GRÁFICAS Y FUNCIONES GRÁFICAS Y FUNCIONES MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

Bernardo Nieto Castellanos

REQUISITOS QUE DEBE REQUISITOS QUE DEBE CONSIDERAR UN ANALISTACONSIDERAR UN ANALISTA

•Buen conocimiento de la Teoria Economica•Conocimiento profundo del Mercado•Buen conocimiento Estadistico

Definición del Problema

FormulaciónDel Modelo

Obtención de Datos y Estimación

Evaluación y Uso de Resultados

PROCESO DE ESTIMACION DE FUNCION ECONOMICA

MODELOS ECONOMICOS Y MODELOS ECONOMICOS Y ESTADISTICOSESTADISTICOS

Conjunto de relaciones entre numero finito devariables especificado de manera cuantitativaCon ecuaciones y graficos

Las variables pueden ser endogenas o predeterminadas

VARIABLESVARIABLES

Las variables pueden ser endógenos o predeterminadas

•Endógenas.- Son aquellas cuyas magnitudes quedan

determinadas dentro del sistema analizado•Predeterminadas.- Pueden ser exogenas, o endogenas retardadas

Expresión Analítica de un Modelo Expresión Analítica de un Modelo EconómicoEconómico

Se realiza a través de una o varias funciones que nos Se realiza a través de una o varias funciones que nos indican las relaciones existentes entre las variables.indican las relaciones existentes entre las variables.

En el curso de Optimización trataremos En el curso de Optimización trataremos generalmente modelos económicos simples, en la generalmente modelos económicos simples, en la función Oferta y la función Demanda.función Oferta y la función Demanda.

3 10.000

1 20.000

Cantidad comprada de A (d)  Precio de A (p)

Modelación Matemática Modelación Matemática

Antiguos griegos fueron los primeros en tratar de Antiguos griegos fueron los primeros en tratar de comprender la naturaleza a partir del análisis lógico. comprender la naturaleza a partir del análisis lógico. Aristóteles desarrolló la teoría que el mundo no era Aristóteles desarrolló la teoría que el mundo no era plano sino esférico, la que fue demostrada sin plano sino esférico, la que fue demostrada sin moverse un solo paso de Alejandría……. Pero, cómo lo moverse un solo paso de Alejandría……. Pero, cómo lo hizo?. A través de suposiciones y simplificaciones hizo?. A través de suposiciones y simplificaciones creando el contexto matemático en el cual pudieron creando el contexto matemático en el cual pudieron aplicarse los principios de la geometría que le aplicarse los principios de la geometría que le permitieron encontrar una medida equivalente a la permitieron encontrar una medida equivalente a la circunferencia de la tierra.circunferencia de la tierra.

Hoy se busca representar la realidad en términos Hoy se busca representar la realidad en términos matemáticos, proceso denominado matemáticos, proceso denominado "modelación "modelación matemática"matemática". .

Funciones Económicas Funciones Económicas Expresan un modelo económico definida como “ Expresan un modelo económico definida como “

relación de dependencia entre variables económicas”. relación de dependencia entre variables económicas”. 

Adoptan formas teóricas simples y complejas. Adoptan formas teóricas simples y complejas. En el curso trataremos con funciones económicas de En el curso trataremos con funciones económicas de

una sola variable y principalmente de tipo lineal y una sola variable y principalmente de tipo lineal y cuadrática, cuyos valores que asumen deben tener cuadrática, cuyos valores que asumen deben tener sentido económico, y como tal estarán restringidos a sentido económico, y como tal estarán restringidos a números reales positivos. (no podran ser valores números reales positivos. (no podran ser valores negativos. Ejemplo producir (-5) autos, o vender un negativos. Ejemplo producir (-5) autos, o vender un bien a (-100) soles).bien a (-100) soles).

Las funciones económicas se grafican en el primer Las funciones económicas se grafican en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas

FUNCIONES Y FUNCIONES Y GRAFICASGRAFICAS

La economía utiliza las matemáticas La economía utiliza las matemáticas para seguir un orden lógico desde las para seguir un orden lógico desde las premisas básicas de una teoría hasta las premisas básicas de una teoría hasta las implicaciones ultimas de esas hipótesis.implicaciones ultimas de esas hipótesis.

Sin las matemáticas, el proceso seria Sin las matemáticas, el proceso seria mas difícil y menos exactomas difícil y menos exacto

FUNCIONES DE UNA VARIABLEFUNCIONES DE UNA VARIABLE

Matemáticamente definimos a las variables como Matemáticamente definimos a las variables como magnitudes susceptibles que se pueden modificar magnitudes susceptibles que se pueden modificar cuantitativamente tomando un valor cualquiera dentro cuantitativamente tomando un valor cualquiera dentro de un cierto margende un cierto margen..

