Guia 2 de Analisis Matematico

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En este ejercicio vamos a trabajar con valores en el plano en lugar de una recta

numrica. Es decir, vamos a trabajar en dos dimensiones en lugar de una, en en lugar

de . En la recta numrica, los puntos se definen con una sola coordenada, en el plano

con dos.

A partir de ahora, ya no te pods

olvidar que:

abscisas: ordenadas:

x y

Los puntos que tenemos que graficar

son:

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Gua 2 Anlisis matemtico (Cs. Econmicas)

2014

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Ejercicio 1: Representar en el plano

Todo lo que necesits para el CBC y tu carrera, encontralo en www.exapuni.com! 1 1

a) Todos los puntos de abscisa :

Estamos representando la recta

Solo tenemos una restriccin

(condicin) en la variable , la otra

coordenada puede tomar cualquier

valor.

b) Ordenada

:

Estamos representando la recta

Este es un ejemplo como el anterior, solo que con la

variable en lugar de . Es decir, como solo

tenemos una restriccin en la variable , puede

tomar cualquier valor.

Ejercicio 2: Representar


c) Los puntos de abscisa mdulo :

En este caso, la funcin que

estamos representando es

| |

Esto equivale a graficar el par

de rectas:

Porque el contenido del

mdulo puede ser positivo o

negativo.

De la misma manera que los

ejercicios anteriores, no

tenemos restricciones sobre la variable .

d) Los puntos de ordenada mayor que :

La regin del plano que estamos

representando es


e) Los puntos de abscisa y ordenada iguales:

La recta que estamos representando es

f) Los puntos de abscisa y ordenada menores que :

La regin del plano queda definida por el

siguiente sistema de inecuaciones:

{

Importante, la parte de los ejes se debe

representar en lnea discontinua para

indicar que no se incluye en el conjunto.

g) Los puntos de ordenada mayor o igual a y abscisa menor que :

La regin del plano queda definida por el siguiente

sistema de inecuaciones:

{


h) Los puntos de ordenada entre y y abscisa entre y :

La regin queda definida por el sistema

{

a) Calcular ( ), ( ) y ( ):

Lo nico que tenemos que hacer es reemplazar los valores de la variable dentro

de la ecuacin de la recta:

( )

Sustituimos en el *:

( )

( ) ( ) ( )

b) Graficar la funcin:

Ejercicio 3: Sea ( )


Para graficar, solo necesitamos elegir dos de los puntos que calculamos y hacer

pasar una recta por ellos. Es importante observar y reflexionar sobre el hecho de que por

dos puntos pasa una sola recta.

c) Hallar analtica y grficamente los tales que

Vamos a comenzar hallndolos en forma analtica. Lo nico que tenemos que hacer es

reemplazar la variable , en lugar de la variable como hicimos en el punto a, y luego

despejar. Luego, vamos a verificarlo grficamente.

(i)

(ii)


(iii)

Verificamos grficamente:

d) Trazar la recta de ecuacin

Vamos a ver lo que nos resulta analticamente y luego lo vamos a verificar

grficamente. Analticamente, se resuelve de la siguiente manera:

Si el punto pertenece a la recta, debe cumplirse la igualdad que define la recta. Entonces,

cuando reemplazo en la ecuacin de la recta, debera darme el valor de . Si esto no se

cumple, el punto no pertenece a la recta.

Punto ( ) ( ) ?

?

