Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones diferenciales de primer orden.
Gilberto Arenas Díaz Segundo semestre...
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Notas de clase: Ecuaciones Diferenciales
Gilberto Arenas Díaz
Universidad Industrial de Santander
Segundo semestre 2010
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónEcuaciones diferenciales Modelos matemáticos
Modelación por medio de ED
Suposiciones �! Expresar suposiciones
en término de ED�! Formulación
matemática
" #Si es necesario,
modi�car
las suposiciones
Resolución
de las ED
" #Veri�car las
predicciones � Presentar predicciones
através del modelo � obtención
de soluciones
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónEcuaciones diferenciales Modelos matemáticos
Dinámica de poblaciones
Crecimiento de poblaciones: La velocidad de crecimiento de una población esproporcional al tamaño de la población.
P : población (variable dependiente)t : tiempo (variable independiente)k : constante de proporcionalidad (k > 0)
dPdt
∝ P () dPdt= kP Modelo matemático
Análisis cualitativo Análisis analítico Análisis numérico
�Una sola ecuación diferencial puede actuar como modelo matemático paramuchos fenómenos distintos�.
Decaimiento radiactivo. Interés compuesto.
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónEcuaciones diferenciales Modelos matemáticos
Dinámica de poblaciones
Crecimiento de poblaciones: La velocidad de crecimiento de una población esproporcional al tamaño de la población.P : población (variable dependiente)t : tiempo (variable independiente)k : constante de proporcionalidad (k > 0)
dPdt
∝ P () dPdt= kP Modelo matemático
Análisis cualitativo Análisis analítico Análisis numérico
�Una sola ecuación diferencial puede actuar como modelo matemático paramuchos fenómenos distintos�.
Decaimiento radiactivo. Interés compuesto.
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónEcuaciones diferenciales Modelos matemáticos
Dinámica de poblaciones
Crecimiento de poblaciones: La velocidad de crecimiento de una población esproporcional al tamaño de la población.P : población (variable dependiente)t : tiempo (variable independiente)k : constante de proporcionalidad (k > 0)
dPdt
∝ P () dPdt= kP Modelo matemático
Análisis cualitativo Análisis analítico Análisis numérico
�Una sola ecuación diferencial puede actuar como modelo matemático paramuchos fenómenos distintos�.
Decaimiento radiactivo. Interés compuesto.
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Dinámica de poblaciones
Crecimiento de poblaciones: La velocidad de crecimiento de una población esproporcional al tamaño de la población.P : población (variable dependiente)t : tiempo (variable independiente)k : constante de proporcionalidad (k > 0)
dPdt
∝ P () dPdt= kP Modelo matemático
Análisis cualitativo
Análisis analítico Análisis numérico
�Una sola ecuación diferencial puede actuar como modelo matemático paramuchos fenómenos distintos�.
Decaimiento radiactivo. Interés compuesto.
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Dinámica de poblaciones
Crecimiento de poblaciones: La velocidad de crecimiento de una población esproporcional al tamaño de la población.P : población (variable dependiente)t : tiempo (variable independiente)k : constante de proporcionalidad (k > 0)
dPdt
∝ P () dPdt= kP Modelo matemático
Análisis cualitativo Análisis analítico
Análisis numérico
�Una sola ecuación diferencial puede actuar como modelo matemático paramuchos fenómenos distintos�.
Decaimiento radiactivo. Interés compuesto.
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Dinámica de poblaciones
Crecimiento de poblaciones: La velocidad de crecimiento de una población esproporcional al tamaño de la población.P : población (variable dependiente)t : tiempo (variable independiente)k : constante de proporcionalidad (k > 0)
dPdt
∝ P () dPdt= kP Modelo matemático
Análisis cualitativo Análisis analítico Análisis numérico
�Una sola ecuación diferencial puede actuar como modelo matemático paramuchos fenómenos distintos�.
Decaimiento radiactivo. Interés compuesto.
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Dinámica de poblaciones
Crecimiento de poblaciones: La velocidad de crecimiento de una población esproporcional al tamaño de la población.P : población (variable dependiente)t : tiempo (variable independiente)k : constante de proporcionalidad (k > 0)
dPdt
∝ P () dPdt= kP Modelo matemático
Análisis cualitativo Análisis analítico Análisis numérico
�Una sola ecuación diferencial puede actuar como modelo matemático paramuchos fenómenos distintos�.
Decaimiento radiactivo. Interés compuesto.
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Dinámica de poblaciones
Crecimiento de poblaciones: La velocidad de crecimiento de una población esproporcional al tamaño de la población.P : población (variable dependiente)t : tiempo (variable independiente)k : constante de proporcionalidad (k > 0)
dPdt
∝ P () dPdt= kP Modelo matemático
Análisis cualitativo Análisis analítico Análisis numérico
�Una sola ecuación diferencial puede actuar como modelo matemático paramuchos fenómenos distintos�.
Decaimiento radiactivo. Interés compuesto.
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IntroducciónEcuaciones diferenciales Modelos matemáticos
Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton
De acuerdo con la ley empírica de enfriamiento de Newton (o calentamiento),la velocidad con que la temperatura de un cuerpo cambia es proporcional a ladiferencia que hay entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea(temperatura ambiente).T (t): representa la temperatura de un cuerpo en el momento t,Tm: la temperatura ambiente ydT/dt: la velocidad a la que cambia la temperatura del cuerpo,la ley de Newton se traduce en el enunciado matemático:
dTdt
∝ T� Tm () dTdt= k (T� Tm) ,
donde k es una constante de proporcionalidad.
Calentamiento si Tm > T0. Enfriamiento si Tm < T0.
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Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton
De acuerdo con la ley empírica de enfriamiento de Newton (o calentamiento),la velocidad con que la temperatura de un cuerpo cambia es proporcional a ladiferencia que hay entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea(temperatura ambiente).T (t): representa la temperatura de un cuerpo en el momento t,Tm: la temperatura ambiente ydT/dt: la velocidad a la que cambia la temperatura del cuerpo,la ley de Newton se traduce en el enunciado matemático:
dTdt
∝ T� Tm () dTdt= k (T� Tm) ,
donde k es una constante de proporcionalidad.
Calentamiento si Tm > T0. Enfriamiento si Tm < T0.
