Guía de Estudio Cálculo Diferencial e Integral para la ...

Cálculo Diferencial e Integral para la Aplicación de la Física y QuímicaCálculo Diferencial e Integral para la Aplicación de la Física y Química

NivelaciónA c a d é m i c a

Ciencias Naturales: Física Química

Guía de Estudio

© De la presente edición

Colección:GUÍAS DE ESTUDIO - NIVELACIÓN ACADÉMICA

DOCUMENTO:Unidad de FormaciónCálculo Diferencial e Integral para la Aplicación de la Física y QuímicaDocumento de Trabajo

Coordinación:Dirección General de Formación de MaestrosNivelación Académica

Como citar este documento:Ministerio de Educación (2016). Guía de Estudio: Unidad de Formación “Cálculo Diferencial e Integral para la Aplicación de la Física y Química”, Equipo Nivelación Académica, La Paz Bolivia.

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NivelaciónAcadémic a

Cálculo Diferencial e Integral para la Aplicación de la Física y Química


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Datos del participante

Nombres y Apellidos: .....................................................................................................................................................................................................

Cédula de identi dad: .....................................................................................................................................................................................................

Teléfono/Celular: .....................................................................................................................................................................................................

Correo electrónico: .....................................................................................................................................................................................................

UE/CEA/CEE: .....................................................................................................................................................................................................

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ESFM: .....................................................................................................................................................................................................

Centro Tutorial: .....................................................................................................................................................................................................

Puntaje

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Índice

Presentación .................................................................................................................... 7Estrategia Formati va ........................................................................................................ 8Objeti vo Holísti co de la Unidad de Formación .............................................................. 10Orientaciones para la Sesión Presencial ........................................................................ 11Materiales Educati vos .................................................................................................... 13Parti endo desde el Contacto con la Realidad, Experimentación y Experiencia .............. 14

Tema 1: Funciones y Límites ..................................................................................... 20Profundización a parti r del diálogo con los autores y el apoyo bibliográfi co ................. 211. Defi nición de función ............................................................................................... 212. Dominio y rango ....................................................................................................... 213. Composición de funciones ....................................................................................... 224. Funciones elementales ............................................................................................ 235. Defi nición de límites ................................................................................................. 276. Teorema de límites ................................................................................................... 277. Límites exponenciales y logarítmicos ....................................................................... 288. Límites laterales ........................................................................................................ 299. Conti nuidad .............................................................................................................. 30

Tema 2: Derivadas .................................................................................................. 31Profundización a parti r del diálogo con los autores y el apoyo bibliográfi co ................. 321. Defi nición ................................................................................................................. 322. Interpretación geométrica ....................................................................................... 333. Derivación de funciones ........................................................................................... 334. Regla de la cadena .................................................................................................... 355. Derivación implícita .................................................................................................. 366. Derivadas laterales ................................................................................................... 377. Derivadas y conti nuidad ........................................................................................... 388. Aplicaciones de la derivada ...................................................................................... 39

Tema 3: Gesti ón Educati va Curricular Escolarizada .................................................. 41Profundización a parti r del diálogo con los autores y el apoyo bibliográfi co ................. 421. Defi nición de anti – derivada ................................................................................... 423. Integración por susti tución....................................................................................... 434. Integración por partes .............................................................................................. 445. Integración por fracciones parciales ......................................................................... 456. Integrales trigonométricas ....................................................................................... 467. Integrales binómicos ................................................................................................ 468. Integrales de funciones irracionales ......................................................................... 479. Integrales de funciones racionales trigonométricas ................................................. 4710. Aplicación de la integración................................................................................... 48

Orientaciones para la Sesión de Concreción .................................................................. 50Orientaciones para la Sesión de Socialización ............................................................... 57Bibliografí a ..................................................................................................................... 58Anexo

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Presentación

El proceso de Nivelación Académica consti tuye una opción formati va dirigida a maestras y maestros sin perti nencia académica y segmentos de docentes que no han podido concluir dis-ti ntos procesos formati vos en el marco del PROFOCOM-SEP. EL mismo ha sido diseñado desde una visión integral como respuesta a la complejidad y las necesidades de la transformación del Sistema Educati vo Plurinacional.

Esta opción formati va desarrollada bajo la estructura de las Escuelas Superiores de Formación de Maestras/os autorizados, consti tuye una de las realizaciones concretas de las políti cas de formación docente, arti culadas a la implementación y concreción del Modelo Educati vo Sociocomunitario Producti vo (MESCP), para incidir en la calidad de los procesos y resultados educati vos en el marco de la Revolución Educati va con ‘Revolución Docente’ en el horizonte de la Agenda Patrióti ca 2025.

En tal senti do, el proceso de Nivelación Académica contempla el desarrollo de Unidades de Formación especializadas, de acuerdo a la Malla Curricular concordante con las necesidades formati vas de los diferentes segmentos de parti cipantes que orientan la apropiación de los contenidos, enriquecen la prácti ca educati va y coadyuvan al mejoramiento del desempeño docente en la UE/CEA/CEE.

Para apoyar este proceso se ha previsto el trabajo a parti r de Guías de Estudio, Dossier Digital y otros recursos, los cuales son materiales de referencia básica para el desarrollo de las Unidades de Formación.