( ) 0 no no ( ) -1 ( )

si si


( ) 1 si si

(

)

si si

Verificamos grficamente:

Antes de comenzar, recordemos cmo es la frmula de una recta:

( )

( )

( )

a) Graficamos las funciones:

( ) ( )

( )

Ejercicio 4: Trazar los grficos


En este ejercicio nos centramos en ver la ordenada al origen:

( )

En nuestro caso, lo que vemos en las tres rectas es que la variable es cero. Es

decir, tienen ordenada al origen cero y, por lo tanto, pasan por el origen de coordenadas

(el centro de los ejes cartesianos).

b) Graficamos las funciones:

En este punto, lo que hay que observar es lo que pasa con la pendiente cuando

cambia de signo. La funcin pasa de ser una funcin creciente a ser decreciente o

viceversa. Es decir, la pendiente se invierte cuando cambiamos el signo.

c) Graficamos las funciones:

( ) ( )

( ) ( ) +2

( )


En este punto lo que vemos es cmo se corre una funcin modificando la ordenada

al origen.

a) Encontrar en cada caso una funcin lineal

Como mencionamos en el ejercicio anterior, una funcin lineal es de la forma:

( )

Para cada caso, vamos a tener que encontrar y para formar la ecuacin.

El objetivo de este punto es aprender cmo obtener la frmula de la recta que pasa por

dos puntos.

i) Partiendo de la forma de la ecuacin ( )

, vamos a armar un sistema de

ecuaciones sustituyendo los puntos:

Sustituyendo en (1):

{

( )

De la primera ecuacin,

Sustituyendo en la segunda ecuacin,

( ) ( )

Sustituyendo en la ecuacin *:

Finalmente, ( )

( ) ( )

Ejercicio 5:


ii) Seguimos con la misma metodologa del punto anterior pero con el par de puntos:

Sustituyendo en ,

{ ( )

De la primera ecuacin:

Sustituyendo en la segunda ecuacin:

( )

Sustituyendo en *:

Finalmente, ( )

b) Calcular la pendiente de cada una de las rectas

Simplemente miramos la funcin y vemos cunto vale la pendiente:

( ) ( )

Funcin Pendiente

( )

( )


i) Partimos de la ecuacin: .

La pendiente es , nos queda:

Sabemos tambin que la recta pasa por el punto ( ), por lo tanto, lo podemos

sustituir en la ecuacin y esta se mantiene.

( )

Sustituyendo,

ii) Seguimos de la misma forma que en el ejercicio anterior.




Sustituyendo,

iii) De nuevo lo mismo,




( )

Ejercicio 6:


Sustituyendo,

iv) De nuevo lo mismo,

La pendiente es

, nos queda:

Sabemos tambin que la recta pasa por el punto (

), por lo tanto, lo podemos


(

)

Sustituyendo,

b) Encontrar la pendiente de la recta que pasa

Importante:

La pendiente de la recta que pasa por el par de puntos ( ) y ( ) se

calcula con la frmula:

Para cada tem vamos a reemplazar en la frmula y hacer el clculo:

i)

ii)

( ) ( )

( ) ( )


iii)

iv)

a) Hallar el valor de para que

Como venamos haciendo, para que la recta pase por el punto, solo hace falta

sustituir el punto en la ecuacin.

( )

b) Hallar el valor de para uqe la recta de ecuacin

( )

( )

Si te fijs bien, hicimos lo mismo que en el punto anterior pero con la ordenada al

origen en lugar de la pendiente

a) Existe una funcin lineal

( ) ( )

( ) ( )

( )

Ejercicio 7:

Ejercicio 8:


Vamos a venir con el envin del ejercicio anterior y vamos a resolver este problema,

calculando la pendiente entre los puntos para ver si coinciden.

Las pendientes son diferentes para las rectas, los puntos no estn alineados.

b) Completar la tabla

Vamos a hallar la recta que pasa por los dos primeros puntos y despus a

reemplazar los valores de los otros puntos para obtener los valores que nos faltan.

La pendiente de la recta es:

Es la mima pendiente que nos haba dado el punto anterior.

Calculamos la ordenada al origen:

Reemplazamos el primer punto,

( )


( )

La ecuacin de la recta que pasa por los primeros dos puntos es, entonces,

.