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Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton
De acuerdo con la ley empírica de enfriamiento de Newton (o calentamiento),la velocidad con que la temperatura de un cuerpo cambia es proporcional a ladiferencia que hay entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea(temperatura ambiente).T (t): representa la temperatura de un cuerpo en el momento t,Tm: la temperatura ambiente ydT/dt: la velocidad a la que cambia la temperatura del cuerpo,la ley de Newton se traduce en el enunciado matemático:
dTdt
∝ T� Tm () dTdt= k (T� Tm) ,
donde k es una constante de proporcionalidad.
Calentamiento si Tm > T0. Enfriamiento si Tm < T0.
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IntroducciónEcuaciones diferenciales Modelos matemáticos
Difusión de una enfermedadUna enfermedad contagiosa -por ejemplo, un virus de gripe- se difunde en unacomunidad por medio del contacto físico entre las persona. Si x (t) indica elnúmero de personas que han tenido contacto con la enfermedad e y (t) elnúmero de personas que no han sido expuestas a ésta, parece razonable asumirque la razón de cambio dx/dt a la que se difunde la enfermedad es proporcionalal número de encuentros a interacciones entre estos dos grupos de gente. Sisuponemos que el número de interacciones es conjuntamente proporcional ax (t) e y (t), es decir, proporcional al producto xy, entonces
dxdt
∝ xy () dxdt= kxy,
donde k es una constante de proporcionalidad. Suponga una pequeñacomunidad que cuenta con una población �ja de N personas. Si una personainfectada se introduce en esta comunidad, entonces puede sostenerse que x (t)e y (t) se encuentran relacionadas por x+ y = N+ 1. Al utilizar esta últimaecuación se obtiene
dxdt= kx (N+ 1� x) .
Una condición inicial evidente que acompaña a la ecuación es x (0) = 1.
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Difusión de una enfermedadUna enfermedad contagiosa -por ejemplo, un virus de gripe- se difunde en unacomunidad por medio del contacto físico entre las persona. Si x (t) indica elnúmero de personas que han tenido contacto con la enfermedad e y (t) elnúmero de personas que no han sido expuestas a ésta, parece razonable asumirque la razón de cambio dx/dt a la que se difunde la enfermedad es proporcionalal número de encuentros a interacciones entre estos dos grupos de gente. Sisuponemos que el número de interacciones es conjuntamente proporcional ax (t) e y (t), es decir, proporcional al producto xy, entonces
dxdt
∝ xy () dxdt= kxy,
donde k es una constante de proporcionalidad.
Suponga una pequeñacomunidad que cuenta con una población �ja de N personas. Si una personainfectada se introduce en esta comunidad, entonces puede sostenerse que x (t)e y (t) se encuentran relacionadas por x+ y = N+ 1. Al utilizar esta últimaecuación se obtiene
dxdt= kx (N+ 1� x) .
Una condición inicial evidente que acompaña a la ecuación es x (0) = 1.
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Difusión de una enfermedadUna enfermedad contagiosa -por ejemplo, un virus de gripe- se difunde en unacomunidad por medio del contacto físico entre las persona. Si x (t) indica elnúmero de personas que han tenido contacto con la enfermedad e y (t) elnúmero de personas que no han sido expuestas a ésta, parece razonable asumirque la razón de cambio dx/dt a la que se difunde la enfermedad es proporcionalal número de encuentros a interacciones entre estos dos grupos de gente. Sisuponemos que el número de interacciones es conjuntamente proporcional ax (t) e y (t), es decir, proporcional al producto xy, entonces
dxdt
∝ xy () dxdt= kxy,
donde k es una constante de proporcionalidad. Suponga una pequeñacomunidad que cuenta con una población �ja de N personas. Si una personainfectada se introduce en esta comunidad, entonces puede sostenerse que x (t)e y (t) se encuentran relacionadas por x+ y = N+ 1. Al utilizar esta últimaecuación se obtiene
dxdt= kx (N+ 1� x) .
Una condición inicial evidente que acompaña a la ecuación es x (0) = 1.Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
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Otros modelos
Reacciones químicas:dXdt= k (α�X) (β�X) .
Mezclas: Re = Vel. de entrada de sal; Rs = Vel. de salida de sal.
dAdt= Re � Rs
Re =(Concentración de sal del �ujo de entrada)�(vel. entrada de salmuera)Rs =(Concentración de sal en el tanque)�(vel. salida de salmuera)Drenado de un tanque. Ley de Torricelli
dhdt= �Ah
Aw
p2gh
Ah: área del ori�cio; Aw: área de la super�cie; V (t) = Awh; g: gravedad.Circuitos en serie: Segunda ley de Kirchho¤
Ld2qdt2 + R
dqdt+
1C
q = E (t) .
L: inductancia; C: capacitancia; R: resistencia; E (t): voltaje; q (t): carga.
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Otros modelos
Reacciones químicas:dXdt= k (α�X) (β�X) .
Mezclas: Re = Vel. de entrada de sal; Rs = Vel. de salida de sal.
dAdt= Re � Rs
Re =(Concentración de sal del �ujo de entrada)�(vel. entrada de salmuera)Rs =(Concentración de sal en el tanque)�(vel. salida de salmuera)
Drenado de un tanque. Ley de Torricelli
dhdt= �Ah
Aw
p2gh
Ah: área del ori�cio; Aw: área de la super�cie; V (t) = Awh; g: gravedad.Circuitos en serie: Segunda ley de Kirchho¤
Ld2qdt2 + R
dqdt+
1C
q = E (t) .
L: inductancia; C: capacitancia; R: resistencia; E (t): voltaje; q (t): carga.
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Otros modelos
Reacciones químicas:dXdt= k (α�X) (β�X) .
Mezclas: Re = Vel. de entrada de sal; Rs = Vel. de salida de sal.
dAdt= Re � Rs
Re =(Concentración de sal del �ujo de entrada)�(vel. entrada de salmuera)Rs =(Concentración de sal en el tanque)�(vel. salida de salmuera)Drenado de un tanque. Ley de Torricelli
dhdt= �Ah
Aw
p2gh
Ah: área del ori�cio; Aw: área de la super�cie; V (t) = Awh; g: gravedad.
Circuitos en serie: Segunda ley de Kirchho¤
Ld2qdt2 + R
dqdt+
1C
q = E (t) .
L: inductancia; C: capacitancia; R: resistencia; E (t): voltaje; q (t): carga.
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
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Otros modelos
Reacciones químicas:dXdt= k (α�X) (β�X) .
