent Expensive Tall

Short Cheap Early Handsome

VOCABULARY PREVIEW

79

PRESENT CONTINUOUS

FORM OF THE VERB TO BE (AM/IS/ARE) AND THE ING FORM OF THE MAIN VERB.

I 'm playing football.

You 're standing up.

He 's listening to music.

She 's swimming.

It 's playing with the ball.

We 're going home.

They 're running.

THE ING FORM OF THE VERBS

1. we add ing

work working

stand standing

learn learning

80

2. When the verb ends in an e, we drop the e and add ing

come coming

have having

write writing

3. If a one syllable (with only one vowel sound) verb ends in one

consonant (for example p, t, r) that follows one vowel (for example

a, o, e), we double the consonant.

swim swimming

get getting

stop stopping

4- Some verbs have irregular ing form

lie lying

die dying

travel traveling

5-When the verb ends in an e, we drop the e and add ing

come coming

have having

write writing

81

6- If a one syllable (with only one vowel sound) verb ends in one consonant

(for example p, t, r) that follows one vowel (for example a, o, e), we double

the consonant.

swim swimming

get getting

stop stopping

GRAMMAR NOTE : There are verbs that are not normally used

in the Continuous Tense, because they describe rather state than

an action. They are called state verb (stative verbs, non-progressive verbs).

The verbs that can be used in the Continuous Tense are called

action verbs (dynamic verbs).

Some verbs can be both state and action verbs depending on

their meaning.

1. VERBS THAT ARE NOT NORMALLY USED IN

THE CONTINUOUS TENSE.

like dislike love hate

prefer remember forget believe

82

mean seem understand want

need know belong own

A FEW VERBS THAT CAN BE BOTH STATE AND ACTION VERBS DEPENDING ON THEIR MEANING.

I think you made a bad desicion.

think = believe

I am thinking about my boyfriend now.

think = mental process

I have two dogs.

have = possess, own

I am having my dinner now.

have = eat

I am seeing my doctor tomorrow evening.

see = meeting with

See = understand

83

WRITE THE CORRECT FORM OF THE VERB REMEMBER PRESENT CONTINUOUS

Example: I am TALKING(TALK) to you.

1. The train to Ventura california (leave) at 10pm.

2. I (start) to understand the Present Continuous now.

3. Sue (dance) tonight.

4. Listen! Mike (knock the door).

5. Ms. lopez (work) now.

PRESENT PROGRESSIVE - QUESTIONS –

UNSCRAMBLE THESE QUESTIONS AND WRITE THE VERB IN PRESENT CONTINUOUS JUST REMEMBER

AUXILIARY + SUBJECT + VERB ING FORM + COMPLEMENT ?

IS MARIA COMING HOME ?

ARE CHUYITO AND MARIEL STUYING FOR THE EXAM?

1- IN THE LAKE PANCHITA TO SWIM?________________________________________________________________

2- A MUSEUM SHE TO VISIT ?___________________________________________

3- HER TEACHER CARMELITA TO WASH ?_________________________________

84

PRESENT CONTINUOUS QUESTIONS

FIND WHICH SENTENCES ON THE RIGHT ANSWER THE QUESTIONS ON THE LEFT CORRECTLY. REWRITE THEM ON THE BOTTOM

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

What are you doing?

Where is PANCHITA going?

Do you get up at ELEVEN?

Where does your BROTHER work?

Are you FIXING THE TV?

Are PEPITO AND JOSE writing a letter?

Does SHE work at night?

When does PANCHO go home?

No, I'm having dinner.

She's going home.

No, they are sleeping.

At half past four.

I'm going home.

She works at home.

No, I get up at 7AM.

No, She works in the afternoon

85

PRESENT CONTINUOUS LOOK AT THE EXAMPLES AND WRITE YOUR OWN

1-______________________________________________________________________2-______________________________________________________________________3-______________________________________________________________________4-______________________________________________________________________5-______________________________________________________________________6-______________________________________________________________________7-______________________________________________________________________8-______________________________________________________________________9-______________________________________________________________________

10-

______________________________________________________________________

AFFIRMATIVE STATEMENT NEGATIVE STATEMENT I am working. I am not working. You are working. You are not working. He is working. He is not working. She is working. She is not working. It is working. It is not working. We are working. We are not working. They are working. They are not working.