Las Guías de Estudio comprenden las orientaciones necesarias para las sesiones presenciales, de concreción y de socialización. En función a estas orientaciones, cada tutora o tutor debe enriquecer, regionalizar y contextualizar los contenidos y las acti vidades propuestas de acuerdo a su experiencia y a las necesidades específi cas de las y los parti cipantes.

Por todo lo señalado se espera que este material sea de apoyo efecti vo para un adecuado pro-ceso formati vo, tomando en cuenta los diferentes contextos de trabajo y los lineamientos de la transformación educati va en el Estado Plurinacional de Bolivia.

Roberto Iván Aguilar GómezMINISTRO DE EDUCACIÓN

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Estrategia Formativa

El proceso formati vo del Programa de Nivelación Académica se desarrolla a través de la moda-lidad semipresencial según calendario establecido para cada región o contexto, sin interrupción de las labores educati vas en las UE/CEA/CEEs.

Este proceso formati vo, toma en cuenta la formación, prácti ca educati va y expectati vas de las y los parti cipantes del programa, es decir, maestras y maestros del Sistema Educati vo Plurinacio-nal que no concluyeron diversos procesos formati vos en el marco del PROFOCOM-SEP y PPMI.

Las Unidades de Formación se desarrollarán a parti r de sesiones presenciales en periodos intensivos de descanso pedagógico, acti vidades de concreción que la y el parti cipante deberá trabajar en su prácti ca educati va y sesiones presenciales de evaluación en horarios alternos durante el descanso pedagógico. La carga horaria por Unidad de Formación comprende:

SESIONES PRESENCIALES

CONCRECIÓN EDUCATIVA

SESIÓN PRESENCIAL DE EVALUACIÓN

24 Hrs. 50 Hrs. 6 Hrs. 80 Hrs. X UF

FORMACIÓN EN LA PRÁCTICA

Estos tres momentos consisten en:

1er. MOMENTO (SESIONES PRESENCIALES). Parte de la experiencia coti diana de las y los par-ti cipantes, desde un proceso de refl exión de su prácti ca educati va.

A parti r del proceso de refl exión de la prácti ca de la y el parti cipante, la tutora o el tutor pro-mueve el diálogo con otros autores/teorías. Desde este diálogo de la y el parti cipante retroa-limenta sus conocimientos, refl exiona y realiza un análisis comparati vo para generar nuevos conocimientos desde su realidad.

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PARA LA APLICACIÓN DE LA FÍSICA Y QUÍMICA

2do. MOMENTO (CONCRECIÓN EDUCATIVA). Durante el periodo de concreción de la y el parti cipante deberá poner en prácti ca con sus estudiantes o en su comunidad educati va lo trabajado (contenidos) durante las Sesiones Presenciales. Asimismo, en este periodo de la y el parti cipante deberá desarrollar procesos de autoformación a parti r de las orientaciones de la tutora o el tutor, de la Guía de Estudio y del Dossier Digital de la Unidad de Formación.

3er. MOMENTO (SESIÓN PRESENCIAL DE EVALUACIÓN). Se trabaja a parti r de la socialización de la experiencia vivida de la y el parti cipante (con documentación de respaldo); desde esta presentación de la tutora o el tutor deberá enriquecer y complementar los vacío y posterior-mente avaluar de forma integral la Unidad de Formación.

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Objetivo Holístico de la Unidad de Formación Una vez concluida la sesión presencial (24 horas académicas), la y el parti cipante deberá cons-truir el objeti vo holísti co de la presente Unidad de Formación, tomando en cuenta las cuatro dimensiones.

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Orientaciones para la Sesión Presencial

Dentro de cada guía que aborda una Unidad de Formación de la especialidad de Ciencias Naturales: Física - Química, se desarrollarán diferentes contenidos planteados a parti r de diversas acti vidades, las cuales permiti rán alcanzar el objeti vo del Proceso Formati vo.

Al inicio del desarrollo de la presente guía de estudio, encontrarás una acti vidad ti tulada “Parti endo desde el contacto con la realidad, experimentación y experiencia”, mediante la cual podremos reforzar tus saberes y conocimientos en relación a la Unidad de Formación.

La presente Unidad de Formación, por ser de carácter formati vo y evaluable, las y los parti cipantes trabajarán en la diversidad de acti vidades teóricas/prácti cas programadas para el desarrollo de las temáti cas. Durante el proceso de desarrollo de la presente guía deben remiti rse constantemente desde el principio hasta el fi nal, al material bibliográfi co (dossier digital) que se les ha proporcionado, puesto que, nos ayudará a tener una visión más amplia y clara de lo que se trabajará en toda la Unidad de Formación, programada para el siguiente conjunto de temáti cas:

• Funciones y límites.

• Derivadas.

• Integrales de Integración.

Para las sesiones presenciales debe tomarse en cuenta dos aspectos:

La organización del Aula: Para comenzar el desarrollo del proceso formati vo es fundamental considerar la organización del ambiente, de manera que sea un espacio propicio y adecuado para el avance de las acti vidades planteadas. Tomando en cuenta el ti po de acti vidad o acti vidades que se realizarán durante la sesión.

Las acti vidades formati vas, considerando la profundización a parti r del diálogo con los autores y el apoyo bibliográfi co: Las acti vidades correspondientes a la Unidad de Formación “Cálculo Diferencial e Integral para la Aplicación de la Física y Química”, que a lo largo de los contenidos irán desarrollándose de acuerdo a las consignas en cada una de ellas, ti enen relevancia a parti r de las siguientes tareas:

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GUÍA DE ESTUDIO

• Aplicación de las experiencias propias, pedagógicas en el contexto.