Mezclas: Re = Vel. de entrada de sal; Rs = Vel. de salida de sal.
dAdt= Re � Rs
Re =(Concentración de sal del �ujo de entrada)�(vel. entrada de salmuera)Rs =(Concentración de sal en el tanque)�(vel. salida de salmuera)Drenado de un tanque. Ley de Torricelli
dhdt= �Ah
Aw
p2gh
Ah: área del ori�cio; Aw: área de la super�cie; V (t) = Awh; g: gravedad.Circuitos en serie: Segunda ley de Kirchho¤
Ld2qdt2 + R
dqdt+
1C
q = E (t) .
L: inductancia; C: capacitancia; R: resistencia; E (t): voltaje; q (t): carga.Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
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Otros modelos
Caída libre: segunda ley de Newton
md2sdt2 = �mg
() d2sdt2 = �g
PVIWV d2s
dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.
Caída de cuerpos y resistencia del aire:
mdvdt= mg� kv() m
d2sdt2 = mg� k
dsdt() m
d2sdt2 + k
dsdt= mg.
Modelo del aprendizaje de una tarea:
dydt=
2ppn
y3/2 (1� y)3/2 .
y: nivel de habilidad del estudiante;n, p: dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.Ecuación de onda.Cadena deslizándose.Cable suspendidos.
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Otros modelos
Caída libre: segunda ley de Newton
md2sdt2 = �mg
() d2sdt2 = �g
PVIWV d2s
dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.
Caída de cuerpos y resistencia del aire:
mdvdt= mg� kv() m
d2sdt2 = mg� k
dsdt() m
d2sdt2 + k
dsdt= mg.
Modelo del aprendizaje de una tarea:
dydt=
2ppn
y3/2 (1� y)3/2 .
y: nivel de habilidad del estudiante;n, p: dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.Ecuación de onda.Cadena deslizándose.Cable suspendidos.
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Otros modelos
Caída libre: segunda ley de Newton
md2sdt2 = �mg() d2s
dt2 = �g
PVIWV d2s
dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.
Caída de cuerpos y resistencia del aire:
mdvdt= mg� kv() m
d2sdt2 = mg� k
dsdt() m
d2sdt2 + k
dsdt= mg.
Modelo del aprendizaje de una tarea:
dydt=
2ppn
y3/2 (1� y)3/2 .
y: nivel de habilidad del estudiante;n, p: dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.Ecuación de onda.Cadena deslizándose.Cable suspendidos.
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Otros modelos
Caída libre: segunda ley de Newton
md2sdt2 = �mg() d2s
dt2 = �gPVIWV d2s
dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.
Caída de cuerpos y resistencia del aire:
mdvdt= mg� kv() m
d2sdt2 = mg� k
dsdt() m
d2sdt2 + k
dsdt= mg.
Modelo del aprendizaje de una tarea:
dydt=
2ppn
y3/2 (1� y)3/2 .
y: nivel de habilidad del estudiante;n, p: dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.Ecuación de onda.Cadena deslizándose.Cable suspendidos.
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Otros modelos
Caída libre: segunda ley de Newton
md2sdt2 = �mg() d2s
dt2 = �gPVIWV d2s
dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.
Caída de cuerpos y resistencia del aire:
mdvdt= mg� kv
() md2sdt2 = mg� k
dsdt() m
d2sdt2 + k
dsdt= mg.
Modelo del aprendizaje de una tarea:
dydt=
2ppn
y3/2 (1� y)3/2 .
y: nivel de habilidad del estudiante;n, p: dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.Ecuación de onda.Cadena deslizándose.Cable suspendidos.
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Otros modelos
Caída libre: segunda ley de Newton
md2sdt2 = �mg() d2s
dt2 = �gPVIWV d2s
dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.
Caída de cuerpos y resistencia del aire:
mdvdt= mg� kv
() md2sdt2 = mg� k
dsdt() m
d2sdt2 + k
dsdt= mg.
Modelo del aprendizaje de una tarea:
dydt=
2ppn
y3/2 (1� y)3/2 .
y: nivel de habilidad del estudiante;n, p: dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.Ecuación de onda.Cadena deslizándose.Cable suspendidos.
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Otros modelos
Caída libre: segunda ley de Newton
md2sdt2 = �mg() d2s
dt2 = �gPVIWV d2s
dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.
Caída de cuerpos y resistencia del aire:
mdvdt= mg� kv() m
d2sdt2 = mg� k
dsdt
() md2sdt2 + k
dsdt= mg.
Modelo del aprendizaje de una tarea:
dydt=
2ppn
y3/2 (1� y)3/2 .
y: nivel de habilidad del estudiante;n, p: dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.Ecuación de onda.Cadena deslizándose.Cable suspendidos.
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Otros modelos
Caída libre: segunda ley de Newton
md2sdt2 = �mg() d2s
dt2 = �gPVIWV d2s
dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.
Caída de cuerpos y resistencia del aire:
mdvdt= mg� kv() m
d2sdt2 = mg� k
dsdt() m
d2sdt2 + k
dsdt= mg.
Modelo del aprendizaje de una tarea:
dydt=
2ppn
y3/2 (1� y)3/2 .
y: nivel de habilidad del estudiante;n, p: dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.Ecuación de onda.Cadena deslizándose.Cable suspendidos.
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Otros modelos
Caída libre: segunda ley de Newton
md2sdt2 = �mg() d2s
dt2 = �gPVIWV d2s
dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.
Caída de cuerpos y resistencia del aire:
mdvdt= mg� kv() m
d2sdt2 = mg� k
dsdt() m
d2sdt2 + k
dsdt= mg.
Modelo del aprendizaje de una tarea:
dydt=
2ppn
y3/2 (1� y)3/2 .
y: nivel de habilidad del estudiante;n, p: dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.
Ecuación de onda.Cadena deslizándose.Cable suspendidos.
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Otros modelos
Caída libre: segunda ley de Newton
md2sdt2 = �mg() d2s
dt2 = �gPVIWV d2s
dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.
Caída de cuerpos y resistencia del aire:
mdvdt= mg� kv() m
d2sdt2 = mg� k
dsdt() m
d2sdt2 + k
dsdt= mg.
Modelo del aprendizaje de una tarea:
dydt=
2ppn
y3/2 (1� y)3/2 .
y: nivel de habilidad del estudiante;n, p: dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.Ecuación de onda.