86

TIME TO PLAY Situations

A: Washing

1. You are washing clothes.

2. The telephone rings.

3. Dry your hands.

4. Answer the phone.

5. Write down the message.

B: Cooking

1. You are standing at the gas range.

2. You have a frying pan.

3. Break an egg on the rim of the pan.

4. Pour the egg into the pan.

5. Toss the egg to turn it over.

C: Making Toast

1. You have a loaf of bread.

2. Cut two slices.

3. Put them in the toaster.

4. Take the toast out of the toaster.

5. Eat the toast.

D: Drinking Milk

1. You are pouring milk into a glass.

2. Some milk spills on the floor.

3. Get a cloth.

4. Clean up the milk.

5. Drink the milk from the glass.

E: On the Bus

1. Get onto a bus.

2. There are no empty seats.

3. Hold onto the hand strap.

4. The bus stops suddenly.

5. Someone gets off.

6. Sit down.

F: Shopping

1. You are shopping.

2. You see a nice coat.

3. Try it on.

4. Look in the mirror.

5. Pay for the coat.

6. Take it out of the shop.

G: Cleaning

1. You are cleaning the table.

2. You knock over a vase.

3. It lands on your foot.

4. The vase breaks.

5. Clean it up.

H: Watching Tennis

1. You are watching a tennis match.

2. Watch the ball going to and fro.

3. Cheer for the winner.

4. It starts to rain.

5. Put up your umbrella.

Who?

What?

How?

Groups of four to six people

This is a miming activity. Mimes help us to express ourselves through actions.

We need an Actor (Student A) and an Audience (Students B, C, D, E, F).

Actor: Choose one situation (below). Stand up. Do the actions without speaking.

Audience: Watch the actor. Guess what the actor is doing.

New Actor (Student B): Choose another situation, etc.

87

I: On the Train

1. Get onto a train.

2. Walk down the aisle.

3. Look at the seat numbers.

4. Find your seat.

5. Put your luggage on the rack.

6. Sit down and read a book.

J: At the Dentist’s

1. Arrive at the dentist’s clinic.

2. Sit down and read a magazine.

3. Go to the dentist’s chair.

4. Sit down and open your mouth.

5. Oh dear! That hurts!

6. Hold your mouth.

LIKES AND DISLIKES

plus noun and verb.

The verbs "like and dislike" can be followed by a noun.

example:

I like dogs I like rabbits

like + Noun

I

you

we

they

like

dislike

football

San felipe

Mexican food

Pineapple juice

88

he

she

it

likes

dislikes

Mexican music

american food

milk

They also can be followed by another verb.

example:

I like singing

I like dancing

89

I like reading

I like cooking

When like/Dislike are followed by a verb you add ing ending to the verbs.

I

you

we

they

like

dislike

playing soccer

going to the beach

eating Mexican food

drinking apple juice

he

she

it

likes

dislikes

listening music

cooking fish

reading magazines

90

WHAT I LIKE

LIKES AND DISLIKES – FOOD

COMPLETE LIKE OR DON'T LIKE : a. I boys.

b. I potatoes

c. I dumplings

d. I tepanyaki

e. I orange rice

f. I chicken noodles

g. I carrot cake QUESTIONS AND ANSWERS: a. you like ? Yes, I . b. you ? No, I . c. ? Yes, . d. ? No, .

91

e. ? Yes, .

f. ? No, .

TIME TO PLAY ENJOY IT……………….