• Resolución de las acti vidades planifi cadas.

• Descripción y construcción de gráfi cos (dibujos).

• Análisis y profundización de lecturas.

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Materiales Educativos

El uso de los materiales y recursos educati vos son herramientas que apoyan el trabajo docente, que no sólo forman parte del proceso educati vo sino también transmiten conocimientos facilitando la comprensión de algunos contenidos, durante el desarrollo de la Unidad de Formación se uti lizaran los siguientes materiales:

Descripción del Material/recurso educati vo Producción de conocimientos

Documentos Digitales

Fortalece de manera clara y refl exiva el desarro-llo de los conocimientos nuevos a trabajar, poder analizar las concepciones brindadas, además son prácti cos y de fácil consulta.

Material Audiovisual

Facilita el poder llevar a la imaginación más allá de sólo teorizar, muestra la realidad de todo aquello que se busca conocer pero a veces no se puede tener de forma tangible, desarrolla del aprendizaje visual y auditi vo.

Material de escritorio (hojas, lápices, colores, plasti lina, etc.)

Desarrolla la capacidad interpretati va, ejecutando diversos trabajos, formando conocimientos pro-pios a parti r de lo aprendido, volviendo suyo el conocimiento y refl ejado en diversas acti vidades.

Contexto Permite el fortalecimiento del conocimiento a parti r de la observación y el análisis de la realidad.

Pelota de poligoma, cronómetro, calculadora, cua-derno de notas, cinta métrica o fl exómetro.

Ayudará a realizar la experiencia antes de introdu-cirse al contenido de la Guía de Estudio.

Cámara fotográfi ca Almacenar información relevante como evidencias del trabajo realizado.

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Partiendo desde el Contacto con la Realidad, Experimentación y Experiencia

Actualmente se desarrollan diversas acti vidades a diario donde casi nunca uno se ocupa de justi fi car el porqué de los sucesos o acontecimientos, es decir, no existe la curiosidad de ir más allá de la experiencia vivida, sin darnos cuenta que existe un mundo lleno de cálculos posibles a poder realizar para explicar lo que pasa, lo cual nos facilita el poder contextualizar los procesos formati vos.

Para introducirnos al estudio de la presente Unidad de Formación, es necesario hacer algunas experiencias previas, para lo cual se trabajara en equipos comunitarios de trabajo, con los siguientes materiales:

• Pelota de poligoma.

• Cronómetro.

• Cinta métrica.

• Cuaderno de notas.

• Calculadora.

Se sugiere que para empezar la primera experiencia se desplacen a un área abierta y se deli-mite espacio para cada equipo de trabajo, luego se debe realizar la prácti ca bajo las siguientes consignas:

• Medir 100 metros y señalar desde 0 hasta 100.

• Un integrante del equipo debe correr el espacio marcado y otro cronometrará el ti empo, debe ser registrado en el cuaderno de notas, se repeti rá tres veces la prueba.

Una vez realizada la experiencia, gráfi ca lo sucedido, por medio de la relación ti empo y distancia, determinando la rapidez para cada experiencia.

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Completa la siguiente tabla con los datos obtenidos, indicando la rapidez en cada prueba y resultados promedios.

Distancia (m) Tiempo (s) Rapidez (m/s)

Promedio

Responde las siguientes preguntas:

¿Cómo era el lugar donde salis-te, tenía delimitaciones? ¿Qué puedes describir del momento de parti da y de llegada? ¿Cómo

inicio y cómo se detuvo?

Si no hubiera existi do un puto de referencia donde detenerse ¿Qué sucedía con el corredor respecto a su desplazamiento y trayecto-

ria?

En el momento de pasar el punto fi nal ¿Cómo fue el ritmo de des-

plazamiento?

¿Cómo defi nes el infi nito y límite a parti r de la experiencia realiza-da? ¿Existe relación? Si o no ¿Por

qué?

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GUÍA DE ESTUDIO

Considera los siguientes sucesos:

En 1991, Carl Lewis impuso un récord mundial, recorriendo 100 metros en 9.86 segundos, es decir, que en algún momento, recorrió 10 metros en menos de un segundo:

vCarl Lewis = 100 m /9.86 s = 10.141 m/s

Y en las olimpiadas de 2008, en China, Usain Bolt recorrió los 100 metros en 9.69 segundos:

vUsain Bolt = 100 m/9.69 s = 10.319 m/s

Convirti éndose en el hombre más rápido en esa competencia. Lo que hay que observar es que, conforme el ti empo que se emplea para recorrer la misma distancia, disminuye, el cociente, es decir, la rapidez, aumenta. Ahora intenten comprender una rapidez muy grande, la velocidad de la luz. Como saben, la luz recorre una distancia enorme en poco ti empo. La velocidad de la luz es de 299, 792, 458 m/s, o aproximadamente: 300, 000 km/s, esto es, recorre 300, 000 kilómetros en un segundo.

vluz = 100 m/0.0000003335640952 s = 299’ 792, 458 m/s

En función a la experiencia realizada. Contesta justi fi cando cada una de tus respuestas.