Vamos a reemplazar los valores que tenemos para completar la coordenada faltante:

(

) (

)

Finalmente, completamos la tabla:

i)

Del grfico, se observa que la recta pasa por el par de puntos ( ) y ( )

Vamos a hallar la ecuacin de la recta armando un sistema de ecuaciones como hicimos

en el punto :

( )

2 -2/9

Ejercicio 9: A partir de los siguientes grficos


{

De la segunda ecuacin,

Sustituyendo en la primera ecuacin,

Finalmente,

ii)

Si tens dudas con este punto, mir de nuevo el punto 2 b. Es igual, salvo que se toma

en lugar de

.

En este caso, la ecuacin de la recta es:


La pendiente tiene que ser

iii)

Este punto es igual al anterior, solo que tomando un valor negativo para el valor de las

ordenadas.

La ecuacin de la recta es:

La pendiente tiene que ser tambin


iv)



en el primer punto de este ejercicio:

{



Finalmente,

v)


Por lo que vemos en el grfico, la recta pasa por el origen, por lo tanto, .

Tambin sabemos que pasa por el punto ( ).

Sustituyendo,

La ecuacin de la recta nos queda

vi)



en el primer punto de este ejercicio:

{ ( )

De la segunda ecuacin,



Finalmente,

a) Para qu valor de la pendiente es 8?

Para resolver esto, vamos a utilizar la ecuacin que vimos en el punto b del ejercicio 6,

que permite calcular la pendiente de la recta que pasa por dos puntos.

El par de puntos es ( ) y ( )

b) Para qu valor de la recta pasa por ( )?

Para que la recta pase por ese punto, los tres puntos tienen que estar alineados (= tener la

misma pendiente), as que hacemos lo mismo que en el punto anterior:

( ) ( )

( ) ( )

c) Para qu la recta pasa por ( )?

( ) ( )

( ) ( )

Ejercicio 10: Dada la recta


d) Para los puntos hallados

Lo que necesitamos ahora es la ordenada al origen en cada caso. Para encontrarlas, lo que

tenemos es la pendiente y un punto, as que vamos a calcularla:

(a)Tenemos la pendiente, calculamos la ordenada al origen para tener la ecuacin

completa:

Sustituyo por el punto ( ),

Buscamos la interseccin con el eje , en ese punto es :

( )

(b) Hacemos lo mismo que en el punto anterior:




( )

(c) Nuevamente:



(

)


i)

Ambas funciones son crecientes, ( )crece ms rpidamente que ( ).

( ) ( )

)

{ }

ii)

( )

( )

( )

( )

Ejercicio 11: Dados los siguientes pares de funciones


( ) es una funcin decreciente y ( )una funcin creciente.

( ) ( )

(

{ }

iii)

( ) es una funcin creciente y ( )una funcin decreciente.

( ) ( )

)

{ }

( ) ( )


a) Hallar, si existen, el supremo y el nfimo de A.

i)

( ) es una funcin decreciente y ( ) una funcin creciente.

( ) ( )

(

Est acotado superiormente, el supremo es y, como no est acotado inferiormente,

no hay nfimo.

( )

( )


ii)

Ambas funciones son igualmente crecientes.

( ) ( )

Como se cumple siempre en todos los reales, ( ) ( ).

El conjunto es el conjunto de todos los reales, por lo tanto no est acotada superior ni

inferiormente y, por lo tanto, no hay nfimo ni supremo.

iii)

( ) no es una funcin creciente ni decreciente, es una funcin constante.

( ) es una funcin decreciente.

( ) ( )

( ) ( )


( ) ( )

)

Est acotado inferiormente y su nfimo es pero no est acotado superiormente, por lo

que no tiene supremo.

c) Determinar cules de las funciones

En los puntos anteriores, se deja un comentario debajo de cada grfico en los puntos

anteriores.

