Gráfica de Ecuaciones Polares
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Departamento de Ciencias Geometría Analítica: Ciclo 2009-2
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GRÁFICA DE ECUACIONES POLARES
La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de puntos con al menos un par de coordenadas
polares que satisfagan dicha ecuación ( ( )r f ).
Intersecciones
a) Con el eje polar:
i) Hacer 0 , para hallar valores reales de r en el eje polar
ii) Hacer , para hallar valores reales de r .
En general, hacer n ,n Z .
b) Con el eje normal.
i) Hacer 2
, para hallar.
ii) Hacer 3
2
, para hallar r. En general hacer 2 1
2n
, donde k es un número
entero
Simetrías:
a) Con relación al origen (Polo):
Al cambiar:
i) por
ii) r por r
Si la ecuación de la curva no varía, es simétrica
b) Con relación al eje polar:
Al cambiar:
i) por
ii) por y r por r simultáneamente
Si la ecuación de la curva no varía, es simétrica
c) Con relación al eje normal:
La ecuación debe verificar:
i) por
ii) por y r por r simultáneamente
Si la ecuación de la curva no varía, es simétrica
P( r , )
( r , )
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Tangentes: Cuando el polo (origen) pertenece a la curva, al hacer 0r se obtiene ( ) 0f
que es una ecuación trigonométrica que al resolverla para da:
1 2, , ...., n .
Entonces, las rectas 1 2, , ...., n son las rectas tangentes en el origen de la
curva ( )r f
EJEMPLO 1: Construir la gráfica de la ecuación polar 10 3r sen
Solución:
Intersecciones:
a) Con el eje polar:
0 . Entonces 10 0º 0r sen
. Entonces 10 3 0r sen
El único punto de intersección es el polo.
b) Con el eje normal.
2
. Entonces 10 3 10
2r sen
3
2
. Entonces
910 10
2r sen
Hay un punto de intersección, dado que los puntos 10,2
y 3
10,2
son los mismos
Simetrías:
a) Con relación al origen (Polo): por
10 3 10 3r sen sen .
Entonces no es simétrica porque la ecuación de la curva cambia
b) Con relación al eje polar: por
10 3 10 3r sen sen .
No es simétrica porque la ecuación de la curva cambia
c) Con relación al eje normal: por
10 3 10 3r sen sen .
Es simétrica porque la ecuación de la curva no cambia.
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Tangentes: Hacer 0r , entones:
10 3 0sen
3 0sen ↔ 3 n , n es entero
3
n
Para n=0 0º
Para n=1 60º3
Para n=2 2
120º3
Para n=3 3
180º3
Para n=4 4
240º3
Para n=5 5
300º3
Las tangentes son: 0º , 60º , 120º , 180º , 240º , 300º , 360º
r
0º 0
10 5
15º 5 2
30º 10
40º 5 3
60º 0
90º -10
100º 5 3
120º 0
130º 5
150º 10
180º 0
210º -10
240º 0
270º 10
300º 0
330º -10
360º 0
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EJEMPLO 2: Construir la gráfica de la ecuación polar 1 cosr
Solución:
Intersecciones:
a) Con el eje polar:
0 . Entonces 1 cos0º 0r
. Entonces 1 cos 2r
Hay dos puntos de intersección, dado que los puntos 0,0 y 2, son distintos.
b) Con el eje normal.
2
. Entonces 1 cos 1
2r
3
2
. Entonces 1 cos 1
2r
Hay dos puntos de intersección, dado que los puntos 1,2
y 3
1,2
son distintos.
Simetrías:
a) Con relación al origen (Polo): por
1 cos 1 ( cos ) 1 cosr .
Entonces no es simétrica porque la ecuación de la curva cambia.
b) Con relación al eje polar: por
1 cos 1 cosr .
Es simétrica porque la ecuación de la curva no cambia.
c) Con relación al eje normal: por
1 cos 1 cosr .
No es simétrica porque la ecuación de la curva cambia.