WHICH ONE DO I LIKE? This is similar to the Japanese game show where celebrities have to pretend to like

foods they hate. Students tell the class three things they like, love, hate etc, e.g. “I hate

dogs, tomatoes and the colour blue”. One of those things should be untrue. The other

students ask them questions until they can guess which one isn’t true, e.g. “Why do you

hate all dogs?”, “Do you like ketchup?” or “Do you eat pizza without tomatoes?” The

person answering can continue to lie in their answers about the one thing that is false.

TIME TO TALK

FIND SOMEONE WHO... LIKES AND DISLIKES.

1. ________________ enjoys cooking. What...?

Do you enjoy cooking? What do you like to cook?

92

2. ________________ doesn't enjoy cooking. How often...?

Do you enjoy cooking? How often do you cook?

3. ________________ likes to listen to music. What kind...?

Do you like to listen to music? What kind of music do you like?

4. ________________ doesn't mind studying English. Why...?

5. ________________ doesn't like studying English. Why...?

6. ________________ likes pizza. How often...?

7. ________________ hates pizza. Why...?

8. ________________ loves animals. Why...?

9. ________________ really likes to watch TV. What...?

10. _______________ really dislikes watching TV. How often...?

11. _______________ is thinking about a TV show right now. Which...?

12. _______________ likes his or her job. Why...?

13. _______________ doesn't like to exercise. Why...?

93

CAN / CAN’T

Can to talk about 'possibility'.

Can you do that?

I can't manage to do that.

You can leave your car in that parking space.

You cannot smoke in here.

Notice that there are two negative forms: 'can't' and 'cannot'. It means the same,

When we are speaking, we usually say 'can't'.

We use 'can' to talk about 'ability'.

I can speak Japanese.

I can't swim.

We use 'can' to ask for and give permission.

Can I talk to you or are you too busy?

You can wear my dress.

You can't come with us.

We use 'can' in offers, requests and instructions.

Can I help?

Can you give me a hand?

When you finish that, you can wash the car.

94

We use 'can' with 'see' 'hear' 'feel' 'smell' 'taste' to talk about something which is

happening now . (Where you would use the present continuous with most other verbs.)

I can smell something burning.

Can you hear that noise?

I can't see anything.

We can use 'can't' for deduction.

You can't be hungry. You've just eaten.

He was in San Diego one hour ago when I spoke to him. He can't be here

yet.

GRAMMAR EXERCISES

Add can or can't to the following sentences.

Example: You can speak English.

1. Elephants talk.

2. Dogss fly.

3. Elisa play the piano., but Cory can't.

4. Juan go on vacation. It's too expensive.

5. I borrow some money?

95

CAN - TO BE ABLE TO, TO BE ALLOWED TO

to be able to or to be allowed to instead of "can". We can only form the Past of "can"

(could). To put "can" into other tenses we need the phrases to be able to or to be allowed to.

AFFIRMATIVE STATEMENTS

Tense Modal Form

Simple Present I can play soccer.

I am able to play soccer.

I'm able to play soccer.

I am allowed to play soccer.

I'm allowed to play soccer.

Simple Past I could play soccer. I was able to play soccer.

I was allowed to play soccer.

will-future Do not use can in the

will-future.

I will be able to playsoccer.

I'll be able to play soccer.

I will be allowed to play soccer.

I'll be allowed to play soccer.

96

NEGATIVE STATEMENTS

Tense Modal Form

Simple Present I cannot play soccer.

I can't play soccer.

I am not able to play soccer.

I'm not able to play soccer.

I am not allowed to play soccer.

I'm not allowed to play soccer.

Simple Past I could not play soccer.

I couldn't play soccer.

I was not able to play soccer.

I wasn't able to play soccer.

I was not allowed to play soccer.

I wasn't allowed to play soccer.

will-future Do not use cannot in the

will-future.

I will not be able to play soccer.

I won't be able to play soccer.

I will not be allowed to play soccer.

I won't be allowed to play soccer.

WRITE THE CORRECT FORM OF CAN

Example: Yesterday I _____________ a movie, today I can't. (can/to watch)

Answer: Yesterday I could watch a movie, today I can't.

