Golpe de Ariete

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRESFACULTAD DE INGENIERADEPARTAMENTO DE HIDRULICACTEDRA DE "CONSTRUCCIONES HIDRULICAS"ESTUDIO DE TRANSITORIOS:GOLPE DE ARIETEVERSIN AL 22/08/2005Ing. Luis E. PREZ FARRS Ing. Adolfo GUITELMANConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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INDICEECUACIONES Y CONCEPTOS BSICOS3DESCRIPCION DEL FENOMENO3CASOS EN LOS QUE SE PUEDE PRODUCIR EL FENOMENO8TEORA DE BASE DEL FENOMENO8LAS ECUACIONES DE SAINT VENANT8INTERPRETACION FSICA DE LAS ECUACIONES9TEORA DE ALLIEVI10SOBREPRESIONES EN LA FAZ DE GOLPE DIRECTO12DIAGRAMAS ENVOLVENTES DE PRESIONES MXIMAS Y MNIMAS13TRAMOS REGULADOS CON VALVULAS AL PIE13TRAMOS DE IMPULSION18EJEMPLOS PRACTICOS19MTODOS NUMRICOS PARA EL CLCULO DE SOBREPRESIONES22METODO DE LAS CARACTERSTICAS22DEDUCCION Y UTILIZACION DEL MTODO22CONDICIONES DE BORDE26MTODOS DE ACOTAMIENTO271.MTODO DE PUJOL27

CALCULO DE LOS CAUDALES PARA CADA GRADO DE CIERRE27CALCULO DE LA SOBREPRESION MAXIMA PARA CADA GRADO DE CIERRE29VALORES DE "K" Y CARACTERSTICAS DE LAS DISTINTAS VALVULAS COMO ORGANOS DE REGULACION29RECOMENDACIONES Y CRITERIOS DE SELECCION302.MTODO DE LOS DIAGRAMAS TRIANGULARES DE SOBREPRESIONES MXIMAS32GENERALIDADES32

CONCEPTOS Y ECUACIONES FUNDAMENTALES33PROCESO DE CALCULO Y DISEO423.CRITERIO DE MENDILUCHE-ROSICH PARA TRAMOS DE IMPULSION46MTODOS DE ATENUACION48

1- OSCILACION DE MASA482.CMARAS DE AIRE53

CRITERIO DE PREDIMENSIONAMIENTO DE CAMARAS DE AIRE552.PROTECCION DE IMPULSIONES CON VLVULAS DE AIRE Y VLVULA ANTICIPADORA DE PRESION57NOCIONES BASICAS ACERCA DE LAS VALVULAS ANTICIPADORAS DE PRESION57

PROTECCION DE IMPULSIONES594.CMARAS COMPENSADORAS Y DEPOSITOS DE DESCARGA62ANEXO I: DEDUCCION DE LAS ECUACIONES DE SAINT VENANT63

ANEXO II: CLCULO DE LA CELERIDAD DE LA ONDA EN EL CASO DE TUBOS DE PARED GRUESA 68BIBLIOGRAFA71Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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ESTUDIO DE TRANSITORIOS: GOLPE DE ARIETEECUACIONES Y CONCEPTOS BSICOSSe conoce con el nombre de transitorios a los fenmenos de variacin de presiones en las conducciones a presin, motivadas en variaciones proporcionales en las velocidades.Cuando la variacin es tal que implica el impedimento de escurrir, es decir, velocidad final nula, y cuando adems, las oscilaciones de presin por ese motivo son grandes, al fenmeno se lo denomina golpe de ariete.Se podra definir al fenmeno de Golpe de Ariete como la oscilacin de presin por encima o debajo de la normal a raz de las rpidas fluctuaciones de la velocidad del escurrimiento.En realidad, el fenmeno conocido como "Golpe de Ariete" es un caso particular del estudio de los movimientos transitorios en las conducciones a presin. La diferencia se encuentra en que los transitorios implican variaciones de velocidad - y su correlacin con la transformacin en variaciones de presin - de pequea magnitud, mientras que el "Golpe de Ariete" implica las grandes variaciones, de velocidad y presin.Las maniobras de detenimiento total, implican necesariamente los golpes de ariete de mxima intensidad puesto que se pone de manifiesto la transformacin total de la energa de movimiento que se transforma en energa de presin.DESCRIPCIN DEL FENMENOCon el objetivo de analizar el fenmeno fsicamente, estudiaremos el caso del cierre instantneo del obturador, el que, a pesar de ser una abstraccin terica, posibilita una ms fcil comprensin del problema. Decimos que el cierre instantneo es una abstraccin, porque los rganos de cierre, por rpido que acten siempre demandaran un tiempo para completar la obturacin del caudal. Ello no obstante, en la realidad prctica se producen cierres que pueden adaptarse a ese criterio y que como se estudiar, no son deseables puesto que, como adelantamos, pueden producir sobrepresiones mximas.En la Figura 1a representamos en una secuencia de dibujos, un conducto de dimetro D y longitud L, conectado a un embalse de capacidad infinita l inclinado, para mayor generalidad. La conduccin puede ser regulada por el obturador O situado aguas abajo y las coordenadas l las medimos desde el mismo hasta el embalse M donde adquiere el valor L.El primero de los dibujos esquematiza las condiciones previas al cierre instantneo del obturador, es decir el rgimen permanente y uniforme. Los dibujos representan situaciones posteriores al cierre, el que se opera en un instante inicial t0.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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MhoDObturador totalmente abierto - rgimen permanenteO

hcD + MD+DOpara t = t0 + t = t0 + l/cchD+DOpara t + t0 + L/c = t + DMchD MD-DOpara t = t0 + 2L/c + t

para t = t0 + 2L/c + MD+DOpara t = t0 + L/cMDhOh MD-DOpara t = t0 + 3L/c

Mpara t = t0 + 4L/chDOcD MD-DOpara t = t0 + 3L/c + tFigura 1aInterpretacin fsica del golpe de ariete para el cierre instantneoConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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La primera capa de lquido en contacto con el mismo y de espesor diferencial, pasa de velocidad U a velocidad nula. Necesariamente la energa cintica se transforma en potencial, elevndose la presin a un valor h y comprimindose el lquido en + .Para un instante posterior (t0 + t) otra capa de lquido pasa por el mismo proceso, dando como resultado que el fenmeno de aquietamiento de las capas y consecuentemente aumento de presin- se propague en el sentido de O a M con una cierta velocidad que llamaremos c celeridad de onda.Como por otra parte el material de la conduccin tiene un mdulo de elasticidad E, se deformar el conducto a causa del aumento de presin.En la Figura 1a se representa todo el proceso, hacindose la aclaracin que las sobrepresiones por golpe de ariete, de acuerdo a lo dicho, deben representarse sobre el eje del conducto y no sobre su proyeccin como se hace en otros captulos de la hidrulica de las conducciones. Es por ello que en todos los casos se rebate la verdadera magnitud del conducto sobre la horizontal.Transcurrido un tiempo t del cierre del obturador, el fenmeno alcanzar la seccin a la distancia l = c t.La conduccin entre O y L se encontrar con una sobrepresin h y consecuentemente dilatada en un D + D. Por otra parte el lquido se encontrar comprimido siendo su masa especfica + tal como se describe en la Figura 24. En la longitud L l las condiciones son las de antes del tiempo de cierre del obturador, puesto que el fenmeno an no ha llegado a esa regin.En el tercer dibujo se esquematiza la situacin para el preciso instante en que la perturbacin ha llegado, en virtud de su celeridad c, al punto M. Toda la tubera se encuentra dilatada en D + D, el lquido detenido (U = 0) y su masa especfica aumentada . Todo ocurre en el tiempo t0 + L/c.Analizando la seccin M nos encontramos con que un infinitsimo dentro de la conduccin reina la presin hM + h y un infinitsimo dentro del embalse la presin es hM.Esta situacin de no equilibrio se resuelve mediante una nueva conversin de energa, pero ahora de potencial a cintica. Obviamente el sentido de la velocidad ser ahora de O a M y su magnitud igual a U, puesto que sta fue la causa de la generacin de h.En un instantett0 + + , la situacin ser la del 5 dibujo. En el tramo L l tendremosLcdimetro D, puesto que ha desaparecido la sobrepresin, el lquido a la masa especfica por la misma razn y a la velocidad U, propagndose el fenmeno de descompresin tambin con celeridad c.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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2L Un infinitsimo antes del tiempo t0 +, esta situacin est llegando al obturador,cencontrndose la conduccin en el mismo estado que instantes previos al cierre del obturador, con la sola excepcin de la velocidad que tiene ahora signo opuesto.Al llegar a la seccin del obturador (tiempo t0 +) la velocidad U no puede propagarse2Lcpuesto que ste est cerrado por lo que ocurre un proceso similar al del instante de cierre, con la diferencia que ahora U se convierte en depresin -h.2LEn el 6 dibujo se esquematiza el proceso para el instantett0 ++ , donde se aprecia quechasta la seccin 1a la conduccin est sometida a una presin disminuida en h con respecto a la esttica, la masa especfica del lquido disminuida tambin en y el lquido detenido. El resto de la tubera se encuentra en condiciones normales a excepcin de la velocidad que tiene signo negativo.En el instante t0 + , la situacin anterior habr llegado al embalse siendo vlido el anlisis3Lchecho para el instante t0 +(3 dibujo) a excepcin de los cambios de signo. En efecto, unLcinfinitsimo dentro del embalse la presin es hM y un infinitsimo dentro de la conduccin es hM - h. Esta situacin de no equilibrio se resuelve con una nueva conversin de energa de potencial en cintica, dando lugar nuevamente a la velocidad original U.3L En el instantett0 ++ , esta perturbacin habr llegado en mrito a la celeridad c hasta lacseccin Ll , siendo de destacar que en ese tramo se ha llegado finalmente a las condicionesiniciales. Finalmente, en el instantet0 + se vuelve a los parmetros iniciales, encontrndose el4Lc