1. En la carrera de 100 metros planos ¿Cómo puedes calcular la rapidez en los últi mos 10 me-tros de la carrera?

2. Escribe la relación para calcular la velocidad promedio para cualquier posición inicial ¿A qué concepto matemáti co corresponde?

a) La raíz de la ecuación b) El vérti ce c) La pendiente d) La ordenada al origen

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¿Será que con ese cociente, se puede determinar la rapidez que ti ene el corredor en cualquier instante? ¿por qué? ¿Cómo puedes determinar si el corredor está acelerado?, justi fi ca tus respuestas.

La pelota de poligoma debe ser soltada desde una altura de 1 metro, se debe controlar los rebotes que ti ene y el ti empo que tarda en detenerse.

• Se debe repeti r tres veces y observar el momento fi nal de la pelota es decir cuando empieza a querer detenerse.

Elabora una tabla con los resultados obtenidos y la gráfi ca correspondiente de ti empo vs. dis-tancia, considera el ti po de desplazamiento que se dio según los rebotes.

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GUÍA DE ESTUDIO

Completa el siguiente cuadro justi fi cando tus respuestas en cada caso:

Al observar detenidamente la experiencia de la pelota, ¿qué sucede cuando sueltas la pe-lota de poligoma? ¿Cuántos rebotes puedes calcular en ella?

Respecto a la pelota de poligoma, ¿cómo de-fi nes el movimiento que sigue? ¿Qué ti po de trayectoria tubo?

En los últi mos instantes de rebote, ¿qué ex-plicación te merece a parti r del momento que quiere empezar a detenerse? ¿Cómo relacio-nas los rebotes fi nales que ti ene?Si soltabas con fuerza la pelota de poligoma, ¿qué sucedía respecto a sus rebotes?

¿Tendrá algún punto infi nito sus rebotes? ¿Por qué? ¿Cómo defi nes dominio y rango? ¿Cuál es el límite de la pelota de poligoma?

Realizadas ambas experiencias, interpreta las siguientes gráfi cas describiendo el movimiento que se genera.

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La siguiente acti vidad se plantea para ser realizada en la noche, observa el cielo y cuenta las estrellas que se visibilizan. ¿Cuántas estrellas pudiste contar? ¿Crees estar en el número exacto? ¿Por qué se dice que las estrellas son infi nitas? ¿Alguna vez seguiste el origen de un arco iris? ¿Creas tenga un principio y fi n? ¿Cómo defi nes el infi nito en tu contexto?

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“El vicio es un error de cálculo en la búsqueda de la felicidad.” (Jeremy Bentham)

El estudio del cálculo dentro de la Física – Química ti ene gran incidencia al momento de interpre-tar las posibles soluciones que se puede desarrollar, según el planteamiento de los problemas a resolver, teniendo funciones específi cas que cumplir en la aplicación de fórmulas según sea el caso a resolver.

De acuerdo al Programa de Estudio, la aplicación de funciones y límites está aplicado en cuarto, quinto y sexto año de Educación Secundaria Comunitaria Producti va, considerada dentro de Cinemáti ca, Dinámica, Estáti ca y Electricidad, en la solución de diversos problemas según el fundamento teórico.

Las y los maestros de Física – Química, deben tomar en cuenta que la uti lización de funciones y límites dentro de la especialidad, debe ser manejado como una solución paralelo o alterna a las fórmulas tradicionales dentro de los contenidos, debido a que nos da otra alternati va de solución, además es un método de dar con precisión algunos resultados, relacionando los temas dentro del área de cálculo.

Para las y los estudiantes, será de gran uti lidad comprender las funciones y límites, porque por medio de ellas podrán tener un panorama amplio de resolución y considerar el origen del por qué de los diferentes acontecimientos, aplicándose dentro de los movimientos que se estudian en mecánica, analizando a la vez nuevos términos y situaciones a resolver.

La aplicaciones de procedimientos de cálculos en la Física – Química busca el desarrollar pro-cesos cogniti vos en las y los estudiantes, fortaleciendo la capacidad de análisis que se puede tener en la comprensión e interpretación de la formulación y planteamiento de los problemas de manera contextualizada.

Estos contenidos son úti les, dado que muchos desconocemos los principios y objeti vos del Sistema Educati vo Plurinacional, todo para que el ser humano tenga una formación integral y producti va.

Tema 1Funciones y Límites

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Profundización a parti r del diálogo con los autores y el apoyo bibliográfi co

1. Defi nición de función

Una función es conocida como una relación entre un conjunto dado (X) y un conjunto de ele-mentos (Y), existi endo una relación entre ambos. Para comprender acerca del mismo, realiza la lectura (A.A., s.f.) “Funciones” (Pág. 1- 2), y elabora una conceptualización de la relación que se da entre (X) – (Y), defi niendo de manera clara lo que es una función.

2. Dominio y rango

La relación que se da entre ambos conjuntos ti ene elementos defi nidos, conocidos como el do-minio y rango. Para poder caracterizar cada uno de ellos, lee (Pérez, 2005) “Dominio y Rango” (Pág. 89 – 108) y completa el siguiente cuadro:

Dominio Rango

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GUÍA DE ESTUDIO

Realiza la representación gráfi ca en el eje de coordenadas en función a los ejercicios propuestos dentro de la lectura anterior.