Recordar que el contenido del mdulo puede ser positivo o negativo, hay que tener en

cuenta ambos casos.

a)

| |

Contemplamos las dos posibilidades y encontramos el vrtice:

Si Si

Ejercicio 12: Graficar las siguientes funciones


b)

| |


c)

| |


Si Si

Si Si


d)

| |


a)

( ) ( )

| |

Si Si

( ) ( ) | |

Ejercicio 13: Dadas las siguientes funciones


b)

( ) ( )

| |

Si , no hay solucin (absurdo)

Si

)

)

( ) ( ) | |


Pequeo parntesis terico:

La funcin de demanda nos da la mxima cantidad de un determinado bien o

servicio que un consumidor estara dispuesto a comprar a cada precio determinado. Dicho

de otra forma, a cada precio , asigna un valor de cantidad . Es decir, es una funcin

( ). En nuestro caso, la funcin la escribimos ( ), donde es la funcin de

demanda.

De la misma forma, la funcin oferta, nos dice, a cada precio, cunta oferta habra

del bien o servicio. Se escribe de la forma ( )

La interseccin entre ambas curvas, se llama punto de equilibrio.

Lo que se ve claramente en el grfico, es que la cantidad demanda disminuye al

aumentar el precio y la cantidad ofertada aumenta (lo cual es bastante razonable).

Este grfico tiene como objetivo mostrar que la oferta es una funcin creciente y la

demanda decreciente y que, por lo tanto, va a haber una interseccin entre ambas (punto

de equilibrio). Pero estas funciones no son necesariamente lineales, se utilizan rectas

nicamente para ilustrar un poco el concepto.

a) Determinar la funcin demanda ( ), suponiendo que es lineal.

La forma de la funcin va a ser .

Ejercicio 14: Supongamos que la demanda


De dato, tenemos un par de puntos: ( ) y ( )

Vamos a armar un sistema de ecuaciones y obtener los valores y que necesitamos:

{



Sustituyendo en *,

(

)

Finalmente, ( )

b) Calcular ( ), qu representa?

( )

Representa el precio por el cual existira una demanda de 75.

a) Obtener la funcin ( ) suponiendo una relacin lineal y graficarla.

Vamos a hacer lo mismo que en el ejercicio anterior.

La forma de la funcin va a ser .

De dato, tenemos un par de puntos: ( ) y ( )

Vamos a armar un sistema de ecuaciones y obtener los valores y que necesitamos:

{


Ejercicio 15: Un fabricante de zapatos



Sustituyendo en *,

(

)

Finalmente, ( )

b) Se ha podido determinar

Lo que tenemos que hacer es hallar la interseccin entre la funcin de oferta y la de

demanda:

{

Ahora que tenemos el sistema planteado, no es ms que un problema como los que

vinimos resolviendo.

Para variar un poco, vamos a resolver el sistema por igualacin,

(

)

(

)

(

)

Sustituyendo en la primera ecuacin,


El punto de equilibrio es ( ).

Verificamos grficamente,

c) En un mismo sistema graficar

Ya lo hicimos en el punto anterior.

La interpretacin geomtrica es que el punto de equilibrio es la interseccin de la curva de

oferta y la de demanda.

=

Cmo se arma la funcin costo?

La funcin costo es la funcin que da, para cada cantidad producida, el costo de

produccin. Normalmente, esos costos se pueden dividir en costos variables que son

los costos que aumentan con la cantidad de unidades producidas y costos fijos que son

los costos que se deben cubrir sin importar cunto se produce. Es decir, la funcin de

costo se forma de los costos fijos ms los variables, .

Yendo a un ejemplo, si se producen zapatos, un costo fijo puede ser el alquiler del

galpn donde se trabaja y un costo variable, el costo del pegamento utilizado para pegar

la suela (la relacin es directa, ms zapatos, ms pegamento). Como el costo variable

depende directamente de las unidades producidas, se puede escribir como ( ) ,

donde es el costo por unidad y es la cantidad de unidades.

