Golpe de Ariete Parte 1

8/19/2019 Golpe de Ariete Parte 1

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Universidad Autónoma de ChiapasFacultad De Ingeniería

Hidráulica de maquinaria y del fuo nopermanente

Docente!Ing" #omeo $alacios %uáre&"

'ra(ao!

)olpe de ariete

Alumno!*uis +anuel Calvo Hernánde&

'u,tla )uti-rre&. Chiapas"

/0 de 1oviem(re de 2034


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Golpe de ariete

1. Introducción

En el momento en que se acciona la válvula de una tubería que contienen un

líquido sometido a presión se altera la velocidad del mismo en la sección contiguaal dispositivo y se provoca una transformación de energía cinética a energía depresión. Esto implica la aparición de presiones locales distintas a las que habíaantes de la perturbación, lo que significa que se ha formado ondas de presión ygradientes que las inducen a propagarse. El conjunto de ondas generales, llamadoten de ondas, se propaga alejándose de la válvula por la tunería hasta alcanzaruna masa de líquido suficientemente grane como para reflejarse en ella y regresarhacia la válvula. icho tren de ondas se combina con las que se siguenproduciendo en la misma válvula.

El fenómeno se!alado se conoce con el nombre de golpe de ariete y debeanalizarse cuidadosamente para determinar la magnitud de las presiones genera ydise!a una tubería capaz de resistirla.

"e trata de un cierre, se representa, en una primera instancia, una sobre presión yse habla de golpe positivo, así como se denomina golpe negativo al depresiónproducida en la primera fase de una abertura. En general, se dice que el golpe espositivo en las fases donde hay sobrepresión y negativo en las que e#isten unadepresión.

$a razón por la que la presión no cambia en el punto E, localizado al principio dela tubería se e#plicara en la descripción del fenómeno que se hará en este mismotema. %simismo se ha comprobado e#perimentalmente que la distribución lineal depresiones a lo largo de la tubería es una consideración aceptable.

El golpe negativo es típico en las tuberías de descarga de las bombas y sepresenta en la primera fase de una falla s&bita de la energía eléctrica, ya que lasuperficie brusca de la carga dinámica creada por la bomba produce los efectosde una apertura en el e#tremo de una tubería del tipo pasivo.


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2. Conceptos principales utilizados en el análisis de golpe de ariete

Celeridad: es la velocidad con que se propaga la onda de presión a lo largo d latubería 'apro#imadamente la velocidad del sonido en el agua(

Periodo: es el tiempo en segundos que tarda la onda de presión en ir da la válvulaal vaso 'o pozo de oscilación( y reflejarse hasta llegar nuevamente a la valvula. "i$ es la longitud de la tubería de presión, el periodo es )* +$a

Tiempo de maniobra: el tiempo en segundos que dura un cierre o una aperturade la valvula

Maniobra instantánea o brusca: aquella que dura como má#imo - periodo, es

decir t ≤ ).

Maniobra instantánea o gradual es la que dura más de - periodo es decir t / ).

Tiempo relativo de maniobra: es aquel n&mero de periodos que dura la

maniobra es decir θ=τ /T .


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. Calculo de espesor de una tuber!a de sección circular

0na vez analizado el golpe de ariete debe dise!arse la tubería de presión demanera que resista las presiones má#imas que vayan a presentarse. 1ara esto sepresentara en seguida la formula que permite resolver el problema para el caso de

las tuberías llamadas de pared delgada, que son aquellas en las que el espesor δ de la pared es menor que --2 del diámetro

en la figura 3.4 se representa, como cuerpo libre, la mitad superior de una tuberíasometida a una presión p. las tensiones 5v indicadas en los e#tremos representanlas fuerzas tomadas por la otra parte de la tubería. "e observa que todas lasfuerzas horizontales d5h se eliminan, por lo que el equilibrio se logra con lasverticales.

El equilibrio estará po la e#presión.