Cadena deslizándose.Cable suspendidos.
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Otros modelos
Caída libre: segunda ley de Newton
md2sdt2 = �mg() d2s
dt2 = �gPVIWV d2s
dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.
Caída de cuerpos y resistencia del aire:
mdvdt= mg� kv() m
d2sdt2 = mg� k
dsdt() m
d2sdt2 + k
dsdt= mg.
Modelo del aprendizaje de una tarea:
dydt=
2ppn
y3/2 (1� y)3/2 .
y: nivel de habilidad del estudiante;n, p: dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.Ecuación de onda.Cadena deslizándose.
Cable suspendidos.
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IntroducciónEcuaciones diferenciales Modelos matemáticos
Otros modelos
Caída libre: segunda ley de Newton
md2sdt2 = �mg() d2s
dt2 = �gPVIWV d2s
dt2 = �g, s (0) = s0, s0 (0) = v0.
Caída de cuerpos y resistencia del aire:
mdvdt= mg� kv() m
d2sdt2 = mg� k
dsdt() m
d2sdt2 + k
dsdt= mg.
Modelo del aprendizaje de una tarea:
dydt=
2ppn
y3/2 (1� y)3/2 .
y: nivel de habilidad del estudiante;n, p: dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.Ecuación de onda.Cadena deslizándose.Cable suspendidos.
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Clasi�cación
De�nición
Se dice que una ecuación diferencial (ED) es cualquier ecuación que contienelas derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o másvariables independientes.
Ecuaciones Diferenciales
8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
TIPO
8<: parciales (EDP)
ordinarias (EDO)
ORDEN
GRADO
8<: lineales
no lineales
HOMOGENEIDAD
8<: Homogéneas
No homogéneas
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Clasi�cación
De�nición
Se dice que una ecuación diferencial (ED) es cualquier ecuación que contienelas derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o másvariables independientes.
Ecuaciones Diferenciales
8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
TIPO
8<: parciales (EDP)
ordinarias (EDO)
ORDEN
GRADO
8<: lineales
no lineales
HOMOGENEIDAD
8<: Homogéneas
No homogéneas
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Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Clasi�cación
De�nición
Se dice que una ecuación diferencial (ED) es cualquier ecuación que contienelas derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o másvariables independientes.
Ecuaciones Diferenciales
8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
TIPO
8<: parciales (EDP)
ordinarias (EDO)
ORDEN
GRADO
8<: lineales
no lineales
HOMOGENEIDAD
8<: Homogéneas
No homogéneas
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Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Clasi�cación
De�nición
Se dice que una ecuación diferencial (ED) es cualquier ecuación que contienelas derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o másvariables independientes.
Ecuaciones Diferenciales
8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
TIPO
8<: parciales (EDP)
ordinarias (EDO)
ORDEN
GRADO
8<: lineales
no lineales
HOMOGENEIDAD
8<: Homogéneas
No homogéneas
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Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Ecuaciones diferenciales
F�
x, y, u (x, y) ,∂u∂x
,∂u∂y
,∂2u
∂x∂y,
∂2u∂x2 ,
∂2u∂y2 , � � � ,
∂nu∂xp∂yq
�= 0
uxx + uyy = 0;
utt = c2uxx;
ut = uxx + uyy;
utt = uxx + uyy + uzz
F�
x, y,dydx
,d2ydx2 , � � � ,
dnydxn
�= 0
F�
t, x,dxdt
,d2xdt2 , � � � ,
dnxdtn
�= 0
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Ecuaciones diferenciales
F�
x, y, u (x, y) ,∂u∂x
,∂u∂y
,∂2u
∂x∂y,
∂2u∂x2 ,
∂2u∂y2 , � � � ,
∂nu∂xp∂yq
�= 0
uxx + uyy = 0;
utt = c2uxx;
ut = uxx + uyy;
utt = uxx + uyy + uzz
F�
x, y,dydx
,d2ydx2 , � � � ,
dnydxn
�= 0
F�
t, x,dxdt
,d2xdt2 , � � � ,
dnxdtn
�= 0
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Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Ecuaciones diferenciales
F�
x, y, u (x, y) ,∂u∂x
,∂u∂y
,∂2u
∂x∂y,
∂2u∂x2 ,
∂2u∂y2 , � � � ,
∂nu∂xp∂yq
�= 0
uxx + uyy = 0;
utt = c2uxx;
ut = uxx + uyy;
utt = uxx + uyy + uzz
F�
x, y,dydx
,d2ydx2 , � � � ,
dnydxn
�= 0
F�
t, x,dxdt
,d2xdt2 , � � � ,
dnxdtn
�= 0
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Ecuaciones diferenciales
F�
x, y, u (x, y) ,∂u∂x
,∂u∂y
,∂2u
∂x∂y,
∂2u∂x2 ,
∂2u∂y2 , � � � ,
∂nu∂xp∂yq
�= 0
uxx + uyy = 0;
utt = c2uxx;
ut = uxx + uyy;
utt = uxx + uyy + uzz
F�
x, y,dydx
,d2ydx2 , � � � ,
dnydxn
�= 0
F�
t, x,dxdt
,d2xdt2 , � � � ,
dnxdtn
�= 0
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Ecuaciones diferenciales ordinarias
F�
x, y, y0, y00, � � � , y(n)�= 0() dny
dxn = f�
x, y, y0, y00, � � � , y(n�1)�
. (1)
dydx= f (x, y) ,
d2ydx2 = f
�x, y, y0
�.
Clasi�cación por linealidad
n
∑i=0
ai (x)diydxi = g (x) .
an (x)dnydxn + an�1 (x)
dn�1ydxn�1 + � � �+ a2 (x)
d2ydx2 + a1 (x)
dydx+ a0 (x) y = g (x) .
EDL de primer orden a1 (x)dydx+ a0 (x) y = g (x) .
EDL de segundo orden a2 (x)d2ydx2 + a1 (x)
dydx+ a0 (x) y = g (x) .
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Ecuaciones diferenciales ordinarias
F�
x, y, y0, y00, � � � , y(n)�= 0() dny
dxn = f�
x, y, y0, y00, � � � , y(n�1)�
. (1)
dydx= f (x, y) ,
d2ydx2 = f
�x, y, y0
�.
Clasi�cación por linealidad
n
∑i=0
ai (x)diydxi = g (x) .
an (x)dnydxn + an�1 (x)
dn�1ydxn�1 + � � �+ a2 (x)
d2ydx2 + a1 (x)
dydx+ a0 (x) y = g (x) .