1) Last week we shopping, this week we can't. (can/to go)

2) Maybe the Lopez a new house next year. (can/to build)

97

Questions

Tense Modal Form

Simple Present Can he play soccer? Is he able to play soccer?

Is he allowed to play soccer?

Simple Past Could he play soccerl?Was he able to play soccer?

Was he allowed to play soccer?

will-future Do not use can in the

will-future.

Will he be able to play soccer?

Will he be allowed to play soccer?

3) If you try again, you your examinations. (can/to pass)

4) When I was six, I . (not/can/to swim)

5) Lupita the violin after four months. (can/to play)

6) Magui has passed his driving test, now She a car. (can/to drive)

7) For five weeks I to him on the phone. (not/can/to speak)

8) Ruli his homework when his desk is in such a mess. (not/can/to

do)

9) She was so busy, She me a text message. (not/can/to write)

10) Ana her dress. She can wear it again. (can/to clean)

98

WRITE YOUR OWN QUESTIONS

ADVERBS OF FREQUENCY

always, usually, regularly, normally, often, sometimes, occasionally, rarely, seldom, never are adverbs of frequency. The position of these adverbs is:

before the main verb

Adverb of frequency Verb

I always get up at 7.45. Juanita can usually play soccer on Sundays. Pancho has sometimes got lots of homework.

after a form of to be am, are, is (was, were)

Verb Adverb of frequency

Maria is never late.

The adverbs often, usually, sometimes and occasionally can go at the beginning of a sentence. Sometimes I go running. Often we surf the internet.

Sometimes these adverbs are put at the end of the sentence. We read magazines occasionally.

REWRITE THE COMPLETE SENTENCE USING THE ADVERBS

Example: I play tennis on Sundays. (often)

Answer: I often play tennis on Sundays.

99

1) SHe listens to the radio. (often)

2) They read a poetry. (sometimes)

3) Juan gets angry. (never)

4) Erik is very friendly. (usually)

5) I take nutra sweet in my coffee. (sometimes)

6) Ramon and miguel are hungry. (often)

7) My grand fatherther goes for a walk in the evening. (always)

8) Griselda helps his father in the kitchen. (usually)

WRITE ABOUT YOURSELF.

Example: I often call my family.

1. I always .

2. I often .

100

3. I sometimes .

4. I don't usually .

5. I never .

COVERSATION ADVERBS OF FRECUENCY : LOOK AT THE DIFFERENTS EXAMPLES OF HOW YOU CAN PRACTICE THE ADVERBS OF FRECUENCY IN DIFFFERNTS SITUATIONS AND MAKE YOUR OWN PRACTICE BASE ON YOUR REAL LIFE EXAMPLES: A)How often do you go to the movies?

B: I go to the movies about once a month.

A: I hardly ever go to the movies unless it’s really popular.

B: I almost never go to a concert. I should go more often.

A: I usually rent a movie from the video store. It’s cheaper.

B: I always eat popcorn when I watch a movie A: How often does Robert go bowling?

B: He goes bowling once a week. He loves to bowl.

A: Does he always use the same bowling ball?

B: Yes, he owns a bowling ball. He always uses it.

A: My brother sometimes borrows my bowling ball.

B: My wife and I don’t usually go bowling during the week.

A: Apples are sometimes expensive. And sometimes, they’re cheap.

B: Carrots are usually inexpensive. It depends where you buy them

A: Wine is never cheap. Good wine is always over ten dollars a bottle.

B: I never drink wine, so the high price of wine never bothers me.

A: These jars of jam are four dollars each.

B: Four dollars for a jar of jam? Let me out of here.

101

TIME TO PLAY HAVE FUN

START

…….Watch a movie?

…travel by plane

…stay up late

Go forward 3 spaces

…travel by train?

Make your Own question!

…read a comic book?

…talk to your boyfriend/ girlfriend?

…eat breakfast in a restaurant? … go to church?

…take a shower in the evening

Go back 2 spaces

Make your own question

…play video games?

…do your homework?

…ride a horse?

…get up early?