obturador cerrado y reinicindose nuevamente el proceso, el que habr de continuar indefinidamente si no se tienen en cuenta los efectos amortiguadores de las prdidas de energa.Ahora, dicho ciclo se repite una y otra vez, pudiendo ocasionar graves daos a la tubera. En la prctica, la onda es amortiguada por las prdidas de friccin producidas por el escurrimiento, lo que hace que se extinga luego de un intervalo de tiempo que depende de cada situacin. Igualmente, mientras dura la onda, sus efectos son tan importantes que su estudio merece especial atencin.En la Figura 1b se esquematiza el fenmeno en forma resumida. All se pueden observar las sobrepresiones y las depresiones producidas en los distintos instantes de tiempo. El tiempo t0 corresponde al tiempo de cierre de la vlvula (t0 = 0 en este caso). Tambin puede observarse el sentido del escurrimiento y el sentido de avance de la onda (con celeridad c) para cada caso.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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AhhFigura 1bResumen del Fenmeno de Golpe de Ariete para cierre instantneoAh ht < t0 : Escurrimiento en rgimen permanente (vlvula totalmente abierta)t = t0 + Att = t0 + L/ct = t0 + L/c + Att = t0 + 2L/ct = t0 + 2L/c + Att = t0 + 3L/ct = t0 + 3L/c + Att = t0 + 4L/cMovimiento Transitorio(Vlvula Cerrada)



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CASOS EN LOS QUE SE PUEDE PRODUCIR EL FENMENOAdems del caso ejemplificado anteriormente, existen diversas maniobras donde se induce el fenmeno:Cierre y Apertura de Vlvulas.Arranque de Bombas.Detencin de Bombas.Funcionamiento inestable de bombas.Llenado inicial de tuberas.Sistemas de Proteccin contra Incendios.

En general, el fenmeno aparecer cuando, por cualquier causa, en una tubera se produzcan variaciones de velocidad y, por consiguiente, en la presin.Como puede observarse del listado anterior todos estos fenmenos se producen en maniobras necesarias para el adecuado manejo y operacin del recurso, por lo que debemos tener presente que su frecuencia es importante y no un fenmeno eventual.TEORA DE BASE DEL FENMENO Las Ecuaciones de SAINT VENANTLas ecuaciones que rigen los movimientos transitorios en conducciones a presin son las de SAINT VENANT:

2+p U Z +2 .g lU1tg1ra. ECUACIN DESAINT VENANTf2.U. Ug.D-j*+ U+ c 2 t ll02da. ECUACIN DESAINT VENANTU 1 p p Donde:- Z es la altura sobre un plano de comparacin arbitrario del eje de la conduccin.- p/ es la altura de presin en cada seccin y en cada instante (p es la presin y el peso especfico del agua).- U es la velocidad media en cada seccin y en cada instante. - g es la aceleracin normal de la gravedad.- j* es la "prdida unitaria de energa hidrulica.- t es el tiempo- l es el camino a lo largo del eje (coordenada curvilnea).- c es la celeridad o velocidad de propagacin del fenmeno transitorio, que resulta (para tuberas de pared delgada):Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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pc =1.+e E.D


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En la que:- es el mdulo de compresibilidad del agua.- es la masa especfica del agua.- D es el dimetro interno de la conduccin.- e es el espesor de la misma.- E es el mdulo de elasticidad del material de la conduccin.La deduccin de estas ecuaciones puede verse en el ANEXO I del presente trabajo.En el ANEXO II, adems, se detalla el clculo de la celeridad "c" para el caso de tubos de pared gruesa y galeras excavadas en rocas.Interpretacin Fsica de las EcuacionesLa elaboracin de las ecuaciones de SAINT VENANT, con el objeto de posibilitar una mejor interpretacin fsica, y su integracin, lleva a las expresiones "de las caractersticas", dadas por: = lc. t

c =Z 0Q j * dmlh g. En la Figura 3 puede apreciarse la interpretacin fsica de referencia.De las ecuaciones y la figura se deduce que en un instante dado el fenmeno "variacin de velocidad y su correspondiente variacin de presin" es un fenmeno que se propaga con celeridad c. En un instante t, en la abscisa l, la sobrepresin por sobre el valor esttico, estar dado por:h Z h Z ho= Los trminos Zh a su vez estn dados por:Z Z ph = +Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETEConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

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Es decir, la suma de las alturas del eje sobre el plano de comparacin y la altura de presin en m.d.c. (metros de columna de agua).

C Q g hFrente de ondaC(Ley arbitraria)0j* dZhZhoObturadorl' = C t'l = C tFigura 1Interpretacin Fsica de las Ecuaciones de Saint VenantA su vez h resulta de la diferencia entre los segmentos dados por:lc Qyj * dlg0El ltimo siempre sustractivo del primero, lo que indica el efecto amortiguador de las "prdidas de energa.Ntese que el primero puede escribirse:c. V=c( U V)gg

En la que:- U es la velocidad media de escurrimiento permanente (es decir antes de la maniobra de obturacin).- V es la velocidad media en cada una y todas las secciones para cada grado de cierre del obturador.Teora de AllieviConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

El estudio analtico de Allievi parte de las Ecuaciones de Saint Venant, introduciendo algunas simplificaciones que posibilitan su integracin, a la vez que acota el problema a las aplicaciones ingenieriles (grandes oscilaciones de velocidad y, consecuentemente, de presin). Las simplificaciones mencionadas consisten en que:U U(1)Considera las prdidas de energa despreciables0

j* = f 2 .g.D(1)Tiene en cuenta nicamente variaciones violentas de velocidad en el tiempo, por lo que

U ppueden despreciarse los trminos convectivos U y U frente a l l U pU y Urespectivamente.t tDebe destacarse la validez de estas simplificaciones en nuestro anlisis ya que sera errnea la idea de que las mismas se realicen pura y exclusivamente para simplificar la matemtica. El fin perseguido es ese, las simplificaciones propuestas estn avaladas empricamente y son vlidas, ya que:(1)Las prdidas de energa son generalmente bajas en comparacin con las presiones que se manejan en el fenmeno del Golpe de Ariete. Adems, al no considerarlas estamos del lado de la seguridad ya que su efecto es puramente amortiguador.El fenmeno del Golpe de Ariete se hace importante, y merece atencin, cuando las condiciones de cambio de velocidad son drsticas, pues es entonces cuando se generan las condiciones de sobrepresin ms peligrosas. Si esto no es as, el transitorio que se produce es generalmente soportable por cualquier tubera, por lo que no hace falta estudiarlo en profundidad. Se destaca, adems, que la mayor sobrepresin se logra en el cierre total puesto que as se pone de manifiesto toda la energa o impulso del cilindro de agua.

En los ejemplos que veremos ms adelante, quedar verificado lo anteriormente dicho. Con estas dos simplificaciones, las ecuaciones de Saint Venant quedan:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

1U

ltgp Z + 1 p=2 U+0 ltc

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2 U=0l 2Si ahora derivamos la primera con respecto al tiempo (teniendo en cuenta que Zf(t)) y la multiplicamos por y, por otro lado, derivamos la segunda con respecto al recorrido y la multiplicamos por c2:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

22p+U=02t l t2p+c2


l tConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

Restando una ecuacin de la otra:

22U U2=t 2cl 2Repitiendo esta operacin pero al revs, es decir derivando la primera ecuacin respecto del recorrido y la segunda respecto del tiempo, se obtiene: 2 p 2 p 2= c22 tlLa que, si tenemos en cuenta que la variacin de la densidad en el recorrido y en el tiempo es despreciable frente a la variacin de las alturas de la columna lquida, puede escribirse:

22 hhc 2 =lt 22Puede verse, si se recuerda la ecuacin de la Cuerda Vibrante de D'Alambert, que la estructura matemtica de estas dos ecuaciones es idntica a la de aquella. Por lo que su integracin (por analoga) lleva a:

l c + l c = h F t 1+ F t2h h 0g l l F t +F t1 2c c c = = U U VDonde:F1 y F2 son dos funciones que se propagan del obturador al embalse y del embalse al obturador respectivamente, ambas con una celeridad c.V es la velocidad del fluido cuando el obturador est parcialmente cerrado.

U es la velocidad del fluido cuando el obturador est totalmente abierto. Sobrepresiones en la Faz de Golpe DirectoLa faz de golpe directo es aquella en la que la funcin F2 no acta. Como F2 tiene signo contrario a F1, en esta faz se obtendrn las mximas sobrepresiones.