EDL de primer orden a1 (x)dydx+ a0 (x) y = g (x) .
EDL de segundo orden a2 (x)d2ydx2 + a1 (x)
dydx+ a0 (x) y = g (x) .
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Ecuaciones diferenciales ordinarias
F�
x, y, y0, y00, � � � , y(n)�= 0() dny
dxn = f�
x, y, y0, y00, � � � , y(n�1)�
. (1)
dydx= f (x, y) ,
d2ydx2 = f
�x, y, y0
�.
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n
∑i=0
ai (x)diydxi = g (x) .
an (x)dnydxn + an�1 (x)
dn�1ydxn�1 + � � �+ a2 (x)
d2ydx2 + a1 (x)
dydx+ a0 (x) y = g (x) .
EDL de primer orden a1 (x)dydx+ a0 (x) y = g (x) .
EDL de segundo orden a2 (x)d2ydx2 + a1 (x)
dydx+ a0 (x) y = g (x) .
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Ecuaciones diferenciales ordinarias
F�
x, y, y0, y00, � � � , y(n)�= 0() dny
dxn = f�
x, y, y0, y00, � � � , y(n�1)�
. (1)
dydx= f (x, y) ,
d2ydx2 = f
�x, y, y0
�.
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n
∑i=0
ai (x)diydxi = g (x) .
an (x)dnydxn + an�1 (x)
dn�1ydxn�1 + � � �+ a2 (x)
d2ydx2 + a1 (x)
dydx+ a0 (x) y = g (x) .
EDL de primer orden a1 (x)dydx+ a0 (x) y = g (x) .
EDL de segundo orden a2 (x)d2ydx2 + a1 (x)
dydx+ a0 (x) y = g (x) .
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Ecuaciones diferenciales ordinarias
F�
x, y, y0, y00, � � � , y(n)�= 0() dny
dxn = f�
x, y, y0, y00, � � � , y(n�1)�
. (1)
dydx= f (x, y) ,
d2ydx2 = f
�x, y, y0
�.
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n
∑i=0
ai (x)diydxi = g (x) .
an (x)dnydxn + an�1 (x)
dn�1ydxn�1 + � � �+ a2 (x)
d2ydx2 + a1 (x)
dydx+ a0 (x) y = g (x) .
EDL de primer orden a1 (x)dydx+ a0 (x) y = g (x) .
EDL de segundo orden a2 (x)d2ydx2 + a1 (x)
dydx+ a0 (x) y = g (x) .
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Ejemplos
Clasi�quen las siguientes ecuaciones diferenciales
d3ydx3 + y3 dy
dx+ y = x2 + 1
d4ydx4 + x
d2ydx2 � x2y = cos x
x5 d2ydx2 + x3 dy
dx+ y3 = tan x
d2xdt2 + tx2 = t+ 1
d7xdt7 + x
dxdt+ tx = sin x
No lineal, 3er orden.
Lineal, 4to orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 7o orden.
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Ejemplos
Clasi�quen las siguientes ecuaciones diferenciales
d3ydx3 + y3 dy
dx+ y = x2 + 1
d4ydx4 + x
d2ydx2 � x2y = cos x
x5 d2ydx2 + x3 dy
dx+ y3 = tan x
d2xdt2 + tx2 = t+ 1
d7xdt7 + x
dxdt+ tx = sin x
No lineal, 3er orden.
Lineal, 4to orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 7o orden.
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Ejemplos
Clasi�quen las siguientes ecuaciones diferenciales
d3ydx3 + y3 dy
dx+ y = x2 + 1
d4ydx4 + x
d2ydx2 � x2y = cos x
x5 d2ydx2 + x3 dy
dx+ y3 = tan x
d2xdt2 + tx2 = t+ 1
d7xdt7 + x
dxdt+ tx = sin x
No lineal, 3er orden.
Lineal, 4to orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 7o orden.
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Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Ejemplos
Clasi�quen las siguientes ecuaciones diferenciales
d3ydx3 + y3 dy
dx+ y = x2 + 1
d4ydx4 + x
d2ydx2 � x2y = cos x
x5 d2ydx2 + x3 dy
dx+ y3 = tan x
d2xdt2 + tx2 = t+ 1
d7xdt7 + x
dxdt+ tx = sin x
No lineal, 3er orden.
Lineal, 4to orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 7o orden.
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Ejemplos
Clasi�quen las siguientes ecuaciones diferenciales
d3ydx3 + y3 dy
dx+ y = x2 + 1
d4ydx4 + x
d2ydx2 � x2y = cos x
x5 d2ydx2 + x3 dy
dx+ y3 = tan x
d2xdt2 + tx2 = t+ 1
d7xdt7 + x
dxdt+ tx = sin x
No lineal, 3er orden.
Lineal, 4to orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 7o orden.
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Ejemplos
Clasi�quen las siguientes ecuaciones diferenciales
d3ydx3 + y3 dy
dx+ y = x2 + 1
d4ydx4 + x
d2ydx2 � x2y = cos x
x5 d2ydx2 + x3 dy
dx+ y3 = tan x
d2xdt2 + tx2 = t+ 1
d7xdt7 + x
dxdt+ tx = sin x
No lineal, 3er orden.
Lineal, 4to orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 7o orden.
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Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Ejemplos
Clasi�quen las siguientes ecuaciones diferenciales
d3ydx3 + y3 dy
dx+ y = x2 + 1
d4ydx4 + x
d2ydx2 � x2y = cos x
x5 d2ydx2 + x3 dy
dx+ y3 = tan x
d2xdt2 + tx2 = t+ 1
d7xdt7 + x
dxdt+ tx = sin x
No lineal, 3er orden.
Lineal, 4to orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 7o orden.
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Ejemplos
Clasi�quen las siguientes ecuaciones diferenciales
d3ydx3 + y3 dy
dx+ y = x2 + 1
d4ydx4 + x
d2ydx2 � x2y = cos x
x5 d2ydx2 + x3 dy
dx+ y3 = tan x
d2xdt2 + tx2 = t+ 1
d7xdt7 + x
dxdt+ tx = sin x
No lineal, 3er orden.
Lineal, 4to orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 7o orden.