Ejercicio 16: Una empresa vende un producto


Finalmente, ( )

Cmo se arma la funcin de ingreso total?

La funcin ingreso total es ms sencilla, es la suma de todo lo que ingresa, es decir

el precio por la cantidad.

Es decir, ( )

( )

.

Cmo se arma la funcin de utilidad?

Finalmente, la funcin de utilidad es la resta de las dos funciones anteriores. El

margen ser total de dinero que ingresa por ventas menos el total de dinero egresando

por pago de costos.

Es decir, ( )

( )

( )

.

a) Encontrar la funcin lineal costo total ( )expresada en trminos

De la introduccin del ejercicio, tenamos que la funcin de costo era:

( )

Simplemente tenemos que colocar los datos del enunciado,

( )

b) Encontrar la funcin ingreso total ( ) ( )

De la introduccin del ejercicio, tenamos que la funcin de costo era:

( )

( )

Sustituyendo los datos del enunciado,


( )

c) Encontrar la funcin de utilidad

Partimos de la ecuacin general,

( )

( )

( )

Sustituimos las ecuaciones que encontramos en los puntos anteriores:

( ) ( )

( )

( )

Observacin: En realidad, los precios son $/u, precio por unidad, aunque se suele omitir.

Para conocer la utilidad de 2.000 unidades solo hace falta reemplazar en la ecuacin,

( )

d) Cuntas unidades

Lo que dice el enunciado es que la utilidad tiene que ser mayor a $60.000,

( )

Utilizamos la ecuacin que obtuvimos en el punto anterior,

Se deben vender ms de 2.500 unidades.


Funcin cuadrtica:

Como introduccin terica para realizar los ejercicios de funcin cuadrtica

La funcin cuadrtica es la funcin que tiene mximo exponente en la variable

independiente. Necesitamos saber dos cosas:

La forma polinmica de una ecuacin cuadrtica es ;

Si el coeficiente es positivo, las ramas de la parbola (el grfico de la funcin) van

hacia arriba;

Si el coeficiente es positivo, las ramas de la parbola (el grfico de la funcin) van

hacia abajo.

i) ( ) ( ) ii) ( ) ( )

iii) ( )

( ) iv) ( )

( )

Ejercicio 17: En cada caso, trazar el grfico


v) ( ) ( ) vi) ( ) ( )

vii) ( )

( ) viii) ( )

( )

i)

Conjunto de positividad: ( )( )) Conjunto de negatividad: ( ) Intervalo de crecimiento: ( ) Intervalo de decrecimiento:

( )

Extremo: Mnimo en de valor

Ejercicio 18: Hallar los conjuntos de positividad


ii)

iii)

iv)

Este ejercicio se puede resolver tanta analtica como grficamente, vamos a

aprovechar que ya graficamos las funciones en el ejercicio 17.

Conjunto de positividad: ( ) Conjunto de negatividad: ( ) ( ) Intervalo de crecimiento: ( ) Intervalo de decrecimiento:

( )

Extremo: Mximo en de valor 1

Conjunto de positividad: Conjunto de negatividad: Intervalo de crecimiento: ( ) Intervalo de decrecimiento:

( )

Extremo: Mnimo en de valor

Conjunto de positividad: Conjunto de negatividad: { } Intervalo de crecimiento: ( ) Intervalo de decrecimiento:

( )

Extremo: Mximo en de valor

Intervalo de crecimiento: ( ) Intervalo de decrecimiento:

( )

Ejercicio 19: En las funciones del ejercicio 17


Extremo: Mnimo de valor cuando Comportamiento: Cuando y a , ( )


( )



( )



( )

Extremo: Mnimo de valor 1 cuando Comportamiento: Cuando y a , ( )


( )

Extremo: Mximo de valor cuando Comportamiento: Cuando y a , ( )


Frmula resolvente:

Esta ecuacin nos permite hallar la solucin a una ecuacin del tipo .