…drive a car

Make your own question!

…take an elevator?…fall asleep in front of the TV? …visit your friends?

…go shopping for new clothes?

Go forward 1 space

…read a book for pleasure?

How often do you... Make your own question!

…write a letter?

… Travel by boat


SOMETIMES EVERYDAY NEVER USUALLY RARELY

GO BACK 7 SPACES

…go to a library

…Travel by bus

…ride a bicycle?


Go forward 2 spaces

… smile … send an e-mail ?

…Watch football on tv


Go back 4 spaces

…Wear black shoes

…cheat on an exam

FINISH !

FRECUENTLY OFTEN ALL THE TIME ONCE IN A WHILE ALWAYS

102

COMPARATIVES AND SUPERLATIVES

Comparatives and Superlatives are special forms of adjectives. They are used to compare two or more things. Generally, comparatives are formed using -er and superlatives are formed using -est.

1. Forming comparatives and superlatives

How these forms are created depends on how many syllables there are in the adjective. Syllables are like “sound beats”. For instance, “sing” contains one syllable, but “singing” contains two — sing and ing. Here are the rules:

Adjective form Comparative Superlative

Only one syllable, ending in E. Examples: wide, fine, cute

Add -r: wider, finer, cuter

Add -st: widest, finest, cutest

Only one syllable, with one vowel and one consonant at the end. Examples: hot, big, fat

Double the consonant, and add -er: hotter, bigger, fatter

Double the consonant, and add -est: hottest, biggest, fattest

Only one syllable, with more than one vowel or more than one consonant at the end. Examples: light, neat, fast

Add -er: lighter, neater, faster

Add -est: lightest, neatest, fastest

Two syllables, ending in Y. Examples: happy, silly, lonely

Change y to i, then add -er: happier, sillier, lonelier

Change y to i, then add -est: happiest, silliest, loneliest

103

Two syllables or more, not ending in Y. Examples: modern, interesting, beautiful

Use “more” before the adjective: more modern, more interesting, more beautiful

Use “most” before the adjective: most modern, most interesting, most beautiful

HOW TO USE COMPARATIVES AND SUPERLATIVES

COMPARATIVES

Comparatives are used to compare two things. You can use sentences with “than”, or you can use a conjunction like “but”.

Jiro is taller than Yukio. Yukio is tall, but Jiro is taller.

SUPERLATIVES

Superlatives are used to compare more than two things. Superlative sentences usually use “the”, because there is only one superlative.

Masami is the tallest in the class. Yukio is tall, and Jiro is taller, but Masami is the tallest.

Comparatives and Superlatives

Choose the correct form for each word.

1-What is the superlative of "deep"?

A. ? deeper

B. ? deepper

C. ? deepest

D. ? deeppest

104

2- What is the superlative of "unpleasant"?

A. ? unpleasant

B. ? most unpleasant

C. ? more unpleasant

D. ? unpleasantest

3- What is the superlative of "soft"?

E. ? softest

F. ? softiest

G. ? softtest

H. ? most soft

4- What is the comparative of "heat"?

I. ? heater

J. ? heatter

K. ? heatier

L. ? hetter

M. ? none of these

5-What is the comparative of "lively"?

N. ? livelyer

O. ? more livelyer

P. ? livelier

105

6-What is the superlative of "ugly"?

A. ? uglier

B. ? uggliest

C. ? uglyest

D. ? ugliest

7-What is the comparative of "sad"?

E. ? sader

F. ? sadder

G. ? sadier

H. ? saddier

8-What is the comparative of "hot"?

I. ? hoter

J. ? hotter

K. ? hotest

L. ? hottest

9-What is the comparative of "destructive"?

M. ? destructiver

N. ? more destructive

O. ? destructivier

P. ? more destructiver

106

10-What is the superlative of "small"?

Q. ? smallier

R. ? smaller

S. ? smalliest

T. ? smallest

Comparatives and Superlatives

Look at the picture, and complete the sentences.

