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MAGNETISMO
Física de Sistemas Complejos
Juan Carlos González Rosillo
Jaime Merchán Martínez
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Cronología
• Tales de Mileto
• Maricourt
• Gilbert
• Coulomb
• Faraday
• Pierre Curie
• Weiss
• Goudsmit y
S. VI a.C
1269
1600
• Coulomb
• Poisson 1824
• Ampere, Gauss, Oersted, Biot y Savart
• Goudsmit y Uhlenbeck
• Brillouin y Von Bleck
• Heisenberg
• Neel
1824
S. XIX
1780
S. XX
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¿Qué es el magnetismo?
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ORDEN FERROMAGNÉTICO
• Momento magnético espontáneo
• Dependencia con la temperatura.
(Ley de Weiss-Curie)(Ley de Weiss-Curie)
cexternoTT
C
B
M
−==χ
T<Tc => Orden Ferromagnético
T>Tc => Ruptura del Orden Ferromagnético.
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Magnetización como función de T
En vez de la ley de Curie, estudiamos el fenómeno con la expresión completa de Brillouin, que para spín ½ toma la forma:
Sustituyendo campo externo por el campo molecular
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Definimos:
La expresión de Brillouin se reduce a:
M(T) para Níquel
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ORDEN ANTIFERROMAGNÉTICO
• Spines ordenados antiparalelamente.
• Dependencia con la temperatura.
(Temperatura de Neel)
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TEMPERATURAS INFERIORES A LA DE NEEL
Susceptibilidad perpendicular constante, independiente de la temperatura
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¿Cómo son las excitaciones colectivas?
Idea intuitiva: Sólo un spín cambiado.
Realidad física: Ondas de spín: MagnonesRealidad física: Ondas de spín: Magnones
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Energía fundamental en aproximación Hartree-Fock:(con todos los estados con )
FKK ≤
•Para rs > 5,45 domina la parte de canje
TRATAMIENTO MÁS FORMAL
HAMILTONIANO DE N ELECTRONES
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Con conjuntos completos de números cuánticos de una sola partícula
Y los elementos de matriz V :
Expresados en función de las funciones de onda monoelectrónicas.
Separamos el Hamiltoniano en
Y aplicamos la aproximación “Tight-Binding”
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: Hamiltoniano de una sola partícula
Con esta aproximación, la función de Bloch se puede expresar como:
Y utilizando la representación de Wannier, reescribimos
en función de los operadores de creación y destrucción fermiónicos y escribimos :
Energía de la banda en términosde los elementos de la matrizde transmisión.
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Hamiltoniano de interacción
Con un razonamiento análogo, podemos escribir la interacción electrón-electrón así:
Siendo ahora V:Siendo ahora V:
La configuración ferromagnética (un electrón por nivel y todos con el mismo spín)favorece la parte de canje y minimiza la repulsión coulombiana. Y como es lógico,esta configuración es el ESTADO FUNDAMENTAL de un FERROMAGNETO.
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Como ya hicimos en el tema anterior, podemos separar las contribuciones del hamiltonianode interacción en “directa” y de “canje”.
Para la parte DIRECTA, debe satisfacerse queReduciéndose el hamiltoniano a:
La parte del operador:
ENERGÍA DE LA INTERACCIÓN ELECTROSTÁTICA ENTRE LAS DENSIDADES DE CARGA LOCALES
La parte del operador:
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Para la parte de CANJE, debe satisfacerse queEl hamiltoniano queda:
Transformando la parte del operador:
INTERPRETACIÓNFÍSICA DE
TÉRMINOS
Cuentan electrones con spín
Diferencia entre e- con spín
Provocan cambios de spín
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Considerando la relación de conmutación
Se puede ver que los operadores y
cumplen las relaciones de conmutación del momento angular:
Y podemos identificar:
PODEMOS REEMPLAZAR LOS OPERADORES DE CREACIÓN Y DESTRUCCIÓNPOR OPERADORES DE SPÍN
Sumamos y restamos en la parte deloperador de canje, y podemos escribirlo de la forma:
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-
con y
es el Hamiltoniano de Heisenberg
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HAMILTONIANO DE HEISENBERGAñadiendo el término de Zeeman, y cambiando la notación de sitios,podemos escribir el hamiltoniano de Heisenberg de la siguiente manera:
•Punto de partida de la teoría del magnetismo
•Simetría esférica en ausencia de Hext.
•Estado fundamental => Simetría axial (Ruptura espontánea de la simetría)
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OTROS HAMILTONIANOS MODELOA partir del hamiltoniano de Heisenberg, se derivan fundamentalmente tresmodelos de hamiltonianos:
1. Modelo anisotrópico de Heisenberg
2. Modelo de Ising (con Jij =0)
3. Modelo XY
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ONDAS DE SPÍN EN FERROMAGNÉTICOS
•Objetivo: Analizar excitaciones de baja energía en el estado fundamental
•Visión clásica: Dipolos magnéticos localizados.
