GRUPO 3 - EDUARDO AVALO - JHONNY MIÑAN
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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
ESCUELA DE INFORMÁTICA
PROYECTO DE MATEMÁTICA IV
TEMA:
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
DE PRIMER ORDEN
CURSO:
CUARTO QUIMESTRE “B”
INTEGRANTES:
EDUARDO ABALO
JHONNY MIÑAN
DOCENTE:
ING. CARLOS SÁNCHEZ
AÑO LECTIVO:
2010 - 2011
ECUACION LINEAL DE PRIMER ORDEN
Realizar las siguientes ecuaciones lineales de primer orden con el método de:
���� + � = �
Pues bien entonces vamos a resolver el ejercicio propuesto para visualizar el método de
resolución de los ejercicios:
1) ��� + � = �� �
Dividimos para x para eliminar la x que se encuentra multiplicando a ��
���
� + 2 �� = ��� �
�
Simplificamos la x y remplazamos �� por ���� :
���� + 2 �
� = �����
Para llegar a la función que queremos decimos que P = 2 �� y Q =
���� por lo tanto utilizando la
formula:
� ���� + � ��
�� + � = �
Remplazando los valores tenemos que:
� ���� + � ��
�� + 2 �� = ����
�
Decimos que y = u.z para la aplicación del método:
� ���� + � ��
�� + 2 ��� = ����
�
Sacamos factor común de z y nos queda el siguiente resultado:
� ���� + � � ��
�� + 2 �� � = ����
�
Utilizamos la parte entre paréntesis para poder sacar el valor de u:
���� + 2 �
�
Ahora solo despejamos las variables para que estén en función de x y en función de u
���� = −2 �
�
��� = −2 ��
�
El resultado de la integral es:
ln u = - 2 ln x
Resolviendo los logaritmos de la resolución de la integral nos da que:
ln u = ln � !
u = � !
" = ��
Ahora procederemos a resolver el ejercicio para obtener el valor de z:
� ���� = ����
�
Remplazamos el valor de u que ya encontramos en la anterior integral:
1�! ��
�� = �����
Pasamos el �
�$ al otro lado para empezar poder integrar en función de x y en
función de z:
�� = �%��� ��
La respuesta de la integral es:
z = x cosx – senx + c
X Sen x
1
0
Cosx
- Senx
Ahora procederemos al remplazo en la formula general que es y = u.z
� = 1
�! &x cosx – senx � c.
Despejando y este resultado nos queda:
� � � � /0� � ��� � /
Realizando las graficas en el programa winplot luego de haber realizado el ejercicio:
Segundo Ejercicio de Ecuaciones Lineales de Primer Orden
1) Y’=3x+2y
Y’-2y=-3x y=uz
Ecuación general:
dy = udz + zdu dx dx udx + - 2u z = -3x du - 2u = 0 dx du = 2u dx Agrupamos las x con dx y las u con du y procedemos a Integrar: du = 2 dx U ln u = 2x
Remplazando el valor de u en la siguiente ecuación obtendremos el valor de z:
u dz = - 3x dx
�� ��3� ��
�!�
Procedemos a la integración para hallar el valor de z:
�� = −3� ���!�
du dx
u= e2x
�� � �3� � !� ��
� � �3 2�� !�2 � � !�
4 � 45
Como anteriormente y=uz remplazaremos los valores de u y de z y obtendremos el valor de Y:
� � �!� 6� 7�89$:! � 789$:
; � 4<
Luego de haber realizado el ejercicio podemos realizar la grafica con las soluciones planteadas:
Cuando damos valores a c la grafica se nos muestra de la siguiente manera:
Integración Derivación
� � !�
1 �2� !�
0 4� !�
� � � 3�� !�2 � 3� !�
4 � 4
� � 4�!� � 3�2 � 3
4
C= 2 y C=6 C= 2 ; C=4 ; C=6 ; C=8