Se denomina Tiempo de Fase al lapso que tarda la onda en ir y volver del obturador al embalse:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

Tfase =2LcDonde L es la longitud de la tubera.Si hacemos, en las ecuaciones derivadas de la teora de Allievi, F2=0 obtenemos:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

= h F t 1 l c


Y, por lo tanto, = V U VgcF1 l t c Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

U V g .c p( U V)g= h c


Cuando se llega al "cierre total", V = 0, por lo que V = U, con lo que se obtiene la famosa expresin de ALLIEVI, de la mxima sobrepresin posible por "golpe de ariete:hMAX = U.cgDIAGRAMAS ENVOLVENTES DE PRESIONES MXIMAS Y MNIMAS Tramos Regulados con Vlvulas al PieLa teora y la prctica demuestran que las mximas sobrepresiones posibles se logran para los casos en que la maniobra de cierre sea menor que el tiempo que tarda la onda en su viaje de ida y vuelta al obturador. Este tiempo lo denominaremos tiempo crtico Tc y vale:Tc=2LcSiendo :L : Longitud de la tubera.C : Celeridad de la onda. Esta se calcula como :

c=1+EeDDonde:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

- es el Mdulo de Compresibilidad del lquido. - es la Masa Especfica del Lquido.- E es el Mdulo de Elasticidad del material de la tubera. - e es el espesor de la tubera.- D es el dimetro de la tubera.Maniobra de Cierre BruscoLa maniobra de cierre que denominaremos brusca cumple la condicin:TMCB 2L

c

La teora nos ensea que la mxima sobrepresin no llega al mximo y que est dada por la expresin de MICHAUD: h * =2L U

g TMCL

Ntese que al hacer TMCL lo suficientemente grande, se puede hacer tan pequeo como se desee el valor de h*.El diagrama envolvente de sobrepresiones mximas resulta para el caso de maniobras de cierre lentas, un tringulo como el esquematizado en la Figura 5.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

h* = 2LU g TCLLOFigura 5Diagrama de sobrepresiones mximas para maniobras lentas de cierreNotas Importantes Acerca de la Validez de los DiagramasSin embargo, todos los elementos conceptuales hasta aqu vertidos se basan en una hiptesis de difcil realizacin prctica, que es la denominada maniobra lineal de cierre del obturador.Esta maniobra es difcil de lograr en la prctica puesto que las vlvulas en general, afectan al caudal recin a partir del 70% o ms de su carrera de cierre, por lo que podemos creer realizar una maniobra conducente al diagrama de la Figura 5 y en la realidad estamos ms cerca de un diagrama como el de la Figura 4. Este hecho se soluciona operando an mucho ms lentamente las vlvulas en los tramos finales de la carrera de cierre.Por otro lado, es importante destacar que la Ley de MICHAUD slo es vlida para leyes de cierre lineales (difciles de conseguir en la prctica). Es decir que se puede utilizar en casos de cierres de la forma graficada en lnea llena en la Figura 6.

0.8 Uo0.2 UoTiempo0.2 Tc0.8 TcTcVelocidad en el obturadorUoLEY DEMICHAUDFigura 2Leyes de CierreConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

Si la maniobra de cierre produce una variacin de la velocidad del fluido en el obturador similar a la ejemplificada en lnea punteada superior, es decir que disminuye muy poco la velocidad en una porcin muy grande del tiempo de cierre (cayendo luego a cero en un lapso muy corto), sea cual sea el tiempo de cierre, las condiciones no sern las de MICHAUD y las sobrepresiones sern mayores que las previstas por ste.Si, en cambio, se utiliza una maniobra de cierre como la ejemplificada en lnea punteada inferior, la teora de MICHAUD nos deja del lado de la seguridad.Es importante prestarle atencin a este tema ya que suele traer confusiones dando la idea errnea que, si Tc > 2L/c (cierre lento), las mximas sobrepresiones estarn dadas por la expresin de MICHAUD. Como vimos, no siempre es as.Retomaremos el tema con mayor profundidad cuando estudiemos el "Mtodo de los Diagramas Triangulares".Tramos de Impulsin

Hn0n1n2n3Q = 0QQ Q3210QEn las impulsiones, el fenmeno de Golpe de Ariete se presenta cuando, por alguna causa, se produce un detenimiento de las bombas.La descripcin a travs de un detenimiento instantneo resulta intuitiva pero es obvio que el detenimiento instantneo de la masa rotante del grupo motor-bomba es fsicamente imposible, por lo que el detenimiento tendr lugar en un tiempo T0. Sin embargo, en la realidad, el tiempo que interesa T es el que implica el cese del gasto impulsado por la bomba y es menor que T0.En efecto, en la Figura 8 se grafican las curvas H-Q de la instalacin y las sucesivas curvas caractersticas de una bomba para nmeros de revoluciones decrecientes (n0... n3).Figura 3Puntos de Funcionamiento para Distintas nNtese que an con n3 r.p.m. el gasto Q se hace nulo. El tiempo que nos interesa es justamente el necesario para que la masa rotante pase de n0 a n3 r.p.m. y deje de aportar gasto.Si este valor de T es menor que Tc=2L/c, nos encontramos en el caso de "cierre brusco" y parte de la conduccin estar sometida a la mxima sobrepresin h=c.U/g. En cambio, si el tiempo de cierre es mayor, estamos en el caso de cierre lento, con sobrepresiones menores y que podemos calcular con la expresin de Michaud ya expuesta anteriormente.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

g2000 m.- El diagrama envolvente ser:Acero: e = 3 cm. 10.33 m.h MX= 276 m.Ho = 50 m.Ejemplos PrcticosPasaremos a analizar tres ejemplos concretos de maniobra lineal para los diferentes tipos de cierre. En todos los casos supondremos un tramo simple regulado aguas abajo y supondremos a la tubera horizontal para que H sea representativo de los trminos de presin sin necesidad de descontar el trmino Z. Por otra parte, no se considera el efecto amortiguador de las prdidas de energa, por lo que los resultados quedan del lado de la seguridad.(1) Cierre Instantneo. Datos:Tubera de Acero, 50 cm de dimetro, L=2000m, espesor 3 cm.Ho = 50 mUo = 2 m/s

- Calculamos la celeridad de la onda:

6x1 02,1 6=m=1356c4s12,2x1 0x50D.+61+E.ex32,1x1 0- La sobrepresin mxima (vlida para la faz de golpe directo) de golpe de ariete vale: c.U h = 0 =276m.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

(2) Cierre Brusco. Datos:Tubera de Asbesto Cemento, 60 cm de dimetro, L=3000m, espesor 5 cm.Ho = 60 mUo = 1 m/sTiempo de cierre: Tc = 4 seg

- Calculamos la celeridad de la onda:

c

=

6

x1 0

.

D

1+

E.e

2,1 6

980

m

2,2x1 0 x 604

2,1x1 0 x 55

s

1+

- Calculamos 2L/c = 2x3000/980 = 6,1 seg > Tc Cierre brusco.- La sobrepresin mxima (vlida para la faz de golpe directo) de golpe de ariete vale: c.U h =0 100m.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

- El diagrama envolvente ser:1/2 c Tc = 1960 m. 10.33 m.Asbesto Cemento: e = 5 cm.g3000 m.h =100 m.Ho = 60 m.


(3) Cierre Lento. Datos:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

Galera excavada en roca, L=1000m, E=200000 kg/cm2.

Ho = 70 m

Uo = 2 m/sTiempo de cierre: Tc = 4 seg

- Calculamos la celeridad de la onda (aplicamos la frmula del Anexo 2):

6x1 02,1 6c=2 1()+ 1+2,2x1 0 x2(1 0,1)4+m1318s2000001+E2kgcm- Calculamos 2L/c = 2x1000/1318 = 0,52 seg < Tc Cierre lento.- La sobrepresin mxima (vlida para la faz de golpe directo) de golpe de ariete vale:2 .L.U h =0 =204m.g.Tc

h =204 m.Ho = 70 m. 10.33 m.1000 m.- El diagrama envolvente ser:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

MTODOS NUMRICOS PARA EL CLCULO DE SOBREPRESIONES METODO DE LAS CARACTERSTICASDeduccin y Utilizacin del mtodoEl mtodo de las caractersticas consiste esencialmente en la resolucin numrica, con las condiciones de borde impuestas por cada problema.Es importante destacar que el mtodo de las caractersticas es el ms general que se dispone para resolver el problema, no habiendo simplificaciones que distorsionen los resultados y siendo, adems, el ms difundido.El mtodo parte de las dos ecuaciones de Saint Venant introduciendo la siguiente definicin para simplificar matemticamente:H=Z+p p = ( HZ)p (ail az)(H Z) ; p y(aH ) p.g (aH Z)y= P.gatat atat tatat tZat tVeamos, entonces, cmo se transforman las ecuaciones al efectuar el reemplazo:1 ECUACIN DE SAINT VENANT:La ecuacin original es:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETEConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

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t

Z+[ 2U.: +1 U g tU. Uf2. g.Dp

1tZ +.gUgU +t1 U + f U. U 0 g t2. g.Dp +Haciendo el reemplazo:tConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

UU.HU1tU+fU+0tt2.g.DggZ+tZ+t


UMultiplicando entonces por g, llegamos a:

gU+U+H +f UUt0 L22.D t t2 ECUACIN DE SAINT VENANTConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

U 1La ecuacin original es:U++0lc2l(ppt

U +lp = 0 tU p 1 c 2 lc2Multiplicando por c2,c 2 U + Up + p = 0ll tEfectuando el reemplazo,0c 2 U + U.p.g(aH Z )+ p.g az)alat atat atAhora, considerando que az = 0 y que Z =sen tat, la ecuacin se transforma en:

c2+p.g.0H + .g.U sen + .g H = 0Ulat tPor ltimo, si dividimos por .g se llega a que:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETEConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

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L1C 2 U + U H + H +Usen=0g ll tConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45


Estas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (L1 y L2) no lineales en U y en H en funcin de l y t no responden a ninguna solucin general, pero s se pueden resolver aplicando el mtodo de las caractersticas y adecuarlas a una solucin en diferencias finitas en computadora.Esto ltimo es lo que nos ocupar a continuacin.Las ecuaciones L1 y L2 contienen dos incgnitas: U y H. Adems, estas ecuaciones se pueden relacionar a partir de un multiplicador desconocido:L = L1 + . L2Ahora, un par de valores cualquiera, reales y distintos, da un par de ecuaciones en U y H que conservan el significado fsico dado por las ecuaciones de L1 y L2.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

Para hallar esos valores de , calculamos L:L = H l2 H U c U U. U()U .g+ +U ++ U. sen + . f= 0t + + lg. t 2 .D

Y, teniendo en cuenta que:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETEConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

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ydl t tdl t tdHdt H l+ H dUdt U l+ UConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETEConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

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c 2g.