Movimiento de un dipolo
Movimiento coordinadode todos los dipolos
Ondas de spín oMAGNONES
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Para un tratamiento más formal
Modelo de Heisenberg+
Aproximación Tight-Binding
Empleando podemos reescribir H:
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Valor esperado del Hamiltoniano sin campo magnético externo:(Estado fundamental => )
Con N: número de posiciones en la cadena
ν: número de vecinos más próximosν: número de vecinos más próximos
• Operador subida sobre = 0
•
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Dinámica del operador invidual Sj
Ecuación de movimiento(Ecuación de Bloch)
con
Para resolverlo:•Hext en eje z
Para resolverlo:
• Cerca del GS:(baja T)
ECUACIONES RESULTANTES
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Combinando ambas ecuaciones con
Rep.Desacople de primeros vecinos
Rep.de Bloch
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MOVIMIENTO DE PRECESIÓN EN TORNO A LA DIRECCIÓN DE ORIENTACIÓN DEL FERROMAGNÉTICO
FORMA CUANTIZADA MAGNÓN
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TRANSFORMACIÓN DE HOLSTEIN-PRIMAKOV
Operadoresbosónicos
La ecuación de Sz se deriva de:
Sin cambiar las relaciones de conmutación entre los tres momentos angulares.Esto es lo que se llama “Transformación de Holstein-Primakov.
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Desviaciones sobre el valor máximo S
Asumimos excitaciones de baja energía, tal que y expandimos
Relación unívocaOperadores
escaleraOperadoresbosónicos
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Hamiltoniano de Heisenberg bajo de excitaciones de baja energía
Acoplamiento entreprimeros vecinosprimeros vecinos
(cambio de representación)
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HAMILTONIANO PARA ONDAS DE SPIN EN FERROMAGNÉTICOS
Interacción a primeros vecinos+
Aproximación Tight-Bindingcos∝
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EXCITACIÓN TÉRMICA DE UN MAGNÓN
¿Contribución alcalor específico?
Valoresperado de
Paso al continuo
Aproximacióna baja temperatura
cubo simple
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Cambio de variable Integración en polares
Contribución magnónica a la energía térmica:
Contribución magnónica al calor específico:
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COMPROBACIÓN EXPERIMENTAL:
DISPERSIÓN MAGNÉTICA DE NEUTRONES
Dispersión magnética
Dispersión magnética magnética
ELÁSTICAmagnética
INELÁSTICA
Estructuramagnética
Espectro demagnones
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Diagrama de difracción de neutrones
del Fe. Las reflexiones observadas
satisfacen la
regla de índices para una estructura BCC
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Espectro magnón de una aleación FCC
de Co (92%Co-8%Fe) a temperatura
ambiente. La
línea continua representa la expresión
teórica de
dispersión, para vectores de onda
ka<<1
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ONDAS DE SPÍN EN ANTIFERROMAGNÉTICOS
Conclusion: Existen varios sublattice con spines relativos opuestos
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Ferromagnetos
ANTIFERROMAGNETOS
: Son los vectores de spin de las dos lattice
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Cerca del GS Holstein-Primakoff
Energia del antiferromagneto
GS(?)
Representacion de Bloch
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Transformación Boliubov
Reglas de conmutación de
bosones
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Hamiltoniano Antiferromagnético
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Energías de Magnones
Ferromagnetos
Antiferromagnetos
Ejemplo: Dispersion para MnF2
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Energia del GS en Antiferromagnéticos
Energía de una configuración perfecta antiferromagnetica
Contribucion de k=0
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∆E = EzMax – Ez
0 ≈
CONCLUSION: El GS no corresponde con nuestra idea primitiva de orden antiferromagnétos.
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ORDEN FERRIMAGNÉTICO
DOS SUBCELDAS CON SPINES ORIENTADOS ANTIPARALELAMENTE Y DESCOMPENSADOS,LO QUE IMPLICA UN MOMENTO
MAGNÉTICO TOTAL NO NULO
EJEMPLO:
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ESTRUCTURA ESPINELA
mineral espinela
MgAl2O4
8 posiciones tetraédricas: A
16posiciones octaédricas: BJAB > JAA , JBB
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COMPORTAMIENTO DE LAS INTERACCIONES
Los campos medios de canje que actúan sobre las redes de spins A y B son:
con α,β γ g constantes positivas y donde los signos - ponen de manifiesto la
interacción antiparalela. La densidad de energía media de la interacción es interacción antiparalela. La densidad de energía media de la interacción es igual a:
Condiciones para minimizar energía:
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TEMPERATURA DE CURIE Y SUSCEPTIBILIDAD