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Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Ejemplos
Clasi�quen las siguientes ecuaciones diferenciales
d3ydx3 + y3 dy
dx+ y = x2 + 1
d4ydx4 + x
d2ydx2 � x2y = cos x
x5 d2ydx2 + x3 dy
dx+ y3 = tan x
d2xdt2 + tx2 = t+ 1
d7xdt7 + x
dxdt+ tx = sin x
No lineal, 3er orden.
Lineal, 4to orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 7o orden.
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Ejemplos
Clasi�quen las siguientes ecuaciones diferenciales
d3ydx3 + y3 dy
dx+ y = x2 + 1
d4ydx4 + x
d2ydx2 � x2y = cos x
x5 d2ydx2 + x3 dy
dx+ y3 = tan x
d2xdt2 + tx2 = t+ 1
d7xdt7 + x
dxdt+ tx = sin x
No lineal, 3er orden.
Lineal, 4to orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 2do orden.
No lineal, 7o orden.
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Solución de una EDO
De�nición
Una función ψ (x), de�nida sobre un intervalo I y que posea al menos nderivadas continuas sobre I, y que al ser sustituida en una EDO (1) la satisfacepara toda x 2 I, se dice que es una solución explícita de la ecuación en elintervalo I.
No es posible considerar una solución de una EDO sin pensar al mismo tiempoen un intervalo. El intervalo I de la de�nición se denomina de diversas maneras:intervalo de de�nición, intervalo de existencia, intervalo de validez odominio de la solución y puede ser un intervalo abierto (a, b), un intervalocerrado [a, b], un intervalo in�nito (a, ∞), etcétera.
Ejemplo
Las siguientes funciones son solución en (�∞, ∞) de la EDO respectiva.
ψ (x) = sin x+ x2 ��! d2ydx2 + y = x2 + 2.
ϕ (t) = cos t+ sin t ��! x00 � x0 = �2 cos t.φ (x) = e�x + e2x ��! y00 � y0 � 2y = 0.
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Solución de una EDO
De�nición
Una función ψ (x), de�nida sobre un intervalo I y que posea al menos nderivadas continuas sobre I, y que al ser sustituida en una EDO (1) la satisfacepara toda x 2 I, se dice que es una solución explícita de la ecuación en elintervalo I.
No es posible considerar una solución de una EDO sin pensar al mismo tiempoen un intervalo. El intervalo I de la de�nición se denomina de diversas maneras:intervalo de de�nición, intervalo de existencia, intervalo de validez odominio de la solución y puede ser un intervalo abierto (a, b), un intervalocerrado [a, b], un intervalo in�nito (a, ∞), etcétera.
Ejemplo
Las siguientes funciones son solución en (�∞, ∞) de la EDO respectiva.
ψ (x) = sin x+ x2 ��! d2ydx2 + y = x2 + 2.
ϕ (t) = cos t+ sin t ��! x00 � x0 = �2 cos t.φ (x) = e�x + e2x ��! y00 � y0 � 2y = 0.
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Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Solución de una EDO
De�nición
Una función ψ (x), de�nida sobre un intervalo I y que posea al menos nderivadas continuas sobre I, y que al ser sustituida en una EDO (1) la satisfacepara toda x 2 I, se dice que es una solución explícita de la ecuación en elintervalo I.
No es posible considerar una solución de una EDO sin pensar al mismo tiempoen un intervalo. El intervalo I de la de�nición se denomina de diversas maneras:intervalo de de�nición, intervalo de existencia, intervalo de validez odominio de la solución y puede ser un intervalo abierto (a, b), un intervalocerrado [a, b], un intervalo in�nito (a, ∞), etcétera.
Ejemplo
Las siguientes funciones son solución en (�∞, ∞) de la EDO respectiva.
ψ (x) = sin x+ x2 ��! d2ydx2 + y = x2 + 2.
ϕ (t) = cos t+ sin t ��! x00 � x0 = �2 cos t.φ (x) = e�x + e2x ��! y00 � y0 � 2y = 0.
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Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Solución de una EDO
De�nición
Una función ψ (x), de�nida sobre un intervalo I y que posea al menos nderivadas continuas sobre I, y que al ser sustituida en una EDO (1) la satisfacepara toda x 2 I, se dice que es una solución explícita de la ecuación en elintervalo I.
No es posible considerar una solución de una EDO sin pensar al mismo tiempoen un intervalo. El intervalo I de la de�nición se denomina de diversas maneras:intervalo de de�nición, intervalo de existencia, intervalo de validez odominio de la solución y puede ser un intervalo abierto (a, b), un intervalocerrado [a, b], un intervalo in�nito (a, ∞), etcétera.
Ejemplo
Las siguientes funciones son solución en (�∞, ∞) de la EDO respectiva.
ψ (x) = sin x+ x2 ��! d2ydx2 + y = x2 + 2.
ϕ (t) = cos t+ sin t ��! x00 � x0 = �2 cos t.
φ (x) = e�x + e2x ��! y00 � y0 � 2y = 0.
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Solución de una EDO
De�nición
Una función ψ (x), de�nida sobre un intervalo I y que posea al menos nderivadas continuas sobre I, y que al ser sustituida en una EDO (1) la satisfacepara toda x 2 I, se dice que es una solución explícita de la ecuación en elintervalo I.
No es posible considerar una solución de una EDO sin pensar al mismo tiempoen un intervalo. El intervalo I de la de�nición se denomina de diversas maneras:intervalo de de�nición, intervalo de existencia, intervalo de validez odominio de la solución y puede ser un intervalo abierto (a, b), un intervalocerrado [a, b], un intervalo in�nito (a, ∞), etcétera.
Ejemplo
Las siguientes funciones son solución en (�∞, ∞) de la EDO respectiva.
ψ (x) = sin x+ x2 ��! d2ydx2 + y = x2 + 2.
ϕ (t) = cos t+ sin t ��! x00 � x0 = �2 cos t.φ (x) = e�x + e2x ��! y00 � y0 � 2y = 0.
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Solución implicita
De�nición
Se dice que una relación G (x, y) = 0 es una solución implícita de la EDO enintervalo I si de�ne una o más soluciones explícita en I.
EjemploLas siguientes relaciones son solución implícita de la EDO respectiva.
x+ y+ exy = 0 ��! (1+ xexy) y0 + 1+ yexy = 0.x2 = y2 + c ��! yy0 = x.