Podemos deducir que: ltU+ .g

lU+c2t .gY, por lo tanto,U .g U+ = +Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETEConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

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= cgConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETEConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

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c+c-

Estos dos valores de reales y distintos convierten a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en un par de ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir:

dH+cdU+ U. sen +c.fU.U0Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

gdtdt2.g.Dd lU c+dt


dHcdU+ U. sen c.fU.U0Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

gdtdt2.g.Dd lU cdt


Para comprender fsicamente estas cuatro ecuaciones, es conveniente considerar que la solucin se obtiene en un diagrama l ,t.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

Consideramos que se conocen U y H en R y en S.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETEConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

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tPc+c-SRFigura 28En la interseccin de las curvas c+ y c- las ecuaciones son vlidas y pueden dar Up y Hp. En ese punto p las ecuaciones nos dan tambin l y t.Por lo tanto, se obtienen as las soluciones a lo largo de las caractersticas, partiendo de condiciones conocidas y hallando nuevas intersecciones de forma de obtener alturas y velocidades para tiempos posteriores.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETEConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

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En los clculos usuales c>>U y podemos despreciar U en comparacin con c y, as, las lneas caractersticas son ahora rectas de pendiente c en el diagrama.

Condicin deborde AguasArribattCondiciones inicialesCondicin deborde AguasAbajoFigura 4Ahora, recordando que, en diferencias finitas:dH = Hp(I) - H(I-1) ; dU = Up(I) - U(I-1) ; dt = t Las ecuaciones, entonces, quedan:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

c+ ( Up(I) U(I 1) +)gf t U(I 1Hp(I) H(I 1) U(I 1) . sen +. tc.)2.g.DU(I 1) 0Hp(I) H(I 1)+cg( Up(I) U(I 1)+ ) U(I 1) . sen .+c.f t t U(I 1)+2.g.DU(I 1)+0


Sumando estas dos ecuaciones se elimina Up(I), y queda:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

Dividiendo una por otra:Up(N) = U0

Hp(N)

H0

Hp(I)c= 0,5 H(I 1) H(I 1)[ + + +][ U(I 1) U(I 1)sen . t. U(I 1) U(I 1) + ][ ++ ]gf t [ U(I 1) . U(I 1) U(I 1) . U(I 1) ]c.2.g.D ++Anlogamente, al restar se obtiene:Up(I)= 0,5 U(I 1) U(I 1)[ + + +][g H(I 1) H(I 1) sen . t. U(I 1) U(I 1) + ][ ++ ]c

f t [ U(I 1) . U(I 1) U(I 1). U(I 1) ]2.g + ++Estas dos ltimas ecuaciones se emplean en los puntos intermedios para obtener los valores de Up y Hp. Despus se aplican las condiciones de borde para obtener Hp(0), Up(0), Hp(N) y Up(N).Obtenido esto se reemplaza U(I) y H(I) por Up(I) y Hp(I), se incrementa el tiempo y se repite el proceso.Condiciones de BordeEn general, las condiciones de borde dependen del problema y del tramo en estudio.En el caso de un tramo regulado con vlvula al pie, las condiciones de borde son, aguas arriba (en el depsito),() 2Up(0) H Hp(0)D =+Para el flujo hacia la tubera.g2.

HD = Hp(0)Para el flujo hacia el depsito.Y, aguas abajo,

.U 0 =( c d .v) 0 . 2 .g.H 0Donde: = rea de la tubera.

H0 = carga en la vlvula.

(Cd.v)0 = rea del orificio por el coeficiente de descarga.V0 = velocidad en rgimen permanente en la tubera.

En general:

.Up(N) =( cd .v) 0 . 2 .g.Hp(N)Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

Donde es el coeficiente adimensional de apertura de vlvula:

=

t 1 tc m

MTODOS DE ACOTAMIENTO 1. MTODO DE PUJOLEste mtodo permite trazar los diagramas envolventes de sobrepresiones en el caso de caudales regulados aguas abajo con vlvulas tradicionales. Su objetivo es disear la maniobra de cierre de manera tal que los espesores de las tuberas surjan del acotamiento de las sobrepresiones mximas.Para lograr el objetivo mencionado, se determinan los valores del caudal Q, la velocidad U y el valor de la sobrepresin mxima h para varios grados de cierre de las vlvulas trazando luego, a partir de estos valores, los correspondientes diagramas envolventes para cada caso. Entonces, de la superposicin de los mismos, podr obtenerse el diagrama envolvente global para todo el cierre.Por otro lado, el mtodo considera el efecto amortiguador producido por las prdidas de carga en la conduccin adoptando como lnea de referencia (para dibujar los diagramas envolventes) la que se obtiene de considerar la mitad de la prdida total (J*/2).De la evaluacin de los diagramas, el proyectista podr deducir la ley de cierre ms conveniente, dando tiempos a la maniobra entre cada grado de cierre y manteniendo as acotados los valores mximos de sobrepresin en toda la conduccin. Por lo tanto, el mtodo posibilita el proyecto de una ley de cierre compatible con la conduccin y, en especial, con el diseo econmico de la misma.Clculo de los Caudales para cada Grado de CierreVeamos la forma de clculo considerando el caso de un conducto a gravedad alimentado por un depsito de capacidad infinita regulado aguas abajo mediante un rgano de maniobra (vlvula tipo aguja, mariposa o esclusa), segn se esquematiza en la Figura 9.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

Q, jT1J*EstticaHhvV.E.T2Figura 5Tramo Regulado Aguas AbajoDe la figura se deduce que:J*+Jv = HEn la que:J* es la prdida por frotamiento en el conducto. sta, como seguramente recordar, se puede calcular sencillamente mediante la conocida expresin de Hazen y Williams:


L1,85QJ* =*4,85C)1 , 85D(0,27 5


2Q 2D 4Jv es la prdida localizada en el rgano de cierre, la que puede evaluarse con la tradicional funcin cuadrtica:

U3Jv k= = 82,6 x1 0 . k2 .gDonde k es una constante adimensional que depende del grado de cierre del rgano de maniobra.H es la altura disponible.


Como, evidentemente, J* y Jv varan con el caudal, la ecuacin anterior puede ser resuelta mediante la interseccin, en el plano Q-H, de las curvas correspondientes, tal como se representa en la Figura 10.

hNivel Esttico (Nivel en T1)J* = f1(Q)HJv = f2(Q)Nivel en T2Figura 6QCaudal en el Punto de FuncionamientoReemplazando los valores de J* y Jv, la expresin a resolver ser:A .Q 1 ,85 + B.Q 2 H =0Siendo:3 kLA = ;B 82,6x1 0 .4=(0,27 5*C) .D1 , 85 4 ,8 5DEntonces, nuestro problema consistir en resolver esta ecuacin, por el mtodo de RaphsonNewton por ejemplo, para cada grado de cierre de la vlvula (caracterizado por el valor de k, que se extrae de las tablas correspondientes), obteniendo el caudal y, a partir de ste, la velocidad en cada caso.Clculo de la Sobrepresin Mxima para cada Grado de CierreEl valor de h se calcula a partir de la frmula de Allievi para la mxima sobrepresin posible, si el cierre es brusco, o a partir de la frmula de Michaud si el cierre es lento.Se recomienda considerar como cierres bruscos a los que se produzcan a partir de cada posicin de la vlvula.Valores de "k" y Caractersticas de las Distintas Vlvulas como rganos de RegulacinConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

Los valores de "k" a adoptar deben ser suministrados por el fabricante de la vlvula ya que, en general, dependen fundamentalmente del diseo del rgano.Donde la importancia del caso lo requiera, tambin podrn ser investigados experimentalmente mediante ensayos sobre prototipos del fabricante.Poco confiables son los datos correspondientes a la vlvula esclusa convencional, debido a que este diseo es el menos apropiado para la regulacin de caudales. Su funcin debe ser limitada a la del rgano de seccionamiento y es absolutamente desaconsejable su uso como rgano de regulacin. Ello no obstante, se transcriben a continuacin los datos extrados de manuales de uso corriente. En general, las vlvulas esclusas necesitan un 90% de su carrera de cierre para disminuir el gasto en valores del orden del 20%.La marcada falta de proporcionalidad entre la carrera y el caudal es un efecto indeseable en las maniobras de cierre y apertura, y constituye la causa de una variacin no lineal de la velocidad.A continuacin se dan valores de "k" correspondientes a dos acreditados diseos que se construyen en el pas bajo licencia.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETEConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

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Porcentaje deCarrera TotalVlvulaEsclusaCerrada0,0018,141,2119,435,3520,831,3525,022,6833,311,8937,58,6341,76,3345,04,5750,03,2758,31,5566,70,77Abierta0,00

Porcentaje deCarrera TotalVlvulaAgujaVlvulaMariposaCerrado0,00,0010850,01000,0015380,0400,0020185,0200,0025122,0150,003090,080,003567,050,004047,035,004529,025,005020,015,005515,010,006012,56,006511,04,007010,82,807510,21,908010,01,00909,50,40Abierto9,00,07

Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETEConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

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Recomendaciones y Criterios de SeleccinTal como adelantramos oportunamente, debe ser analizada en profundidad la ley de cierre y deber extremarse el cuidado en cuanto a la aplicacin de las teoras sobre regmenes impermanentes, que presuponen una variacin lineal del gasto y de la velocidad.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

A fin de lograr leyes de cierre lo ms parecidas a la ley lineal, ser necesario disear con ms detenimiento el rgano de regulacin o, por lo menos, programar su maniobra.Se mencionan, a continuacin, algunas propuestas en ese sentido:(a) Reducir el dimetro nominal de la vlvula reguladora. Pese a que ello origina una prdida adicional, por lo general sin importancia, el comportamiento de la vlvula mejora cuando se la trabaja a mayor velocidad. Si el factor de reduccin de dimetros es "n", tendremos:Q 2D 4

Por lo que:n =D1D2

(n .U)223 4Jv k== 82,6x1 0 n .k2 .g(b) Utilizar actuadores programables. Con ellos ser posible adoptar por lo menos dos velocidades de cierre de manera tal que la ms lenta corresponda a la zona de vlvula cerrada 20%, tal como se indica en el diagrama de la Figura 11.

