Matemáticas CLEI III

Guía 1 | Periodo 1 | 2021

Juan Diego Vergara García

Docente

Tabla de Contenidos

Datos Generales ................................................................................................................. iv

¿Qué voy a aprender? .......................................................................................................... 6

Lo que estoy aprendiendo ................................................................................................... 7

Practico lo que aprendí ...................................................................................................... 15

¿Cómo sé que aprendí? ..................................................................................................... 16

¿Qué aprendí? ................................................................................................................... 18

iv

Datos Generales

En esta guía encontrarás teoría,

ejemplos, ejercicios de práctica, ejercicios

para entregar y una autoevaluación sobre Sistemas de numeración.

Primero, realiza la sección ¿Qué voy a aprender? En la cual podrás explorar tus

conocimientos previos, la cual servirá de base para seguir aprendiendo o afianzar tus

conocimientos. Realizarlo correctamente o no, no tiene calificación numérica, pero el

hacerlo sí se tendrá en cuenta para la evaluación.

Luego, lee detenidamente la sección Lo que estoy aprendiendo y revisa muy bien

los ejemplos dados. Debes tomar nota en tu cuaderno.

Posteriormente, en la sección Practico lo que aprendí encontrarás diversos

ejercicios para que practiques lo aprendido; estos no se tendrán en cuenta para la

calificación.

No obstante, en la sección ¿Cómo sé que aprendí? Estarán algunos ejercicios

disponibles para que demuestres lo aprendido; estos serán tenidos en cuenta para la

calificación.

Objetivos de Aprendizaje

Conocer diferentes sistemas de numeración.

Reconocer el sistema de numeración decimal como un sistema

posicional.

Introducción

v

En la sección ¿Qué aprendí? Habrá una lista de chequeo que permitirá que realices

una autoevaluación del trabajo realizado.

Igualmente, se aclara que esta guía tendrá una duración de dos semanas y como

evidencias deberás enviar la solución de las secciones ¿Qué aprendí? Y ¿Cómo sé que

aprendí? Teniendo como plazo máximo el viernes 05 de febrero de 2021 (hasta las 09:00

p.m. GMT-5).

Además, recuerda que si tienes alguna duda puede consultarla por medio del

WhatsApp 3127655379 en el siguiente horario:

CLEI III. Los jueves y viernes de 06:40 p.m. a 08:30 p.m.

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¿Qué voy a aprender?

Antes de leer la guía o buscar en internet, ¿podrías responder las siguientes

preguntas?

¿Qué es contar?

¿Para qué contar?

¿Cómo contar?

¿Por qué solo tenemos 10 dígitos que nos permiten representar a cualquier número?

7

Lo que estoy aprendiendo

Cuando pensamos en matemáticas, a muchos nos da un gran dolor de cabeza, pero

no debemos perder de vista la importancia de ellas y los avances que generaron en la

sociedad y en las culturas de nuestros antepasados, teniendo gran importancia en el

comercio, por ejemplo.

Los sistemas de numeración se inventaron por la necesidad de otorgar un símbolo

a los objetos cuando queremos cuantificarlos o para saber su valor frente a un intercambio

comercial, entre muchas cosas más. Con esta necesidad, las culturas antiguas buscaron la

forma en representar esas cuentas por medio de símbolos que se traducen a una cantidad

específica, así fue como nacieron algunos de los sistemas de numeración antiguos.

Sistema de numeración egipcio. El más antiguo que conocemos de sistemas de

numeración es el egipcio, con más de 3 mil años de antigüedad, su sistema es la base de

todos los demás. Es una numeración basada en conjuntos de 10 unidades, representadas

por jeroglíficos específicos para cada orden decimal. Solían agruparse en conjuntos

simbólicos descendentes -de mayor a menor cantidad-, sumándose al final las unidades y

arrojando una sumatoria final.

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Sistema de numeración chino. Otra de las culturas más antiguas también tenía su

propio sistema de numeración que, igual que los egipcios, era con base en 10. Los

diferentes símbolos se componían por agrupaciones de potencias de 10 y se escriben de

arriba hacia abajo o de izquierda a derecha y no agrupados. Los símbolos que utilizaban

tenían distintivos para su empleo doméstico o comercial. Se necesitaba tener cuidado en

cómo agrupar los símbolos porque podían confundirse las unidades, como en el 57 y 75,

ya que se escribían de la misma forma.

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Sistema de numeración griego. En esta época se empezó a modificar el sistema

base 10 para convertirse en acrofónica, en el que en las unidades 5, 10 y 100 se encontraba

un distintivo a la palabra que representa la cantidad, como pente (5), deka (10) y mil (1000).

De igual manera se utilizaba el principio multiplicativo para el conjunto de unidades.

Posteriormente, el sistema evolucionó a una forma jónica, en la que los números se

representaban por las letras del alfabeto griego y otros símbolos, y se encontró una relación

entre número y palabras, este tipo de sistema los utilizan también los árabes y los judíos.

Sistema de numeración romano. A diferencia de los sistemas de numeración

anteriores, el sistema numérico romano se utiliza en la actualidad. Lo podemos ver en

capítulos de libros, escenas de obras de teatro e incluso nombres de autoridades como reyes

o Papas. Se caracteriza por utilizar letras mayúsculas como caracteres numéricos, su

escritura es de izquierda a derecha.

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Sistema de numeración maya. México también tiene su propio sistema de

numeración antiguo: el desarrollado por los mayas, quienes utilizaron una numeración con

base en 520, utilizando el número 5 cómo base auxiliar. Como rasgo distintivo, los mayas

fueron los primeros en utilizar el cero como número, es por eso que se cree que el sistema

maya es de los mejores utilizados en la antigüedad. Su escritura es de arriba hacia abajo y

consta de máximo cuatro filas de elementos, entre ellas los puntos, rayas horizontales y el

símbolo del cero.