5v * ∫0

π

2

p r sen∅d∅= pr

6 si f s es el esfuerzo de trabjo del material, deberá cumplise

5s * f sδ

%l igualar la dos ultimas e#presiones y despejar δ se tiene


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δ = pr

f s

7 como suele escribirse la e#presión en función del diámetro d

δ = pd2 f s cs

cs es un coeficiente que se usa en ocasiones para ocasiones para considerar el

efecto de remaches o soldadura8 su valor oscila desde -, par tuberías sin costuras,hasta 2.9 en los casos más favorables. En este te#to se supondrán siempre elprimer caso.

1or otra parte la paredes de la tubería deben tener un espesor mínimo quegarantice suficiente rigidez para que sea posible transportarla cuando este vacía.El espesor recomendado para este fin es

δ min=d+100400

[ d y δ ,enmin ]


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". #cuaciones de golpe de ariete

Este fenómeno puede simularse matemáticamente con un sistema de dosecuaciones simultáneas8 a saber, la ecuación de continuidad. 1ara llegar a ellas esnecesario hacer las siguientes consideraciones

- :o hay fricción

+ "e toma en cuenta las deformaciones de la tubería y la del líquido, ambasdentro del límite elástico. Esto significa que este análisis no se acepta lasimplificación, nuy usada en otros casos, de suponer que el agua esincomprensible.

4 E#iste una transformación de energía de presión, delimitada por el frente deonda

; $as tuberías son de pared delgada ' δ


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".1#cuación de dinámica

En la figura 3.9 se representa una tubería inclinada con una válvula en su e#tremoinferior.

d%. El peso especifico γ corresponde al del liquido ya deformado por el e#ceso

de presión debido al golpe de ariete, y el peso del ramo en cuestión es d?.

"i se aplica la ley entre - y + en la dirección del eje = se tendrá

[−( p+dp )+ p−γ dx senα ] ( A+dA )dt = γ

g

( A+dA ) dx [ – (V +dV )+V ]

"e simplifica a

dp

dx+γsenα =

γ

g

dv

dt

6 es equivalente a

dh

dx=

1

g

dv

dt −senα

$a tubería es horizontal, desaparece el &ltimo término.

1or otra parte, las variables p y v son funciones rigurosamente de # y t pero unrazonamiento basado en la teoría ya e#plicada, permite ver que ambas son


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función, en forma significativa, &nicamente de una sola variable, lo permite escribir la ecuación.

".2#cuación de continuidad

@omo en el caso anterior, en la fig. 3.A se representa un tramo de tubería de largod#, pero ahora interesa conocer, en dicho tramo, el comportamiento del volumendel liquido que está sometido a un cambio dp en la presión, producido por el!golpe de ariete durante un tiempo dt. Es por eso que en esta figura se hanachurado los elementos diferenciales y su significado es el siguiente

• v- es el elementos diferencial de volumen del liquido que se pierde por la

deformación provocada por el incremento dp en el tiempo dt.

• v+ es el elemento diferencial de volumen de la tubería que aumenta pordefecto de la deformación producida por dp en el tiempo dt.

1or otra parte, debido a la compresibilidad del líquido y a la deformación de latubería, el volumen que entra en el tramo deformado de ancho d# en el tiempo dtes tubería, el volumen que permanece en el tramo de ancho d# durante dt debidoa las deformaciones tanto del líquido como tubería es decir

d v3=d v

1+d v

2

Estos elementos tienen seg&n la figura 3.A y las definiciones anteriores, losvalores siguientes

d v1=d (dx )( A)


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d v3=

π

4 [ ( d+d (d ) )2 ] dx

E#presión que desarrolla y despreciado diferenciales mayores al segundo grado,tiene el valor

d v2=

πd

2∙d (d ) ∙dx

6 como dv4 es la diferencia entre el volumen que entra y el que sale en elincremento de tiempo considerado, su valor es

dv3[−(V + aV ax dx)+V ] ( A+dA ) dt

Bue equivalen, bajo el mismo criterio de presión anterior a

dv3=−aV

ax dxdtA

El problema consiste ahora en determinar los valores de la deformaciones delliquido d 'd#( y de la tubería d'd(. Esto se hará con base en la consideración +vista en el tema 3.;