Grado de CierreAbierta - 100%50%M20%Cerrada - 0%NtTiempo de Maniobra CompletaFigura 7Cierre con Velocidades ProgramablesPara el clculo de sobrepresiones ser necesario estudiar dos puntos crticos en M y N, calculando la mayor variacin de velocidad que puede darse durante un tiempo de maniobra de 2L/c.(c) Instalacin de rganos de Regulacin Compuestos. Se conecta en paralelo con la vlvula principal un "by pass" de menor dimetro, debiendo hacer secuencial la maniobra. Un cierto equilibrio tcnico-econmico se logra adoptando una vlvula mariposa para la vlvula principal y una vlvula aguja para el by pass. Los tiemposindividuales de maniobra y la relacin de dimetro abren posibilidad a un gran nmero de variantes.En general, para la seleccin de rganos de regulacin, recomendamos lo siguiente:Si la contrapresin aguas debajo de la vlvula no existe o es dbil (por ejemplo, llegada a cisterna) adoptar vlvula aguja.Si hay considerable contrapresin (llegada a tanque elevado) adoptar la vlvula mariposa.

En todos los casos debe desecharse la vlvula esclusa.Este caso se analiza con mayor profundidad en el Mtodo de las Caractersticas.2. MTODO DE LOS DIAGRAMAS TRIANGULARES DE SOBREPRESIONES MXIMASGeneralidadesEste mtodo se aplica para analizar la ley de cierre de acueductos regulados aguas abajo con vlvulas tradicionales.Se propone el cierre secuencial con varios ramales en paralelo de dimetros decrecientes y con sus correspondientes vlvulas.El mtodo a describir puede ser utilizado para un nmero n arbitrario de ramales. Ello no obstante es oportuno aclarar que una regulacin muy fina puede obtenerse, para grandes dimetros con 3 ramales y para dimetros menores de 500 mm con 2 ramales.El fundamento del mtodo se encuentra en la "Teora de los diagramas envolventes de sobrepresiones", los que en realidad acotan el problema que nos ocupa y con la particularidad de lograrlo con ecuaciones sencillas.El procedimiento adoptado para la ley de cierre es el de cerrar las vlvulas una a una, en forma secuencial, y con maniobras que duren 2L/c, seguidas de perodos de "Uniformizacin del Rgimen" o "descanso" de nL/c segundos de duracin, variando n segn el criterio del proyectista.El tiempo estipulado para las maniobras de 2L/c se fundamenta en que la mxima sobrepresin para "cierres bruscos" tendr lugar, en el obturador, justamente en ese momento, configurando un diagrama triangular de envolventes de sobrepresiones.Cada una de las maniobras de cierre dar lugar a un diagrama envolvente triangular, el que no deber superar a un diagrama preestablecido.Es evidente, que todo esto presupone aceptar a la controvertida "ley lineal de variacin de la velocidad" como vlida, lo que puede ser aceptado, puesto que la configuracin en paralelo, y elcierre secuencial propuesto, implican el trabajo de las vlvulas, siempre en condiciones de buena regulacin para el caudal de la conduccin principal.Otro concepto digno de destacarse de la propuesta, es que se conserva el dimetro del conducto principal para el primer tramo de los ramales en paralelo, los que disminuyen fuertemente su dimetro hasta llegar al ltimo.Para el dimetro principal se adopta vlvula mariposa (ms econmica) y para los restantes pueden adoptarse combinaciones de vlvulas agujas o mariposa o simplemente alguna de las dos, para todos los ramales restantes, y a criterio del proyectista. Obviamente nunca deben adoptarse vlvulas esclusa debido a su psimo efecto regulador.Con este criterio se simplifica notablemente el clculo del caudal, puesto que el dispositivo integrado por los ramales en paralelo y sus correspondientes vlvulas no introduce prdidas de carga apreciable y permite encarar el clculo del caudal principal como si no existiera.En cambio, al producirse el cierre del ramal principal, todo el dispositivo originar una prdida de carga que reducir el caudal a un valor tal que produzca un diagrama de envolvente, compatible con la conduccin proyectada respondiendo a criterios econmicos en la seleccin de las clases.Este diagrama implicar el mximo valor de sobrepresin admisible y se impone a priori. Para lograrlo se deber proyectar una prdida de carga del dispositivo, que se ajustar con una "placa orificio". Por otra parte, las maniobras de cierre parciales y la ltima maniobra (ltimo ramal) debern generar diagramas de sobrepresiones que no superen al diagrama original o que en caso de hacerlo satisfaga las exigencias del proyectista (quin proceder a ajustar la seleccin de clases de optar por esta alternativa).Obviamente, la alternativa primera y ms racional, en caso que alguna maniobra implique mayores sobrepresiones que la del diagrama original, es la de modificar el dimensionamiento del dispositivo, o las secuencias de cierre, o ambas cosas simultneamente.El objetivo principal del mtodo propuesto es el de posibilitar el diseo criterioso y racional de leyes de cierre, por parte del proyectista de acueductos regulados aguas abajo, utilizando vlvulas tradicionales y por lo tanto ms econmicas. Siguiendo los lineamientos esbozados aqu, podr tener acotado el problema para todas las maniobras que proyecte y podr decidir las ms convenientes.Conceptos y Ecuaciones Fundamentales Clculo en Rgimen PermanenteAl proyectar el dispositivo con el mismo dimetro del acueducto para el primer tramo, puede ignorarse el efecto del mismo, para todas las vlvulas abiertas, puesto que prcticamente no produce prdida de carga, con lo que se evita la gran dificultad del clculo que implicaran n ramales en paralelo para la determinacin del caudal.Este puede obtenerse simplemente usando la expresin de HAZEN y WILLIAMS:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

Como:Se tiene que:j * = H = j . L 10 , 542 , 62 H =Q0,27 5(1)

.D 1L1

11,8 5Qj =4,851 ,85 D(0,275 .C)Nota: Posteriormente, de mediar inters, se podr calcular el caudal que pasar por cada ramal. Para ello deber evaluarse la prdida en la placa orificio y en todo el dispositivo, lo que implica el dimensionamiento del mismo, objetivo principal del presente trabajo.

j*H = J*QL1,C ,D 1Figura 8Esquema para el clculo en rgimen permanenteDispositivo de CierreDisposicin general y prdidas de cargaSe realiza el esquema del dispositivo para tres (3) ramales, tal como puede apreciarse en la Figura 13.Para el primer tanteo del mismo se recomienda que el segundo tramo cumpla con:E 1 E E 1(3)235Y el tercer tramo:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

1D 2 D 3 D 2(4)3

Q 3D (Acero)3

Material a EleccinQC90R90Q2D (Acero)2D (Acero)1VM 1 (cerrada)VM VM 23Figura 9Esquema del dispositivo de cierreEvaluamos las prdidas localizadas con el concepto de "Longitudes equivalentes" y segn las siguientes ecuaciones:L1 1 , 851 , 85 =JQA.Q=(5)(0),275 .C 1.D 11 ,854 ,85Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

J 2=(,.0 275L e2 1 85,CDa ).24 85,1 85,Q = B Q.111 85,(6)


L e 3 1 , 851 , 85 J ==(7)34, 85 2QC.Q 2(0,27 5 .C ).D1 ,85a3Nota: En caso de n ramales, un ramal genrico j cumplir con:L e j1 , 851 ,85j4, 85(j 1 )(0,27 5 .C ).D1 ,8 5aj=J(7b)Q= J.Q(j 1)De donde:L 1(0,27 5 .C 1 )14 85,8 5,.D 1A =(8)Le1(0,275 .C a )14 85, 85,.D 2B =(9)Le2(0,27 5 .C a )14 8 5,85 .D 3,C =(10)Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

Lej ( 0,275 Ca )1,85. Da+1)4,85(10b)En las que:-Lej es la longitud real ms las longitudes equivalentes (en el ltimo ramal incluye la prdida en la vlvula para cada grado de apertura).- C1 es el coeficiente para el material de la conduccin principal.- Ca es el coeficiente para el acero.Si se desea calcular el caudal que pasa por todos los ramales para todas las vlvulas abiertas,n complementaria:J1' =85 Q11,85 =A'.Q11,8 5 .D 14,1,8 5(11)(0,27 5 .C a)Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45


De donde:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE45

A' = e1(0,275 .C a85.D 1485


Dimensionado del accesorio con orificio

2QD24(13a)4D= 0, 0827Haciendo:M2. g2.=8.Q2 J1 =9, 81. (3,14)2 D24 0, 08272Q22 J

0g.A2

2.Q= 8.4g. 2. DSiguiendo los criterios del Manual URALITA (tomo ll, pg.129) o del Manual del Ing. DALMATI (pg. v-91) la prdida en la placa orificio es:(12)

D2c/=A0cU2Figura 10Placa orificio y reduccinPor otra parte, para dimensionar el orificio, tenemos del manual que:J .D2 (14)

040,0827.Q2 ==( A 12A0 > A 0,1. A0La que es vlida para:0,1.

disponemos de la ecuaciA 1500 m1,00

Por otro lado, C es otro coeficiente experimental que depende de la relacin Hm/L en la siguiente forma:

