GUÍA 1_CÁLCULO I.docx

8/17/2019 GUÍA 1_CÁLCULO I.docx

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Vicerrectoría Académica

Dirección de Servicios Académicos

Subdirección de Servicios a Escuelas

GUÍA N°1 DE CÁLCULO I

Funciones y sus Gráficas

Toda función tiene distintas representaciones. En esta guía trabajaremos con funciones

polinómicas tanto en su forma algebraica como gráfica. Para ello es necesario tener en cuenta

algunos aspectos:

1. Siempre debes colocar nombre a los ejes coordenados2. Si graficas una función lineal se recomienda señalar la intersección con los ejes

. Si graficas una función cuadrática se recomienda indicar intersección con eje

x ! el

"#rtice.$. %uando se &abla de dominio empírico se &ace referencia al dominio real de la función

restringido al conte'to del problema.

Función Lineal

bxa x f +=)(( donde

ba,

son constantes

Ejemplos:

x x f 23)( +=

)ntersección con Eje

y

en

3=a

)ntersección con el Eje

x

5,1

023

−=

=+

x

x

x x f 26)( −=

)ntersección con Eje

y

en

6=a

)ntersección con el Eje

x

3026

==− x x

1


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Función Cuadráica

cbxax x f ++= 2)(( donde

cba ,,

son constantes !

0≠a

*a grafica de la función cuadrática es una parábola ! debes tener en cuenta lo siguiente:

+#rtice %onca"idad )ntersección Ejes

−−=

a

b f

a

bV

2,

2

aes positi"o

aes negati"o

Eje

x

a

acbb x

2

42 −±−=

Eje

y

),0( c

Ejemplos:

128)( 2 +−= x x x f

entonces

12;)8(;1 =−== cba

+#rtice:

( )4,4 −=V

)ntersección eje

x:

62 21 == x x

)ntersección eje

y

:

)12,0(

%onca"idad:

aes positi"o

10122)( 2 −+−= x x x f

entonces

)10(;12;)2( −==−= cba

+#rtice:

( )8,3=V

)ntersección eje

x:

41 21 == x x

)ntersección eje

y

:

)10,0( −

%onca"idad:

a es negati"o

2


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1. *a altura promedio H

( en centímetros de un niño durante sus primeros 12

meses de "ida se puede estimar mediante la función

482

7)( += aa H

( donde

a

son los meses del bebe.

a, Esboce la gráfica de la función1

b, En la gráfica anterior( mar-ue con un lápi/ de otro color, la porción de gráfica

-ue corresponde al dominio empírico de la función señale coordenada inicial !final,

c, 0%uál es la altura promedio de un bebe reci#n nacido 0! cuándo cumple un

año

2. Se anali/aron las "entas anuales de una empresa ! se determinó -ue la función

t t v 218)( +=

es el mejor modelo matemático -ue estima los ingresos en miles

de dólares por las "entas anuales de la empresa( dondet

representa el tiempo

medido en años a partir del año 2.

1 Recuerde que al grafcar siempre debe colocar nombre a los ejes

coordenados y si la gráfca corresponde a una unción lineal indicar las

coordenadas donde se intersecta con dichos ejes

3


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a, Esboce la gráfica de la función

b, En la gráfica anterior( mar-ue la porción de gráfica -ue corresponde al dominio

empírico de la función señale coordenada inicial ! final,

c, 0%uáles son los ingresos en el año 23

. Suponga -ue

t

&oras despu#s de la medianoc&e( la temperatura del día sábado

en Santiago fue de

1046

1)( 2 ++−= t t t C

grados %elsius.

a, Esboce la gráfica de la función 2



c, 4etermine e )nterprete el inter"alo de tiempo en -ue la temperatura aumenta

d, 0%uál es la temperatura má'ima ! mínima registrada indi-ue la &ora,

$. *os recargos aplicados al arriendo de cabañas durante los 5 días de la

temporada esti"al en el club campestre 6%artagua7s %lub8 se ajustan a la función

2100)( x x x R −=( donde

R es el recargo en euros !

x es el día en -ue se

registró el arriendo.




c, 4etermine e interprete el inter"alo de tiempo en -ue el recargo disminu!e

d, 0cuál es recargo má'imo ! mínimo efectuado indi-ue día,

2 Si la gráfca corresponde a una unción Cuadrática indicar el !rtice e

intersección con los ejes

"


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3. 9 continuación se muestra un análisis de las temperaturas de un pueblo del sur

de c&ile durante el año 2 desde el mes primer mes enero, &asta mediados

de no"iembre.