En efecto, si se llamae

al modulo de elasticidad del líquido y se acepta que sudeformación se debe e#clusivamente de e#presión, cuyo valor es

dp=∂ p

∂ t dt

1roducido por el fenómeno en estadio8 la ley de


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d v1=

A

e

∂ p

∂ t dt dx

1or otra parte, haciendo referencia a la tubería, si el esfuerzo de trabajo delmaterial es f s debe cumplir.

f s= pd

2s (cs=1)

6 el esfuerzo tomado por el incremento de presión dp será

df s= d

2 s dp=

d

2s

∂ p

∂ t dt

%hora la ley de hooCe, el e#ceso de esfuerzo que provoco la deformación d 'd(,e#clusivamente a consecuencia del golpe de ariete, tiene el valor

df s= ! d(d)

d

onde E es el modulo de elasticidad del material de la tubería. "i se igualan las

dos &ltimas e#presiones y se despeja la deformación d'd( debida al incremento depresión dp, se tendrá

d (d )=πd2

4

d

δ!

∂ p

∂ t dt

Bue sustituida

dv2=

π d2

4

d

δ!

∂ p

∂ t dt

dv2=

Ad

δ!

∂ p

∂ t dtdx

"ustituyendo ahora 3.;.e, 3.;.f y 3.;.g en la condición original 3.;.c, se tendrá


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−∂ V ∂ x

dxdt A= A

e

∂ p

∂ t dtdx+

Ad

δ!

∂ p

∂ t dt dx

Bue equivale a

−∂ V ∂ x

=(1

e+ d

δ! ) ∂ p∂ t %hora bien, la celebridad de una onda de presión en un tubo con un líquido en suinterior está dada por la e#presión

a=

√ g /γ 1

e+

d

!δ

$o que permite escribir 3.;.h en la forma

−∂ V ∂ x

= g

γ a2

∂ p

∂t

−∂ V ∂ x

= g

a2

∂ p

∂ t

$a dirección del eje # que la velocidad del agua sea negativa cuando va del vaso

hacia la valvula. "in embargo por simplicidad se considera positiva, lo que implica

un cambio en el signo de ∂ V /∂ x en la e#presión anterior, por lo cual se escribe

en la forma

∂V

∂ x =

g

a2

∂ h

∂t

Bue es la ecuación de continuidad del golpe de ariete. 1or lo que respecta a laformula 3.;i, si se refiere al caso más com&n que es una tubería de acero conagua en su interior, los módulos de elasticidad tienen los valores

e=2.07 x104 "g/cm2 y !=2.1 x106

"g/cm2

Bue equivale a


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a= 1425.016

√1+0.009857 dδ [m / s ]

1. $%&'CI() *# +&&I#,I P+-+ &+$ #C'+CI%)#$ *#& G%&P# *#+-I#T#

El problema consiste ahora en resolver las dos ecuaciones diferencialesDdinámica y de continuidadD como simultaneas, que es precisamente lo que hizo$orenzo %llievi siguiendo el procedimiento que se presenta a continuación.

∂ h

∂ x=

1

g

∂V

∂ t − senα #6.4 $ %

∂V

∂ x =

g

a ²

∂h

∂ t #6.4

$ &

El investigador mencionado observo que estas ecuaciones corresponden ala solución de iemann que, para este caso tiene la forma

V =V ˳−g

a [ ' (t − xa )+ f ( t + xa )]#6.5 $a

h=h ˳− xsenα + '

(t −

x

a )−f

(t +

x

a )#6.5 $ %

"e deja al lector la comprobación de que las e#presiones anteriores son lasolución de las ecuaciones del golpe de ariete.

$a función 5 y f son evidentemente incrementos 'o decrementos( depresión, como puede deducirse de la e#presión 3.9.b el significado preciso deestas funciones no es muy relevante, ya que %llievi pudo eliminarlas siguiendo elprocedimiento que se e#plica a continuación

@uando #*$, es decir, al principio de la tubería de presión 'figura 3.9(, lapresión es siempre la misma y tiene el valor h * h o F $senG, y esta condición defrontera sustituida en la e#presión 3.9.b. permite concluir que

' ( t − (a )=f ( t + (a )


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"i sustituimos t por t =t ₁− (

a

onde t- es un tiempo fijo cualquiera, medido desde que empezó aproducirse el fenómeno, se obtiene