Hm/LC

0,400,00

Esta frmula terico-experimental sale de adoptar una ley de detenimiento tal que cause una variacin lineal de Q (o de la velocidad) y la teora que la sustenta se basa en que la energa cintica de la corriente ha de ser absorbida por la accin de la gravedad sobre el agua elevada despus del corte.El autor destaca, adems, que la expresin es vlida hasta pendientes de la conduccin del 20% (en la prctica, en general, son mucho menores) y que, a partir de esta, debe considerarse directamente la expresin de la mxima sobrepresin puesto que el cierre es prcticamente instantneo.La experiencia demuestra que los diagramas envolventes diagramados con este mtodo pueden tomarse como vlidos con aproximacin suficiente puesto que dan valores ligeramente mayores que los reales.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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MTODOS DE ATENUACINComo ya se mencion, el fenmeno del Golpe de Ariete genera sobrepresiones importantes en las tuberas que lo sufren.Esta sobrepresiones, cuando estn dentro de valores razonables, pueden enfrentarse dimensionando adecuadamente el espesor de la tubera (a veces engrosndolas un poco respecto de lo que necesitan para el funcionamiento en rgimen permanente).Pero, cuando la longitud de la tubera es muy grande, las sobrepresiones alcanzan valores muy altos y se debera sobredimensionar demasiado las tuberas para que puedan soportarlas con una razonable seguridad. Por ello, se recurre a mtodos de atenuacin de estas presiones mediante dispositivos especialmente diseados para tal objetivo.A continuacin, se detallan algunos de los mtodos existentes en la actualidad.1- OSCILACIN DE MASACuando en el extremo de descarga existe un reservorio de masa definida -no infinita como en el caso de aguas arriba, en lugar de un obturador, nos encontramos con el fenmeno de oscilacin de masa.En este caso, el lquido puede ser considerado en su conjunto oscilando a partir de la superficie libre del reservorio en uno u otro sentido y con celeridad infinita y U=cte para todas las secciones, con lo que U vara slo en funcin del tiempo.En realidad, el fenmeno constituye el denominado "pndulo hidrulico que se esquematiza en la figura.En el tubo en "U" de la figura, con ambas ramas de igual seccin transversal 0 , si se genera un movimiento oscilatorio de amplitud h, tendremos, en ambas ramas, igual amplitud de oscilacin h/2. La velocidad en todas las secciones es la misma para un instante dado.Si alguna de las ramas tuviera seccin transversal mayor, la oscilacin en la misma disminuira proporcionalmente a su superficie, tal como puede apreciarse en el ramal de seccin 1, dibujado en punteado en la figura.Es evidente que a medida que aumentamos la seccin 1 , h disminuye proporcionalmente y, en el caso lmite de capacidad infinita de la rama, la oscilacin en la misma sera nula.La oscilacin de masa con una de las ramas del sistema dimensionado para aceptar oscilaciones acotadas, se utiliza para proteger instalaciones de impulsin contra las sobrepresiones transitorias debidas al golpe de ariete.Por ejemplo, para proteger a una conduccin puede disponerse, antes del obturador, de un reservorio que posibilite transformar el "golpe de ariete" originado en la maniobra de cierre en una "oscilacin de masa", acotada en el reservorio, el que recibe el nombre de "chimenea de equilibrio".

h0/2D1D0h1 /2h1 /2h0h0/2UUDFigura 15Oscilacin de MasaEl fenmeno constituye un caso particular del ms general conocido como "golpe de ariete" y encuentra su diferenciacin en los siguientes hechos:a)U = cte. en funcin de L y U, variable con el tiempo t.Ello implica c = y, por lo tanto, no hay perturbaciones elsticas de la conduccin, la que en teora permanece inalterable.Al ser U = cte. con L, tambin j* (funcin de U2) resulta constante con L.

OBTURADOR

PLANO DE COMPARACIN+zh = 0

-zhQOscilacin acotada en funcin de "s"

CHIMENEA DE EQUILIBRIOEMBALSE(Capacidad Infinita)

Figura 16Instalacin con chimenea de equilibrioPara encontrar la ecuacin que acota el problema, se elabora convenientemente la primera ecuacin de Saint-Venant, en la que se consideran las consecuencias de que U no depende de l (slo del tiempo t) y que dz/ es despreciable, con lo que la ecuacin, luego de ser simplificada e integrada, queda:L gdUdtp+ + j dL=

*0Por continuidad, el volumen que sale de la conduccin es igual al incremento de volumen en el reservorio, es decir:U ..dt = S.dzObviamente, en este caso, se aplica la anterior como ecuacin de continuidad, la que resulta sumamente sencilla, no dando lugar a la complejidad que implica la segunda ecuacin de SaintVenant, puesto que c = y no se pone de manifiesto la elasticidad de la conduccin.Despejando U y derivando con respecto al tiempo, resulta:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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S d Z22=dUdtdt


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Reemplazando se obtiene:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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S L d Z+ dt2 2g* L 0=p+jL d Z2Como la sobrepresin sobre el nivel original es p = .Z, finalmente tendremos:S g2 + + * = 0Z j L dtSin embargo, no debemos olvidar que j* depende de la velocidad U en la tubera. Podemos, para una primera aproximacin, suponer una dependencia lineal de la siguiente forma:* S dZ3 2 * 3 2* j* 2

D * g *2dt=U =D* gPor lo que la ecuacin diferencial correspondiente queda:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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ABgSLd Z2dt2+Z+3 2 *D * g2*S**LdZdt0


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Y esta es una ecuacin homognea de la forma:A*Z" + B*Z' + Z = 0Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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La solucin de esta ecuacin da lugar a tres casos posibles, segn si las races de su polinomio caracterstico son:1. Reales y distintas (si B2 > 4A)SOBREAMORTIGUAMIENTOEn este caso la solucin es de la forma:


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B B 4A2 * t2 B B+4A*t


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z(t)C1*e2A+C2*e2A

Lo que da una variacin temporal, de acuerdo a las condiciones iniciales, tal como se muestra en la figura siguiente:

ZConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE


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Velocidad Inicial Positiva Velocidad Inicial Nula Velocidad Inicial NegativatConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE


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z(t) e= 2A * (C . cos( w.t) C+12sen(w.t))

2.Reales e idnticas (si B2 = 4A) AMORTIGUAMIENTO CRTICOLa solucin general en este caso es:

Z(t)B )* t( C 1 * t C 2 * e+2A

Y su variacin es de la misma forma que en el caso anterior.2.Distintas e Imaginarias (si B2 < 4A)SUBAMORTIGUAMIENTOEste es el caso ms comn, por lo que nos concentraremos en l. La solucin bsica es:

B*tConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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21 2Siendo :w == 4A BT 2AEsta solucin, como es lgico suponer, tendr la siguiente forma funcional:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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ALTURA Z(t)


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TIEMPOLas constantes C1 y C2 salen de considerar las condiciones iniciales y de borde siguientes:Z(t=0) = HoC1 = Ho

dZ(t 0) 0

= =dtB* C * w 0

=22AC2 = 0

Por lo que la ecuacin quedar:Z(t)B*t= e 2A *Ho*cos(w.t)El hecho de que la "chimenea de equilibrio" resulte, en general, una instalacin costosa, cuyo costo es proporcional a la altura h, hace que su instalacin se justifique para proteger conducciones por gravedad de muy poca pendiente. El caso ms conocido es el de la proteccin de las galeras de presin en los aprovechamientos hidroelctricos.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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2. CMARAS DE AIREEn los casos de una impulsin, resulta en la mayora de los casos impracticable la proteccin con una "chimenea de equilibrio", por lo costosa.En la Figura 21 se observa que, para proteger la instalacin de impulsin con una chimenea de equilibrio, la altura h de la misma debera superar convenientemente la altura manomtrica Hm provista por la bomba. Como en la mayora de los casos esto resulta impracticable, la chimenea puede ser reemplazada por una cmara cerrada, de dimensiones reducidas, que disponga de un cierto volumen de aire que haga las veces de amortiguador.

J*HT HmQL0DBEstacin de BombeoFigura 17Cmara de AireEs el caso de las "cmaras de aire", las que implican tambin una oscilacin de masa acotada, pero con una condicin de borde distinta.En efecto, esta no es ms la condicin:Z P=La que es reemplazada por la condicin dada por la "transformacin adiabtica del aire:KP . = 0 . 0K PEn la que:- 0 = volumen de aire en la cmara en condiciones de rgimen. - P0 = presin del aire en la cmara en condiciones de rgimen. - = volumen de aire cuando se produce el transitorio.- P = presin de aire cuando se produce el transitorio.De la ecuacin de la transformacin adiabtica surge que:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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KP = ( 0 / ) . 0PLa ecuacin de continuidad se transforma ahora en:d = U . S. dt = Q . dt En la que S es la seccin de la cmara.=0Despejando U se tiene:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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U1 dS dt

Derivando con respecto a t:dU

1 2ddt Sdt 2Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE


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Reemplazando en la ecuacin general se tiene:d 2 KL gP 0 o ++ *.

dt 2j LK KConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE


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La anterior constituye la ecuacin diferencial para la oscilacin de masa originada por cmaras de aire. Resulta integrable si j* = 0 y si k = 1, lo que significa transformaciones isotrmicas del aire.En general, todos los mtodos grficos conocidos para el dimensionado de las cmaras (VIBERT, PARMAKIAN, SLIOSBERG, etc.) se basan en estas simplificaciones.El programa desarrollado y que posibilit el clculo de verificacin y funcionamiento de las cmaras de aire, se basa en la resolucin de las "ecuaciones de las caractersticas" con las ecuaciones de las condiciones de borde adecuadas.Es de destacar, que en la realidad, no se logra la oscilacin de masa pura, aunque el movimiento se asume notablemente, como puede observarse en las planillas de los clculos. En efecto, en las mismas puede apreciarse como la variacin de la velocidad en las distintas secciones del acueducto y para cada instante, es pequea (la oscilacin de masa pura implica U=cte. con respecto al recorrido, solo vara de instante a instante en todas las secciones a la vez y debido a la celeridad infinita).Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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Criterio de Predimensionamiento de Cmaras De AireComo ya se mencion en el inciso anterior, en una instalacin de bombeo el fenmeno del "Golpe de Ariete" en la impulsin de la misma puede amortiguarse adecuadamente mediante la incorporacin Cmaras de Aire.Suponiendo un dispositivo como el de la Figura 22, el volumen de aire necesario en rgimen permanente puede estimarse analizando la transferencia de energa producida en la interfase aire-agua en la cmara.El cilindro de agua puesto en movimiento durante el transitorio puede considerarse como rgido, por lo que la dinmica de transferencia de energa se resume en la siguiente expresin:1m 2U 2,2 =3 p 00 p log p0

