Gradiente
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GRADIENTE
CALCULO VECTORIAL
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DEFINICION
Sea π una funciΓ³n de dos variables. El gradiente de π (o de π π₯, π¦ ) es una funciΓ³n vectorial
dada por:
βπ π₯, π¦ = ππ₯ π₯, π¦ π + ππ¦ π₯, π¦ π
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EJEMPLO: HALLAR LA GRADIENTE DE LA FUNCION π π, π = π ππ π + πππ EN EL PUNTO
(1,2)
SOLUCION:
PRIMERO HALLEMOS LA DERIVADA DE PRIMER ORDEN CON RESPECTO A βxβ Y βyβ:
ππ π, π =π
π+ π2
π π, π = π ππ π + πππ
ππ π, π = ππ π + πππ
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DE ACUERDO CON LA FORMULA DE LA GRADIENTE, COMENZAMOS A SUSTITUIR ESOS
RESULTADOS DE LA DERIVADA:
π»π π₯, π¦ = ππ₯ π₯, π¦ π + ππ¦ π₯, π¦ π
π»π π₯, π¦ =π
π+ π2 π + ππ π + πππ π
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AHORA SUSTITUIMOS ESE RESULTADO EN EL PUNTO (1,2)
π»π π₯, π¦ =π
π+ π2 π + ππ π + πππ π
π»π 1,2 =π
π+ π2 π + ππ π + π π π π
= π + 4 π + π + π π = 6 π + π π
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ASI QUE EL RESULTADO FINAL ES:
π»π 1,2 = 6 π + π π
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DERIVADA DIRECCIONAL
(EN TERMINOS DE LA GRADIENTE)
π·π’π π₯, π¦ = π»π π₯, π¦ β π’
π»π π₯, π¦ = ππ₯ π₯, π¦ π + ππ¦ π₯, π¦ π π’ = π’1 π + π’2 π
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EJEMPLO: HALLAR LA DERIVADA DIRECCIONAL CUYA FUNCION ES
π π, π = πππ β πππ, EN LA DIRECCION DE P(-3/4, 0) A Q(0,1)
SOLUCION:
NECESITAMOS DERIVAR LA FUNCION (PRIMER ORDEN):
ππ π, π = ππ
π π, π = πππ β πππ
ππ π, π = βππ
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LUEGO, NOS DAN 2 PUNTOS, ASI QUE, NECESITAMOS TRANSFORMARLO EN UN VECTOR:
π β3
4, 0 π¦ π 0, 1
π£ = 0 +3
4, 1 β 0 =
3
4, 1
π£ =3
4 π + 1 π
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Y LUEGO, TRANSFORMAR ESE VECTOR EN UN VECTOR UNITARIO:
π’ = π£
π£=
34 π + 1 π
34 π + 1 π
=
34 π + 1 π
916 + 1
=
34 π + 1 π
916 +
1616
=
34 π + 1 π
2516
=
34 π + 1 π
54
=3 π + 4 π
5=
3
5 π +
4
5 π
π’ = π’1 π + π’2 π
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SUSTITUYENDO ESTOS VALORES EN LA FORMULA, ENCONTRAMOS EL RESULTADO:
π·π’π π₯, π¦ = π»π π₯, π¦ β π’
π·π’π π₯, π¦ = ππ₯ π₯, π¦ π + ππ¦ π₯, π¦ π β π’1 π + π’2 π
= 6π₯ π β 4π¦ π β3
5 π +
4
5 π =
18
5π₯ β
16
5π¦
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NOS DAN DOS PUNTOS, ASI QUE, TOMAREMOS EL PUNTO INICIAL, ES DECIR, P (-3/4, 0) Y POR
LO TANTO LO SUSTITUIREMOS EN EL RESULTADO DE LA DERIVADA DIRECCIONAL:
π·π’π π₯, π¦ =18
5π₯ β
16
5π¦
π·π’π β3
4, 0 =
18
5β
3
4β
16
50 = β
54
20β 0 = β
54
20
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POR LO TANTO EL RESULTADO DE LA DERIVADA DIRECCIONAL ES:
π·π’π π₯, π¦ = β54
20= β
27
10= β2.7
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BIBLIOGRAFIAS
LARSON, HOSTETLER y EDWARDS, βCΓ‘lculo de varias variables. MatemΓ‘ticas 3β, 1ra
EdiciΓ³n, 2009, Editorial Mc Graw Hill 352 pΓ‘gs.
Swokowski, Earl, βCΓ‘lculo con geometrΓa analΓticaβ, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana,
2da EdiciΓ³n, Estados Unidos de AmΓ©rica, 1097