3. Composición de funciones

La composición de funciones se da por medio de la relación establecida entre los conjuntos, considerando el dominio y rango de cada una, operaciones entre funciones. A conti nuación revisa la lectura (Vargas & Crail, s.f.) “Composición de Funciones” (Pág. 2 – 11) y describe cómo se da esta relación matemáti ca, completa los ejercicios propuestos.

Según la notación funcional, realiza un ejemplo representando la relación de conjuntos que se da.

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4. Funciones elementales

Se conoce como función elemental a una función construida a parti r de una canti dad fi nita de diversas funciones por medio de diversas operaciones, teniendo característi cas diversas según las operaciones que se realicen en cada una, para conocer a cerca de las mismas, lee (Pérez, 2006) “Cálculo Diferencial e integral de funciones de una variable” (Pág. 19 – 25) y completa el siguiente cuadro, mencionando las característi cas de cada uno e indicando la función aplicada según su representación formular y gráfi ca.

Función Característi ca Representación (fórmula – gráfi ca)

Función Polinómica y ra-cionales

Raíces de un número

Potencias racionales

Funciones logarítmicas

Funciones Exponenciales

Funciones de exponen-tes reales

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GUÍA DE ESTUDIO

Funciones trigonométri-cas

Ángulos

Funciones seno y coseno

Funciones arcoseno, ar-cocotangente

Función hiperbólica

Función hiperbólica in-versa

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A conti nuación desarrolla los ejercicios propuestos en el texto citado, resolviendo de forma analíti ca y gráfi ca.

También dentro de las funciones se ti ene funciones elementales complejas, las cuales se des-criben el libro (Pérez, 2006) “Cálculo Diferencial e Integral de funciones de una variable” (Pág. 35 – 35), generadas a parti r de funciones especiales, mediante operaciones elementales y com-posición, en función al contenido describe cada una de ellas en el siguiente cuadro, indicando la representación gráfi ca, característi cas y formas de representación que poseen.

Función exponencial

Función logarítmica compleja

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GUÍA DE ESTUDIO

Función potencias complejas

Resuelve los ejercicios planteados en relación a las funciones elementales complejas propuestas en el texto.

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5. Defi nición de límites

Hacer referencia al término de límite es referirse a una noción topológica que forma la no-ción intuiti va de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, para comprender acerca del mismo, lee el texto (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 9 – 10) y realiza una sistemati zación conceptual del mismo, considerando las característi cas y formas de representación.

6. Teorema de límites

Revisa el libro (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 10 – 17), y elabora las fórmulas representati vas que se describen en el contenido del texto.

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GUÍA DE ESTUDIO

Resuelve los ejercicios planteados dentro del texto, de forma analíti ca y gráfi ca.

7. Límites exponenciales y logarítmicos

En función al contenido del libro (Oteyza, 2006) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 237 – 265) y completa el siguiente cuadro mencionando sus característi cas, formulas y representación gráfi ca.

Límite exponencial

Límite logarítmico

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En función al contenido del libro resuelve los ejercicios propuestos, de manera analíti ca y gráfi ca.

8. Límites laterales

Revisa el contenido del libro (Oteyza, 2006) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 105 – 109) y explica a qué se refi eren los límites laterales.

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GUÍA DE ESTUDIO

9. Conti nuidad

Se enti ende por conti nuidad el cambio de variable dentro de una función, que es un punto así, para comprender acerca del contenido, lee (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 18 – 21), y completa el siguiente cuadro y resuelve los ejercicios propuestos de cambio de variable.

Propiedades

Propiedades Gráfi ca

Conti nuidad derecha

Conti nuidad izquierda

Conti nuidad intervalos

Disconti nuidad

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Tema 2Derivadas

“Los sistemas de lenguaje humano son representaciones derivadas de un modelo más completo: la suma total de las experiencias que un ser humano ha tenido en su vida.”

John Grinder

Se enti ende por derivada de una función el estudio del movimiento de una partí cula, propiamen-te de la rapidez que se produce en ella, calculando por medio del límite el cambio de posición que se produce; es decir, se trabaja en función de un punto dado.

De acuerdo al Programa de Estudio, la representación de derivadas con el movimiento se apli-ca propiamente en cuarto año de Educación Secundaria Comunitaria Producti va, dentro del contenido “El movimiento en la Madre Tierra” y “Manifestaciones gravitacionales de la Madre Tierra y el Cosmos”, pero también se involucra en quinto y sexto año debido a que se ve el movimiento de una partí cula.

El desarrollo del presente tema permiti rá a las y los maestros de Física Química, integrar de manera correlati va el estudio de la derivada con el movimiento que ejerce una determinada partí cula, describiendo el desplazamiento, recorrido, funcionalidad, gráfi ca, entre algunas característi cas, facilitando la interpretación de lo que es el infi nito y el límite dentro de una trayectoria descrita según el ti po de movimiento ejecutado.

Para las y los estudiantes será relevante el conocer acerca del estudio de la derivada para tener una mejor interpretación de la forma en la que se presentan las gráfi cas, defi niendo de esta manera el límite dentro de la misma, el recorrido planteado por medio de los ejes de coorde-nadas, la funcionalidad del concepto infi nito, logrando de esta forma, leer correctamente las interpretaciones, además poder realizar soluciones analíti cas aplicando los principios analíti cos de la derivada.

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GUÍA DE ESTUDIO


1. Defi nición

Para comprender a que se refi ere una derivada, lee (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 22 – 27), sinteti za la información encontrada en el contenido del texto.