X,YX,Y VARIABLES COMUNESVARIABLES COMUNES A veces se puede denotar de esta manera implicando A veces se puede denotar de esta manera implicando

causalidad.causalidad. Y = f (x) Y es función de XY = f (x) Y es función de X

REPRESENTACIÓN GRÁFICA Permite reconocer rápidamente la relación que existe entre las variables, Permite reconocer rápidamente la relación que existe entre las variables,

detectar situaciones claves, formular distintos modelos y compararlos.detectar situaciones claves, formular distintos modelos y compararlos. Se pueden realizar dos tipos de gráficos según la información que se Se pueden realizar dos tipos de gráficos según la información que se

vuelque en ellos:vuelque en ellos:– 1. Representar gráficamente la relación que liga a las variables en

forma empírica.– 2. Se grafica la relación teórica dada por la función – 3. Otra forma de obtener la misma gráfica, es a través de la pendiente

y la ordenada al origen .

Funciones lineales Funciones lineales Es la más simple dentro de las formas que puede Es la más simple dentro de las formas que puede

adoptar una relación entre variables económicas, adoptar una relación entre variables económicas, desempeñando un importante papel formular desempeñando un importante papel formular problemas económicos.problemas económicos.

Una función lineal tiene la forma generalUna función lineal tiene la forma general Y = a + bxY = a + bx Donde a y b son números reales, el coeficiente a es la Donde a y b son números reales, el coeficiente a es la

pendiente de la recta que representa a la función y pendiente de la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero, el término independiente b siempre es distinta de cero, el término independiente b es la ordenada al origen, que gráficamente representa es la ordenada al origen, que gráficamente representa la intersección de la recta con el eje de las ordenadas la intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0,b). en el punto de coordenadas (0,b).

La variable independiente es X, a la cual le asignamos La variable independiente es X, a la cual le asignamos valores para obtener Y.valores para obtener Y.

Estas funciones se caracterizan porque un cambio Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en X, provoca un cambio proporcional en Y. La unitario en X, provoca un cambio proporcional en Y. La tasa de cambio está representada por la constante a.tasa de cambio está representada por la constante a.

REPRESENTACION GRAFICA DE UNA VARIABLE

Una grafica es simplemente un modo de representar la relación de dos variables.

Las graficas no solo hacen que resulte mas sencilla la comprensión de ciertos argumentos , si no que a veces permiten ahorros importantes en los desarrollos matemáticos

Función Lineal de Dx del bien AFunción Lineal de Dx del bien A

q: Cantidad demandada del bien p: Precio del bien ACantidad demandada = f(precio del mercado)

La gráfica de la curva de demanda nos muestra las cantidades del bien A que serán demandadas durante un período de tiempo para cada posible precio. En el análisis no incluimos ni precio de los bienes substitutos de A, ni gusto de los consumidores, ni su renta.

Cada punto de la curva de coordenadas (qA,pA), nos muestra como  se relacionan las variables precio y cantidad bajo la condición de "ceteris paribus" .

Analicemos la relación entre la venta de yogurt, y el Analicemos la relación entre la venta de yogurt, y el sueldo del vendedor: (función ingreso) donde "sueldo del vendedor: (función ingreso) donde "yy" es el " es el sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de yogurt.sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de yogurt.Estamos frente a una función lineal, cuya representación Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es:gráfica es:

Podemos observar:1.- Es funcion creciente2.-Al aumentar el yogurt vendido, aumenta el sueldo del vendedor. 

Graf. 1.- Graficamos los puntos en un Graf. 1.- Graficamos los puntos en un sistema de coordenadas sistema de coordenadas cartesianas:cartesianas:

Gráfico 2Gráfico 2.- .-

En el siguiente gráfico En el siguiente gráfico mostramos la línea recta que mostramos la línea recta que se ajusta mejor (en cierto se ajusta mejor (en cierto sentido) a la nube de puntos sentido) a la nube de puntos que aparecen en el gráfico que aparecen en el gráfico anterior. La línea recta se anterior. La línea recta se denomina línea de regresión, denomina línea de regresión, y está dada por :y está dada por :

Coef. Correlación : 0.976168Coef. Correlación : 0.976168

Y = 94.4X - 186474.99Y = 94.4X - 186474.99

Se dice que X es una variable Se dice que X es una variable independiente independiente

El valor que tome X dependerá por El valor que tome X dependerá por entero al que asuma Y.entero al que asuma Y.

Y es una variable dependiente .Y es una variable dependiente .

Ahora veremos cuando Y es una función Ahora veremos cuando Y es una función lineal de X.lineal de X.

Y = a + bx a y b son constantes.Y = a + bx a y b son constantes.

En términos sencillos, una gráfica es un modo de En términos sencillos, una gráfica es un modo de representar la relación entre dos variables. representar la relación entre dos variables.

Por lo general los valores de la variable dependiente Por lo general los valores de la variable dependiente Y se muestran en el eje vertical y los de la Y se muestran en el eje vertical y los de la independiente X en el horizontalindependiente X en el horizontal