Donde:- m = masa del cilindro lquido.- U = Velocidad media en la tubera de impulsin.- P0 = Presin en el lquido (y en el aire en contacto con l) antes del comienzo del transitorio.- P = Presin alcanzada en el bolsn de aire al absorber la energa brindada por el cilindro.Esta ecuacin, entonces, implica la igualdad de la energa cintica del cilindro lquido con la energa absorbida en un proceso isotrmico por la burbuja de aire.

hhBEstacin de BombeoHm = po0Figura 18Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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Ahora, siendo m = ..L y =/g, se tiene que:1mU 21122= L U = L U 222 g

Y, suponiendo: = 1000 kg/m3g = 9,81 m/s2Y, adems, considerando la ecuacin de continuidad: Q = U. ,12 2m U 5 1 Q L UPor lo que:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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5 1 Q L U 2,3 p=00 p log p0

Pero:


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Q = 4 Q D 2UPor lo que:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE


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224 QLQ p 5 1 L= 64,97= 2,3 plog220 0 DDp0

2 8,25 L Q 2D p log20 p p0 =0De esta forma, imponiendo "a priori" la relacin p/p0 y suponiendo p0 Hm, se puede hacer una primera estimacin del volumen de aire inicial (previo al transitorio).Entonces, teniendo en cuenta que 0 constituye aproximadamente 1/2 del volumen total de la cmara, se podr predimensionar la misma en base a este dato (siempre teniendo en cuenta que, de tratarse de un dispositivo constituido por N cmaras, el predimensionado de cada una deber realizarse con 0'= 0/N).Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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3. PROTECCIN DE IMPULSIONES CON VLVULAS DE AIRE Y VLVULA ANTICIPADORA DE PRESINEsta solucin consiste en la instalacin de una Vlvula Anticipadora de Presin poco despus de la bomba para contrarrestar la onda positiva y negativa. Esta ltima se complementa en toda la conduccin con las vlvulas de aire, cuyo cometido es el que no sea superada una dada depresin fijada como pauta de seleccin.Esta es una solucin simple y muy efectiva. Se puede observar la sencillez de su implementacin observando la Figura 23, donde se muestra una instalacin tpica para la Vlvula Anticipadora de presin mencionada.

VLVULAANTICIPADORADE PRESINVLVULASPARAPROTECCIN DEBOMBASFigura 19Instalacin de Vlvulas Anticipadoras de PresinNociones Bsicas acerca de las Vlvulas Anticipadoras de PresinEste tipo de vlvula es automtica y est especialmente diseada para proteger bombas y tuberas del dao resultante de los cambios bruscos de velocidad del flujo ocasionados por el arranque y detencin de bombas, especialmente en el caso de detencin abrupta a causa de una falla en el suministro de energa. En la Figura 24 podemos apreciar en detalle su estructura interna.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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Referencias: 1 - Vlvula de Aislacin2 - Vlvula de Aislacin3 - Manmetro4 - Vlvula Aguja5 - Filtro de Control6 - Dispositivo de Bloqueo7 - Piloto 18 - Piloto 2

Figura 20Vlvula Anticipadora de PresinComo puede apreciarse en la Figura, se trata de una vlvula de diafragma y doble cmara. La cmara de control inferior est conectada mediante un orificio ajustado a la presin aguas abajo, lo que sirve para amortiguar el cierre de la vlvula. La cmara de control superior, que opera segn un principio de control bidireccional, est sometida a presiones variables producidas por los pilotos de regulacin y por la vlvula aguja de restriccin interna de dichos pilotos. Veamos como funciona:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE


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P2P1Presi6nAbre el PILOTO 1Abre el PILOTO 2Cierra el PILOTO 1La detencin abrupta de una bomba generalmente produce una cada en la presin seguida de un incremento importante de la misma, tal como puede apreciarse en la Figura 25.El Piloto 1 percibe esta cada inicial de presin y se abre, permitiendo que la vlvula se abra anticipando el retorno de la presin ms alta. Entonces, la vlvula libera estas presiones ms altas a la atmsfera. El Piloto 2, al sentir este incremento de presin, tambin se abre para mantener la vlvula principal abierta.

TiempoConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE


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Figura 21Presiones ocasionadas por el detenimiento de una bombaMientras la presin se disipa y se aproxima a un punto establecido, el Piloto 1 se cierra, entonces la presin en la cmara de control superior comienza a crecer y la vlvula principalConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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se cierra, permitiendo que la presin del sistema se incremente hasta el valor de presin prefijado para la apertura del Piloto 2.Independientemente de la anticipacin de la onda de presin, esta vlvula tambin mantiene un nivel mximo de presin preestablecido expulsando la presin en exceso a la atmsfera. Cuando la presin del sistema sobrepasa la presin mxima mencionada, se abre el Piloto 2, entonces la presin en la cmara de control superior decrece y la vlvula principal se abre para aliviar la presin y sostenerla en el nivel de seteo del piloto. Cuando la presin del sistema cae por debajo de este nivel el Piloto 2 se cierra, aumenta la presin en la cmara superior y la vlvula se cierra, para seguir manteniendo la presin de seteo.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE


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No acta ningn pilotoActa slo el PILOTO 1Presi6nP2Actan ambos pilotosP1TiempoPor todo lo dicho, entonces, se puede deducir que la operacin de la vlvula se compone de dos fases: en la primera (entre la apertura y el cierre del Piloto 1) acta como anticipadora de onda, liberando agua para reducir el pico de presin prximo a producirse; en la segunda fase, a partir de la apertura del cierre del Piloto 1, acta como una simple vlvula de alivio.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE


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Figura 22Presiones ocasionadas por el detenimiento de una bombaEn la Figura 26 se puede apreciar cmo modifica la curva de presin la actuacin de cada piloto, o de ambos simultneamente.Ambos pilotos poseen un tornillo de ajuste para establecer los niveles deseados de alta y baja presin.Proteccin de ImpulsionesEn la Figura 27 se esquematiza una impulsin y se ilustran los conceptos ms importantes. En la misma, la topografa se ha elegido de forma tal que, una parte considerable de la conduccin ser afectada por presiones negativas, a medida que sta se acerca al depsito de descarga.La altura manomtrica Hm y las correspondientes lneas piezomtricas implican o acotan las presiones del rgimen permanente.Las sobrepresiones positivas y negativas (depresiones) en la impulsin, sin ningn tipo de proteccin, quedan convenientemente acotadas por los respectivos diagramas envolventes de sobrepresiones mximas, con sus correspondientes signos, y referenciados al nivel esttico fijado por la cisterna de descarga.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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En realidad al tomar al nombrado nivel como referencia, se comete un error sin significacin tecnolgica, puesto que en la realidad la impulsin descarga unos pocos centmetros sobre el mismo.Los diagramas que nos ocupan, se obtienen de suponer maniobra lineal de cese del caudal impulsado, lo que acota convenientemente a la realidad, puesto que la verdadera ley de cese, se cuelga de la ley lineal.En el caso ms general y teniendo en cuenta que el tiempo de cese del caudal T es menor que 2L/c, se obtiene la condicin ms desventajosa (y la ms probable), dada por el diagrama de la figura en la que la parte horizontal queda acotada por el valor Tc/2 y su altura de presin la denominamos hmax. El diagrama simtrico negativo, obviamente, tendr solo validez real cuando la depresin alcance hasta 1 atm., puesto que ese valor no puede ser superado ya que implica el vaco absoluto.El valor de T, segn Mendiluche Rosich, vale:kLUT= 1 + gHmEn la que, a los parmetros conocidos L, U y g se le agregan:K, que es un coeficiente que vale 1 en impulsiones largas (nuestro caso)Hm, que es la Altura manomtrica a proveer por la bomba.

Al instalar una Vlvula Anticipadora de Presin, se fija el valor mximo positivo en un mximo preestablecido que no podr ser superado y que implicar un cierto porcentaje de la altura manomtrica que simbolizamos como (10, 15 % de Hm o lo que el proyectista estime necesario). En ese caso, la sobrepresin mxima quedar acotada por la expresin:h max = H m + H m = ( 1 + )HmEl valor mximo de sobrepresin ser acotado calibrando el piloto correspondiente de la vlvula en el valor prefijado.Evidentemente, en el caso hipottico que el diagrama de depresiones abarque a la impulsin, el piloto de la vlvula posibilitar el ingreso de aire, de manera tal que la depresin no baje de la prefijada cuando se calibr al mismo.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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H maxHmFigura 23Proteccin de Impulsiones con VlvulasEl caso esquematizado corresponde a una situacin en la que el diagrama de envolvente de depresiones, no corta a la conduccin en su primera parte por lo que en ese subtramo las presiones quedan positivas. La parte del diagrama que si corta y absorbe al tramo ascendente hacia el depsito de la conduccin, quedar acotada por la depresin admitida para las vlvulas de aire y que constituyen el parmetro fundamental para su seleccin.Si ese valor es (en m), es evidente que el diagrama de depresin admitida ser el que se obtiene de restar el valor de referencia de la altimetra del eje de la conduccin, en todo el tramo sujeto a depresiones acotado por diagrama de - h max.Ntese que la forma de contrarrestar los efectos del Golpe de Ariete con la Vlvula Anticipadora de Presin y las Vlvulas de Ingreso de Aire, a presin de lnea, constituyen un confiable sistema que resulta a todas luces ms econmico que el presentado en el numeral anterior.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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4. CMARAS COMPENSADORAS Y DEPSITOS DE DESCARGAEstos consisten en tanques de reserva ubicados en puntos estratgicos, tal como se muestra en la Figura 28.En el caso de los Depsitos de Descarga, el flujo es unidireccional, es decir que nicamente pueden abastecer a la tubera, pero no a la inversa. Para lograr esto, el sistema posee una vlvula de no retorno (Check Valve) en la tubera de conexin a la conduccin principal.La operacin de estos depsitos consiste en ingresar agua en la tubera ante una onda de presin negativa (originada por Golpe de Ariete), con el fin de contrarrestarla. Es importante destacar que este tipo de dispositivo, si est bien dimensionado, no permite, bajo ninguna circunstancia, el ingreso de aire en la tubera.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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CMARA COMPENSADORA