Comprendida la lectura, ¿Qué relaciones encuentras en la misma? ¿De qué manera podrías hacer su representación?

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2. Interpretación geométrica

La forma de interpretar las derivadas es indisti nta, ahora veremos desde el punto de vista geométrico, para ello revisa el libro (Pérez, 2006) “Cálculo Diferencial e Integral de una va-riable” (Pág. 202 – 205) y completa el siguiente cuadro, caracterizando cada uno e indica su representación gráfi ca.

Tangente de una curva

Razón de cambio

Velocidad instantánea

3. Derivación de funciones

La derivación funcional sucede de la combinación de funciones por medio del cambio de po-sición que se en el movimiento, para conocer acerca de la derivación de funciones, revisa el libro (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 28 – 36 y 60 – 78), y defi ne cada una según el siguiente cuadro:

Funciones Propiedades Fórmulas Gráfi ca

Algebraica

Implícita

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GUÍA DE ESTUDIO

Trigonométrica

Trigonométrica inver-sa

Exponencial

Logarítmica

Hiperbólica

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Una vez desarrolla la tabla propuesta, en función al contenido del texto desarrolla los ejerci-cios propuestos, indicando el ti po de función en cada uno, además su representación gráfi ca y solución analíti ca.

4. Regla de la cadena

La regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones, es decir cuando existe composiciones entre ambas, lee el documento (Larson & Otros, 2006) “Cálculo con Geometría Analíti ca” (Pág. 130 – 140) y explica cómo se da este suceso entre dos funciones, considera las representaciones que se dan dentro el contenido del texto, e indica ejemplos que consideres necesarios para poder explicar el contenido.

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GUÍA DE ESTUDIO

5. Derivación implícita

A conti nuación, revisa el documento (Larson & Otros, 2006) “Cálculo con Geometría Analíti ca” (Pág. 141 – 147) y describe en qué consiste la derivación implícita, además ejemplifi ca e indica las fórmulas que se aplican dentro de la ella.

En función al contenido de la lectura, desarrolla los ejercicios propuesto fundamentado de forma teórica la respuesta obtenida.

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6. Derivadas laterales

Se estudia a las derivadas laterales cuando se ve las funciones por trozos, considerando derivadas por la izquierda y derecha, para comprender la misma, lee el documento (Pérez, 2006) “Cálculo Diferencial e Integral de funciones de una variable” (Pág. 71 - 74) y completa el siguiente cuadro:

Derivada Lateral Propiedades Funcionalidad Gráfi ca

Derivada por la izquierda

Derivada por la derecha

En función al contenido del texto, indica ejemplos en casos que puedan ser aplicados dentro del proceso formati vo.

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GUÍA DE ESTUDIO

7. Derivadas y conti nuidad

Se considera que si una función es derivable en un punto entonces es conti nua, pero sino enton-ces se ti ene una disconti nuidad, considerando una relación con los límites que se pueden presen-tar según el movimiento de la partí cula, para profundizar acerca del estudio de la conti nuidad, lee (Pérez, 2006) “Cálculo Diferencia el Integral de una variable” (Pág. 82 – 101) y (González, s.f.) “Derivada y Conti nuidad” (Pág. 121 – 131), luego desarrolla las característi cas que posee, de acuerdo al siguiente cuadro, considerando la funcionalidad, aplicación y representaciones.

Consejos para calcular límites de funciones

Consejos para calcular límites de sucesión

Teorema de Tayler

Funciones convexas y cóncavas

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Considerando el contenido del texto, desarrolla los ejercicios propuestos en el mismo.

8. Aplicaciones de la derivada

La aplicación de la derivada es diversa, según los resultados que se buscas o las defi niciones y relaciones establecidas en los diferentes ejercicios, para comprender acerca de las mismas, estudia el texto (Granville, 1998) “Cálculo Diferencial e Integrado” (Pág. 52 – 88) y elabora una sistemati zación respecto a la aplicación que ti ene en los diferentes cálculos aplicados, indicando en cada uno su fórmula y gráfi ca.

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GUÍA DE ESTUDIO

A conti nuación revisa el contenido del libro (Larson & Otros, 2006) “Cálculo con Geometría Analíti ca” (Pág. 163 – 241) y describe dos procesos ejecutados, indicando en cada uno las ca-racterísti cas y los resultados que se tuvo, según las aplicaciones de la derivada.

Arco Iris

Río Conmeti cut

En función al contenido de ambos libros, resuelve 30 ejercicios propuestos.

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Tema 3Gestión Educativa Curricular Escolarizada

“Cuando las leyes de la matemáti ca se refi eren a la reali-dad, no son ciertas: cu nado son ciertas no se refi eren a la realidad.”

(Albert Eisntein)

El estudio de las integrales obedece a una función donde se puede describir la anti - derivada, es una generalización de la suma de infi nitos sumados, se basa en el estudio de varios cientí fi cos donde proponen que la derivación y la integración son procesos inversos.

De acuerdo al Programa de Estudio, las integrales de integración se desarrolla en cuarto año de Educación Secundaria Comunitaria Producti va dentro el contenido de “El Movimiento en la Madre Tierra” y “Manifestaciones gravitacionales de la Madre Tierra y el Cosmos”, pero tam-bién abarca cierto espacio en sexto año dentro del análisis de la electricidad, considerando el comportamiento de las partí culas y su movimiento.