1. Josy is than miguel. (short)

2. josy is the . (short)

3. pepe is the . (thin)

4. Pepe is than Al. (thin)

5. pepe has the clothes. (colourful)

6. Josy is than Miguel. (heavy)

7. Pepe is the . (light)

8. Josy is than Pepe. (happy)

9. pepe is the . (mysterious)

10. Miguel is than Pepe. (energetic)

Josy

m

i

g

u

e

l

p

e

p

e

107

READ THE SENTENCES BELOW AND THEN GIVE THE COMPARATIVE FORM FOR EACH OF THE ADJECTIVES LISTED.

Tennis is a more difficult sport than Rugby.

I think John is happier now than a year ago.

Could you open the window, please? It's getting hotter in this room by the minute.

1-interesting ___________

2-weak ___________

3-funny ___________

4-important ___________

5-careful ___________

6-big ___________

7-small ___________

8-polluted ___________

9-boring ___________

10-angry ___________

GAME SUPERLATIVES AND COMPARATIVES BOARD GAME

Directions: Ss throw the dice to go forward. In the square they land they have tothrow a coin, if the coin lands "heads up", the student must make a sentence using thecomparative form of the word; if it lands "tails up", he/she must use the superlativeform. If the student makes a correct sentence, he/she stays on that square, if not,he/she has to come back to his/her previous position. The first who reaches the Finishwins.

108

big

good

beautiful

dry

heavy

long

high

interesting

expensive

large

small

famous

bad

crowded

deep

109

COMPARATIVES

I PREFER THE BIGGER ONE.

1 2

5

8

6

11

10

12

9

7

4 3

110

GGBIETS SWTRO SOMT RFNEICA ALNPEIR SEOLRO EITHGTR ROEM UEMRNIS STEOLILEV TEBRET ECEPRHA

ACROSS 1. expensive, more expensive, the _______ expensive 3. fancy, ________, the fanciest 8. Big, Bigger, the __________ 9. good, _______ , the best 11. loose, __________ , the loosest 12. sunny, _______ , the sunniest DOWN 2. tight, _______ the tightest 4. cheap, _________, the cheapest 5. bad, worse , the _________ 6. plain, ________, the plainest 7. lovely, lovelier, the _______ colourful

COLOR AND COMPLETE

CLOTHING STORE

RED DRESS PURPLE DRESS BLACK DRESS

300 dlls 250 dlls 150dlls

111

PINK DRESS GREEN DRESS BLUE DRESSESS

500dlls 100dlls 125dlls

The red dress is _________ expensive_______ the green ones.

The black dress is_________________ the purple dress.

The pink dress is the________________.

Blue dresses are_______________________ the green one.

SELF- EVALUATION

APPLY THE GRAMMAR THAT YOU HAVE LEARNED IN THE PREVIOUS EXERCISES TO DO BROCHURES, MIND MAPS, AND CONCEPT MAPS

112

NOW ANSWER THIS



I

LEARNED:_____________________________________________________________

_______

______________________________________________________________________

________


WAS:_________________________________________________________________

______________________________________________________________________

___________________

I HAD DIFFICULTY

WITH:__________________________________________________________


ABOUT:____________________________________________

113


















114

BIBLIOGRAFÍA

http://www.eslgamesworld.com/members/games/grammar/present%20tenses/present%20tenses%20snakes%20and%20ladders.html

http://www.ompersonal.com.ar/omaudio2/intermediate/unit003.htm

http://www.ego4u.com/en/cram-up/grammar/simple-past/exercises?02

http://bogglesworldesl.com/esl_games.htm

http://www.eslflow.com/Presentcontinuous.html

http://www.eslhq.com/forums/worksheets/esl-worksheets/

http://www.familyfunshop.com/shortmoralstorieshonesty15.htm

http://www.eslflow.com/MultipleIntelligencesforELT.html

http://www.englishexercises.org/

Guía Básica - Pï¿½gina Web de CECyTE...

Documents

Transcript of Guía Básica - Pï¿½gina Web de CECyTE...