Tangentes: Hacer 0r , entonces: 1 cos 0
cos 1
↔ 0º , 2
Las tangentes son: 0º , 180º
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r
0º 0
10º 0.015
30º 0.134
60º3
0.5
90º2
1
2120º
3
31.5
2
150º 1.86
2
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EJEMPLO 3: Construir la gráfica de la ecuación polar 1 2cosr
Solución:
Intersecciones:
a) Con el eje polar:
0 . Entonces 1 2cos(0º ) 1r
. Entonces 1 2cos 3r
Hay dos puntos de intersección, los cuales son dados por 1,0 y 3,
b) Con el eje normal.
2
. Entonces 1 2cos 1
2r
3
2
. Entonces 1 2cos 1
2r
Hay dos puntos de intersección, los cuales son dados por 1,2
y 3
1,2
Simetrías:
a) Con relación al origen (Polo): por
1 2cos 1 2( cos ) 1 2cosr .
Entonces no es simétrica porque la ecuación de la curva cambia
b) Con relación al eje polar: por
1 2cos 1 2cosr .
Es simétrica porque la ecuación de la curva no cambia
c) Con relación al eje normal: por
1 2cos 1 2cosr .
No es simétrica porque la ecuación de la curva cambia.
Tangentes: Hacer 0r , entones: 1 2cos 0
1
cos2
↔ 60º , 300º
Las tangentes son: 60º , 300º
0º 10º 30º 40º 60º3
90º
2
2120º
3
135º 150º 170º
r -1 -0.96 -0.73 -0.53 0 1 2 2.41 2.76 2.96 3
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EJEMPLO 4: Construir la gráfica de la ecuación polar 2 9cos2r
Intersecciones:
a) Con el eje polar:
0 . Entonces 2 9cos2(0º ) 9r
2 9 3r r
. Entonces 2 9cos2( ) 9cos360º 9r
2 9 3r r
Hay dos puntos de intersección, dado que los puntos 3,0 y 3,0 ó
equivalentemente 3, , 3,
b) Con el eje normal.
2
. Entonces 2 9cos 2 9cos 9
2r
2 9r , no existe
3
2
. Entonces 2 3
9cos 2 9cos3 92
r
2 9r , no existe
No existen puntos de intersección
Simetrías:
La curva es simétrica con respecto al polo y con respecto al eje polar.
Tangentes: Hacer 0r , entones: 9cos2 0
cos2 0
32 , 2
2 2
3
4 4
Las tangentes son: 45º , 135º
2 cos2 3 cos2r
0 0 1 3
15 30 0,866 8,2
30 60 0,5 1,2
45 90 0 0
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La gráfica de una ecuación de cualquiera de las formas:
Se denomina limazón (figura en forma de caracol) y su forma depende de las relaciones entre
a y b así:
- Si a b
- Si 0 1a
b , se llama limazón con nudo.
- Si 1 2a
b , se llama cardioide con hendidura.
cosr a b
r a bsen
Con 0, 0a b
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- Si 2a
b , se llama limazón convexo.
La gráfica de una ecuación de cualquiera de las formas:
Representan curvas en forma de aspa de hélice y se denominan lemniscatas
La gráfica de una ecuación de cualquiera de las formas:
Representa una rosa de n pétalos, si n es impar
Representa una rosa de 2n pétalos, si n es par
2 2
2 2
cos 2
2
r a
r a sen
cos
r a n
r a sen n
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Identificar y dibujar las siguientes curvas.
a) 20
7 3 sr
co
b) 8
2r
sen
c) 4 2r sen
d) 9
4 5cosr
e) 1 2r sen
f) )2(2 senr
g) 2 6 2r sen
h) 3
2r sen
i) 3
cos2
r
j) 2 4 2r sen
k) 2 2cosr
l) )4cos(2 r
m) )4cos(3 r
n) 2 3cosr
o) 2cos2r
p) 2r sen
q) 2 3r sen
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2. Pasar a coordenadas rectangulares y graficar
a) 22sec2
r
b) cos4
r
c) (1 2cos ) 2r
d) 2 2(4 5 ) 1r sen