' ( t ₁−2 (a )=f ( t ₁)

Es decir, la función f tiene el mismo valor que tenía la 5 un periodo antes. "ise designa con el sub índice i el n&mero de orden del periodo, la ecuación generalanterior puede escribirse f i * 5iD-H 3.9.c

0tilizando ahora esta propiedad, pueden escribirse las e#presiones 3.9.a.3.9.b. para el periodo i, en la forma

V i=V ˳−g

a ( ' i+ ' i)₁ ) #6.5 $ch$

hᵢ=h ˳− xsenα + ' i− ' i)₁ #6.5 $ d $

"i se recuerda que las ondas de presión son producidas por la válvula8 en lasección contigua a ella, es decir, cuando # * 2 siempre habrá discontinuidadespor lo que se trata de una sección a la que conviene referirse. Entonces, al final

del primer periodo junto a la válvula, las e#presiones anteriores toman la forma

V ₁=V ˳−g

a ( ' ₁+ ' ˳ )

h₁=h ˳+ ' ₁− ' ˳

5o * 2 debido a que indica la sobre presión antes de que empiece lamaniobra, lo que puede también deducirse de 3.9.d, para i * 2, ya que en esemomento 5o * 5D- y lógicamente, 5D- es nula.

%l final de cada periodo i, para # * 2, pueden escribirse las dos ecuaciones3.9.d y 3.9.ch, respectivamente, en la forma '5o * 2(

i '%( 'I(-

+

h- * ho > 5-

h+ * ho > 5+ F 5-V ₁=V ˳−

g

a ' ₁


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4h4 * ho > 54 F 5+ V ₂=V ˳−

g

a ( ' ₂+ ' ₁)

V ₃=V ˳−g

a ( ' ₃+ ' ₂)

n hn * ho > 5n F 5nD- V =V ˳− ga

( ´ ' + F ) ₁)

%llievi elimino las funciones 5 y dedujo el sistema de un par de ecuacionespara cada valor de i a una sola por periodo, utilizando el siguiente procedimiento.

%l final del primer periodo, es decir, para i * -, de las ecuaciones 'I( sedespeja 5-8 con este valor puede escribirse la ecuación '%( correspondiente, en laforma

h₁−h ˳=g

a (V ˳+V ₁)

"i se suman ahora las dos primera de la serie '%( y se ordenan lostérminos, se tiene

h+ > h- F +ho * 5+

6 si se resta la segunda ecuación de la primera del sistema 'I( y se

despeja 5+, se obtiene

' ₂=a

g (V ₁−V ₂)

Bue sustituida en la anterior queda

h₂+h₁−2h ˳=a

g (V ₁−V ₂)

@on el mismo procedimiento pueden eliminarse las demás funciones 5 yllegar a una serie de ecuaciones que tienen la forma siguiente

h₁−h ˳=a

g (V ˳−V ₁ )


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h ₂+h₁−2h ˳=a

g (V ₁−V ₂) H 3.9.e

h₃+h₂−2h ˳=a

g (V ₂−V ₃)

.

.

.

h +h ) ₁−2h ˳=a

g(V ) ₁−V )

Estas ecuaciones resolverían el problema si hubiera forma de conocer lasvelocidades del agua J-, J+, etc., al terminar los periodos -, +,. . . Esta dificultadtambién la resolvió %llievi en la forma que luego se e#plicará8 pero antes seintroducirá el concepto de velocidad de inercia, representado por el símbolo JK. $avelocidad de inercia es la velocidad del agua en la tubería antes de empezar unamaniobra de cierre o después de terminar una apertura, lo que significa que J Ksiempre es mayor que cero. En forma semejante se designara %K a la apertura dela válvula en las condiciones de inercia 'véase la figura 3.L(.