Ejemplo
d2xdt2 = a =) dx
dt= at+ c1 =) x (t) = a
2 t2 + c1t+ c2 (dos constantes).
dAdt= �kA =) A (t) = Ce�kt (una constante).
d4ydx4 = a =) y (x) =
a24
x4 + c1x3 + c2x2 + c3x+ c4 (cuatro constantes).
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Solución implicita
De�nición
Se dice que una relación G (x, y) = 0 es una solución implícita de la EDO enintervalo I si de�ne una o más soluciones explícita en I.
EjemploLas siguientes relaciones son solución implícita de la EDO respectiva.
x+ y+ exy = 0 ��! (1+ xexy) y0 + 1+ yexy = 0.
x2 = y2 + c ��! yy0 = x.
Ejemplo
d2xdt2 = a =) dx
dt= at+ c1 =) x (t) = a
2 t2 + c1t+ c2 (dos constantes).
dAdt= �kA =) A (t) = Ce�kt (una constante).
d4ydx4 = a =) y (x) =
a24
x4 + c1x3 + c2x2 + c3x+ c4 (cuatro constantes).
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Solución implicita
De�nición
Se dice que una relación G (x, y) = 0 es una solución implícita de la EDO enintervalo I si de�ne una o más soluciones explícita en I.
EjemploLas siguientes relaciones son solución implícita de la EDO respectiva.
x+ y+ exy = 0 ��! (1+ xexy) y0 + 1+ yexy = 0.x2 = y2 + c ��! yy0 = x.
Ejemplo
d2xdt2 = a =) dx
dt= at+ c1 =) x (t) = a
2 t2 + c1t+ c2 (dos constantes).
dAdt= �kA =) A (t) = Ce�kt (una constante).
d4ydx4 = a =) y (x) =
a24
x4 + c1x3 + c2x2 + c3x+ c4 (cuatro constantes).
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Solución implicita
De�nición
Se dice que una relación G (x, y) = 0 es una solución implícita de la EDO enintervalo I si de�ne una o más soluciones explícita en I.
EjemploLas siguientes relaciones son solución implícita de la EDO respectiva.
x+ y+ exy = 0 ��! (1+ xexy) y0 + 1+ yexy = 0.x2 = y2 + c ��! yy0 = x.
Ejemplo
d2xdt2 = a =) dx
dt= at+ c1 =) x (t) = a
2 t2 + c1t+ c2 (dos constantes).
dAdt= �kA =) A (t) = Ce�kt (una constante).
d4ydx4 = a =) y (x) =
a24
x4 + c1x3 + c2x2 + c3x+ c4 (cuatro constantes).
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Solución implicita
De�nición
Se dice que una relación G (x, y) = 0 es una solución implícita de la EDO enintervalo I si de�ne una o más soluciones explícita en I.
EjemploLas siguientes relaciones son solución implícita de la EDO respectiva.
x+ y+ exy = 0 ��! (1+ xexy) y0 + 1+ yexy = 0.x2 = y2 + c ��! yy0 = x.
Ejemplo
d2xdt2 = a =) dx
dt= at+ c1 =) x (t) = a
2 t2 + c1t+ c2 (dos constantes).
dAdt= �kA =) A (t) = Ce�kt (una constante).
d4ydx4 = a =) y (x) =
a24
x4 + c1x3 + c2x2 + c3x+ c4 (cuatro constantes).
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Solución implicita
De�nición
Se dice que una relación G (x, y) = 0 es una solución implícita de la EDO enintervalo I si de�ne una o más soluciones explícita en I.
EjemploLas siguientes relaciones son solución implícita de la EDO respectiva.
x+ y+ exy = 0 ��! (1+ xexy) y0 + 1+ yexy = 0.x2 = y2 + c ��! yy0 = x.
Ejemplo
d2xdt2 = a =) dx
dt= at+ c1 =) x (t) = a
2 t2 + c1t+ c2 (dos constantes).
dAdt= �kA =) A (t) = Ce�kt (una constante).
d4ydx4 = a =) y (x) =
a24
x4 + c1x3 + c2x2 + c3x+ c4 (cuatro constantes).
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Solución implicita
De�nición
Se dice que una relación G (x, y) = 0 es una solución implícita de la EDO enintervalo I si de�ne una o más soluciones explícita en I.
EjemploLas siguientes relaciones son solución implícita de la EDO respectiva.
x+ y+ exy = 0 ��! (1+ xexy) y0 + 1+ yexy = 0.x2 = y2 + c ��! yy0 = x.
Ejemplo
d2xdt2 = a =) dx
dt= at+ c1 =) x (t) = a
2 t2 + c1t+ c2 (dos constantes).
dAdt= �kA =) A (t) = Ce�kt (una constante).
d4ydx4 = a =) y (x) =
a24
x4 + c1x3 + c2x2 + c3x+ c4 (cuatro constantes).
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Problema de valor inicial
De�nición
Se entiende como un problema de valor inicial (PVI) para una ecuacióndiferencial de orden n, como hallar una solución de la ED en un intervalo I quesatisface en x0 las n condiciones iniciales
y (x0) = y0, y0 (x0) = y1, y00 (x0) = y2, . . . , y(n�1) (x0) = yn�1
donde x0 2 I e y0, y1, y2, . . . , yn�1 son constantes dadas.
PVI (primer orden).( dydx= f (x, y)
y (x0) = y0
PVI (segundo orden).8<: d2ydx2 = f (x, y, y0)y (x0) = y0, y0 (x0) = y1
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Problema de valor inicial
De�nición
Se entiende como un problema de valor inicial (PVI) para una ecuacióndiferencial de orden n, como hallar una solución de la ED en un intervalo I quesatisface en x0 las n condiciones iniciales
y (x0) = y0, y0 (x0) = y1, y00 (x0) = y2, . . . , y(n�1) (x0) = yn�1
donde x0 2 I e y0, y1, y2, . . . , yn�1 son constantes dadas.
PVI (primer orden).( dydx= f (x, y)
y (x0) = y0
PVI (segundo orden).8<: d2ydx2 = f (x, y, y0)y (x0) = y0, y0 (x0) = y1
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Problema de valor inicial
De�nición
Se entiende como un problema de valor inicial (PVI) para una ecuacióndiferencial de orden n, como hallar una solución de la ED en un intervalo I quesatisface en x0 las n condiciones iniciales
y (x0) = y0, y0 (x0) = y1, y00 (x0) = y2, . . . , y(n�1) (x0) = yn�1
donde x0 2 I e y0, y1, y2, . . . , yn�1 son constantes dadas.