11

Sistema de numeración decimal. Con el pasar de los años, y con el crecimiento de

las civilizaciones y las conexiones entre ellas, se necesitó universalizar el sistema

numérico, por lo que actualmente utilizamos el sistema numérico decimal, aquel que con

símbolos llamados dígitos podemos distinguir unidades basadas en 10 para crear cifras que

nos ayudan con cualquier aplicación matemática que necesitemos.

Consta de 10 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), las cantidades se leen de izquierda a

derecha y de arriba hacia abajo para las operaciones aritméticas comunes.

Sistema de numeración binario. Con la introducción de las computadoras a la

sociedad, utilizamos otro sistema de numeración llamado binario, del cual derivan otros

como el octal y el hexadecimal. El binario es además el lenguaje de las computadoras por

default, y consta de combinaciones de 1 y 0 que muestran si los comandos se encuentran

encendidos o apagados respectivamente. Sus combinaciones en conjuntos de 8 dígitos

crean códigos de cifrado que la computadora puede interpretar y transformar en lenguaje

cotidiano.

Escribiendo números

1. Números Romanos. Los números romanos están formados a partir de letras: I,

V, X, L, C, D, M. Cada letra tiene un valor numérico: 𝐼 = 1, 𝑉 = 5, 𝑋 = 10, 𝐿 = 50, 𝐶 =

100, 𝐷 = 500, = 1000.

Para representar números romanos, debemos utilizar estas letras, combinándolas y

ordenándolas. Hay que seguir algunas normas:

Los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor.

𝑋𝑉𝐼 = 10 + 5 + 1 = 16

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Cuando se coloca un símbolo de valor menor a la izquierda de otro, se resta.

Pero:

El símbolo I solo puede restar a V y a X.

X solo puede restar a L y a C.

El símbolo C solo puede restar a D y a M.

𝐼𝑉 = 5 − 1 = 4

𝐼𝑋 = 10 − 1 = 9

Los símbolos V, L, D siempre suman y no pueden estar a la izquierda de uno de

mayor valor.

El 95 no puede ser VC, ya que el 5 no se le puede restar al 100, sino que sería XCV,

que es 𝑋𝐶𝑉 = 100 − 10 + 5 = 95.

Se permiten como mucho tres repeticiones consecutivas del mismo símbolo.

Un símbolo que aparece restando solo se puede repetir cuando su repetición esté

colocada a más de un símbolo de distancia a su derecha

Si un símbolo tiene una barra encima, multiplica su valor por mil.

�̅� = 5000 𝑀�̅� = 5000 − 1000 = 4000

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Ejemplo: Mira la escritura de los siguientes números:

1. Sistema Decimal. Como se mencionó anteriormente, nuestro sistema de

numeración tiene una base 10, pues posee solo 10 figuras para representar cualquier cifra.

Además, es un sistema posicional, pues el valor del símbolo depende de la posición en la

que se encuentre; por ejemplo, el 1 no tiene el mismo valor cuando está en la primera cifra

(unidades), que cuando está en la tercera cifra (centena).

2.367 = 2(1.000) + 3(100) + 6(10) + 7

= 2.000 + 300 + 60 + 7

Además, nuestros números están organizados en conjuntos numéricos según

algunas propiedades, por ejemplo: el conjunto de los números naturales, que se

representan con la letra ℕ surgieron por la necesidad de contar y enumerar objetos. Tienen

un primer elemento, pero no tienen un último elemento.

ℕ = {1,2,3,4,5,6,7,8 … }

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Por su parte, el conjunto de los números enteros, que se representan con la letra ℤ

surgieron por la necesidad de representar las cantidades que se poseían (positivos o

naturales) y las que se debían (negativos). Este conjunto es la unión de los negativos, el

cero y los naturales (positivos).

ℤ = {… , −5, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5, … }

Nos centraremos entonces en las diferentes operaciones dentro de estos conjuntos.

Adición. La adición dentro de los enteros cumple las siguientes propiedades:

Si se suman dos enteros, el resultado también será un entero.

El cero es el módulo. Es decir que, al sumar un entero con el cero, se obtiene el

mismo valor. Ejemplo: 6 + 0 = 6.

Existe el elemento inverso. Al operar estos dos números el resultado será cero.

Ejemplo: 5 − 5 = 0. Es decir que 5 y −5 son inversos aditivos.

Multiplicación. La multiplicación de los enteros cumple las siguientes

propiedades:

Si se multiplican dos enteros, el resultado también será un entero.

El uno es el módulo. Es decir que, al multiplicar un entero con el uno, se obtiene el

mismo valor. Ejemplo: 6(1) = 6.

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Practico lo que aprendí

1. Relaciona los números decimales con su escritura en números romanos.

2. Resuelve las siguientes operaciones.

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¿Cómo sé que aprendí?

1. Escriba los siguientes números en romanos.

2. Selecciona la opción correcta

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3. Resuelve las siguientes operaciones.

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¿Qué aprendí?

Es momento de autoevaluar tu desempeño. Coloca un ✓ según corresponda.

Criterio Logrado En proceso Se me dificulta

Comprendo que los sistemas de

numeración evolucionan a para

satisfacer nuevas necesidades.

Comprendo que nuestro sistema de

numeración es posicional.

Comprendo que nuestro sistema de

numeración es base 10.

Escribo números decimales en su

representación de números romanos y

viceversa.

Resuelvo multiplicaciones.

Organizo cronograma para el desarrollo

de todas las actividades tanto

académicas como personales.

Otras observaciones y comentarios: _____________________________________

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