"i se divide ahora las ecuaciones 3.9.e entre h o y el segundo miembro de

ellas se multiplica y se divide por JK, se tendrá

h₁

h ˳−1=

aV

gh ˳(

V ˳

V −

V ₁

V )

h₂

h ˳+

h₁

h ˳−2=

aV

gh ˳(

V ₁

V −

V ₂

V ) H 3.9.f


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h₃

h ˳+

h₂

h ˳−2=

aV

gh ˳(

V ₂

V −

V ₃

V )

%llievi relacionó los cambios en la velocidad con la ley de maniobra de laválvula haciendo las consideraciones siguientes

En la figura 3.L se esquematiza el e#tremo de una tubería con una válvulapara el caso de un cierre y de una apertura gradual.

En cualquier momento i, la velocidad en la tubería es J i y si la presión es h i,

la velocidad del chorro en la descarga bale AV i=* A ᵥ √i 2 ghᵢ

6 para las condiciones de inercia AV =* v A∗√ 2gh ˳

onde %K es el área hidráulica correspondiente a la apertura de la válvulacuando la velocidad en la tubería es J K.

"i se acepta que el coeficiente de velocidad @v no varía durante elfuncionamiento 'lo que no es una concesión grande, ya que en general se haignorado la fricción(, y se divide miembro a miembro las dos ecuacionesanteriores, se obtendrá

A∗¿√h₁h ˳ #6.5 $ gV i

V =

Aᵢ

¿

E#presión que elimina la necesidad de conocer numéricamente lasvelocidades y solo e#ige el conocimiento de la ley de maniobra de la válvula.

%ntes de continuar es conveniente presentar la notación que introdujo %llievi, yaque permite simplificar más el sistema de ecuaciones. icha notación es lasiguiente

aV ∗¿

2gh ˳ #6.5 $ h$ 1

+=¿

$lamada constante de Allievi

ᶓ ᵢ2=

hᵢ

h ˳#6.5 $ h $2


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A∗¿#6.5$ h $3

ɳᵢ= Aᵢ¿

@on esos símbolos, la e#presión 3.9.g puede escribirse

V ∗¿=ɳᵢᶓᵢV i¿

6 las ecuaciones 3.9.f, en la forma siguiente

ᶓ ₁2−1=2 +(ɳ ˳ᶓ ˳−ɳ ₁ ᶓ ₁)

ᶓ ₂2+ᶓ ₁2−2=2 + (ɳ ₁ ᶓ ₁−ɳ ₂ ᶓ ₂)

ᶓ ₃2+ᶓ ₂2−2=2 + (ɳ ₂ ᶓ ₂−ɳ ₃ ᶓ ₃)

. 3.9.i

.

.

ᶓ ²́+ᶓ ²́ )₁−2=2 + (ɳ ́)₁ ᶓ )́ ₁ɳ ❑́ᶓ ́ )

Bue es la forma en que se presentan las llamadas ecuaciones en cadena de Allievi. Estas son ecuaciones comunes de segundo grado, cuyas incógnitas sonᶓ -, ᶓ +, ᶓ 4..., una vez obtenidas, permiten calcular las presiones totales h -, h+, h4,H,utilizando la definición 3.9.h.+. :ótese que cada una de las ecuaciones se apoyaen los resultados de la anterior, por lo que un error en cualquiera de ellasrepercute en las subsecuentes.

1or otra parte, como las ecuaciones se han obtenido para la válvula, que esdonde se cumple un periodo completo, cada una de ellas difiere de la contigua enun periodo, y esta condición debe respetarse, pero esto no significa que no puedacalcularse presiones para fracciones de periodos, por ejemplo, si se deseaconocer la presión cuando han transcurrido +.49 periodos, es decir h+.49, esnecesario calcular antes ᶓ2.49, ᶓ-.49 y ᶓ+.49, de manera que cada paso difiera delcontiguo en un periodo completo.


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esde luego, además de los datos hidráulicos del problema, es necesarioconocer los valores de ɳ i para cada valor i deseada8 es decir, la ley de maniobrade la válvula. El ejemplo más simple es el del cierre instantáneo 'M * )(. En este˂caso

A ˳= A∗∴ɳ ˳=1 ᶓ ˳=√h ˳h ˳

=1

6 después del primer periodo

A ₁=0∴ɳ ₁=ɳ ₂=ɳ ₃=#=ɳ ❑́=0

$uego la primera de las ecuaciones 3.9.- queda

ᶓ ₁2−1=2 +(1−0)

ᶓ ₁2=2 +1+1

6 como

aV ∗¿gh ˳

ᶓ ₁2=

h ₁

h ˳ y2 +=¿

$a ecuación anterior equivale a

aV ∗¿g

h ₁=h ˳+¿

Bue es el resultado de la fórmula de NouCovsCy, 3.4.a.