PVI (primer orden).( dydx= f (x, y)
y (x0) = y0
PVI (segundo orden).8<: d2ydx2 = f (x, y, y0)y (x0) = y0, y0 (x0) = y1
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
Ejemplos de PVI
( dPdt= kP
P (0) = 1000
8<: d2ydx2 = �9, 8 m/s2
y (0) = 100 m, y0 (0) = 20 m/s
x00 = t2 � 9, x (0) = 1, x0 (0) = 3
y00 = sin x� cos x, y (π/2) = 0, y0 (π/2) = 1
y00 + y = 0, y (0) = π, y0 (0) = 2
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IntroducciónEcuaciones diferenciales
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Ejemplos de PVI
( dPdt= kP
P (0) = 1000
8<: d2ydx2 = �9, 8 m/s2
y (0) = 100 m, y0 (0) = 20 m/s
x00 = t2 � 9, x (0) = 1, x0 (0) = 3
y00 = sin x� cos x, y (π/2) = 0, y0 (π/2) = 1
y00 + y = 0, y (0) = π, y0 (0) = 2
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Ejemplos de PVI
( dPdt= kP
P (0) = 1000
8<: d2ydx2 = �9, 8 m/s2
y (0) = 100 m, y0 (0) = 20 m/s
x00 = t2 � 9, x (0) = 1, x0 (0) = 3
y00 = sin x� cos x, y (π/2) = 0, y0 (π/2) = 1
y00 + y = 0, y (0) = π, y0 (0) = 2
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónEcuaciones diferenciales
Clasi�caciónEcuaciones diferenciales ordinariasProblema de valor inicial
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( dPdt= kP
P (0) = 1000
8<: d2ydx2 = �9, 8 m/s2
y (0) = 100 m, y0 (0) = 20 m/s
x00 = t2 � 9, x (0) = 1, x0 (0) = 3
y00 = sin x� cos x, y (π/2) = 0, y0 (π/2) = 1
y00 + y = 0, y (0) = π, y0 (0) = 2
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Ejemplos de PVI
( dPdt= kP
P (0) = 1000
8<: d2ydx2 = �9, 8 m/s2
y (0) = 100 m, y0 (0) = 20 m/s
x00 = t2 � 9, x (0) = 1, x0 (0) = 3
y00 = sin x� cos x, y (π/2) = 0, y0 (π/2) = 1
y00 + y = 0, y (0) = π, y0 (0) = 2
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Existencia y unicidad
Al considerar un problema de valor inicial surgen dos preguntas importantes:
¿Existe solución del problema? Si existe una solución, ¿es única?
Para un PVI como el de
( dydx= f (x, y)
y (x0) = y0
nos preguntamos:
Existencia(¿La ecuación diferencial
dydx= f (x, y) cuenta con soluciones?
¿Alguna de las curvas de solución atraviesan el punto (x0, y0) ?
Unicidad�¿En qué momento podemos estar seguros de que existen precisamenteuna curva de solución atravesando el punto (x0, y0) ?
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Existencia y unicidad
Al considerar un problema de valor inicial surgen dos preguntas importantes:
¿Existe solución del problema? Si existe una solución, ¿es única?
Para un PVI como el de
( dydx= f (x, y)
y (x0) = y0
nos preguntamos:
Existencia(¿La ecuación diferencial
dydx= f (x, y) cuenta con soluciones?
¿Alguna de las curvas de solución atraviesan el punto (x0, y0) ?
Unicidad�¿En qué momento podemos estar seguros de que existen precisamenteuna curva de solución atravesando el punto (x0, y0) ?
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Existencia y unicidad
Al considerar un problema de valor inicial surgen dos preguntas importantes:
¿Existe solución del problema? Si existe una solución, ¿es única?
Para un PVI como el de
( dydx= f (x, y)
y (x0) = y0
nos preguntamos:
Existencia(¿La ecuación diferencial
dydx= f (x, y) cuenta con soluciones?
¿Alguna de las curvas de solución atraviesan el punto (x0, y0) ?
Unicidad�¿En qué momento podemos estar seguros de que existen precisamenteuna curva de solución atravesando el punto (x0, y0) ?
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Existencia y unicidad
Al considerar un problema de valor inicial surgen dos preguntas importantes:
¿Existe solución del problema? Si existe una solución, ¿es única?
Para un PVI como el de
( dydx= f (x, y)
y (x0) = y0
nos preguntamos:
Existencia(¿La ecuación diferencial
dydx= f (x, y) cuenta con soluciones?
¿Alguna de las curvas de solución atraviesan el punto (x0, y0) ?
Unicidad�¿En qué momento podemos estar seguros de que existen precisamenteuna curva de solución atravesando el punto (x0, y0) ?
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Teorema de Existencia y unicidad
Teorema (Existencia de unasolución única)
Considerese a R como una regiónrectangular en el plano xyde�nida porf(x, y) : x 2 [a, b] , y 2 [c, d]g, lacual contiene al punto (x0, y0). Sif (x, y) y ∂f /dy son continuas enR, entonces existe cierto intervaloI = [x0 � δ, x0 + δ], δ > 0,contenido en [a, b], y una funciónúnica ϕ (x) de�nida en I querepresenta una solución del PVI( dy
dx= f (x, y) ,
y (x0) = y0.
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Teorema de Existencia y unicidad
Teorema (Existencia de unasolución única)
Considerese a R como una regiónrectangular en el plano xyde�nida porf(x, y) : x 2 [a, b] , y 2 [c, d]g, lacual contiene al punto (x0, y0). Sif (x, y) y ∂f /dy son continuas enR, entonces existe cierto intervaloI = [x0 � δ, x0 + δ], δ > 0,contenido en [a, b], y una funciónúnica ϕ (x) de�nida en I querepresenta una solución del PVI( dy
dx= f (x, y) ,
y (x0) = y0.
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Ejercicios
1 Determine la forma general de una región del plano en la cual la ecuacióndiferencial �
y2 � x�
y0 = y2 + x
tenga una única solución por cada punto (x0, y0) de la región.2 El problema de valor inicial� �
x2 � 4�
y0 + y2/3 = 0,y (2) = 0,
cumple las condiciones del teorema de existencia y unicidad?, ¿por qué?3 El problema de valor inicial
(y� x) y0 = y+ x, y (0) = 0,
satisface las condiciones del teorema de existencia y unicidad?
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