651,17865,1516,5115,85

3

60

1

)( 23456

+−+−+−= x x x x x xt f .

a, Escriba el 4ominio Empírico de la función mediante inter"alos

b, )dentifi-ue los inter"alos de crecimiento ! decrecimiento de las temperaturas(c, 04ónde se obser"a la ma!or ! menor temperatura indi-ue el "alor,.

. *a siguiente grafica nos muestra el ; de las utilidades anuales de una empresa

los primeros 12 años de su creación( donde la función es:

aaaaaaU 2,336,258,0400

23

500

1)( 2345 +−+−=

#


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a, Escriba el 4ominio Empírico de la función

b, )dentifi-ue los inter"alos de crecimiento ! decrecimiento de las utilidades.

c, 4urante todos los años de análisis 0dónde se obser"a el ma!or ! menor ; de

utilidad indi-ue el "alor,.

. 4urante un e'perimento se midió la temperatura de un lí-uido durante "arios

minutos. ?esultó -ue la "ariación de temperatura en grados %elsius, estaba

$


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dada por la función

86)( 2 +−= x x x f ( donde

x representa el tiempo en

minutos.




c, 0En -u# momento la temperatura del lí-uido fue igual a cero

d, 0%uál es la menor temperatura indi-ue momento,

e, 0%uál fue la temperatura al inicio de la medición

f, 4etermine e interprete el inter"alo de tiempo en -ue la temperatura disminu!e

! aumenta

5. *a función

t t t t t t I 602

107359

413

51)( 2345 +−+−=

determina la utilidad de una

empresa desde el 1er al to año de funcionamiento( tal como lo muestra la

siguiente gráfica.

a, Señale el 4ominio Empírico de la función

%


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b, )dentifi-ue los inter"alos de crecimiento ! decrecimiento de las utilidades@

c, 4urante los primeros $ años 0En -u# año se obser"ó la ma!or ! menor utilidad

indi-ue el "alor,

d, 4onde se obser"a la ma!or ! menor utilidad indi-ue el "alor,.

1.El siguiente grafico refleja el análisis de las temperaturas mínimas

)( xT

en A%

registradas en una región de c&ile a partir del l año 155> &asta el 2( donde

)0(T

corresponde a la temperatura mínima del año 2.

x x x xT 6)( 23 −−=


b, Escriba en la gráfica

coordenada final e inicial

c, 0%uándo la temperatura fue de Ac

3 Se muestra en el grafco la porción de la unción que corresponde al dominio

emp&rico'

(


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11.En 15>3 se funda un club deporti"o( cu!os integrantes deciden -ue durante los

meses de junio ! julio se abrirán cupos para -ue puedan ingresar nue"os socios.

Se sabe -ue

x años despu#s de la fundación el total de personas nue"as -ue se

inscribieron &asta el año 21 se puede estimar mediante la función:

( ) x x x

x P 48412

23

+−=

Biles de socios,


b, Escriba en la gráfica$ coordenada final e inicial

c, 0En -u# año no se integraron nue"os socios

SIGUE PRACTICANDO:

12. El ; de inter#s de un depósito

x x x x x x R 3,0200

1905,0

400

3

500

1)( 2345

++−−= estu"o

sujeto a "ariaciones mensuales -ue dependían de los giros ! abonos reali/ados( el

" Se muestra en el grafco la porción de la unción que corresponde al dominio

emp&rico'

)


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grafico muestra el ; de inter#s $ años antes ! años despu#s del 23( donde

)0( R

es el ; del año 23.


b, )dentifi-ue los inter"alos de crecimiento ! decrecimiento del ; de inter#s(

c, 9ntes del 23 0En -u# año se obser"ó el ma!or ! menor inter#s

d, 0En -u# año se obser"a el ma!or ! menor ; de inter#s indi-ue el "alor,

1.Supongamos -ue el rendimiento medido en ;, de un alumno -ue reali/a un

e'amen de certificación de C9+9( cu!a duración es de 2(3 &oras "iene dado por la

función

240120)( x x x f −=

( donde

x

es el tiempo en &oras.




c, 0En -u# momento se obser"a el ma!or rendimiento del alumno indi-ue ;

rendimiento,

d, Señale e interprete el inter"alo de tiempo en -ue el rendimiento del alumno

disminu!e ! aumenta.

1*


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1$.=n estudio medioambiental de cierta comunidad sugiere -ue el ni"el promedio de

monó'ido de carbono en el aire será de

10005,0)( += p p M partículas por millón(

donde

p

es el nDmero de &abitantes de la comunidad.




c+ 0%uántos &abitantes debe tener la comunidad para -ue el ni"el promedio de

monó'ido de carbono sea de < partes por millón

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