Al trmino se lo llama discriminante y se lo simboliza con .


( )

Extremo: Mximo de valor 2 cuando Comportamiento: Cuando y a , ( )


( )

Extremo: Mximo de valor -1 cuando Comportamiento: Cuando y a , ( )


( )

Extremo: Mximo de valor cuando Comportamiento: Cuando y a , ( )

Ejercicio 20: Dada ( )


Tenemos las siguientes opciones para el discriminante:

Si hay dos soluciones;

Si hay una solucin;

Si no hay solucin (porque nos queda la raz de un nmero negativo).

a) ( )

( )

b) ( )

( ) ( )

c) ( )

( )

Ejercicio 21: Dada ( )


No hay solucin.

d) ( )

( ) ( )

e) ( ) +7

( )

f) ( )


Referencias:

{ ( ) }

Tendremos dos opciones:

La solucin ser: ( )

{ ( )( ) }

Tendremos dos

opciones:

La solucin ser: ( )( )

No hay supremo ni nfimo.

{ }

El conjunto es el conjunto de negatividad de la

parbola definida por la ecuacin

( )

Este conjunto es el intervalo ( )

{ }

nfimo Supremo

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Ejercicio 21: Hallar


El conjunto es el conjunto de negatividad de la

parbola definida por la ecuacin

( )

Este conjunto es el intervalo

Las funciones de las ganancias de los productores son:

{ ( )

( )

a) Graficar

Como observamos en el grfico, hay dos intersecciones, de las cuales una es

negativa. En nuestro caso, la variable es la cantidad producida en miles de toneladas,

por lo que no tiene sentido considerarla.

b) Para qu produccin

( ) ( )

Ejercicio 22: Cuando se produce una cantidad


Utilizando la frmula resolvente,

Como dijimos en el punto anterior, el valor negativo no lo consideramos.

c) Para qu prodecuccin las

Este se puede escribir como:

( ) ( )

( )

a) Expresar

La funcin de demanda es ( )

El ingreso es el precio por las cantidades, por lo tanto, la funcin de ingreso se puede

calcular multiplicando la funcin de demanda por el precio.

( ) ( ) ( )

( )

Observar que hay valores negativos pero como sucedi con el ejercicio anterior, solo

tienen sentido los valores positivos de la demanda.

b) Calcular el nivel de produccin semanal que maximiza

Ejercicio 23: La funcin de demanda para el producto


El valor mximo se ve claramente en el grfico anterior, est entre las dos races:

Para ese valor de produccin el nivel de ingreso es:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

200 unidades

$120.000

Ejercicio 24: Representar grficamente


Denominador no nulo:

Recordar que no podemos dividir por cero, por lo tanto, siempre que tengamos una

funcin en forma de fraccin, se debe incluir esta restriccin que reduce el dominio. Dicho

de otra manera, si hay algo dividiendo, esto tiene que ser distinto de cero y eso nos

implica una cantidad de valores que la variable no puede tomar.

a) ( )

{ }

Hacia y , la funcin tiende a .

b) ( )

{ }

Igual que en el caso anterior, hacia y , la funcin tiende a .

c) ( ) |

|

{ }

Igual que en el caso anterior, hacia y , la funcin tiende a .

d) ( )

Ejercicio 25: Hallar el dominio


{ }

Estamos frente a lo mismo de nuevo, tenemos que hallar los valores de que

hacen que el denominador sea nulo y excluirlos del dominio.

a) ( )

{ }

b) ( )

{ }

c) ( ) |

|

{ }

d) ( )

Ejercicio 26: Hallar el dominio


{

}

e) ( )

y

{ }

f) ( )

Utilizando frmula resolvente,

y

{ }

g) ( )

Utilizando la frmula resolvente,

y

{

}


h) ( )

Aplicando la frmula resolvente, se encuentra que no hay valores de para lo que el

denominador sea nulo.

i) ( )

y

{ }

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