República Bolivariana de Venezuela

I.U.T Antonio José de Sucre

Barquisimeto, Edo - Lara

GIOVANNA GONZALEZ

24.399.732

FORMAS INDETERMINADAS

Formas indeterminadas

Involucra los límites del tipo:

Es decir, cuando una variable tiende a ese valor parece no existir o no estar definida.

Producto indeterminado

La forma indeterminada 0 • ∞

Diferencia indeterminada

En los casos en que el límite de una diferencia es , no se puede aplicar

ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a

una forma indeterminada del tipo  . Para resolver esta

indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por

los polinomios conjugados.

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de

Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo   o .

Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en

(a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.

Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual

a L. Por lo tanto,

Guillaume de l'Hôpital

Demostración

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla

de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma

requiere de argumentos de tipo ε-δ más delicados.2 4

Como g(c)=0 y g'(x) ≠0 si x≠c, se tiene que g(x) ≠0 si x≠c como

consecuencia del Teorema de Rolle.

Dado que f(c)=g(c)=0, aplicando el Teorema del Valor Medio de Cauchy,

para todo x en (a,b), con x distinto de c, existe tx en el intervalo de

extremos x y c, tal que el cociente f(x)/g(x) se puede escribir de la siguiente

manera:

Cuando x tiende hacia c, por la regla del sandwich, tx también tiende

hacia c, así que:

Nota: el último paso al límite, aunque es cierto, requeriría una justificación

más rigurosa.

 La regla de L´Hôpital permite resolver muchos casos de indeterminación de límites de funciones en un punto x = a. En principio la vamos a enunciar así:

  Un límite indeterminado de la forma:

Valdrá L, en caso de que también sea L el límite en x=a del cociente de las derivadas de numerador y denominador, es decir:

De esta manera podemos resolver indeterminaciones del tipo 0/0.

 Hallar el límite:

Este límite tiene la forma indeterminada 0/0, por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital:

Límite que sigue teniendo la forma indeterminada 0/0, pero a la cual se puede volver a aplicar la regla de L'Hôpital:

Que es en definitiva el valor del límite.

  Pero la regla de L'Hôpital es mucho más general, pues es aplicable no sólo a la indeterminación 0/0, sino también a las indeterminaciones:   / , 0× ,  -

.

  Por ejemplo, una indeterminación del tipo  / , provendrá de un límite de la forma:

En donde las dos funciones f(x) y g(x)  tiendan a infinito en x=a, y este límite obviamente no varía si lo expresamos en la forma:

Y ahora sí tiene la forma 0/0. En definitiva, la indeterminación  /  no es diferente de la 0/0.