%l final del segundo periodo, la segunda de las ecuaciones 3.9.i, yasustituidos los valores que acaban de obtenerse, y utilizando las definiciones3.9.h, tiene la forma8

aV ∗¿gh ˳

−2=0

h ₂

h ˳+1+¿


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Bue equivale a

aV ∗¿g

h₂=h ˳−¿

6 análogamente pueden obtenerse los demás valores, que son

aV ∗¿g

h₃=h ˳+¿

aV ∗¿g

h₄=h ˳−¿

aV ∗¿g

h₅=h ˳+¿

Etcétera.


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2. #$ *# CI#--# +P#-T'-+ &I)#+&.

@onocida la ley O%iD iP bajo la que se acciona la válvula, puede obtenerse paracada i el valor de i, aplicando simplemente la definición 3.9.h.48 y una vesƞcalculados estos valores pueden sustituirse en las ecuaciones de %llievi 3.9.i y

resolver el problema en la forma descrita.

En muchos casos se considera que la ley de maniobra es lineal, aunquerigurosamente no lo sea, ya que cuando se trata de tiempos peque!os estaconsideración no lleva a errores apreciables8 por ello aquí se presenta este caso yen adelante será el que se aplique

En la figura se indica el cierre y la apertura lineal, para el tiempo relativo de

maniobra θ .

$os triángulos semejantes de la fig. permiten escribir, para el caso de un cierrelineal

Ai

A¿=θ−iθ =1− iθ

Es decir, el área de descarga de la válvula varía seg&n la ley

i *Ƞ 1−i

θ


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6 análogamente, para la apertura lineal.

i *Ƞi

θ

*'-+CI%) *# &+$ $%/-#P-#$I%)#$ P+-+ CI#--# /-'$C%

#) *I0#-#)T#$ $#CCI%)#$ *# &+ T'/#-I+

En la figura 3.-2 se indica el tiempo que dura la presión provocada por elgolpe en secciones alejadas de la válvula a una distancia #.

1or ejemplo, si x=3

4 ( , el frente de la onda de presión tarda

3

8T en llegar a

ese punto y en ese momento se sobre eleva la presión anterior a un valor

, h

.Esta situación se mantiene estable hasta que pasa por la sección otra vez la ondadespués de reflejarse en el vaso y propagarse en dirección contraria, lo quesucede al cabo de un cuarto de periodo. En ese momento cae el valor h o, que es

el proveniente del vaso. Este valor se mantiene constante durante3

4T 8 que es

el tiempo en que la onda se refleja en la válvula, haciéndose negativa, paraalcanzar nuevamente en la sección en estudio.

$a figura 3.-2 muestra claramente que las secciones en que dura más laperturbación son las que están más alejadas del vaso y, desde luego, la seccióncontigua a la válvula '# * 2( es la más afectada. @omo además la válvula es unmecanismo delicado. "e comprende que sea una sección prioritaria para suestudio.


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El valor de Qh se calcula a partir de la fórmula de %llievi para la má#imasobrepresión posible, si el cierre es brusco, o a partir de la fórmula de Richaud siel cierre es lento. "e recomienda considerar como cierres bruscos a los que seproduzcan a partir de cada posición de la válvula.

$os valores de SCS a adoptar deben ser suministrados por el fabricante de laválvula ya que, en general, dependen fundamentalmente del dise!o del órgano.onde la importancia del caso lo requiera, también podrán ser investigadose#perimentalmente mediante ensayos sobre prototipos del fabricante. 1ococonfiables son los datos correspondientes a la válvula esclusa convencional,debido a que este dise!o es el menos apropiado para la regulación de caudales."u función debe ser limitada a la del órgano de seccionamiento y esabsolutamente desaconsejable su uso como órgano de regulación. Ello noobstante, se transcribe a continuación los datos e#traídos de manuales de usocorriente. En general, las válvulas esclusas necesitan un T2U de su carrera decierre para disminuir el gasto en valores del orden del +2U. $a marcada falta de

proporcionalidad entre la carrera y el caudal es un efecto indeseable en lasmaniobras de cierre y apertura, y constituye la causa de una variación no lineal dela velocidad. % continuación se dan valores de SCS correspondientes a dosacreditados dise!os que se construyen en el país bajo licencia.