En el desarrollo del contenido las y los maestros de Física - Química, podrán desarrollar la integración por medio de la aplicación de funciones establecidas dentro de los diferentes mo-vimientos que se dan dentro de la Madre Tierra, tomando en cuenta el comportamiento de las partí culas, relacionando dos campos de estudio como ser la matemáti ca y la fí sica directamente, debido a la relación formular que posee, pero también dentro de los cálculos estequiométricos que se realizan en química.

Las y los estudiantes podrán comprender acerca de la relación que se da entre los procesos analíti cos de solución en los ejercicios, interpretando la integración desde el punto de vista fí sica y químico según el planteamiento problemáti co que se generen en los ejercicios a resol-ver, de cierta manera ayudará a entender de donde surge cada formula; es decir, el origen que poseen de acuerdo a las explicaciones cientí fi cas, con apti tudes propias de expresar diferentes conceptos matemáti cos, aplicando en la solución de problemas.

42

GUÍA DE ESTUDIO


1. Defi nición de anti – derivada

Para conocer acerca de la anti – derivada, revisa el documento (Larson & Otros, 2006) “Cálculo con Geometría Analíti ca” (Pág. 248 – 294), luego elabora tu propia defi nición al respecto, con-siderando la explicación de las gráfi cas y las fórmulas que se presenta en el contenido.

Describe cómo se dio la demostración del teorema fundamental que se indica en el contenido del texto.

.

43


2. Fórmulas elementales

A conti nuación elabora un formulario base en función al contenido del libro (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 119 – 122), indicando el nombre en cada fórmula y la aplicación de la misma.

3. Integración por susti tución

La integración por susti tución se conoce también como el cambio de variable que se da dentro de la función establecida, en función al libro (Larson & Otros, 2006) “Cálculo con Geometría Analíti ca” (Pág. 295 – 308), explica cuándo se da este suceso y la forma de proceder a su re-solución.

44

GUÍA DE ESTUDIO

Considerando el análisis realizado, resuelve los ejercicios planteados en el documento, indicando la solución gráfi ca en cada uno.

4. Integración por partes

La integración por partes se uti liza cunado el integrando está formado por un producto, en función al libro (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 138 – 142) indica la fórmula que se aplica para poder resolver este ti po de integraciones, además describe sus propiedades y característi cas.

45


Conociendo las propiedades y desarrollo de la integración por partes, resuelve los ejercicios propuestos.

5. Integración por fracciones parciales

Según el libro (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 150 - 153), explica los pasos que se siguen para resolver la integración por fracciones parciales, indicando ejemplos en el procedimiento.

46

GUÍA DE ESTUDIO

6. Integrales trigonométricas

Revisa el libro (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 143 – 149) y desarrolla las fórmulas trigonométricas aplicadas dentro de la integración.

7. Integrales binómicos

Las integrales binómicos se da entre dos números reales, siendo uno de ellos la parte imagina-ria y la otra parte real, para conocer más acerca del contenido, lee el texto (Gorosti zaga, 2009) “Integrales de Funciones” (Pág. 1 – 3) y realiza un esquema del proceso de resolución que se sigue de la misma, tomando en cuenta las fórmulas y gráfi cas aplicadas.

47


8. Integrales de funciones irracionales

Las funciones irracionales son aquellas que se trabajan dentro de una raíz; es decir, que se ha-bla de radicales. A conti nuación revisa el contenido del libro (Larson & Otros, 2006) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 332 – 359) y describe la integración de las funciones por medio de fórmulas y gráfi cas.

9. Integrales de funciones racionales trigonométricas

Para comprender el proceso de integración racional trigonométrica, analiza el contenido del libro (Larson & Otros, 2006) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 387 - 387) y elabora un cuadro según las racionalizaciones mencionadas dentro del texto, ejemplifi cando en cada caso.

48

GUÍA DE ESTUDIO

10. Aplicación de la integración

Para comprender la aplicación de la integración en los diferentes procesos de cálculos, revisa el contenido del libro (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 159 – 161) y defi ne en que procesos se aplica.

49


En función al libro (Pérez, 2006) “Cálculo Diferencial e Integral de funciones de una variable” (Pág. 133 – 174) completa el siguiente cuadro, caracterizando la aplicación de la integral en la misma.

Cálculo áreas planas

Longitud de un arco de curva

Volumen de sólidos

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50

Orientaciones para la Sesión de Concreción

Al llegar a la culminación del trabajo estructurado en toda la guía, pasaremos a la concreti zación del involucramiento que se dio por parte de las/los maestros, estudiantes y la comunidad, a parti r de este momento la Unidad de Formación “Cálculo Diferencial e integral para la Aplicación de la Física y Química”, nos refl ejará todos los resultados obtenidos.

Para el desarrollo de la sesión de concreción tomaremos los siguientes aspectos:

1. Profundización de las lecturas/documentales complementarios.

Es necesario el poder profundizar los conocimientos y poder hacer un proceso refl exivo acerca de los contenidos, considerando la importancia que ti ene el cálculo dentro de la historia, para ello, observa los siguientes videos:

• “Historia del Cálculo Integral” (00:01 – 26:15 min.) Fuente: htt ps://www.youtube.com/watch?v=WuhBxx60uPk

• “Historia del Cálculo Diferencial” (00:01 – 42:57 min.) Fuente: htt ps://www.youtube.com/watch?v=u4zRwFyJ2qA

Considerando el análisis del video, realiza una conceptualización de cada uno considerando el tema de mayor relevancia y relaciona con el contenido estudiado dentro de la Unidad de Formación.