DEPSITO DE DESCARGA

BEstacin de Bombeo


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Figura 28Cmaras Compensadoras y Depsitos de DescargaLas Cmaras Compensadoras, en cambio, son de flujo bidireccional: cuando aparece una onda de depresin, descarga agua en la tubera; cuando viene la onda de sobrepresin, alivia a la tubera permitiendo la erogacin del caudal de la misma.Este ltimo dispositivo, adems, regula las presiones estticas en el caso del detenimiento del sistema.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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ANEXO I: DEDUCCIN DE LAS ECUACIONES DE SAINT VENANTSupongamos una conduccin de seccin circular (dimetro D) como la que se muestra en la figura siguiente, por la que escurre con una velocidad U un fluido de densidad (peso especfico = .g) y supongamos un volumen de control de seccin coincidente con la de la tubera y longitud dl .Sobre dicho volumen actuarn, por un lado, las fuerzas originadas por la presin del lquido (p) y las fuerzas originadas a raz del peso propio del volumen; por el otro lado, estarn las fuerzas resistentes al movimiento del fluido (0). En la Figura se pueden apreciar claramente la direccin y sentido de cada una de estas fuerzas, as como los valores tericos que toman.Ahora bien, aplicaremos la tan conocida Ley de Newton, segn la cual: F = m. A

pl0Lnea Piezomtricad lpp. . .dl. sen l. .ddlZPLANO DE COMPARACINp.+ l() lp. dPodemos escribir, en este caso:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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p. + p. dU ()p. dpd. .d . sen l +l + l 0 . .D.d. .dl = l ldt l


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Si consideramos que la seccin permanece constante en el recorrido (y, por lo tanto, / l = 0) y dividimos ambos miembros por . .dl :dudt1 p40 l.D+ g. sen Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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Z y que:Dividiendo por g en ambos miembros y considerando que sen = l) + UdU U UU U 1 (U 2 l= += U+=Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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dt l t t l t 2 lt


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La expresin queda:( )U 21 p Z 11 U 4 0= + .D ll2.g lgtLo que puede escribirse como:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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2 1 U 4 0 = gt .DU2.gpZ ++ l


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U2Pero, como en el flujo turbulento permanente: 0 = .f , expresin final queda:2.gConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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+p U 2 Z +2 .g l1 U f U. Ug t2. g.D1ra. ECUACIN DESAINT VENANT


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Esta expresin se conoce como "1ra. Ecuacin de Saint Venant" y cabe destacar que el trmino entre parntesis corresponde a la conocida expresin de Bernoulli.Adems, se ha colocado el trmino U2 como U.|U| a efectos de conservar el sentido vectorial de la prdida de energa en el movimiento impermanente, donde la velocidad puede cambiar de sentido.Ahora consideremos el mismo sistema que en el caso anterior, pero apliquemos sobre l la ecuacin de continuidad. Para esto, consideraremos que el caudal msico entrante (QmE) ms el caudal msico saliente (QmS) coincide con la variacin temporal de la masa en el volumen de control.En la figura siguiente se muestran los caudales mencionados:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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Lnea Piezomtricap..Uldlp. .U +() lp. .U d lPLANO DE COMPARACIN

Entonces, aplicando el balance de masas mencionado: () l(l ) .U. +.U. .U. d = . .d l t

Si desarrollamos esta expresin y dividimos a ambos miembros por la masa:U+1 U + +1 U+=0l t l t l



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1 d dtEntonces: 1 d dtConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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dt dt l0d 11d+U=+(A1)


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En esta ecuacin, el primer trmino se refiere a la elasticidad de la tubera y a su velocidad de deformacin con la presin, mientras que el segundo trmino tiene en cuenta la compresibilidad del lquido. Desarrollaremos cada trmino.Primero tengamos en cuenta la elasticidad de la tubera. Para ello, veamos la figura siguiente, donde se muestra un diagrama de cuerpo libre sobre un corte de la tubera de pared delgada:



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Tp.DTeClaramente, haciendo un equilibrio de fuerzas, se deduce que: T = p.D/2. Por lo tanto, la variacin temporal de la fuerza de Traccin T (por unidad de longitud) es:dT = D dpdt2 dtSi dividimos por el espesor de la tubera (e), obtenemos la velocidad de variacin de la tensin:d D dpConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE


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dt2edt

Si ahora dividimos por el mdulo de elasticidad E del material de la tubera, tenemos como resultado el valor de la velocidad del aumento de la deformacin unitaria y, multiplicando por el radio y el permetro de la seccin de la tubera obtenemos la velocidad de aumento de rea:d =DD dp D

dt2.e.E 2dt

(A2)De donde:1 d D dp dt e.E dtPasemos ahora al segundo trmino de la ecuacin (A1). Tenemos que, por definicin del mdulo de elasticidad volumtrico del fluido:dp

11ddpdtdt = d (A3)Entonces, reemplazando (A2) y (A3) en (A1), obtenemos:1 dp .D U 1 + +=0

Y, expresando las constantes como: c2 , llegamos a que:1+ . DE.e1 dp 2 U+ c = 0 dt l dt e.E lConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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p pPor ltimo, recordando quedtdp = l d +y multiplicando a ambos miembros por l tConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE


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2 , llega finalmente a la 2da. Ecuacin de Saint Venant:cConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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U 1 p p U+ = 0 t l +c 2l2da. ECUACIN DESAINT VENANT


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Nota: En el ANEXO II se detalla la deduccin de la expresin para calcular la celeridad "c" en el caso de tubos de pared gruesa.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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ANEXO II:: CLCULO DE LA CELERIDAD DE LA ONDA EN EL CASO DE TUBOS DE PARED GRUESASegn vimos en el ANEXO I, en el caso de tubera de pared delgada admitamos la existencia de una sola tensin circunferencial, despreciando la tensin radial, hiptesis sta que nos conduca a la Ley de Mariotte para evaluar dicha tensin y las correspondientes deformaciones.Ahora nos proponemos analizar lo que ocurre en el caso en el que el tubo sea de pared gruesa.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE


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r

tr rriretEn este caso, tanto las tensiones tangenciales (t) como las radiales (r), son no nulas.De acuerdo a la resitencia de materiales:P. ri r 22 e + 1 r 2 t =rr e 2 r i 2 r 2P . r 2 e 1 ir 2re 2 ri 2Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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Adems, la deformacin interna del tubo ser:P. r 2+i r er2i = r+ i22E rreiDonde : Coeficiente de Poison.Ahora, nos interesa evaluar:rd 2 dR 2 Rr +22dp 22+ ei 22 Er r e i Y, de acuerdo con esto,1c 2rr1 2 + 22ei ++ 22 E rrei Por lo tanto:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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=c22 ei + 2Er r 2 . +1+

Si ahora queremos comparar esta expresin con la correspondiente a tubos de pared delgada, vemos que los trminos a estudiar son: rr22DD+ei contra2contra2 + 22ee rreiVeamos unos ejemplos:1) D = 1 m; e = 5 cm; ri = 0,5 m; re = 0,55 m; = 0,2 Entonces:D=120contra2 x 0,5 50,522+ + 0,2 0,5 50,5222 1

4

,

e0,05

1) D = 150 cm; e = 3 cm; ri = 0,78 m; re = 0,75 m; = 0,2 Entonces:D=1,5050contra2x 0,7 80,7522+ + 0,2 0,7 80,7 5225 1,4

e0,03

Si, por otro lado, queremos analizar el caso de la celeridad en una galera excavada en roca ( = 0,1):Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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re En este caso, debemos considerar la expresin anterior pero ahora con re .Para eso hacemos:


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rilimre 2(1 + )rr22+ei 2 + rr22 eiConstrucciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE


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=c1+2 1( + )EPor lo tanto, la celeridad se calcula como:Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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Como puede observarse, esta expresin es independiente del dimetro de la galera.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE


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Por ltimo, de todo lo expuesto puede deducirse que siempre es posible obtener la celeridad "c" de propagacin del fenmeno a partir del comportamiento tensional de la seccin en estudio.Debe prestarse mucha atencin a este anlisis, porque podra aparecer, como consecuencia de una incorrecta evaluacin de la celeridad c, mayores sobrepresiones que las previstas y hasta la rotura de la conduccin.Construcciones HidrulicasGOLPE DE ARIETE

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BIBLIOGRAFA"Movimiento Impermanente en Tuberas" - Ing. Adolfo GUITELMAN - Publicacin CEI."Mtodo de los Diagramas Triangulares"- Ing. Luis E. PREZ FARRS."El Golpe de Ariete en Impulsiones"- Enrique MENDILUCHE ROSICH."Clases de Mquinas Hidrulicas y Aprovechamientos Hidroelctricos"- Ing. Roberto Diego COTTA."Fluid Transients in Systems"- E. Benjamin WYLIE- Victor L. STREETER."Fluid Transients in Pipe Networks"- A. BETAMIO DE ALMEIDA - E. KOELLE.Teora de los Movimientos Transitorios a Presin Ing. Luis E. PREZ FARRS




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