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V7:% 1E:0$% 1%% E$ @%"7 E @WEE

0na vez terminada la maniobra de cierre, es decir, cuando ya han transcurrido ɵperiodos ɳ 5* ɳ >-5 * ɳ >+*5 ɳ >n5 *2, por lo que para el periodo >- la ecuaciónɵcorrespondiente de las 3.9.i se tiene la forma

'Ƹ >-5 (+ > 'Ƹ 5 (+ D+*2

Bue puede escribirse

'Ƹ >-5 (+ *+D'Ƹ >-5 (+

6 análogamente

'Ƹ >+5 (+ *+D'Ƹ >-5 (+

*+D'+D'Ƹ5(+ (

*'Ƹ 5 (+

$o que significa que h >+5 * h5, y así sucesivamente8 es decir

h >45 * h >-5

h >;5 * h >+5 *h5

h >95 * h >45 * h >-5

h >n5 * h >nD+5

Esto quiere decir que después de terminado el cierre total parece una repeticiónde presiones cada dos periodos, y se presenta la llamada zona pendular, quepuede verse en la figura 3.--.

7bsérvese que para llegar a esta zona es necesario calcular el momento e#actoen que termina la maniobra. :o tendría sentido, por ejemplo, calcular un valor

como h D2.95 con las ecuaciones de %llievi, apoyándose en h D2.95 , ya que estorompería la continuidad de las ecuaciones haciéndolas invalidas, al terminar lamaniobra a la mitad del periodo.


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7tra observación importante es que 'Ƹ 5 (+ debe ser siempre menor o igual a +8 esdecir, la &ltima presión en el cierre de be cumplir necesariamente con la condición

h5X* +h2. esde luego, y sobre todo en la zona pendular, e#iste el peligro de quelas presiones bajen a la zona de cavitación, o inclusive den valores por debajo delceo absoluto, lo que indica que debe aumentarse drásticamente el tiempo decierre hasta obtener resultados que tengan sentido. Esto implica que siempre debe calcularse 'Ƹ 5 (+ y dar por bueno el análisis sólo si este parámetro es menor que+.


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)#C#$I*+* *# M#*I- #& TI#MP% *# M+)I%/-+ #) P#-I%*%$

"i se observa la forma general de las ecuaciones de %llievi

'Ƹn (+ >'ƸnD- (+ D+*+ 'ƿ ɳ iD-Ƹ iD- D ɳ i Ƹ i(

"e puede concluir que para el mis valor de en dos tuberías diferentes, lasƿpresiones calculadas serán idénticas si lo valores correspondientes de ɳ -,ɳ+…,también son los mismos para ambas, ya que así se tendrán e#actamente lasmismas ecuaciones. $as ɳ son iguales siempre que el tiempo relativo de maniobra

sea el mismo y, desde luego también la ley de maniobra.ɵ

En otras palabras, el parámetro es el que de fine el comportamiento del golpe deɵariete en una tubería, o dicho de otra forma el tiempo que dura la maniobra

metido en periodos, y por esta razón se se!ala que el tiempo absoluto demaniobra por sí sólo no tiene mayor significado.

%hora bien, si, por definición

*' (*'ɵ Ƭ Ʈ Ƭa6+$(

y se acepta que la celeridad es la misma en dos tuberías de presión - y + delongitud y tiempos de maniobra distintos, ambas trabajarán bajo los mismosefectos del golpe de ariete, si cumplen con la condición ɵ - * ɵ +, equivale a

Ƭ-*'$-$+(' Ƭ+( '3.-2.a(

Es decir, para que estén ambas sometidas a las mismas presiones, si una de ellases más larga, su válvula de be accionarse con mayor lentitud y a la inversa. Ystaes una de las razones por las que las tuberías de presión deben ser tan cortascomo sea posible, ya que así permiten maniobras más rápidas.