51


En función a las lecturas dentro del contenido de la Guía de Estudio elabora una sistemati zación respecto a las estrategias metodológicas que aplicarías dentro de la especialidad para poder dar los contenidos de cálculo a tus estudiantes y en qué contenidos los desarrollarías.

52

GUÍA DE ESTUDIO

2. Trabajo con las y los estudiantes para arti cular con el desarrollo curricular y relacionarse e involucrarse con el contexto.

A parti r de la Unidad de Formación abordada, se plantea el desarrollo de una prácti ca aplicando los conocimientos adquiridos, para ello se trabajará bajo las siguientes consignas:

• Se organiza a las y los estudiantes en equipos comunitarios de trabajo.

• Se elige un lugar abierto dentro de la comunidad y se distribuye a cada equipo un espacio, delimitado entre los demás equipos.

• Se procede a hacer un levantamiento topográfi co del mismo.

• Se calculas las áreas, perímetro y longitudes aplicando los principios de las integrales.

Concluida la acti vidad, el levantamiento realizado debe constar de su informe en cual debe enfocarse a la representación gráfi ca de la misma y la aplicación de las fórmulas empleadas para los cálculos realizados.

53


3. Descripción de la Experiencia Educati va

Durante todo el proceso formati vo se busca consolidar nuestras experiencias Educati vas Trans-formadoras, donde parti remos de:

• Análisis de la parti cipación y aceptación de todos los actores involucrados (estudiantes, maestra/os y comunidad).

• Relación de las acti vidades con el PSP de la Unidad Educati va.

• Aceptación o rechazo por parte de los actores involucrados.

Este aspecto será esencial, puesto que relatarás el proceso formati vo de la acti vidad de concre-ción y así poder consolidar nuestras Experiencia Educati va Transformadora, para ello deberás hacerlo de manera críti ca y refl exiva, de acuerdo a los siguientes criterios:

• Análisis de la parti cipación de los actores educati vos (estudiantes, maestras/os y comu-nidad) durante la Experiencia Educati va Transformadora.

• El impacto que tuvo la acti vidad de concreción con relación al PSP de la Unidad Educati va.

Coloca las evidencias de acuerdos establecidos y propuestas realizadas en función al trabajo realizado.

54

GUÍA DE ESTUDIO

• Evidencias de trabajos, fotos, etc.

55


56

GUÍA DE ESTUDIO

57

Orientaciones para la Sesión de Socialización Al haber concluido y llegar hasta este punto, será de gran importancia el proceso evaluati vo en todo el trabajo desarrollado, debido a que permiti rá valorar todos los conocimientos prácti cos y/o teóricos, mostrando logros dentro del objeti vo trazado.

Al concluir la Guía de Estudio “Cálculo Diferencial e Integral para la aplicación de la Física y Química”, la o el parti cipante deberá presentar los productos de su proceso formati vo.

Para la valoración, la o el tutor a cargo, tomará lo siguientes criterios:

Evaluación de Evidencias

• Verifi cación de las evidencias de la acti vidad de concreción (fotos, materiales, actas, acuerdos, diario de campo, videos, etc.)

• Valoración de evidencias de producto a parti r de la bibliografí a propuesta en la Guía de Estudio.

Socialización de la sesión de concreción:

• Se debe socializar de cómo y a parti r de qué se desarrolló la arti culación de los conteni-dos con la malla curricular, mostrando el plan de desarrollo curricular elaborado para el contenido, demostrando el relacionamiento con el PSP de la Unidad Educati va.

• Socialización de su Experiencia de Prácti ca Educati va desarrollada con sus estudiantes.

• Uso y adaptación de los materiales y su adecuación a los contenidos.

• Involucramiento de la comunidad a la acti vidad desarrollada.

• Valoración de productos tangibles e intangibles que se originaron a parti r de la concre-ción.

• Conclusiones.

• Evaluación individual.

Profundización y refl exión de los contenidos temáti cos de la Unidad de Formación:

• Funciones y Límites.

• Derivadas.

• Integrales de Integración

58

Bibliografía

• A.A., (s.f.). funciones. México: JRL.

• Ayres, F. (1989). Cálculo Diferencial e Integral . España: McGrawHill.

• González, P. (s.f.). Derivada y Conti nuidad. Madrid.

• Gorosti zaga, J. (2009). Integrales de Funciones. México.

• Granville, W. (1998). Cálculo Diferencial e Integrado. México: LIMUSA.

• Larson, R., & Otros. (2006). Cálculo con Geometría Analíti ca. México: McGrawHill.

• Oteyza, E. (2006). Cálculo Diferencial e Integral. México : Pearson.

• Pérez, J. (2006). Cálculo Diferencial e integral de funciones de una variable. Granada: Creati ve Commons.

• Pérez, L. (2005). Dominio y Rango. México: JRL.

• Vargas, A., & Crail, S. (s.f.). Composición de Funciones. México.

59


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Cálculo Diferencial e Integral para la Aplicación de la Física y Química

NivelaciónA c a d é m i c a


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