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#emplo .2

En las tuberías - y + se tienen los siguientes datos

a1=a2 7-* 7+

8-*-3s $-*922 m

a "e desea cerrar la + en 8+*-2s y que ambas trabajen bajo las mismas

presiones. ZBué longitud debe tener esta &ltima[

b Z@uánto debe valer 8+ si $+*-+22m, bajo las mismas condiciones[

$olución

a "eg&n 3.-2.a$+*$-'8+ 8-(*922'-2-3(*4-+.92

b 8+*'-+22922('-3(*4L.; s

Esto quiere decir que si 8+X4L.; segundos, la tubería + estará sometida a mayoresesfuerzos que los aceptables.


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G-+0IC+$ *# +&&I#,I P+-+ ,+&%-#$ #3T-#M%$

%llievi elaboro las gráficas que aparecen en las figuras 3.-+ y 3.-4, que se!alan el

valor e#tremo -2

en función de + y θ . Estas gráficas están hechas para

maniobras lineales, pero en general pueden utilizarse en la mayoría de los casos,aunque la ley de cierre o apertura no sea rigurosamente esta8 sobre todo cuandose desee obtener resultados rápidos. $a grafica 3.-4 a indica, además de losvalores e#tremos, el momento en que se presentan, se!alando con la líneaspunteadas O"P '"W * primer periodo, etc.(, y allí puede verse lo ya dicho en elsentido de que esos valores no necesariamente acontecen al terminar periodoscompletos.

Ese investigador también demostró que, para cierre, si +


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0(-M'&+ *# MIC4+'*

Richaud propuso una fórmula para calcular lamá#ima sobrepresión \hmá# producida por elgolpe de ariete en un cierre lento. "u e#presión

implica que dicha sobrepresión má#ima

es directamente proporcional a la debida de uncierre instantáneo 'la calculada con 3.4.a(, einversamente proporcional al tiempo relativo decierre ], es decir

\ hmá# *

aV ∗¿gθ¿

* +h2 ƿ

θ

Bue equivale a

\hmá# *2V ∗ (

gτ

Richau no se!ala ning&n rango de aplicabilidad

para la fórmula. "in embargo, :ecleba dice que

es válida sólo si +

θ ^ -.-.

"i esta condición fuera verídica, la fórmula sería muy buena. 6a que la condiciónanterior se presenta en un gran n&mero de casos. "in embargo, no es así, comopuede observarse en el siguiente ejemplo

JK * -2 ms

"i a * -222 ms

$ * -222 m

_ * -3 s

h2 * +22m


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$a fórmula de Richau dice que

.hm/x=2 x 10 x 1000

9.81 x 16=127.42m

6 como

+

θ=2.55

8=0.32


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"i se piensa en aceptar sólo valores del lado de la seguridad, ] deberá ser siempre menor que -.9, pero esto no es suficiente, porque el error llega hasta2.;-L para ] * 2.L, lo cual es inadmisible. En realidad, si se permite un error

relativo má#imo de +U '`h0 0 2.2+(, el estudio concluye que la fórmula de

Richau es válida solamente bajo la siguiente condición

-.;L ≤ +

θ ≤ -.92

1or lo que su rango de aplicación es prácticamente nulo y si ] ¿ -.9 el error

aumenta desproporcionadamente, y lo que es peor, da resultados menores que losreales 'véase el cuadro 3.-(.

b @uando ¿ -, lo recomendable es seguir el criterio de %llievi8 es decir

hmá# * h-.

"e han presentado estos desarrollos porque se considera conveniente que elproyectista esté enterado del peque!o rango en que la fórmula de Richau esaplicable. 7tra razón es la preocupación de que la sencillez de la fórmula atrae amuchos ingenieros, e inclusive a algunos autores que la recomiendan en sus librossin se!alar, en muchos casos, sus limitaciones.


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/ibliogra5!a:

3": +A'AI;. Claudio" +ecánica de Fluidos y +áquinas Hidráulicas" +-,ico.

Golpe de Ariete Parte 1

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